Наоѓање на ранг на матрица со помош на методот на елементарни трансформации. Пресметување на ранг на матрица со помош на елементарни трансформации

Дефиниција. Ранг на матрицае максималниот број на линеарно независни редови кои се сметаат како вектори.

Теорема 1 за рангот на матрицата. Ранг на матрицасе нарекува максимален редослед на ненулта минор на матрицата.

Веќе разговаравме за концептот на малолетник во лекцијата за детерминанти, а сега ќе го генерализираме. Да земеме одреден број редови и одреден број колони во матрицата, и ова „колку“ треба да биде помало од бројот на редови и колони на матрицата, а за редови и колони ова „колку“ треба да биде истиот број. Потоа, на пресекот на колку редови и колку колони ќе има матрица со понизок ред од нашата оригинална матрица. Детерминантата е матрица и ќе биде минор од k-ти ред ако споменатото „some“ (бројот на редови и колони) е означено со k.

Дефиниција.Мала ( р+1)-ти редослед, во кој лежи избраниот малолетник р-тиот ред се нарекува граничен за даден малолетник.

Двата најчесто користени методи се наоѓање на ранг на матрицата. Ова начин на граничи со малолетнициИ метод на елементарни трансформации(Гаусовиот метод).

При користење на методот на граничи мали, се користи следнава теорема.

Теорема 2 за рангот на матрицата.Ако минор може да се состави од матрични елементи рти ред, не еднаков на нула, тогаш рангот на матрицата е еднаков на р.

Кога се користи методот на елементарна трансформација, се користи следново својство:

Ако преку елементарни трансформации се добие трапезоидна матрица што е еквивалентна на првобитната, тогаш ранг на оваа матрицае бројот на линии во него, освен линиите што се состојат целосно од нули.

Наоѓање на ранг на матрица користејќи го методот на граничи со малолетници

Заграден мол е минор од повисок ред во однос на дадениот ако овој мол од повисок ред го содржи дадениот мол.

На пример, со оглед на матрицата

Ајде да земеме малолетник

Граничните малолетници ќе бидат:

Алгоритам за наоѓање на ранг на матрицаследно.

1. Најдете минори од втор ред кои не се еднакви на нула. Ако сите минори од втор ред се еднакви на нула, тогаш рангот на матрицата ќе биде еднаков на еден ( р =1 ).

2. Ако има барем еден минор од втор ред кој не е еднаков на нула, тогаш ги составуваме граничните минори од трет ред. Ако сите гранични малолетници од трет ред се еднакви на нула, тогаш рангот на матрицата е еднаков на два ( р =2 ).

3. Ако барем еден од граничните малолетници од трет ред не е еднаков на нула, тогаш ги составуваме граничните малолетници. Ако сите гранични малолетници од четврти ред се еднакви на нула, тогаш рангот на матрицата е еднаков на три ( р =2 ).

4. Продолжете на овој начин додека големината на матрицата дозволува.

Пример 1.Најдете го ранг на матрица

Решение. Малолетник од втор ред .

Ајде да го граничиме. Ќе има четири гранични малолетници:

Така, сите гранични малолетници од трет ред се еднакви на нула, затоа, рангот на оваа матрица е еднаков на два ( р =2 ).

Пример 2.Најдете го ранг на матрица

Решение. Рангот на оваа матрица е еднаков на 1, бидејќи сите малолетници од втор ред на оваа матрица се еднакви на нула (во ова, како и во случаите на граничните малолетници во двата следни примери, драги студенти се поканети да проверат за самите, можеби користејќи ги правилата за пресметување детерминанти), а меѓу минорите од прв ред, односно меѓу елементите на матрицата има и не-нула.

Пример 3.Најдете го ранг на матрица

Решение. Минорот од втор ред на оваа матрица е, а сите минори од трет ред од оваа матрица се еднакви на нула. Затоа, рангот на оваа матрица е два.

Пример 4.Најдете го ранг на матрица

Решение. Рангот на оваа матрица е 3, бидејќи единствениот минор од трет ред на оваа матрица е 3.

