Апстракт: Квадратни равенки и равенки од повисок ред. Од историјата на квадратните равенки и квадратните равенки во древниот Вавилон

Селско средно училиште Копјевскаја

10 начини за решавање на квадратни равенки

Раководител: Патрикеева Галина Анатолиевна,

наставник по математика

село Копево, 2007 г

1. Историја на развојот на квадратните равенки

1.1 Квадратни равенки во антички Вавилон

1.2 Како Диофант составил и решавал квадратни равенки

1.3 Квадратни равенки во Индија

1.4 Квадратни равенки од Ал-Хорезми

1.5 Квадратни равенки во Европа XIII - XVII век

1.6 За теоремата на Виета

2. Методи за решавање на квадратни равенки

Заклучок

Литература

1. Историја на развојот на квадратните равенки

1.1 Квадратни равенки во антички Вавилон

Користејќи модерна алгебарска нотација, можеме да кажеме дека во нивните текстови со клинесто писмо, покрај нецелосните, има и такви, на пример, целосни квадратни равенки:

X 2 + X = ¾; X 2 - X = 14,5

И покрај високиот степен на развој на алгебрата во Вавилон, во текстовите со клинесто писмо недостига концепт за негативен број и општи методи за решавање на квадратни равенки.

1.2 Како Диофант составил и решавал квадратни равенки.

Аритметиката на Диофант не содржи систематско прикажување на алгебрата, но содржи систематска серија проблеми, придружени со објаснувања и решени со конструирање равенки од различни степени.

Кога составува равенки, Диофант вешто избира непознати за да го поедностави решението.

Еве, на пример, една од неговите задачи.

Задача 11.„Најдете два броја, знаејќи дека нивниот збир е 20, а нивниот производ е 96“

Диофант образложува вака: од условите на проблемот произлегува дека бараните броеви не се еднакви, бидејќи кога би биле еднакви, тогаш нивниот производ не би бил еднаков на 96, туку на 100. Така, еден од нив ќе биде повеќе од половина од нивниот збир, т.е. 10 + x, другото е помалку, т.е. 10-ти. Разликата меѓу нив 2x .

Оттука и равенката:

(10 + x) (10 - x) = 96

100 - x 2 = 96

x 2 - 4 = 0 (1)

Од тука x = 2. Еден од потребните броеви е еднаков на 12 , друго 8 . Решение x = -2бидејќи Диофант не постои, бидејќи грчката математика знаела само позитивни броеви.

Ако го решиме овој проблем со избирање на еден од бараните броеви како непознат, тогаш ќе дојдеме до решение на равенката

y (20 - y) = 96,

y 2 - 20y + 96 = 0. (2)

Јасно е дека со избирање на полуразликата на потребните броеви како непозната, Диофант го поедноставува решението; тој успева да ја сведе задачата на решавање на нецелосна квадратна равенка (1).

1.3 Квадратни равенки во Индија

Проблемите со квадратните равенки веќе се наоѓаат во астрономскиот трактат „Аријабхатиам“, составен во 499 година од индискиот математичар и астроном Аријабхата. Друг индиски научник, Брамагупта (VII век), навел општо правило за решавање на квадратни равенки сведени на една канонска форма:

ах 2 + б x = c, a > 0. (1)

Во равенката (1), коефициентите, освен А, може да биде и негативен. Правилото на Брамагупта во суштина е исто како и нашето.

Во античка Индија, јавните натпревари во решавање на тешки проблеми биле вообичаени. Една од старите индиски книги го вели следново за ваквите натпревари: „Како што сонцето ги надминува ѕвездите со својот сјај, така учениот човек ќе ја надмине славата на друг на јавните собири, предлагајќи и решавајќи алгебарски проблеми“. Проблемите честопати беа претставени во поетска форма.

Ова е еден од проблемите на познатиот индиски математичар од 12 век. Баскари.

Задача 13.

„Јато живописни мајмуни и дванаесет покрај виновата лоза...

Властите, јадејќи, се забавуваа. Почнаа да скокаат, да висат...

Ги има на плоштадот осми дел Колку мајмуни имаше?

Се забавував на чистината. Кажи ми, во овој пакет?

Решението на Бхаскара покажува дека тој знаел дека корените на квадратните равенки се со две вредности (сл. 3).

Равенката што одговара на задачата 13 е:

( x /8) 2 + 12 = x

Бхаскара пишува под маската:

x 2 - 64x = -768

и, за да се заврши левата страна од оваа равенка на квадрат, се додава на двете страни 32 2 , потоа добивате:

x 2 - 64x + 32 2 = -768 + 1024,

(x - 32) 2 = 256,

x - 32 = ± 16,

x 1 = 16, x 2 = 48.

1.4 Квадратни равенки во ал - Хорезми

Во алгебарскиот трактат на Ал Хорезми е дадена класификација на линеарни и квадратни равенки. Авторот брои 6 типа равенки, изразувајќи ги на следниов начин:

1) „Квадратите се еднакви на корените“, т.е. секира 2 + в = б X.

2) „Квадратите се еднакви на броевите“, т.е. секира 2 = в.

3) „Корените се еднакви на бројот“, т.е. ах = с.

4) „Квадратите и броевите се еднакви на корените“, т.е. секира 2 + в = б X.

5) „Квадратите и корените се еднакви на броевите“, т.е. ах 2 + bx = s.

6) „Корените и броевите се еднакви на квадрати“, т.е. bx + c = секира 2 .

За Ал-Хорезми, кој избегнуваше употреба на негативни броеви, поимите на секоја од овие равенки се собирања, а не одземања. Во овој случај, равенките кои немаат позитивни решенија очигледно не се земаат предвид. Авторот поставува методи за решавање на овие равенки користејќи ги техниките на ал-џабр и ал-мукабала. Неговите одлуки, се разбира, не се совпаѓаат целосно со нашите. Да не зборуваме дека е чисто реторичко, треба да се истакне, на пример, дека при решавање на нецелосна квадратна равенка од прв тип

Ал Хорезми, како и сите математичари пред 17 век, не го зема предвид нултото решение, веројатно затоа што во конкретни практични проблеми тоа не е важно. Кога решава целосни квадратни равенки, Ал-Хорезми ги поставува правилата за нивно решавање користејќи одредени нумерички примери, а потоа и геометриски докази.

Задача 14.„Квадратот и бројот 21 се еднакви на 10 корени. Најдете го коренот" (имплицира коренот на равенката x 2 + 21 = 10x).

