Колку изнесува волуменот на триаголна пирамида. Како да се најде волуменот на пирамидата

Теорема.

Волуменот на пирамидата е еднаков на една третина од производот на површината на основата и висината..

Доказ:

1. Размислете за триаголна пирамидаOABCсо волумен V, плоштина на основатаСи висина ч. Нацртајте оска ох (OM2- висина), разгледајте го делотA1 B1 C1пирамиди со рамнина нормална на оскатаОи, според тоа, паралелно со рамнината на основата. Означи соXточка на апсциса М1 пресек на оваа рамнина со оската x и низS(x)- површина на пресек. Експрес S(x)преку С, чИ X. Забележете дека триаголниците А1 ВО1 СО1 И ABC се слични. Навистина А1 ВО1 II AB, па триаголникОП 1 ВО 1 слично на триаголникот OAB. СОследствено, А1 ВО1 : АБ=ОП 1: ОП .

правоаголни триаголнициОП 1 ВО 1 и ОАБ се исто така слични (имаат заеднички остар агол со темето O). Затоа, ОП 1: ОА = О 1 М1 : OM = x: ч. ТакаА 1 ВО 1 : A B = x: ч.Слично, се докажува декаB1 C1:сонце = X: чИ A1 C1:AC = X: ч.Значи триаголникотA1 B1 C1И ABCслично со коефициент на сличност X: ч.Затоа, S(x): S = (x: ж)², или S(x) = S x²/ ч².

Сега да ја примениме основната формула за пресметување на волумените на телата наа= 0, б=чдобиваме

Така, волуменот на оригиналната пирамида е 1/3Sh. Теоремата е докажана.

Последица:

Том V на скратена пирамида со висина h и основни области S и S1 , се пресметуваат со формулата

h - висината на пирамидата

S врвот - површина на горната основа

S пониски - област на долната основа

Овде ќе анализираме примери поврзани со концептот на волумен. За да решите такви задачи, мора да ја знаете формулата за волуменот на пирамидата:

С

h - висината на пирамидата

Основата може да биде кој било многуаголник. Но, во повеќето задачи на испитот, условот, по правило, се однесува на точните пирамиди. Дозволете ми да ве потсетам на едно од неговите својства:

Врвот на правилната пирамида е проектиран во центарот на нејзината основа

Погледнете ја проекцијата на правилните триаголни, четириаголни и шестоаголни пирамиди (ТОП ПОГЛЕД):

Можете да на блогот, каде што беа обработени задачите поврзани со наоѓање на обемот на пирамидата.Размислете за задачите:

27087. Најдете го волуменот на правилна триаголна пирамида чии страни на основата се еднакви на 1 и чија висина е еднаква на коренот од три.

С- областа на основата на пирамидата

ч- висината на пирамидата

Најдете ја областа на основата на пирамидата, ова е редовен триаголник. Ја користиме формулата - површината на триаголникот е еднаква на половина од производот на соседните страни од синусот на аголот меѓу нив, што значи:

Одговор: 0,25

27088. Најдете ја висината на правилна триаголна пирамида со основни страни еднакви на 2 и волумен еднаков на коренот од три.

Концептите како што се висината на пирамидата и карактеристиките на нејзината основа се поврзани со формулата за волумен:

С- областа на основата на пирамидата

ч- висината на пирамидата

Го знаеме самиот волумен, можеме да ја најдеме областа на основата, бидејќи се познати страните на триаголникот, кој е основата. Знаејќи ги овие вредности, лесно можеме да ја најдеме висината.

За да ја пронајдеме областа на основата, ја користиме формулата - површината на триаголникот е еднаква на половина од производот на соседните страни со синусот на аголот меѓу нив, што значи:

Така, со замена на овие вредности во формулата за волумен, можеме да ја пресметаме висината на пирамидата:

Висината е три.

Одговор: 3

27109. Во правилна четириаголна пирамида, висината е 6, страничниот раб е 10. Најдете го нејзиниот волумен.

Волуменот на пирамидата се пресметува со формулата:

С- областа на основата на пирамидата

ч- висината на пирамидата

Ја знаеме висината. Треба да ја пронајдете областа на основата. Дозволете ми да ве потсетам дека врвот на обичната пирамида е проектиран во центарот на нејзината основа. Основата на правилна четириаголна пирамида е квадрат. Можеме да ја најдеме неговата дијагонала. Размислете за правоаголен триаголник (означен со сино):

Отсечката што го поврзува центарот на квадратот со точката Б е крак, кој е еднаков на половина од дијагоналата на квадратот. Можеме да го пресметаме овој крак користејќи ја Питагоровата теорема:

Значи BD = 16. Пресметајте ја плоштината на квадрат користејќи ја формулата за четириаголна површина:

Оттука:

Така, волуменот на пирамидата е:

Одговор: 256

27178. Во правилна четириаголна пирамида, висината е 12, волуменот е 200. Најдете го страничниот раб на оваа пирамида.

