Како да се напише равенката на права линија што минува низ точка. Равенка на права линија што минува низ две дадени точки: примери, решенија

Оваа статија ја продолжува темата за равенката на права линија на рамнина: разгледајте таков тип на равенка како општата равенка на права линија. Да дефинираме теорема и да го докажеме нејзиниот доказ; Ајде да откриеме што е нецелосна општа равенка на права линија и како да направиме премини од општа равенка на други видови равенки на права линија. Целата теорија ќе ја консолидираме со илустрации и решавање на практични проблеми.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Нека на рамнината е даден правоаголен координатен систем O x y.

Теорема 1

Секоја равенка од прв степен, со форма A x + B y + C \u003d 0, каде што A, B, C се некои реални броеви (А и Б не се еднакви на нула во исто време) дефинира права линија во правоаголен координатен систем на рамнина. За возврат, која било линија во правоаголен координатен систем на рамнината се одредува со равенка која има форма A x + B y + C = 0 за одредено множество вредности A, B, C.

Доказ

Оваа теорема се состои од две точки, ние ќе ја докажеме секоја од нив.

Да докажеме дека равенката A x + B y + C = 0 дефинира права на рамнината.

Нека има некоја точка M 0 (x 0 , y 0) чии координати одговараат на равенката A x + B y + C = 0 . Така: A x 0 + B y 0 + C = 0 . Одземете од левата и десната страна на равенките A x + B y + C \u003d 0 левата и десната страна на равенката A x 0 + B y 0 + C \u003d 0, добиваме нова равенка што изгледа како A (x - x 0) + B (y - y 0) = 0 . Тоа е еквивалентно на A x + B y + C = 0.

Добиената равенка A (x - x 0) + B (y - y 0) = 0 е неопходен и доволен услов за перпендикуларноста на векторите n → = (A, B) и M 0 M → = (x - x 0, y - y 0 ) . Така, множеството точки M (x, y) дефинира во правоаголен координатен систем права линија нормална на насоката на векторот n → = (A, B) . Можеме да претпоставиме дека тоа не е така, но тогаш векторите n → = (A, B) и M 0 M → = (x - x 0, y - y 0) нема да бидат нормални, а еднаквоста A (x - x 0 ) + B (y - y 0) = 0 не би било точно.

Затоа, равенката A (x - x 0) + B (y - y 0) \u003d 0 дефинира некоја линија во правоаголен координатен систем на рамнината, и затоа еквивалентната равенка A x + B y + C \u003d 0 дефинира истата линија. Така го докажавме првиот дел од теоремата.

Да докажеме дека секоја права линија во правоаголен координатен систем на рамнина може да се даде со равенка од прв степен A x + B y + C = 0 .

Да поставиме права линија a во правоаголен координатен систем на рамнината; точка M 0 (x 0 , y 0) низ која минува оваа права, како и нормалниот вектор на оваа права n → = (A , B) .

Нека постои и некоја точка M (x, y) - подвижна точка на правата. Во овој случај, векторите n → = (A , B) и M 0 M → = (x - x 0 , y - y 0) се нормални еден на друг, а нивниот скаларен производ е нула:

n → , M 0 M → = A (x - x 0) + B (y - y 0) = 0

Да ја преработиме равенката A x + B y - A x 0 - B y 0 = 0 , да дефинираме C: C = - A x 0 - B y 0 и на крајот да ја добиеме равенката A x + B y + C = 0 .

Значи, го докажавме вториот дел од теоремата и ја докажавме целата теорема како целина.

Дефиниција 1

Равенка што изгледа како A x + B y + C = 0 - ова е општа равенка на права линијана рамнина во правоаголен координатен системO x y.

Врз основа на докажаната теорема, можеме да заклучиме дека правата линија дадена на рамнина во фиксен правоаголен координатен систем и неговата општа равенка се нераскинливо поврзани. Со други зборови, оригиналната линија одговара на нејзината општа равенка; општата равенка на права линија одговара на дадена права линија.

Исто така, од доказот на теоремата произлегува дека коефициентите A и B за променливите x и y се координати на нормалниот вектор на правата линија, што е дадено со општата равенка на правата линија A x + B y + C = 0.

Размислете за конкретен пример на општата равенка на права линија.

Нека е дадена равенката 2 x + 3 y - 2 = 0, што одговара на права линија во даден правоаголен координатен систем. Нормалниот вектор на оваа линија е векторот n → = (2, 3). Нацртајте дадена права линија на цртежот.

