ಕಾರ್ಯದ ತೀವ್ರತೆ ಏನು: ಗರಿಷ್ಠ ಮತ್ತು ಕನಿಷ್ಠ ನಿರ್ಣಾಯಕ ಅಂಶಗಳು. ಕಾರ್ಯ ವಿಪರೀತ

ಈ ಅಸಮಾನತೆಗಳಲ್ಲಿ Δ ನಂತೆ ಮಿತಿಗೆ ಹಾದುಹೋಗುವುದು X→ 0 ಮತ್ತು ಉತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಗಣನೆಗೆ ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುವುದು f "(X 0) ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿದೆ, ಮತ್ತು ಆದ್ದರಿಂದ ಎಡಭಾಗದಲ್ಲಿರುವ ಮಿತಿಯು ಹೇಗೆ Δ ಎಂಬುದರ ಮೇಲೆ ಅವಲಂಬಿತವಾಗಿರುವುದಿಲ್ಲ X→ 0, ನಾವು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ: Δ ಗಾಗಿ X → 0 – 0 f" (X 0) ≥ 0 ಮತ್ತು Δ ನಲ್ಲಿ X → 0 + 0 f" (X 0) ≤ 0. ರಿಂದ f" (X 0) ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸುತ್ತದೆ, ನಂತರ ಈ ಎರಡು ಅಸಮಾನತೆಗಳು ಹೊಂದಾಣಿಕೆಯಾಗಿದ್ದರೆ ಮಾತ್ರ f" (X 0) = 0.

ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವು ಕಣ್ಮರೆಯಾಗುವ ವಾದದ ಮೌಲ್ಯಗಳಲ್ಲಿ ಮಾತ್ರ ಗರಿಷ್ಠ ಮತ್ತು ಕನಿಷ್ಠ ಅಂಕಗಳು ಇರುತ್ತವೆ ಎಂದು ಸಾಬೀತಾದ ಪ್ರಮೇಯ ಹೇಳುತ್ತದೆ.

ಒಂದು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ವಿಭಾಗದ ಎಲ್ಲಾ ಹಂತಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದು ಕಾರ್ಯವು ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಹೊಂದಿರುವಾಗ ನಾವು ಪ್ರಕರಣವನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿದ್ದೇವೆ. ಉತ್ಪನ್ನವು ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿಲ್ಲದಿದ್ದಾಗ ಏನಾಗುತ್ತದೆ? ಉದಾಹರಣೆಗಳನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿ.

ವೈ =|X |.

ಕಾರ್ಯವು ಒಂದು ಹಂತದಲ್ಲಿ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಹೊಂದಿಲ್ಲ X=0 (ಈ ಹಂತದಲ್ಲಿ, ಫಂಕ್ಷನ್‌ನ ಗ್ರಾಫ್ ಒಂದು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಸ್ಪರ್ಶಕವನ್ನು ಹೊಂದಿಲ್ಲ), ಆದರೆ ಈ ಹಂತದಲ್ಲಿ ಕಾರ್ಯವು ಕನಿಷ್ಠವನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ, ಏಕೆಂದರೆ ವೈ(0)=0, ಮತ್ತು ಎಲ್ಲರಿಗೂ X ≠ 0ವೈ > 0.

ಹೀಗಾಗಿ, ನೀಡಲಾದ ಉದಾಹರಣೆಗಳು ಮತ್ತು ಸೂತ್ರೀಕರಿಸಿದ ಪ್ರಮೇಯದಿಂದ ಕಾರ್ಯವು ಎರಡು ಸಂದರ್ಭಗಳಲ್ಲಿ ಮಾತ್ರ ತೀವ್ರತೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ ಎಂಬುದು ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗುತ್ತದೆ: 1) ಉತ್ಪನ್ನವು ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿದೆ ಮತ್ತು ಶೂನ್ಯಕ್ಕೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ; 2) ಉತ್ಪನ್ನ ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿಲ್ಲದ ಹಂತದಲ್ಲಿ.

ಆದಾಗ್ಯೂ, ಕೆಲವು ಹಂತದಲ್ಲಿ ವೇಳೆ X 0 ನಮಗೆ ತಿಳಿದಿದೆ f"(x 0 ) =0, ನಂತರ ಈ ಹಂತದಲ್ಲಿ ಎಂದು ತೀರ್ಮಾನಿಸಲಾಗುವುದಿಲ್ಲ X 0 ಕಾರ್ಯವು ಒಂದು ತೀವ್ರತೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ.

ಉದಾಹರಣೆಗೆ.

ಆದರೆ ಪಾಯಿಂಟ್ X=0 ಒಂದು ವಿಪರೀತ ಬಿಂದುವಲ್ಲ, ಏಕೆಂದರೆ ಈ ಬಿಂದುವಿನ ಎಡಭಾಗದಲ್ಲಿ ಕಾರ್ಯ ಮೌಲ್ಯಗಳು ಅಕ್ಷದ ಕೆಳಗೆ ಇದೆ ಎತ್ತು, ಮತ್ತು ಮೇಲೆ ಬಲಭಾಗದಲ್ಲಿ.

ಫಂಕ್ಷನ್‌ನ ಡೊಮೇನ್‌ನಿಂದ ಆರ್ಗ್ಯುಮೆಂಟ್‌ನ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ, ಇದಕ್ಕಾಗಿ ಕಾರ್ಯದ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವು ಕಣ್ಮರೆಯಾಗುತ್ತದೆ ಅಥವಾ ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿಲ್ಲ ನಿರ್ಣಾಯಕ ಅಂಶಗಳು .

ಒಂದು ಕ್ರಿಯೆಯ ತೀವ್ರ ಬಿಂದುಗಳು ನಿರ್ಣಾಯಕ ಬಿಂದುಗಳಲ್ಲಿವೆ ಮತ್ತು ಆದಾಗ್ಯೂ, ಪ್ರತಿ ನಿರ್ಣಾಯಕ ಬಿಂದುವು ಒಂದು ವಿಪರೀತ ಬಿಂದುವಲ್ಲ ಎಂದು ಮೇಲಿನಿಂದ ಇದು ಅನುಸರಿಸುತ್ತದೆ. ಆದ್ದರಿಂದ, ಕಾರ್ಯದ ತೀವ್ರತೆಯನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲು, ನೀವು ಕಾರ್ಯದ ಎಲ್ಲಾ ನಿರ್ಣಾಯಕ ಅಂಶಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಬೇಕು, ತದನಂತರ ಈ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಬಿಂದುಗಳನ್ನು ಗರಿಷ್ಠ ಮತ್ತು ಕನಿಷ್ಠಕ್ಕೆ ಪ್ರತ್ಯೇಕವಾಗಿ ಪರೀಕ್ಷಿಸಿ. ಇದಕ್ಕಾಗಿ, ಕೆಳಗಿನ ಪ್ರಮೇಯವು ಕಾರ್ಯನಿರ್ವಹಿಸುತ್ತದೆ.

ಪ್ರಮೇಯ 2. (ಅತ್ಯಂತದ ಅಸ್ತಿತ್ವಕ್ಕೆ ಸಾಕಷ್ಟು ಸ್ಥಿತಿ.) ನಿರ್ಣಾಯಕ ಬಿಂದುವನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಕೆಲವು ಮಧ್ಯಂತರದಲ್ಲಿ ಕಾರ್ಯವು ನಿರಂತರವಾಗಿರಲಿ X 0 , ಮತ್ತು ಈ ಮಧ್ಯಂತರದ ಎಲ್ಲಾ ಹಂತಗಳಲ್ಲಿ ಭಿನ್ನವಾಗಿರುತ್ತದೆ (ಬಹುಶಃ, ಬಿಂದುವನ್ನು ಹೊರತುಪಡಿಸಿ X 0) ಈ ಬಿಂದುವಿನ ಮೂಲಕ ಎಡದಿಂದ ಬಲಕ್ಕೆ ಹಾದುಹೋಗುವಾಗ, ಉತ್ಪನ್ನವು ಚಿಹ್ನೆಯನ್ನು ಪ್ಲಸ್‌ನಿಂದ ಮೈನಸ್‌ಗೆ ಬದಲಾಯಿಸಿದರೆ, ನಂತರ ಬಿಂದುವಿನಲ್ಲಿ X = X 0 ಕಾರ್ಯವು ಗರಿಷ್ಠವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ. ಒಂದು ವೇಳೆ, ಹಾದುಹೋಗುವಾಗ Xಎಡದಿಂದ ಬಲಕ್ಕೆ 0, ಮೈನಸ್‌ನಿಂದ ಪ್ಲಸ್‌ಗೆ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನ ಬದಲಾವಣೆಗಳ ಚಿಹ್ನೆ, ನಂತರ ಕಾರ್ಯವು ಈ ಹಂತದಲ್ಲಿ ಕನಿಷ್ಠವನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ.

ಹೀಗಾಗಿ, ವೇಳೆ

f"(x)>0 ನಲ್ಲಿ X <X 0 ಮತ್ತು f"(x)< 0 ನಲ್ಲಿ x > x 0, ನಂತರ X 0 - ಗರಿಷ್ಠ ಪಾಯಿಂಟ್;

ಪುರಾವೆ. ಹಾದುಹೋಗುವಾಗ ನಾವು ಮೊದಲು ಊಹಿಸೋಣ X 0, ವ್ಯುತ್ಪನ್ನ ಬದಲಾವಣೆಯ ಚಿಹ್ನೆಯು ಪ್ಲಸ್‌ನಿಂದ ಮೈನಸ್‌ಗೆ, ಅಂದರೆ. ಎಲ್ಲರಿಗೂ Xಬಿಂದುವಿನ ಹತ್ತಿರ X 0 f "(x)> 0 ಗೆ X< x 0 , f"(x)< 0 ಗೆ x > x 0 ವ್ಯತ್ಯಾಸಕ್ಕೆ ಲಾಗ್ರೇಂಜ್ ಪ್ರಮೇಯವನ್ನು ಅನ್ವಯಿಸೋಣ f(x) - f(x 0 ) = f "(c)(x- x 0), ಅಲ್ಲಿ ಸಿನಡುವೆ ಇರುತ್ತದೆ Xಮತ್ತು X 0 .

ಅವಕಾಶ X< x 0 ನಂತರ ಸಿ< x 0 ಮತ್ತು f "(c)> 0. ಅದಕ್ಕೇ f "(c)(x-x 0)< 0 ಮತ್ತು ಆದ್ದರಿಂದ,

f(x) - f(x 0 )< 0, ಅಂದರೆ f(x)< f(x 0 ).

ಅವಕಾಶ x > x 0 ನಂತರ c> x 0 ಮತ್ತು ಎಫ್"(ಸಿ)< 0. ಅರ್ಥ f "(c)(x-x 0)< 0. ಅದಕ್ಕೇ f(x) - f(x 0 ) <0,т.е.f(x) < f(x 0 ) .

ಹೀಗಾಗಿ, ಎಲ್ಲಾ ಮೌಲ್ಯಗಳಿಗೆ Xಸಾಕಷ್ಟು ಹತ್ತಿರ X 0 f(x) < f(x 0 ) . ಮತ್ತು ಈ ಹಂತದಲ್ಲಿ ಅರ್ಥ X 0 ಕಾರ್ಯವು ಗರಿಷ್ಠವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ.

ಕನಿಷ್ಠ ಪ್ರಮೇಯದ ಎರಡನೇ ಭಾಗವು ಇದೇ ರೀತಿ ಸಾಬೀತಾಗಿದೆ.

ಚಿತ್ರದಲ್ಲಿ ಈ ಪ್ರಮೇಯದ ಅರ್ಥವನ್ನು ವಿವರಿಸೋಣ. ಅವಕಾಶ f"(x 1 ) =0 ಮತ್ತು ಯಾವುದಕ್ಕೂ X,ಸಾಕಷ್ಟು ಹತ್ತಿರ X 1, ಅಸಮಾನತೆಗಳು

f"(x)< 0 ನಲ್ಲಿ X< x 1 , f "(x)> 0 ನಲ್ಲಿ x > x 1 .

