ಸರಳ ರೇಖೆಗಳ ಸೂತ್ರದ ನಡುವಿನ ಕೋನವನ್ನು ಹುಡುಕಿ. ಎರಡು ನೇರ ರೇಖೆಗಳ ನಡುವಿನ ಕೋನ

ಎ. ಎರಡು ಸರಳ ರೇಖೆಗಳನ್ನು ನೀಡೋಣ, ಅಧ್ಯಾಯ 1 ರಲ್ಲಿ ಸೂಚಿಸಿದಂತೆ ಈ ಸರಳ ರೇಖೆಗಳು ವಿವಿಧ ಧನಾತ್ಮಕ ಮತ್ತು ಋಣಾತ್ಮಕ ಕೋನಗಳನ್ನು ರೂಪಿಸುತ್ತವೆ, ಅವುಗಳು ತೀಕ್ಷ್ಣವಾದ ಅಥವಾ ಚೂಪಾದವಾಗಿರಬಹುದು. ಈ ಕೋನಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದನ್ನು ತಿಳಿದುಕೊಂಡರೆ, ನಾವು ಇನ್ನೊಂದನ್ನು ಸುಲಭವಾಗಿ ಕಂಡುಹಿಡಿಯಬಹುದು.

ಮೂಲಕ, ಈ ಎಲ್ಲಾ ಕೋನಗಳಿಗೆ ಸ್ಪರ್ಶಕದ ಸಂಖ್ಯಾತ್ಮಕ ಮೌಲ್ಯವು ಒಂದೇ ಆಗಿರುತ್ತದೆ, ವ್ಯತ್ಯಾಸವು ಚಿಹ್ನೆಯಲ್ಲಿ ಮಾತ್ರ ಇರುತ್ತದೆ

ರೇಖೆಗಳ ಸಮೀಕರಣಗಳು. ಸಂಖ್ಯೆಗಳು ಮೊದಲ ಮತ್ತು ಎರಡನೆಯ ನೇರ ರೇಖೆಗಳ ದಿಕ್ಕಿನ ವಾಹಕಗಳ ಪ್ರಕ್ಷೇಪಗಳಾಗಿವೆ.ಈ ವಾಹಕಗಳ ನಡುವಿನ ಕೋನವು ನೇರ ರೇಖೆಗಳಿಂದ ರೂಪುಗೊಂಡ ಕೋನಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಆದ್ದರಿಂದ, ವಾಹಕಗಳ ನಡುವಿನ ಕೋನವನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸಲು ಸಮಸ್ಯೆ ಬರುತ್ತದೆ

ಸರಳತೆಗಾಗಿ, ಎರಡು ನೇರ ರೇಖೆಗಳ ನಡುವಿನ ಕೋನವು ತೀವ್ರವಾದ ಧನಾತ್ಮಕ ಕೋನವಾಗಿದೆ ಎಂದು ನಾವು ಒಪ್ಪಿಕೊಳ್ಳಬಹುದು (ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಚಿತ್ರ 53 ರಲ್ಲಿ).

ಆಗ ಈ ಕೋನದ ಸ್ಪರ್ಶಕವು ಯಾವಾಗಲೂ ಧನಾತ್ಮಕವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಹೀಗಾಗಿ, ಸೂತ್ರದ ಬಲಭಾಗದಲ್ಲಿ ಮೈನಸ್ ಚಿಹ್ನೆ ಇದ್ದರೆ (1), ನಂತರ ನಾವು ಅದನ್ನು ತ್ಯಜಿಸಬೇಕು, ಅಂದರೆ, ಸಂಪೂರ್ಣ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಮಾತ್ರ ಉಳಿಸಿ.

ಉದಾಹರಣೆ. ನೇರ ರೇಖೆಗಳ ನಡುವಿನ ಕೋನವನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸಿ

ಸೂತ್ರದ ಪ್ರಕಾರ (1) ನಾವು ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ

ಜೊತೆಗೆ. ಕೋನದ ಯಾವ ಬದಿಗಳು ಅದರ ಪ್ರಾರಂಭ ಮತ್ತು ಅದರ ಅಂತ್ಯ ಎಂದು ಸೂಚಿಸಿದರೆ, ಯಾವಾಗಲೂ ಕೋನದ ದಿಕ್ಕನ್ನು ಅಪ್ರದಕ್ಷಿಣಾಕಾರವಾಗಿ ಎಣಿಸುವ ಮೂಲಕ, ನಾವು ಸೂತ್ರದಿಂದ (1) ಹೆಚ್ಚಿನದನ್ನು ಹೊರತೆಗೆಯಬಹುದು. ಅಂಜೂರದಿಂದ ನೋಡಲು ಸುಲಭವಾದಂತೆ. 53, ಸೂತ್ರದ ಬಲಭಾಗದಲ್ಲಿ (1) ಪಡೆದ ಚಿಹ್ನೆಯು ಯಾವ ರೀತಿಯ ಕೋನವನ್ನು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ - ತೀವ್ರ ಅಥವಾ ಚೂಪಾದ - ಎರಡನೆಯ ಸರಳ ರೇಖೆಯು ಮೊದಲನೆಯದರೊಂದಿಗೆ ರೂಪುಗೊಳ್ಳುತ್ತದೆ.

(ವಾಸ್ತವವಾಗಿ, ಚಿತ್ರ 53 ರಿಂದ ನಾವು ಮೊದಲ ಮತ್ತು ಎರಡನೆಯ ದಿಕ್ಕಿನ ವಾಹಕಗಳ ನಡುವಿನ ಕೋನವು ಸರಳ ರೇಖೆಗಳ ನಡುವಿನ ಅಪೇಕ್ಷಿತ ಕೋನಕ್ಕೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ ಅಥವಾ ಅದರಿಂದ ± 180 ° ಭಿನ್ನವಾಗಿರುತ್ತದೆ.)

ಡಿ. ರೇಖೆಗಳು ಸಮಾನಾಂತರವಾಗಿದ್ದರೆ, ಅವುಗಳ ದಿಕ್ಕಿನ ವಾಹಕಗಳು ಸಮಾನಾಂತರವಾಗಿರುತ್ತವೆ ಎರಡು ವೆಕ್ಟರ್‌ಗಳ ಸಮಾನಾಂತರತೆಯ ಸ್ಥಿತಿಯನ್ನು ಅನ್ವಯಿಸುವುದರಿಂದ, ನಾವು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ!

ಎರಡು ಸಾಲುಗಳ ಸಮಾನಾಂತರತೆಗೆ ಇದು ಅವಶ್ಯಕ ಮತ್ತು ಸಾಕಷ್ಟು ಸ್ಥಿತಿಯಾಗಿದೆ.

ಉದಾಹರಣೆ. ನೇರ

ಏಕೆಂದರೆ ಸಮಾನಾಂತರವಾಗಿರುತ್ತವೆ

ಇ. ರೇಖೆಗಳು ಲಂಬವಾಗಿದ್ದರೆ ಅವುಗಳ ದಿಕ್ಕಿನ ವಾಹಕಗಳು ಸಹ ಲಂಬವಾಗಿರುತ್ತವೆ. ಎರಡು ವಾಹಕಗಳ ಲಂಬತೆಯ ಸ್ಥಿತಿಯನ್ನು ಅನ್ವಯಿಸುವುದರಿಂದ, ನಾವು ಎರಡು ಸರಳ ರೇಖೆಗಳ ಲಂಬತೆಯ ಸ್ಥಿತಿಯನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ, ಅವುಗಳೆಂದರೆ

ಉದಾಹರಣೆ. ನೇರ

ಎಂಬ ಅಂಶದಿಂದಾಗಿ ಲಂಬವಾಗಿರುತ್ತವೆ

ಸಮಾನಾಂತರತೆ ಮತ್ತು ಲಂಬತೆಯ ಪರಿಸ್ಥಿತಿಗಳಿಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ, ನಾವು ಈ ಕೆಳಗಿನ ಎರಡು ಸಮಸ್ಯೆಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುತ್ತೇವೆ.