Решението на авторот оди отприлика вака: поделете го бројот на корените на половина, добивате 5, помножете 5 сам по себе, одземете 21 од производот, она што останува е 4. Земете го коренот од 4, добивате 2. Одземете 2 од 5 , добивате 3, ова ќе биде саканиот корен. Или додадете 2 до 5, што дава 7, ова е исто така корен.

Расправата на Ал-Хорезми е првата книга што дошла до нас, која систематски ја поставува класификацијата на квадратните равенки и дава формули за нивно решавање.

1.5 Квадратни равенки во Европа XIII - XVII бб

Формулите за решавање на квадратни равенки по линиите на Ал-Хаваризми во Европа за првпат биле изнесени во Книгата на Абакус, напишана во 1202 година од италијанскиот математичар Леонардо Фибоначи. Ова обемно дело, кое го отсликува влијанието на математиката, како од земјите на исламот, така и од античка Грција, се одликува со својата комплетност и јасност на презентацијата. Авторот самостојно развил некои нови алгебарски примери за решавање проблеми и бил првиот во Европа кој пристапил кон воведување негативни броеви. Неговата книга придонесе за ширење на алгебарското знаење не само во Италија, туку и во Германија, Франција и други европски земји. Многу проблеми од Книгата на Абакус се користени во речиси сите европски учебници од 16 - 17 век. а делумно XVIII.

Општо правило за решавање на квадратни равенки сведено на една канонска форма:

x 2 + bx = в,

за сите можни комбинации на знаци на коефициент б , Собеше формулиран во Европа дури во 1544 година од М. Штифел.

Изведувањето на формулата за решавање на квадратна равенка во општа форма е достапно од Viète, но Viète препознал само позитивни корени. Италијанските математичари Тартаља, Кардано, Бомбели биле меѓу првите во 16 век. Покрај позитивните, се земаат предвид и негативните корени. Само во 17 век. Благодарение на работата на Жирар, Декарт, Њутн и други научници, методот на решавање квадратни равенки добива современа форма.

1.6 За теоремата на Виета

Теоремата што ја изразува врската помеѓу коефициентите на квадратната равенка и нејзините корени, именувана по Виета, беше формулирана од него за прв пат во 1591 година на следниов начин: „Ако Б + Д, помножено со А - А 2 , еднакви БД, Тоа Аеднакви ВОи еднакви Д ».

За да го разбереме Виета, треба да го запомниме тоа А, како и секоја самогласна буква, значеше непознато (наше X), самогласки ВО, Д- коефициенти за непознатото. На јазикот на модерната алгебра, горната формулација Виета значи: ако има

(а + б )x - x 2 = ab ,

x 2 - (a + б ) x + a б = 0,

x 1 = a, x 2 = б .

Изразувајќи ја врската помеѓу корените и коефициентите на равенките со општите формули напишани со помош на симболи, Виете воспоставил униформност во методите на решавање равенки. Сепак, симболиката на Виет е сè уште далеку од нејзината модерна форма. Тој не препознаваше негативни броеви и затоа, кога решаваше равенки, ги разгледуваше само случаите кога сите корени беа позитивни.

2. Методи за решавање на квадратни равенки

Квадратните равенки се темелот на кој почива величественото здание на алгебрата. Квадратните равенки се широко користени при решавање на тригонометриски, експоненцијални, логаритамски, ирационални и трансцендентални равенки и неравенки. Сите знаеме како да решаваме квадратни равенки од училиште (8-мо одделение) до матура.

Министерство за образование и наука на Република Татарстан

Општинска буџетска образовна институција

„Средно училиште Усад

Општински округ Високогорски на Република Татарстан“

Истражувачка работа:

"Приказна појаватаквадрат равенки»

Заврши: Андреева Екатерина,

Ученик од 8Б одделение

Научен советник:

Пожарскаја Татјана Леонидовна,

наставник по математика

Вовед

Кој сака да се ограничи на сегашноста?

без знаење за минатото,

никогаш нема да го разбере.

Г.В. Лајбниц

Равенките заземаат водечко место во училишниот курс по математика, но ниту еден од видовите равенки не нашол толку широка примена како квадратните равенки.

Луѓето можеле да решаваат равенки од втор степен или квадратни равенки уште во Античкиот Вавилон во II милениум п.н.е. Проблемите што водат до квадратни равенки се дискутирани во многу древни математички ракописи и трактати. И во денешно време, многу проблеми во алгебрата, геометријата и физиката исто така се решаваат со помош на квадратни равенки. Со нивното решавање, луѓето наоѓаат одговори на различни прашања од науката и технологијата.

ЦелОваа студија е да ја проучува историјата на појавата на квадратни равенки.

За да се постигне оваа цел, неопходно е да се решат следниве задачи:

Студија научна литература на оваа тема.
Следете ја историјата на појавата на квадратни равенки.

Предмет на проучување:квадратни равенки.

Предмет на проучување:историја на појавата на квадратни равенки.

Релевантност на темата :

Луѓето решаваат квадратни равенки уште од античко време. Сакав да ја знам историјата на квадратните равенки.
Во училишните учебници нема информации за историјата на квадратните равенки.

Методи на истражување:

Работа со едукативна и научна литература.
Набљудување, споредба, анализа.

Научната вредност на работата, според мене, лежи во тоа што овој материјал може да биде од интерес за учениците од училиштата кои се заинтересирани за математика и за наставниците на воннаставните часови.

Квадратни равенки во антички Вавилон.

Во антички Вавилон, потребата за решавање равенки не само од прв, туку и од втор степен беше предизвикана од потребата да се решат проблемите поврзани со пронаоѓањето на површините на земјиштето и со ископувачките работи од воена природа, како и со развој на самата астрономија и математика.

x 2 - x = 14,5

Пример земен од една од глинените плочи од овој период.

„Плоштината на збирот на два квадрати е 1000. Страната на еден од квадратите е страната на другиот квадрат намалена за 10. Кои се страните на квадратите?

Ова води до равенки чие решение се сведува на решавање на квадратна равенка со позитивен корен.

Во реалноста, решението во текстот со клинесто писмо е ограничено, како и во сите источни проблеми, на едноставно набројување на чекорите на пресметување потребни за решавање на квадратната равенка:

„Плоштад 10; ова дава 100; одземе 100 од 1000; ова дава 900"итн

Како Диофант составил и решавал квадратни равенки

Диофант претставува една од најтешките мистерии во историјата на науката. Тој беше еден од најоригиналните антички грчки математичари, Диофант Александриски, чии дела беа од големо значење за алгебрата и теоријата на броеви. Ниту годината на раѓање, ниту датумот на смртта на Диофант сè уште не се разјаснети. Временскиот период кога Диофант можел да живее е половина милениум! Се верува дека живеел во 3 век од нашата ера. Но, местото на живеење на Диофант е добро познато - ова е познатата Александрија, центарот на научната мисла на хеленистичкиот свет.