ನಂತರ ಬಿಂದುವಿನ ಎಡಕ್ಕೆ X 1 ಕಾರ್ಯವು ಬಲಭಾಗದಲ್ಲಿ ಹೆಚ್ಚುತ್ತಿದೆ ಮತ್ತು ಕಡಿಮೆಯಾಗುತ್ತಿದೆ, ಆದ್ದರಿಂದ ಯಾವಾಗ X = X 1 ಕಾರ್ಯವು ಹೆಚ್ಚಾಗುವುದರಿಂದ ಕಡಿಮೆಯಾಗುತ್ತಾ ಹೋಗುತ್ತದೆ, ಅಂದರೆ, ಇದು ಗರಿಷ್ಠವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ.

ಅಂತೆಯೇ, ಒಬ್ಬರು ಅಂಕಗಳನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಬಹುದು X 2 ಮತ್ತು X 3 .

ಕ್ರಮಬದ್ಧವಾಗಿ, ಮೇಲಿನ ಎಲ್ಲವನ್ನು ಚಿತ್ರದಲ್ಲಿ ಚಿತ್ರಿಸಬಹುದು:

ಎಕ್ಸ್‌ಟ್ರೀಮ್‌ಗಾಗಿ y=f(x) ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡುವ ನಿಯಮ

ಕಾರ್ಯದ ವ್ಯಾಪ್ತಿಯನ್ನು ಹುಡುಕಿ f(x)

ಫಂಕ್ಷನ್‌ನ ಮೊದಲ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಹುಡುಕಿ f"(x) .

ಇದಕ್ಕಾಗಿ ನಿರ್ಣಾಯಕ ಅಂಶಗಳನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸಿ:

ಸಮೀಕರಣದ ನಿಜವಾದ ಬೇರುಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ f"(x) =0;

ಎಲ್ಲಾ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ಹುಡುಕಿ Xಅದರ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ ಉತ್ಪನ್ನ f"(x)ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿಲ್ಲ.

ನಿರ್ಣಾಯಕ ಬಿಂದುವಿನ ಎಡ ಮತ್ತು ಬಲಕ್ಕೆ ಉತ್ಪನ್ನದ ಚಿಹ್ನೆಯನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸಿ. ವ್ಯುತ್ಪನ್ನ ಚಿಹ್ನೆಯು ಎರಡು ನಿರ್ಣಾಯಕ ಬಿಂದುಗಳ ನಡುವೆ ಸ್ಥಿರವಾಗಿ ಉಳಿಯುವುದರಿಂದ, ನಿರ್ಣಾಯಕ ಬಿಂದುವಿನ ಎಡಕ್ಕೆ ಮತ್ತು ಒಂದು ಹಂತದಲ್ಲಿ ಬಲಕ್ಕೆ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನ ಚಿಹ್ನೆಯನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸಲು ಸಾಕು.

ತೀವ್ರ ಬಿಂದುಗಳಲ್ಲಿ ಕಾರ್ಯದ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡಿ.

ಕ್ರಿಯೆಯ ಸ್ವರೂಪವನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸಲು ಮತ್ತು ಅದರ ನಡವಳಿಕೆಯ ಬಗ್ಗೆ ಮಾತನಾಡಲು, ಹೆಚ್ಚಳ ಮತ್ತು ಇಳಿಕೆಯ ಮಧ್ಯಂತರಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವುದು ಅವಶ್ಯಕ. ಈ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಯನ್ನು ಫಂಕ್ಷನ್ ಎಕ್ಸ್‌ಪ್ಲೋರೇಶನ್ ಮತ್ತು ಪ್ಲಾಟಿಂಗ್ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಕಾರ್ಯದ ದೊಡ್ಡ ಮತ್ತು ಚಿಕ್ಕ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವಾಗ ಎಕ್ಸ್ಟ್ರಮ್ ಪಾಯಿಂಟ್ ಅನ್ನು ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ, ಏಕೆಂದರೆ ಅವು ಮಧ್ಯಂತರದಿಂದ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಹೆಚ್ಚಿಸುತ್ತವೆ ಅಥವಾ ಕಡಿಮೆಗೊಳಿಸುತ್ತವೆ.

ಈ ಲೇಖನವು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಗಳನ್ನು ಬಹಿರಂಗಪಡಿಸುತ್ತದೆ, ನಾವು ಮಧ್ಯಂತರದಲ್ಲಿ ಹೆಚ್ಚಳ ಮತ್ತು ಇಳಿಕೆಯ ಸಾಕಷ್ಟು ಚಿಹ್ನೆಯನ್ನು ರೂಪಿಸುತ್ತೇವೆ ಮತ್ತು ವಿಪರೀತದ ಅಸ್ತಿತ್ವದ ಸ್ಥಿತಿ. ಉದಾಹರಣೆಗಳು ಮತ್ತು ಸಮಸ್ಯೆಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲು ಇದು ಅನ್ವಯಿಸುತ್ತದೆ. ಕಾರ್ಯಗಳ ವ್ಯತ್ಯಾಸದ ವಿಭಾಗವನ್ನು ಪುನರಾವರ್ತಿಸಬೇಕು, ಏಕೆಂದರೆ ಪರಿಹರಿಸುವಾಗ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವುದು ಅಗತ್ಯವಾಗಿರುತ್ತದೆ.

Yandex.RTB R-A-339285-1 ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ 1

ಯಾವುದೇ x 1 ∈ X ಮತ್ತು x 2 ∈ X , x 2 > x 1 ಅಸಮಾನತೆ f (x 2) > f (x 1) ಕಾರ್ಯಸಾಧ್ಯವಾದಾಗ x ಮಧ್ಯಂತರದಲ್ಲಿ y = f (x) ಕಾರ್ಯವು ಹೆಚ್ಚಾಗುತ್ತದೆ. ಬೇರೆ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಹೇಳುವುದಾದರೆ, ವಾದದ ದೊಡ್ಡ ಮೌಲ್ಯವು ಕಾರ್ಯದ ದೊಡ್ಡ ಮೌಲ್ಯಕ್ಕೆ ಅನುರೂಪವಾಗಿದೆ.

ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ 2

ಯಾವುದೇ x 1 ∈ X , x 2 ∈ X , x 2 > x 1 ಸಮಾನತೆ f (x 2) > f (x 1) ಅನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿದಾಗ y = f (x) ಕಾರ್ಯವು x ಮಧ್ಯಂತರದಲ್ಲಿ ಕಡಿಮೆಯಾಗುತ್ತಿದೆ ಎಂದು ಪರಿಗಣಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಕಾರ್ಯಸಾಧ್ಯ. ಬೇರೆ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಹೇಳುವುದಾದರೆ, ಒಂದು ದೊಡ್ಡ ಕಾರ್ಯ ಮೌಲ್ಯವು ಚಿಕ್ಕ ಆರ್ಗ್ಯುಮೆಂಟ್ ಮೌಲ್ಯಕ್ಕೆ ಅನುರೂಪವಾಗಿದೆ. ಕೆಳಗಿನ ಚಿತ್ರವನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿ.

ಕಾಮೆಂಟ್: ಆರೋಹಣ ಮತ್ತು ಅವರೋಹಣ ಮಧ್ಯಂತರದ ತುದಿಗಳಲ್ಲಿ ಕಾರ್ಯವು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಮತ್ತು ನಿರಂತರವಾದಾಗ, ಅಂದರೆ (a; b) ಅಲ್ಲಿ x = a, x = b, ಅಂಕಗಳನ್ನು ಆರೋಹಣ ಮತ್ತು ಅವರೋಹಣ ಮಧ್ಯಂತರದಲ್ಲಿ ಸೇರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಇದು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಕ್ಕೆ ವಿರುದ್ಧವಾಗಿಲ್ಲ, ಅಂದರೆ ಇದು x ಮಧ್ಯಂತರದಲ್ಲಿ ನಡೆಯುತ್ತದೆ.

y = sin x ಪ್ರಕಾರದ ಪ್ರಾಥಮಿಕ ಕಾರ್ಯಗಳ ಮುಖ್ಯ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳು ವಾದಗಳ ನೈಜ ಮೌಲ್ಯಗಳಿಗೆ ನಿರ್ದಿಷ್ಟತೆ ಮತ್ತು ನಿರಂತರತೆ. ಇಲ್ಲಿಂದ ನಾವು ಸೈನ್‌ನಲ್ಲಿನ ಹೆಚ್ಚಳವು ಮಧ್ಯಂತರದಲ್ಲಿ ಸಂಭವಿಸುತ್ತದೆ - π 2; π 2, ನಂತರ ವಿಭಾಗದ ಮೇಲಿನ ಹೆಚ್ಚಳವು ರೂಪವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ - π 2; π 2 .

ಪಾಯಿಂಟ್ x 0 ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಗರಿಷ್ಠ ಪಾಯಿಂಟ್ಒಂದು ಕಾರ್ಯಕ್ಕಾಗಿ y = f (x) x ನ ಎಲ್ಲಾ ಮೌಲ್ಯಗಳಿಗೆ ಅಸಮಾನತೆ f (x 0) ≥ f (x) ನಿಜವಾಗಿದ್ದಾಗ. ಗರಿಷ್ಠ ಕಾರ್ಯಬಿಂದುವಿನಲ್ಲಿ ಕಾರ್ಯದ ಮೌಲ್ಯವಾಗಿದೆ ಮತ್ತು y m a x ನಿಂದ ಸೂಚಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ.

x ನ ಎಲ್ಲಾ ಮೌಲ್ಯಗಳಿಗೆ ಅಸಮಾನತೆ f (x 0) ≤ f (x) ನಿಜವಾಗಿರುವಾಗ x 0 ಅನ್ನು y \u003d f (x) ಕಾರ್ಯಕ್ಕೆ ಕನಿಷ್ಠ ಬಿಂದು ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ವೈಶಿಷ್ಟ್ಯ ಕನಿಷ್ಠಬಿಂದುವಿನ ಕಾರ್ಯದ ಮೌಲ್ಯವಾಗಿದೆ ಮತ್ತು y m i n ರೂಪದ ಸಂಕೇತವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ.

ಪಾಯಿಂಟ್ x 0 ನ ನೆರೆಹೊರೆಗಳನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ ವಿಪರೀತ ಬಿಂದುಗಳು,ಮತ್ತು ವಿಪರೀತ ಬಿಂದುಗಳಿಗೆ ಅನುಗುಣವಾದ ಕಾರ್ಯದ ಮೌಲ್ಯ. ಕೆಳಗಿನ ಚಿತ್ರವನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿ.

ಫಂಕ್ಷನ್‌ನ ಅತಿ ದೊಡ್ಡ ಮತ್ತು ಚಿಕ್ಕ ಮೌಲ್ಯದೊಂದಿಗೆ ಫಂಕ್ಷನ್‌ನ ಎಕ್ಸ್ಟ್ರೀಮಾ. ಕೆಳಗಿನ ಚಿತ್ರವನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿ.

ವಿಭಾಗದಿಂದ ಕಾರ್ಯದ ದೊಡ್ಡ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವುದು ಅವಶ್ಯಕ ಎಂದು ಮೊದಲ ಅಂಕಿ ಹೇಳುತ್ತದೆ [ a ; ಬಿ] . ಇದು ಗರಿಷ್ಟ ಅಂಕಗಳನ್ನು ಬಳಸಿ ಕಂಡುಬರುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಕಾರ್ಯದ ಗರಿಷ್ಟ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ, ಮತ್ತು ಎರಡನೇ ಅಂಕಿ x = b ನಲ್ಲಿ ಗರಿಷ್ಠ ಬಿಂದುವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವಂತಿದೆ.

