Решавање на матрица со помош на Гаусовиот метод објаснување. Гаусовиот метод (секвенцијална елиминација на непознати)

1. Систем на линеарни алгебарски равенки

1.1 Концептот на систем на линеарни алгебарски равенки

Систем од равенки е состојба која се состои од истовремено извршување на неколку равенки во однос на неколку променливи. Систем од линеарни алгебарски равенки (во понатамошниот текст SLAE) кој содржи m равенки и n непознати се нарекува систем на форма:

каде што броевите a ij се нарекуваат системски коефициенти, броевите b i се нарекуваат слободни членови, а ijИ b i(i=1,…, m; b=1,…, n) претставуваат некои познати броеви и x 1,…, x n– непознато. Во означувањето на коефициентите а ijпрвиот индекс i го означува бројот на равенката, а вториот j е бројот на непознатата на која стои овој коефициент. Мора да се најдат броевите x n. Удобно е да се напише таков систем во форма на компактна матрица: AX=B.Овде А е матрицата на системските коефициенти, наречена главна матрица;

Производот на матриците A*X е дефиниран, бидејќи има толку колони во матрицата А колку што има редови во матрицата X (n парчиња).

Проширената матрица на системот е матрицата А на системот, дополнета со колона од слободни членови

1.2 Решавање на систем од линеарни алгебарски равенки

Решението на системот на равенки е подредено збир на броеви (вредности на променливите), кога се заменуваат наместо променливи, секоја од равенките на системот се претвора во вистинска еднаквост.

Решението на системот е n вредности на непознатите x1=c1, x2=c2,…, xn=cn, по чија замена сите равенки на системот стануваат вистински еднаквости. Секое решение на системот може да се запише како матрица на колони

Систем од равенки се нарекува конзистентен ако има барем едно решение, а неконзистентен ако нема решение.

Конзистентен систем се вели дека е детерминиран ако има едно решение, и неопределен ако има повеќе од едно решение. Во вториот случај, секое негово решение се нарекува одредено решение на системот. Множеството од сите конкретни решенија се нарекува општо решение.

Решавањето на системот значи да се открие дали е компатибилен или неконзистентен. Ако системот е конзистентен, пронајдете го неговото општо решение.

Два системи се нарекуваат еквивалентни (еквивалентни) ако имаат исто општо решение. Со други зборови, системите се еквивалентни ако секое решение на еден од нив е решение на другото, и обратно.

Трансформацијата, чија примена го претвора системот во нов систем еквивалентен на оригиналниот, се нарекува еквивалентна или еквивалентна трансформација. Примери за еквивалентни трансформации ги вклучуваат следните трансформации: заменување на две равенки на систем, замена на две непознати заедно со коефициентите на сите равенки, множење на двете страни на која било равенка на системот со ненула број.

Систем од линеарни равенки се нарекува хомоген ако сите слободни членови се еднакви на нула:

Хомоген систем е секогаш конзистентен, бидејќи x1=x2=x3=…=xn=0 е решение на системот. Ова решение се нарекува нула или тривијално.

2. Гаусовиот метод на елиминација

2.1 Суштината на Гаусовиот метод на елиминација

Класичниот метод за решавање системи на линеарни алгебарски равенки е методот на секвенцијално елиминирање на непознати - Гаусовиот метод(тоа се нарекува и Гаусовиот метод на елиминација). Ова е метод на секвенцијална елиминација на променливите, кога, користејќи елементарни трансформации, системот на равенки се сведува на еквивалентен систем од чекор (или триаголен) облик, од кој сите други променливи се наоѓаат последователно, почнувајќи од последната (од број) променливи.

Процесот на решение со помош на Гаусовиот метод се состои од две фази: движења напред и назад.

1. Директен удар.

Во првата фаза се врши таканареченото директно поместување, кога преку елементарни трансформации преку редовите, системот се доведува во скалеста или триаголна форма или ќе се утврди дека системот е некомпатибилен. Имено, меѓу елементите на првата колона од матрицата, изберете една ненула, преместете ја на најгорната позиција со преуредување на редовите и од останатите редови по преуредувањето одземете ја добиената прва редица, множејќи ја со вредност. еднаков на односот на првиот елемент од секоја од овие редови со првиот елемент од првиот ред, со што се нула колоната под него.

Откако ќе се завршат наведените трансформации, првиот ред и првата колона се ментално пречкртани и продолжуваат додека не остане матрица со нулта големина. Ако при секое повторување нема елемент без нула меѓу елементите од првата колона, тогаш одете во следната колона и извршете слична операција.

Во првата фаза (директен удар), системот се сведува на скалеста (особено триаголна) форма.

Системот подолу има чекор напред:

Коефициентите aii се нарекуваат главни (водечки) елементи на системот.

Да го трансформираме системот со елиминирање на непознатата x1 во сите равенки освен првата (со користење на елементарни трансформации на системот). За да го направите ова, помножете ги двете страни на првата равенка со

Продолжувајќи со овој процес, добиваме еквивалентен систем:

Така, на првиот чекор, сите коефициенти што лежат под првиот водечки елемент a 11 се уништени

Ако во процесот на редуцирање на системот во етапна форма се појават нула равенки, т.е. еднаквости од формата 0=0, тие се отфрлаат. Ако се појави равенка на формата

Тука завршува директната прогресија на методот на Гаус.

2. Обратен удар.

Во втората фаза, се врши таканаречениот обратен потег, чија суштина е да се изразат сите добиени основни променливи во смисла на неосновни и да се изгради фундаментален систем на решенија, или, ако сите променливи се основни. , потоа нумерички изрази го единственото решение на системот линеарни равенки.

Оваа постапка започнува со последната равенка, од која се изразува соодветната основна променлива (во неа има само една) и се заменува со претходните равенки и така натаму, одејќи по „скалилата“.

Секоја линија одговара на точно една основна променлива, така што на секој чекор освен последниот (најгорниот), ситуацијата точно го повторува случајот со последната линија.