Наоѓање на ранг на матрица со помош на методот на елементарни трансформации (Метод Гаус)

Веќе во примерот 1 е јасно дека задачата за одредување на рангот на матрицата користејќи го методот на граничи со малолетници бара пресметка на голем број детерминанти. Сепак, постои начин да се намали износот на пресметките на минимум. Овој метод се заснова на употреба на елементарни матрични трансформации и се нарекува и Гаусовиот метод.

Следниве операции се разбираат како елементарни матрични трансформации:

1) множење на која било редица или колона од матрица со број различен од нула;

2) додавање на елементите на која било редица или колона од матрицата соодветните елементи од друга редица или колона, помножени со ист број;

3) замена на два реда или колони од матрицата;

4) отстранување на „нулти“ редови, односно оние чии елементи се сите еднакви на нула;

5) бришење на сите пропорционални линии освен една.

Теорема.За време на елементарна трансформација, рангот на матрицата не се менува. Со други зборови, ако користиме елементарни трансформации од матрицата Аотиде во матрицата Б, Тоа .

Нека биде дадена некоја матрица:

Дозволете ни да избереме во оваа матрица произволни жици и произволни колони
. Потоа детерминантата ри ред, составен од матрични елементи
, кој се наоѓа на пресекот на избраните редови и колони, се нарекува минор матрица од ти ред
.

Дефиниција 1.13.Ранг на матрица
е најголемиот ред на ненула минор на оваа матрица.

За да се пресмета рангот на матрицата, треба да се земат предвид сите нејзини минори од најнизок ред и, ако барем еден од нив е различен од нула, да се продолжи со разгледување на минори од највисок ред. Овој пристап за одредување на рангот на матрицата се нарекува граничен метод (или метод на граничи со малолетници).

Задача 1.4.Користејќи го методот на граничи со малолетници, одреди го рангот на матрицата
.

Размислете за рабовите од прв ред, на пример,
. Потоа продолжуваме да разгледуваме некои рабови од втор ред.

На пример,
.

Конечно, да ја анализираме границата од трет ред.

Значи, највисокиот ред на минор кој не е нула е 2, оттука
.

Кога ја решавате задачата 1.4, можете да забележите дека голем број граничи од втор ред се ненула. Во овој поглед, се применува следниот концепт.

Дефиниција 1.14.Основен минор на матрицата е секој минор кој не е нула чиј ред е еднаков на рангот на матрицата.

Теорема 1.2.(Основна минор теорема). Основните редови (основните колони) се линеарно независни.

Забележете дека редовите (колоните) на матрицата се линеарно зависни ако и само ако барем една од нив може да се претстави како линеарна комбинација од другите.

Теорема 1.3.Бројот на линеарно независни матрични редови е еднаков на бројот на линеарно независни матрични колони и е еднаков на рангот на матрицата.

Теорема 1.4.(Неопходен и доволен услов детерминантата да биде еднаква на нула). Со цел детерминантата -ти ред беше еднаква на нула, потребно е и доволно неговите редови (колони) да бидат линеарно зависни.

Пресметувањето на рангот на матрицата врз основа на нејзината дефиниција е премногу незгодно. Ова станува особено важно за матрици со високи нарачки. Во овој поглед, во пракса, рангот на матрицата се пресметува врз основа на примената на теоремите 10.2 - 10.4, како и употребата на концептите за еквивалентност на матрицата и елементарните трансформации.

Дефиниција 1.15.Две матрици
И се нарекуваат еквивалентни ако нивните рангови се еднакви, т.е.
.

Доколку матриците
И се еквивалентни, па забележете
 .

Теорема 1.5.Рангот на матрицата не се менува поради елементарните трансформации.

Ќе ги наречеме елементарни матрични трансформации
која било од следните операции на матрица:

Замена на редови со колони и колони со соодветни редови;

Преуредување матрични редови;

Преминување на линија чии елементи се сите нула;

Множење на низа со број различен од нула;

Додавање на елементите на една линија соодветните елементи на друга линија помножени со ист број
.

Заклучок од теорема 1.5.Ако матрица
добиени од матрица користејќи конечен број елементарни трансформации, а потоа матрицата
И се еквивалентни.

При пресметување на рангот на матрицата, таа треба да се сведе на трапезоидна форма со користење на конечен број елементарни трансформации.