Висината на пирамидата и нејзиниот волумен се познати, така што можеме да ја најдеме областа на плоштадот, што е основата. Знаејќи ја плоштината на квадрат, можеме да ја најдеме неговата дијагонала. Понатаму, со разгледување на правоаголен триаголник, користејќи ја Питагоровата теорема, го пресметуваме страничниот раб:

Најдете ја плоштината на квадратот (основата на пирамидата):

Пресметај ја дијагоналата на квадратот. Бидејќи неговата површина е 50, тогаш страната ќе биде еднаква на коренот од педесет, а според Питагоровата теорема:

Точката O ја дели дијагоналата BD на половина, така што кракот на правоаголниот триаголник OB = 5.

Така, можеме да пресметаме колку е еднаков страничниот раб на пирамидата:

Одговор: 13

245353. Најдете го волуменот на пирамидата прикажана на сликата. Неговата основа е многуаголник чии соседни страни се нормални, а еден од страничните рабови е нормален на рамнината на основата и е еднаков на 3.

Како што беше постојано кажано - волуменот на пирамидата се пресметува со формулата:

С- областа на основата на пирамидата

ч- висината на пирамидата

Страничниот раб нормално на основата е три, што значи дека висината на пирамидата е три. Основата на пирамидата е многуаголник чија плоштина е:

Така:

Одговор: 27

27086. Основата на пирамидата е правоаголник со страни 3 и 4. Нејзиниот волумен е 16. Најдете ја висината на оваа пирамида.

Назад напред

Внимание! Прегледот на слајдот е само за информативни цели и може да не го претставува целосниот обем на презентацијата. Доколку сте заинтересирани за оваа работа, ве молиме преземете ја целосната верзија.

Цели на часот.

Образовни: Изведете формула за пресметување на волуменот на пирамидата

Развивање: да се развие когнитивниот интерес на учениците за академски дисциплини, способноста да го применат своето знаење во пракса.

Образовни: да се негува внимание, точност, да се прошират хоризонтите на учениците.

Опрема и материјали: компјутер, екран, проектор, презентација „Волуменот на пирамидата“.

1. Фронтална анкета. Слајдови 2, 3

Она што се нарекува пирамида, основата на пирамидата, ребра, висина, оска, апотема. Која пирамида се нарекува правилна, тетраедрона, скратена пирамида?

Пирамида - полиедар кој се состои од рамен многуаголник, поени, не лежи во рамнината на овој многуаголник и сите сегменти, поврзувајќи ја оваа точка со точките на многуаголникот.

Оваа точкаповикани самитпирамиди, а рамен многуаголник е основата на пирамидата. Сегменти, поврзувајќи го врвот на пирамидата со врвот на основата, се нарекуваат ребра . Висинапирамиди - нормално, спуштен од врвот на пирамидата до рамнината на основата. Апотема - висина на страничниот рабправилна пирамида. Пирамидата, која во основаталаже точно n-гон, А висинска основасе совпаѓа со фондација центарповикани точно n-гонална пирамида. оска Правилната пирамида се нарекува права линија што ја содржи нејзината висина. Правилната триаголна пирамида се нарекува тетраедар. Ако пирамидата е вкрстена со рамнина паралелна на рамнината на основата, тогаш таа ќе ја отсече пирамидата, сличнодадена. Остатокот се вика скратена пирамида.

2. Изведување на формулата за пресметување на волуменот на пирамидата V=SH/3 Слајдови 4, 5, 6

1. Нека SABC е триаголна пирамида со теме S и основа ABC.

2. Дополнете ја оваа пирамида со триаголна призма со иста основа и висина.

3. Оваа призма е составена од три пирамиди:

1) оваа пирамида SABC.

2) пирамиди SCC 1 B 1 .

3) и пирамиди SCBB 1 .

4. Втората и третата пирамида имаат еднакви основи CC 1 B 1 и B 1 BC и вкупната висина повлечена од темето S до лицето на паралелограмот BB 1 C 1 C. Според тоа, тие имаат еднакви волумени.

5. Првата и третата пирамида исто така имаат еднакви основи SAB и BB 1 S и совпаѓачки висини извлечени од темето C до лицето на паралелограмот ABB 1 S. Затоа, тие исто така имаат еднакви волумени.

Ова значи дека сите три пирамиди имаат ист волумен. Бидејќи збирот на овие волумени е еднаков на волуменот на призмата, волумените на пирамидите се еднакви на SH/3.

