ಕ್ರೇಮರ್ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಪ್ರಮೇಯ. ಕ್ರಾಮರ್ ನಿಯಮ

ಶೂನ್ಯಕ್ಕೆ ಸಮನಾಗದ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್‌ನ ಮುಖ್ಯ ನಿರ್ಣಾಯಕದೊಂದಿಗೆ ಅಪರಿಚಿತರ ಸಂಖ್ಯೆಯಂತೆಯೇ ಅದೇ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಸಮೀಕರಣಗಳೊಂದಿಗೆ, ವ್ಯವಸ್ಥೆಯ ಗುಣಾಂಕಗಳು (ಅಂತಹ ಸಮೀಕರಣಗಳಿಗೆ ಪರಿಹಾರವಿದೆ ಮತ್ತು ಒಂದೇ ಇರುತ್ತದೆ).

ಕ್ರೇಮರ್ ಪ್ರಮೇಯ.

ಚದರ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್‌ನ ನಿರ್ಣಾಯಕವು ಶೂನ್ಯವಲ್ಲದಿದ್ದಾಗ, ಸಿಸ್ಟಮ್ ಸ್ಥಿರವಾಗಿರುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಅದು ಒಂದು ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ ಮತ್ತು ಅದನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಬಹುದು ಕ್ರಾಮರ್ ಸೂತ್ರಗಳು:

ಅಲ್ಲಿ Δ - ಸಿಸ್ಟಮ್ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ನ ನಿರ್ಣಾಯಕ,

Δ iಸಿಸ್ಟಮ್ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ನ ನಿರ್ಣಾಯಕವಾಗಿದೆ, ಅದರ ಬದಲಿಗೆ iನೇ ಕಾಲಮ್ ಬಲ ಬದಿಗಳ ಕಾಲಮ್ ಅನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿದೆ.

ವ್ಯವಸ್ಥೆಯ ನಿರ್ಣಾಯಕವು ಶೂನ್ಯವಾಗಿದ್ದರೆ, ವ್ಯವಸ್ಥೆಯು ಸಹಕಾರಿ ಅಥವಾ ಹೊಂದಾಣಿಕೆಯಾಗುವುದಿಲ್ಲ ಎಂದರ್ಥ.

ಈ ವಿಧಾನವನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ವ್ಯಾಪಕವಾದ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರಗಳೊಂದಿಗೆ ಸಣ್ಣ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗಳಿಗೆ ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಅಜ್ಞಾತಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸಲು ಅಗತ್ಯವಿದ್ದರೆ. ವಿಧಾನದ ಸಂಕೀರ್ಣತೆಯು ಅನೇಕ ನಿರ್ಣಾಯಕಗಳನ್ನು ಲೆಕ್ಕಹಾಕಬೇಕಾಗಿದೆ.

ಕ್ರೇಮರ್ ವಿಧಾನದ ವಿವರಣೆ.

ಸಮೀಕರಣಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆ ಇದೆ:

3 ಸಮೀಕರಣಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು ಕ್ರಾಮರ್ ವಿಧಾನವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಪರಿಹರಿಸಬಹುದು, ಇದನ್ನು 2 ಸಮೀಕರಣಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗಾಗಿ ಮೇಲೆ ಚರ್ಚಿಸಲಾಗಿದೆ.

ಅಪರಿಚಿತರ ಗುಣಾಂಕಗಳಿಂದ ನಾವು ನಿರ್ಣಾಯಕವನ್ನು ರಚಿಸುತ್ತೇವೆ:

ಇದು ಇರುತ್ತದೆ ಸಿಸ್ಟಮ್ ಡಿಟರ್ಮಿನಂಟ್. ಯಾವಾಗ D≠0, ಅಂದರೆ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯು ಸ್ಥಿರವಾಗಿದೆ. ಈಗ ನಾವು 3 ಹೆಚ್ಚುವರಿ ನಿರ್ಣಾಯಕಗಳನ್ನು ರಚಿಸೋಣ:

,,

ನಾವು ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುತ್ತೇವೆ ಕ್ರಾಮರ್ ಸೂತ್ರಗಳು:

ಕ್ರೇಮರ್ ವಿಧಾನವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಸಮೀಕರಣಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವ ಉದಾಹರಣೆಗಳು.

ಉದಾಹರಣೆ 1.

ನೀಡಿದ ವ್ಯವಸ್ಥೆ:

ಕ್ರೇಮರ್ ವಿಧಾನವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಅದನ್ನು ಪರಿಹರಿಸೋಣ.

ಮೊದಲು ನೀವು ಸಿಸ್ಟಮ್ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ನ ನಿರ್ಣಾಯಕವನ್ನು ಲೆಕ್ಕ ಹಾಕಬೇಕು:

ಏಕೆಂದರೆ Δ≠0, ಅಂದರೆ ಕ್ರಾಮರ್ನ ಪ್ರಮೇಯದಿಂದ ಸಿಸ್ಟಮ್ ಸ್ಥಿರವಾಗಿರುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಇದು ಒಂದು ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ. ನಾವು ಹೆಚ್ಚುವರಿ ನಿರ್ಣಾಯಕಗಳನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡುತ್ತೇವೆ. ಡಿಟರ್ಮಿನೆಂಟ್ Δ 1 ಅನ್ನು ಡಿಟರ್ಮಿನೆಂಟ್ Δ ನಿಂದ ಅದರ ಮೊದಲ ಕಾಲಮ್ ಅನ್ನು ಉಚಿತ ಗುಣಾಂಕಗಳ ಕಾಲಮ್ನೊಂದಿಗೆ ಬದಲಾಯಿಸುವ ಮೂಲಕ ಪಡೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ನಾವು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ:

ಅದೇ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ, ನಾವು ಎರಡನೇ ಕಾಲಮ್ ಅನ್ನು ಉಚಿತ ಗುಣಾಂಕಗಳ ಕಾಲಮ್ನೊಂದಿಗೆ ಬದಲಾಯಿಸುವ ಮೂಲಕ ಸಿಸ್ಟಮ್ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ನ ನಿರ್ಣಾಯಕದಿಂದ Δ 2 ರ ನಿರ್ಣಾಯಕವನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ:

ವಿಧಾನಗಳು ಕ್ರಾಮರ್ಮತ್ತು ಗೌಸ್- ಅತ್ಯಂತ ಜನಪ್ರಿಯ ಪರಿಹಾರ ವಿಧಾನಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದಾಗಿದೆ SLAU. ಹೆಚ್ಚುವರಿಯಾಗಿ, ಕೆಲವು ಸಂದರ್ಭಗಳಲ್ಲಿ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ವಿಧಾನಗಳನ್ನು ಬಳಸಲು ಸಲಹೆ ನೀಡಲಾಗುತ್ತದೆ. ಅಧಿವೇಶನವು ಹತ್ತಿರದಲ್ಲಿದೆ ಮತ್ತು ಮೊದಲಿನಿಂದಲೂ ಅವುಗಳನ್ನು ಪುನರಾವರ್ತಿಸಲು ಅಥವಾ ಕರಗತ ಮಾಡಿಕೊಳ್ಳಲು ಈಗ ಸಮಯವಾಗಿದೆ. ಇಂದು ನಾವು ಕ್ರಾಮರ್ ವಿಧಾನವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಪರಿಹಾರವನ್ನು ನೋಡೋಣ. ಎಲ್ಲಾ ನಂತರ, ಕ್ರೇಮರ್ ವಿಧಾನವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ರೇಖೀಯ ಸಮೀಕರಣಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವುದು ಬಹಳ ಉಪಯುಕ್ತ ಕೌಶಲ್ಯವಾಗಿದೆ.

ರೇಖೀಯ ಬೀಜಗಣಿತದ ಸಮೀಕರಣಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗಳು

ರೇಖೀಯ ಬೀಜಗಣಿತದ ಸಮೀಕರಣಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯು ರೂಪದ ಸಮೀಕರಣಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯಾಗಿದೆ:

ಮೌಲ್ಯ ಸೆಟ್ X , ಇದರಲ್ಲಿ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯ ಸಮೀಕರಣಗಳು ಗುರುತುಗಳಾಗಿ ಬದಲಾಗುತ್ತವೆ, ಇದನ್ನು ವ್ಯವಸ್ಥೆಯ ಪರಿಹಾರ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ, ಎ ಮತ್ತು ಬಿ ನಿಜವಾದ ಗುಣಾಂಕಗಳಾಗಿವೆ. ಎರಡು ಅಪರಿಚಿತರೊಂದಿಗೆ ಎರಡು ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರುವ ಸರಳವಾದ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು ನಿಮ್ಮ ತಲೆಯಲ್ಲಿ ಪರಿಹರಿಸಬಹುದು ಅಥವಾ ಒಂದು ವೇರಿಯಬಲ್ ಅನ್ನು ಇನ್ನೊಂದಕ್ಕೆ ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸುವ ಮೂಲಕ ಪರಿಹರಿಸಬಹುದು. ಆದರೆ SLAE ನಲ್ಲಿ ಎರಡಕ್ಕಿಂತ ಹೆಚ್ಚು ವೇರಿಯೇಬಲ್‌ಗಳು (xes) ಇರಬಹುದು ಮತ್ತು ಇಲ್ಲಿ ಸರಳವಾದ ಶಾಲಾ ಮ್ಯಾನಿಪ್ಯುಲೇಷನ್‌ಗಳು ಸಾಕಾಗುವುದಿಲ್ಲ. ಏನ್ ಮಾಡೋದು? ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಕ್ರಾಮರ್ಸ್ ವಿಧಾನವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು SLAE ಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಿ!

ಆದ್ದರಿಂದ, ವ್ಯವಸ್ಥೆಯು ಒಳಗೊಂಡಿರಲಿ ಎನ್ ಜೊತೆ ಸಮೀಕರಣಗಳು ಎನ್ ಅಜ್ಞಾತ.

ಅಂತಹ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ರೂಪದಲ್ಲಿ ಪುನಃ ಬರೆಯಬಹುದು

ಇಲ್ಲಿ ಎ - ವ್ಯವಸ್ಥೆಯ ಮುಖ್ಯ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್, X ಮತ್ತು ಬಿ , ಕ್ರಮವಾಗಿ, ಅಜ್ಞಾತ ಅಸ್ಥಿರಗಳು ಮತ್ತು ಉಚಿತ ಪದಗಳ ಕಾಲಮ್ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್.

ಕ್ರಾಮರ್ಸ್ ವಿಧಾನವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು SLAE ಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವುದು

ಮುಖ್ಯ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ನ ನಿರ್ಣಾಯಕವು ಶೂನ್ಯಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿಲ್ಲದಿದ್ದರೆ (ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಏಕವಚನವಲ್ಲ), ಕ್ರಾಮರ್ ವಿಧಾನವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಸಿಸ್ಟಮ್ ಅನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಬಹುದು.

ಕ್ರಾಮರ್ ವಿಧಾನದ ಪ್ರಕಾರ, ಸೂತ್ರಗಳನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲಾಗುತ್ತದೆ:

ಇಲ್ಲಿ ಡೆಲ್ಟಾ ಮುಖ್ಯ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ನ ನಿರ್ಣಾಯಕವಾಗಿದೆ, ಮತ್ತು ಡೆಲ್ಟಾ x nth - ಉಚಿತ ಪದಗಳ ಕಾಲಮ್ನೊಂದಿಗೆ n ನೇ ಕಾಲಮ್ ಅನ್ನು ಬದಲಿಸುವ ಮೂಲಕ ಮುಖ್ಯ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ನ ನಿರ್ಣಾಯಕದಿಂದ ಪಡೆದ ನಿರ್ಣಾಯಕ.