Од делата на Диофант, најважна е Аритметиката, од кои 13 книги се сочувани само 6 до денес.

Кога составува равенки, Диофант вешто избира непознати за да го поедностави решението.

Еве, на пример, една од неговите задачи.

Задача: „Најдете два броја, знаејќи дека нивниот збир е 20, а нивниот производ е 96“

Оттука и равенката:

(10 + x) (10 - x) = 96

100 - x 2 = 96

x 2 - 4 = 0 (1)

y (20 - y) = 96,

y 2 - 20y + 96 = 0. (2)

Квадратни равенки од аритметиката на Диофант:

12x 2 +x = 1
630x 2 +73x=6.

Уште во античко време, Индија била позната по своето знаење од областа на астрономијата, граматиката и другите науки.

Индиските научници го постигнаа најголемиот успех во оваа област математичари. Тие беа основачи на аритметиката и алгебрата, во чиј развој отидоа подалеку од Грците.

Проблемите со квадратните равенки се наоѓаат веќе во астрономскиот трактат „Аријабхатиам“, составен во 499 година. Индиски математичар и астроном Аријабхата. Друг индиски научник, Брамагупта (VII век), го наведе општото правило за решавање на квадратни равенки сведени на една канонска форма: секира 2 + bx = c, a> 0.

Правилото на Брамагупта во суштина е исто како и нашето.
Јавните натпревари биле вообичаени во античка Индија
во решавањето на тешките проблеми. Една од старите индиски книги го вели следново за ваквите натпревари: „Како што сонцето ги надминува ѕвездите со својот сјај, така учениот човек ќе ја надмине славата на друг на јавните собири, предлагајќи и решавајќи алгебарски проблеми“.

Проблемите честопати беа претставени во поетска форма.
Ова е еден од проблемите на познатиот индиски математичар од 12 век. Баскари:

« Јато лути мајмуни,

Јадев до срце, се забавував.

Има осми дел од нив на квадрат,

Се забавував на чистината.

И дванаесет покрај винова лоза...

Почнаа да скокаат, да висат...

Колку мајмуни имаше?

Кажи ми, во овој пакет?

Решението на Бхаскара покажува дека тој знаел дека корените на квадратните равенки се со две вредности.

Равенката што одговара на проблемот

Бхаскара пишува во форма x 2 - 64x = -768 и, за да ја комплетирате левата страна од оваа равенка на квадрат, додадете 32 2 на двете страни, а потоа добивате:

x 2 -64x+32 2 = -768+1024,

x 1 =16, x 2 =48.

Квадратни равенки во Кина (1 милениум п.н.е.).

Првите кинески пишани споменици кои стигнаа до нас датираат од ерата Шанг (XVIII-XII век п.н.е.). И веќе на гатачките коски од 14 век. п.н.е п.н.е., пронајден во Хенан, зачувани се ознаките на броевите. Но, вистинскиот процут на науката започна по 12 век. п.н.е д. Кина беше освоена од номадите Џоу. Во текот на овие години, кинеската математика и астрономија се појавија и достигнаа неверојатни височини. Се појавија првите точни календари и учебници по математика. За жал, „истребувањето на книгите“ од императорот Чин Ши Хуанг (Ши Хуангди) не дозволи раните книги да стигнат до нас, но тие најверојатно ја формираа основата за следните дела.

„Математика во девет книги“ е првото математичко дело од голем број класици во античка Кина, извонреден споменик на античка Кина за време на раната династија Хан (206 п.н.е. - 7 н.е.). Овој есеј содржи разновиден и богат математички материјал, вклучително и квадратни равенки.

Кинески предизвик: „Има резервоар со страна од 10 см. Во нејзиниот центар има трска која штрчи над водата за 1 час. Ако ја повлечете трската кон брегот, таа само ќе ја допре. Прашањето е: колкава е длабочината на водата и колкава е должината на трската?

(x+1) 2 =x 2 +5 2,

x 2 +2x+1= x 2 +25,

Одговор: 12чи; 13 часот

Квадратни равенки од Ал-Хваризми

„Со составив кратка книга за пресметката на алгебрата и алмукабалата, која содржи едноставни и сложени аритметички прашања, бидејќи тоа е неопходно за луѓето“. Ал-Хорезми Мохамед бен Муса.

Ал-Хорезми (Узбекистан) е најпознат по неговата „Книга за комплетирање и спротивставување“ („Ал-китаб ал-мухтасар фи хисаб ал-џабр ва-л-мукабала“), од чие име е зборот „алгебра“ изведени. Овој трактат е првата книга што дојде до нас, која систематски ја поставува класификацијата на квадратните равенки и дава формули за нивно решавање.

Во теоретскиот дел од својот трактат, Ал-Хорезми дава класификација на равенки од 1-ви и 2-ри степени и идентификува шест од нивните типови:

1) „Квадратите се еднакви на корените“, т.е. секира 2 = bx. (пример :)

2) „Квадратите се еднакви на броеви“, т.е. секира 2 = с. (пример:)

3) „Корените се еднакви на бројот“, т.е. секира = в. (пример :)

4) „Квадратите и броевите се еднакви на корените“, т.е. секира 2 + c = bx. (пример :)

5) „Квадратите и корените се еднакви на бројот“, т.е. секира 2 + bx = c.

6) „Корените и броевите се еднакви на квадрати“, т.е. bx + c == секира 2. (пример :)

За Ал-Хваризми, кој избегнувал употреба на негативни броеви, поимите на секоја од овие равенки се собирачи, а не одземања. Во овој случај, равенките кои немаат позитивни решенија очигледно не се земаат предвид. Авторот поставува методи за решавање на овие равенки користејќи ги техниките на ал-џабр и ал-мукабал. Неговата одлука, се разбира, не се совпаѓа целосно со нашата. Да не зборуваме дека е чисто реторичко, треба да се истакне, на пример, дека при решавање на нецелосна квадратна равенка од прв тип, Ал-Хорезми, како и сите математичари до 17 век, не го зема предвид решението нула. веројатно затоа што во конкретни практични тоа не е важно во задачите. Кога решава целосни квадратни равенки, Ал-Хваризми ги поставува правилата за нивно решавање користејќи одредени нумерички примери, а потоа и нивните геометриски докази.