ಕಾರ್ಯಗಳನ್ನು ಹೆಚ್ಚಿಸಲು ಮತ್ತು ಕಡಿಮೆ ಮಾಡಲು ಸಾಕಷ್ಟು ಪರಿಸ್ಥಿತಿಗಳು

ಕಾರ್ಯದ ಗರಿಷ್ಠ ಮತ್ತು ಕನಿಷ್ಠವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲು, ಕಾರ್ಯವು ಈ ಷರತ್ತುಗಳನ್ನು ಪೂರೈಸಿದಾಗ ಒಂದು ತೀವ್ರತೆಯ ಚಿಹ್ನೆಗಳನ್ನು ಅನ್ವಯಿಸುವುದು ಅವಶ್ಯಕ. ಮೊದಲ ವೈಶಿಷ್ಟ್ಯವು ಹೆಚ್ಚು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಬಳಸಲ್ಪಡುತ್ತದೆ.

ತೀವ್ರತೆಗೆ ಮೊದಲ ಸಾಕಷ್ಟು ಸ್ಥಿತಿ

x 0 ಬಿಂದುವಿನ ε ನೆರೆಹೊರೆಯಲ್ಲಿ ಭೇದಿಸಬಹುದಾದ ಮತ್ತು ಕೊಟ್ಟಿರುವ ಬಿಂದು x 0 ನಲ್ಲಿ ನಿರಂತರತೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ y = f (x) ಕಾರ್ಯವನ್ನು ನೀಡೋಣ. ಆದ್ದರಿಂದ ನಾವು ಅದನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ

• ಯಾವಾಗ f "(x) > 0 ಜೊತೆಗೆ x ∈ (x 0 - ε; x 0) ಮತ್ತು f" (x)< 0 при x ∈ (x 0 ; x 0 + ε) , тогда x 0 является точкой максимума;
• ಯಾವಾಗ f"(x)< 0 с x ∈ (x 0 - ε ; x 0) и f " (x) >x ∈ (x 0 ; x 0 + ε) ಗೆ 0, ನಂತರ x 0 ಕನಿಷ್ಠ ಬಿಂದುವಾಗಿದೆ.

ಬೇರೆ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಹೇಳುವುದಾದರೆ, ನಾವು ಅವರ ಸೈನ್ ಸೆಟ್ಟಿಂಗ್ ಷರತ್ತುಗಳನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ:

• x 0 ಬಿಂದುವಿನಲ್ಲಿ ಕಾರ್ಯವು ನಿರಂತರವಾದಾಗ, ಅದು ಬದಲಾಗುವ ಚಿಹ್ನೆಯೊಂದಿಗೆ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ, ಅಂದರೆ + ನಿಂದ -, ಅಂದರೆ ಬಿಂದುವನ್ನು ಗರಿಷ್ಠ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ;
• x 0 ಬಿಂದುವಿನಲ್ಲಿ ಕಾರ್ಯವು ನಿರಂತರವಾದಾಗ, ಅದು - ಗೆ + ಗೆ ಬದಲಾಗುವ ಚಿಹ್ನೆಯೊಂದಿಗೆ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ, ಅಂದರೆ ಬಿಂದುವನ್ನು ಕನಿಷ್ಠ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ.

ಕಾರ್ಯದ ಗರಿಷ್ಠ ಮತ್ತು ಕನಿಷ್ಠ ಅಂಕಗಳನ್ನು ಸರಿಯಾಗಿ ನಿರ್ಧರಿಸಲು, ಅವುಗಳನ್ನು ಹುಡುಕಲು ನೀವು ಅಲ್ಗಾರಿದಮ್ ಅನ್ನು ಅನುಸರಿಸಬೇಕು:

• ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದ ಡೊಮೇನ್ ಅನ್ನು ಹುಡುಕಿ;
• ಈ ಪ್ರದೇಶದಲ್ಲಿ ಕಾರ್ಯದ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ;
• ಕಾರ್ಯವು ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿಲ್ಲದ ಸೊನ್ನೆಗಳು ಮತ್ತು ಬಿಂದುಗಳನ್ನು ಗುರುತಿಸಿ;
• ಮಧ್ಯಂತರಗಳಲ್ಲಿ ಉತ್ಪನ್ನದ ಚಿಹ್ನೆಯನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸುವುದು;
• ಕಾರ್ಯವು ಚಿಹ್ನೆಯನ್ನು ಬದಲಾಯಿಸುವ ಬಿಂದುಗಳನ್ನು ಆಯ್ಕೆಮಾಡಿ.

ಕ್ರಿಯೆಯ ತೀವ್ರತೆಯನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವ ಹಲವಾರು ಉದಾಹರಣೆಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವ ಉದಾಹರಣೆಯಲ್ಲಿ ಅಲ್ಗಾರಿದಮ್ ಅನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿ.

ಉದಾಹರಣೆ 1

ನೀಡಲಾದ ಕಾರ್ಯದ ಗರಿಷ್ಠ ಮತ್ತು ಕನಿಷ್ಠ ಅಂಕಗಳನ್ನು ಹುಡುಕಿ y = 2 (x + 1) 2 x - 2 .

ಪರಿಹಾರ

ಈ ಕಾರ್ಯದ ಡೊಮೇನ್ x = 2 ಹೊರತುಪಡಿಸಿ ಎಲ್ಲಾ ನೈಜ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು. ಮೊದಲಿಗೆ, ನಾವು ಕಾರ್ಯದ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಕಂಡುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ ಮತ್ತು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ:

y "= 2 x + 1 2 x - 2" = 2 x + 1 2 " (x - 2) - (x + 1) 2 (x - 2) " (x - 2) 2 = = 2 2 (x + 1) (x + 1) " (x - 2) - (x + 1) 2 1 (x - 2) 2 = 2 2 (x + 1) (x - 2) ) - (x + 2) 2 (x - 2) 2 = = 2 (x + 1) (x - 5) (x - 2) 2

ಇಲ್ಲಿಂದ ನಾವು ಕಾರ್ಯದ ಸೊನ್ನೆಗಳು x \u003d - 1, x \u003d 5, x \u003d 2 ಎಂದು ನೋಡುತ್ತೇವೆ, ಅಂದರೆ, ಪ್ರತಿ ಬ್ರಾಕೆಟ್ ಅನ್ನು ಶೂನ್ಯಕ್ಕೆ ಸಮನಾಗಿರಬೇಕು. ಸಂಖ್ಯೆಯ ಸಾಲಿನಲ್ಲಿ ಗುರುತಿಸಿ ಮತ್ತು ಪಡೆಯಿರಿ:

ಈಗ ನಾವು ಪ್ರತಿ ಮಧ್ಯಂತರದಿಂದ ಉತ್ಪನ್ನದ ಚಿಹ್ನೆಗಳನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸುತ್ತೇವೆ. ಮಧ್ಯಂತರದಲ್ಲಿ ಸೇರಿಸಲಾದ ಬಿಂದುವನ್ನು ಆಯ್ಕೆ ಮಾಡುವುದು ಅವಶ್ಯಕ, ಅದನ್ನು ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಗೆ ಬದಲಿಸಿ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಅಂಕಗಳು x = - 2, x = 0, x = 3, x = 6.

ನಾವು ಅದನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ

y "(- 2) \u003d 2 (x + 1) (x - 5) (x - 2) 2 x \u003d - 2 \u003d 2 (- 2 + 1) (- 2 - 5) (- 2 - 2 ) 2 \u003d 2 7 16 \u003d 7 8 > 0, ಆದ್ದರಿಂದ, ಮಧ್ಯಂತರ - ∞; - 1 ಧನಾತ್ಮಕ ಉತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ. ಹಾಗೆಯೇ, ನಾವು ಅದನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ

y "(0) = 2 (0 + 1) 0 - 5 0 - 2 2 = 2 - 5 4 = - 5 2< 0 y " (3) = 2 · (3 + 1) · (3 - 5) (3 - 2) 2 = 2 · - 8 1 = - 16 < 0 y " (6) = 2 · (6 + 1) · (6 - 5) (6 - 2) 2 = 2 · 7 16 = 7 8 > 0

ಎರಡನೇ ಮಧ್ಯಂತರವು ಶೂನ್ಯಕ್ಕಿಂತ ಕಡಿಮೆಯಿರುವುದರಿಂದ, ವಿಭಾಗದಲ್ಲಿನ ಉತ್ಪನ್ನವು ಋಣಾತ್ಮಕವಾಗಿರುತ್ತದೆ ಎಂದರ್ಥ. ಮೂರನೆಯದು ಮೈನಸ್‌ನೊಂದಿಗೆ, ನಾಲ್ಕನೆಯದು ಪ್ಲಸ್‌ನೊಂದಿಗೆ. ನಿರಂತರತೆಯನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸಲು, ಉತ್ಪನ್ನದ ಚಿಹ್ನೆಗೆ ಗಮನ ಕೊಡುವುದು ಅವಶ್ಯಕ, ಅದು ಬದಲಾದರೆ, ಇದು ವಿಪರೀತ ಬಿಂದುವಾಗಿದೆ.

x = - 1 ಹಂತದಲ್ಲಿ ಕಾರ್ಯವು ನಿರಂತರವಾಗಿರುತ್ತದೆ ಎಂದು ನಾವು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ, ಅಂದರೆ ಉತ್ಪನ್ನವು + ನಿಂದ - ಗೆ ಚಿಹ್ನೆಯನ್ನು ಬದಲಾಯಿಸುತ್ತದೆ. ಮೊದಲ ಚಿಹ್ನೆಯ ಪ್ರಕಾರ, ನಾವು x = - 1 ಗರಿಷ್ಠ ಬಿಂದುವನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ, ಅಂದರೆ ನಾವು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ

y m a x = y (- 1) = 2 (x + 1) 2 x - 2 x = - 1 = 2 (- 1 + 1) 2 - 1 - 2 = 0

ಪಾಯಿಂಟ್ x = 5 ಕಾರ್ಯವು ನಿರಂತರವಾಗಿದೆ ಎಂದು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವು - ರಿಂದ + ಗೆ ಚಿಹ್ನೆಯನ್ನು ಬದಲಾಯಿಸುತ್ತದೆ. ಆದ್ದರಿಂದ, x=-1 ಕನಿಷ್ಠ ಬಿಂದುವಾಗಿದೆ, ಮತ್ತು ಅದರ ಶೋಧನೆಯು ರೂಪವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ

y m i n = y (5) = 2 (x + 1) 2 x - 2 x = 5 = 2 (5 + 1) 2 5 - 2 = 24

ಗ್ರಾಫಿಕ್ ಚಿತ್ರ

ಉತ್ತರ: y m a x = y (- 1) = 0 , y m i n = y (5) = 24 .

ತೀವ್ರತೆಯ ಮೊದಲ ಸಾಕಷ್ಟು ಚಿಹ್ನೆಯ ಬಳಕೆಯು ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಪಾಯಿಂಟ್ x 0 ನಿಂದ ವಿಭಿನ್ನಗೊಳಿಸುವ ಅಗತ್ಯವಿಲ್ಲ ಎಂಬ ಅಂಶಕ್ಕೆ ಗಮನ ಕೊಡುವುದು ಯೋಗ್ಯವಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ಇದು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರವನ್ನು ಸರಳಗೊಳಿಸುತ್ತದೆ.

ಉದಾಹರಣೆ 2

y = 1 6 x 3 = 2 x 2 + 22 3 x - 8 ಕಾರ್ಯದ ಗರಿಷ್ಠ ಮತ್ತು ಕನಿಷ್ಠ ಅಂಕಗಳನ್ನು ಹುಡುಕಿ.

ಪರಿಹಾರ.