ಇದು ಕ್ರಾಮರ್ ವಿಧಾನದ ಸಂಪೂರ್ಣ ಸಾರವಾಗಿದೆ. ಮೇಲಿನ ಸೂತ್ರಗಳನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಕಂಡುಬರುವ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ಬದಲಿಸುವುದು X ಅಪೇಕ್ಷಿತ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯಲ್ಲಿ, ನಮ್ಮ ಪರಿಹಾರದ ಸರಿಯಾದತೆಯನ್ನು (ಅಥವಾ ಪ್ರತಿಯಾಗಿ) ನಾವು ಮನವರಿಕೆ ಮಾಡುತ್ತೇವೆ. ಸಾರವನ್ನು ತ್ವರಿತವಾಗಿ ಗ್ರಹಿಸಲು ನಿಮಗೆ ಸಹಾಯ ಮಾಡಲು, ಕ್ರಾಮರ್ ವಿಧಾನವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು SLAE ಯ ವಿವರವಾದ ಪರಿಹಾರದ ಉದಾಹರಣೆಯನ್ನು ನಾವು ಕೆಳಗೆ ನೀಡುತ್ತೇವೆ:

ನೀವು ಮೊದಲ ಬಾರಿಗೆ ಯಶಸ್ವಿಯಾಗದಿದ್ದರೂ ಸಹ, ನಿರುತ್ಸಾಹಗೊಳಿಸಬೇಡಿ! ಸ್ವಲ್ಪ ಅಭ್ಯಾಸದೊಂದಿಗೆ, ನೀವು ಬೀಜಗಳಂತೆ SLAU ಗಳನ್ನು ಬಿರುಕುಗೊಳಿಸಲು ಪ್ರಾರಂಭಿಸುತ್ತೀರಿ. ಇದಲ್ಲದೆ, ಈಗ ನೋಟ್‌ಬುಕ್ ಮೇಲೆ ರಂಧ್ರ ಮಾಡುವುದು, ತೊಡಕಿನ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವುದು ಮತ್ತು ಕೋರ್ ಅನ್ನು ಬರೆಯುವುದು ಸಂಪೂರ್ಣವಾಗಿ ಅನಿವಾರ್ಯವಲ್ಲ. ಆನ್‌ಲೈನ್‌ನಲ್ಲಿ ಕ್ರಾಮರ್‌ನ ವಿಧಾನವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ನೀವು ಸುಲಭವಾಗಿ SLAE ಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಬಹುದು, ಕೇವಲ ಗುಣಾಂಕಗಳನ್ನು ಸಿದ್ಧಪಡಿಸಿದ ರೂಪದಲ್ಲಿ ಬದಲಿಸುವ ಮೂಲಕ. ನೀವು ಕ್ರಾಮರ್ ವಿಧಾನವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಆನ್‌ಲೈನ್ ಪರಿಹಾರ ಕ್ಯಾಲ್ಕುಲೇಟರ್ ಅನ್ನು ಪ್ರಯತ್ನಿಸಬಹುದು, ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಈ ವೆಬ್‌ಸೈಟ್‌ನಲ್ಲಿ.

ಮತ್ತು ಸಿಸ್ಟಮ್ ಮೊಂಡುತನದಿಂದ ತಿರುಗಿದರೆ ಮತ್ತು ಬಿಟ್ಟುಕೊಡದಿದ್ದರೆ, ನೀವು ಯಾವಾಗಲೂ ಸಹಾಯಕ್ಕಾಗಿ ನಮ್ಮ ಲೇಖಕರ ಕಡೆಗೆ ತಿರುಗಬಹುದು, ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಗೆ. ವ್ಯವಸ್ಥೆಯಲ್ಲಿ ಕನಿಷ್ಠ 100 ಅಪರಿಚಿತರು ಇದ್ದರೆ, ನಾವು ಅದನ್ನು ಸರಿಯಾಗಿ ಮತ್ತು ಸಮಯಕ್ಕೆ ಸರಿಯಾಗಿ ಪರಿಹರಿಸುತ್ತೇವೆ!

ರೇಖೀಯ ಸಮೀಕರಣಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯು ಸ್ವತಂತ್ರ ಅಸ್ಥಿರಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯಷ್ಟು ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರಲಿ, ಅಂದರೆ. ತೋರುತ್ತಿದೆ

ರೇಖೀಯ ಸಮೀಕರಣಗಳ ಇಂತಹ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗಳನ್ನು ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ವ್ಯವಸ್ಥೆಯ ಸ್ವತಂತ್ರ ಅಸ್ಥಿರಗಳಿಗೆ (1.5) ಗುಣಾಂಕಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರುವ ನಿರ್ಣಾಯಕವನ್ನು ವ್ಯವಸ್ಥೆಯ ಮುಖ್ಯ ನಿರ್ಣಾಯಕ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ನಾವು ಇದನ್ನು ಗ್ರೀಕ್ ಅಕ್ಷರದ D ಯಿಂದ ಸೂಚಿಸುತ್ತೇವೆ. ಹೀಗಾಗಿ,

. (1.6)

ಮುಖ್ಯ ನಿರ್ಣಾಯಕವು ಅನಿಯಂತ್ರಿತ ( ಜ th) ಕಾಲಮ್, ಸಿಸ್ಟಮ್ನ ಉಚಿತ ನಿಯಮಗಳ ಕಾಲಮ್ನೊಂದಿಗೆ ಬದಲಾಯಿಸಿ (1.5), ನಂತರ ನೀವು ಪಡೆಯಬಹುದು ಎನ್ಸಹಾಯಕ ಅರ್ಹತೆಗಳು:

(ಜ = 1, 2, …, ಎನ್). (1.7)

ಕ್ರಾಮರ್ ನಿಯಮರೇಖೀಯ ಸಮೀಕರಣಗಳ ಚತುರ್ಭುಜ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವುದು ಈ ಕೆಳಗಿನಂತಿರುತ್ತದೆ. ಸಿಸ್ಟಮ್ನ ಮುಖ್ಯ ನಿರ್ಣಾಯಕ ಡಿ (1.5) ಶೂನ್ಯಕ್ಕಿಂತ ಭಿನ್ನವಾಗಿದ್ದರೆ, ಸಿಸ್ಟಮ್ ಒಂದು ಅನನ್ಯ ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ, ಅದನ್ನು ಸೂತ್ರಗಳನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಬಹುದು:

(1.8)

ಉದಾಹರಣೆ 1.5.ಕ್ರೇಮರ್ ವಿಧಾನವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಸಮೀಕರಣಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಿ

.

ಸಿಸ್ಟಮ್ನ ಮುಖ್ಯ ನಿರ್ಣಾಯಕವನ್ನು ನಾವು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡೋಣ:

D¹0 ರಿಂದ, ಸಿಸ್ಟಮ್ ಒಂದು ಅನನ್ಯ ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ, ಇದನ್ನು ಸೂತ್ರಗಳನ್ನು (1.8) ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಬಹುದು:

ಹೀಗಾಗಿ,

ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಮೇಲಿನ ಕ್ರಿಯೆಗಳು

1. ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಅನ್ನು ಸಂಖ್ಯೆಯಿಂದ ಗುಣಿಸುವುದು.ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಅನ್ನು ಸಂಖ್ಯೆಯಿಂದ ಗುಣಿಸುವ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಯನ್ನು ಈ ಕೆಳಗಿನಂತೆ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆ.

2. ಸಂಖ್ಯೆಯಿಂದ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಅನ್ನು ಗುಣಿಸಲು, ನೀವು ಅದರ ಎಲ್ಲಾ ಅಂಶಗಳನ್ನು ಈ ಸಂಖ್ಯೆಯಿಂದ ಗುಣಿಸಬೇಕಾಗುತ್ತದೆ. ಅದು

. (1.9)

ಉದಾಹರಣೆ 1.6. .

ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಸೇರ್ಪಡೆ.

ಈ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಯನ್ನು ಒಂದೇ ಕ್ರಮದ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್‌ಗಳಿಗೆ ಮಾತ್ರ ಪರಿಚಯಿಸಲಾಗಿದೆ.

ಎರಡು ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್‌ಗಳನ್ನು ಸೇರಿಸಲು, ಒಂದು ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್‌ನ ಅಂಶಗಳಿಗೆ ಮತ್ತೊಂದು ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್‌ನ ಅನುಗುಣವಾದ ಅಂಶಗಳನ್ನು ಸೇರಿಸುವುದು ಅವಶ್ಯಕ:

(1.10)
ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಸೇರ್ಪಡೆಯ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಯು ಅಸೋಸಿಯೇಟಿವಿಟಿ ಮತ್ತು ಕಮ್ಯುಟಾಟಿವಿಟಿ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ.

ಉದಾಹರಣೆ 1.7. .

ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಗುಣಾಕಾರ.

ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಕಾಲಮ್‌ಗಳ ಸಂಖ್ಯೆ ಇದ್ದರೆ ಎಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಸಾಲುಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯೊಂದಿಗೆ ಹೊಂದಿಕೆಯಾಗುತ್ತದೆ IN, ನಂತರ ಅಂತಹ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ಗಾಗಿ ಗುಣಾಕಾರ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಯನ್ನು ಪರಿಚಯಿಸಲಾಗಿದೆ:

2

ಹೀಗಾಗಿ, ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಅನ್ನು ಗುಣಿಸುವಾಗ ಎಆಯಾಮಗಳು ಮೀ´ ಎನ್ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ಗೆ INಆಯಾಮಗಳು ಎನ್´ ಕೆನಾವು ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಅನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ ಜೊತೆಗೆಆಯಾಮಗಳು ಮೀ´ ಕೆ. ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಅಂಶಗಳು ಜೊತೆಗೆಕೆಳಗಿನ ಸೂತ್ರಗಳನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಲೆಕ್ಕಹಾಕಲಾಗುತ್ತದೆ:

ಸಮಸ್ಯೆ 1.8.ಸಾಧ್ಯವಾದರೆ, ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಉತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಹುಡುಕಿ ಎಬಿಮತ್ತು ಬಿ.ಎ.:

ಪರಿಹಾರ. 1) ಕೆಲಸವನ್ನು ಹುಡುಕುವ ಸಲುವಾಗಿ ಎಬಿ, ನಿಮಗೆ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಸಾಲುಗಳ ಅಗತ್ಯವಿದೆ ಎಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಕಾಲಮ್‌ಗಳಿಂದ ಗುಣಿಸಿ ಬಿ:

2) ಕೆಲಸ ಬಿ.ಎ.ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿಲ್ಲ, ಏಕೆಂದರೆ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಕಾಲಮ್‌ಗಳ ಸಂಖ್ಯೆ ಬಿಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಸಾಲುಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಗೆ ಹೊಂದಿಕೆಯಾಗುವುದಿಲ್ಲ ಎ.

ವಿಲೋಮ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್. ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ವಿಧಾನವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ರೇಖೀಯ ಸಮೀಕರಣಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವುದು

ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ A- 1 ಅನ್ನು ಚದರ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್‌ನ ವಿಲೋಮ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಎ, ಸಮಾನತೆಯನ್ನು ತೃಪ್ತಿಪಡಿಸಿದರೆ:

ಅಲ್ಲಿ ಮೂಲಕ Iಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ನ ಅದೇ ಕ್ರಮದ ಗುರುತಿನ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಅನ್ನು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ ಎ:

.

ಚದರ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ವಿಲೋಮವನ್ನು ಹೊಂದಲು, ಅದರ ನಿರ್ಣಾಯಕವು ಶೂನ್ಯಕ್ಕಿಂತ ಭಿನ್ನವಾಗಿರುವುದು ಅವಶ್ಯಕ ಮತ್ತು ಸಾಕಾಗುತ್ತದೆ. ವಿಲೋಮ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಅನ್ನು ಸೂತ್ರವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲಾಗುತ್ತದೆ:

, (1.13)

ಎಲ್ಲಿ ಎ ಐಜೆ- ಅಂಶಗಳಿಗೆ ಬೀಜಗಣಿತದ ಸೇರ್ಪಡೆಗಳು ಒಂದು ijಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಎ(ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಸಾಲುಗಳಿಗೆ ಬೀಜಗಣಿತದ ಸೇರ್ಪಡೆಗಳನ್ನು ಗಮನಿಸಿ ಎಅನುಗುಣವಾದ ಕಾಲಮ್‌ಗಳ ರೂಪದಲ್ಲಿ ವಿಲೋಮ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್‌ನಲ್ಲಿ ನೆಲೆಗೊಂಡಿವೆ).

ಉದಾಹರಣೆ 1.9.ವಿಲೋಮ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಅನ್ನು ಹುಡುಕಿ A- 1 ರಿಂದ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್

.

ನಾವು ವಿಲೋಮ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಅನ್ನು ಸೂತ್ರವನ್ನು (1.13) ಬಳಸಿ ಕಂಡುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ, ಇದು ಪ್ರಕರಣಕ್ಕೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದೆ ಎನ್= 3 ರೂಪವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ:

.

ಅದನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯೋಣ ಎ = | ಎ| = 1 × 3 × 8 + 2 × 5 × 3 + 2 × 4 × 3 - 3 × 3 × 3 - 1 × 5 × 4 - 2 × 2 × 8 = 24 + 30 + 24 - 27 - 20 - 32 = - 1. ಮೂಲ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್‌ನ ನಿರ್ಣಾಯಕವು ಶೂನ್ಯವಲ್ಲದ ಕಾರಣ, ವಿಲೋಮ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿದೆ.

1) ಬೀಜಗಣಿತದ ಪೂರಕಗಳನ್ನು ಹುಡುಕಿ ಎ ಐಜೆ:

ವಿಲೋಮ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಅನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವ ಅನುಕೂಲಕ್ಕಾಗಿ, ನಾವು ಮೂಲ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್‌ನ ಸಾಲುಗಳಿಗೆ ಬೀಜಗಣಿತದ ಸೇರ್ಪಡೆಗಳನ್ನು ಅನುಗುಣವಾದ ಕಾಲಮ್‌ಗಳಲ್ಲಿ ಇರಿಸಿದ್ದೇವೆ.

ಪಡೆದ ಬೀಜಗಣಿತದ ಸೇರ್ಪಡೆಗಳಿಂದ ನಾವು ಹೊಸ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಅನ್ನು ರಚಿಸುತ್ತೇವೆ ಮತ್ತು ಅದನ್ನು ಡಿಟರ್ಮಿನಂಟ್ ಡೆಟ್ನಿಂದ ಭಾಗಿಸುತ್ತೇವೆ ಎ. ಹೀಗಾಗಿ, ನಾವು ವಿಲೋಮ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಅನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ:

ಶೂನ್ಯವಲ್ಲದ ಪ್ರಧಾನ ನಿರ್ಣಾಯಕವನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ರೇಖೀಯ ಸಮೀಕರಣಗಳ ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗಳನ್ನು ವಿಲೋಮ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಬಳಸಿ ಪರಿಹರಿಸಬಹುದು. ಇದನ್ನು ಮಾಡಲು, ಸಿಸ್ಟಮ್ (1.5) ಅನ್ನು ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ರೂಪದಲ್ಲಿ ಬರೆಯಲಾಗಿದೆ:

ಎಲ್ಲಿ

ಸಮಾನತೆಯ ಎರಡೂ ಬದಿಗಳನ್ನು (1.14) ಎಡದಿಂದ ಗುಣಿಸುವುದು A- 1, ನಾವು ಸಿಸ್ಟಮ್ಗೆ ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ:

, ಎಲ್ಲಿ

ಹೀಗಾಗಿ, ಚೌಕದ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗೆ ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲು, ನೀವು ಸಿಸ್ಟಮ್ನ ಮುಖ್ಯ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ನ ವಿಲೋಮ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಅನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಬೇಕು ಮತ್ತು ಅದನ್ನು ಮುಕ್ತ ಪದಗಳ ಕಾಲಮ್ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ನಿಂದ ಬಲಭಾಗದಲ್ಲಿ ಗುಣಿಸಬೇಕು.

ಸಮಸ್ಯೆ 1.10.ರೇಖೀಯ ಸಮೀಕರಣಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಿ

ವಿಲೋಮ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಬಳಸಿ.

ಪರಿಹಾರ.ಸಿಸ್ಟಮ್ ಅನ್ನು ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ರೂಪದಲ್ಲಿ ಬರೆಯೋಣ:

ಎಲ್ಲಿ - ಸಿಸ್ಟಮ್ನ ಮುಖ್ಯ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್, - ಅಪರಿಚಿತರ ಕಾಲಮ್ ಮತ್ತು - ಉಚಿತ ಪದಗಳ ಕಾಲಮ್. ವ್ಯವಸ್ಥೆಯ ಮುಖ್ಯ ನಿರ್ಣಾಯಕ ರಿಂದ , ನಂತರ ಸಿಸ್ಟಮ್ನ ಮುಖ್ಯ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಎವಿಲೋಮ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಹೊಂದಿದೆ ಎ-1. ವಿಲೋಮ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಅನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲು ಎ-1, ನಾವು ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್‌ನ ಎಲ್ಲಾ ಅಂಶಗಳಿಗೆ ಬೀಜಗಣಿತದ ಪೂರಕಗಳನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡುತ್ತೇವೆ ಎ:

ಪಡೆದ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಿಂದ ನಾವು ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಅನ್ನು ರಚಿಸುತ್ತೇವೆ (ಮತ್ತು ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ನ ಸಾಲುಗಳಿಗೆ ಬೀಜಗಣಿತದ ಸೇರ್ಪಡೆಗಳು ಎಅದನ್ನು ಸೂಕ್ತ ಕಾಲಮ್‌ಗಳಲ್ಲಿ ಬರೆಯಿರಿ) ಮತ್ತು ಅದನ್ನು ಡಿಟರ್ಮಿನಂಟ್ ಡಿ ಯಿಂದ ಭಾಗಿಸಿ. ಹೀಗಾಗಿ, ನಾವು ವಿಲೋಮ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಅನ್ನು ಕಂಡುಕೊಂಡಿದ್ದೇವೆ:

ನಾವು ಸೂತ್ರವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಸಿಸ್ಟಮ್ಗೆ ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಕಂಡುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ (1.15):

ಹೀಗಾಗಿ,

ಸಾಮಾನ್ಯ ಜೋರ್ಡಾನ್ ಎಲಿಮಿನೇಷನ್ ವಿಧಾನವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ರೇಖೀಯ ಸಮೀಕರಣಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವುದು

ರೇಖೀಯ ಸಮೀಕರಣಗಳ ಅನಿಯಂತ್ರಿತ (ಅಗತ್ಯವಾಗಿ ಚತುರ್ಭುಜವಲ್ಲ) ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು ನೀಡೋಣ:

(1.16)

ಸಿಸ್ಟಮ್ಗೆ ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವುದು ಅವಶ್ಯಕ, ಅಂದರೆ. ವ್ಯವಸ್ಥೆಯ ಎಲ್ಲಾ ಸಮಾನತೆಗಳನ್ನು (1.16) ಪೂರೈಸುವ ಅಸ್ಥಿರಗಳ ಒಂದು ಸೆಟ್. ಸಾಮಾನ್ಯ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ಸಿಸ್ಟಮ್ (1.16) ಒಂದು ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಮಾತ್ರವಲ್ಲ, ಲೆಕ್ಕವಿಲ್ಲದಷ್ಟು ಪರಿಹಾರಗಳನ್ನು ಸಹ ಹೊಂದಬಹುದು. ಇದು ಯಾವುದೇ ಪರಿಹಾರಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿಲ್ಲದಿರಬಹುದು.

ಅಂತಹ ಸಮಸ್ಯೆಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವಾಗ, ಅಪರಿಚಿತರನ್ನು ತೆಗೆದುಹಾಕುವ ಪ್ರಸಿದ್ಧ ಶಾಲಾ ಕೋರ್ಸ್ ವಿಧಾನವನ್ನು ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ, ಇದನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯ ಜೋರ್ಡಾನ್ ಎಲಿಮಿನೇಷನ್ ವಿಧಾನ ಎಂದೂ ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಈ ವಿಧಾನದ ಮೂಲತತ್ವವೆಂದರೆ ಸಿಸ್ಟಮ್ನ ಸಮೀಕರಣಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದರಲ್ಲಿ (1.16) ಅಸ್ಥಿರಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದನ್ನು ಇತರ ಅಸ್ಥಿರಗಳ ವಿಷಯದಲ್ಲಿ ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಈ ವೇರಿಯೇಬಲ್ ಅನ್ನು ನಂತರ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯಲ್ಲಿನ ಇತರ ಸಮೀಕರಣಗಳಿಗೆ ಬದಲಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಫಲಿತಾಂಶವು ಮೂಲ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗಿಂತ ಕಡಿಮೆ ಒಂದು ಸಮೀಕರಣ ಮತ್ತು ಒಂದು ವೇರಿಯೇಬಲ್ ಅನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರುವ ಒಂದು ವ್ಯವಸ್ಥೆಯಾಗಿದೆ. ವೇರಿಯೇಬಲ್ ಅನ್ನು ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸಿದ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ನೆನಪಿಸಿಕೊಳ್ಳಲಾಗುತ್ತದೆ.

ವ್ಯವಸ್ಥೆಯಲ್ಲಿ ಕೊನೆಯ ಸಮೀಕರಣವು ಉಳಿಯುವವರೆಗೆ ಈ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಯನ್ನು ಪುನರಾವರ್ತಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಅಪರಿಚಿತರನ್ನು ತೆಗೆದುಹಾಕುವ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಯ ಮೂಲಕ, ಕೆಲವು ಸಮೀಕರಣಗಳು ನಿಜವಾದ ಗುರುತಾಗಬಹುದು, ಉದಾ. ಅಂತಹ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ವ್ಯವಸ್ಥೆಯಿಂದ ಹೊರಗಿಡಲಾಗುತ್ತದೆ, ಏಕೆಂದರೆ ಅವು ಅಸ್ಥಿರಗಳ ಯಾವುದೇ ಮೌಲ್ಯಗಳಿಗೆ ತೃಪ್ತಿ ಹೊಂದುತ್ತವೆ ಮತ್ತು ಆದ್ದರಿಂದ, ಸಿಸ್ಟಮ್ನ ಪರಿಹಾರದ ಮೇಲೆ ಪರಿಣಾಮ ಬೀರುವುದಿಲ್ಲ. ಅಪರಿಚಿತರನ್ನು ತೆಗೆದುಹಾಕುವ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಯಲ್ಲಿ, ಕನಿಷ್ಠ ಒಂದು ಸಮೀಕರಣವು ಸಮಾನತೆಯಾಗಿ ಮಾರ್ಪಟ್ಟರೆ, ಅದು ಯಾವುದೇ ಅಸ್ಥಿರ ಮೌಲ್ಯಗಳಿಗೆ (ಉದಾಹರಣೆಗೆ) ತೃಪ್ತಿಪಡಿಸಲು ಸಾಧ್ಯವಿಲ್ಲ, ಆಗ ನಾವು ವ್ಯವಸ್ಥೆಗೆ ಯಾವುದೇ ಪರಿಹಾರವಿಲ್ಲ ಎಂದು ತೀರ್ಮಾನಿಸುತ್ತೇವೆ.

ಪರಿಹಾರದ ಸಮಯದಲ್ಲಿ ಯಾವುದೇ ವಿರೋಧಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣಗಳು ಉದ್ಭವಿಸದಿದ್ದರೆ, ಅದರಲ್ಲಿ ಉಳಿದಿರುವ ಅಸ್ಥಿರಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದನ್ನು ಕೊನೆಯ ಸಮೀಕರಣದಿಂದ ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಕೊನೆಯ ಸಮೀಕರಣದಲ್ಲಿ ಒಂದೇ ಒಂದು ವೇರಿಯೇಬಲ್ ಉಳಿದಿದ್ದರೆ, ಅದನ್ನು ಸಂಖ್ಯೆಯಾಗಿ ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಇತರ ಅಸ್ಥಿರಗಳು ಕೊನೆಯ ಸಮೀಕರಣದಲ್ಲಿ ಉಳಿದಿದ್ದರೆ, ಅವುಗಳನ್ನು ನಿಯತಾಂಕಗಳು ಎಂದು ಪರಿಗಣಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಅವುಗಳ ಮೂಲಕ ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸಿದ ವೇರಿಯಬಲ್ ಈ ನಿಯತಾಂಕಗಳ ಕಾರ್ಯವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ನಂತರ "ರಿವರ್ಸ್ ಮೂವ್" ಎಂದು ಕರೆಯಲ್ಪಡುವ ನಡೆಯುತ್ತದೆ. ಕಂಡುಬಂದ ವೇರಿಯೇಬಲ್ ಅನ್ನು ಕೊನೆಯದಾಗಿ ನೆನಪಿಸಿದ ಸಮೀಕರಣಕ್ಕೆ ಬದಲಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಎರಡನೇ ವೇರಿಯಬಲ್ ಕಂಡುಬರುತ್ತದೆ. ನಂತರ ಕಂಡುಬರುವ ಎರಡು ಅಸ್ಥಿರಗಳನ್ನು ಅಂತಿಮ ಕಂಠಪಾಠದ ಸಮೀಕರಣಕ್ಕೆ ಬದಲಾಯಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಮೂರನೇ ವೇರಿಯಬಲ್ ಕಂಡುಬರುತ್ತದೆ, ಮತ್ತು ಹೀಗೆ, ಮೊದಲ ಕಂಠಪಾಠದ ಸಮೀಕರಣದವರೆಗೆ.

ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ, ನಾವು ವ್ಯವಸ್ಥೆಗೆ ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ. ಕಂಡುಬರುವ ಅಸ್ಥಿರಗಳು ಸಂಖ್ಯೆಗಳಾಗಿದ್ದರೆ ಈ ಪರಿಹಾರವು ಅನನ್ಯವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಮೊದಲ ವೇರಿಯಬಲ್ ಕಂಡುಬಂದರೆ, ಮತ್ತು ನಂತರ ಎಲ್ಲಾ, ನಿಯತಾಂಕಗಳನ್ನು ಅವಲಂಬಿಸಿದೆ, ನಂತರ ಸಿಸ್ಟಮ್ ಅನಂತ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಪರಿಹಾರಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ (ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಪ್ಯಾರಾಮೀಟರ್ಗಳು ಹೊಸ ಪರಿಹಾರಕ್ಕೆ ಅನುಗುಣವಾಗಿರುತ್ತವೆ). ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ನಿಯತಾಂಕಗಳನ್ನು ಅವಲಂಬಿಸಿ ಸಿಸ್ಟಮ್ಗೆ ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲು ನಿಮಗೆ ಅನುಮತಿಸುವ ಸೂತ್ರಗಳನ್ನು ಸಿಸ್ಟಮ್ನ ಸಾಮಾನ್ಯ ಪರಿಹಾರ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ.

ಉದಾಹರಣೆ 1.11.

X

ಮೊದಲ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಕಂಠಪಾಠ ಮಾಡಿದ ನಂತರ ಮತ್ತು ಎರಡನೇ ಮತ್ತು ಮೂರನೇ ಸಮೀಕರಣಗಳಲ್ಲಿ ಇದೇ ರೀತಿಯ ಪದಗಳನ್ನು ತರುವುದರಿಂದ ನಾವು ಸಿಸ್ಟಮ್‌ಗೆ ಬರುತ್ತೇವೆ:

ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸೋಣ ವೈಎರಡನೇ ಸಮೀಕರಣದಿಂದ ಮತ್ತು ಅದನ್ನು ಮೊದಲ ಸಮೀಕರಣಕ್ಕೆ ಬದಲಿಸಿ:

ನಾವು ಎರಡನೇ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ನೆನಪಿಸೋಣ, ಮತ್ತು ಮೊದಲಿನಿಂದ ನಾವು ಕಂಡುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ z:

ಹಿಂದಕ್ಕೆ ಕೆಲಸ ಮಾಡುವುದರಿಂದ, ನಾವು ನಿರಂತರವಾಗಿ ಕಂಡುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ ವೈಮತ್ತು z. ಇದನ್ನು ಮಾಡಲು, ನಾವು ಮೊದಲು ನೆನಪಿಸಿಕೊಳ್ಳುವ ಕೊನೆಯ ಸಮೀಕರಣಕ್ಕೆ ಪರ್ಯಾಯವಾಗಿ ನಾವು ಕಂಡುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ ವೈ:

.

ನಂತರ ನಾವು ಅದನ್ನು ಮೊದಲ ಕಂಠಪಾಠದ ಸಮೀಕರಣಕ್ಕೆ ಬದಲಿಸುತ್ತೇವೆ ನಾವು ಅದನ್ನು ಎಲ್ಲಿ ಕಾಣಬಹುದು X:

ಸಮಸ್ಯೆ 1.12.ಅಪರಿಚಿತರನ್ನು ತೆಗೆದುಹಾಕುವ ಮೂಲಕ ರೇಖೀಯ ಸಮೀಕರಣಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಿ:

. (1.17)

ಪರಿಹಾರ.ಮೊದಲ ಸಮೀಕರಣದಿಂದ ವೇರಿಯೇಬಲ್ ಅನ್ನು ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸೋಣ Xಮತ್ತು ಅದನ್ನು ಎರಡನೇ ಮತ್ತು ಮೂರನೇ ಸಮೀಕರಣಗಳಾಗಿ ಬದಲಿಸಿ:

.

ಮೊದಲ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ನೆನಪಿಸೋಣ

ಈ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯಲ್ಲಿ, ಮೊದಲ ಮತ್ತು ಎರಡನೆಯ ಸಮೀಕರಣಗಳು ಪರಸ್ಪರ ವಿರುದ್ಧವಾಗಿರುತ್ತವೆ. ವಾಸ್ತವವಾಗಿ, ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸುವುದು ವೈ , ನಾವು 14 = 17 ಅನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ. ಈ ಸಮಾನತೆಯು ಅಸ್ಥಿರಗಳ ಯಾವುದೇ ಮೌಲ್ಯಗಳಿಗೆ ಹೊಂದಿಕೆಯಾಗುವುದಿಲ್ಲ X, ವೈ, ಮತ್ತು z. ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ, ಸಿಸ್ಟಮ್ (1.17) ಅಸಮಂಜಸವಾಗಿದೆ, ಅಂದರೆ. ಯಾವುದೇ ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಹೊಂದಿಲ್ಲ.

ಮೂಲ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯ ಮುಖ್ಯ ನಿರ್ಣಾಯಕ ಅಂಶವು (1.17) ಶೂನ್ಯಕ್ಕೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ ಎಂದು ಸ್ವತಃ ಪರಿಶೀಲಿಸಲು ಓದುಗರನ್ನು ನಾವು ಆಹ್ವಾನಿಸುತ್ತೇವೆ.

ಕೇವಲ ಒಂದು ಉಚಿತ ಪದದಿಂದ ಸಿಸ್ಟಮ್ (1.17) ನಿಂದ ಭಿನ್ನವಾಗಿರುವ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು ನಾವು ಪರಿಗಣಿಸೋಣ.

ಸಮಸ್ಯೆ 1.13.ಅಪರಿಚಿತರನ್ನು ತೆಗೆದುಹಾಕುವ ಮೂಲಕ ರೇಖೀಯ ಸಮೀಕರಣಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಿ:

. (1.18)

ಪರಿಹಾರ.ಮೊದಲಿನಂತೆಯೇ, ನಾವು ಮೊದಲ ಸಮೀಕರಣದಿಂದ ವೇರಿಯಬಲ್ ಅನ್ನು ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸುತ್ತೇವೆ Xಮತ್ತು ಅದನ್ನು ಎರಡನೇ ಮತ್ತು ಮೂರನೇ ಸಮೀಕರಣಗಳಾಗಿ ಬದಲಿಸಿ:

.

ಮೊದಲ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ನೆನಪಿಸೋಣ ಮತ್ತು ಎರಡನೇ ಮತ್ತು ಮೂರನೇ ಸಮೀಕರಣಗಳಲ್ಲಿ ಇದೇ ರೀತಿಯ ಪದಗಳನ್ನು ಪ್ರಸ್ತುತಪಡಿಸಿ. ನಾವು ವ್ಯವಸ್ಥೆಗೆ ಬರುತ್ತೇವೆ:

ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸುತ್ತಿದ್ದಾರೆ ವೈಮೊದಲ ಸಮೀಕರಣದಿಂದ ಮತ್ತು ಅದನ್ನು ಎರಡನೇ ಸಮೀಕರಣಕ್ಕೆ ಬದಲಿಸುವುದು , ನಾವು ಗುರುತನ್ನು 14 = 14 ಅನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ, ಇದು ಸಿಸ್ಟಮ್ನ ಪರಿಹಾರದ ಮೇಲೆ ಪರಿಣಾಮ ಬೀರುವುದಿಲ್ಲ ಮತ್ತು ಆದ್ದರಿಂದ, ಅದನ್ನು ಸಿಸ್ಟಮ್ನಿಂದ ಹೊರಗಿಡಬಹುದು.

ಕೊನೆಯ ನೆನಪಿನ ಸಮಾನತೆಯಲ್ಲಿ, ವೇರಿಯಬಲ್ zನಾವು ಅದನ್ನು ಪ್ಯಾರಾಮೀಟರ್ ಎಂದು ಪರಿಗಣಿಸುತ್ತೇವೆ. ನಾವು ನಂಬುತ್ತೇವೆ. ನಂತರ

ಬದಲಿ ಮಾಡೋಣ ವೈಮತ್ತು zಮೊದಲ ನೆನಪಿನಲ್ಲಿ ಸಮಾನತೆ ಮತ್ತು ಹೇಗೆ X:

.

ಹೀಗಾಗಿ, ಸಿಸ್ಟಮ್ (1.18) ಅನಂತ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಪರಿಹಾರಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ, ಮತ್ತು ಯಾವುದೇ ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಸೂತ್ರಗಳನ್ನು (1.19) ಬಳಸಿ ಕಂಡುಹಿಡಿಯಬಹುದು, ನಿಯತಾಂಕದ ಅನಿಯಂತ್ರಿತ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಆರಿಸಿಕೊಳ್ಳಬಹುದು. ಟಿ:

(1.19)
ಆದ್ದರಿಂದ ಸಿಸ್ಟಂನ ಪರಿಹಾರಗಳು, ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಈ ಕೆಳಗಿನ ಅಸ್ಥಿರಗಳ ಸೆಟ್ಗಳಾಗಿವೆ (1; 2; 0), (2; 26; 14), ಇತ್ಯಾದಿ. ಸೂತ್ರಗಳು (1.19) ವ್ಯವಸ್ಥೆಯ ಸಾಮಾನ್ಯ (ಯಾವುದೇ) ಪರಿಹಾರವನ್ನು ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸುತ್ತವೆ (1.18). )

ಮೂಲ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯು (1.16) ಸಾಕಷ್ಟು ದೊಡ್ಡ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಸಮೀಕರಣಗಳು ಮತ್ತು ಅಜ್ಞಾತಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವಾಗ, ಸಾಮಾನ್ಯ ಜೋರ್ಡಾನ್ ನಿರ್ಮೂಲನದ ಸೂಚಿಸಿದ ವಿಧಾನವು ತೊಡಕಾಗಿ ತೋರುತ್ತದೆ. ಆದಾಗ್ಯೂ, ಇದು ಅಲ್ಲ. ಸಾಮಾನ್ಯ ರೂಪದಲ್ಲಿ ಒಂದು ಹಂತದಲ್ಲಿ ಸಿಸ್ಟಮ್ ಗುಣಾಂಕಗಳನ್ನು ಮರು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡಲು ಅಲ್ಗಾರಿದಮ್ ಅನ್ನು ಪಡೆಯಲು ಮತ್ತು ವಿಶೇಷ ಜೋರ್ಡಾನ್ ಕೋಷ್ಟಕಗಳ ರೂಪದಲ್ಲಿ ಸಮಸ್ಯೆಗೆ ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಔಪಚಾರಿಕಗೊಳಿಸಲು ಸಾಕು.

ರೇಖೀಯ ರೂಪಗಳ (ಸಮೀಕರಣಗಳು) ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು ನೀಡೋಣ:

, (1.20)
ಎಲ್ಲಿ x ಜೆ- ಸ್ವತಂತ್ರ (ಬಯಸಿದ) ಅಸ್ಥಿರ, ಒಂದು ij- ಸ್ಥಿರ ಗುಣಾಂಕಗಳು
(ನಾನು = 1, 2,…, ಮೀ; ಜ = 1, 2,…, ಎನ್) ವ್ಯವಸ್ಥೆಯ ಬಲ ಭಾಗಗಳು ವೈ ಐ (ನಾನು = 1, 2,…, ಮೀ) ಅಸ್ಥಿರ (ಅವಲಂಬಿತ) ಅಥವಾ ಸ್ಥಿರಾಂಕಗಳಾಗಿರಬಹುದು. ಅಪರಿಚಿತರನ್ನು ತೊಡೆದುಹಾಕುವ ಮೂಲಕ ಈ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗೆ ಪರಿಹಾರಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವ ಅಗತ್ಯವಿದೆ.