f. ಕೊಟ್ಟಿರುವ ರೇಖೆಗೆ ಸಮಾನಾಂತರವಾಗಿರುವ ಬಿಂದುವಿನ ಮೂಲಕ ರೇಖೆಯನ್ನು ಎಳೆಯಿರಿ

ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಈ ರೀತಿ ನಡೆಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಅಪೇಕ್ಷಿತ ರೇಖೆಯು ಇದಕ್ಕೆ ಸಮಾನಾಂತರವಾಗಿರುವುದರಿಂದ, ಅದರ ದಿಕ್ಕಿನ ವೆಕ್ಟರ್‌ಗೆ ನಾವು ನೀಡಿದ ರೇಖೆಯಂತೆಯೇ ಅದೇ ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಬಹುದು, ಅಂದರೆ, ಎ ಮತ್ತು ಬಿ ಪ್ರಕ್ಷೇಪಗಳೊಂದಿಗೆ ವೆಕ್ಟರ್ ಅನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಬಹುದು. ತದನಂತರ ಬಯಸಿದ ರೇಖೆಯ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಬರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ರೂಪ (§ 1)

ಉದಾಹರಣೆ. ರೇಖೆಗೆ ಸಮಾನಾಂತರವಾಗಿ ಪಾಯಿಂಟ್ (1; 3) ಮೂಲಕ ಹಾದುಹೋಗುವ ರೇಖೆಯ ಸಮೀಕರಣ

ಮುಂದೆ ಇರುತ್ತದೆ!

ಜಿ. ಕೊಟ್ಟಿರುವ ರೇಖೆಗೆ ಲಂಬವಾಗಿರುವ ಬಿಂದುವಿನ ಮೂಲಕ ರೇಖೆಯನ್ನು ಎಳೆಯಿರಿ

ಇಲ್ಲಿ ವೆಕ್ಟರ್ ಅನ್ನು ಪ್ರಕ್ಷೇಪಣಗಳೊಂದಿಗೆ ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಲು ಇನ್ನು ಮುಂದೆ ಸೂಕ್ತವಲ್ಲ ಮತ್ತು ಮಾರ್ಗದರ್ಶಿ ವೆಕ್ಟರ್ ಆಗಿ, ಆದರೆ ಅದಕ್ಕೆ ಲಂಬವಾಗಿ ವೆಕ್ಟರ್ ಅನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುವುದು ಅವಶ್ಯಕ. ಆದ್ದರಿಂದ ಈ ವೆಕ್ಟರ್‌ನ ಪ್ರಕ್ಷೇಪಗಳನ್ನು ಎರಡೂ ವೆಕ್ಟರ್‌ಗಳ ಲಂಬತೆಯ ಸ್ಥಿತಿಯ ಪ್ರಕಾರ ಆಯ್ಕೆ ಮಾಡಬೇಕು, ಅಂದರೆ ಸ್ಥಿತಿಯ ಪ್ರಕಾರ

ಈ ಸ್ಥಿತಿಯನ್ನು ಲೆಕ್ಕವಿಲ್ಲದಷ್ಟು ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಪೂರೈಸಬಹುದು, ಏಕೆಂದರೆ ಇಲ್ಲಿ ಎರಡು ಅಪರಿಚಿತರೊಂದಿಗೆ ಒಂದು ಸಮೀಕರಣವಿದೆ, ಆದರೆ ಸುಲಭವಾದ ಮಾರ್ಗವೆಂದರೆ ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುವುದು ಅಥವಾ ನಂತರ ಬಯಸಿದ ಸಾಲಿನ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ರೂಪದಲ್ಲಿ ಬರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ.

ಉದಾಹರಣೆ. ಲಂಬ ರೇಖೆಯಲ್ಲಿ ಪಾಯಿಂಟ್ (-7; 2) ಮೂಲಕ ಹಾದುಹೋಗುವ ರೇಖೆಯ ಸಮೀಕರಣ

ಕೆಳಗಿನವುಗಳು ಇರುತ್ತವೆ (ಎರಡನೆಯ ಸೂತ್ರದ ಪ್ರಕಾರ)!

ಗಂ. ರೂಪದ ಸಮೀಕರಣಗಳಿಂದ ಸಾಲುಗಳನ್ನು ನೀಡಿದಾಗ

ಸೂಚನೆಗಳು

ಸೂಚನೆ

ತ್ರಿಕೋನಮಿತೀಯ ಸ್ಪರ್ಶ ಕ್ರಿಯೆಯ ಅವಧಿಯು 180 ಡಿಗ್ರಿಗಳಿಗೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ, ಅಂದರೆ ನೇರ ರೇಖೆಗಳ ಇಳಿಜಾರಿನ ಕೋನಗಳು ಸಂಪೂರ್ಣ ಮೌಲ್ಯದಲ್ಲಿ ಈ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಮೀರುವುದಿಲ್ಲ.

ಉಪಯುಕ್ತ ಸಲಹೆ

ಕೋನೀಯ ಗುಣಾಂಕಗಳು ಒಂದಕ್ಕೊಂದು ಸಮಾನವಾಗಿದ್ದರೆ, ಅಂತಹ ರೇಖೆಗಳ ನಡುವಿನ ಕೋನವು 0 ಆಗಿರುತ್ತದೆ, ಏಕೆಂದರೆ ಅಂತಹ ರೇಖೆಗಳು ಹೊಂದಿಕೆಯಾಗುತ್ತವೆ ಅಥವಾ ಸಮಾನಾಂತರವಾಗಿರುತ್ತವೆ.

ಛೇದಿಸುವ ರೇಖೆಗಳ ನಡುವಿನ ಕೋನದ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸಲು, ಛೇದಿಸುವವರೆಗೆ ಸಮಾನಾಂತರ ಅನುವಾದ ವಿಧಾನವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಹೊಸ ಸ್ಥಾನಕ್ಕೆ ಎರಡೂ ಸಾಲುಗಳನ್ನು (ಅಥವಾ ಅವುಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದನ್ನು) ಸರಿಸಲು ಅವಶ್ಯಕ. ಇದರ ನಂತರ, ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ ಛೇದಿಸುವ ರೇಖೆಗಳ ನಡುವಿನ ಕೋನವನ್ನು ನೀವು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಬೇಕು.

ನಿಮಗೆ ಅಗತ್ಯವಿರುತ್ತದೆ

• ಆಡಳಿತಗಾರ, ಬಲ ತ್ರಿಕೋನ, ಪೆನ್ಸಿಲ್, ಪ್ರೋಟ್ರಾಕ್ಟರ್.

ಸೂಚನೆಗಳು

ಆದ್ದರಿಂದ, ವೆಕ್ಟರ್ V = (a, b, c) ಮತ್ತು ಪ್ಲೇನ್ A x + B y + C z = 0 ಅನ್ನು ನೀಡೋಣ, ಅಲ್ಲಿ A, B ಮತ್ತು C ಸಾಮಾನ್ಯ N ನ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳು. ನಂತರ ಕೋನದ ಕೊಸೈನ್ α ವೆಕ್ಟರ್ V ಮತ್ತು N ನಡುವೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ: cos α = (a + b + c C)/(√(a² + b² + c²) √(A² + B² + C²)).

ಡಿಗ್ರಿ ಅಥವಾ ರೇಡಿಯನ್‌ಗಳಲ್ಲಿ ಕೋನವನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡಲು, ನೀವು ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯಿಂದ ಕೊಸೈನ್ ಕಾರ್ಯಕ್ಕೆ ವಿಲೋಮವನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡಬೇಕಾಗುತ್ತದೆ, ಅಂದರೆ. arccosine:α = arsсos ((a + b B + c C)/(√(a² + b² + c²) √(A² + B² + C²))).