Може да се тврди и следново: правата линија што ја гледаме на цртежот е одредена со општата равенка 2 x + 3 y - 2 = 0, бидејќи координатите на сите точки на дадена права линија одговараат на оваа равенка.

Можеме да ја добиеме равенката λ · A x + λ · B y + λ · C = 0 со множење на двете страни на општата равенка на права линија со ненула број λ. Добиената равенка е еквивалентна на оригиналната општа равенка, затоа, ќе ја опише истата линија во рамнината.

Дефиниција 2

Комплетна општа равенка на права линија- таква општа равенка на линијата A x + B y + C \u003d 0, во која броевите A, B, C се не-нула. Инаку, равенката е нецелосни.

Да ги анализираме сите варијации на нецелосната општа равенка на правата линија.

Кога A \u003d 0, B ≠ 0, C ≠ 0, општата равенка станува B y + C \u003d 0. Таквата нецелосна општа равенка дефинира права линија во правоаголен координатен систем O x y која е паралелна со оската O x, бидејќи за која било реална вредност на x, променливата y ќе ја земе вредноста - Ц Б. Со други зборови, општата равенка на правата A x + B y + C \u003d 0, кога A \u003d 0, B ≠ 0, го дефинира локусот на точките (x, y) чии координати се еднакви на ист број - Ц Б.
Ако A \u003d 0, B ≠ 0, C \u003d 0, општата равенка станува y \u003d 0. Ваквата нецелосна равенка ја дефинира x-оската O x.
Кога A ≠ 0, B \u003d 0, C ≠ 0, добиваме нецелосна општа равенка A x + C \u003d 0, дефинирајќи права линија паралелна на y-оската.
Нека A ≠ 0, B \u003d 0, C \u003d 0, тогаш нецелосната општа равенка ќе ја има формата x \u003d 0, а ова е равенката на координатната линија O y.
Конечно, кога A ≠ 0, B ≠ 0, C \u003d 0, нецелосната општа равенка ја зема формата A x + B y \u003d 0. И оваа равенка опишува права линија што минува низ потеклото. Навистина, парот броеви (0 , 0) одговара на еднаквоста A x + B y = 0 , бидејќи A · 0 + B · 0 = 0 .

Дозволете ни графички да ги илустрираме сите горенаведени типови на нецелосната општа равенка на права линија.

Пример 1

Познато е дека дадената права е паралелна со y-оската и минува низ точката 2 7 , - 11 . Потребно е да се запише општата равенка на дадена права линија.

Решение

Права линија паралелна на y-оската е дадена со равенка од формата A x + C \u003d 0, во која A ≠ 0. Условот ги одредува и координатите на точката низ која минува правата, а координатите на оваа точка одговараат на условите на нецелосната општа равенка A x + C = 0 , т.е. еднаквоста е точна:

A 2 7 + C = 0

Можно е да се одреди C од него со тоа што на А ќе му се даде некоја ненулта вредност, на пример, A = 7 . Во овој случај, добиваме: 7 2 7 + C \u003d 0 ⇔ C \u003d - 2. Ги знаеме двата коефициенти A и C, ги заменуваме во равенката A x + C = 0 и ја добиваме потребната равенка на правата: 7 x - 2 = 0

Одговор: 7 x - 2 = 0

Пример 2

Цртежот покажува права линија, неопходно е да се запише нејзината равенка.

Решение

Дадениот цртеж ни овозможува лесно да ги земеме почетните податоци за решавање на проблемот. На цртежот гледаме дека дадената права е паралелна со оската O x и минува низ точката (0, 3).

Правата линија, која е паралелна со апсцисата, се одредува со нецелосната општа равенка B y + С = 0. Најдете ги вредностите на B и C. Координатите на точката (0, 3), бидејќи низ неа минува дадената права, ќе ја задоволат равенката на правата B y + С = 0, тогаш важи еднаквоста: В · 3 + С = 0. Да го поставиме B на некоја друга вредност освен нула. Да речеме B \u003d 1, во овој случај, од еднаквоста B · 3 + C \u003d 0 можеме да најдеме C: C \u003d - 3. Користејќи ги познатите вредности на B и C, ја добиваме потребната равенка на права линија: y - 3 = 0.

Одговор: y - 3 = 0 .

Општа равенка на права линија што минува низ дадена точка на рамнината

Нека дадената права поминува низ точката M 0 (x 0, y 0), тогаш нејзините координати одговараат на општата равенка на правата, т.е. еднаквоста е точно: A x 0 + B y 0 + C = 0 . Одземете ја левата и десната страна на оваа равенка од левата и десната страна на општата целосна равенка на правата линија. Добиваме: A (x - x 0) + B (y - y 0) + C \u003d 0, оваа равенка е еквивалентна на првобитната општа, поминува низ точката M 0 (x 0, y 0) и има нормален вектор n → \u003d (A, B) .