ನಾವು ಈ ಕೆಳಗಿನ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಯನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸೋಣ, ಇನ್ನು ಮುಂದೆ "ಸಾಮಾನ್ಯ ಜೋರ್ಡಾನ್ ಎಲಿಮಿನೇಷನ್‌ಗಳ ಒಂದು ಹೆಜ್ಜೆ" ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ನಿರಂಕುಶವಾಗಿ ( ಆರ್ th) ಸಮಾನತೆ ನಾವು ಅನಿಯಂತ್ರಿತ ವೇರಿಯಬಲ್ ಅನ್ನು ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸುತ್ತೇವೆ ( xs) ಮತ್ತು ಎಲ್ಲಾ ಇತರ ಸಮಾನತೆಗಳಿಗೆ ಬದಲಿಯಾಗಿ. ಸಹಜವಾಗಿ, ಇದು ಇದ್ದರೆ ಮಾತ್ರ ಸಾಧ್ಯ ಒಂದು ರೂ¹ 0. ಗುಣಾಂಕ ಒಂದು ರೂಪರಿಹರಿಸುವ (ಕೆಲವೊಮ್ಮೆ ಮಾರ್ಗದರ್ಶಿ ಅಥವಾ ಮುಖ್ಯ) ಅಂಶ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ.

ನಾವು ಈ ಕೆಳಗಿನ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ:

. (1.21)

ಇಂದ ರು- ವ್ಯವಸ್ಥೆಯ ಸಮಾನತೆ (1.21), ನಾವು ತರುವಾಯ ವೇರಿಯಬಲ್ ಅನ್ನು ಕಂಡುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ xs(ಉಳಿದ ಅಸ್ಥಿರಗಳು ಕಂಡುಬಂದ ನಂತರ). ಎಸ್-ನೇ ಸಾಲನ್ನು ನೆನಪಿಸಿಕೊಳ್ಳಲಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ನಂತರ ಸಿಸ್ಟಮ್‌ನಿಂದ ಹೊರಗಿಡಲಾಗುತ್ತದೆ. ಉಳಿದ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯು ಮೂಲ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗಿಂತ ಒಂದು ಸಮೀಕರಣ ಮತ್ತು ಒಂದು ಕಡಿಮೆ ಸ್ವತಂತ್ರ ವೇರಿಯೇಬಲ್ ಅನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ.

ಮೂಲ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯ (1.20) ಗುಣಾಂಕಗಳ ಮೂಲಕ ಫಲಿತಾಂಶದ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯ ಗುಣಾಂಕಗಳನ್ನು (1.21) ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡೋಣ. ಇದರೊಂದಿಗೆ ಪ್ರಾರಂಭಿಸೋಣ ಆರ್ನೇ ಸಮೀಕರಣ, ಇದು ವೇರಿಯೇಬಲ್ ಅನ್ನು ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸಿದ ನಂತರ xsಉಳಿದ ಅಸ್ಥಿರಗಳ ಮೂಲಕ ಅದು ಈ ರೀತಿ ಕಾಣುತ್ತದೆ:

ಹೀಗಾಗಿ, ಹೊಸ ಗುಣಾಂಕಗಳು ಆರ್ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಈ ಕೆಳಗಿನ ಸೂತ್ರಗಳನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಲೆಕ್ಕಹಾಕಲಾಗುತ್ತದೆ:

(1.23)
ಈಗ ನಾವು ಹೊಸ ಗುಣಾಂಕಗಳನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡೋಣ b ij(i¹ ಆರ್) ಅನಿಯಂತ್ರಿತ ಸಮೀಕರಣದ. ಇದನ್ನು ಮಾಡಲು, ನಾವು (1.22) ನಲ್ಲಿ ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸಿದ ವೇರಿಯೇಬಲ್ ಅನ್ನು ಬದಲಿಸೋಣ xsವಿ iವ್ಯವಸ್ಥೆಯ ಸಮೀಕರಣ (1.20):

ಇದೇ ರೀತಿಯ ನಿಯಮಗಳನ್ನು ತಂದ ನಂತರ, ನಾವು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ:

(1.24)
ಸಮಾನತೆಯಿಂದ (1.24) ನಾವು ಸೂತ್ರಗಳನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ, ಅದರ ಮೂಲಕ ಸಿಸ್ಟಮ್ನ ಉಳಿದ ಗುಣಾಂಕಗಳನ್ನು (1.21) ಲೆಕ್ಕಹಾಕಲಾಗುತ್ತದೆ (ವಿನಾಯಿತಿಯೊಂದಿಗೆ ಆರ್ಸಮೀಕರಣ):

(1.25)
ಸಾಮಾನ್ಯ ಜೋರ್ಡಾನ್ ಎಲಿಮಿನೇಷನ್ ವಿಧಾನದಿಂದ ರೇಖೀಯ ಸಮೀಕರಣಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗಳ ರೂಪಾಂತರವನ್ನು ಕೋಷ್ಟಕಗಳ (ಮ್ಯಾಟ್ರಿಸಸ್) ರೂಪದಲ್ಲಿ ಪ್ರಸ್ತುತಪಡಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಈ ಕೋಷ್ಟಕಗಳನ್ನು "ಜೋರ್ಡಾನ್ ಕೋಷ್ಟಕಗಳು" ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ.

ಹೀಗಾಗಿ, ಸಮಸ್ಯೆ (1.20) ಕೆಳಗಿನ ಜೋರ್ಡಾನ್ ಕೋಷ್ಟಕದೊಂದಿಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದೆ:

ಕೋಷ್ಟಕ 1.1

ಜೋರ್ಡಾನ್ ಕೋಷ್ಟಕ 1.1 ಎಡ ಹೆಡರ್ ಕಾಲಮ್ ಅನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿದೆ, ಇದರಲ್ಲಿ ಸಿಸ್ಟಮ್‌ನ ಬಲ ಭಾಗಗಳನ್ನು (1.20) ಬರೆಯಲಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ಸ್ವತಂತ್ರ ಅಸ್ಥಿರಗಳನ್ನು ಬರೆಯುವ ಮೇಲಿನ ಹೆಡರ್ ಸಾಲು.

ಟೇಬಲ್ನ ಉಳಿದ ಅಂಶಗಳು ಸಿಸ್ಟಮ್ನ ಗುಣಾಂಕಗಳ ಮುಖ್ಯ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಅನ್ನು ರೂಪಿಸುತ್ತವೆ (1.20). ನೀವು ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಅನ್ನು ಗುಣಿಸಿದರೆ ಎಮೇಲಿನ ಶೀರ್ಷಿಕೆ ಸಾಲಿನ ಅಂಶಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರುವ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್‌ಗೆ, ಎಡ ಶೀರ್ಷಿಕೆಯ ಕಾಲಮ್‌ನ ಅಂಶಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರುವ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಅನ್ನು ನೀವು ಪಡೆಯುತ್ತೀರಿ. ಅಂದರೆ, ಮೂಲಭೂತವಾಗಿ, ಜೋರ್ಡಾನ್ ಕೋಷ್ಟಕವು ರೇಖೀಯ ಸಮೀಕರಣಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು ಬರೆಯುವ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ರೂಪವಾಗಿದೆ: . ಸಿಸ್ಟಮ್ (1.21) ಕೆಳಗಿನ ಜೋರ್ಡಾನ್ ಕೋಷ್ಟಕಕ್ಕೆ ಅನುರೂಪವಾಗಿದೆ:

ಕೋಷ್ಟಕ 1.2

ಅನುಮತಿಸುವ ಅಂಶ ಒಂದು ರೂ ನಾವು ಅವುಗಳನ್ನು ದಪ್ಪದಲ್ಲಿ ಹೈಲೈಟ್ ಮಾಡುತ್ತೇವೆ. ಜೋರ್ಡಾನ್ ಎಲಿಮಿನೇಷನ್‌ನ ಒಂದು ಹಂತವನ್ನು ಕಾರ್ಯಗತಗೊಳಿಸಲು, ಪರಿಹರಿಸುವ ಅಂಶವು ಶೂನ್ಯವಲ್ಲ ಎಂದು ನೆನಪಿಸಿಕೊಳ್ಳಿ. ಸಕ್ರಿಯಗೊಳಿಸುವ ಅಂಶವನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಟೇಬಲ್ ಸಾಲನ್ನು ಸಕ್ರಿಯಗೊಳಿಸುವ ಸಾಲು ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಸಕ್ರಿಯಗೊಳಿಸುವ ಅಂಶವನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಕಾಲಮ್ ಅನ್ನು ಸಕ್ರಿಯಗೊಳಿಸುವ ಕಾಲಮ್ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಕೊಟ್ಟಿರುವ ಕೋಷ್ಟಕದಿಂದ ಮುಂದಿನ ಕೋಷ್ಟಕಕ್ಕೆ ಚಲಿಸುವಾಗ, ಒಂದು ವೇರಿಯೇಬಲ್ ( xs) ಟೇಬಲ್‌ನ ಮೇಲಿನ ಹೆಡರ್ ಸಾಲಿನಿಂದ ಎಡ ಹೆಡರ್ ಕಾಲಮ್‌ಗೆ ಸರಿಸಲಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ಇದಕ್ಕೆ ವಿರುದ್ಧವಾಗಿ, ಸಿಸ್ಟಮ್‌ನ ಉಚಿತ ಸದಸ್ಯರಲ್ಲಿ ಒಬ್ಬರು ( ವೈ ಆರ್) ಟೇಬಲ್‌ನ ಎಡ ಹೆಡ್ ಕಾಲಮ್‌ನಿಂದ ಮೇಲಿನ ತಲೆ ಸಾಲಿಗೆ ಚಲಿಸುತ್ತದೆ.

ಜೋರ್ಡಾನ್ ಟೇಬಲ್ (1.1) ನಿಂದ ಟೇಬಲ್ (1.2) ಗೆ ಚಲಿಸುವಾಗ ಗುಣಾಂಕಗಳನ್ನು ಮರು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡಲು ಅಲ್ಗಾರಿದಮ್ ಅನ್ನು ವಿವರಿಸೋಣ, ಇದು ಸೂತ್ರಗಳಿಂದ (1.23) ಮತ್ತು (1.25) ಅನುಸರಿಸುತ್ತದೆ.

1. ಪರಿಹರಿಸುವ ಅಂಶವನ್ನು ವಿಲೋಮ ಸಂಖ್ಯೆಯಿಂದ ಬದಲಾಯಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ:

2. ಪರಿಹರಿಸುವ ಸ್ಟ್ರಿಂಗ್‌ನ ಉಳಿದ ಅಂಶಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವ ಅಂಶವಾಗಿ ವಿಂಗಡಿಸಲಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ಚಿಹ್ನೆಯನ್ನು ವಿರುದ್ಧವಾಗಿ ಬದಲಾಯಿಸಿ:

3. ರೆಸಲ್ಯೂಶನ್ ಕಾಲಮ್‌ನ ಉಳಿದ ಅಂಶಗಳನ್ನು ರೆಸಲ್ಯೂಶನ್ ಅಂಶವಾಗಿ ವಿಂಗಡಿಸಲಾಗಿದೆ:

4. ಅನುಮತಿಸುವ ಸಾಲು ಮತ್ತು ಅನುಮತಿಸುವ ಕಾಲಮ್‌ನಲ್ಲಿ ಸೇರಿಸದ ಅಂಶಗಳನ್ನು ಸೂತ್ರಗಳನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಮರು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡಲಾಗುತ್ತದೆ:

ಭಿನ್ನರಾಶಿಯನ್ನು ರೂಪಿಸುವ ಅಂಶಗಳನ್ನು ನೀವು ಗಮನಿಸಿದರೆ ಕೊನೆಯ ಸೂತ್ರವನ್ನು ನೆನಪಿಟ್ಟುಕೊಳ್ಳುವುದು ಸುಲಭ , ಛೇದಕದಲ್ಲಿವೆ i- ಓಹ್ ಮತ್ತು ಆರ್ನೇ ಸಾಲುಗಳು ಮತ್ತು ಜನೇ ಮತ್ತು ರುನೇ ಕಾಲಮ್‌ಗಳು (ಸಾಲು ಪರಿಹರಿಸುವುದು, ಕಾಲಮ್ ಅನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವುದು ಮತ್ತು ಮರು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡಿದ ಅಂಶವು ಇರುವ ಛೇದಕದಲ್ಲಿರುವ ಸಾಲು ಮತ್ತು ಕಾಲಮ್). ಹೆಚ್ಚು ನಿಖರವಾಗಿ, ಸೂತ್ರವನ್ನು ನೆನಪಿಟ್ಟುಕೊಳ್ಳುವಾಗ ನೀವು ಈ ಕೆಳಗಿನ ರೇಖಾಚಿತ್ರವನ್ನು ಬಳಸಬಹುದು:

