Кога дериватот е позитивен. Графикони на функции, деривати на функции

Правата y=3x+2 е тангента на графикот на функцијата y=-12x^2+bx-10. Најдете b, со оглед на тоа што апсцисата на тангентата точка е помала од нула.

Прикажи решение

Решение

Нека x_0 е апсцисата на точката на графикот на функцијата y=-12x^2+bx-10 низ која минува тангентата на овој график.

Вредноста на изводот во точката x_0 е еднаква на наклонот на тангентата, односно y"(x_0)=-24x_0+b=3. Од друга страна, точката на тангенција припаѓа истовремено и на графикот на функцијата и тангентата, односно -12x_0^2+bx_0-10= 3x_0 + 2. Добиваме систем од равенки \почеток(случаи) -24x_0+b=3, \\-12x_0^2+bx_0-10=3x_0+2. \крај (случаи)

Решавајќи го овој систем, добиваме x_0^2=1, што значи или x_0=-1 или x_0=1. Според условот за апсциса, тангентните точки се помали од нула, па x_0=-1, потоа b=3+24x_0=-21.

Одговори

Состојба

На сликата е прикажан график на функцијата y=f(x) (која е прекината линија составена од три прави отсечки). Користејќи ја сликата, пресметајте F(9)-F(5), каде што F(x) е еден од антидериватите на функцијата f(x).

Прикажи решение

Решение

Според формулата Њутн-Лајбниц, разликата F(9)-F(5), каде што F(x) е еден од антидериватите на функцијата f(x), е еднаква на областа на ограничениот криволиниски трапез по графикот на функцијата y=f(x), прави y=0 , x=9 и x=5. Од графиконот утврдуваме дека посочениот заоблен трапез е трапез со основи еднакви на 4 и 3 и висина 3.

Неговата површина е еднаква \frac(4+3)(2)\cdot 3=10,5.

Одговори

Извор: „Математика. Подготовка за Единствен државен испит 2017 година. Ниво на профил." Ед. Ф. Ф. Лисенко, С. Ју Кулабухова.

Состојба

На сликата е прикажан график од y=f"(x) - изводот на функцијата f(x), дефиниран на интервалот (-4; 10). Најдете ги интервалите на опаѓачката функција f(x). Во вашиот одговор, означете ја должината на најголемиот од нив.

Прикажи решение

Решение

Како што е познато, функцијата f(x) се намалува на оние интервали во секоја точка од кои изводот f"(x) е помал од нула. Имајќи предвид дека е неопходно да се најде должината на најголемиот од нив, три такви интервали се природно се разликува од сликата: (-4; -2) ; (0; 3); (5; 9).

Должината на најголемиот од нив - (5; 9) е 4.

Одговори

Состојба

На сликата е прикажан график од y=f"(x) - изводот на функцијата f(x), дефиниран на интервалот (-8; 7). Најдете го бројот на максимални точки на функцијата f(x) кои припаѓаат на интервалот [-6; -2].

Прикажи решение

Решение

Графикот покажува дека изводот f"(x) на функцијата f(x) го менува знакот од плус во минус (во такви точки ќе има максимум) точно во една точка (помеѓу -5 и -4) од интервалот [ -6; -2 ] Затоа, на интервалот [-6; -2] има точно една максимална точка.

Одговори

Состојба

На сликата е прикажан график на функцијата y=f(x), дефинирана на интервалот (-2; 8). Определи го бројот на точки во кои изводот на функцијата f(x) е еднаков на 0.

Прикажи решение

Решение

Еднаквоста на изводот во точка до нула значи дека тангентата на графикот на функцијата нацртана во оваа точка е паралелна со оската Ox. Според тоа, наоѓаме точки во кои тангентата на графикот на функцијата е паралелна со оската Ox. На оваа табела, таквите точки се екстремни точки (максимални или минимални поени). Како што можете да видите, има 5 екстремни точки.

Одговори

Состојба

Правата y=-3x+4 е паралелна на тангентата на графикот на функцијата y=-x^2+5x-7. Најдете ја апсцисата на тангентата точка.

Прикажи решение

Решение

Аголниот коефициент на правата линија на графикот на функцијата y=-x^2+5x-7 во произволна точка x_0 е еднаков на y"(x_0). Но y"=-2x+5, што значи y" (x_0)=-2x_0+5.Аголен коефициентот на правата y=-3x+4 наведен во условот е еднаков на -3.Паралелните прави имаат исти коефициенти на наклон.Затоа наоѓаме вредност x_0 таква што =- 2x_0 +5=-3.