Резултатот што го добивме овозможува да се напише општата равенка на права линија за познати координати на нормалниот вектор на права линија и координатите на одредена точка од оваа права линија.

Пример 3

Дадена е точка M 0 (- 3, 4) низ која минува правата и нормалниот вектор на оваа права n → = (1 , - 2) . Потребно е да се запише равенката на дадена права линија.

Решение

Почетните услови ни овозможуваат да ги добиеме потребните податоци за составување на равенката: A \u003d 1, B \u003d - 2, x 0 \u003d - 3, y 0 \u003d 4. Потоа:

A (x - x 0) + B (y - y 0) = 0 ⇔ 1 (x - (- 3)) - 2 y (y - 4) = 0 ⇔ ⇔ x - 2 y + 22 = 0

Проблемот можеше да се реши поинаку. Општата равенка на права линија има форма A x + B y + C = 0 . Дадениот нормален вектор ви овозможува да ги добиете вредностите на коефициентите А и Б, потоа:

A x + B y + C = 0 ⇔ 1 x - 2 y + C = 0 ⇔ x - 2 y + C = 0

Сега да ја најдеме вредноста на C, користејќи ја точката M 0 (- 3, 4) дадена од состојбата на задачата низ која минува правата. Координатите на оваа точка одговараат на равенката x - 2 · y + C = 0 , т.е. - 3 - 2 4 + C \u003d 0. Оттука C = 11. Потребната правилна равенка има форма: x - 2 · y + 11 = 0 .

Одговор: x - 2 y + 11 = 0 .

Пример 4

Дадена е права 2 3 x - y - 1 2 = 0 и точка M 0 што лежи на оваа права. Позната е само апсцисата на оваа точка и таа е еднаква на - 3. Потребно е да се одреди ординатата на дадената точка.

Решение

Да го поставиме означувањето на координатите на точката M 0 како x 0 и y 0 . Првичните податоци покажуваат дека x 0 \u003d - 3. Бидејќи точката припаѓа на дадена права, тогаш нејзините координати одговараат на општата равенка на оваа права. Тогаш следнава еднаквост ќе биде вистинита:

2 3 x 0 - y 0 - 1 2 = 0

Дефинирајте y 0: 2 3 (- 3) - y 0 - 1 2 = 0 ⇔ - 5 2 - y 0 = 0 ⇔ y 0 = - 5 2

Одговор: - 5 2

Премин од општата равенка на права линија на други видови равенки на права линија и обратно

Како што знаеме, постојат неколку видови на равенка на иста права линија во рамнината. Изборот на типот на равенката зависи од условите на проблемот; можно е да се избере оној кој е попогоден за неговото решение. Ова е местото каде што вештината за претворање на равенка од еден вид во равенка од друг вид доаѓа многу корисна.

Прво, разгледајте го преминот од општата равенка на формата A x + B y + C = 0 до канонската равенка x - x 1 a x = y - y 1 a y .

Ако A ≠ 0, тогаш го пренесуваме поимот B y на десната страна од општата равенка. На левата страна го вадиме А од загради. Како резултат на тоа, добиваме: A x + C A = - B y .

Оваа еднаквост може да се запише како пропорција: x + C A - B = y A .

Ако B ≠ 0, го оставаме само поимот A x на левата страна од општата равенка, ги пренесуваме другите на десната страна, добиваме: A x \u003d - B y - C. Извадуваме - B од загради, потоа: A x \u003d - B y + C B.

Ајде да ја преработиме еднаквоста како пропорција: x - B = y + C B A .

Се разбира, нема потреба да ги меморирате добиените формули. Доволно е да се знае алгоритмот на дејства при преминот од општата равенка во канонската.

Пример 5

Дадена е општата равенка на правата 3 y - 4 = 0. Треба да се претвори во канонска равенка.

Решение

Оригиналната равенка ја пишуваме како 3 y - 4 = 0 . Следно, дејствуваме според алгоритмот: терминот 0 x останува на левата страна; а од десната страна вадиме - 3 од загради; добиваме: 0 x = - 3 y - 4 3 .

Добиената еднаквост да ја запишеме како пропорција: x - 3 = y - 4 3 0 . Така, добивме равенка на канонската форма.

Одговор: x - 3 = y - 4 3 0.

За да се трансформира општата равенка на права линија во параметарски, прво се врши преминот кон канонската форма, а потоа преминот од канонската равенка на права линија во параметарски равенки.