ಕಾರ್ಯದ ಡೊಮೇನ್ ಎಲ್ಲಾ ನೈಜ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು. ಇದನ್ನು ರೂಪದ ಸಮೀಕರಣಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯಾಗಿ ಬರೆಯಬಹುದು:

1 6 x 3 - 2 x 2 - 22 3 x - 8 , x< 0 1 6 x 3 - 2 x 2 + 22 3 x - 8 , x ≥ 0

ನಂತರ ನೀವು ಉತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಬೇಕು:

y " = 1 6 x 3 - 2 x 2 - 22 3 x - 8 " , x< 0 1 6 x 3 - 2 x 2 + 22 3 x - 8 " , x >0 y " = - 1 2 x 2 - 4 x - 22 3 , x< 0 1 2 x 2 - 4 x + 22 3 , x > 0

ಪಾಯಿಂಟ್ x = 0 ಯಾವುದೇ ಉತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಹೊಂದಿಲ್ಲ, ಏಕೆಂದರೆ ಏಕಪಕ್ಷೀಯ ಮಿತಿಗಳ ಮೌಲ್ಯಗಳು ವಿಭಿನ್ನವಾಗಿವೆ. ನಾವು ಅದನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ:

lim y "x → 0 - 0 = lim y x → 0 - 0 - 1 2 x 2 - 4 x - 22 3 = - 1 2 (0 - 0) 2 - 4 (0 - 0) - 22 3 = - 22 3 lim y "x → 0 + 0 = lim y x → 0 - 0 1 2 x 2 - 4 x + 22 3 = 1 2 (0 + 0) 2 - 4 (0 + 0) + 22 3 = + 22 3

x = 0 ಹಂತದಲ್ಲಿ ಕಾರ್ಯವು ನಿರಂತರವಾಗಿರುತ್ತದೆ ಎಂದು ಅದು ಅನುಸರಿಸುತ್ತದೆ, ನಂತರ ನಾವು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡುತ್ತೇವೆ

lim y x → 0 - 0 = lim x → 0 - 0 - 1 6 x 3 - 2 x 2 - 22 3 x - 8 = = - 1 6 (0 - 0) 3 - 2 (0 - 0) 2 - 22 3 (0 - 0) - 8 = - 8 lim y x → 0 + 0 = lim x → 0 - 0 1 6 x 3 - 2 x 2 + 22 3 x - 8 = = 1 6 (0 + 0) 3 - 2 ( 0 + 0) 2 + 22 3 (0 + 0) - 8 = - 8 y (0) = 1 6 x 3 - 2 x 2 + 22 3 x - 8 x = 0 = 1 6 0 3 - 2 0 2 + 22 3 0 - 8 = - 8

ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವು ಶೂನ್ಯವಾದಾಗ ವಾದದ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರಗಳನ್ನು ನಿರ್ವಹಿಸುವುದು ಅವಶ್ಯಕ:

1 2 x 2 - 4 x - 22 3 , x< 0 D = (- 4) 2 - 4 · - 1 2 · - 22 3 = 4 3 x 1 = 4 + 4 3 2 · - 1 2 = - 4 - 2 3 3 < 0 x 2 = 4 - 4 3 2 · - 1 2 = - 4 + 2 3 3 < 0

1 2 x 2 - 4 x + 22 3 , x > 0 D = (- 4) 2 - 4 1 2 22 3 = 4 3 x 3 = 4 + 4 3 2 1 2 = 4 + 2 3 3 > 0 x 4 = 4 - 4 3 2 1 2 = 4 - 2 3 3 > 0

ಪ್ರತಿ ಮಧ್ಯಂತರದ ಚಿಹ್ನೆಯನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸಲು ಪಡೆದ ಎಲ್ಲಾ ಅಂಕಗಳನ್ನು ಸಾಲಿನಲ್ಲಿ ಗುರುತಿಸಬೇಕು. ಆದ್ದರಿಂದ, ಪ್ರತಿ ಮಧ್ಯಂತರಕ್ಕೆ ಅನಿಯಂತ್ರಿತ ಬಿಂದುಗಳಲ್ಲಿ ಉತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡುವುದು ಅವಶ್ಯಕ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ನಾವು x = - 6, x = - 4, x = - 1, x = 1, x = 4, x = 6 ಮೌಲ್ಯಗಳೊಂದಿಗೆ ಅಂಕಗಳನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಬಹುದು. ನಾವು ಅದನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ

y " (- 6) \u003d - 1 2 x 2 - 4 x - 22 3 x \u003d - 6 \u003d - 1 2 - 6 2 - 4 (- 6) - 22 3 \u003d - 4 3< 0 y " (- 4) = - 1 2 x 2 - 4 x - 22 3 x = - 4 = - 1 2 · (- 4) 2 - 4 · (- 4) - 22 3 = 2 3 >0 y "(- 1) = - 1 2 x 2 - 4 x - 22 3 x = - 1 = - 1 2 (- 1) 2 - 4 (- 1) - 22 3 = 23 6< 0 y " (1) = 1 2 x 2 - 4 x + 22 3 x = 1 = 1 2 · 1 2 - 4 · 1 + 22 3 = 23 6 >0 y "(4) = 1 2 x 2 - 4 x + 22 3 x = 4 = 1 2 4 2 - 4 4 + 22 3 = - 2 3< 0 y " (6) = 1 2 x 2 - 4 x + 22 3 x = 6 = 1 2 · 6 2 - 4 · 6 + 22 3 = 4 3 > 0

ನೇರ ರೇಖೆಯಲ್ಲಿರುವ ಚಿತ್ರವು ರೂಪವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ

ಆದ್ದರಿಂದ, ವಿಪರೀತದ ಮೊದಲ ಚಿಹ್ನೆಯನ್ನು ಆಶ್ರಯಿಸುವುದು ಅವಶ್ಯಕ ಎಂಬ ಅಂಶಕ್ಕೆ ನಾವು ಬರುತ್ತೇವೆ. ನಾವು ಅದನ್ನು ಲೆಕ್ಕ ಹಾಕುತ್ತೇವೆ ಮತ್ತು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ

x = - 4 - 2 3 3, x = 0, x = 4 + 2 3 3, ನಂತರ ಇಲ್ಲಿಂದ ಗರಿಷ್ಠ ಅಂಕಗಳು x = - 4 + 2 3 3, x = 4 - 2 3 3 ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿವೆ

ಕನಿಷ್ಠ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರಕ್ಕೆ ಹೋಗೋಣ:

y m i n = y - 4 - 2 3 3 = 1 6 x 3 - 2 2 + 22 3 x - 8 x = - 4 - 2 3 3 = - 8 27 3 y m i n = y (0) = 1 6 x 3 - 2 2 + 22 3 x - 8 x = 0 = - 8 y m i n = y 4 + 2 3 3 = 1 6 x 3 - 2 2 + 22 3 x - 8 x = 4 + 2 3 3 = - 8 27 3

ಕಾರ್ಯದ ಗರಿಷ್ಠವನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡೋಣ. ನಾವು ಅದನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ

y m a x = y - 4 + 2 3 3 = 1 6 x 3 - 2 2 + 22 3 x - 8 x = - 4 + 2 3 3 = 8 27 3 y m a x = y 4 - 2 3 3 = 1 6 x 3 - 2 2 + 22 3 x - 8 x = 4 - 2 3 3 = 8 27 3

ಗ್ರಾಫಿಕ್ ಚಿತ್ರ

ಉತ್ತರ:

y m i n = y - 4 - 2 3 3 = - 8 27 3 y m i n = y (0) = - 8 y m i n = y 4 + 2 3 3 = - 8 27 3 y m a x = y - 4 + 2 3 3 = 8 y 27 = y 4 - 2 3 3 = 8 27 3

f "(x 0) = 0 ಕಾರ್ಯವನ್ನು ನೀಡಿದರೆ, ಅದರ f "" (x 0) > 0 ಜೊತೆಗೆ f "" (x 0) ಆಗಿದ್ದರೆ x 0 ಕನಿಷ್ಠ ಬಿಂದು ಎಂದು ನಾವು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ.< 0 , то точкой максимума. Признак связан с нахождением производной в точке x 0 .

ಉದಾಹರಣೆ 3

y = 8 x x + 1 ಕಾರ್ಯದ ಗರಿಷ್ಠ ಮತ್ತು ಕನಿಷ್ಠವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ.

ಪರಿಹಾರ

ಮೊದಲಿಗೆ, ನಾವು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದ ಡೊಮೇನ್ ಅನ್ನು ಕಂಡುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ. ನಾವು ಅದನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ

D (y) : x ≥ 0 x ≠ - 1 ⇔ x ≥ 0

ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಪ್ರತ್ಯೇಕಿಸುವುದು ಅವಶ್ಯಕ, ಅದರ ನಂತರ ನಾವು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ

y "= 8 x x + 1" = 8 x " (x + 1) - x (x + 1) " (x + 1) 2 = = 8 1 2 x (x + 1) - x 1 (x + 1) 2 = 4 x + 1 - 2 x (x + 1) 2 x = 4 - x + 1 (x + 1) 2 x

x = 1 ಆಗಿರುವಾಗ, ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವು ಶೂನ್ಯಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ, ಅಂದರೆ ಬಿಂದುವು ಸಂಭವನೀಯ ವಿಪರೀತವಾಗಿದೆ. ಸ್ಪಷ್ಟೀಕರಣಕ್ಕಾಗಿ, ಎರಡನೇ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವುದು ಮತ್ತು ಮೌಲ್ಯವನ್ನು x \u003d 1 ನಲ್ಲಿ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡುವುದು ಅವಶ್ಯಕ. ನಾವು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ:

y "" = 4 - x + 1 (x + 1) 2 x " = = 4 (- x + 1) " (x + 1) 2 x - (- x + 1) x + 1 2 x "(x + 1) 4 x = = 4 (- 1) (x + 1) 2 x - (- x + 1) x + 1 2" x + (x + 1) 2 x "(x + 1) 4 x == 4 - (x + 1) 2 x - (- x + 1) 2 x + 1 (x + 1)" x + (x + 1) 2 2 x (x + 1) 4 x = = - (x + 1) 2 x - (- x + 1) x + 1 2 x + x + 1 2 x (x + 1) 4 x = = 2 3 x 2 - 6 x - 1 x + 1 3 x 3 ⇒ y "" (1 ) = 2 3 1 2 - 6 1 - 1 (1 + 1) 3 (1) 3 = 2 - 4 8 = - 1< 0

ಆದ್ದರಿಂದ, ತೀವ್ರತೆಗೆ 2 ಸಾಕಷ್ಟು ಸ್ಥಿತಿಯನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು, ನಾವು x = 1 ಗರಿಷ್ಠ ಬಿಂದು ಎಂದು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ. ಇಲ್ಲದಿದ್ದರೆ, ನಮೂದು y m a x = y (1) = 8 1 1 + 1 = 4 .

ಗ್ರಾಫಿಕ್ ಚಿತ್ರ

ಉತ್ತರ: y m a x = y (1) = 4 ..

y = f (x) ಕಾರ್ಯವು ಅದರ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವನ್ನು ನೀಡಲಾದ ಪಾಯಿಂಟ್ x 0 ನ ε ನೆರೆಹೊರೆಯಲ್ಲಿ n ನೇ ಕ್ರಮಾಂಕದವರೆಗೆ ಮತ್ತು x 0 ಬಿಂದುವಿನಲ್ಲಿ n + 1 ನೇ ಕ್ರಮದವರೆಗೆ ಅದರ ಉತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ. ನಂತರ f "(x 0) = f "" (x 0) = f "" " (x 0) = . . . = f n (x 0) = 0 .

n ಸಮಸಂಖ್ಯೆಯಾಗಿದ್ದಾಗ, x 0 ಅನ್ನು ಇನ್ಫ್ಲೆಕ್ಷನ್ ಪಾಯಿಂಟ್ ಎಂದು ಪರಿಗಣಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ, n ಬೆಸ ಸಂಖ್ಯೆಯಾಗಿದ್ದಾಗ, ನಂತರ x 0 ಒಂದು ತೀವ್ರ ಬಿಂದು, ಮತ್ತು f (n + 1) (x 0) > 0, ನಂತರ x 0 ಕನಿಷ್ಠ ಬಿಂದುವಾಗಿದೆ, f(n+1)(x0)< 0 , тогда x 0 является точкой максимума.

ಉದಾಹರಣೆ 4

y y = 1 16 (x + 1) 3 (x - 3) 4 ಕಾರ್ಯದ ಗರಿಷ್ಠ ಮತ್ತು ಕನಿಷ್ಠ ಅಂಕಗಳನ್ನು ಹುಡುಕಿ.