Добиваме: x_0 = 4.

Одговори

Состојба

На сликата е прикажан график на функцијата y=f(x) и точките -6, -1, 1, 4 се означени на апсцисата. Во која од овие точки изводот е најмал? Ве молиме наведете ја оваа точка во вашиот одговор.

(сл.1)

Слика 1. Изводен график

Својства на деривативни графови

Во зголемени интервали, дериватот е позитивен. Ако изводот во одредена точка од одреден интервал има позитивна вредност, тогаш графикот на функцијата на овој интервал се зголемува.
Во интервали на намалување, дериватот е негативен (со знак минус). Ако изводот во одредена точка од одреден интервал има негативна вредност, тогаш графикот на функцијата се намалува на овој интервал.
Изводот во точката x е еднаков на наклонот на тангентата нацртана на графикот на функцијата во истата точка.
Во максималните и минималните точки на функцијата, изводот е еднаков на нула. Тангентата на графикот на функцијата во оваа точка е паралелна со оската OX.

Пример 1

Користејќи го графикот (сл. 2) на изводот, определи во која точка на отсечката [-3; 5] функцијата е максимална.

Слика 2. Изводен график

Решение: На оваа отсечка изводот е негативен, што значи дека функцијата се намалува од лево кон десно, а најголемата вредност е на левата страна во точката -3.

Пример 2

Користејќи го графикот (сл. 3) на изводот, определи го бројот на максимални точки на отсечката [-11; 3].

Слика 3. Изводен график

Решение: Максималните поени одговараат на точките каде знакот на изводот се менува од позитивен во негативен. На овој интервал, функцијата го менува знакот од плус во минус двапати - во точка -10 и во точка -1. Ова значи дека бројот на максимални поени е два.

Пример 3

Користејќи го графикот (сл. 3) на изводот, определи го бројот на минимални точки во отсечката [-11; -1].

Решение: Минималните точки одговараат на точките каде знакот на изводот се менува од негативен во позитивен. На овој сегмент, таквата точка е само -7. Тоа значи дека бројот на минимални поени на даден сегмент е еден.

Пример 4

Користејќи го графикот (сл. 3) на изводот, определи го бројот на екстремните точки.

Решение: Екстремните точки се и минималните и максималните точки. Да го најдеме бројот на точки на кои изводот го менува знакот.

Следно, на часот, препорачливо е да се разгледа една клучна задача: користејќи го дадениот график на изводот, учениците мора да дојдат до (се разбира, со помош на наставникот) различни прашања поврзани со својствата на самата функција. Природно, овие прашања се дискутираат, по потреба се коригираат, сумираат, се запишуваат во тетратка, по што започнува фазата на решавање на овие задачи. Овде е неопходно да се осигура дека учениците не само што го даваат точниот одговор, туку се способни да го аргументираат (докажат), користејќи ги соодветните дефиниции, својства и правила.
Да дадеме пример за таква задача: на таблата (на пример, со помош на проектор), на учениците им е претставен графикон на изводот; врз основа на тоа беа формулирани 10 задачи (не се отфрлени целосно точни или дупликат прашања).
Функцијата y = f(x) е дефинирана и континуирана на интервалот [–6; 6].
Користејќи го графикот на изводот y = f"(x), определи:

1) бројот на интервали на растечка функција y = f(x);
2) должината на интервалот на опаѓачка функција y = f(x);
3) бројот на екстремни точки на функцијата y = f(x);
4) максимална точка на функцијата y = f(x);
5) критична (стационарна) точка на функцијата y = f(x), која не е екстремна точка;
6) апсцисата на графичката точка во која функцијата y = f(x) ја зема најголемата вредност на отсечката;
7) апсцисата на графичката точка во која функцијата y = f(x) ја зема најмалата вредност на отсечката [–2; 2];
8) бројот на точки во графикот на функцијата y = f(x), кај кои тангентата е нормална на оската Oy;
9) бројот на точки на графикот на функцијата y = f(x), при кој тангентата формира агол од 60° со позитивната насока на оската Ox;
10) апсцисата на графичката точка на функцијата y = f(x), при која наклонот на тангентата зема најмала вредност.
Одговори: 1) 2; 2) 2; 3) 2; 4) –3; 5) –5; 6) 4; 7) –1; 8) 3; 9) 4; 10) –2.
За да ги зајакнат вештините за проучување на својствата на функцијата, учениците можат дома да преземат задача поврзана со читање на истиот график, но во едниот случај тоа е график на функција, а во другиот график на нејзиниот извод.