Да дадеме пример.

„Квадратот и бројот 21 се еднакви на 10 корени. Најдете го коренот"(имплицира коренот на равенката x 2 + 21 = 10x).

Решението на авторот оди отприлика вака: „Поделете го бројот на корените на половина, добивате 5, помножете 5 сам по себе, одземете 21 од производот, останува 4. Земете го коренот од 4, добивате 2. Одземете 2 од 5, добивате 3, ова ќе биде саканиот корен. Или додадете 2 на 5, што дава 7, ова е исто така корен.

Познатата равенка на Ал-Хваризми: „Квадрат и десет корени се еднакви на 39“. x 2 + 10x= 39 (IX век). Во својот трактат тој пишува: „Правилото е ова: двојно повеќе од бројот на корените, добивате пет во овој проблем. Додај го тоа на триесет и девет, станува шеесет и четири. Земете го коренот на ова, станува осум, и одземете половина од бројот на корените од ова, т.е. пет, што остава три: ова ќе биде коренот на квадратот што го баравте“.

Квадратни равенки во Европа во 12-17 век.

Формите за решавање на квадратни равенки по моделот на Ал-Хваризми во Европа за првпат беа претставени во „Книгата на абакусот“, напишана во 1202 година. Италијанскиот математичар Леонард Фибоначи. Авторот самостојно развил некои нови алгебарски примери за решавање проблеми и бил првиот во Европа кој пристапил кон воведување негативни броеви.

Оваа книга придонесе за ширење на алгебарското знаење не само во Италија, туку и во Германија, Франција и други европски земји. Многу проблеми од оваа книга се користени во речиси сите европски учебници од 14-17 век. Општото правило за решавање на квадратни равенки сведено на формата x 2 + bх = с за сите можни комбинации на знаци и коефициенти b, c беше формулирано во Европа во 1544 година од М. Штифел.

Изведувањето на формулата за решавање на квадратна равенка во општа форма е достапно од Viète, но Viète препознал само позитивни корени. Италијанските математичари Тартаља, Кардано, Бомбели биле меѓу првите во 16 век. Покрај позитивните, се земаат предвид и негативните корени. Само во 17 век. Благодарение на делата на Жирар, Декарт, Њутн и други научници, методот на решавање квадратни равенки добива современа форма.

Заклучок.

Квадратните равенки се темелот на кој почива величественото здание на алгебрата. Различни равенки, и квадратни и равенки од повисоки степени, беа решени од нашите далечни предци. Овие равенки беа решени во многу различни и далечни земји. Потребата за равенки беше голема. Равенките се користеле во градежништвото, во воените работи и во секојдневните ситуации.

Во денешно време, способноста за решавање на квадратни равенки е неопходна за секого. Способноста за брзо, рационално и правилно решавање на квадратни равенки го олеснува завршувањето на многу теми на курсот по математика. Квадратни равенки се решаваат не само на часовите по математика, туку и на часовите по физика, хемија и компјутерски науки. Повеќето практични проблеми во реалниот свет се сведуваат и на решавање на квадратни равенки.

Литература

Башмакова И. Г. Равенки на Диофант и Диофанти. М.: Наука, 1972 година.
Березкина Е.И. Математика на античка Кина - М.: Наука, 1980 година
Пичурин Л.Ф. Зад страниците на учебник за алгебра: Книга. за студенти

7-9 одделение училишен просек - М.: Образование, 1990 година

Glazer G.I Историја на математиката во училиште VII - VIII одд. Прирачник за наставници. - М.: Образование, 1982 година.

Квадратни равенки во антички Вавилон Потребата за решавање равенки не само од прв, туку и од втор степен, дури и во античко време, била предизвикана од потребата да се решат проблемите поврзани со пронаоѓањето на површините на парцелите и со ископување на воена природа, како и со развојот на самата астрономија и математика. Вавилонците можеа да решат квадратни равенки околу 2000 години пред нашата вера. Користејќи современа алгебарска нотација, можеме да кажеме дека во нивните текстови со клинесто писмо, покрај нецелосните, има, на пример, целосни квадратни равенки: Правилото за решавање на овие равенки, утврдено во вавилонските текстови, се совпаѓа со современиот, но не е познато како владее вавилонците таму. Речиси сите досега пронајдени текстови со клинесто писмо претставуваат само проблеми со решенија изложени во форма на рецепти, без индикации за тоа како се пронајдени. И покрај високиот степен на развој на алгебрата во Вавилонија, во текстовите со клинесто писмо недостига концепт за негативен број и општи методи за решавање на квадратни равенки.

Како Диофант составил и решавал квадратни равенки „Најди два броја, знаејќи дека нивниот збир е 20, а нивниот производ е 96.“ Диофант вака образложува: од условите на задачата произлегува дека бараните броеви не се еднакви, бидејќи кога би биле еднакви, тогаш нивниот производ не би бил 96, туку 100. Така, еден од нив би бил повеќе од половина од нивниот збир, т.е. 10+X, другото е помало, т.е. 10-X. Разликата меѓу нив е 2X Оттука X=2. Еден од потребните броеви е 12, другиот е 8. Решението X = -2 не постои за Диофант, бидејќи грчката математика знаела само позитивни броеви. РАВЕНКА: или:

Квадратни равенки во Индија Проблеми со квадратните равенки се наоѓаат и во астрономскиот трактат „Аријабхатиам“, составен во 499 година од индискиот математичар и астроном Аријабхата. Друг индиски научник, Брамагупта, го наведе општото правило за решавање квадратни равенки сведени на една канонска форма: секира ² +bx=c, a>0 Еден од проблемите на познатиот индиски математичар од 12 век Бхаскара Јато лути мајмуни , откако јадеа до срце, се забавуваа. Осми дел од нив на плоштад се забавував на чистината. И дванаесет на лозите... Почнаа да скокаат висејќи... Колку мајмуни имаше, кажи ми, во ова јато? Равенката што одговара на задачата: Баскара пишува под формата: Пополни ја левата страна на квадрат, 0 Еден од проблемите на познатиот индиски математичар од 12 век, Бхаскара Јато лути мајмуни, јадејќи до срце, се забавуваа. Осми дел од нив на плоштад се забавував на чистината. И дванаесет на лозите... Почнаа да скокаат висејќи... Колку мајмуни имаше, кажи ми, во ова јато? Равенката што одговара на проблемот: Баскара пишува под формата: Пополни ја левата страна на квадрат.">