Пример 6

Правата линија е дадена со равенката 2 x - 5 y - 1 = 0 . Запишете ги параметарските равенки на оваа линија.

Решение

Да го направиме преминот од општата равенка во канонската:

2 x - 5 y - 1 = 0 ⇔ 2 x = 5 y + 1 ⇔ 2 x = 5 y + 1 5 ⇔ x 5 = y + 1 5 2

Сега да ги земеме двата дела од добиената канонска равенка еднаква на λ, тогаш:

x 5 = λ y + 1 5 2 = λ ⇔ x = 5 λ y = - 1 5 + 2 λ , λ ∈ R

Одговор:x = 5 λ y = - 1 5 + 2 λ , λ ∈ R

Општата равенка може да се претвори во праволиниска равенка со наклон y = k x + b, но само кога B ≠ 0. За преминот на левата страна, го оставаме терминот B y, останатите се пренесуваат надесно. Добиваме: B y = - A x - C . Да ги поделиме двата дела од добиената еднаквост со B , што е различно од нула: y = - A B x - C B .

Пример 7

Дадена е општата равенка на права линија: 2 x + 7 y = 0 . Треба да ја претворите таа равенка во равенка на наклон.

Решение

Ајде да ги извршиме потребните дејства според алгоритмот:

2 x + 7 y = 0 ⇔ 7 y - 2 x ⇔ y = - 2 7 x

Одговор: y = - 2 7 x.

Од општата равенка на права линија, доволно е едноставно да се добие равенка во отсечки од формата x a + y b \u003d 1. За да направиме таква транзиција, го пренесуваме бројот C на десната страна на еднаквоста, ги делиме двата дела од добиената еднаквост со - С и, конечно, ги пренесуваме коефициентите за променливите x и y на именителот:

A x + B y + C = 0 ⇔ A x + B y = - C ⇔ ⇔ A - C x + B - C y = 1 ⇔ x - C A + y - C B = 1

Пример 8

Потребно е да се претвори општата равенка на права линија x - 7 y + 1 2 = 0 во равенка на права линија во отсечки.

Решение

Да се поместиме 1 2 на десната страна: x - 7 y + 1 2 = 0 ⇔ x - 7 y = - 1 2 .

Поделете со -1/2 двете страни на равенката: x - 7 y = - 1 2 ⇔ 1 - 1 2 x - 7 - 1 2 y = 1 .

Одговор: x - 1 2 + y 1 14 = 1.

Општо земено, и обратната транзиција е исто така лесна: од други видови равенки кон општата.

Равенката на права линија во отсечки и равенката со наклон лесно може да се претворат во општа со едноставно собирање на сите поими од левата страна на равенката:

x a + y b ⇔ 1 a x + 1 b y - 1 = 0 ⇔ A x + B y + C = 0 y = k x + b ⇔ y - k x - b = 0 ⇔ A x + B y + C = 0

Канонската равенка се претвора во општата според следнава шема:

x - x 1 a x = y - y 1 a y ⇔ a y (x - x 1) = a x (y - y 1) ⇔ ⇔ a y x - a x y - a y x 1 + a x y 1 = 0 ⇔ A x + B y + C = 0

За да се помине од параметарот, прво се врши преминот кон канонскиот, а потоа кон општото:

x = x 1 + a x λ y = y 1 + a y λ ⇔ x - x 1 a x = y - y 1 a y ⇔ A x + B y + C = 0

Пример 9

Дадени се параметарските равенки на правата x = - 1 + 2 · λ y = 4. Неопходно е да се запише општата равенка на оваа линија.

Решение

Да го направиме преминот од параметарски равенки во канонски:

x = - 1 + 2 λ y = 4 ⇔ x = - 1 + 2 λ y = 4 + 0 λ ⇔ λ = x + 1 2 λ = y - 4 0 ⇔ x + 1 2 = y - 4 0

Да преминеме од канонско на општо:

x + 1 2 = y - 4 0 ⇔ 0 (x + 1) = 2 (y - 4) ⇔ y - 4 = 0

Одговор: y - 4 = 0

Пример 10

Дадена е равенката на права линија во отсечки x 3 + y 1 2 = 1. Неопходно е да се изврши преминот кон општата форма на равенката.

Решение:

Ајде само да ја преработиме равенката во потребната форма:

x 3 + y 1 2 = 1 ⇔ 1 3 x + 2 y - 1 = 0

Одговор: 1 3 x + 2 y - 1 = 0 .