Забелешка: во пракса, попогодно е да се работи не со системот, туку со неговата продолжена матрица, изведувајќи ги сите елементарни трансформации на неговите редови. Погодно е коефициентот a11 да биде еднаков на 1 (преуредите ги равенките или поделете ги двете страни на равенката со a11).

2.2 Примери за решавање на SLAE со помош на Гаусовиот метод

Во овој дел, користејќи три различни примери, ќе покажеме како Гаусовиот метод може да ги реши SLAE.

Пример 1. Решете SLAE од 3 ред.

Ајде да ги ресетираме коефициентите на

Гаусовиот методсовршен за решавање системи на линеарни алгебарски равенки (SLAEs). Има голем број на предности во споредба со другите методи:

• прво, нема потреба прво да се испита системот на равенки за конзистентност;
• второ, Гаусовиот метод може да реши не само SLAE во кои бројот на равенките се совпаѓа со бројот на непознати променливи и главната матрица на системот е неединечна, туку и системи на равенки во кои бројот на равенки не се совпаѓа со бројот на непознати променливи или детерминантата на главната матрица е еднаков на нула;
• трето, Гаусовиот метод води до резултати со релативно мал број на пресметковни операции.

Краток преглед на статијата.

Прво, ги даваме потребните дефиниции и воведуваме ознаки.

Следно, ќе го опишеме алгоритмот на методот Гаус за наједноставниот случај, односно за системи на линеарни алгебарски равенки, бројот на равенки во кои се совпаѓа со бројот на непознати променливи и детерминантата на главната матрица на системот е не е еднаква на нула. При решавање на вакви системи на равенки најјасно се гледа суштината на методот Гаус, а тоа е последователно елиминирање на непознатите променливи. Затоа, Гаусовиот метод се нарекува и метод на последователна елиминација на непознати. Ќе прикажеме детални решенија на неколку примери.

Како заклучок, ќе го разгледаме решението со Гаусовиот метод на системи на линеарни алгебарски равенки, чија главна матрица е или правоаголна или еднина. Решението на таквите системи има некои карактеристики, кои ќе ги испитаме детално користејќи примери.

Навигација на страница.

Основни дефиниции и нотации.

Размислете за систем од p линеарни равенки со n непознати (p може да биде еднаков на n):

Каде што има непознати променливи, се броеви (реални или сложени) и се слободни термини.

Ако , тогаш се нарекува системот на линеарни алгебарски равенки хомогенаинаку - хетерогени.

Се нарекува множеството вредности на непознати променливи за кои сите равенки на системот стануваат идентитети одлука на SLAU.

Ако има барем едно решение за систем од линеарни алгебарски равенки, тогаш тоа се нарекува зглобинаку - незаеднички.

Ако SLAE има единствено решение, тогаш тоа се нарекува одредени. Ако има повеќе од едно решение, тогаш системот се повикува неизвесна.

Велат дека системот е напишан координатна форма, ако ја има формата
.

Овој систем во матрична формаевиденцијата има форма , каде - главната матрица на SLAE, - матрицата на колоната од непознати променливи, - матрицата на слободни членови.

Ако на матрицата А додадеме матрица-колона од слободни членови како (n+1)-та колона, ќе ја добиеме т.н. проширена матрицасистеми на линеарни равенки. Вообичаено, продолжената матрица се означува со буквата Т, а колоната со слободни термини е одделена со вертикална линија од преостанатите колони, т.е.

Се нарекува квадратната матрица А дегенерира, ако нејзината детерминанта е нула. Ако , тогаш се повикува матрицата А недегенериран.

Треба да се забележи следнава точка.

Ако ги извршите следните дејства со систем на линеарни алгебарски равенки

• замени две равенки,
• помножете ги двете страни на која било равенка со произволен и ненула реален (или сложен) број k,
• на двете страни на која било равенка додадете ги соодветните делови од друга равенка, помножени со произволен број k,

тогаш добивате еквивалентен систем кој ги има истите решенија (или, исто како и оригиналниот, нема решенија).

За проширена матрица на систем од линеарни алгебарски равенки, овие дејства ќе значат извршување на елементарни трансформации со редовите:

• замена на две линии,
• множење на сите елементи од која било редица од матрицата Т со ненула број k,
• додавајќи ги на елементите на која било редица од матрицата соодветните елементи од друга редица, помножени со произволен број k.

Сега можеме да продолжиме со описот на методот Гаус.

Решавање системи на линеарни алгебарски равенки, во кои бројот на равенките е еднаков на бројот на непознати, а главната матрица на системот е неединечна, со помош на методот Гаус.

Што би правеле на училиште ако ни се даде задача да најдеме решение за систем од равенки? .

Некои би го направиле тоа.

Забележете дека со додавање на левата страна на првата на левата страна на втората равенка, а десната страна на десната страна, можете да се ослободите од непознатите променливи x 2 и x 3 и веднаш да најдете x 1:

Пронајдената вредност x 1 =1 ја заменуваме во првата и третата равенка на системот:

Ако ги помножиме двете страни на третата равенка на системот со -1 и ги додадеме на соодветните делови од првата равенка, ќе се ослободиме од непознатата променлива x 3 и можеме да најдеме x 2:

Добиената вредност x 2 = 2 ја заменуваме во третата равенка и ја наоѓаме преостанатата непозната променлива x 3:

Другите би постапиле поинаку.

Да ја решиме првата равенка на системот во однос на непознатата променлива x 1 и да го замениме добиениот израз во втората и третата равенка на системот за да ја исклучиме оваа променлива од нив:

Сега да ја решиме втората равенка на системот за x 2 и да го замениме добиениот резултат во третата равенка за да ја елиминираме непознатата променлива x 2 од неа:

Од третата равенка на системот е јасно дека x 3 =3. Од втората равенка наоѓаме , и од првата равенка добиваме .

Познати решенија, нели?