ಜೋರ್ಡಾನ್ ವಿನಾಯಿತಿಗಳ ಮೊದಲ ಹಂತವನ್ನು ನಿರ್ವಹಿಸುವಾಗ, ಕಾಲಮ್‌ಗಳಲ್ಲಿರುವ ಟೇಬಲ್ 1.3 ರ ಯಾವುದೇ ಅಂಶವನ್ನು ನೀವು ಪರಿಹರಿಸುವ ಅಂಶವಾಗಿ ಆಯ್ಕೆ ಮಾಡಬಹುದು X 1 ,…, X 5 (ಎಲ್ಲಾ ನಿರ್ದಿಷ್ಟಪಡಿಸಿದ ಅಂಶಗಳು ಶೂನ್ಯವಲ್ಲ). ಕೊನೆಯ ಕಾಲಮ್‌ನಲ್ಲಿ ಸಕ್ರಿಯಗೊಳಿಸುವ ಅಂಶವನ್ನು ಆಯ್ಕೆ ಮಾಡಬೇಡಿ, ಏಕೆಂದರೆ ನೀವು ಸ್ವತಂತ್ರ ಅಸ್ಥಿರಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಬೇಕು X 1 ,…, X 5 . ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ನಾವು ಗುಣಾಂಕವನ್ನು ಆಯ್ಕೆ ಮಾಡುತ್ತೇವೆ 1 ವೇರಿಯಬಲ್ ಜೊತೆ Xಕೋಷ್ಟಕ 1.3 ರ ಮೂರನೇ ಸಾಲಿನಲ್ಲಿ 3 (ಸಕ್ರಿಯಗೊಳಿಸುವ ಅಂಶವನ್ನು ದಪ್ಪದಲ್ಲಿ ತೋರಿಸಲಾಗಿದೆ). ಟೇಬಲ್ 1.4 ಗೆ ಚಲಿಸುವಾಗ, ವೇರಿಯಬಲ್ Xಮೇಲಿನ ಹೆಡರ್ ಸಾಲಿನಿಂದ 3 ಅನ್ನು ಎಡ ಹೆಡರ್ ಕಾಲಮ್‌ನ (ಮೂರನೇ ಸಾಲು) ಸ್ಥಿರ 0 ನೊಂದಿಗೆ ಬದಲಾಯಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ವೇರಿಯಬಲ್ X 3 ಅನ್ನು ಉಳಿದ ಅಸ್ಥಿರಗಳ ಮೂಲಕ ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ.

ಸ್ಟ್ರಿಂಗ್ X 3 (ಟೇಬಲ್ 1.4) ಮುಂಚಿತವಾಗಿ ನೆನಪಿಸಿಕೊಂಡ ನಂತರ, ಟೇಬಲ್ 1.4 ರಿಂದ ಹೊರಗಿಡಬಹುದು. ಮೇಲಿನ ಶೀರ್ಷಿಕೆ ಸಾಲಿನಲ್ಲಿ ಶೂನ್ಯದೊಂದಿಗೆ ಮೂರನೇ ಕಾಲಮ್ ಅನ್ನು ಸಹ ಕೋಷ್ಟಕ 1.4 ರಿಂದ ಹೊರಗಿಡಲಾಗಿದೆ. ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಕಾಲಮ್‌ನ ಗುಣಾಂಕಗಳನ್ನು ಲೆಕ್ಕಿಸದೆಯೇ ಎಂಬುದು ಪಾಯಿಂಟ್ ಬಿ ಐ 3 ಪ್ರತಿ ಸಮೀಕರಣದ ಎಲ್ಲಾ ಅನುಗುಣವಾದ ಪದಗಳು 0 ಬಿ ಐ 3 ವ್ಯವಸ್ಥೆಗಳು ಶೂನ್ಯಕ್ಕೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಆದ್ದರಿಂದ, ಈ ಗುಣಾಂಕಗಳನ್ನು ಲೆಕ್ಕಹಾಕಬೇಕಾಗಿಲ್ಲ. ಒಂದು ವೇರಿಯೇಬಲ್ ಅನ್ನು ತೆಗೆದುಹಾಕುವುದು X 3 ಮತ್ತು ಸಮೀಕರಣಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದನ್ನು ನೆನಪಿನಲ್ಲಿಟ್ಟುಕೊಂಡು, ನಾವು ಟೇಬಲ್ 1.4 ಗೆ ಅನುಗುಣವಾದ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು ತಲುಪುತ್ತೇವೆ (ರೇಖೆಯನ್ನು ದಾಟಿ X 3) ಟೇಬಲ್ 1.4 ರಲ್ಲಿ ಪರಿಹರಿಸುವ ಅಂಶವಾಗಿ ಆಯ್ಕೆಮಾಡುವುದು ಬಿ 14 = -5, ಟೇಬಲ್ 1.5 ಗೆ ಹೋಗಿ. ಕೋಷ್ಟಕ 1.5 ರಲ್ಲಿ, ಮೊದಲ ಸಾಲನ್ನು ನೆನಪಿಟ್ಟುಕೊಳ್ಳಿ ಮತ್ತು ನಾಲ್ಕನೇ ಕಾಲಮ್ನೊಂದಿಗೆ (ಮೇಲ್ಭಾಗದಲ್ಲಿ ಶೂನ್ಯದೊಂದಿಗೆ) ಅದನ್ನು ಟೇಬಲ್ನಿಂದ ಹೊರಗಿಡಿ.

ಕೋಷ್ಟಕ 1.5 ಕೋಷ್ಟಕ 1.6

ಕೊನೆಯ ಕೋಷ್ಟಕ 1.7 ರಿಂದ ನಾವು ಕಂಡುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ: X 1 = - 3 + 2X 5 .

ಈಗಾಗಲೇ ಕಂಡುಬರುವ ಅಸ್ಥಿರಗಳನ್ನು ನೆನಪಿಟ್ಟುಕೊಳ್ಳುವ ರೇಖೆಗಳಲ್ಲಿ ಸ್ಥಿರವಾಗಿ ಬದಲಿಸಿ, ಉಳಿದ ಅಸ್ಥಿರಗಳನ್ನು ನಾವು ಕಂಡುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ:

ಹೀಗಾಗಿ, ವ್ಯವಸ್ಥೆಯು ಅನಂತ ಅನೇಕ ಪರಿಹಾರಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ. ವೇರಿಯಬಲ್ X 5, ಅನಿಯಂತ್ರಿತ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ನಿಯೋಜಿಸಬಹುದು. ಈ ವೇರಿಯೇಬಲ್ ಪ್ಯಾರಾಮೀಟರ್ ಆಗಿ ಕಾರ್ಯನಿರ್ವಹಿಸುತ್ತದೆ X 5 = ಟಿ. ನಾವು ಸಿಸ್ಟಮ್ನ ಹೊಂದಾಣಿಕೆಯನ್ನು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಿದ್ದೇವೆ ಮತ್ತು ಅದರ ಸಾಮಾನ್ಯ ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಕಂಡುಕೊಂಡಿದ್ದೇವೆ:

X 1 = - 3 + 2ಟಿ

X 2 = - 1 - 3ಟಿ

X 3 = - 2 + 4ಟಿ . (1.27)
X 4 = 4 + 5ಟಿ

X 5 = ಟಿ

ನಿಯತಾಂಕವನ್ನು ನೀಡುವುದು ಟಿವಿಭಿನ್ನ ಮೌಲ್ಯಗಳು, ಮೂಲ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗೆ ನಾವು ಅನಂತ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಪರಿಹಾರಗಳನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ. ಆದ್ದರಿಂದ, ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಸಿಸ್ಟಮ್ಗೆ ಪರಿಹಾರವು ಕೆಳಗಿನ ಅಸ್ಥಿರಗಳ ಗುಂಪಾಗಿದೆ (- 3; - 1; - 2; 4; 0).

ಈ ಪ್ಯಾರಾಗ್ರಾಫ್ ಅನ್ನು ಸದುಪಯೋಗಪಡಿಸಿಕೊಳ್ಳಲು, ನೀವು "ಎರಡು ಎರಡು" ಮತ್ತು "ಮೂರು ಮೂರು" ನಿರ್ಣಾಯಕಗಳನ್ನು ಬಹಿರಂಗಪಡಿಸಲು ಸಾಧ್ಯವಾಗುತ್ತದೆ. ನೀವು ಅರ್ಹತೆಯೊಂದಿಗೆ ಕೆಟ್ಟವರಾಗಿದ್ದರೆ, ದಯವಿಟ್ಟು ಪಾಠವನ್ನು ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡಿ ಡಿಟರ್ಮಿನಂಟ್ ಅನ್ನು ಹೇಗೆ ಲೆಕ್ಕ ಹಾಕುವುದು?

ಮೊದಲಿಗೆ, ಎರಡು ಅಜ್ಞಾತಗಳಲ್ಲಿ ಎರಡು ರೇಖೀಯ ಸಮೀಕರಣಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗಾಗಿ ನಾವು ಕ್ರಾಮರ್ ನಿಯಮವನ್ನು ಹತ್ತಿರದಿಂದ ನೋಡುತ್ತೇವೆ. ಯಾವುದಕ್ಕಾಗಿ? - ಎಲ್ಲಾ ನಂತರ, ಶಾಲೆಯ ವಿಧಾನವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಸರಳವಾದ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಬಹುದು, ಪದದಿಂದ-ಅವಧಿಯ ಸೇರ್ಪಡೆಯ ವಿಧಾನ!

ಸಂಗತಿಯೆಂದರೆ, ಕೆಲವೊಮ್ಮೆ ಅಂತಹ ಕಾರ್ಯವು ಸಂಭವಿಸುತ್ತದೆ - ಕ್ರಾಮರ್ನ ಸೂತ್ರಗಳನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಎರಡು ಅಪರಿಚಿತರೊಂದಿಗೆ ಎರಡು ರೇಖೀಯ ಸಮೀಕರಣಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲು. ಎರಡನೆಯದಾಗಿ, ಹೆಚ್ಚು ಸಂಕೀರ್ಣವಾದ ಪ್ರಕರಣಕ್ಕೆ ಕ್ರಾಮರ್ ನಿಯಮವನ್ನು ಹೇಗೆ ಬಳಸುವುದು ಎಂಬುದನ್ನು ಅರ್ಥಮಾಡಿಕೊಳ್ಳಲು ಸರಳವಾದ ಉದಾಹರಣೆಯು ನಿಮಗೆ ಸಹಾಯ ಮಾಡುತ್ತದೆ - ಮೂರು ಅಪರಿಚಿತರೊಂದಿಗೆ ಮೂರು ಸಮೀಕರಣಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆ.

ಹೆಚ್ಚುವರಿಯಾಗಿ, ಎರಡು ಅಸ್ಥಿರಗಳೊಂದಿಗೆ ರೇಖೀಯ ಸಮೀಕರಣಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗಳಿವೆ, ಇವುಗಳನ್ನು ಕ್ರಾಮರ್ನ ನಿಯಮವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಪರಿಹರಿಸಲು ಸಲಹೆ ನೀಡಲಾಗುತ್ತದೆ!

ಸಮೀಕರಣಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿ

ಮೊದಲ ಹಂತದಲ್ಲಿ, ನಾವು ನಿರ್ಣಾಯಕವನ್ನು ಲೆಕ್ಕ ಹಾಕುತ್ತೇವೆ, ಅದನ್ನು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯ ಮುಖ್ಯ ನಿರ್ಣಾಯಕ.

ಗಾಸ್ ವಿಧಾನ.

ಒಂದು ವೇಳೆ, ಸಿಸ್ಟಮ್ ವಿಶಿಷ್ಟ ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ, ಮತ್ತು ಬೇರುಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲು ನಾವು ಇನ್ನೂ ಎರಡು ನಿರ್ಣಾಯಕಗಳನ್ನು ಲೆಕ್ಕ ಹಾಕಬೇಕು:
ಮತ್ತು

ಪ್ರಾಯೋಗಿಕವಾಗಿ, ಮೇಲಿನ ಅರ್ಹತೆಗಳನ್ನು ಲ್ಯಾಟಿನ್ ಅಕ್ಷರದಿಂದಲೂ ಸೂಚಿಸಬಹುದು.