ಉದಾಹರಣೆ: ಹುಡುಕಿ ಮೂಲೆಯಲ್ಲಿನಡುವೆ ವೆಕ್ಟರ್(5, -3, 8) ಮತ್ತು ವಿಮಾನ, ಸಾಮಾನ್ಯ ಸಮೀಕರಣದಿಂದ ನೀಡಲಾಗಿದೆ 2 x – 5 y + 3 z = 0. ಪರಿಹಾರ: ಸಮತಲದ N = (2, -5, 3) ನ ಸಾಮಾನ್ಯ ವೆಕ್ಟರ್‌ನ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳನ್ನು ಬರೆಯಿರಿ. ನೀಡಿರುವ ಸೂತ್ರದಲ್ಲಿ ತಿಳಿದಿರುವ ಎಲ್ಲಾ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ಬದಲಿಸಿ: cos α = (10 + 15 + 24)/√3724 ≈ 0.8 → α = 36.87 °.

ವಿಷಯದ ಕುರಿತು ವೀಡಿಯೊ

ವೃತ್ತದೊಂದಿಗೆ ಒಂದು ಸಾಮಾನ್ಯ ಬಿಂದುವನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ನೇರ ರೇಖೆಯು ವೃತ್ತಕ್ಕೆ ಸ್ಪರ್ಶವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಸ್ಪರ್ಶದ ಮತ್ತೊಂದು ವೈಶಿಷ್ಟ್ಯವೆಂದರೆ ಅದು ಯಾವಾಗಲೂ ಸಂಪರ್ಕದ ಬಿಂದುವಿಗೆ ಎಳೆಯುವ ತ್ರಿಜ್ಯಕ್ಕೆ ಲಂಬವಾಗಿರುತ್ತದೆ, ಅಂದರೆ, ಸ್ಪರ್ಶಕ ಮತ್ತು ತ್ರಿಜ್ಯವು ಸರಳ ರೇಖೆಯನ್ನು ರೂಪಿಸುತ್ತದೆ. ಮೂಲೆಯಲ್ಲಿ. AB ಮತ್ತು AC ವೃತ್ತಕ್ಕೆ ಎರಡು ಸ್ಪರ್ಶಕಗಳನ್ನು ಒಂದು ಬಿಂದುವಿನಿಂದ A ನಿಂದ ಎಳೆದರೆ, ಅವು ಯಾವಾಗಲೂ ಪರಸ್ಪರ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಸ್ಪರ್ಶಕಗಳ ನಡುವಿನ ಕೋನವನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸುವುದು ( ಮೂಲೆಯಲ್ಲಿಎಬಿಸಿ) ಪೈಥಾಗರಿಯನ್ ಪ್ರಮೇಯವನ್ನು ಬಳಸಿ ತಯಾರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ.

ಸೂಚನೆಗಳು

ಕೋನವನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸಲು, ನೀವು OB ಮತ್ತು OS ವೃತ್ತದ ತ್ರಿಜ್ಯವನ್ನು ಮತ್ತು ವೃತ್ತದ ಮಧ್ಯಭಾಗದಿಂದ ಸ್ಪರ್ಶಕದ ಪ್ರಾರಂಭದ ಬಿಂದುವಿನ ಅಂತರವನ್ನು ತಿಳಿದುಕೊಳ್ಳಬೇಕು - O. ಆದ್ದರಿಂದ, ABO ಮತ್ತು ACO ಕೋನಗಳು ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ, OB ತ್ರಿಜ್ಯವು, ಉದಾಹರಣೆಗೆ, 10 cm, ಮತ್ತು AO ವೃತ್ತದ ಮಧ್ಯಭಾಗಕ್ಕೆ ಇರುವ ಅಂತರವು 15 cm. ಪೈಥಾಗರಿಯನ್ ಪ್ರಮೇಯಕ್ಕೆ ಅನುಗುಣವಾಗಿ ಸೂತ್ರವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಸ್ಪರ್ಶಕದ ಉದ್ದವನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸಿ: AB = AO2 ನ ವರ್ಗಮೂಲ – OB2 ಅಥವಾ 152 - 102 = 225 – 100 = 125;

ನಾನು ಸಂಕ್ಷಿಪ್ತವಾಗಿ ಹೇಳುತ್ತೇನೆ. ಎರಡು ನೇರ ರೇಖೆಗಳ ನಡುವಿನ ಕೋನವು ಅವುಗಳ ದಿಕ್ಕಿನ ವಾಹಕಗಳ ನಡುವಿನ ಕೋನಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಹೀಗಾಗಿ, ದಿಕ್ಕಿನ ವಾಹಕಗಳ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲು ನೀವು ನಿರ್ವಹಿಸಿದರೆ a = (x 1; y 1; z 1) ಮತ್ತು b = (x 2; y 2; z 2), ನಂತರ ನೀವು ಕೋನವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಬಹುದು. ಹೆಚ್ಚು ನಿಖರವಾಗಿ, ಸೂತ್ರದ ಪ್ರಕಾರ ಕೋನದ ಕೊಸೈನ್:

ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಉದಾಹರಣೆಗಳನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಈ ಸೂತ್ರವು ಹೇಗೆ ಕಾರ್ಯನಿರ್ವಹಿಸುತ್ತದೆ ಎಂಬುದನ್ನು ನೋಡೋಣ:

ಕಾರ್ಯ. ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 ಘನದಲ್ಲಿ, E ಮತ್ತು F ಅಂಕಗಳನ್ನು ಗುರುತಿಸಲಾಗಿದೆ - ಕ್ರಮವಾಗಿ A 1 B 1 ಮತ್ತು B 1 C 1 ಅಂಚುಗಳ ಮಧ್ಯಬಿಂದುಗಳು. AE ಮತ್ತು BF ರೇಖೆಗಳ ನಡುವಿನ ಕೋನವನ್ನು ಹುಡುಕಿ.

ಘನದ ಅಂಚನ್ನು ನಿರ್ದಿಷ್ಟಪಡಿಸದ ಕಾರಣ, ನಾವು AB = 1 ಅನ್ನು ಹೊಂದಿಸೋಣ. ನಾವು ಪ್ರಮಾಣಿತ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು ಪರಿಚಯಿಸುತ್ತೇವೆ: ಮೂಲವು A ಹಂತದಲ್ಲಿದೆ, x, y, z ಅಕ್ಷಗಳು ಕ್ರಮವಾಗಿ AB, AD ಮತ್ತು AA 1 ರ ಉದ್ದಕ್ಕೂ ನಿರ್ದೇಶಿಸಲ್ಪಡುತ್ತವೆ. ಯುನಿಟ್ ವಿಭಾಗವು AB = 1 ಗೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಈಗ ನಮ್ಮ ಸಾಲುಗಳಿಗೆ ದಿಕ್ಕಿನ ವೆಕ್ಟರ್‌ಗಳ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯೋಣ.

ವೆಕ್ಟರ್ AE ನ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯೋಣ. ಇದಕ್ಕಾಗಿ ನಮಗೆ A = (0; 0; 0) ಮತ್ತು E = (0.5; 0; 1) ಅಂಕಗಳು ಬೇಕಾಗುತ್ತವೆ. ಪಾಯಿಂಟ್ ಇ ಎ 1 ಬಿ 1 ವಿಭಾಗದ ಮಧ್ಯವಾಗಿರುವುದರಿಂದ, ಅದರ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳು ತುದಿಗಳ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳ ಅಂಕಗಣಿತದ ಸರಾಸರಿಗೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ವೆಕ್ಟರ್ AE ಯ ಮೂಲವು ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳ ಮೂಲದೊಂದಿಗೆ ಸೇರಿಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ ಎಂಬುದನ್ನು ಗಮನಿಸಿ, ಆದ್ದರಿಂದ AE = (0.5; 0; 1).