Овде најинтересно е што вториот метод на решение е во суштина методот на секвенцијално елиминирање на непознатите, односно Гаусовиот метод. Кога ги изразивме непознатите променливи (прва x 1, во следната фаза x 2) и ги заменивме во преостанатите равенки на системот, со тоа ги исклучивме. Спроведовме елиминација додека не остана само една непозната променлива во последната равенка. Процесот на секвенцијално елиминирање на непознатите се нарекува директен Гаусовиот метод. По завршувањето на движењето напред, имаме можност да ја пресметаме непознатата променлива пронајдена во последната равенка. Со негова помош ја наоѓаме следната непозната променлива од претпоследната равенка итн. Процесот на секвенцијално наоѓање непознати променливи додека се движите од последната равенка до првата се нарекува инверзна на Гаусовиот метод.

Треба да се забележи дека кога ќе изразиме x 1 во однос на x 2 и x 3 во првата равенка, а потоа ќе го замениме добиениот израз во втората и третата равенка, следните дејства доведуваат до истиот резултат:

Навистина, таквата постапка исто така овозможува да се елиминира непознатата променлива x 1 од втората и третата равенка на системот:

Нијанси со елиминација на непознати променливи со помош на Гаусовиот метод се појавуваат кога равенките на системот не содржат некои променливи.

На пример, во SLAU во првата равенка нема непозната променлива x 1 (со други зборови, коефициентот пред неа е нула). Затоа, не можеме да ја решиме првата равенка на системот за x 1 за да ја елиминираме оваа непозната променлива од останатите равенки. Излезот од оваа ситуација е да се заменат равенките на системот. Бидејќи ги разгледуваме системите на линеарни равенки чии детерминанти на главните матрици се различни од нула, секогаш постои равенка во која е присутна променливата што ни треба и можеме да ја преуредиме оваа равенка на позицијата што ни треба. За нашиот пример, доволно е да се заменат првата и втората равенка на системот , тогаш можете да ја решите првата равенка за x 1 и да ја исклучите од преостанатите равенки на системот (иако x 1 повеќе не е присутна во втората равенка).

Се надеваме дека ја разбирате суштината.

Ајде да опишеме Алгоритам на Гаусовиот метод.

Да претпоставиме дека треба да решиме систем од n линеарни алгебарски равенки со n непознати променливи од формата , и нека детерминантата на нејзината главна матрица е различна од нула.

Ќе го претпоставиме тоа, бидејќи секогаш можеме да го постигнеме ова со преуредување на равенките на системот. Да ја елиминираме непознатата променлива x 1 од сите равенки на системот, почнувајќи од втората. За да го направите ова, на втората равенка на системот ја додаваме првата, помножена со , на третата равенка ја додаваме првата, помножена со и така натаму, на n-тата равенка ја додаваме првата, помножена со . Системот на равенки по таквите трансформации ќе добие форма

каде и .

Ќе дојдевме до истиот резултат ако изразевме x 1 во однос на други непознати променливи во првата равенка на системот и го заменивме добиениот израз со сите други равенки. Така, променливата x 1 е исклучена од сите равенки, почнувајќи од втората.

Следно, продолжуваме на сличен начин, но само со дел од добиениот систем, кој е означен на сликата

За да го направите ова, на третата равенка на системот ја додаваме втората, помножена со , на четвртата равенка ја додаваме втората, помножена со и така натаму, на n-тата равенка ја додаваме втората, помножена со . Системот на равенки по таквите трансформации ќе добие форма

каде и . Така, променливата x 2 е исклучена од сите равенки, почнувајќи од третата.

Следно, продолжуваме со елиминирање на непознатото x 3, додека слично постапуваме со делот од системот означен на сликата.

Така ја продолжуваме директната прогресија на Гаусовиот метод додека системот не добие форма

Од овој момент започнуваме обратно од Гаусовиот метод: го пресметуваме x n од последната равенка како , користејќи ја добиената вредност на x n наоѓаме x n-1 од претпоследната равенка, и така натаму, наоѓаме x 1 од првата равенка .

Ајде да го погледнеме алгоритмот користејќи пример.

Пример.

Гаусовиот метод.

Решение.

Коефициентот a 11 не е нула, па да продолжиме со директната прогресија на Гаусовиот метод, односно со исклучување на непознатата променлива x 1 од сите равенки на системот освен првата. За да го направите ова, на левата и десната страна на втората, третата и четвртата равенка, додадете ги левата и десната страна на првата равенка, помножени со, соодветно. И:

Непознатата променлива x 1 е елиминирана, ајде да преминеме на елиминирање на x 2 . На левата и десната страна на третата и четвртата равенка на системот ги додаваме левата и десната страна на втората равенка, помножени со соодветно И :

За да ја завршиме напредната прогресија на Гаусовиот метод, треба да ја елиминираме непознатата променлива x 3 од последната равенка на системот. Дозволете ни да ги додадеме на левата и десната страна на четвртата равенка, соодветно, левата и десната страна на третата равенка, помножени со :

Можете да започнете обратно од Гаусовиот метод.

Од последната равенка што ја имаме ,
од третата равенка добиваме,
од вториот,
од првиот.

За да проверите, можете да ги замените добиените вредности на непознатите променливи во оригиналниот систем на равенки. Сите равенки се претвораат во идентитети, што покажува дека решението со методот на Гаус е пронајдено правилно.

Одговор:

Сега да дадеме решение за истиот пример користејќи го Гаусовиот метод во матрична нотација.

Пример.

Најдете го решението на системот равенки Гаусовиот метод.

Решение.

Проширената матрица на системот ја има формата . На врвот на секоја колона се непознатите променливи кои одговараат на елементите на матрицата.

Директниот пристап на Гаусовиот метод овде вклучува намалување на продолжената матрица на системот до трапезоидна форма користејќи елементарни трансформации. Овој процес е сличен на елиминацијата на непознати променливи што го направивме со системот во координатна форма. Сега ќе го видите ова.