Изработка на општа равенка на права линија

Погоре кажавме дека општата равенка може да се запише со познати координати на нормалниот вектор и координатите на точката низ која минува правата. Таквата права линија е дефинирана со равенката A (x - x 0) + B (y - y 0) = 0 . На истото место го анализиравме соодветниот пример.

Сега да погледнеме посложени примери во кои, прво, е неопходно да се одредат координатите на нормалниот вектор.

Пример 11

Дадена е права паралелна на правата 2 x - 3 y + 3 3 = 0 . Позната е и точката M 0 (4 , 1) низ која минува дадената права. Потребно е да се запише равенката на дадена права линија.

Решение

Почетните услови ни кажуваат дека правите се паралелни, додека, како нормален вектор на правата чија равенка треба да се запише, го земаме насочувачкиот вектор на правата n → \u003d (2, - 3) : 2 x - 3 y + 3 3 \u003d 0. Сега ги знаеме сите потребни податоци за составување на општата равенка на права линија:

A (x - x 0) + B (y - y 0) = 0 ⇔ 2 (x - 4) - 3 (y - 1) = 0 ⇔ 2 x - 3 y - 5 = 0

Одговор: 2 x - 3 y - 5 = 0 .

Пример 12

Дадената права минува низ потеклото нормално на правата x - 2 3 = y + 4 5 . Потребно е да се напише општата равенка на дадена права линија.

Решение

Нормалниот вектор на дадената права ќе биде насочен вектор на правата x - 2 3 = y + 4 5 .

Потоа n → = (3 , 5) . Правата линија минува низ потеклото, т.е. низ точката О (0, 0) . Да ја составиме општата равенка на дадена права линија:

A (x - x 0) + B (y - y 0) = 0 ⇔ 3 (x - 0) + 5 (y - 0) = 0 ⇔ 3 x + 5 y = 0

Одговори: 3 x + 5 y = 0 .

Доколку забележите грешка во текстот, означете ја и притиснете Ctrl+Enter

Канонските равенки на права линија во просторот се равенки кои дефинираат права линија што минува низ дадена точка колинеарно на векторот на насока.

Нека се дадени точка и вектор на насока. Произволна точка лежи на линија лсамо ако векторите и се колинеарни, т.е. го задоволуваат условот:

Горенаведените равенки се канонски равенки на правата.

Броеви м , nи стрсе проекции на векторот на насоката на координатните оски. Бидејќи векторот е не-нула, тогаш сите броеви м , nи стрне може да биде нула во исто време. Но, еден или два од нив може да бидат нула. Во аналитичката геометрија, на пример, следнава нотација е дозволена:

што значи дека проекциите на векторот на оските Оји Озсе еднакви на нула. Според тоа, и векторот и правата линија дадени со канонските равенки се нормални на оските Оји Озт.е. авиони yOz .

Пример 1Состави равенки на права линија во просторот нормална на рамнина и минува низ точката на пресек на оваа рамнина со оската Оз .

Решение. Најдете ја точката на пресек на дадената рамнина со оската Оз. Од која било точка на оската Оз, има координати , тогаш, под претпоставка во дадената равенка на рамнината x=y= 0, добиваме 4 z- 8 = 0 или z= 2. Според тоа, точката на пресек на дадената рамнина со оската Озима координати (0; 0; 2) . Бидејќи саканата линија е нормална на рамнината, таа е паралелна со нејзиниот нормален вектор. Затоа, нормалниот вектор може да послужи како насочувачки вектор на правата линија даден авион.

Сега ги пишуваме саканите равенки на правата линија што минува низ точката А= (0; 0; 2) во насока на векторот:

Равенки на права линија што минува низ две дадени точки

Правата линија може да се дефинира со две точки што лежат на неа и Во овој случај, насочувачкиот вектор на права линија може да биде векторот . Тогаш канонските равенки на правата добиваат форма

Горенаведените равенки дефинираат права линија што минува низ две дадени точки.

Пример 2Напишете ја равенката на права линија во просторот што минува низ точките и .

Решение. Ние ги пишуваме саканите равенки на права линија во форма дадена погоре во теоретската референца:

Бидејќи , тогаш саканата линија е нормална на оската Ој .

Право како линија на пресек на рамнини

Правата линија во просторот може да се дефинира како линија на пресек на две непаралелни рамнини и, т.е., како збир на точки кои задоволуваат систем од две линеарни равенки

Равенките на системот се нарекуваат и општи равенки на права линија во просторот.