Волуменот на која било триаголна пирамида е еднаков на една третина од основната површина помножена со висината.

3. Консолидација на нов материјал. Решение на вежби.

1) Задача № 33 од учебникот А.Н. Погорелов. Слајдови 7, 8, 9

На страната на основата? и страничниот раб b најдете го волуменот на правилна пирамида, во чија основа лежи:

1) триаголник,

2) четириаголник,

3) шестоаголник.

Во правилна пирамида, висината минува низ центарот на кругот опкружен во близина на основата. Потоа: (Прилог)

4. Историски информации за пирамидите. Слајдови 15, 16, 17

Првиот од нашите современици кој воспостави голем број необични феномени поврзани со пирамидата беше францускиот научник Антоан Бови. Истражувајќи ја Кеопсовата пирамида во 30-тите години на дваесеттиот век, тој открил дека телата на малите животни кои случајно влегле во кралската соба биле мумифицирани. Бови си ја објасни причината за тоа со обликот на пирамидата и, како што се испостави, не згреши. Неговите дела ја формираа основата на современите истражувања, како резултат на што, во текот на изминатите 20 години, се појавија многу книги и публикации кои потврдуваат дека енергијата на пирамидите може да биде од практично значење.

Мистеријата на пирамидите

Некои истражувачи тврдат дека пирамидата содржи огромна количина на информации за структурата на Универзумот, Сончевиот систем и човекот, кодирани во нејзината геометриска форма, или подобро кажано, во форма на октаедар, од кои половина е пирамидата. Пирамидата го симболизира животот, врвот надолу - смртта, другиот свет. На ист начин како и компонентите на Давидовата ѕвезда (Маген Давид), каде што триаголникот насочен нагоре го симболизира искачувањето кон Вишиот ум, Бог, а триаголникот, спуштен со врвот надолу, го симболизира спуштањето на душата на Земјата. , материјалното постоење ...

Дигиталната вредност на кодот со кој информациите за Универзумот се шифрираат во пирамидата, бројот 365, не е случајно избрана. Како прво, ова е годишниот животен циклус на нашата планета. Покрај тоа, бројот 365 се состои од три броја 3, 6 и 5. Што значат тие? Ако во Сончевиот систем Сонцето поминува на број 1, Меркур - 2, Венера - 3, Земјата - 4, Марс - 5, Јупитер - 6, Сатурн - 7, Уран - 8, Нептун - 9, Плутон - 10, тогаш 3 е Венера, 6 - Јупитер и 5 - Марс. Затоа, Земјата е поврзана на посебен начин со овие планети. Со собирање на броевите 3, 6 и 5, добиваме 14, од кои 1 е Сонцето, а 4 е Земјата.

Бројот 14 воопшто има глобално значење: особено, структурата на човечките раце се заснова на него, вкупниот број на фаланги на прстите на секоја од нив е исто така 14. Овој код е исто така поврзан со соѕвездието Голема Мечка , кое го вклучува и нашето Сонце, и во кое некогаш беше уште една ѕвезда што го уништи Фаетон, планета која се наоѓа помеѓу Марс и Јупитер, по што Плутон се појави во Сончевиот систем, а карактеристиките на другите планети се променија.

Многу езотерични извори тврдат дека човештвото на Земјата веќе четири пати доживеало светска катастрофа. Третата лемурска раса ја знаела Божествената наука за Универзумот, тогаш оваа тајна доктрина била пренесена само на иницираните. На почетокот на циклусите и полуциклусите на сидералната година, тие ги граделе пирамидите. Тие беа блиску до откривање на кодот на животот. Цивилизацијата на Атлантида успеа во многу работи, но на одредено ниво на знаење тие беа запрени од уште една планетарна катастрофа, придружена со промена на расите. Веројатно, иницијаторите сакале да ни пренесат дека знаењето за космичките закони е вградено во пирамидите...

Специјалните уреди во форма на пирамиди го неутрализираат негативното електромагнетно зрачење на лице од компјутер, ТВ, фрижидер и други апарати за домаќинство.

Во една од книгите, опишан е случај кога пирамидата инсталирана во внатрешноста на автомобилот ја намалила потрошувачката на гориво и ја намалила содржината на CO во издувните гасови.

Семињата на градинарските култури стареат во пирамиди имале подобра ртење и принос. Публикациите дури препорачаа да се натопат семето пред да се сее во пирамидална вода.

Утврдено е дека пирамидите имаат корисен ефект врз еколошката ситуација. Елиминирајте ги патогените зони во становите, канцелариите и приградските области, создавајќи позитивна аура.