Ајде да ја трансформираме матрицата така што сите елементи во првата колона, почнувајќи од втората, ќе станат нула. За да го направите ова, на елементите од втората, третата и четвртата линија ги додаваме соодветните елементи од првата линија помножени со, и соодветно:

Следно, ја трансформираме добиената матрица така што во втората колона сите елементи, почнувајќи од третата, стануваат нула. Ова би одговарало на елиминирање на непознатата променлива x 2 . За да го направите ова, на елементите од третиот и четвртиот ред ги додаваме соодветните елементи од првиот ред од матрицата, помножени со соодветно И :

Останува да се исклучи непознатата променлива x 3 од последната равенка на системот. За да го направите ова, на елементите од последниот ред од добиената матрица ги додаваме соодветните елементи од претпоследниот ред, помножени со :

Треба да се забележи дека оваа матрица одговара на систем од линеарни равенки

што беше добиено порано по движење напред.

Време е да се вратиме назад. Во матричната нотација, инверзната на Гаусовиот метод вклучува трансформација на добиената матрица така што матрицата означена на сликата

стана дијагонална, односно зеде форма

каде има некои бројки.

Овие трансформации се слични на напредните трансформации на Гаусовиот метод, но се изведуваат не од првата линија до последната, туку од последната кон првата.

На елементите од третиот, вториот и првиот ред додадете ги соодветните елементи од последната линија, помножени со , на и натаму соодветно:

Сега додадете ги на елементите од втората и првата линија соодветните елементи од третата линија, помножени со и со, соодветно:

На последниот чекор од обратниот Гаусовиот метод, на елементите од првиот ред ги додаваме соодветните елементи од вториот ред, помножени со:

Добиената матрица одговара на системот на равенки , од каде ги наоѓаме непознатите променливи.

Одговор:

ЗАБЕЛЕШКА.

При користење на Гаусовиот метод за решавање системи на линеарни алгебарски равенки, треба да се избегнуваат приближни пресметки, бидејќи тоа може да доведе до целосно неточни резултати. Препорачуваме да не заокружувате децимали. Подобро е да се премести од децимални фракции на обични фракции.

Пример.

Решете систем од три равенки користејќи го методот Гаус .

Решение.

Забележете дека во овој пример непознатите променливи имаат различна ознака (не x 1, x 2, x 3, туку x, y, z). Ајде да преминеме на обичните дропки:

Да ја исклучиме непознатата x од втората и третата равенка на системот:

Во добиениот систем, непознатата променлива y е отсутна во втората равенка, но y е присутна во третата равенка, затоа, ајде да ги замениме втората и третата равенка:

Ова ја комплетира директната прогресија на методот Гаус (нема потреба да се исклучи y од третата равенка, бидејќи оваа непозната променлива повеќе не постои).

Да го започнеме обратното движење.

Од последната равенка наоѓаме ,
од претпоследниот


од првата равенка што ја имаме

Одговор:

X = 10, y = 5, z = -20.

Решавање системи на линеарни алгебарски равенки во кои бројот на равенките не се совпаѓа со бројот на непознати или главната матрица на системот е еднина, со помош на Гаусовиот метод.

Системите со равенки, чија главна матрица е правоаголна или квадратна еднина, може да немаат решенија, може да имаат едно решение или може да имаат бесконечен број решенија.

Сега ќе разбереме како методот на Гаус ни овозможува да ја утврдиме компатибилноста или недоследноста на системот на линеарни равенки, а во случај на неговата компатибилност, да ги одредиме сите решенија (или едно единствено решение).

Во принцип, процесот на елиминација на непознати променливи во случај на такви SLAE останува ист. Сепак, вреди да се навлезе во детали за некои ситуации што може да се појават.

Да преминеме на најважната фаза.

Значи, да претпоставиме дека системот на линеарни алгебарски равенки, по завршувањето на напредната прогресија на методот Гаус, добива форма а ниту една равенка не беше сведена на (во овој случај би заклучиле дека системот е некомпатибилен). Се поставува логично прашање: „Што да се прави следно“?

Да ги запишеме непознатите променливи кои се на прво место во сите равенки на добиениот систем:

Во нашиот пример тоа се x 1, x 4 и x 5. На левите страни од равенките на системот ги оставаме само оние поими што ги содржат напишаните непознати променливи x 1, x 4 и x 5, а останатите членови се пренесуваат на десната страна од равенките со спротивен знак:

Да им дадеме на непознатите променливи кои се наоѓаат на десната страна на равенките произволни вредности, каде - произволни броеви:

После ова, десните страни на сите равенки на нашиот SLAE содржат броеви и можеме да продолжиме на обратна страна од Гаусовиот метод.

Од последната равенка на системот што ја имаме, од претпоследната равенка ја наоѓаме, од првата равенка добиваме

Решението за систем на равенки е збир на вредности на непознати променливи

Давање броеви различни вредности, ќе добиеме различни решенија на системот на равенки. Односно, нашиот систем на равенки има бесконечно многу решенија.

Одговор:

Каде - произволни броеви.

За да го консолидираме материјалот, детално ќе ги анализираме решенијата на уште неколку примери.

Пример.

Решавање на хомоген систем на линеарни алгебарски равенки Гаусовиот метод.

Решение.

Да ја исклучиме непознатата променлива x од втората и третата равенка на системот. За да го направите ова, на левата и десната страна на втората равенка, ги додаваме, соодветно, левата и десната страна на првата равенка, помножени со, и на левата и десната страна од третата равенка, ги додаваме левата и десната страна на првата равенка, помножена со:

Сега да го исклучиме y од третата равенка на добиениот систем на равенки:

Добиениот SLAE е еквивалентен на системот .

На левата страна на системските равенки ги оставаме само поимите што ги содржат непознатите променливи x и y, а поимите со непознатата променлива z ги преместуваме на десната страна:

Еден од универзалните и ефективни методи за решавање на линеарни алгебарски системи е Гаусовиот метод , кој се состои во последователна елиминација на непознати.

Потсетиме дека двата системи се нарекуваат еквивалент (еквивалент) ако множествата на нивните решенија се совпаѓаат. Со други зборови, системите се еквивалентни ако секое решение на едниот од нив е решение на другото и обратно. Еквивалентни системи се добиваат кога елементарни трансформации равенки на системот:

множење на двете страни на равенката со број различен од нула;

додавање на некоја равенка соодветните делови од друга равенка, помножена со број различен од нула;

преуредување на две равенки.