ಈಗ BF ವೆಕ್ಟರ್ ಅನ್ನು ನೋಡೋಣ. ಅಂತೆಯೇ, ನಾವು ಬಿ = (1; 0; 0) ಮತ್ತು ಎಫ್ = (1; 0.5; 1) ಅಂಕಗಳನ್ನು ವಿಶ್ಲೇಷಿಸುತ್ತೇವೆ, ಏಕೆಂದರೆ ಎಫ್ ಬಿ 1 ಸಿ 1 ವಿಭಾಗದ ಮಧ್ಯಭಾಗವಾಗಿದೆ. ನಾವು ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ:
BF = (1 - 1; 0.5 - 0; 1 - 0) = (0; 0.5; 1).

ಆದ್ದರಿಂದ, ದಿಕ್ಕಿನ ವಾಹಕಗಳು ಸಿದ್ಧವಾಗಿವೆ. ನೇರ ರೇಖೆಗಳ ನಡುವಿನ ಕೋನದ ಕೊಸೈನ್ ದಿಕ್ಕಿನ ವಾಹಕಗಳ ನಡುವಿನ ಕೋನದ ಕೊಸೈನ್ ಆಗಿದೆ, ಆದ್ದರಿಂದ ನಾವು ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ:

ಕಾರ್ಯ. ನಿಯಮಿತ ತ್ರಿಕೋನ ಪ್ರಿಸ್ಮ್ ABCA 1 B 1 C 1 ನಲ್ಲಿ, ಅದರ ಎಲ್ಲಾ ಅಂಚುಗಳು 1 ಗೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ, D ಮತ್ತು E ಅಂಕಗಳನ್ನು ಗುರುತಿಸಲಾಗಿದೆ - ಕ್ರಮವಾಗಿ A 1 B 1 ಮತ್ತು B 1 C 1 ಅಂಚುಗಳ ಮಧ್ಯಬಿಂದುಗಳು. AD ಮತ್ತು BE ರೇಖೆಗಳ ನಡುವಿನ ಕೋನವನ್ನು ಹುಡುಕಿ.

ಪ್ರಮಾಣಿತ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು ಪರಿಚಯಿಸೋಣ: ಮೂಲವು A ಹಂತದಲ್ಲಿದೆ, x ಅಕ್ಷವನ್ನು AB, z - AA 1 ಉದ್ದಕ್ಕೂ ನಿರ್ದೇಶಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. y-ಅಕ್ಷವನ್ನು ನಿರ್ದೇಶಿಸೋಣ ಇದರಿಂದ OXY ಪ್ಲೇನ್ ABC ಪ್ಲೇನ್‌ನೊಂದಿಗೆ ಸೇರಿಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ. ಯುನಿಟ್ ವಿಭಾಗವು AB = 1 ಗೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಅಗತ್ಯವಿರುವ ರೇಖೆಗಳಿಗೆ ದಿಕ್ಕಿನ ವೆಕ್ಟರ್‌ಗಳ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯೋಣ.

ಮೊದಲಿಗೆ, ವೆಕ್ಟರ್ AD ಯ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯೋಣ. ಅಂಕಗಳನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿ: A = (0; 0; 0) ಮತ್ತು D = (0.5; 0; 1), ಏಕೆಂದರೆ ಡಿ - ಎ 1 ಬಿ 1 ವಿಭಾಗದ ಮಧ್ಯಭಾಗ. ವೆಕ್ಟರ್ AD ಯ ಆರಂಭವು ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳ ಮೂಲದೊಂದಿಗೆ ಹೊಂದಿಕೆಯಾಗುವುದರಿಂದ, ನಾವು AD = (0.5; 0; 1) ಅನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ.

ಈಗ ವೆಕ್ಟರ್ BE ನ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯೋಣ. ಪಾಯಿಂಟ್ ಬಿ = (1; 0; 0) ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡುವುದು ಸುಲಭ. ಪಾಯಿಂಟ್ ಇ ಜೊತೆ - ವಿಭಾಗದ ಮಧ್ಯದಲ್ಲಿ ಸಿ 1 ಬಿ 1 - ಇದು ಸ್ವಲ್ಪ ಹೆಚ್ಚು ಸಂಕೀರ್ಣವಾಗಿದೆ. ನಾವು ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ:

ಕೋನದ ಕೊಸೈನ್ ಅನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲು ಇದು ಉಳಿದಿದೆ:

ಕಾರ್ಯ. ನಿಯಮಿತ ಷಡ್ಭುಜೀಯ ಪ್ರಿಸ್ಮ್‌ನಲ್ಲಿ ABCDEFA 1 B 1 C 1 D 1 E 1 F 1 , ಅದರ ಎಲ್ಲಾ ಅಂಚುಗಳು 1 ಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ, K ಮತ್ತು L ಅಂಕಗಳನ್ನು ಗುರುತಿಸಲಾಗಿದೆ - ಕ್ರಮವಾಗಿ A 1 B 1 ಮತ್ತು B 1 C 1 ಅಂಚುಗಳ ಮಧ್ಯಬಿಂದುಗಳು . AK ಮತ್ತು BL ರೇಖೆಗಳ ನಡುವಿನ ಕೋನವನ್ನು ಹುಡುಕಿ.

ನಾವು ಪ್ರಿಸ್ಮ್‌ಗಾಗಿ ಪ್ರಮಾಣಿತ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು ಪರಿಚಯಿಸೋಣ: ನಾವು ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳ ಮೂಲವನ್ನು ಕೆಳಗಿನ ತಳದ ಮಧ್ಯದಲ್ಲಿ ಇರಿಸುತ್ತೇವೆ, x ಅಕ್ಷವನ್ನು FC ಉದ್ದಕ್ಕೂ ನಿರ್ದೇಶಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ, y ಅಕ್ಷವನ್ನು AB ಮತ್ತು DE ವಿಭಾಗಗಳ ಮಧ್ಯಬಿಂದುಗಳ ಮೂಲಕ ನಿರ್ದೇಶಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು z ಅಕ್ಷವನ್ನು ಲಂಬವಾಗಿ ಮೇಲಕ್ಕೆ ನಿರ್ದೇಶಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಯುನಿಟ್ ವಿಭಾಗವು ಮತ್ತೊಮ್ಮೆ AB = 1 ಗೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ. ನಮಗೆ ಆಸಕ್ತಿಯ ಬಿಂದುಗಳ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳನ್ನು ಬರೆಯೋಣ:

K ಮತ್ತು L ಅಂಕಗಳು ಕ್ರಮವಾಗಿ A 1 B 1 ಮತ್ತು B 1 C 1 ವಿಭಾಗಗಳ ಮಧ್ಯಬಿಂದುಗಳಾಗಿವೆ, ಆದ್ದರಿಂದ ಅವುಗಳ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳು ಅಂಕಗಣಿತದ ಸರಾಸರಿ ಮೂಲಕ ಕಂಡುಬರುತ್ತವೆ. ಬಿಂದುಗಳನ್ನು ತಿಳಿದುಕೊಳ್ಳುವುದರಿಂದ, ದಿಕ್ಕಿನ ವೆಕ್ಟರ್‌ಗಳಾದ ಎಕೆ ಮತ್ತು ಬಿಎಲ್‌ಗಳ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳನ್ನು ನಾವು ಕಂಡುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ:

ಈಗ ಕೋನದ ಕೊಸೈನ್ ಅನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯೋಣ:

ಕಾರ್ಯ. ನಿಯಮಿತ ಚತುರ್ಭುಜ ಪಿರಮಿಡ್ SABCD ಯಲ್ಲಿ, ಅದರ ಎಲ್ಲಾ ಅಂಚುಗಳು 1 ಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ, E ಮತ್ತು F ಅಂಕಗಳನ್ನು ಗುರುತಿಸಲಾಗಿದೆ - ಕ್ರಮವಾಗಿ SB ಮತ್ತು SC ಬದಿಗಳ ಮಧ್ಯಬಿಂದುಗಳು. AE ಮತ್ತು BF ರೇಖೆಗಳ ನಡುವಿನ ಕೋನವನ್ನು ಹುಡುಕಿ.