Написот е објавен со поддршка на форумот на системски администратори и програмери. На „CyberForum.ru“ ќе најдете форуми за теми како програмирање, компјутери, софтверска дискусија, веб програмирање, наука, електроника и апарати за домаќинство, кариера и бизнис, рекреација, луѓе и општество, култура и уметност, дом и економија, автомобили , мотоцикли и многу повеќе. На форумот можете да добиете бесплатна помош. Можете да дознаете повеќе на веб-страницата, која се наоѓа на: http://www.cyberforum.ru/differential-equations/.

Функцијата y = f(x) е дефинирана и континуирана на интервалот [–6; 5]. Сликата покажува:
а) график на функцијата y = f(x);
б) график на изводот y = f"(x).
Од распоредот одреди:
1) минимални точки на функцијата y = f(x);
2) бројот на интервали на опаѓачка функција y = f(x);
3) апсцисата на графичката точка на функцијата y = f(x), при која зема најголема вредност на отсечката;
4) бројот на точки во графикот на функцијата y = f(x), кај кои тангентата е паралелна со оската Ox (или се совпаѓа со неа).
Одговори:
а) 1) –3; 2; 4; 2) 3; 3) 3; 4) 4;
б) 1) –2; 4,6;2) 2; 3) 2; 4) 5.
За да извршите контрола, можете да организирате работа во парови: секој ученик однапред подготвува изводен график на картичка за својот партнер и подолу нуди 4-5 прашања за да ги одреди својствата на функцијата. За време на часовите, тие разменуваат картички, ги завршуваат предложените задачи, по што секој ја проверува и оценува работата на партнерот.

Завршната работа во форма на Унифициран државен испит за 11-ти одделенија нужно содржи задачи за пресметување граници, интервали на намалување и зголемување на изводите на функцијата, пребарување на екстремни точки и конструирање графикони. Доброто познавање на оваа тема ви овозможува правилно да одговорите на неколку испитни прашања и да не доживеете потешкотии во понатамошната професионална обука.

Основите на диференцијалното сметање е една од главните теми на модерната училишна математика. Таа ја проучува употребата на изводот за проучување на зависностите на променливите - токму преку изводот може да се анализира зголемувањето и намалувањето на функцијата без прибегнување кон цртеж.

Сеопфатната подготовка на дипломирани студенти за полагање на Единствениот државен испит на образовниот портал „Школково“ ќе ви помогне длабоко да ги разберете принципите на диференцијација - детално да ја разберете теоријата, да проучувате примери за решавање на типични проблеми и да се обидете со себе во самостојна работа. Ние ќе ви помогнеме да ги затворите празнините во знаењето - разјаснете го вашето разбирање за лексичките концепти на темата и зависностите на количините. Учениците ќе можат да прегледаат како да најдат интервали на монотоност, што значи дека изводот на функцијата се зголемува или намалува на одреден сегмент кога граничните точки се и не се вклучени во пронајдените интервали.

Пред да започнете директно со решавање на тематски проблеми, ви препорачуваме прво да отидете во делот „Теоретска позадина“ и да ги повторите дефинициите за концепти, правила и табеларни формули. Овде можете да прочитате како да го најдете и запишете секој интервал на функцијата за зголемување и намалување на графикот на извод.

Сите понудени информации се претставени во најпристапна форма за разбирање, практично од нула. Веб-страницата обезбедува материјали за перцепција и асимилација во неколку различни форми - читање, гледање видео и директна обука под водство на искусни наставници. Професионалните наставници ќе ви кажат детално како да ги пронајдете интервалите на зголемување и намалување на изводите на функцијата користејќи аналитички и графички методи. За време на вебинарите, ќе можете да поставите кое било прашање што ве интересира, како за теоријата, така и за решавање на конкретни проблеми.

Откако ќе се сетите на главните точки на темата, погледнете примери за зголемување на изводот на функцијата, слични на задачите во опциите за испит. За да го консолидирате она што сте го научиле, погледнете го „Каталогот“ - овде ќе најдете практични вежби за самостојна работа. Задачите во делот се избрани на различни нивоа на тежина, земајќи го предвид развојот на вештините. На пример, секој од нив е придружен со алгоритми за решение и точни одговори.

Со избирање на делот „Конструктор“, студентите ќе можат да вежбаат изучување на зголемувањето и намалувањето на дериватот на функцијата на реални верзии на Единствениот државен испит, постојано ажурирани за да ги земат предвид најновите промени и иновации.