Нека е даден систем од равенки

Процесот на решавање на овој систем со помош на Гаусовиот метод се состои од две фази. Во првата фаза (директно движење), системот, користејќи елементарни трансформации, се сведува на скалесто , или триаголен форма, а во втората фаза (обратна) има секвенцијален, почнувајќи од последниот број на променлива, определување на непознатите од добиениот чекор систем.

Да претпоставиме дека коефициентот на овој систем
, инаку во системот првиот ред може да се замени со кој било друг ред така што коефициентот на се разликуваше од нула.

Ајде да го трансформираме системот со елиминирање на непознатото во сите равенки освен првата. За да го направите ова, помножете ги двете страни на првата равенка со и се додава член по член со втората равенка на системот. Потоа помножете ги двете страни на првата равенка со и додадете го во третата равенка на системот. Продолжувајќи со овој процес, добиваме еквивалентен систем

Еве
– нови вредности на коефициенти и слободни термини кои се добиваат по првиот чекор.

Слично, со оглед на главниот елемент
, исклучете го непознатото од сите равенки на системот, освен првата и втората. Да го продолжиме овој процес што е можно подолго, и како резултат ќе добиеме систем во чекор

,

Каде ,
,…,– главни елементи на системот
.

Ако, во процесот на редуцирање на системот во чекор, се појавуваат равенки, т.е. еднаквости на формата
, тие се отфрлени бидејќи се задоволуваат со кој било збир на броеви
. Ако во
Ако се појави равенка на формата која нема решенија, тоа укажува на некомпатибилност на системот.

За време на обратниот удар, првата непозната се изразува од последната равенка на трансформираниот систем на чекори низ сите останати непознати
кои се нарекуваат бесплатно . Потоа изразот на променливата од последната равенка на системот се заменува со претпоследната равенка и од неа се изразува променливата
. Променливите се дефинираат последователно на сличен начин
. Променливи
, изразени преку слободни променливи, се нарекуваат основни (зависен). Резултатот е општо решение на системот на линеарни равенки.

Да најде приватно решение системи, бесплатни непознати
во општото решение се доделуваат произволни вредности и се пресметуваат вредностите на променливите
.

Технички е попогодно да се подложат на елементарни трансформации не самите системски равенки, туку проширената матрица на системот

.

Гаусовиот метод е универзален метод кој ви овозможува да решавате не само квадратни, туку и правоаголни системи во кои бројот на непознати
не е еднаков на бројот на равенки
.

Предноста на овој метод е и тоа што во процесот на решавање истовремено го испитуваме системот за компатибилност, бидејќи, давајќи ја проширената матрица
за да се формира постепено, лесно е да се одредат редовите на матрицата и проширена матрица
и аплицирајте Теорема Кронекер-Капели .

Пример 2.1Решете го системот користејќи го методот Гаус

Решение. Број на равенки
и бројот на непознати
.

Ајде да создадеме проширена матрица на системот со доделување коефициенти десно од матрицата колона за слободни членови .

Да ја претставиме матрицата до триаголен поглед; За да го направите ова, ќе добиеме „0“ под елементите лоцирани на главната дијагонала користејќи елементарни трансформации.

За да го добиете „0“ во втората позиција од првата колона, помножете го првиот ред со (-1) и додадете го во вториот ред.

Оваа трансформација ја пишуваме како број (-1) во однос на првата линија и ја означуваме со стрелка што оди од првиот ред до вториот ред.

За да добиете „0“ на третата позиција од првата колона, помножете го првиот ред со (-3) и додадете го во третиот ред; Ајде да ја прикажеме оваа акција користејќи стрелка што оди од првата линија до третата.

.

Во добиената матрица, напишана втора во синџирот на матрици, добиваме „0“ во втората колона на третата позиција. За да го направите ова, ние ја помноживме втората линија со (-4) и ја додадовме на третата. Во добиената матрица, помножете го вториот ред со (-1), а третиот поделете го со (-8). Сите елементи на оваа матрица што лежат под дијагоналните елементи се нули.

Бидејќи , системот е колаборативен и дефиниран.

Системот на равенки што одговара на последната матрица има триаголен облик:

Од последната (трета) равенка
. Заменете во втората равенка и добијте
.

Ајде да замениме
И
во првата равенка, наоѓаме


.

Дефиниција и опис на Гаусовиот метод

Гаусовиот метод на трансформација (познат и како метод на секвенцијална елиминација на непознати променливи од равенка или матрица) за решавање системи на линеарни равенки е класичен метод за решавање системи на алгебарски равенки (SLAE). Овој класичен метод се користи и за решавање на проблеми како што се добивање инверзни матрици и одредување на ранг на матрица.

Трансформацијата со помош на Гаусовиот метод се состои од правење мали (елементарни) секвенцијални промени во системот на линеарни алгебарски равенки, што доведува до елиминација на променливите од него од врвот до дното со формирање на нов триаголен систем на равенки што е еквивалентен на оригиналот. еден.

Дефиниција 1

Овој дел од растворот се нарекува напредно Гаусово решение, бидејќи целиот процес се изведува од врвот до дното.

По намалувањето на оригиналниот систем на равенки на триаголен, сите променливи на системот се наоѓаат од дното кон врвот (односно, првите пронајдени променливи се наоѓаат токму на последните линии на системот или матрицата). Овој дел од решението е познат и како инверзна на Гаусовото решение. Неговиот алгоритам е следен: прво се пресметуваат променливите најблиску до дното на системот на равенки или матрица, потоа добиените вредности се заменуваат повисоки и на тој начин се наоѓа друга променлива итн.