Пример 3Состави канонски равенки на права линија во просторот даден со општи равенки

Решение. За да ги напишете канонските равенки на права линија или, што е исто, равенката на права линија што минува низ две дадени точки, треба да ги најдете координатите на кои било две точки на правата линија. Тие можат да бидат точки на пресек на права линија со кои било две координатни рамнини, на пример yOzи xOz .

Точка на пресек на права со рамнина yOzима апсциса x= 0. Затоа, под претпоставка во овој систем на равенки x= 0, добиваме систем со две променливи:

Нејзината одлука y = 2 , z= 6 заедно со x= 0 дефинира точка А(0; 2; 6) од саканата линија. Претпоставувајќи дека тогаш во дадениот систем на равенки y= 0, го добиваме системот

Нејзината одлука x = -2 , z= 0 заедно со y= 0 дефинира точка Б(-2; 0; 0) пресек на права со рамнина xOz .

Сега ги пишуваме равенките на права линија што минува низ точките А(0; 2; 6) и Б (-2; 0; 0) :

или по делење на именителот со -2:

Нека правата минува низ точките M 1 (x 1; y 1) и M 2 (x 2; y 2). Равенката на права линија што минува низ точката М 1 има форма y- y 1 \u003d к (x - x 1), (10,6)

каде к - сеуште непознат коефициент.

Бидејќи правата линија поминува низ точката M 2 (x 2 y 2), тогаш координатите на оваа точка мора да ја задоволат равенката (10.6): y 2 -y 1 \u003d к (x 2 -x 1).

Од тука наоѓаме Замена на пронајдената вредност к во равенката (10.6), ја добиваме равенката на права линија што минува низ точките M 1 и M 2:

Се претпоставува дека во оваа равенка x 1 ≠ x 2, y 1 ≠ y 2

Ако x 1 \u003d x 2, тогаш правата линија што минува низ точките M 1 (x 1, y I) и M 2 (x 2, y 2) е паралелна со y-оската. Нејзината равенка е x = x 1 .

Ако y 2 \u003d y I, тогаш равенката на правата линија може да се запише како y \u003d y 1, правата M 1 M 2 е паралелна со оската x.

Равенка на права линија во отсечки

Нека правата ја пресекува оската Ox во точката M 1 (a; 0), а оската Oy - во точката M 2 (0; b). Равенката ќе ја има формата:
тие.
. Оваа равенка се нарекува равенката на права линија во отсечки, бидејќи Броевите a и b покажуваат кои отсечки ги отсекува правата линија на координатните оски.

Равенка на права линија што минува низ дадена точка нормална на даден вектор

Да ја најдеме равенката на права линија што минува низ дадена точка Mo (x O; y o) нормална на даден вектор не-нула n = (A; B).

Земете произволна точка M(x; y) на права линија и разгледајте го векторот M 0 M (x - x 0; y - y o) (види слика 1). Бидејќи векторите n и M o M се нормални, нивниот скаларен производ е еднаков на нула: т.е.

A(x - xo) + B(y - yo) = 0. (10.8)

Се повикува равенката (10.8). равенка на права линија што минува низ дадена точка нормална на даден вектор .

Векторот n = (A; B) нормално на правата се нарекува нормален нормален вектор на оваа линија .

Равенката (10.8) може да се преработи како Ах + Ву + С = 0 , (10.9)

каде што A и B се координатите на нормалниот вектор, C \u003d -Ax o - Vu o - слободен член. Равенка (10.9) е општата равенка на права линија(види Сл.2).

Сл.1 Сл.2

Канонски равенки на права линија

Каде
се координатите на точката низ која минува правата и
- вектор на насока.

Криви од втор ред Круг

Круг е множество од сите точки на рамнината еднакво оддалечена од дадена точка, која се нарекува центар.

Канонска равенка на круг со радиус Р центриран на точка
:

Особено, ако центарот на влогот се совпаѓа со потеклото, тогаш равенката ќе изгледа вака:

Елипса

Елипса е збир на точки во рамнина, збир на растојанија од секоја од нив до две дадени точки и , кои се нарекуваат фокуси, е константна вредност
, поголемо од растојанието помеѓу фокусите
.

Канонската равенка на елипса чии фокуси лежат на оската Ox и чие потекло е во средината помеѓу фокусите има форма
Г деа должината на главната полуоска;б е должината на малата полуоска (сл. 2).

Равенка на права што минува низ дадена точка во дадена насока. Равенка на права линија што минува низ две дадени точки. Агол помеѓу две линии. Услов на паралелизам и перпендикуларност на две прави. Определување на точката на пресек на две прави

1. Равенка на права што минува низ дадена точка А(x 1 , y 1) во дадена насока, определена со наклонот к,

y - y 1 = к(x - x 1). (1)

Оваа равенка дефинира молив од линии што минуваат низ точка А(x 1 , y 1), кој се нарекува центар на зракот.