ಪರಿಹಾರ

ಮೂಲ ಕಾರ್ಯವು ಸಂಪೂರ್ಣ ಭಾಗಲಬ್ಧವಾಗಿದೆ, ಆದ್ದರಿಂದ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದ ಡೊಮೇನ್ ಎಲ್ಲಾ ನೈಜ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು ಎಂದು ಅನುಸರಿಸುತ್ತದೆ. ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಪ್ರತ್ಯೇಕಿಸಬೇಕಾಗಿದೆ. ನಾವು ಅದನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ

y "= 1 16 x + 1 3" (x - 3) 4 + (x + 1) 3 x - 3 4 " == 1 16 (3 (x + 1) 2 (x - 3) 4 + (x + 1) 3 4 (x - 3) 3) = = 1 16 (x + 1) 2 (x - 3) 3 (3 x - 9 + 4 x + 4) = 1 16 (x + 1) 2 (x - 3) 3 (7 x - 5)

ಈ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವು x 1 = - 1, x 2 = 5 7, x 3 = 3 ನಲ್ಲಿ ಶೂನ್ಯಕ್ಕೆ ಹೋಗುತ್ತದೆ. ಅಂದರೆ, ಬಿಂದುಗಳು ಸಂಭವನೀಯ ತೀವ್ರತೆಯ ಬಿಂದುಗಳಾಗಿರಬಹುದು. ಮೂರನೇ ಸಾಕಷ್ಟು ವಿಪರೀತ ಸ್ಥಿತಿಯನ್ನು ಅನ್ವಯಿಸುವುದು ಅವಶ್ಯಕ. ಎರಡನೆಯ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವುದು ಗರಿಷ್ಠ ಮತ್ತು ಕನಿಷ್ಠ ಕಾರ್ಯದ ಉಪಸ್ಥಿತಿಯನ್ನು ನಿಖರವಾಗಿ ನಿರ್ಧರಿಸಲು ನಿಮಗೆ ಅನುಮತಿಸುತ್ತದೆ. ಎರಡನೆಯ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಅದರ ಸಂಭವನೀಯ ತೀವ್ರತೆಯ ಬಿಂದುಗಳಲ್ಲಿ ಲೆಕ್ಕಹಾಕಲಾಗುತ್ತದೆ. ನಾವು ಅದನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ

y "" = 1 16 x + 1 2 (x - 3) 3 (7 x - 5) " = 1 8 (x + 1) (x - 3) 2 (21 x 2 - 30 x - 3) y "" (- 1) = 0 y "" 5 7 = - 36864 2401< 0 y "" (3) = 0

ಇದರರ್ಥ x 2 \u003d 5 7 ಗರಿಷ್ಠ ಬಿಂದುವಾಗಿದೆ. 3 ಸಾಕಷ್ಟು ಮಾನದಂಡಗಳನ್ನು ಅನ್ವಯಿಸುವುದರಿಂದ, ನಾವು n = 1 ಮತ್ತು f (n + 1) 5 7 ಗಾಗಿ ಅದನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ< 0 .

x 1 = - 1, x 3 = 3 ಬಿಂದುಗಳ ಸ್ವರೂಪವನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸುವುದು ಅವಶ್ಯಕ. ಇದನ್ನು ಮಾಡಲು, ನೀವು ಮೂರನೇ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಬೇಕು, ಈ ಹಂತಗಳಲ್ಲಿ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡಿ. ನಾವು ಅದನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ

y "" " = 1 8 (x + 1) (x - 3) 2 (21 x 2 - 30 x - 3) " == 1 8 (x - 3) (105 x 3 - 225 x 2 - 45 x + 93) y """ (- 1) = 96 ≠ 0 y "" " (3) = 0

ಆದ್ದರಿಂದ, x 1 = - 1 ಕಾರ್ಯದ ವಿಭಕ್ತಿ ಬಿಂದುವಾಗಿದೆ, ಏಕೆಂದರೆ n = 2 ಮತ್ತು f (n + 1) (- 1) ≠ 0. ಪಾಯಿಂಟ್ x 3 = 3 ಅನ್ನು ತನಿಖೆ ಮಾಡುವುದು ಅವಶ್ಯಕ. ಇದನ್ನು ಮಾಡಲು, ನಾವು 4 ನೇ ಉತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಕಂಡುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ ಮತ್ತು ಈ ಹಂತದಲ್ಲಿ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರಗಳನ್ನು ನಿರ್ವಹಿಸುತ್ತೇವೆ:

y (4) = 1 8 (x - 3) (105 x 3 - 225 x 2 - 45 x + 93) " == 1 2 (105 x 3 - 405 x 2 + 315 x + 57) y (4) ( 3) = 96 > 0

ಮೇಲಿನಿಂದ, x 3 \u003d 3 ಕಾರ್ಯದ ಕನಿಷ್ಠ ಬಿಂದು ಎಂದು ನಾವು ತೀರ್ಮಾನಿಸುತ್ತೇವೆ.

ಗ್ರಾಫಿಕ್ ಚಿತ್ರ

ಉತ್ತರ: x 2 \u003d 5 7 ಗರಿಷ್ಠ ಬಿಂದು, x 3 \u003d 3 - ನೀಡಿದ ಕಾರ್ಯದ ಕನಿಷ್ಠ ಬಿಂದು.

ಪಠ್ಯದಲ್ಲಿ ನೀವು ತಪ್ಪನ್ನು ಗಮನಿಸಿದರೆ, ದಯವಿಟ್ಟು ಅದನ್ನು ಹೈಲೈಟ್ ಮಾಡಿ ಮತ್ತು Ctrl+Enter ಒತ್ತಿರಿ

ಇದು ಸಂಪೂರ್ಣವಾಗಿ ಎಲ್ಲಾ ಪದವಿ ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿಗಳು ಮತ್ತು ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿಗಳು ಎದುರಿಸುತ್ತಿರುವ ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದ ಬದಲಿಗೆ ಆಸಕ್ತಿದಾಯಕ ವಿಭಾಗವಾಗಿದೆ. ಆದಾಗ್ಯೂ, ಎಲ್ಲರೂ ಮಾತನ್ ಅನ್ನು ಇಷ್ಟಪಡುವುದಿಲ್ಲ. ತೋರಿಕೆಯಲ್ಲಿ ಪ್ರಮಾಣಿತ ಕಾರ್ಯದ ಅಧ್ಯಯನದಂತಹ ಮೂಲಭೂತ ವಿಷಯಗಳನ್ನು ಅರ್ಥಮಾಡಿಕೊಳ್ಳಲು ಕೆಲವರು ವಿಫಲರಾಗುತ್ತಾರೆ. ಈ ಪ್ರಮಾದವನ್ನು ಸರಿಪಡಿಸಲು ಈ ಲೇಖನವು ಉದ್ದೇಶಿಸಿದೆ. ಕಾರ್ಯ ವಿಶ್ಲೇಷಣೆಯ ಕುರಿತು ಇನ್ನಷ್ಟು ತಿಳಿದುಕೊಳ್ಳಲು ಬಯಸುವಿರಾ? ವಿಪರೀತ ಬಿಂದುಗಳು ಯಾವುವು ಮತ್ತು ಅವುಗಳನ್ನು ಹೇಗೆ ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವುದು ಎಂದು ತಿಳಿಯಲು ನೀವು ಬಯಸುವಿರಾ? ಹಾಗಾದರೆ ಈ ಲೇಖನ ನಿಮಗಾಗಿ.

ಕಾರ್ಯವೊಂದರ ಗ್ರಾಫ್‌ನ ತನಿಖೆ

ಮೊದಲಿಗೆ, ಚಾರ್ಟ್ ಅನ್ನು ಏಕೆ ವಿಶ್ಲೇಷಿಸಬೇಕು ಎಂಬುದನ್ನು ಅರ್ಥಮಾಡಿಕೊಳ್ಳುವುದು ಯೋಗ್ಯವಾಗಿದೆ. ಸೆಳೆಯಲು ಸುಲಭವಾದ ಸರಳ ಕಾರ್ಯಗಳಿವೆ. ಅಂತಹ ಕ್ರಿಯೆಯ ಒಂದು ಗಮನಾರ್ಹ ಉದಾಹರಣೆಯೆಂದರೆ ಪ್ಯಾರಾಬೋಲಾ. ಅವಳ ಚಾರ್ಟ್ ಅನ್ನು ಸೆಳೆಯುವುದು ಕಷ್ಟವೇನಲ್ಲ. ಅಗತ್ಯವಿರುವ ಎಲ್ಲಾ, ಸರಳ ರೂಪಾಂತರವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು, ಕಾರ್ಯವು 0 ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುವ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವುದು. ಮತ್ತು ತಾತ್ವಿಕವಾಗಿ, ಪ್ಯಾರಾಬೋಲಾ ಗ್ರಾಫ್ ಅನ್ನು ಸೆಳೆಯಲು ನೀವು ತಿಳಿದುಕೊಳ್ಳಬೇಕಾದದ್ದು ಇದು.

ಆದರೆ ನಾವು ಗ್ರಾಫ್ ಮಾಡಬೇಕಾದ ಕಾರ್ಯವು ಹೆಚ್ಚು ಜಟಿಲವಾಗಿದ್ದರೆ ಏನು? ಸಂಕೀರ್ಣ ಕಾರ್ಯಗಳ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳು ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿಲ್ಲದ ಕಾರಣ, ಸಂಪೂರ್ಣ ವಿಶ್ಲೇಷಣೆಯನ್ನು ಕೈಗೊಳ್ಳುವುದು ಅವಶ್ಯಕ. ಆಗ ಮಾತ್ರ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಚಿತ್ರಾತ್ಮಕವಾಗಿ ಪ್ರತಿನಿಧಿಸಬಹುದು. ಅದನ್ನು ಹೇಗೆ ಮಾಡುವುದು? ಈ ಲೇಖನದಲ್ಲಿ ಈ ಪ್ರಶ್ನೆಗೆ ಉತ್ತರವನ್ನು ನೀವು ಕಾಣಬಹುದು.

ಕಾರ್ಯ ವಿಶ್ಲೇಷಣೆ ಯೋಜನೆ

ಕಾರ್ಯದ ಬಾಹ್ಯ ಅಧ್ಯಯನವನ್ನು ನಡೆಸುವುದು ಮೊದಲನೆಯದು, ಈ ಸಮಯದಲ್ಲಿ ನಾವು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದ ಡೊಮೇನ್ ಅನ್ನು ಕಂಡುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ. ಆದ್ದರಿಂದ, ಕ್ರಮವಾಗಿ ಪ್ರಾರಂಭಿಸೋಣ. ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದ ಡೊಮೇನ್ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸುವ ಮೌಲ್ಯಗಳ ಗುಂಪಾಗಿದೆ. ಸರಳವಾಗಿ ಹೇಳುವುದಾದರೆ, ಇವುಗಳು x ಬದಲಿಗೆ ಕಾರ್ಯದಲ್ಲಿ ಬಳಸಬಹುದಾದ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಾಗಿವೆ. ವ್ಯಾಪ್ತಿಯನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸಲು, ನೀವು ದಾಖಲೆಯನ್ನು ನೋಡಬೇಕು. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, y (x) \u003d x 3 + x 2 - x + 43 ಕಾರ್ಯವು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದ ಡೊಮೇನ್ ಅನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ ಎಂಬುದು ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿದೆ - ನೈಜ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಸೆಟ್. ಸರಿ, (x 2 - 2x) / x ನಂತಹ ಕಾರ್ಯದೊಂದಿಗೆ, ಎಲ್ಲವೂ ಸ್ವಲ್ಪ ವಿಭಿನ್ನವಾಗಿದೆ. ಛೇದದಲ್ಲಿನ ಸಂಖ್ಯೆಯು 0 ಕ್ಕೆ ಸಮನಾಗಿರಬಾರದು, ನಂತರ ಈ ಕಾರ್ಯದ ಡೊಮೇನ್ ಶೂನ್ಯವನ್ನು ಹೊರತುಪಡಿಸಿ ಎಲ್ಲಾ ನೈಜ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಾಗಿರುತ್ತದೆ.