ಪ್ರಮಾಣಿತ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು ಪರಿಚಯಿಸೋಣ: ಮೂಲವು A ಹಂತದಲ್ಲಿದೆ, x ಮತ್ತು y ಅಕ್ಷಗಳನ್ನು ಕ್ರಮವಾಗಿ AB ಮತ್ತು AD ಯ ಉದ್ದಕ್ಕೂ ನಿರ್ದೇಶಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು z ಅಕ್ಷವನ್ನು ಲಂಬವಾಗಿ ಮೇಲಕ್ಕೆ ನಿರ್ದೇಶಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಘಟಕ ವಿಭಾಗವು AB = 1 ಗೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ.

E ಮತ್ತು F ಅಂಕಗಳು ಕ್ರಮವಾಗಿ SB ಮತ್ತು SC ವಿಭಾಗಗಳ ಮಧ್ಯಬಿಂದುಗಳಾಗಿವೆ, ಆದ್ದರಿಂದ ಅವುಗಳ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳು ತುದಿಗಳ ಅಂಕಗಣಿತದ ಸರಾಸರಿಯಾಗಿ ಕಂಡುಬರುತ್ತವೆ. ನಮಗೆ ಆಸಕ್ತಿಯಿರುವ ಅಂಶಗಳ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳನ್ನು ಬರೆಯೋಣ:
A = (0; 0; 0); ಬಿ = (1; 0; 0)

ಬಿಂದುಗಳನ್ನು ತಿಳಿದುಕೊಳ್ಳುವುದರಿಂದ, ದಿಕ್ಕಿನ ವೆಕ್ಟರ್ AE ಮತ್ತು BF ನ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳನ್ನು ನಾವು ಕಂಡುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ:

ವೆಕ್ಟರ್ AE ಯ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳು ಪಾಯಿಂಟ್ E ನ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳೊಂದಿಗೆ ಹೊಂದಿಕೆಯಾಗುತ್ತವೆ, ಏಕೆಂದರೆ ಪಾಯಿಂಟ್ A ಮೂಲವಾಗಿದೆ. ಕೋನದ ಕೊಸೈನ್ ಅನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲು ಇದು ಉಳಿದಿದೆ:

ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ.ಎರಡು ಸಾಲುಗಳನ್ನು y = k 1 x + b 1, y = k 2 x + b 2 ನೀಡಿದರೆ, ಈ ರೇಖೆಗಳ ನಡುವಿನ ತೀವ್ರ ಕೋನವನ್ನು ಹೀಗೆ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ

k 1 = k 2 ಆಗಿದ್ದರೆ ಎರಡು ಸಾಲುಗಳು ಸಮಾನಾಂತರವಾಗಿರುತ್ತವೆ. k 1 = -1/ k 2 ಆಗಿದ್ದರೆ ಎರಡು ಸಾಲುಗಳು ಲಂಬವಾಗಿರುತ್ತವೆ.

ಪ್ರಮೇಯ. A 1 = λA, B 1 = λB ಗುಣಾಂಕಗಳು ಅನುಪಾತದಲ್ಲಿದ್ದಾಗ Ax + Bу + C = 0 ಮತ್ತು A 1 x + B 1 y + C 1 = 0 ಗೆರೆಗಳು ಸಮಾನಾಂತರವಾಗಿರುತ್ತವೆ. C 1 = λC ಆಗಿದ್ದರೆ, ಸಾಲುಗಳು ಸೇರಿಕೊಳ್ಳುತ್ತವೆ. ಎರಡು ರೇಖೆಗಳ ಛೇದನದ ಬಿಂದುವಿನ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳು ಈ ರೇಖೆಗಳ ಸಮೀಕರಣಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗೆ ಪರಿಹಾರವಾಗಿ ಕಂಡುಬರುತ್ತವೆ.

ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಬಿಂದುವಿನ ಮೂಲಕ ಹಾದುಹೋಗುವ ರೇಖೆಯ ಸಮೀಕರಣ

ಕೊಟ್ಟಿರುವ ಸಾಲಿಗೆ ಲಂಬವಾಗಿ

ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ. M 1 (x 1, y 1) ಬಿಂದುವಿನ ಮೂಲಕ ಹಾದುಹೋಗುವ ನೇರ ರೇಖೆ ಮತ್ತು y = kx + b ನೇರ ರೇಖೆಗೆ ಲಂಬವಾಗಿ ಸಮೀಕರಣದಿಂದ ಪ್ರತಿನಿಧಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ:

ಬಿಂದುವಿನಿಂದ ಸಾಲಿಗೆ ಅಂತರ

ಪ್ರಮೇಯ. M(x 0, y 0) ಬಿಂದುವನ್ನು ನೀಡಿದರೆ, Ax + Bу + C = 0 ರೇಖೆಯ ಅಂತರವನ್ನು ಹೀಗೆ ನಿರ್ಧರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ

.

ಪುರಾವೆ. M 1 (x 1, y 1) ಬಿಂದುವು M ಬಿಂದುವಿನಿಂದ ನೀಡಲಾದ ಸರಳ ರೇಖೆಗೆ ಲಂಬವಾಗಿರುವ ಆಧಾರವಾಗಿರಲಿ. ನಂತರ M ಮತ್ತು M 1 ಬಿಂದುಗಳ ನಡುವಿನ ಅಂತರ:

(1)

ಸಮೀಕರಣಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವ ಮೂಲಕ x 1 ಮತ್ತು y 1 ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಬಹುದು:

ಸಿಸ್ಟಮ್ನ ಎರಡನೇ ಸಮೀಕರಣವು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ರೇಖೆಗೆ ಲಂಬವಾಗಿರುವ ಒಂದು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಬಿಂದು M 0 ಮೂಲಕ ಹಾದುಹೋಗುವ ರೇಖೆಯ ಸಮೀಕರಣವಾಗಿದೆ. ನಾವು ಸಿಸ್ಟಮ್ನ ಮೊದಲ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ರೂಪಕ್ಕೆ ಪರಿವರ್ತಿಸಿದರೆ:

A(x – x 0) + B(y – y 0) + Ax 0 + By 0 + C = 0,

ನಂತರ, ಪರಿಹರಿಸುವ, ನಾವು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ:

ಈ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಗಳನ್ನು ಸಮೀಕರಣಕ್ಕೆ (1) ಬದಲಿಸಿ, ನಾವು ಕಂಡುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ:

ಪ್ರಮೇಯವು ಸಾಬೀತಾಗಿದೆ.

ಉದಾಹರಣೆ. ರೇಖೆಗಳ ನಡುವಿನ ಕೋನವನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸಿ: y = -3 x + 7; y = 2 x + 1.

ಕೆ 1 = -3; ಕೆ 2 = 2; tgφ = ; φ= ಪು /4.

ಉದಾಹರಣೆ. 3x – 5y + 7 = 0 ಮತ್ತು 10x + 6y – 3 = 0 ಸಾಲುಗಳು ಲಂಬವಾಗಿವೆ ಎಂದು ತೋರಿಸಿ.

ಪರಿಹಾರ. ನಾವು ಕಂಡುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ: k 1 = 3/5, k 2 = -5/3, k 1 * k 2 = -1, ಆದ್ದರಿಂದ, ಸಾಲುಗಳು ಲಂಬವಾಗಿರುತ್ತವೆ.

ಉದಾಹರಣೆ. A(0; 1), B (6; 5), C (12; -1) ತ್ರಿಕೋನದ ಶೃಂಗಗಳನ್ನು ನೀಡಲಾಗಿದೆ. C ಶೃಂಗದಿಂದ ಎಳೆಯಲಾದ ಎತ್ತರದ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ.

ಪರಿಹಾರ. AB ಬದಿಯ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ನಾವು ಕಂಡುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ: ; 4 x = 6 y - 6;

2 x – 3 y + 3 = 0;

ಅಗತ್ಯವಿರುವ ಎತ್ತರದ ಸಮೀಕರಣವು ರೂಪವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ: Ax + By + C = 0 ಅಥವಾ y = kx + b. ಕೆ = . ನಂತರ y = . ಏಕೆಂದರೆ ಎತ್ತರವು ಪಾಯಿಂಟ್ C ಮೂಲಕ ಹಾದುಹೋಗುತ್ತದೆ, ನಂತರ ಅದರ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳು ಈ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪೂರೈಸುತ್ತವೆ: ಎಲ್ಲಿಂದ b = 17. ಒಟ್ಟು: .