Опис на алгоритамот на Гаусовиот метод

Редоследот на дејства за општо решение на систем од равенки со помош на Гаусовиот метод се состои во наизменично примена на напредните и наназад потезите на матрицата врз основа на SLAE. Нека почетниот систем на равенки ја има следната форма:

$\begin(случаи) a_(11) \cdot x_1 +...+ a_(1n) \cdot x_n = b_1 \\ ... \\ a_(m1) \cdot x_1 + a_(mn) \cdot x_n = b_m \end(случаи)$

За да се решат SLAE со помош на Гаусовиот метод, неопходно е да се напише оригиналниот систем на равенки во форма на матрица:

$A = \почеток(pmatrix) a_(11) & … & a_(1n) \\ \vdots & … & \vdots \\ a_(m1) & … & a_(mn) \end (pmatrix)$, $b =\ почеток (pmatrix) b_1 \\ \vdots \\ b_m \end (pmatrix)$

Матрицата $A$ се нарекува главна матрица и ги претставува коефициентите на променливите напишани по редослед, а $b$ се нарекува колона од нејзините слободни членови. Матрицата $A$, напишана низ лента со колона од слободни термини, се нарекува проширена матрица:

$A = \почеток(низа)(ccc|c) a_(11) & … & a_(1n) & b_1 \\ \vdots & … & \vdots & ...\\ a_(m1) & … & a_( mn) & b_m \end(низа)$

Сега е неопходно, користејќи елементарни трансформации на системот на равенки (или на матрицата, бидејќи тоа е попогодно), да се доведе до следнава форма:

$\begin(случаи) α_(1j_(1)) \cdot x_(j_(1)) + α_(1j_(2)) \cdot x_(j_(2))...+ α_(1j_(r)) \cdot x_(j_(r)) +... α_(1j_(n)) \cdot x_(j_(n)) = β_1 \\ α_(2j_(2)) \cdot x_(j_(2)). ..+ α_(2j_(r)) \cdot x_(j_(r)) +... α_(2j_(n)) \cdot x_(j_(n)) = β_2 \\ ...\\ α_( rj_(r)) \cdot x_(j_(r)) +... α_(rj_(n)) \cdot x_(j_(n)) = β_r \\ 0 = β_(r+1) \\ … \ \ 0 = β_m \крај (случаи)$ (1)

Матрицата добиена од коефициентите на трансформираниот систем на равенката (1) се нарекува чекор матрица; вака обично изгледаат матриците на чекори:

$A = \begin(низа)(ccc|c) a_(11) & a_(12) & a_(13) & b_1 \\ 0 & a_(22) & a_(23) & b_2\\ 0 & 0 & a_(33) и b_3 \end (низа)$

Овие матрици се карактеризираат со следниов сет на својства:

1. Сите негови нулти линии доаѓаат по ненулта линии
2. Ако некој ред од матрицата со број $k$ не е нула, тогаш претходниот ред од истата матрица има помалку нули од оваа со број $k$.

По добивањето на матрицата на чекори, неопходно е да се заменат добиените променливи во преостанатите равенки (почнувајќи од крајот) и да се добијат преостанатите вредности на променливите.

Основни правила и дозволени трансформации при користење на методот Гаус

Кога поедноставувате матрица или систем на равенки користејќи го овој метод, треба да користите само елементарни трансформации.

Ваквите трансформации се сметаат за операции кои можат да се применат на матрица или систем на равенки без да се промени неговото значење:

• преуредување на неколку линии,
• додавање или одземање од еден ред од матрицата друг ред од неа,
• множење или делење на низа со константа која не е еднаква на нула,
• линија која се состои само од нули, добиени во процесот на пресметување и поедноставување на системот, мора да се избрише,
• Исто така, треба да ги отстраните непотребните пропорционални линии, избирајќи за системот единствениот со коефициенти кои се посоодветни и попогодни за понатамошни пресметки.

Сите елементарни трансформации се реверзибилни.

Анализа на трите главни случаи што се јавуваат при решавање на линеарни равенки користејќи го методот на едноставни Гаусови трансформации

Постојат три случаи кои се јавуваат кога се користи Гаусовиот метод за решавање на системи:

1. Кога системот е неконзистентен, односно нема никакви решенија
2. Системот на равенки има решение и единствено, а бројот на не-нула редови и колони во матрицата е еднаков еден на друг.
3. Системот има одреден број или збир на можни решенија, а бројот на редови во него е помал од бројот на колони.

Исход од решение со неконзистентен систем

За оваа опција, при решавање на матрична равенка со помош на Гаусовиот метод, типично е да се добие одредена линија со неможност за исполнување на еднаквоста. Затоа, ако се случи барем една неточна еднаквост, добиените и оригиналните системи немаат решенија, без оглед на другите равенки што ги содржат. Пример за неконзистентна матрица:

$\begin(низа)(cccc|c) 2 & -1 & 3 & 0 \\ 1 & 0 & 2 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 1 \end(низа)$

Во последната линија се појави невозможна еднаквост: $0 \cdot x_(31) + 0 \cdot x_(32) + 0 \cdot x_(33) = 1$.

Систем од равенки кој има само едно решение

Овие системи, откако ќе бидат сведени на матрица со чекори и ќе ги отстранат редовите со нули, имаат ист број на редови и колони во главната матрица. Еве го наједноставниот пример за таков систем:

$\ почеток (случаи) x_1 - x_2 = -5 \\ 2 \cdot x_1 + x_2 = -7 \end (случаи)$

Ајде да го напишеме во форма на матрица:

$\begin(низа)(cc|c) 1 & -1 & -5 \\ 2 & 1 & -7 \end(низа)$

За да ја доведеме првата ќелија од вториот ред на нула, го множиме горниот ред со $-2$ и го одземаме од долниот ред на матрицата и го оставаме горниот ред во неговата оригинална форма, како резултат го имаме следново :

$\begin(низа)(cc|c) 1 & -1 & -5 \\ 0 & 3 & 10 \end (низа)$

Овој пример може да се напише како систем:

$\ почеток (случаи) x_1 - x_2 = -5 \\ 3 \cdot x_2 = 10 \крај (случаи)$

Пониската равенка ја дава следната вредност за $x$: $x_2 = 3 \frac(1)(3)$. Заменете ја оваа вредност во горната равенка: $x_1 – 3 \frac(1)(3)$, добиваме $x_1 = 1 \frac(2)(3)$.

Систем со многу можни решенија

Овој систем се карактеризира со помал број на значајни редови од бројот на колони во него (се земаат предвид редовите на главната матрица).