Квадратни равенки во Античка Азија Еве како централноазискиот научник Ал-Хваризми ја решил оваа равенка: Тој напишал: „Правилото е: двојно повеќе го бројот на корените, x = 2x 5, добивате пет во оваа задача, помножете 5 со ова еднакво на него, ќе биде дваесет и пет, 5 ·5=25 додадете го ова на триесет и девет, ќе има шеесет и четири, 64 земете го коренот од ова, ќе биде осум, 8 и од оваа половина одземете го бројот на корени, т.е. пет, 8-5 ќе останат 3, ова ќе биде коренот на квадратот што го барав“. Што е со вториот корен? Вториот корен не беше пронајден, бидејќи негативните броеви не беа познати. x x = 39

Квадратни равенки во Европа XIII-XVII век. Општото правило за решавање на квадратни равенки сведени на една канонска форма x2+inx+c=0 било формулирано во Европа дури во 1544 година од Штифел.Формулите за решавање на квадратни равенки во Европа првпат биле наведени во 1202 година од италијанскиот математичар Леонард Фибоначи. Изведувањето на формулата за решавање на квадратна равенка во општа форма е достапно од Viète, но Viète препознал само позитивни корени. Само во 17 век. благодарение на делата на Декарт, Њутн и други научници, методот на решавање квадратни равенки добива современа форма

За теоремата на Виета. тогаш А е еднакво на Б и е еднакво на D“. За да се разбере Виета, треба да се запамети дека А, како и секоја самогласна буква, значеше непознато (нашето x), додека самогласките B, D се коефициенти за непознатото. На јазикот на модерната алгебра, горната формулација Виета значи: Ако дадената квадратна равенка x 2 +px+q=0 има реални корени, тогаш нивниот збир е еднаков на -p, а производот е еднаков на q, т.е. x 1 + x 2 = -p, x 1 x 2 = q (збирот на корените на горната квадратна равенка е еднаков на вториот коефициент земен со спротивниот знак, а производот на корените е еднаков на слободниот член ).

Методот на факторизација носи општа квадратна равенка во форма: A(x)·B(x)=0, каде што A(x) и B(x) се полиноми во однос на x. Цел: Да се извади заедничкиот фактор од загради; Користење на скратени формули за множење; Метод на групирање. Методи: Пример:

Корени на квадратна равенка: Ако D>0, Ако Д 0, If D"> 0, If D"> 0, If D" title=" Корени на квадратна равенка: Ако D>0, Ако D"> title="Корени на квадратна равенка: Ако D>0, Ако Д"> !}

X 1 и x 2 – корени на равенката Решавање равенки со помош на теоремата на Виета X 2 + 3X – 10 = 0 X 1 · X 2 = – 10, што значи дека корените имаат различни знаци X 1 + X 2 = – 3, што значи коренот има поголем модул - негативен Со избор ги наоѓаме корените: X 1 = – 5, X 2 = 2 На пример:

0, со теоремата инверзна на теоремата на Виета, ги добиваме корените: 5;6, потоа се враќаме на корените на првобитната равенка: 2,5; 3. Одговор: 2,5; 3. Решение на равенката" title="Реши ја равенката: 2x 2 - 11x +15 = 0. Да го пренесеме коефициентот 2 на слободниот член од 2 - 11y +30= 0. D>0, според на теоремата обратна од теоремата на Виета, ги добиваме корените: 5;6, потоа се враќаме на корените на првобитната равенка: 2,5; 3. Одговор: 2,5; 3. Решение на равенката" class="link_thumb"> 14 !}Решете ја равенката: 2x x +15 = 0. Да го пренесеме коефициентот 2 на слободниот член y y +30= 0. D>0, според теоремата инверзна од теоремата на Виета, ги добиваме корените: 5;6, тогаш враќање на корените на првобитната равенка: 2, 5; 3. Одговор: 2,5; 3. Решавање равенки со методот „фрлање“. 0, со теоремата инверзна на теоремата на Виета, ги добиваме корените: 5;6, потоа се враќаме на корените на првобитната равенка: 2,5; 3. Одговор: 2,5; 3. Решение на равенката „> 0, според теоремата инверзна на теоремата на Виета, ги добиваме корените: 5;6, потоа се враќаме на корените на првобитната равенка: 2.5; 3. Одговор: 2.5; 3. Решение од равенките користејќи го методот „пренос“. > 0, со теоремата обратна на теоремата на Виета, ги добиваме корените: 5;6, потоа се враќаме на корените на првобитната равенка: 2,5; 3. Одговор: 2,5; 3. Решение на равенката" title="Реши ја равенката: 2x 2 - 11x +15 = 0. Да го пренесеме коефициентот 2 на слободниот член од 2 - 11y +30= 0. D>0, според на теоремата обратна од теоремата на Виета, ги добиваме корените: 5;6, потоа се враќаме на корените на првобитната равенка: 2,5; 3. Одговор: 2,5; 3. Решение на равенката"> title="Решете ја равенката: 2x 2 - 11x +15 = 0. Да го пренесеме коефициентот 2 на слободниот член y 2 - 11y +30= 0. D>0, со теоремата инверзна од теоремата на Виета, ги добиваме корените: 5; 6, потоа се враќаме на корените на оригиналните равенки: 2,5; 3. Одговор: 2,5; 3. Решение на равенката"> !}

Ако во квадратна равенка a+b+c=0, тогаш еден од корените е еднаков на 1, а вториот според теоремата на Виета е еднаков на вториот со теоремата на Виета е еднаков на Ако во квадратна равенка a+c=b , тогаш еден од корените е еднаков на (-1), а вториот според теоремата на Виета е еднаков на Пример: Својства на коефициентите на квадратната равенка 137x x – 157 = 0. a = 137, b = 20, c = a + b+ c = – 157 =0. x 1 = 1, Одговор: 1; 137x x – 157 = 0. a = 137, b = 20, c = a + b+ c = – 157 =0. x 1 = 1, Одговор: 1;

Графички метод за решавање на квадратна равенка Без користење на формули, квадратната равенка може да се реши графички. Да ја решиме равенката За да го направиме ова, ќе изградиме два графика: X Y X 01 Y012 Одговор: Абсцисите на точките на пресек на графиконите ќе бидат корените на равенката. Ако графиконите се сечат на две точки, тогаш равенката има два корени. Ако графиконите се сечат во една точка, тогаш равенката има еден корен. Ако графиконите не се сечат, тогаш равенката нема корени. 1)y=x2 2)y=x+1