ಸೂತ್ರಗಳನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ನಾವು ಸಮೀಕರಣದ ಬೇರುಗಳನ್ನು ಕಂಡುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ:
,

ಉದಾಹರಣೆ 7

ರೇಖೀಯ ಸಮೀಕರಣಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಿ

ಪರಿಹಾರ: ಸಮೀಕರಣದ ಗುಣಾಂಕಗಳು ಸಾಕಷ್ಟು ದೊಡ್ಡದಾಗಿದೆ ಎಂದು ನಾವು ನೋಡುತ್ತೇವೆ; ಬಲಭಾಗದಲ್ಲಿ ಅಲ್ಪವಿರಾಮದೊಂದಿಗೆ ದಶಮಾಂಶ ಭಿನ್ನರಾಶಿಗಳಿವೆ. ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ ಪ್ರಾಯೋಗಿಕ ಕಾರ್ಯಗಳಲ್ಲಿ ಅಲ್ಪವಿರಾಮವು ಅಪರೂಪದ ಅತಿಥಿಯಾಗಿದೆ; ನಾನು ಈ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು ಆರ್ಥಿಕ ಸಮಸ್ಯೆಯಿಂದ ತೆಗೆದುಕೊಂಡಿದ್ದೇನೆ.

ಅಂತಹ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು ಹೇಗೆ ಪರಿಹರಿಸುವುದು? ನೀವು ಒಂದು ವೇರಿಯಬಲ್ ಅನ್ನು ಇನ್ನೊಂದರ ವಿಷಯದಲ್ಲಿ ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸಲು ಪ್ರಯತ್ನಿಸಬಹುದು, ಆದರೆ ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ ನೀವು ಬಹುಶಃ ಭಯಾನಕ ಅಲಂಕಾರಿಕ ಭಿನ್ನರಾಶಿಗಳೊಂದಿಗೆ ಕೊನೆಗೊಳ್ಳಬಹುದು, ಅದು ಕೆಲಸ ಮಾಡಲು ಅತ್ಯಂತ ಅನಾನುಕೂಲವಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ಪರಿಹಾರದ ವಿನ್ಯಾಸವು ಸರಳವಾಗಿ ಭಯಾನಕವಾಗಿ ಕಾಣುತ್ತದೆ. ನೀವು ಎರಡನೇ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು 6 ರಿಂದ ಗುಣಿಸಬಹುದು ಮತ್ತು ಪದದಿಂದ ಪದವನ್ನು ಕಳೆಯಬಹುದು, ಆದರೆ ಅದೇ ಭಿನ್ನರಾಶಿಗಳು ಇಲ್ಲಿಯೂ ಸಹ ಉದ್ಭವಿಸುತ್ತವೆ.

ಏನ್ ಮಾಡೋದು? ಅಂತಹ ಸಂದರ್ಭಗಳಲ್ಲಿ, ಕ್ರೇಮರ್ನ ಸೂತ್ರಗಳು ಪಾರುಗಾಣಿಕಾಕ್ಕೆ ಬರುತ್ತವೆ.

;

;

ಉತ್ತರ: ,

ಎರಡೂ ಬೇರುಗಳು ಅನಂತ ಬಾಲಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿವೆ ಮತ್ತು ಸರಿಸುಮಾರು ಕಂಡುಬರುತ್ತವೆ, ಇದು ಅರ್ಥಶಾಸ್ತ್ರದ ಸಮಸ್ಯೆಗಳಿಗೆ ಸಾಕಷ್ಟು ಸ್ವೀಕಾರಾರ್ಹವಾಗಿದೆ (ಮತ್ತು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿದೆ).

ಕಾಮೆಂಟ್‌ಗಳು ಇಲ್ಲಿ ಅಗತ್ಯವಿಲ್ಲ, ಏಕೆಂದರೆ ರೆಡಿಮೇಡ್ ಸೂತ್ರಗಳನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ, ಆದಾಗ್ಯೂ, ಒಂದು ಎಚ್ಚರಿಕೆ ಇದೆ. ಈ ವಿಧಾನವನ್ನು ಬಳಸುವಾಗ, ಕಡ್ಡಾಯಕಾರ್ಯ ವಿನ್ಯಾಸದ ಒಂದು ಭಾಗವು ಈ ಕೆಳಗಿನ ಭಾಗವಾಗಿದೆ: "ಇದರರ್ಥ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯು ವಿಶಿಷ್ಟ ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ". ಇಲ್ಲದಿದ್ದರೆ, ವಿಮರ್ಶಕರು ಕ್ರೇಮರ್‌ನ ಪ್ರಮೇಯಕ್ಕೆ ಅಗೌರವ ತೋರಿದ್ದಕ್ಕಾಗಿ ನಿಮ್ಮನ್ನು ಶಿಕ್ಷಿಸಬಹುದು.

ಕ್ಯಾಲ್ಕುಲೇಟರ್ನಲ್ಲಿ ಅನುಕೂಲಕರವಾಗಿ ಕೈಗೊಳ್ಳಬಹುದಾದ ಪರಿಶೀಲಿಸಲು ಇದು ಅತಿಯಾಗಿರುವುದಿಲ್ಲ: ನಾವು ಸಿಸ್ಟಮ್ನ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಸಮೀಕರಣದ ಎಡಭಾಗದಲ್ಲಿ ಅಂದಾಜು ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ಬದಲಿಸುತ್ತೇವೆ. ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ, ಸಣ್ಣ ದೋಷದೊಂದಿಗೆ, ನೀವು ಬಲಭಾಗದಲ್ಲಿರುವ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಪಡೆಯಬೇಕು.

ಉದಾಹರಣೆ 8

ಸಾಮಾನ್ಯ ಅಸಮರ್ಪಕ ಭಿನ್ನರಾಶಿಗಳಲ್ಲಿ ಉತ್ತರವನ್ನು ಪ್ರಸ್ತುತಪಡಿಸಿ. ಒಂದು ಚೆಕ್ ಮಾಡಿ.

ನೀವೇ ಪರಿಹರಿಸಲು ಇದು ಒಂದು ಉದಾಹರಣೆಯಾಗಿದೆ (ಅಂತಿಮ ವಿನ್ಯಾಸದ ಉದಾಹರಣೆ ಮತ್ತು ಪಾಠದ ಕೊನೆಯಲ್ಲಿ ಉತ್ತರ).

ಮೂರು ಅಪರಿಚಿತರೊಂದಿಗೆ ಮೂರು ಸಮೀಕರಣಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗಾಗಿ ಕ್ರಾಮರ್ನ ನಿಯಮವನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಲು ನಾವು ಮುಂದುವರಿಯೋಣ:

ಸಿಸ್ಟಮ್ನ ಮುಖ್ಯ ನಿರ್ಣಾಯಕವನ್ನು ನಾವು ಕಂಡುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ:

ಒಂದು ವೇಳೆ, ವ್ಯವಸ್ಥೆಯು ಅನಂತವಾಗಿ ಅನೇಕ ಪರಿಹಾರಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ ಅಥವಾ ಅಸಮಂಜಸವಾಗಿದೆ (ಯಾವುದೇ ಪರಿಹಾರಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿಲ್ಲ). ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ಕ್ರಾಮರ್ ನಿಯಮವು ಸಹಾಯ ಮಾಡುವುದಿಲ್ಲ; ನೀವು ಗಾಸ್ ವಿಧಾನವನ್ನು ಬಳಸಬೇಕಾಗುತ್ತದೆ.

ಒಂದು ವೇಳೆ, ಸಿಸ್ಟಮ್ ವಿಶಿಷ್ಟ ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ ಮತ್ತು ಬೇರುಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲು ನಾವು ಇನ್ನೂ ಮೂರು ನಿರ್ಣಾಯಕಗಳನ್ನು ಲೆಕ್ಕ ಹಾಕಬೇಕು:
, ,

ಮತ್ತು ಅಂತಿಮವಾಗಿ, ಸೂತ್ರಗಳನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಉತ್ತರವನ್ನು ಲೆಕ್ಕಹಾಕಲಾಗುತ್ತದೆ:

ನೀವು ನೋಡುವಂತೆ, "ಮೂರರಿಂದ ಮೂರು" ಪ್ರಕರಣವು ಮೂಲಭೂತವಾಗಿ "ಎರಡರಿಂದ ಎರಡು" ಪ್ರಕರಣದಿಂದ ಭಿನ್ನವಾಗಿರುವುದಿಲ್ಲ; ಉಚಿತ ಪದಗಳ ಕಾಲಮ್ ಅನುಕ್ರಮವಾಗಿ ಮುಖ್ಯ ನಿರ್ಣಾಯಕದ ಕಾಲಮ್ಗಳ ಉದ್ದಕ್ಕೂ ಎಡದಿಂದ ಬಲಕ್ಕೆ "ನಡೆಯುತ್ತದೆ".

ಉದಾಹರಣೆ 9

ಕ್ರಾಮರ್ ಸೂತ್ರಗಳನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಸಿಸ್ಟಮ್ ಅನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಿ.

ಪರಿಹಾರ: ಕ್ರಾಮರ್ನ ಸೂತ್ರಗಳನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಸಿಸ್ಟಮ್ ಅನ್ನು ಪರಿಹರಿಸೋಣ.

, ಅಂದರೆ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯು ವಿಶಿಷ್ಟ ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ.

ಉತ್ತರ: .

ವಾಸ್ತವವಾಗಿ, ಇಲ್ಲಿ ಮತ್ತೊಮ್ಮೆ ಕಾಮೆಂಟ್ ಮಾಡಲು ವಿಶೇಷವಾದ ಏನೂ ಇಲ್ಲ, ಏಕೆಂದರೆ ಪರಿಹಾರವು ಸಿದ್ಧ ಸೂತ್ರಗಳನ್ನು ಅನುಸರಿಸುತ್ತದೆ. ಆದರೆ ಒಂದೆರಡು ಕಾಮೆಂಟ್‌ಗಳಿವೆ.

ಲೆಕ್ಕಾಚಾರಗಳ ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ, "ಕೆಟ್ಟ" ತಗ್ಗಿಸಲಾಗದ ಭಿನ್ನರಾಶಿಗಳನ್ನು ಪಡೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ, ಉದಾಹರಣೆಗೆ: .
ನಾನು ಕೆಳಗಿನ "ಚಿಕಿತ್ಸೆ" ಅಲ್ಗಾರಿದಮ್ ಅನ್ನು ಶಿಫಾರಸು ಮಾಡುತ್ತೇವೆ. ನಿಮ್ಮ ಕೈಯಲ್ಲಿ ಕಂಪ್ಯೂಟರ್ ಇಲ್ಲದಿದ್ದರೆ, ಹೀಗೆ ಮಾಡಿ:

1) ಲೆಕ್ಕಾಚಾರದಲ್ಲಿ ದೋಷವಿರಬಹುದು. ನೀವು "ಕೆಟ್ಟ" ಭಾಗವನ್ನು ಎದುರಿಸಿದ ತಕ್ಷಣ, ನೀವು ತಕ್ಷಣ ಪರಿಶೀಲಿಸಬೇಕು ಸ್ಥಿತಿಯನ್ನು ಸರಿಯಾಗಿ ಪುನಃ ಬರೆಯಲಾಗಿದೆಯೇ?. ದೋಷಗಳಿಲ್ಲದೆ ಸ್ಥಿತಿಯನ್ನು ಪುನಃ ಬರೆಯಲಾಗಿದ್ದರೆ, ನೀವು ಇನ್ನೊಂದು ಸಾಲಿನಲ್ಲಿ (ಕಾಲಮ್) ವಿಸ್ತರಣೆಯನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ನಿರ್ಣಾಯಕಗಳನ್ನು ಮರು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡಬೇಕಾಗುತ್ತದೆ.