ಮುಂದೆ, ನೀವು ಕಾರ್ಯದ ಸೊನ್ನೆಗಳು ಎಂದು ಕರೆಯಲ್ಪಡುವದನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಬೇಕು. ಸಂಪೂರ್ಣ ಕಾರ್ಯವು ಶೂನ್ಯ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುವ ವಾದದ ಮೌಲ್ಯಗಳು ಇವು. ಇದನ್ನು ಮಾಡಲು, ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಶೂನ್ಯಕ್ಕೆ ಸಮೀಕರಿಸುವುದು ಅವಶ್ಯಕವಾಗಿದೆ, ಅದನ್ನು ವಿವರವಾಗಿ ಪರಿಗಣಿಸಿ ಮತ್ತು ಕೆಲವು ರೂಪಾಂತರಗಳನ್ನು ನಿರ್ವಹಿಸಿ. ನಾವು ಈಗಾಗಲೇ ಪರಿಚಿತವಾದ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳೋಣ y(x) = (x 2 - 2x)/x. ಶಾಲೆಯ ಕೋರ್ಸ್‌ನಿಂದ, ಅಂಶವು ಶೂನ್ಯವಾಗಿದ್ದಾಗ ಒಂದು ಭಾಗವು 0 ಎಂದು ನಮಗೆ ತಿಳಿದಿದೆ. ಆದ್ದರಿಂದ, ನಾವು ಛೇದವನ್ನು ತ್ಯಜಿಸುತ್ತೇವೆ ಮತ್ತು ಅಂಶದೊಂದಿಗೆ ಕೆಲಸ ಮಾಡಲು ಪ್ರಾರಂಭಿಸುತ್ತೇವೆ, ಅದನ್ನು ಶೂನ್ಯಕ್ಕೆ ಸಮೀಕರಿಸುತ್ತೇವೆ. ನಾವು x 2 - 2x \u003d 0 ಅನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ ಮತ್ತು ಬ್ರಾಕೆಟ್‌ಗಳಿಂದ x ಅನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ. ಆದ್ದರಿಂದ x (x - 2) \u003d 0. ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ, x 0 ಅಥವಾ 2 ಗೆ ಸಮಾನವಾದಾಗ ನಮ್ಮ ಕಾರ್ಯವು ಶೂನ್ಯಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ ಎಂದು ನಾವು ಕಂಡುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ.

ಕಾರ್ಯದ ಗ್ರಾಫ್ನ ಅಧ್ಯಯನದ ಸಮಯದಲ್ಲಿ, ಅನೇಕರು ವಿಪರೀತ ಬಿಂದುಗಳ ರೂಪದಲ್ಲಿ ಸಮಸ್ಯೆಯನ್ನು ಎದುರಿಸುತ್ತಾರೆ. ಮತ್ತು ಇದು ವಿಚಿತ್ರವಾಗಿದೆ. ಎಲ್ಲಾ ನಂತರ, ವಿಪರೀತಗಳು ಸರಳವಾದ ವಿಷಯವಾಗಿದೆ. ನಂಬುವುದಿಲ್ಲವೇ? ಲೇಖನದ ಈ ಭಾಗವನ್ನು ಓದುವ ಮೂಲಕ ನಿಮಗಾಗಿ ನೋಡಿ, ಇದರಲ್ಲಿ ನಾವು ಕನಿಷ್ಠ ಮತ್ತು ಗರಿಷ್ಠ ಅಂಕಗಳ ಬಗ್ಗೆ ಮಾತನಾಡುತ್ತೇವೆ.

ಮೊದಲಿಗೆ, ವಿಪರೀತ ಎಂದರೇನು ಎಂಬುದನ್ನು ಅರ್ಥಮಾಡಿಕೊಳ್ಳುವುದು ಯೋಗ್ಯವಾಗಿದೆ. ಒಂದು ಎಕ್ಸ್‌ಟ್ರೀಮ್ ಎನ್ನುವುದು ಗ್ರಾಫ್‌ನಲ್ಲಿ ಕಾರ್ಯವು ತಲುಪುವ ಮಿತಿ ಮೌಲ್ಯವಾಗಿದೆ. ಇದರಿಂದ ಎರಡು ವಿಪರೀತ ಮೌಲ್ಯಗಳಿವೆ - ಗರಿಷ್ಠ ಮತ್ತು ಕನಿಷ್ಠ. ಸ್ಪಷ್ಟತೆಗಾಗಿ, ನೀವು ಮೇಲಿನ ಚಿತ್ರವನ್ನು ನೋಡಬಹುದು. ತನಿಖೆ ಮಾಡಿದ ಪ್ರದೇಶದಲ್ಲಿ, ಪಾಯಿಂಟ್ -1 y (x) \u003d x 5 - 5x ಕಾರ್ಯದ ಗರಿಷ್ಠವಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ಕ್ರಮವಾಗಿ ಪಾಯಿಂಟ್ 1 ಕನಿಷ್ಠವಾಗಿರುತ್ತದೆ.

ಅಲ್ಲದೆ, ಪರಿಕಲ್ಪನೆಗಳನ್ನು ಪರಸ್ಪರ ಗೊಂದಲಗೊಳಿಸಬೇಡಿ. ಫಂಕ್ಷನ್‌ನ ಎಕ್ಸ್‌ಟ್ರೀಮ್ ಪಾಯಿಂಟ್‌ಗಳು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಕಾರ್ಯವು ತೀವ್ರವಾದ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ಪಡೆಯುವ ವಾದಗಳಾಗಿವೆ. ಪ್ರತಿಯಾಗಿ, ಎಕ್ಸ್‌ಟ್ರೀಮ್ ಎನ್ನುವುದು ಕ್ರಿಯೆಯ ಕನಿಷ್ಠ ಮತ್ತು ಗರಿಷ್ಠ ಮೌಲ್ಯವಾಗಿದೆ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಮೇಲಿನ ಚಿತ್ರವನ್ನು ಮತ್ತೊಮ್ಮೆ ಪರಿಗಣಿಸಿ. -1 ಮತ್ತು 1 ಕಾರ್ಯದ ತೀವ್ರ ಬಿಂದುಗಳು, ಮತ್ತು 4 ಮತ್ತು -4 ಸ್ವತಃ ವಿಪರೀತಗಳು.

ವಿಪರೀತ ಬಿಂದುಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವುದು

ಆದರೆ ಕಾರ್ಯದ ತೀವ್ರ ಬಿಂದುಗಳನ್ನು ನೀವು ಹೇಗೆ ಕಂಡುಹಿಡಿಯುತ್ತೀರಿ? ಎಲ್ಲವೂ ಬಹಳ ಸರಳವಾಗಿದೆ. ಸಮೀಕರಣದ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವುದು ಮೊದಲನೆಯದು. ನಾವು ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಪಡೆದುಕೊಂಡಿದ್ದೇವೆ ಎಂದು ಹೇಳೋಣ: "y (x) ಕಾರ್ಯದ ತೀವ್ರ ಬಿಂದುಗಳನ್ನು ಹುಡುಕಿ, x ಎಂಬುದು ಆರ್ಗ್ಯುಮೆಂಟ್ ಆಗಿದೆ. ಸ್ಪಷ್ಟತೆಗಾಗಿ, ನಾವು y (x) \u003d x 3 + 2x 2 + x + 54 ಕಾರ್ಯವನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳೋಣ. ನಾವು ಪ್ರತ್ಯೇಕಿಸೋಣ ಮತ್ತು ಈ ಕೆಳಗಿನ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪಡೆಯಿರಿ: 3x 2 + 4x + 1. ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ, ನಾವು ಪ್ರಮಾಣಿತ ಚತುರ್ಭುಜ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪಡೆದುಕೊಂಡಿದ್ದೇವೆ. ಅದನ್ನು ಶೂನ್ಯಕ್ಕೆ ಸಮೀಕರಿಸುವುದು ಮತ್ತು ಬೇರುಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವುದು ಮಾತ್ರ ಅಗತ್ಯವಿದೆ. ತಾರತಮ್ಯವು ಶೂನ್ಯಕ್ಕಿಂತ ಹೆಚ್ಚಿರುವುದರಿಂದ (D \u003d 16 - 12 \u003d 4), ಈ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಎರಡು ಮೂಲಗಳಿಂದ ನಿರ್ಧರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ನಾವು ಅವುಗಳನ್ನು ಕಂಡುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ ಮತ್ತು ಎರಡು ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ: 1/3 ಮತ್ತು -1. ಇವುಗಳು ಕಾರ್ಯದ ತೀವ್ರ ಬಿಂದುಗಳಾಗಿವೆ. ಆದಾಗ್ಯೂ, ನೀವು ಇನ್ನೂ ಹೇಗೆ ನಿರ್ಧರಿಸಬಹುದು ಯಾರು ಯಾರು?ಯಾವ ಬಿಂದು ಗರಿಷ್ಠ ಮತ್ತು ಯಾವುದು ಕನಿಷ್ಟ -1 ರಿಂದ ಸಾಲು. ನಾವು ಈ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ನಮ್ಮ ಸಮೀಕರಣದಲ್ಲಿ ಬದಲಿಸುತ್ತೇವೆ y (-2) = 12 - 8 + 1 = 5. ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ, ನಾವು ಧನಾತ್ಮಕ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಪಡೆದುಕೊಂಡಿದ್ದೇವೆ. ಇದರರ್ಥ 1/3 ರಿಂದ -1 ರ ಮಧ್ಯಂತರದಲ್ಲಿ ಕಾರ್ಯವು ಹೆಚ್ಚಾಗುತ್ತದೆ, ಇದರರ್ಥ ನಿಮಿಷದಿಂದ ಮಧ್ಯಂತರಗಳಲ್ಲಿ ಅನಂತದಿಂದ 1/3 ಮತ್ತು -1 ರಿಂದ ಪ್ಲಸ್ ಅನಂತಕ್ಕೆ, ಕಾರ್ಯವು ಕಡಿಮೆಯಾಗುತ್ತದೆ. ಹೀಗಾಗಿ, ತನಿಖೆ ಮಾಡಿದ ಮಧ್ಯಂತರದಲ್ಲಿ 1/3 ಸಂಖ್ಯೆಯು ಕಾರ್ಯದ ಕನಿಷ್ಠ ಬಿಂದುವಾಗಿದೆ ಮತ್ತು -1 ಗರಿಷ್ಠ ಬಿಂದು ಎಂದು ನಾವು ತೀರ್ಮಾನಿಸಬಹುದು.

ಪರೀಕ್ಷೆಯು ತೀವ್ರವಾದ ಬಿಂದುಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವುದು ಮಾತ್ರವಲ್ಲ, ಅವರೊಂದಿಗೆ ಕೆಲವು ರೀತಿಯ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಯನ್ನು ನಡೆಸುವುದು (ಸೇರಿಸು, ಗುಣಿಸಿ, ಇತ್ಯಾದಿ) ಅಗತ್ಯವಾಗಿರುತ್ತದೆ ಎಂಬುದು ಗಮನಿಸಬೇಕಾದ ಸಂಗತಿ. ಈ ಕಾರಣಕ್ಕಾಗಿಯೇ ಸಮಸ್ಯೆಯ ಪರಿಸ್ಥಿತಿಗಳಿಗೆ ವಿಶೇಷ ಗಮನ ಕೊಡುವುದು ಯೋಗ್ಯವಾಗಿದೆ. ಎಲ್ಲಾ ನಂತರ, ಅಜಾಗರೂಕತೆಯಿಂದ, ನೀವು ಅಂಕಗಳನ್ನು ಕಳೆದುಕೊಳ್ಳಬಹುದು.