Решавање на квадратни равенки со помош на номограм Станува збор за стар и незаслужено заборавен метод за решавање на квадратни равенки, поставен на стр 83 „Четирицифрени математички табели“ Брадис В.М. Табела XXII. Номограм за решавање на равенка Овој номограм овозможува, без да се решава квадратна равенка, да се одредат корените на равенката од нејзините коефициенти. За равенката, номограмот ги дава корените

Геометриски метод за решавање на квадратни равенки Во античко време, кога геометријата била поразвиена од алгебрата, квадратните равенки се решавале не алгебарски, туку геометриски. Но, на пример, како античките Грци ја решиле равенката: или Изразите и геометриски го претставуваат истиот квадрат, а оригиналната равенка е истата равенка. Каде да добиеме што, или

Заклучок Овие методи на решение заслужуваат внимание, бидејќи не се сите одразени во училишните учебници по математика; совладувањето на овие техники ќе им помогне на учениците да заштедат време и ефективно да ги решаваат равенките; потребата за брзо решение се должи на употребата на тест систем за приемни испити;

ВОВЕД

Равенките заземаат водечко место во училишниот курс за алгебра. Повеќе време се посветува на нивното учење отколку на која било друга тема во училишниот курс по математика. Силата на теоријата на равенки е што таа не само што има теоретско значење за познавањето на природните закони, туку служи и за специфични практични цели. Повеќето проблеми за просторните форми и квантитативните односи во реалниот свет се сведуваат на решавање на различни видови равенки. Совладувајќи ги начините за нивно решавање, луѓето наоѓаат одговори на различни прашања од науката и технологијата (транспорт, земјоделство, индустрија, комуникации итн.). Исто така, за развивање на способноста за решавање равенки, од големо значење е самостојната работа на ученикот кога учи да решава равенки. При изучување на која било тема, равенките може да се користат како ефективно средство за консолидирање, продлабочување, повторување и проширување на теоретското знаење, за развој на креативна математичка активност на учениците.

Во современиот свет, равенките се широко користени во различни гранки на математиката и во решавањето на важни применети проблеми. Оваа тема се карактеризира со голема длабочина на презентација и богатство на врските воспоставени со нејзината помош во наставата и логичка валидност на презентацијата. Затоа, зазема исклучителна позиција во линијата на равенките. Студентите почнуваат да ја проучуваат темата „Квадратни триноми“ откако веќе имаат акумулирано одредено искуство, поседувајќи доволно голема залиха на алгебарски и општи математички концепти, концепти и вештини. Во голема мера, токму на материјалот од оваа тема е неопходно да се синтетизира материјал поврзан со равенките, да се имплементираат принципите на историцизам и пристапност.

РелевантностТемата е потребата од имплементација на принципите на историцизмот и недостигот на материјал за да се имплементира тоа на тема „Решавање квадратни равенки“.

Истражувачки проблем: идентификација на историски материјал за настава за решавање квадратни равенки.

Цел на работата: формирање идеи за работа на квадратни равенки на часовите по математика, избор на збир на лекции со елементи на историцизам на тема „Квадратни равенки“.

Предмет на проучување: решавање на квадратни равенки во 8 одделение со помош на елементи на историцизам.

Предмет на проучување: квадратни равенки и изработка на часови за настава за решавање на квадратни равенки со користење на историски материјали.

Задачи:

врши анализа на научна и методолошка литература за истражувачкиот проблем;

анализираат училишни учебници и во нив го истакнуваат местото на наставата за решавање квадратни равенки;

изберете збир на лекции за решавање на квадратни равенки користејќи историски материјали.

Истражувачки методи:

анализа на литература на тема „Решавање квадратни равенки“;

набљудување на учениците за време на час на тема „Решавање квадратни равенки“;

избор на материјал: часови на тема „Решавање квадратни равенки“ со користење на историски информации.

§ 1. Од историјата на појавата на квадратни равенки

Алгебрата се појави во врска со решавањето на различни проблеми со помош на равенки. Вообичаено, проблемите бараат пронаоѓање на една или повеќе непознати, притоа знаејќи ги резултатите од некои дејства извршени на саканите и дадените количини. Ваквите проблеми се сведуваат на решавање на една или систем од неколку равенки, до наоѓање на потребните со помош на алгебарски операции на дадени величини. Алгебрата ги проучува општите својства на операциите на количините.

Некои алгебарски техники за решавање на линеарни и квадратни равенки биле познати пред 4000 години во Антички Вавилон.

Квадратни равенки во антички Вавилон

Потребата да се решаваат равенки не само од прв, туку и од втор степен, дури и во античко време, била предизвикана од потребата да се решат проблемите поврзани со пронаоѓање на површините на парцелите и со ископување од воен карактер, како и како и со развојот на самата астрономија и математика. Вавилонците можеле да решат квадратни равенки околу 2000 година п.н.е. Користејќи модерна алгебарска нотација, можеме да кажеме дека во нивните текстови со клинесто писмо, покрај нецелосните, има и такви, на пример, целосни квадратни равенки:

Правилото за решавање на овие равенки, утврдено во вавилонските текстови, во суштина се совпаѓа со модерното, но не е познато како Вавилонците дошле до ова правило. Речиси сите досега пронајдени текстови со клинесто писмо даваат само проблеми со решенија изложени во форма на рецепти, без индикации за тоа како се пронајдени. И покрај високиот степен на развој на алгебрата во Вавилон, во текстовите со клинесто писмо недостига концепт за негативен број и општи методи за решавање на квадратни равенки.

Кога составува равенки, Диофант вешто избира непознати за да го поедностави решението.

Еве, на пример, една од неговите задачи.

Задача 2. „Најдете два броја, знаејќи дека нивниот збир е 20, а нивниот производ е 96“.

Диофант образложува вака: од условите на проблемот произлегува дека бараните броеви не се еднакви, бидејќи кога би биле еднакви, тогаш нивниот производ не би бил еднаков на 96, туку на 100. Така, еден од нив ќе биде повеќе од половина од нивниот збир, т.е.
. Другото е помало, т.е.
. Разликата меѓу нив
. Оттука и равенката:

Од тука
. Еден од потребните броеви е 12, другиот е 8. Решение
бидејќи Диофант не постои, бидејќи грчката математика знаела само позитивни броеви.