Дефиниција 1.16.Ќе ја наречеме трапезоидна форма на матрична претстава кога во граничен минор од највисок ред не-нула, сите елементи под дијагоналните исчезнуваат. На пример:

Еве
, елементи на матрицата
оди на нула. Тогаш формата на претставување на таквата матрица ќе биде трапезоидна.

Како по правило, матриците се сведуваат на трапезоидна форма користејќи го Гаусовиот алгоритам. Идејата на Гаусовиот алгоритам е дека, со множење на елементите од првиот ред на матрицата со соодветните фактори, се постигнува дека сите елементи од првата колона сместени под елементот
, би се претворил во нула. Потоа, множејќи ги елементите од втората колона со соодветните фактори, осигуруваме дека сите елементи од втората колона се наоѓаат под елементот
, би се претворил во нула. Потоа продолжете на ист начин.

Задача 1.5.Одреди го рангот на матрицата намалувајќи ја на трапезоидна форма.

За да го олесните користењето на Гаусовиот алгоритам, можете да ги замените првата и третата линија.








.

Очигледно е дека овде
. Сепак, за да го доведете резултатот во поелегантна форма, можете дополнително да продолжите со трансформирање на колоните.










.

>> Ранг на матрица

Ранг на матрица

Одредување на ранг на матрица

Размислете за правоаголна матрица. Ако во оваа матрица произволно селектираме клинии и кколони, потоа елементите на пресекот на избраните редови и колони формираат квадратна матрица од k-ти редослед. Детерминантата на оваа матрица се нарекува малолетник од кти редматрица А. Очигледно, матрицата А има минори од кој било ред од 1 до најмалиот од броевите m и n. Помеѓу сите ненула минори од матрицата А, има барем еден минор чиј редослед е најголем. Се нарекува најголемиот од ненулта минор наредби на дадена матрица рангматрици. Ако рангот на матрицата А е р, тоа значи дека матрицата А има ненула минор од редослед р, но секој помал од редот поголем од р, е еднакво на нула. Рангот на матрицата А се означува со r(A). Очигледно, врската важи

Пресметување на ранг на матрица со помош на малолетници

Рангот на матрицата се наоѓа или со методот на граничи со малолетници или со методот на елементарни трансформации. При пресметување на рангот на матрицата со помош на првиот метод, треба да се префрлите од помали до помали до повисок ред. Ако веќе е пронајден минор D од k-тиот ред на матрицата A, различен од нула, тогаш само минорните од редот (k+1) што се граничат со минор D бараат пресметка, т.е. што го содржи како малолетник. Ако сите тие се еднакви на нула, тогаш рангот на матрицата е еднаков на к.

Пример 1.Најдете го рангот на матрицата користејќи го методот на граничи малолетници

Решение.Започнуваме со малолетници од 1-ви ред, т.е. од елементите на матрицата A. Дозволете ни да избереме, на пример, помал (елемент) M 1 = 1, кој се наоѓа во првиот ред и првата колона. Граничи со помош на вториот ред и третата колона, добиваме минор M 2 = различен од нула. Сега се свртуваме кон малолетниците од трет ред кои граничат со М2. Има само два од нив (можете да додадете втора или четврта колона). Ајде да ги пресметаме: = 0. Така, сите гранични малолетници од трет ред се покажаа еднакви на нула. Рангот на матрицата А е два.

Пресметување на ранг на матрица со помош на елементарни трансформации

ОсновноСледниве матрични трансформации се нарекуваат:

1) пермутација на кои било два реда (или колони),

2) множење на ред (или колона) со број што не е нула,

3) додавање на еден ред (или колона) друг ред (или колона), помножен со одреден број.

Двете матрици се нарекуваат еквивалент, ако еден од нив се добие од другиот со користење на конечна група на елементарни трансформации.

Еквивалентни матрици, општо земено, не се еднакви, но нивните редови се еднакви. Ако матриците А и Б се еквивалентни, тогаш се пишува на следниов начин: А~ Б.