2. Равенка на права линија што минува низ две точки: А(x 1 , y 1) и Б(x 2 , y 2) е напишано вака:

Наклонот на права линија што минува низ две дадени точки се одредува со формулата

3. Агол помеѓу прави линии Аи Бе аголот по кој мора да се ротира првата права линија Аоколу точката на вкрстување на овие линии спротивно од стрелките на часовникот додека не се совпадне со втората линија Б. Ако две прави се дадени со равенки за наклон

y = к 1 x + Б 1 ,

Дефиниција.Секоја линија во рамнината може да се даде со равенка од прв ред

Ах + Ву + С = 0,

а константите A, B не се еднакви на нула во исто време. Оваа равенка од прв ред се нарекува општата равенка на права линија.Во зависност од вредностите на константите A, B и C, можни се следните посебни случаи:

C \u003d 0, A ≠ 0, B ≠ 0 - линијата поминува низ потеклото

A \u003d 0, B ≠ 0, C ≠ 0 (By + C \u003d 0) - линијата е паралелна со оската Ox

B \u003d 0, A ≠ 0, C ≠ 0 ( Ax + C \u003d 0) - линијата е паралелна со оската Oy

B \u003d C \u003d 0, A ≠ 0 - правата линија се совпаѓа со оската Oy

A \u003d C \u003d 0, B ≠ 0 - правата линија се совпаѓа со оската Ox

Равенката на права линија може да се претстави во различни форми во зависност од дадените почетни услови.

Равенка на права линија по точка и нормален вектор

Дефиниција.Во Декартов правоаголен координатен систем, векторот со компоненти (A, B) е нормален на правата дадена со равенката Ax + By + C = 0.

Пример. Најдете ја равенката на права линија што минува низ точката A(1, 2) нормална на (3, -1).

Решение. На A = 3 и B = -1, ја составуваме равенката на права линија: 3x - y + C = 0. За да го најдеме коефициентот C, ги заменуваме координатите на дадената точка A во добиениот израз. 3 - 2 + C = 0, според тоа, C = -1. Вкупно: саканата равенка: 3x - y - 1 \u003d 0.

Равенка на права што минува низ две точки

Нека две точки M 1 (x 1, y 1, z 1) и M 2 (x 2, y 2, z 2) се дадени во просторот, тогаш равенката на права линија што минува низ овие точки:

Ако некој од именителот е еднаков на нула, соодветниот броител треба да се постави еднаков на нула.На рамнината, правата равенка напишана погоре е поедноставена:

ако x 1 ≠ x 2 и x = x 1 ако x 1 = x 2.

Дропка = k се нарекува фактор на наклондиректно.

Пример. Најдете ја равенката на права линија што минува низ точките A(1, 2) и B(3, 4).

Решение.Применувајќи ја горната формула, добиваме:

Равенка на права линија од точка и наклон

Ако вкупните Ax + Wu + C = 0 доведуваат до формата:

и назначи , тогаш се нарекува добиената равенка равенка на права линија со наклонк.

Равенка на права линија со вектор на точка и насока

По аналогија со точката со оглед на равенката на права линија низ нормалниот вектор, можете да внесете доделување права линија низ точка и насочен вектор на права линија.

Дефиниција.Секој вектор без нула (α 1, α 2), чии компоненти го задоволуваат условот A α 1 + B α 2 = 0 се нарекува насочувачки вектор на правата

Ах + Ву + С = 0.

Пример. Најдете ја равенката на права линија со вектор на насока (1, -1) и минува низ точката A(1, 2).

Решение.Равенката на саканата права линија ќе ја бараме во форма: Ax + By + C = 0. Во согласност со дефиницијата, коефициентите мора да ги задоволуваат условите:

1 * A + (-1) * B = 0, т.е. А = Б.

Тогаш равенката на права линија има форма: Ax + Ay + C = 0, или x + y + C / A = 0. за x = 1, y = 2 добиваме C / A = -3, т.е. саканата равенка:

Равенка на права линија во отсечки

Ако во општата равенка на права линија Ah + Wu + C = 0 C≠0, тогаш, делејќи се со –C, добиваме: или

Геометриското значење на коефициентите е дека коефициентот ае координатата на точката на пресек на правата со оската x, и б- координатата на точката на пресек на правата со оската Oy.

Пример.Дадена е општата равенка на правата x - y + 1 = 0. Најдете ја равенката на оваа права во отсечките.