ಉತ್ತರ: 3 x + 2 y – 34 = 0.

ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ದಿಕ್ಕಿನಲ್ಲಿ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಬಿಂದುವಿನ ಮೂಲಕ ಹಾದುಹೋಗುವ ರೇಖೆಯ ಸಮೀಕರಣ. ಕೊಟ್ಟಿರುವ ಎರಡು ಬಿಂದುಗಳ ಮೂಲಕ ಹಾದುಹೋಗುವ ರೇಖೆಯ ಸಮೀಕರಣ. ಎರಡು ನೇರ ರೇಖೆಗಳ ನಡುವಿನ ಕೋನ. ಎರಡು ಸರಳ ರೇಖೆಗಳ ಸಮಾನಾಂತರತೆ ಮತ್ತು ಲಂಬತೆಯ ಸ್ಥಿತಿ. ಎರಡು ಸಾಲುಗಳ ಛೇದನದ ಬಿಂದುವನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸುವುದು

1. ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಬಿಂದುವಿನ ಮೂಲಕ ಹಾದುಹೋಗುವ ರೇಖೆಯ ಸಮೀಕರಣ ಎ(X 1 , ವೈ 1) ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ದಿಕ್ಕಿನಲ್ಲಿ, ಇಳಿಜಾರಿನ ಮೂಲಕ ನಿರ್ಧರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ ಕೆ,

ವೈ - ವೈ 1 = ಕೆ(X - X 1). (1)

ಈ ಸಮೀಕರಣವು ಒಂದು ಬಿಂದುವಿನ ಮೂಲಕ ಹಾದುಹೋಗುವ ರೇಖೆಗಳ ಪೆನ್ಸಿಲ್ ಅನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸುತ್ತದೆ ಎ(X 1 , ವೈ 1), ಇದನ್ನು ಕಿರಣ ಕೇಂದ್ರ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ.

2. ಎರಡು ಬಿಂದುಗಳ ಮೂಲಕ ಹಾದುಹೋಗುವ ರೇಖೆಯ ಸಮೀಕರಣ: ಎ(X 1 , ವೈ 1) ಮತ್ತು ಬಿ(X 2 , ವೈ 2), ಈ ರೀತಿ ಬರೆಯಲಾಗಿದೆ:

ಎರಡು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಬಿಂದುಗಳ ಮೂಲಕ ಹಾದುಹೋಗುವ ನೇರ ರೇಖೆಯ ಕೋನೀಯ ಗುಣಾಂಕವನ್ನು ಸೂತ್ರದಿಂದ ನಿರ್ಧರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ

3. ನೇರ ರೇಖೆಗಳ ನಡುವಿನ ಕೋನ ಎಮತ್ತು ಬಿಮೊದಲ ನೇರ ರೇಖೆಯನ್ನು ತಿರುಗಿಸಬೇಕಾದ ಕೋನವಾಗಿದೆ ಎಈ ರೇಖೆಗಳ ಛೇದನದ ಬಿಂದುವಿನ ಸುತ್ತಲೂ ಅಪ್ರದಕ್ಷಿಣಾಕಾರವಾಗಿ ಅದು ಎರಡನೇ ಸಾಲಿನೊಂದಿಗೆ ಸೇರಿಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ ಬಿ. ಎರಡು ಸರಳ ರೇಖೆಗಳನ್ನು ಇಳಿಜಾರಿನೊಂದಿಗೆ ಸಮೀಕರಣಗಳಿಂದ ನೀಡಿದರೆ

ವೈ = ಕೆ 1 X + ಬಿ 1 ,

ವೈ = ಕೆ 2 X + ಬಿ 2 , (4)

ನಂತರ ಅವುಗಳ ನಡುವಿನ ಕೋನವನ್ನು ಸೂತ್ರದಿಂದ ನಿರ್ಧರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ

ಭಿನ್ನರಾಶಿಯ ಅಂಶದಲ್ಲಿ, ಮೊದಲ ಸಾಲಿನ ಇಳಿಜಾರು ಎರಡನೇ ಸಾಲಿನ ಇಳಿಜಾರಿನಿಂದ ಕಳೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಎಂದು ಗಮನಿಸಬೇಕು.

ಒಂದು ಸಾಲಿನ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯ ರೂಪದಲ್ಲಿ ನೀಡಿದರೆ

ಎ 1 X + ಬಿ 1 ವೈ + ಸಿ 1 = 0,

ಎ 2 X + ಬಿ 2 ವೈ + ಸಿ 2 = 0, (6)

ಅವುಗಳ ನಡುವಿನ ಕೋನವನ್ನು ಸೂತ್ರದಿಂದ ನಿರ್ಧರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ

4. ಎರಡು ಸಾಲುಗಳ ಸಮಾನಾಂತರತೆಯ ಷರತ್ತುಗಳು:

ಎ) ರೇಖೆಗಳನ್ನು ಸಮೀಕರಣಗಳಿಂದ (4) ಕೋನೀಯ ಗುಣಾಂಕದೊಂದಿಗೆ ನೀಡಿದರೆ, ಅವುಗಳ ಸಮಾನಾಂತರತೆಗೆ ಅಗತ್ಯವಾದ ಮತ್ತು ಸಾಕಷ್ಟು ಸ್ಥಿತಿಯು ಅವುಗಳ ಕೋನೀಯ ಗುಣಾಂಕಗಳ ಸಮಾನತೆಯಾಗಿದೆ:

ಕೆ 1 = ಕೆ 2 . (8)

ಬಿ) ಸಾಮಾನ್ಯ ರೂಪದಲ್ಲಿ (6) ಸಮೀಕರಣಗಳಿಂದ ಸಾಲುಗಳನ್ನು ನೀಡಿದಾಗ, ಅವುಗಳ ಸಮಾನಾಂತರತೆಗೆ ಅಗತ್ಯವಾದ ಮತ್ತು ಸಾಕಷ್ಟು ಷರತ್ತು ಎಂದರೆ ಅವುಗಳ ಸಮೀಕರಣಗಳಲ್ಲಿನ ಅನುಗುಣವಾದ ಪ್ರಸ್ತುತ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳ ಗುಣಾಂಕಗಳು ಅನುಪಾತದಲ್ಲಿರುತ್ತವೆ, ಅಂದರೆ.

5. ಎರಡು ಸರಳ ರೇಖೆಗಳ ಲಂಬವಾಗಿರುವ ಪರಿಸ್ಥಿತಿಗಳು:

a) ರೇಖೆಗಳನ್ನು ಕೋನೀಯ ಗುಣಾಂಕದೊಂದಿಗೆ (4) ಸಮೀಕರಣಗಳಿಂದ ನೀಡಿದಾಗ, ಅವುಗಳ ಲಂಬತೆಗೆ ಅಗತ್ಯವಾದ ಮತ್ತು ಸಾಕಷ್ಟು ಷರತ್ತು ಎಂದರೆ ಅವುಗಳ ಕೋನೀಯ ಗುಣಾಂಕಗಳು ವಿಲೋಮ ಪ್ರಮಾಣದಲ್ಲಿ ಮತ್ತು ಚಿಹ್ನೆಯಲ್ಲಿ ವಿರುದ್ಧವಾಗಿರುತ್ತವೆ, ಅಂದರೆ.