КанонскиМатрица е матрица во која на почетокот на главната дијагонала има неколку по ред (чиј број може да биде нула), а сите други елементи се еднакви на нула, на пример,

Користејќи елементарни трансформации на редови и колони, секоја матрица може да се сведе на канонска. Рангот на канонската матрица е еднаков на бројот на оние на нејзината главна дијагонала.

Пример 2Најдете го ранг на матрица

и доведете го во канонска форма.

Решение.Од втората линија, одземете ја првата и преуредите ги овие линии:

Сега од втората и третата линија ја одземаме првата, помножена со 2 и 5, соодветно:

;

одземете го првиот од третиот ред; добиваме матрица

Б = ,

што е еквивалентно на матрицата А, бидејќи е добиена од неа со користење на конечна група на елементарни трансформации. Очигледно, рангот на матрицата B е 2, и затоа r(A)=2. Матрицата Б лесно може да се сведе на канонска. Со одземање на првата колона, помножена со соодветни броеви, од сите наредни, ги претвораме на нула сите елементи од првиот ред, освен првиот, а елементите од останатите редови не се менуваат. Потоа, одземајќи ја втората колона, помножена со соодветни броеви, од сите наредни, ги претвораме на нула сите елементи од вториот ред, освен вториот, и ја добиваме канонската матрица:

ОсновноСледниве матрични трансформации се нарекуваат:

1) пермутација на кои било два реда (или колони),

2) множење на ред (или колона) со број што не е нула,

3) додавање на еден ред (или колона) друг ред (или колона), помножен со одреден број.

Еквивалентни матрици, општо земено, не се еднакви, но нивните редови се еднакви. Ако матриците A и B се еквивалентни, тогаш се пишува на следниов начин: A ~ B.

Пример 2Најдете го ранг на матрица

и доведете го во канонска форма.

Решение.Од втората линија, одземете ја првата и преуредите ги овие линии:

Сега од втората и третата линија ја одземаме првата, помножена со 2 и 5, соодветно:

;

одземете го првиот од третиот ред; добиваме матрица

Б = ,

Теорема Кронекер - Капели- критериум за компатибилност за систем на линеарни алгебарски равенки:

За да може линеарниот систем да биде конзистентен, потребно е и доволно рангот на проширената матрица на овој систем да биде еднаков на рангот на неговата главна матрица.

Доказ (услови за компатибилност на системот)

Потреба

Нека системзглоб Потоа има бројки такви што . Според тоа, колоната е линеарна комбинација на колоните на матрицата. Од фактот дека рангот на матрицата нема да се промени ако се избрише или додаде ред (колона) од системот на нејзините редови (колони), што е линеарна комбинација на други редови (колони), произлегува дека .

Адекватност

Нека . Ајде да земеме некои основни минор во матрицата. Бидејќи, тогаш тоа ќе биде и основен минор на матрицата. Потоа, според теоремата на основата малолетник, последната колона од матрицата ќе биде линеарна комбинација на основните колони, односно колоните на матрицата. Според тоа, колоната со слободни членови на системот е линеарна комбинација на колоните од матрицата.

Последици

Број на главни променливи системиеднаков на рангот на системот.

Заеднички системќе се дефинира (неговото решение е единствено) ако рангот на системот е еднаков на бројот на сите негови променливи.

Хомоген систем на равенки

Понуда15 . 2 Хомоген систем на равенки

секогаш е заеднички.

Доказ. За овој систем, множеството броеви , , , е решение.

Во овој дел ќе ја користиме матричната нотација на системот: .

Понуда15 . 3 Збирот на решенија на хомоген систем на линеарни равенки е решение за овој систем. Решение помножено со број е исто така решение.

Доказ. Нека служат како решенија за системот. Потоа и. Нека . Потоа

Оттогаш - решението.

Нека е произволен број, . Потоа

Оттогаш - решението.

Последица15 . 1 Ако хомоген систем на линеарни равенки има ненула решение, тогаш има бесконечно многу различни решенија.

Навистина, множејќи не-нула решение со различни броеви, ќе добиеме различни решенија.

Дефиниција15 . 5 Ќе кажеме дека решенијата системи се формираат фундаментален систем на решенија, ако колони формираат линеарно независен систем и секое решение на системот е линеарна комбинација од овие колони.