ವಿಷಯದ ಮೇಲೆ ಪಾಠ: "ಕಾರ್ಯಗಳ ತೀವ್ರ ಬಿಂದುಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವುದು. ಉದಾಹರಣೆಗಳು"

ಹೆಚ್ಚುವರಿ ವಸ್ತುಗಳು
ಆತ್ಮೀಯ ಬಳಕೆದಾರರೇ, ನಿಮ್ಮ ಕಾಮೆಂಟ್‌ಗಳು, ಪ್ರತಿಕ್ರಿಯೆ, ಸಲಹೆಗಳನ್ನು ಬಿಡಲು ಮರೆಯಬೇಡಿ! ಎಲ್ಲಾ ವಸ್ತುಗಳನ್ನು ಆಂಟಿವೈರಸ್ ಪ್ರೋಗ್ರಾಂ ಮೂಲಕ ಪರಿಶೀಲಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ.

1C ನಿಂದ ಗ್ರೇಡ್ 10 ಗಾಗಿ ಆನ್‌ಲೈನ್ ಸ್ಟೋರ್ "ಇಂಟೆಗ್ರಲ್" ನಲ್ಲಿ ಕೈಪಿಡಿಗಳು ಮತ್ತು ಸಿಮ್ಯುಲೇಟರ್‌ಗಳು
ನಾವು ಜ್ಯಾಮಿತಿಯಲ್ಲಿ ಸಮಸ್ಯೆಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುತ್ತೇವೆ. 7-10 ಶ್ರೇಣಿಗಳಿಗೆ ಸಂವಾದಾತ್ಮಕ ನಿರ್ಮಾಣ ಕಾರ್ಯಗಳು
ಸಾಫ್ಟ್‌ವೇರ್ ಪರಿಸರ "1C: ಗಣಿತದ ಕನ್‌ಸ್ಟ್ರಕ್ಟರ್ 6.1"

ನಾವು ಏನು ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡುತ್ತೇವೆ:
1. ಪರಿಚಯ.
2. ಕನಿಷ್ಠ ಮತ್ತು ಗರಿಷ್ಠ ಅಂಕಗಳು.

4. ತೀವ್ರತೆಯನ್ನು ಹೇಗೆ ಲೆಕ್ಕ ಹಾಕುವುದು?
5. ಉದಾಹರಣೆಗಳು.

ಕಾರ್ಯಗಳ ತೀವ್ರತೆಯ ಪರಿಚಯ

ಹುಡುಗರೇ, ಕೆಲವು ಕಾರ್ಯಗಳ ಗ್ರಾಫ್ ಅನ್ನು ನೋಡೋಣ:

ನಮ್ಮ ಕ್ರಿಯೆಯ y=f (x) ನ ವರ್ತನೆಯು x1 ಮತ್ತು x2 ಎಂಬ ಎರಡು ಬಿಂದುಗಳಿಂದ ಹೆಚ್ಚಾಗಿ ನಿರ್ಧರಿಸಲ್ಪಡುತ್ತದೆ ಎಂಬುದನ್ನು ಗಮನಿಸಿ. ಈ ಬಿಂದುಗಳಲ್ಲಿ ಮತ್ತು ಅದರ ಸುತ್ತಲಿನ ಕಾರ್ಯದ ಗ್ರಾಫ್ ಅನ್ನು ಹತ್ತಿರದಿಂದ ನೋಡೋಣ. ಪಾಯಿಂಟ್ x2 ವರೆಗೆ, ಕಾರ್ಯವು ಹೆಚ್ಚಾಗುತ್ತದೆ, ಪಾಯಿಂಟ್ x2 ನಲ್ಲಿ ಒಂದು ಒಳಹರಿವು ಇರುತ್ತದೆ, ಮತ್ತು ಈ ಹಂತದ ನಂತರ, ಕಾರ್ಯವು ಪಾಯಿಂಟ್ x1 ಗೆ ಕಡಿಮೆಯಾಗುತ್ತದೆ. ಪಾಯಿಂಟ್ x1 ನಲ್ಲಿ, ಕಾರ್ಯವು ಮತ್ತೆ ಬಾಗುತ್ತದೆ, ಮತ್ತು ಅದರ ನಂತರ ಅದು ಮತ್ತೆ ಹೆಚ್ಚಾಗುತ್ತದೆ. ಪಾಯಿಂಟ್‌ಗಳು x1 ಮತ್ತು x2 ಅನ್ನು ಸದ್ಯಕ್ಕೆ ಇನ್‌ಫ್ಲೆಕ್ಷನ್ ಪಾಯಿಂಟ್‌ಗಳು ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಈ ಹಂತಗಳಲ್ಲಿ ಸ್ಪರ್ಶಕಗಳನ್ನು ಸೆಳೆಯೋಣ:

ನಮ್ಮ ಬಿಂದುಗಳಲ್ಲಿನ ಸ್ಪರ್ಶಕಗಳು x-ಅಕ್ಷಕ್ಕೆ ಸಮಾನಾಂತರವಾಗಿರುತ್ತವೆ, ಅಂದರೆ ಸ್ಪರ್ಶದ ಇಳಿಜಾರು ಶೂನ್ಯವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಇದರರ್ಥ ಈ ಹಂತಗಳಲ್ಲಿ ನಮ್ಮ ಕ್ರಿಯೆಯ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವು ಶೂನ್ಯವಾಗಿರುತ್ತದೆ.

ಈ ಕಾರ್ಯದ ಗ್ರಾಫ್ ಅನ್ನು ನೋಡೋಣ:

x2 ಮತ್ತು x1 ಬಿಂದುಗಳಲ್ಲಿ ಸ್ಪರ್ಶಕಗಳನ್ನು ಎಳೆಯಲಾಗುವುದಿಲ್ಲ. ಆದ್ದರಿಂದ, ಈ ಹಂತಗಳಲ್ಲಿ ಉತ್ಪನ್ನವು ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿಲ್ಲ. ಈಗ ಎರಡು ಚಾರ್ಟ್‌ಗಳಲ್ಲಿನ ನಮ್ಮ ಅಂಕಗಳನ್ನು ಮತ್ತೊಮ್ಮೆ ನೋಡೋಣ. ಪಾಯಿಂಟ್ x2 ಎನ್ನುವುದು ಕಾರ್ಯವು ಕೆಲವು ಪ್ರದೇಶದಲ್ಲಿ ಅದರ ಗರಿಷ್ಠ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ತಲುಪುವ ಬಿಂದುವಾಗಿದೆ (ಪಾಯಿಂಟ್ x2 ಹತ್ತಿರ). ಪಾಯಿಂಟ್ x1 ಎನ್ನುವುದು ಕಾರ್ಯವು ಕೆಲವು ಪ್ರದೇಶದಲ್ಲಿ ಅದರ ಚಿಕ್ಕ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ತಲುಪುವ ಬಿಂದುವಾಗಿದೆ (ಪಾಯಿಂಟ್ x1 ಹತ್ತಿರ).

ಹೆಚ್ಚಿನ ಮತ್ತು ಕಡಿಮೆ ಅಂಕಗಳು

ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ: ಈ ಕೆಳಗಿನ ಅಸಮಾನತೆಯು ನಿಜವಾಗಿರುವ x0 ಬಿಂದುವಿನ ನೆರೆಹೊರೆ ಇದ್ದರೆ x= x0 ಅನ್ನು y=f(x) ಕಾರ್ಯದ ಕನಿಷ್ಠ ಬಿಂದು ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ: f(x) ≥ f(x0).

ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ: ಈ ಕೆಳಗಿನ ಅಸಮಾನತೆಯು ನಿಜವಾಗಿರುವ x0 ಬಿಂದುವಿನ ನೆರೆಹೊರೆ ಇದ್ದರೆ x=x0 ಅನ್ನು y=f(x) ಕಾರ್ಯದ ಗರಿಷ್ಠ ಬಿಂದು ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ: f(x) ≤ f(x0).

ಹುಡುಗರೇ, ನೆರೆಹೊರೆ ಎಂದರೇನು?

ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ: ಬಿಂದುವಿನ ನೆರೆಹೊರೆಯು ನಮ್ಮ ಬಿಂದುವನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಮತ್ತು ಅದಕ್ಕೆ ಹತ್ತಿರವಿರುವ ಬಿಂದುಗಳ ಗುಂಪಾಗಿದೆ.

ನೆರೆಹೊರೆಯನ್ನು ನಾವೇ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಬಹುದು. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, x=2 ಬಿಂದುವಿಗೆ, ನಾವು ನೆರೆಹೊರೆಯನ್ನು ಅಂಕಗಳು 1 ಮತ್ತು 3 ಎಂದು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಬಹುದು.

ನಮ್ಮ ಗ್ರಾಫ್‌ಗಳಿಗೆ ಹಿಂತಿರುಗಿ ನೋಡೋಣ, ಪಾಯಿಂಟ್ x2 ಅನ್ನು ನೋಡಿ, ಇದು ಕೆಲವು ನೆರೆಹೊರೆಯಿಂದ ಎಲ್ಲಾ ಇತರ ಬಿಂದುಗಳಿಗಿಂತ ದೊಡ್ಡದಾಗಿದೆ, ನಂತರ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದಿಂದ ಇದು ಗರಿಷ್ಠ ಬಿಂದುವಾಗಿದೆ. ಈಗ ಪಾಯಿಂಟ್ x1 ಅನ್ನು ನೋಡೋಣ, ಇದು ಕೆಲವು ನೆರೆಹೊರೆಯಿಂದ ಎಲ್ಲಾ ಇತರ ಬಿಂದುಗಳಿಗಿಂತ ಕಡಿಮೆಯಾಗಿದೆ, ನಂತರ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದಿಂದ ಇದು ಕನಿಷ್ಠ ಬಿಂದುವಾಗಿದೆ.

ಹುಡುಗರೇ, ನಾವು ಸಂಕೇತವನ್ನು ಪರಿಚಯಿಸೋಣ:

Ymin - ಕನಿಷ್ಠ ಪಾಯಿಂಟ್,
ymax - ಗರಿಷ್ಠ ಬಿಂದು.

ಪ್ರಮುಖ!ಹುಡುಗರೇ, ಕಾರ್ಯದ ಚಿಕ್ಕ ಮತ್ತು ದೊಡ್ಡ ಮೌಲ್ಯದೊಂದಿಗೆ ಗರಿಷ್ಠ ಮತ್ತು ಕನಿಷ್ಠ ಅಂಕಗಳನ್ನು ಗೊಂದಲಗೊಳಿಸಬೇಡಿ. ಕೊಟ್ಟಿರುವ ಕಾರ್ಯದ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದ ಸಂಪೂರ್ಣ ಡೊಮೇನ್‌ನಲ್ಲಿ ಚಿಕ್ಕ ಮತ್ತು ದೊಡ್ಡ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ಹುಡುಕಲಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಕೆಲವು ನೆರೆಹೊರೆಯಲ್ಲಿ ಕನಿಷ್ಠ ಮತ್ತು ಗರಿಷ್ಠ ಅಂಕಗಳನ್ನು ಹುಡುಕಲಾಗುತ್ತದೆ.

ಕಾರ್ಯ ವಿಪರೀತ

ಕನಿಷ್ಠ ಮತ್ತು ಗರಿಷ್ಠ ಬಿಂದುಗಳಿಗೆ ಸಾಮಾನ್ಯ ಪದವಿದೆ - ತೀವ್ರ ಬಿಂದುಗಳು.

ಎಕ್ಸ್ಟ್ರೀಮಮ್ (ಲ್ಯಾಟ್. ಎಕ್ಸ್ಟ್ರೀಮ್ - ಎಕ್ಸ್ಟ್ರೀಮ್) - ಕೊಟ್ಟಿರುವ ಸೆಟ್ನಲ್ಲಿನ ಕಾರ್ಯದ ಗರಿಷ್ಠ ಅಥವಾ ಕನಿಷ್ಠ ಮೌಲ್ಯ. ಅತಿರೇಕವನ್ನು ತಲುಪುವ ಬಿಂದುವನ್ನು ವಿಪರೀತ ಬಿಂದು ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ.

ಅದರಂತೆ, ಕನಿಷ್ಠವನ್ನು ತಲುಪಿದರೆ, ವಿಪರೀತ ಬಿಂದುವನ್ನು ಕನಿಷ್ಠ ಬಿಂದು ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ, ಮತ್ತು ಗರಿಷ್ಠವನ್ನು ತಲುಪಿದರೆ, ಗರಿಷ್ಠ ಬಿಂದು.