ಈ ಸ್ಥಿತಿಯನ್ನು ಸಹ ರೂಪದಲ್ಲಿ ಬರೆಯಬಹುದು

ಕೆ 1 ಕೆ 2 = -1. (11)

ಬಿ) ರೇಖೆಗಳ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯ ರೂಪದಲ್ಲಿ ನೀಡಿದರೆ (6), ನಂತರ ಅವುಗಳ ಲಂಬತೆಯ ಸ್ಥಿತಿ (ಅಗತ್ಯ ಮತ್ತು ಸಾಕಷ್ಟು) ಸಮಾನತೆಯನ್ನು ಪೂರೈಸುವುದು

ಎ 1 ಎ 2 + ಬಿ 1 ಬಿ 2 = 0. (12)

6. ಎರಡು ಸಾಲುಗಳ ಛೇದನದ ಬಿಂದುವಿನ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳನ್ನು ಸಮೀಕರಣಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವ ಮೂಲಕ ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲಾಗುತ್ತದೆ (6). ರೇಖೆಗಳು (6) ಛೇದಿಸುತ್ತವೆ ವೇಳೆ ಮತ್ತು ಮಾತ್ರ

1. M ಬಿಂದುವಿನ ಮೂಲಕ ಹಾದುಹೋಗುವ ರೇಖೆಗಳ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಬರೆಯಿರಿ, ಅದರಲ್ಲಿ ಒಂದು ಸಮಾನಾಂತರವಾಗಿರುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಇನ್ನೊಂದು ಲಂಬವಾಗಿರುವ ಸಾಲಿಗೆ ಎಲ್.

ಕೋನಬಾಹ್ಯಾಕಾಶದಲ್ಲಿ ನೇರ ರೇಖೆಗಳ ನಡುವೆ ನಾವು ಡೇಟಾಗೆ ಸಮಾನಾಂತರವಾಗಿರುವ ಅನಿಯಂತ್ರಿತ ಬಿಂದುವಿನ ಮೂಲಕ ಎಳೆಯುವ ಎರಡು ಸರಳ ರೇಖೆಗಳಿಂದ ರೂಪುಗೊಂಡ ಯಾವುದೇ ಪಕ್ಕದ ಕೋನಗಳನ್ನು ಕರೆಯುತ್ತೇವೆ.

ಬಾಹ್ಯಾಕಾಶದಲ್ಲಿ ಎರಡು ಸಾಲುಗಳನ್ನು ನೀಡೋಣ:

ನಿಸ್ಸಂಶಯವಾಗಿ, ನೇರ ರೇಖೆಗಳ ನಡುವಿನ ಕೋನ φ ಅನ್ನು ಅವುಗಳ ದಿಕ್ಕಿನ ವಾಹಕಗಳ ನಡುವಿನ ಕೋನವಾಗಿ ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಬಹುದು ಮತ್ತು . ರಿಂದ , ನಂತರ ನಾವು ವಾಹಕಗಳ ನಡುವಿನ ಕೋನದ ಕೊಸೈನ್ ಸೂತ್ರವನ್ನು ಬಳಸುತ್ತೇವೆ

ಎರಡು ಸರಳ ರೇಖೆಗಳ ಸಮಾನಾಂತರತೆ ಮತ್ತು ಲಂಬತೆಯ ಪರಿಸ್ಥಿತಿಗಳು ಸಮಾನಾಂತರತೆ ಮತ್ತು ಅವುಗಳ ದಿಕ್ಕಿನ ವಾಹಕಗಳ ಲಂಬತೆಯ ಪರಿಸ್ಥಿತಿಗಳಿಗೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ ಮತ್ತು:

ಎರಡು ನೇರ ಸಮಾನಾಂತರಒಂದು ವೇಳೆ ಮತ್ತು ಅವುಗಳ ಅನುಗುಣವಾದ ಗುಣಾಂಕಗಳು ಪ್ರಮಾಣಾನುಗುಣವಾಗಿದ್ದರೆ ಮಾತ್ರ, ಅಂದರೆ. ಎಲ್ 1 ಸಮಾನಾಂತರ ಎಲ್ 2 ವೇಳೆ ಮತ್ತು ಸಮಾನಾಂತರವಾಗಿದ್ದರೆ ಮಾತ್ರ .

ಎರಡು ನೇರ ಲಂಬವಾಗಿರುವಅನುಗುಣವಾದ ಗುಣಾಂಕಗಳ ಉತ್ಪನ್ನಗಳ ಮೊತ್ತವು ಶೂನ್ಯಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿದ್ದರೆ ಮತ್ತು ಮಾತ್ರ: .

ಯು ಲೈನ್ ಮತ್ತು ಪ್ಲೇನ್ ನಡುವಿನ ಗುರಿ

ಅದು ನೇರವಾಗಿರಲಿ ಡಿ- θ ಸಮತಲಕ್ಕೆ ಲಂಬವಾಗಿಲ್ಲ;
ಡಿ′− ಒಂದು ಸಾಲಿನ ಪ್ರಕ್ಷೇಪಣ ಡಿθ ಸಮತಲಕ್ಕೆ;
ನೇರ ರೇಖೆಗಳ ನಡುವಿನ ಚಿಕ್ಕ ಕೋನ ಡಿಮತ್ತು ಡಿ"ನಾವು ಕರೆಯುತ್ತೇವೆ ನೇರ ರೇಖೆ ಮತ್ತು ಸಮತಲದ ನಡುವಿನ ಕೋನ.
ನಾವು ಇದನ್ನು φ=( ಎಂದು ಸೂಚಿಸೋಣ ಡಿ,θ)
ಒಂದು ವೇಳೆ ಡಿ⊥θ, ನಂತರ ( ಡಿ,θ)=π/2

ಓಯಿ→ಜ→ಕೆ→- ಆಯತಾಕಾರದ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ ವ್ಯವಸ್ಥೆ.
ಸಮತಲ ಸಮೀಕರಣ:

θ: ಕೊಡಲಿ+ಮೂಲಕ+Cz+ಡಿ=0

ನೇರ ರೇಖೆಯನ್ನು ಬಿಂದು ಮತ್ತು ದಿಕ್ಕಿನ ವೆಕ್ಟರ್ ಮೂಲಕ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆ ಎಂದು ನಾವು ಭಾವಿಸುತ್ತೇವೆ: ಡಿ[ಎಂ 0,ಪ→]
ವೆಕ್ಟರ್ ಎನ್→(ಎ,ಬಿ,ಸಿ)⊥θ
ನಂತರ ವಾಹಕಗಳ ನಡುವಿನ ಕೋನವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲು ಇದು ಉಳಿದಿದೆ ಎನ್→ ಮತ್ತು ಪ→, ನಾವು ಇದನ್ನು γ=( ಎಂದು ಸೂಚಿಸೋಣ ಎನ್→,ಪ→).

ಕೋನ γ ಆಗಿದ್ದರೆ<π/2 , то искомый угол φ=π/2−γ .

ಕೋನವು γ>π/2 ಆಗಿದ್ದರೆ, ಅಪೇಕ್ಷಿತ ಕೋನವು φ=γ−π/2 ಆಗಿರುತ್ತದೆ

sinφ=sin(2π−γ)=cosγ

sinφ=sin(γ−2π)=-cosγ

ನಂತರ, ನೇರ ರೇಖೆ ಮತ್ತು ಸಮತಲದ ನಡುವಿನ ಕೋನಸೂತ್ರವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡಬಹುದು:

sinφ=∣cosγ∣=∣ ∣ Ap 1+ಬಿಪಿ 2+Cp 3∣ ∣ √ಎ 2+ಬಿ 2+ಸಿ 2√ಪ 21+ಪ 22+ಪ 23

ಪ್ರಶ್ನೆ 29. ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ರೂಪದ ಪರಿಕಲ್ಪನೆ. ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ರೂಪಗಳ ನಿರ್ದಿಷ್ಟತೆಯನ್ನು ಸಹಿ ಮಾಡಿ.

ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ರೂಪ j (x 1, x 2, ..., x n) n ನೈಜ ಅಸ್ಥಿರಗಳು x 1, x 2, ..., x nರೂಪದ ಮೊತ್ತ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ
, (1)

ಎಲ್ಲಿ ಒಂದು ij - ಗುಣಾಂಕಗಳು ಎಂದು ಕರೆಯಲ್ಪಡುವ ಕೆಲವು ಸಂಖ್ಯೆಗಳು. ಸಾಮಾನ್ಯತೆಯನ್ನು ಕಳೆದುಕೊಳ್ಳದೆ, ನಾವು ಅದನ್ನು ಊಹಿಸಬಹುದು ಒಂದು ij = ಒಂದು ಜಿ.