Ако го решите овој проблем со избирање на еден од потребните броеви како непознат, можете да дојдете до решение на равенката:

Јасно е дека со избирање на полуразликата на потребните броеви како непозната, Диофант го поедноставува решението; тој успева да го сведе проблемот на решавање на нецелосна квадратна равенка.

Квадратни равенки во Индија

(1)

Во равенката (1), коефициентите може да бидат и негативни. Правилото на Брамагупта во суштина е исто како и нашето.

Јавните натпревари во решавање на тешки проблеми беа вообичаени во Индија. Една од старите индиски книги го вели следново за ваквите натпревари: „Како што сонцето ги надминува ѕвездите со својот сјај, така учениот човек ќе ја надмине својата слава на јавните собири со предлагање и решавање на алгебарски проблеми“. Проблемите честопати беа претставени во поетска форма.

Ова е еден од проблемите на познатиот индиски математичар од 12 век. Баскари.

Решението на Бхаскара покажува дека авторот знаел дека корените на квадратните равенки се со две вредности.

Равенката што одговара на проблемот 3 е:

Бхаскара пишува под маската:

и, за да се заврши левата страна на оваа равенка на квадрат, се додава 322 на двете страни, а потоа се добива:

Квадратни равенки на Ал-Хваризми

Алгебарскиот трактат на Ал-Хваризми дава класификација на линеарни и квадратни равенки. Авторот брои 6 типа равенки, изразувајќи ги на следниов начин:

За Ал-Хваризми, кој избегнувал употреба на негативни броеви, поимите на секоја од овие равенки се собирања, а не одземања. Во овој случај, равенките кои немаат позитивни решенија очигледно не се земаат предвид. Авторот поставува методи за решавање на овие равенки користејќи ги техниките на ал-џабр и ал-мукабал. Неговата одлука, се разбира, не се совпаѓа целосно со нашата. Да не зборуваме дека е чисто реторичко, треба да се забележи, на пример, дека при решавањето на нецелосна квадратна равенка од прв тип, Ал-Хорезми, како и сите математичари до 17 век, не го земаат предвид нултото решение. веројатно затоа што во конкретни практични тоа не е важно во задачите. Кога решава целосни квадратни равенки, Ал-Хваризми ги поставува правилата за нивно решавање користејќи одредени нумерички примери, а потоа и нивните геометриски докази.

Да дадеме пример.

Задача 4. „Квадратот и бројот 21 се еднакви на 10 корени. Најдете го коренот“ (што значи коренот на равенката
).

Решение: бројот на корените поделете го на половина, добивате 5, помножете 5 само по себе, одземете 21 од производот, останува 4. Земете го коренот од 4, добивате 2. Одземете 2 од 5, добивате 3, ова ќе биде коренот што го барате. Или додадете 2 до 5, што дава 7, ова е исто така корен.

Расправата на Ал-Хваризми е првата книга што дошла до нас, која систематски ја поставува класификацијата на квадратните равенки и дава формули за нивно решавање.

Квадратни равенки во ЕвропаXII- XVIIВ.

Оваа книга придонесе за ширење на алгебарското знаење не само во Италија, туку и во Германија, Франција и други европски земји. Многу проблеми од оваа книга се користени во речиси сите европски учебници од 14-17 век. Општо правило за решавање на квадратни равенки сведени на една канонска форма
за сите можни комбинации на знаци и коефициенти b, c, беше формулиран во Европа во 1544 година од M. Stiefel.

Изведувањето на формулата за решавање на квадратна равенка во општа форма е достапно од Viète, но Viète препознал само позитивни корени. Италијанските математичари Тартаља, Кардано, Бомбели биле меѓу првите во 16 век. Покрај позитивните, се земаат предвид и негативните корени. Само во 17 век. Благодарение на делата на Жирар, Декарт, Њутн и други научници, методот на решавање квадратни равенки добива современа форма.

Потеклото на алгебарските методи за решавање на практични проблеми се поврзани со науката од античкиот свет. Како што е познато од историјата на математиката, значителен дел од математичките задачи што ги решавале египетските, сумерските и вавилонските писари и калкулатори (XX-VI век п.н.е.) биле од пресметковна природа. Меѓутоа, и тогаш, одвреме-навреме се појавуваа проблеми во кои саканата вредност на количината беше специфицирана со одредени индиректни услови кои, од наша модерна гледна точка, бараа состав на равенка или систем на равенки. Првично, аритметички методи беа користени за решавање на ваквите проблеми. Последователно, почнаа да се формираат почетоците на алгебарските концепти. На пример, вавилонските калкулатори беа во можност да решаваат проблеми што, од гледна точка на модерната класификација, може да се сведе на равенки од втор степен. Создаден е метод за решавање на проблеми со зборови, кој подоцна послужи како основа за изолирање на алгебарската компонента и нејзино независно проучување.

Оваа студија беше спроведена во друга ера, најпрво од арапски математичари (VI-X век од нашата ера), кои идентификуваа карактеристични дејства со кои равенките се доведени во стандардна форма: доведување слични поими, пренесување термини од еден дел на равенката во друг со промена на знакот. А потоа од страна на европските математичари од ренесансата, кои како резултат на долга потрага го создадоа јазикот на модерната алгебра, употребата на буквите, воведувањето симболи за аритметички операции, загради итн. На крајот од 16-ти- 17 век. Алгебрата како специфичен дел од математиката, со свој предмет, метод и области на примена, веќе беше формирана. Неговиот понатамошен развој, до нашево време, се состоеше од подобрување на методите, проширување на опсегот на примена, разјаснување на концептите и нивните врски со концептите од другите гранки на математиката.

Значи, со оглед на важноста и пространоста на материјалот поврзан со концептот на равенка, неговото проучување во современите методи на математиката е поврзано со три главни области на неговото потекло и функционирање.

Од историјата на квадратните равенки.

а) Квадратни равенки во антички Вавилон

Потребата да се решаваат равенки не само од прв, туку и од втор степен, дури и во античко време, била предизвикана од потребата да се решат проблемите поврзани со пронаоѓање на површините на парцелите и со ископување од воен карактер, како и како и со развојот на самата астрономија и математика. Квадратни равенки можеле да се решат околу 2000 година п.н.е. Вавилонците. Користејќи модерна алгебарска нотација, можеме да кажеме дека во нивните текстови со клинесто писмо, покрај нецелосните, има и такви, на пример, целосни квадратни равенки:

x 2 + x = , x 2 – x = 14

Кога составува равенки, Диофант вешто избира непознати за да го поедностави решението.

Еве, на пример, една од неговите задачи.