Холандскиот истражувач Пол Дикенс во својата книга дава примери за лековитите својства на пирамидите. Забележал дека тие можат да се користат за ублажување на главоболки, болки во зглобовите, запирање на крварењето со мали исеченици и дека енергијата на пирамидите го стимулира метаболизмот и го зајакнува имунолошкиот систем.

Во некои современи публикации, се забележува дека лековите што се чуваат во пирамидата го скратуваат текот на лекувањето, а материјалот за облекување, заситен со позитивна енергија, го промовира заздравувањето на раните.

Козметичките креми и масти го подобруваат нивниот ефект.

Пијалоците, вклучувајќи го и алкохолот, го подобруваат нивниот вкус, а водата содржана во 40% вотка станува лековита. Точно, за да наполните стандардно шише од 0,5 литри со позитивна енергија, потребна ви е висока пирамида.

Во една статија во весник се вели дека ако накитот го складирате под пирамида, тие се самочистат и добиваат посебен сјај, додека скапоцените и полускапоцените камења акумулираат позитивна биоенергија и потоа постепено ја ослободуваат.

Според американските научници, прехранбените производи, како што се житариците, брашното, солта, шеќерот, кафето, чајот, откако ќе се најдат во пирамидата, го подобруваат нивниот вкус, а евтините цигари стануваат како нивните благородни колеги.

Ова можеби не е релевантно за многумина, но старите сечила за бричење сами се остреат во мала пирамида, а водата не замрзнува во голема пирамида на -40 степени Целзиусови.

Според повеќето истражувачи, сето ова е доказ за постоењето на енергијата на пирамидите.

Во текот на 5000 години од своето постоење, пирамидите станаа еден вид симбол што ја персонифицира желбата на човекот да го достигне врвот на знаењето.

5. Сумирање на лекцијата.

Библиографија.

1) http://schools.techno.ru

2) Погорелов А. В. Геометрија 10-11, издавачка куќа „Просветителство“.

3) Енциклопедија „Дрво на знаењето“ Маршал К.

За да го пронајдете волуменот на пирамидата, треба да знаете неколку формули. Ајде да ги разгледаме.

Како да се најде волуменот на пирамидата - 1 пат

Волуменот на пирамидата може да се најде со помош на висината и површината на нејзината основа. V = 1/3*S*h. Така, на пример, ако висината на пирамидата е 10 см, а површината на нејзината основа е 25 см 2, тогаш волуменот ќе биде еднаков на V \u003d 1/3 * 25 * 10 \u003d 1 /3 * 250 \u003d 83,3 cm 3

Како да се најде волуменот на пирамидата - втор метод

Ако правилен многуаголник лежи во основата на пирамидата, тогаш неговиот волумен може да се најде со следнава формула: V \u003d na 2 h / 12 * tg (180 / n), каде што a е страната на многуаголникот што лежи на основа, а n е бројот на неговите страни. На пример: Основата е правилен шестоаголник, односно n = 6. Бидејќи е правилна, сите негови страни се еднакви, односно сите a се еднакви. Да речеме a = 10 и h - 15. Ги внесуваме броевите во формулата и добиваме приближен одговор - 1299 cm 3

Како да се најде волуменот на пирамидата - 3-ти начин

Ако рамностран триаголник лежи во основата на пирамидата, тогаш неговиот волумен може да се најде со следнава формула: V = ha 2 /4√3, каде што a е страната на рамностран триаголник. На пример: висината на пирамидата е 10 см, страната на основата е 5 см Волуменот ќе биде еднаков на V \u003d 10 * 25 / 4 √ 3 \u003d 250 / 4 √ 3. Обично, она што се случи во именителот не се пресметува и се остава во иста форма. Можете исто така да ги помножите и броителот и именителот со 4√3 за да добиете 1000√3/48. Намалувајќи добиваме 125√ 3/6 cm 3.

Како да се најде волуменот на пирамидата - 4-ти начин

Ако квадрат лежи во основата на пирамидата, тогаш неговиот волумен може да се најде со следнава формула: V = 1/3*h*a 2, каде што a се страните на квадратот. На пример: висина - 5 см, страна на плоштадот - 3 см. V \u003d 1/3 * 5 * 9 \u003d 15 см 3

Како да се најде волуменот на пирамидата - 5-ти пат

Ако пирамидата е тетраедар, односно сите нејзини лица се рамностран триаголник, можете да го најдете волуменот на пирамидата користејќи ја следната формула: V = a 3 √2/12, каде што a е раб на тетраедарот. На пример: раб на тетраедар \u003d 7. V \u003d 7 * 7 * 7√2 / 12 \u003d 343 cm 3