ಕ್ರಿಯೆಯ ತೀವ್ರತೆಯನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವುದು ಹೇಗೆ?

ನಮ್ಮ ಚಾರ್ಟ್‌ಗಳಿಗೆ ಹಿಂತಿರುಗಿ ನೋಡೋಣ. ನಮ್ಮ ಹಂತಗಳಲ್ಲಿ, ಉತ್ಪನ್ನವು ಕಣ್ಮರೆಯಾಗುತ್ತದೆ (ಮೊದಲ ಗ್ರಾಫ್‌ನಲ್ಲಿ) ಅಥವಾ ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿಲ್ಲ (ಎರಡನೆಯ ಗ್ರಾಫ್‌ನಲ್ಲಿ).

ನಂತರ ನಾವು ಒಂದು ಪ್ರಮುಖ ಹೇಳಿಕೆಯನ್ನು ನೀಡಬಹುದು: y= f(x) ಕಾರ್ಯವು x=x0 ಬಿಂದುವಿನಲ್ಲಿ ತೀವ್ರತೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದರೆ, ಈ ಹಂತದಲ್ಲಿ ಕಾರ್ಯದ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವು ಶೂನ್ಯಕ್ಕೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ ಅಥವಾ ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿಲ್ಲ.

ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವು ಶೂನ್ಯಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುವ ಬಿಂದುಗಳನ್ನು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಸ್ಥಾಯಿ.

ಕ್ರಿಯೆಯ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನ ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿಲ್ಲದ ಬಿಂದುಗಳನ್ನು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ನಿರ್ಣಾಯಕ.

ವಿಪರೀತಗಳನ್ನು ಹೇಗೆ ಲೆಕ್ಕ ಹಾಕುವುದು?

ಗೆಳೆಯರೇ, ಕಾರ್ಯದ ಮೊದಲ ಗ್ರಾಫ್‌ಗೆ ಹಿಂತಿರುಗಿ ನೋಡೋಣ:

ಈ ಗ್ರಾಫ್ ಅನ್ನು ವಿಶ್ಲೇಷಿಸಿ, ನಾವು ಹೇಳಿದ್ದೇವೆ: ಪಾಯಿಂಟ್ x2 ವರೆಗೆ ಕಾರ್ಯವು ಹೆಚ್ಚಾಗುತ್ತದೆ, ಪಾಯಿಂಟ್ x2 ನಲ್ಲಿ ಒಂದು ಒಳಹರಿವು ಇರುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಈ ಹಂತದ ನಂತರ ಕಾರ್ಯವು ಪಾಯಿಂಟ್ x1 ಗೆ ಕಡಿಮೆಯಾಗುತ್ತದೆ. ಪಾಯಿಂಟ್ x1 ನಲ್ಲಿ, ಕಾರ್ಯವು ಮತ್ತೆ ಬಾಗುತ್ತದೆ, ಮತ್ತು ಅದರ ನಂತರ ಕಾರ್ಯವು ಮತ್ತೆ ಹೆಚ್ಚಾಗುತ್ತದೆ.

ಅಂತಹ ತಾರ್ಕಿಕತೆಯ ಆಧಾರದ ಮೇಲೆ, ವಿಪರೀತ ಬಿಂದುಗಳಲ್ಲಿನ ಕಾರ್ಯವು ಏಕತಾನತೆಯ ಸ್ವರೂಪವನ್ನು ಬದಲಾಯಿಸುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಆದ್ದರಿಂದ ಉತ್ಪನ್ನದ ಕಾರ್ಯವು ಚಿಹ್ನೆಯನ್ನು ಬದಲಾಯಿಸುತ್ತದೆ ಎಂದು ನಾವು ತೀರ್ಮಾನಿಸಬಹುದು. ಫಂಕ್ಷನ್ ಕಡಿಮೆಯಾಗುತ್ತಿದ್ದರೆ, ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವು ಶೂನ್ಯಕ್ಕಿಂತ ಕಡಿಮೆ ಅಥವಾ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಕಾರ್ಯವು ಹೆಚ್ಚಾಗುತ್ತಿದ್ದರೆ, ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವು ಶೂನ್ಯಕ್ಕಿಂತ ಹೆಚ್ಚಾಗಿರುತ್ತದೆ ಅಥವಾ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ ಎಂದು ನೆನಪಿಸಿಕೊಳ್ಳಿ.

ಹೇಳಿಕೆಯ ಮೂಲಕ ಪಡೆದ ಜ್ಞಾನವನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯೀಕರಿಸೋಣ:

ಪ್ರಮೇಯ: ಸಾಕಷ್ಟು ವಿಪರೀತ ಸ್ಥಿತಿ: y=f(x) ಕಾರ್ಯವು ಕೆಲವು ಮಧ್ಯಂತರ X ನಲ್ಲಿ ನಿರಂತರವಾಗಿರಲಿ ಮತ್ತು ಮಧ್ಯಂತರದೊಳಗೆ ಸ್ಥಿರ ಅಥವಾ ನಿರ್ಣಾಯಕ ಬಿಂದು x= x0 ಅನ್ನು ಹೊಂದಿರಲಿ. ನಂತರ:

• ಈ ಬಿಂದುವು x x0 ಗಾಗಿ f’(x)>0 ಅನ್ನು ತೃಪ್ತಿಪಡಿಸುವ ನೆರೆಹೊರೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದರೆ, ನಂತರ x0 ಬಿಂದುವು y= f(x) ಕಾರ್ಯದ ಕನಿಷ್ಠ ಬಿಂದುವಾಗಿದೆ.
• ಈ ಬಿಂದುವು x 0 ಗೆ ಅಂತಹ ನೆರೆಹೊರೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದರೆ ಮತ್ತು x> x0 f'(x) ಗೆ ಯಾವುದೇ ತೀವ್ರತೆ ಇರುವುದಿಲ್ಲ.

ಸಮಸ್ಯೆಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲು, ಈ ಕೆಳಗಿನ ನಿಯಮಗಳನ್ನು ನೆನಪಿಡಿ: ಉತ್ಪನ್ನಗಳ ಚಿಹ್ನೆಗಳನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಿದರೆ:

ಏಕತಾನತೆ ಮತ್ತು ತೀವ್ರತೆಗಾಗಿ ನಿರಂತರ ಕ್ರಿಯೆಯ y= f(x) ಅನ್ನು ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡಲು ಅಲ್ಗಾರಿದಮ್:

• y' ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಹುಡುಕಿ.
• ಸ್ಥಾಯಿ (ವ್ಯುತ್ಪನ್ನ ಶೂನ್ಯ) ಮತ್ತು ನಿರ್ಣಾಯಕ ಬಿಂದುಗಳನ್ನು (ವ್ಯುತ್ಪನ್ನ ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿಲ್ಲ) ಹುಡುಕಿ.
• ಸಂಖ್ಯೆಯ ಸಾಲಿನಲ್ಲಿ ಸ್ಥಾಯಿ ಮತ್ತು ನಿರ್ಣಾಯಕ ಬಿಂದುಗಳನ್ನು ಗುರುತಿಸಿ ಮತ್ತು ಫಲಿತಾಂಶದ ಮಧ್ಯಂತರಗಳಲ್ಲಿ ಉತ್ಪನ್ನದ ಚಿಹ್ನೆಗಳನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸಿ.
• ಮೇಲಿನ ಹೇಳಿಕೆಗಳ ಆಧಾರದ ಮೇಲೆ, ವಿಪರೀತ ಬಿಂದುಗಳ ಸ್ವರೂಪದ ಬಗ್ಗೆ ತೀರ್ಮಾನವನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಿ.

ವಿಪರೀತ ಬಿಂದುಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವ ಉದಾಹರಣೆಗಳು

1) ಕಾರ್ಯದ ತೀವ್ರ ಬಿಂದುಗಳನ್ನು ಹುಡುಕಿ ಮತ್ತು ಅವುಗಳ ಸ್ವರೂಪವನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸಿ: y= 7+ 12*x - x 3

ಪರಿಹಾರ: ನಮ್ಮ ಕಾರ್ಯವು ನಿರಂತರವಾಗಿರುತ್ತದೆ, ನಂತರ ನಾವು ನಮ್ಮ ಅಲ್ಗಾರಿದಮ್ ಅನ್ನು ಬಳಸುತ್ತೇವೆ:
a) y "= 12 - 3x 2,
b) y"= 0, x= ±2 ನಲ್ಲಿ,

ಪಾಯಿಂಟ್ x= -2 ಫಂಕ್ಷನ್‌ನ ಕನಿಷ್ಠ ಬಿಂದುವಾಗಿದೆ, ಪಾಯಿಂಟ್ x= 2 ಫಂಕ್ಷನ್‌ನ ಗರಿಷ್ಠ ಬಿಂದುವಾಗಿದೆ.
ಉತ್ತರ: x= -2 - ಫಂಕ್ಷನ್ ಕನಿಷ್ಠ ಪಾಯಿಂಟ್, x= 2 - ಫಂಕ್ಷನ್ ಗರಿಷ್ಠ ಪಾಯಿಂಟ್.

2) ಕಾರ್ಯದ ತೀವ್ರ ಬಿಂದುಗಳನ್ನು ಹುಡುಕಿ ಮತ್ತು ಅವುಗಳ ಸ್ವರೂಪವನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸಿ.

3) y= x - 2cos(x) ಕಾರ್ಯದ ತೀವ್ರ ಬಿಂದುಗಳನ್ನು ಹುಡುಕಿ ಮತ್ತು -π ≤ x ≤ π ಗಾಗಿ ಅವುಗಳ ಪಾತ್ರವನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸಿ.

ಪರಿಹಾರ: ನಮ್ಮ ಕಾರ್ಯವು ನಿರಂತರವಾಗಿದೆ, ನಮ್ಮ ಅಲ್ಗಾರಿದಮ್ ಅನ್ನು ಬಳಸೋಣ:
a) y"= 1 + 2sin(x),
b) ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವು ಶೂನ್ಯಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುವ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ: 1 + 2sin(x)= 0, sin(x)= -1/2,
ಏಕೆಂದರೆ -π ≤ x ≤ π, ನಂತರ: x= -π/6, -5π/6,
ಸಿ) ನೈಜ ಸಾಲಿನಲ್ಲಿ ಸ್ಥಾಯಿ ಬಿಂದುಗಳನ್ನು ಗುರುತಿಸಿ ಮತ್ತು ಉತ್ಪನ್ನದ ಚಿಹ್ನೆಗಳನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸಿ: ಡಿ) ನಮ್ಮ ಫಿಗರ್ ಅನ್ನು ನೋಡಿ, ಇದು ವಿಪರೀತಗಳನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸುವ ನಿಯಮಗಳನ್ನು ತೋರಿಸುತ್ತದೆ.
ಪಾಯಿಂಟ್ x= -5π/6 ಫಂಕ್ಷನ್‌ನ ಗರಿಷ್ಠ ಬಿಂದುವಾಗಿದೆ.
ಪಾಯಿಂಟ್ x= -π/6 ಫಂಕ್ಷನ್‌ನ ಕನಿಷ್ಠ ಬಿಂದುವಾಗಿದೆ.
ಉತ್ತರ: x= -5π/6 - ಫಂಕ್ಷನ್‌ನ ಗರಿಷ್ಠ ಬಿಂದು, x= -π/6 - ಫಂಕ್ಷನ್‌ನ ಕನಿಷ್ಠ ಬಿಂದು.

4) ಕಾರ್ಯದ ತೀವ್ರ ಬಿಂದುಗಳನ್ನು ಹುಡುಕಿ ಮತ್ತು ಅವುಗಳ ಸ್ವರೂಪವನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸಿ:

ಸ್ವತಂತ್ರ ಪರಿಹಾರಕ್ಕಾಗಿ ಕಾರ್ಯಗಳು