Задача 2. „Најдете два броја, знаејќи дека нивниот збир е 20, а нивниот производ е 96“.

Диофант образложува вака: од условите на проблемот произлегува дека бараните броеви не се еднакви, бидејќи кога би биле еднакви, тогаш нивниот производ не би бил еднаков на 96, туку на 100. Така, еден од нив ќе биде повеќе од половина од нивниот збир, т.е. .10 + x. Другото е помалку, односно 10 - x. Разликата меѓу нив е 2x. Оттука и равенката:

(10+x)(10-x) =96,

или

100 -x 2 = 96.

Оттука x = 2. Еден од бараните броеви е 12, другиот е 8. Решението x = - 2 не постои за Диофант, бидејќи грчката математика знаела само позитивни броеви.

Проблемите со квадратните равенки веќе се наоѓаат во астрономскиот трактат „Аријабхатиам“, составен во 499 година од индискиот математичар и астроном Аријабхата. Друг индиски научник, Брамагупта (VII век), постави општо правило за решавање на квадратни равенки сведени на една канонска форма

О 2 + бx = c, a > 0

Во равенката, коефициентите освен А, може да биде негативен. Правилото на Брамагупта во суштина е исто како и нашето.

Ова е еден од проблемите на познатиот индиски математичар од 12 век. Баскари.

Задача 3.

Решението на Бхаскара покажува дека авторот знаел дека корените на квадратните равенки се со две вредности.

Равенката што одговара на проблемот 3 е:

Бхаскара пишува под маската:

x 2 - 64x = - 768

и, за да се заврши левата страна од оваа равенка на квадрат, се додава 32 2 на двете страни, а потоа се добива:

x 2 - b4x + 32 2 = -768 + 1024,

(x - 32) 2 = 256,

x 1 = 16, x 2 = 48.

в) Квадратни равенки од Ал-Хорезми

„Квадратите се еднакви на корените“, т.е. секира 2 = bx.
„Квадратите се еднакви на броеви“, т.е. секира 2 = в.
„Корените се еднакви на бројот“, т.е. секира = в.
„Квадратите и броевите се еднакви на корените“, т.е. секира 2 + c = bx.
„Квадратите и корените се еднакви на бројот“, т.е. секира 2 + bx = c.
„Корените и броевите се еднакви на квадрати“, т.е. bx + c == секира 2.

За Ал-Хваризми, кој избегнувал употреба на негативни броеви, поимите на секоја од овие равенки се собирања, а не одземања. Во овој случај, равенките кои немаат позитивни решенија очигледно не се земаат предвид. Авторот поставува методи за решавање на овие равенки користејќи ги техниките на ал-џабр и ал-мукабал. Неговата одлука, се разбира, не се совпаѓа целосно со нашата. Да не зборуваме за фактот дека е чисто реторичко, треба да се истакне, на пример, дека при решавање на нецелосна квадратна равенка од прв тип, Ал-Хорезми, како и сите математичари до 17 век, не ја зема предвид нулата. решение, веројатно затоа што во конкретни практични тоа не е важно во задачите. Кога решава целосни квадратни равенки, Ал-Хваризми ги поставува правилата за нивно решавање користејќи одредени нумерички примери, а потоа и нивните геометриски докази.

Да дадеме пример.

Задача 4. „Квадратот и бројот 21 се еднакви на 10 корени. Најди го коренот“ (се мисли на коренот на равенката x 2 + 21 = 10x).

Решение: бројот на корените поделете го на половина, добивате 5, помножете 5 само по себе, одземете 21 од производот, останува 4. Земете го коренот од 4, добивате 2. Одземете 2 од 5, добивате 3, ова ќе биде саканиот корен. Или додадете 2 до 5, што дава 7, ова е исто така корен.

Расправата на Ал-Хорезми е првата книга што дојде до нас, која систематски ја поставува класификацијата на квадратните равенки и дава формули за нивно решавање.

г) Квадратни равенки во Европа во 13-17 век.

Формулите за решавање на квадратни равенки моделирани по Ал-Хваризми во Европа за првпат беа изнесени во „Книгата на Абакус“, напишана во 1202 година од италијанскиот математичар Леонардо Фибоначи. Ова обемно дело, кое го отсликува влијанието на математиката и од исламските земји и од Античка Грција, се одликува со својата комплетност и јасност на презентацијата. Авторот самостојно развил некои нови алгебарски примери за решавање проблеми и бил првиот во Европа кој пристапил кон воведување негативни броеви. Неговата книга придонесе за ширење на алгебарското знаење не само во Италија, туку и во Германија, Франција и други европски земји. Многу проблеми од Книгата на Абакус се користени во речиси сите европски учебници од 16-17 век. а делумно XVIII.

Општо правило за решавање на квадратни равенки сведени на една канонска форма

x 2 + bx = c,

за сите можни комбинации на знаци на коефициент б, Собеше формулиран во Европа дури во 1544 година од М. Штифел.

Изведувањето на формулата за решавање на квадратна равенка во општа форма е достапна во Виета, но Виета препозна само позитивни корени. Италијанските математичари Тартаља, Кардано, Бомбели биле меѓу првите во 16 век. Покрај позитивните, се земаат предвид и негативните корени. Само во 17 век. Благодарение на делата на Жирар, Декарт, Њутн и други научници, методот на решавање квадратни равенки добива современа форма.

Потеклото на алгебарските методи за решавање на практични проблеми се поврзани со науката од античкиот свет. Како што е познато од историјата на математиката, значаен дел од проблемите од математичка природа, решавани од египетски, сумерски, вавилонски писари-калкулатори (XX-VI век п.н.е.), биле од пресметковна природа. Меѓутоа, и тогаш, одвреме-навреме се појавуваа проблеми во кои саканата вредност на количината беше специфицирана со одредени индиректни услови кои, од наша модерна гледна точка, бараа состав на равенка или систем на равенки. Првично, аритметички методи беа користени за решавање на ваквите проблеми. Последователно, почнаа да се формираат почетоците на алгебарските концепти. На пример, вавилонските калкулатори беа во можност да решаваат проблеми што, од гледна точка на модерната класификација, може да се сведе на равенки од втор степен. Создаден е метод за решавање на проблеми со зборови, кој подоцна послужи како основа за изолирање на алгебарската компонента и нејзино независно проучување.

Значи, со оглед на важноста и пространоста на материјалот поврзан со концептот на равенката, неговото проучување во современите методи на математиката е поврзано со три главни области на неговото потекло и функционирање.