2) ತಪಾಸಣೆಯ ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ ಯಾವುದೇ ದೋಷಗಳನ್ನು ಗುರುತಿಸದಿದ್ದರೆ, ಹೆಚ್ಚಾಗಿ ಕಾರ್ಯ ಪರಿಸ್ಥಿತಿಗಳಲ್ಲಿ ಮುದ್ರಣದೋಷ ಕಂಡುಬಂದಿದೆ. ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ಶಾಂತವಾಗಿ ಮತ್ತು ಎಚ್ಚರಿಕೆಯಿಂದ ಕೆಲಸದ ಮೂಲಕ ಕೊನೆಯವರೆಗೂ ಕೆಲಸ ಮಾಡಿ, ಮತ್ತು ನಂತರ ಪರೀಕ್ಷಿಸಲು ಮರೆಯದಿರಿಮತ್ತು ನಿರ್ಧಾರದ ನಂತರ ನಾವು ಅದನ್ನು ಕ್ಲೀನ್ ಶೀಟ್‌ನಲ್ಲಿ ಸೆಳೆಯುತ್ತೇವೆ. ಸಹಜವಾಗಿ, ಭಾಗಶಃ ಉತ್ತರವನ್ನು ಪರಿಶೀಲಿಸುವುದು ಅಹಿತಕರ ಕಾರ್ಯವಾಗಿದೆ, ಆದರೆ ಶಿಕ್ಷಕರಿಗೆ ಇದು ನಿಶ್ಯಸ್ತ್ರಗೊಳಿಸುವ ವಾದವಾಗಿದೆ, ಅವರು ನಿಜವಾಗಿಯೂ ಯಾವುದೇ ಬುಲ್‌ಶಿಟ್‌ಗೆ ಮೈನಸ್ ನೀಡಲು ಇಷ್ಟಪಡುತ್ತಾರೆ. ಭಿನ್ನರಾಶಿಗಳನ್ನು ಹೇಗೆ ನಿರ್ವಹಿಸುವುದು ಎಂಬುದನ್ನು ಉದಾಹರಣೆ 8 ರ ಉತ್ತರದಲ್ಲಿ ವಿವರವಾಗಿ ವಿವರಿಸಲಾಗಿದೆ.

ನೀವು ಕೈಯಲ್ಲಿ ಕಂಪ್ಯೂಟರ್ ಹೊಂದಿದ್ದರೆ, ನಂತರ ಪರಿಶೀಲಿಸಲು ಸ್ವಯಂಚಾಲಿತ ಪ್ರೋಗ್ರಾಂ ಅನ್ನು ಬಳಸಿ, ಅದನ್ನು ಪಾಠದ ಪ್ರಾರಂಭದಲ್ಲಿಯೇ ಉಚಿತವಾಗಿ ಡೌನ್‌ಲೋಡ್ ಮಾಡಬಹುದು. ಅಂದಹಾಗೆ, ಪ್ರೋಗ್ರಾಂ ಅನ್ನು ಈಗಿನಿಂದಲೇ ಬಳಸುವುದು ಹೆಚ್ಚು ಲಾಭದಾಯಕವಾಗಿದೆ (ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಪ್ರಾರಂಭಿಸುವ ಮೊದಲು ಸಹ); ನೀವು ತಪ್ಪು ಮಾಡಿದ ಮಧ್ಯಂತರ ಹಂತವನ್ನು ನೀವು ತಕ್ಷಣ ನೋಡುತ್ತೀರಿ! ಅದೇ ಕ್ಯಾಲ್ಕುಲೇಟರ್ ಸ್ವಯಂಚಾಲಿತವಾಗಿ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ವಿಧಾನವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಸಿಸ್ಟಮ್ನ ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡುತ್ತದೆ.

ಎರಡನೇ ಟೀಕೆ. ಕಾಲಕಾಲಕ್ಕೆ ಕೆಲವು ಅಸ್ಥಿರಗಳು ಕಾಣೆಯಾಗಿರುವ ಸಮೀಕರಣಗಳಲ್ಲಿ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗಳಿವೆ, ಉದಾಹರಣೆಗೆ:

ಇಲ್ಲಿ ಮೊದಲ ಸಮೀಕರಣದಲ್ಲಿ ಯಾವುದೇ ವೇರಿಯೇಬಲ್ ಇಲ್ಲ, ಎರಡನೆಯದರಲ್ಲಿ ಯಾವುದೇ ವೇರಿಯೇಬಲ್ ಇಲ್ಲ. ಅಂತಹ ಸಂದರ್ಭಗಳಲ್ಲಿ, ಮುಖ್ಯ ನಿರ್ಣಾಯಕವನ್ನು ಸರಿಯಾಗಿ ಮತ್ತು ಎಚ್ಚರಿಕೆಯಿಂದ ಬರೆಯುವುದು ಬಹಳ ಮುಖ್ಯ:
- ಕಾಣೆಯಾದ ಅಸ್ಥಿರಗಳ ಸ್ಥಳದಲ್ಲಿ ಸೊನ್ನೆಗಳನ್ನು ಇರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ.
ಅಂದಹಾಗೆ, ಶೂನ್ಯವು ಇರುವ ಸಾಲು (ಕಾಲಮ್) ಪ್ರಕಾರ ಸೊನ್ನೆಗಳೊಂದಿಗೆ ನಿರ್ಣಾಯಕಗಳನ್ನು ತೆರೆಯುವುದು ತರ್ಕಬದ್ಧವಾಗಿದೆ, ಏಕೆಂದರೆ ಗಮನಾರ್ಹವಾಗಿ ಕಡಿಮೆ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರಗಳಿವೆ.

ಉದಾಹರಣೆ 10

ಕ್ರಾಮರ್ ಸೂತ್ರಗಳನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಸಿಸ್ಟಮ್ ಅನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಿ.

ಸ್ವತಂತ್ರ ಪರಿಹಾರಕ್ಕಾಗಿ ಇದು ಒಂದು ಉದಾಹರಣೆಯಾಗಿದೆ (ಅಂತಿಮ ವಿನ್ಯಾಸದ ಮಾದರಿ ಮತ್ತು ಪಾಠದ ಕೊನೆಯಲ್ಲಿ ಉತ್ತರ).

4 ಅಜ್ಞಾತಗಳೊಂದಿಗೆ 4 ಸಮೀಕರಣಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ಕ್ರೇಮರ್ನ ಸೂತ್ರಗಳನ್ನು ಇದೇ ರೀತಿಯ ತತ್ವಗಳ ಪ್ರಕಾರ ಬರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಡಿಟರ್ಮಿನಂಟ್‌ಗಳ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳ ಪಾಠದಲ್ಲಿ ನೀವು ನೇರ ಉದಾಹರಣೆಯನ್ನು ನೋಡಬಹುದು. ಡಿಟರ್ಮಿನಂಟ್ನ ಕ್ರಮವನ್ನು ಕಡಿಮೆ ಮಾಡುವುದು - ಐದು 4 ನೇ ಕ್ರಮಾಂಕದ ನಿರ್ಧಾರಕಗಳು ಸಾಕಷ್ಟು ಪರಿಹರಿಸಬಲ್ಲವು. ಕಾರ್ಯವು ಈಗಾಗಲೇ ಅದೃಷ್ಟದ ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿಯ ಎದೆಯ ಮೇಲೆ ಪ್ರಾಧ್ಯಾಪಕರ ಶೂ ಅನ್ನು ಬಹಳ ನೆನಪಿಸುತ್ತದೆ.

ವಿಲೋಮ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಬಳಸಿ ಸಿಸ್ಟಮ್ ಅನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವುದು

ವಿಲೋಮ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ವಿಧಾನವು ಮೂಲಭೂತವಾಗಿ ವಿಶೇಷ ಪ್ರಕರಣವಾಗಿದೆ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಸಮೀಕರಣ(ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಪಾಠದ ಉದಾಹರಣೆ ಸಂಖ್ಯೆ 3 ನೋಡಿ).

ಈ ವಿಭಾಗವನ್ನು ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡಲು, ನೀವು ನಿರ್ಣಾಯಕಗಳನ್ನು ವಿಸ್ತರಿಸಲು, ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್‌ನ ವಿಲೋಮವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲು ಮತ್ತು ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಗುಣಾಕಾರವನ್ನು ನಿರ್ವಹಿಸಲು ಸಾಧ್ಯವಾಗುತ್ತದೆ. ವಿವರಣೆಗಳು ಮುಂದುವರೆದಂತೆ ಸಂಬಂಧಿತ ಲಿಂಕ್‌ಗಳನ್ನು ಒದಗಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ.

ಉದಾಹರಣೆ 11

ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ವಿಧಾನವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಸಿಸ್ಟಮ್ ಅನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಿ

ಪರಿಹಾರ: ಸಿಸ್ಟಮ್ ಅನ್ನು ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ರೂಪದಲ್ಲಿ ಬರೆಯೋಣ:
, ಎಲ್ಲಿ

ದಯವಿಟ್ಟು ಸಮೀಕರಣಗಳು ಮತ್ತು ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು ನೋಡಿ. ನಾವು ಅಂಶಗಳನ್ನು ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಆಗಿ ಬರೆಯುವ ತತ್ವವನ್ನು ಪ್ರತಿಯೊಬ್ಬರೂ ಅರ್ಥಮಾಡಿಕೊಳ್ಳುತ್ತಾರೆ ಎಂದು ನಾನು ಭಾವಿಸುತ್ತೇನೆ. ಒಂದೇ ಕಾಮೆಂಟ್: ಸಮೀಕರಣಗಳಿಂದ ಕೆಲವು ಅಸ್ಥಿರಗಳು ಕಾಣೆಯಾಗಿದ್ದರೆ, ನಂತರ ಸೊನ್ನೆಗಳನ್ನು ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್‌ನಲ್ಲಿ ಅನುಗುಣವಾದ ಸ್ಥಳಗಳಲ್ಲಿ ಇರಿಸಬೇಕಾಗುತ್ತದೆ.

ನಾವು ಸೂತ್ರವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ವಿಲೋಮ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಅನ್ನು ಕಂಡುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ:
, ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್‌ನ ಅನುಗುಣವಾದ ಅಂಶಗಳ ಬೀಜಗಣಿತದ ಪೂರಕಗಳ ಟ್ರಾನ್ಸ್ಪೋಸ್ಡ್ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಎಲ್ಲಿದೆ.

ಮೊದಲಿಗೆ, ನಿರ್ಣಾಯಕವನ್ನು ನೋಡೋಣ:

ಇಲ್ಲಿ ನಿರ್ಣಾಯಕವನ್ನು ಮೊದಲ ಸಾಲಿನಲ್ಲಿ ವಿಸ್ತರಿಸಲಾಗಿದೆ.

ಗಮನ! ಒಂದು ವೇಳೆ, ವಿಲೋಮ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿಲ್ಲ, ಮತ್ತು ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ವಿಧಾನವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಸಿಸ್ಟಮ್ ಅನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲು ಅಸಾಧ್ಯವಾಗಿದೆ. ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ಅಪರಿಚಿತರನ್ನು (ಗಾಸ್ ವಿಧಾನ) ತೆಗೆದುಹಾಕುವ ವಿಧಾನದಿಂದ ಸಿಸ್ಟಮ್ ಅನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ.

ಈಗ ನಾವು 9 ಅಪ್ರಾಪ್ತ ವಯಸ್ಕರನ್ನು ಲೆಕ್ಕ ಹಾಕಬೇಕು ಮತ್ತು ಅವುಗಳನ್ನು ಮೈನರ್ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್‌ಗೆ ಬರೆಯಬೇಕು

ಉಲ್ಲೇಖ:ರೇಖೀಯ ಬೀಜಗಣಿತದಲ್ಲಿ ಡಬಲ್ ಸಬ್‌ಸ್ಕ್ರಿಪ್ಟ್‌ಗಳ ಅರ್ಥವನ್ನು ತಿಳಿದುಕೊಳ್ಳುವುದು ಉಪಯುಕ್ತವಾಗಿದೆ. ಮೊದಲ ಅಂಕಿಯು ಅಂಶವು ಇರುವ ರೇಖೆಯ ಸಂಖ್ಯೆ. ಎರಡನೇ ಅಂಕಿಯು ಅಂಶವು ಇರುವ ಕಾಲಮ್ನ ಸಂಖ್ಯೆಯಾಗಿದೆ:

ಅಂದರೆ, ಡಬಲ್ ಸಬ್‌ಸ್ಕ್ರಿಪ್ಟ್ ಅಂಶವು ಮೊದಲ ಸಾಲಿನಲ್ಲಿ, ಮೂರನೇ ಕಾಲಮ್‌ನಲ್ಲಿದೆ ಮತ್ತು ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಅಂಶವು 3 ಸಾಲು, 2 ಕಾಲಮ್‌ನಲ್ಲಿದೆ ಎಂದು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ.

ಪರಿಹಾರದ ಸಮಯದಲ್ಲಿ, ಅಪ್ರಾಪ್ತ ವಯಸ್ಕರ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರವನ್ನು ವಿವರವಾಗಿ ವಿವರಿಸುವುದು ಉತ್ತಮ, ಆದರೂ ಕೆಲವು ಅನುಭವದೊಂದಿಗೆ ನೀವು ಅವುಗಳನ್ನು ಮೌಖಿಕವಾಗಿ ದೋಷಗಳೊಂದಿಗೆ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡಲು ಬಳಸಿಕೊಳ್ಳಬಹುದು.