ಚತುರ್ಭುಜ ರೂಪವನ್ನು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಮಾನ್ಯ,ಒಂದು ವೇಳೆ ಒಂದು ij Î ಜಿಆರ್. ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ರೂಪದ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ಅದರ ಗುಣಾಂಕಗಳಿಂದ ಮಾಡಲ್ಪಟ್ಟ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ರೂಪ (1) ಮಾತ್ರ ಸಮ್ಮಿತೀಯ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ಗೆ ಅನುರೂಪವಾಗಿದೆ
ಅದು ಎ ಟಿ = ಎ. ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ, ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ರೂಪ (1) ಅನ್ನು ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ರೂಪದಲ್ಲಿ ಬರೆಯಬಹುದು j ( X) = x ಟಿ ಆಹ್, ಎಲ್ಲಿ x ಟಿ = (X 1 X 2 … x n). (2)

ಮತ್ತು, ಪ್ರತಿಯಾಗಿ, ಪ್ರತಿ ಸಮ್ಮಿತೀಯ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ (2) ಅಸ್ಥಿರಗಳ ಸಂಕೇತದವರೆಗೆ ವಿಶಿಷ್ಟವಾದ ಚತುರ್ಭುಜ ರೂಪಕ್ಕೆ ಅನುರೂಪವಾಗಿದೆ.

ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ರೂಪದ ಶ್ರೇಣಿಅದರ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಶ್ರೇಣಿ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಚತುರ್ಭುಜ ರೂಪವನ್ನು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಅವನತಿಯಾಗದ,ಅದರ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಏಕವಚನವಲ್ಲದಿದ್ದರೆ ಎ. (ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಎಂದು ನೆನಪಿಸಿಕೊಳ್ಳಿ ಎಅದರ ನಿರ್ಣಾಯಕವು ಶೂನ್ಯಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿಲ್ಲದಿದ್ದರೆ ಅದನ್ನು ಕ್ಷೀಣಿಸುವುದಿಲ್ಲ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ). ಇಲ್ಲದಿದ್ದರೆ, ಚತುರ್ಭುಜ ರೂಪವು ಕ್ಷೀಣಿಸುತ್ತದೆ.

ಧನಾತ್ಮಕ ಖಚಿತ(ಅಥವಾ ಕಟ್ಟುನಿಟ್ಟಾಗಿ ಧನಾತ್ಮಕ) ವೇಳೆ

j ( X) > 0 , ಯಾರಿಗಾದರೂ X = (X 1 , X 2 , …, x n), ಹೊರತುಪಡಿಸಿ X = (0, 0, …, 0).

ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಎಧನಾತ್ಮಕ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಚತುರ್ಭುಜ ರೂಪ j ( X) ಅನ್ನು ಧನಾತ್ಮಕ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಎಂದೂ ಕರೆಯುತ್ತಾರೆ. ಆದ್ದರಿಂದ, ಧನಾತ್ಮಕ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಚತುರ್ಭುಜ ರೂಪವು ವಿಶಿಷ್ಟ ಧನಾತ್ಮಕ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ಗೆ ಅನುರೂಪವಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ಪ್ರತಿಯಾಗಿ.

ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ರೂಪ (1) ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಋಣಾತ್ಮಕವಾಗಿ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆ(ಅಥವಾ ಕಟ್ಟುನಿಟ್ಟಾಗಿ ಋಣಾತ್ಮಕ) ವೇಳೆ

j ( X) < 0, для любого X = (X 1 , X 2 , …, x n), ಹೊರತುಪಡಿಸಿ X = (0, 0, …, 0).

ಮೇಲಿನಂತೆ, ಋಣಾತ್ಮಕ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಚತುರ್ಭುಜ ರೂಪದ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಅನ್ನು ಋಣಾತ್ಮಕ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಎಂದೂ ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ.

ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ, ಧನಾತ್ಮಕ (ಋಣಾತ್ಮಕ) ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಚತುರ್ಭುಜ ರೂಪ j ( X) ಕನಿಷ್ಠ (ಗರಿಷ್ಠ) ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ತಲುಪುತ್ತದೆ j ( X*) = 0 ನಲ್ಲಿ X* = (0, 0, …, 0).

ಹೆಚ್ಚಿನ ಚತುರ್ಭುಜ ರೂಪಗಳು ಚಿಹ್ನೆ-ನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾಗಿಲ್ಲ, ಅಂದರೆ ಅವು ಧನಾತ್ಮಕ ಅಥವಾ ಋಣಾತ್ಮಕವಾಗಿರುವುದಿಲ್ಲ ಎಂಬುದನ್ನು ಗಮನಿಸಿ. ಅಂತಹ ಚತುರ್ಭುಜ ರೂಪಗಳು ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯ ಮೂಲದಲ್ಲಿ ಮಾತ್ರವಲ್ಲದೆ ಇತರ ಹಂತಗಳಲ್ಲಿಯೂ ಕಣ್ಮರೆಯಾಗುತ್ತವೆ.

ಯಾವಾಗ ಎನ್> 2, ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ರೂಪದ ಚಿಹ್ನೆಯನ್ನು ಪರಿಶೀಲಿಸಲು ವಿಶೇಷ ಮಾನದಂಡಗಳ ಅಗತ್ಯವಿದೆ. ಅವುಗಳನ್ನು ನೋಡೋಣ.

ಪ್ರಮುಖ ಕಿರಿಯರುಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ರೂಪವನ್ನು ಅಪ್ರಾಪ್ತ ವಯಸ್ಕರು ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ:

ಅಂದರೆ, ಇವರು 1, 2, ..., ಕ್ರಮದ ಅಪ್ರಾಪ್ತರು ಎನ್ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಎ, ಮೇಲಿನ ಎಡ ಮೂಲೆಯಲ್ಲಿದೆ, ಅವುಗಳಲ್ಲಿ ಕೊನೆಯದು ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ನ ನಿರ್ಣಾಯಕದೊಂದಿಗೆ ಹೊಂದಿಕೆಯಾಗುತ್ತದೆ ಎ.

ಧನಾತ್ಮಕ ನಿಶ್ಚಿತತೆಯ ಮಾನದಂಡ (ಸಿಲ್ವೆಸ್ಟರ್ ಮಾನದಂಡ)

X) = x ಟಿ ಆಹ್ಧನಾತ್ಮಕ ಖಚಿತವಾಗಿತ್ತು, ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್‌ನ ಎಲ್ಲಾ ಪ್ರಮುಖ ಕಿರಿಯರು ಅಗತ್ಯ ಮತ್ತು ಸಾಕಷ್ಟು ಎಧನಾತ್ಮಕವಾಗಿತ್ತು, ಅಂದರೆ: ಎಂ 1 > 0, ಎಂ 2 > 0, …, ಎಂ ಎನ್ > 0. ಋಣಾತ್ಮಕ ನಿಶ್ಚಿತತೆಯ ಮಾನದಂಡ ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ರೂಪದ ಸಲುವಾಗಿ j ( X) = x ಟಿ ಆಹ್ಋಣಾತ್ಮಕ ಖಚಿತವಾಗಿತ್ತು, ಇದು ಅಗತ್ಯ ಮತ್ತು ಸಾಕಷ್ಟು ಸಮ ಕ್ರಮದ ಅದರ ಪ್ರಮುಖ ಕಿರಿಯರು ಧನಾತ್ಮಕ ಮತ್ತು ಬೆಸ ಕ್ರಮದಲ್ಲಿ - ಋಣಾತ್ಮಕ, ಅಂದರೆ: ಎಂ 1 < 0, ಎಂ 2 > 0, ಎಂ 3 < 0, …, (–1)ಎನ್