Променливите во таков систем се поделени на два вида: основни и бесплатни. При трансформирање на таков систем, главните променливи содржани во него мора да се остават во левата област до знакот „=“, а останатите променливи мора да се преместат на десната страна на еднаквоста.

Таквиот систем има само одредено општо решение.

Да го анализираме следниов систем на равенки:

$\ почеток (случаи) 2y_1 + 3y_2 + x_4 = 1 \\ 5y_3 - 4y_4 = 1 \end (случаи)$

Ајде да го напишеме во форма на матрица:

$\почеток(низа)(cccc|c) 2 и 3 и 0 и 1 и 1 \\ 0 и 0 и 5 и 4 и 1 \\ \крај (низа)$

Наша задача е да најдеме општо решение за системот. За оваа матрица, основните променливи ќе бидат $y_1$ и $y_3$ (за $y_1$ - бидејќи таа е прва, а во случајот со $y_3$ - се наоѓа по нулите).

Како основни променливи ги избираме токму оние кои се први во редот и не се еднакви на нула.

Останатите променливи се нарекуваат слободни, преку нив треба да ги изразиме основните.

Користејќи го таканаречениот обратен удар, го анализираме системот од дното кон врвот; за да го направите ова, прво изразуваме $y_3$ од долната линија на системот:

$5y_3 – 4y_4 = 1$

$5y_3 = 4y_4 + 1$

$y_3 = \frac(4/5)y_4 + \frac(1)(5)$.

Сега го заменуваме изразениот $y_3$ во горната равенка на системот $2y_1 + 3y_2 + y_4 = 1$: $2y_1 + 3y_2 - (\frac(4)(5)y_4 + \frac(1)(5)) + y_4 = 1$

Го изразуваме $y_1$ во однос на бесплатните променливи $y_2$ и $y_4$:

$2y_1 + 3y_2 - \frac(4)(5)y_4 - \frac(1)(5) + y_4 = 1$

$2y_1 = 1 – 3y_2 + \frac(4)(5)y_4 + \frac(1)(5) – y_4$

$2y_1 = -3y_2 - \frac(1)(5)y_4 + \frac(6)(5)$

$y_1 = -1,5x_2 – 0,1y_4 + 0,6$

Решението е подготвено.

Пример 1

Решете го талогот користејќи го Гаусовиот метод. Примери. Пример за решавање на систем на линеарни равенки дадени со матрица 3 на 3 со помош на Гаусовиот метод

$\почеток (случаи) 4x_1 + 2x_2 - x_3 = 1 \\ 5x_1 + 3x_2 - 2x^3 = 2\\ 3x_1 + 2x_2 - 3x_3 = 0 \крај (случаи)$

Ајде да го напишеме нашиот систем во форма на проширена матрица:

$\begin(низа)(ccc|c) 4 & 2 & -1 & 1 \\ 5 & 3 & -2 & 2 \\ 3 & 2 & -3 & 0\\ \end (низа)$

Сега, за погодност и практичност, треба да ја трансформирате матрицата така што $1$ е во горниот агол на најоддалечената колона.

За да го направите ова, во првата линија треба да ја додадете линијата од средината, помножена со $-1$, и да ја напишете самата средна линија како што е, излегува:

$\begin(низа)(ccc|c) -1 & -1 & 1 & -1 \\ 5 & 3 & -2 & 2 \\ 3 & 2 & -3 & 0\\ \end (низа)$

$\begin(низа)(ccc|c) -1 & -1 & 1 & -1 \\ 0 & -2 & 3 & -3 \\ 0 & -1 & 0 & -3\\ \end (низа) $

Помножете ги горните и последните линии со $-1$, а исто така заменете ги последните и средните линии:

$\begin(низа)(ccc|c) 1 & 1 & -1 & 1 \\ 0 & 1 & 0 & 3 \\ 0 & -2 & 3 & -3\\ \end (низа)$

$\begin(низа)(ccc|c) 1 & 1 & -1 & 1 \\ 0 & 1 & 0 & 3 \\ 0 & 0 & 3 & 3\\ \end (низа)$

И поделете ја последната линија со $3 $:

$\begin(низа)(ccc|c) 1 & 1 & -1 & 1 \\ 0 & 1 & 0 & 3 \\ 0 & 0 & 1 & 1\\ \end (низа)$

Го добиваме следниот систем на равенки, еквивалентен на оригиналниот:

$\ почеток (случаи) x_1 + x_2 - x_3 = 1 \\ x_2 = 3 \\ x_3 = 1 \крај (случаи)$

Од горната равенка изразуваме $x_1$:

$x1 = 1 + x_3 – x_2 = 1 + 1 – 3 = -1$.

Пример 2

Пример за решавање на систем дефиниран со помош на матрица 4 на 4 со помош на Гаусовиот метод

$\begin(низа)(cccc|c) 2 & 5 & 4 & 1 & 20 \\ 1 & 3 & 2 & 1 & 11 \\ 2 & 10 & 9 & 7 & 40\\ 3 & 8 & 9 & 2 и 37 \\ \крај (низа)$.

На почетокот, ги заменуваме горните линии по него за да добиеме $1$ во горниот лев агол:

$\begin(низа)(cccc|c) 1 & 3 & 2 & 1 & 11 \\ 2 & 5 & 4 & 1 & 20 \\ 2 & 10 & 9 & 7 & 40\\ 3 & 8 & 9 & 2 и 37 \\ \крај (низа)$.

Сега помножете ја горната линија со $-2 $ и додајте ги на 2-ри и 3-ти. На 4-та ја додаваме првата линија, помножена со $ -3 $:

$\begin(низа)(cccc|c) 1 & 3 & 2 & 1 & 11 \\ 0 & -1 & 0 & -1 & -2 \\ 0 & 4 & 5 & 5 & 18\\ 0 & - 1 и 3 и -1 и 4 \\ \крај (низа)$

Сега на линијата број 3 ја додаваме линијата 2 помножена со $4$, а на линијата 4 ја додаваме линијата 2 помножена со $-1$.