C \u003d 1, , a \u003d -1, b \u003d 1.

Нормална равенка на права линија

Ако двете страни на равенката Ax + Vy + C = 0 се помножат со бројот , кој се нарекува нормализирачки фактор, тогаш добиваме

xcosφ + ysinφ - p = 0 -

нормална равенка на права линија. Знакот ± на нормализирачкиот фактор мора да биде избран така што μ * С< 0. р – длина перпендикуляра, опущенного из начала координат на прямую, а φ - угол, образованный этим перпендикуляром с положительным направлением оси Ох.

Пример. Со оглед на општата равенка на правата 12x - 5y - 65 = 0. Потребно е да се напишат различни видови равенки за оваа права.

равенката на оваа права линија во отсечки:

равенката на оваа права со наклонот: (подели со 5)

; cos φ = 12/13; sin φ= -5/13; p=5.

Треба да се забележи дека не секоја права линија може да биде претставена со равенка во отсечки, на пример, прави линии паралелни со оските или минуваат низ потеклото.

Пример. Правата линија ги отсекува еднаквите позитивни сегменти на координатните оски. Напишете ја равенката на права линија ако плоштината на триаголникот формиран од овие отсечки е 8 cm 2.

Решение.Равенката на права линија има форма: , ab /2 = 8; ab=16; a=4, a=-4. a = -4< 0 не подходит по условию задачи. Итого: или х + у – 4 = 0.

Пример. Напиши ја равенката на права линија што минува низ точката А (-2, -3) и потеклото.

Решение. Равенката на права линија има форма: , каде што x 1 \u003d y 1 \u003d 0; x 2 \u003d -2; y 2 \u003d -3.

Агол помеѓу линиите на рамнина

Дефиниција.Ако се дадени две прави y = k 1 x + b 1 , y = k 2 x + b 2 , тогаш акутниот агол помеѓу овие прави ќе се дефинира како

Две прави се паралелни ако k 1 = k 2 . Две прави се нормални ако k 1 = -1/ k 2 .

Теорема.Правите Ax + Vy + C \u003d 0 и A 1 x + B 1 y + C 1 \u003d 0 се паралелни кога коефициентите A 1 \u003d λA, B 1 \u003d λB се пропорционални. Ако исто така С 1 = λС, тогаш линиите се совпаѓаат. Координатите на точката на пресек на две прави се наоѓаат како решение на системот равенки на овие прави.

Равенка на права што минува низ дадена точка нормална на дадена права

Дефиниција.Правата што минува низ точката M 1 (x 1, y 1) и нормална на правата y \u003d kx + b е претставена со равенката:

Растојание од точка до линија

Теорема.Ако е дадена точка M(x 0, y 0), тогаш растојанието до правата Ax + Vy + C \u003d 0 е дефинирано како

Доказ.Нека точката M 1 (x 1, y 1) е основата на нормалната спуштена од точката M на дадената права. Тогаш растојанието помеѓу точките М и М 1:

(1)

Координатите x 1 и y 1 може да се најдат како решение за системот равенки:

Втората равенка на системот е равенката на права линија што минува низ дадена точка M 0 нормална на дадена права линија. Ако ја трансформираме првата равенка на системот во форма:

A(x - x 0) + B(y - y 0) + Ax 0 + Со 0 + C = 0,

тогаш, решавајќи, добиваме:

Заменувајќи ги овие изрази во равенката (1), наоѓаме:

Теоремата е докажана.

Пример. Одреди го аголот помеѓу правите: y = -3 x + 7; y = 2 x + 1.

k 1 \u003d -3; k2 = 2; tgφ = ; φ= π /4.

Пример. Покажете дека правите 3x - 5y + 7 = 0 и 10x + 6y - 3 = 0 се нормални.

Решение. Наоѓаме: k 1 \u003d 3/5, k 2 \u003d -5/3, k 1 * k 2 \u003d -1, затоа, линиите се нормални.

Пример. Дадени се темињата на триаголникот A(0; 1), B (6; 5), C (12; -1). Најдете ја равенката за висината извлечена од темето В.

Решение. Ја наоѓаме равенката на страната AB: ; 4 x = 6 y - 6;

2x – 3y + 3 = 0;

Посакуваната висинска равенка е: Ax + By + C = 0 или y = kx + b. k = . Тогаш y = . Бидејќи висината минува низ точката C, тогаш нејзините координати ја задоволуваат оваа равенка: од каде b = 17. Вкупно: .

Одговор: 3x + 2y - 34 = 0.