$\begin(низа)(cccc|c) 1 & 3 & 2 & 1 & 11 \\ 0 & -1 & 0 & -1 & -2 \\ 0 & 0 & 5 & 1 & 10\\ 0 & 0 & 3 & 0 & 6 \\ \крај (низа)$

Ја множиме линијата 2 со $-1$, а линијата 4 ја делиме со 3 $ и ја заменуваме линијата 3.

$\begin(низа)(cccc|c) 1 & 3 & 2 & 1 & 11 \\ 0 & 1 & 0 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 2\\ 0 & 0 & 5 & 1 и 10 \\ \крај (низа)$

Сега на последната линија ја додаваме претпоследната, помножена со -5$.

$\begin(низа)(cccc|c) 1 & 3 & 2 & 1 & 11 \\ 0 & 1 & 0 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 2\\ 0 & 0 & 0 & 1 и 0 \\ \крај (низа)$

Го решаваме добиениот систем на равенки:

$\ почеток (случаи) m = 0 \\ g = 2\\ y + m = 2\ \ x + 3y + 2g + m = 11\крај (случаи)$

Еден од наједноставните начини за решавање на систем од линеарни равенки е техника базирана на пресметка на детерминанти ( Правило на Крамер). Неговата предност е што ви овозможува веднаш да го снимите решението, особено е погодно во случаи кога коефициентите на системот не се бројки, туку некои параметри. Неговиот недостаток е гломазноста на пресметките во случај на голем број равенки; згора на тоа, правилото на Крамер не е директно применливо за системи во кои бројот на равенки не се совпаѓа со бројот на непознати. Во такви случаи, обично се користи Гаусовиот метод.

Се нарекуваат системи на линеарни равенки кои имаат исто множество решенија еквивалент. Очигледно, множеството решенија на линеарен систем нема да се промени ако се заменат некои равенки, или ако една од равенките се помножи со некој број што не е нула, или ако една равенка се додаде на друга.

Гаусовиот метод (метод на секвенцијална елиминација на непознати) е дека со помош на елементарни трансформации системот се сведува на еквивалентен систем од тип на чекор. Прво, користејќи ја првата равенка, елиминираме x 1 од сите последователни равенки на системот. Потоа, користејќи ја втората равенка, елиминираме x 2 од 3-та и сите наредни равенки. Овој процес, наречен директен Гаусовиот метод, продолжува додека не остане само една непозната на левата страна од последната равенка x n. По ова е направено инверзна на Гаусовиот метод– решавајќи ја последната равенка, наоѓаме x n; после тоа, користејќи ја оваа вредност, од претпоследната равенка пресметуваме x n-1, итн. Го наоѓаме последниот x 1 од првата равенка.

Удобно е да се извршат Гаусови трансформации со вршење трансформации не со самите равенки, туку со матриците на нивните коефициенти. Размислете за матрицата:

повикани проширена матрица на системот,бидејќи, покрај главната матрица на системот, вклучува и колона од слободни термини. Гаусовиот метод се заснова на намалување на главната матрица на системот на триаголна форма (или трапезоидна форма во случај на неквадратни системи) со користење на елементарни трансформации на редови (!) на продолжената матрица на системот.

Пример 5.1.Решете го системот користејќи го Гаусовиот метод:

Решение. Ајде да ја напишеме проширената матрица на системот и, користејќи го првиот ред, потоа ќе ги ресетираме преостанатите елементи:

добиваме нули во 2-ри, 3-ти и 4-ти редови од првата колона:

Сега ни требаат сите елементи во втората колона под вториот ред да бидат еднакви на нула. За да го направите ова, можете да ја помножите втората линија со -4/7 и да ја додадете во третата линија. Меѓутоа, за да не се занимаваме со дропки, да создадеме единица во вториот ред од втората колона и само

Сега, за да добиете триаголна матрица, треба да го ресетирате елементот од четвртиот ред од 3-та колона; за да го направите ова, можете да го помножите третиот ред со 8/54 и да го додадете во четвртиот. Меѓутоа, за да не се занимаваме со дропки, ќе ги замениме 3-тиот и 4-тиот ред и 3-та и 4-та колона и само после тоа ќе го ресетираме наведениот елемент. Забележете дека при преуредување на колоните, соодветните променливи ги менуваат местата и тоа мора да се запомни; други елементарни трансформации со колони (собирање и множење со број) не можат да се извршат!

Последната поедноставена матрица одговара на систем од равенки еквивалентни на првобитната:

Оттука, користејќи го инверзниот на Гаусовиот метод, наоѓаме од четвртата равенка x 3 = –1; од третиот x 4 = –2, од втората x 2 = 2 и од првата равенка x 1 = 1. Во форма на матрица, одговорот се пишува како

Го разгледавме случајот кога системот е дефинитивен, т.е. кога има само едно решение. Ајде да видиме што ќе се случи ако системот е неконзистентен или неизвесен.

Пример 5.2.Истражете го системот користејќи го Гаусовиот метод:

Решение. Ја испишуваме и трансформираме проширената матрица на системот

Ние пишуваме поедноставен систем на равенки:

Еве, во последното равенство излегува дека 0=4, т.е. контрадикторност. Следствено, системот нема решение, т.е. таа некомпатибилни. à

Пример 5.3.Истражете го и решете го системот користејќи го Гаусовиот метод:

Решение. Ја запишуваме и трансформираме проширената матрица на системот:

Како резултат на трансформациите, последната линија содржи само нули. Ова значи дека бројот на равенки е намален за еден:

Така, по упростувањата, остануваат две равенки, а четири непознати, т.е. две непознати „екстра“. Нека бидат „излишни“, или, како што велат, слободни променливи, ќе x 3 и x 4 . Потоа

Верувајќи x 3 = 2аИ x 4 = б, добиваме x 2 = 1–аИ x 1 = 2б–а; или во форма на матрица

Вака напишаното решение се нарекува општо, бидејќи, давајќи параметри аИ бразлични вредности, може да се опишат сите можни решенија на системот. а