Решавање равенки за OGE. Решавањето на равенката значи...

Четвртата задача во модулот алгебар го тестира знаењето за употреба на моќи и радикални изрази.

При завршувањето на задачата бр. 4 на ОГЕ по математика, не се тестираат само вештините за пресметување и трансформирање на нумерички изрази, туку и способноста за трансформација на алгебарски изрази. Можеби ќе треба да извршите операции со моќи со цел број експонент, со полиноми и идентични трансформации на рационални изрази.

Во согласност со материјалите од главниот испит, може да има задачи кои бараат извршување на идентични трансформации на рационални изрази, факторинг полиноми, користење на проценти и пропорции и тестови за деливост.

Одговорот во задачата 4 е еден од броевите 1; 2; 3; 4 што одговара на бројот на предложениот одговор на задачата.

Теорија за задача бр.4

Од теоретски материјал ќе ни треба Правила за ракување со степени:

Правила за работа со радикални изрази:

Во моите анализирани верзии се претставени овие правила - во анализата на првата верзија на третата задача се претставени правилата за ракување со степени, а во втората и третата верзија се анализирани примери за работа со радикални изрази.

Анализа на типични опции за задача бр. 4 ОГЕ по математика

Првата верзија на задачата

Кој од следните изрази за која било вредност на n е еднаков на производот 121 11 n?

1. 121n
2. 11n+2
3. 11 2n
4. 11n+3

Решение:

За да го решите овој проблем, треба да го запомните следново правила за ракување со степени :

• Кога се множат, силите се собираат
• при собирање степени се одземаат
• При подигање на моќност на моќност, моќите се множат
• при извлекување на коренот, степените се делат

Покрај тоа, за да се реши, потребно е да се претстави 121 како моќност од 11, што е точно 11 2.

121 11 n = 11 2 11 n

Земајќи го предвид правилото за множење, ги додаваме степените:

11 2 11 n = 11 n+2

Затоа, вториот одговор ни одговара.

Втора верзија на задачата

Кој од наведените изрази има најголема вредност?

1. 2√11
2. 2√10

Решение:

За да ја решите оваа задача, треба да ги доведете сите изрази во општа форма - да ги претставите изразите во форма на радикални изрази:

Премести 3 во коренот:

3√5 = √(3² 5) = √(9 5) = √45

Премести 2 во коренот:

2√11 = √(2² 11) = √(4 11) =√44

Премести 2 во коренот:

2√10 = √(2² 10) = √(4 10) =√40

Ние квадрат 6,5:

6,5 = √(6,5²) = √42,25

Ајде да ги погледнеме сите добиени опции:

1. 3√5 = √45
2. 2√11 = √44
3. 2√10 = √40
4. 6,5 = √42,25

Затоа, точниот одговор е на прво место

Трета верзија на задачата

Кој од овие бројки е рационален?

1. √810
2. √8,1
3. √0,81
4. сите овие бројки се ирационални

Решение:

За да го решите овој проблем, треба да постапите на следниов начин:

Прво, да ја откриеме моќта на кој број се разгледува во овој пример - ова е бројот 9, бидејќи неговиот квадрат е 81, а ова е веќе нешто слично на изразите во одговорите. Следно, да ги погледнеме формите на бројот 9 - овие можат да бидат:

Размислете за секој од нив:

0,9 = √(0,9)² = √0,81

90 = √(90²) = √8100

Според тоа, бројот √0,81 е рационален, додека останатите броеви

иако се слични на формата 9, тие не се рационални.

Така, точниот одговор е трет.

Четврта верзија на задачата

На барање на претплатник на мојата заедница Се спушти Дијана, еве ја анализата на следната задача бр. 4:

Кој од долунаведените броеви е вредноста на изразот?

Решение:

Забележете дека именителот содржи разлика (4 - √14), од која треба да се ослободиме. Како да го направите ова?

За да го направите ова, запомнете ја формулата за скратено множење, имено разликата на квадратите! За правилно да го примените во оваа задача, треба да ги запомните правилата за ракување со дропки. Во овој случај, запомнете дека дропката не се менува ако броителот и именителот се помножат со ист број или израз. За разликата на квадратите ни недостасува изразот (4 + √14), што значи дека ги множиме броителот и именителот со него.

После ова, добиваме 4 + √14 во броителот, а разликата на квадратите во именителот: 4² - (√14)². По ова, именителот лесно се пресметува:

Севкупно, нашите активности изгледаат вака:

Петта верзија на задачата (демо верзија на OGE 2017)

Кој израз е рационален број?

1. √6-3
2. √3 √5
3. (√5)²
4. (√6-3)²

Решение:

Во оваа задача се тестираат нашите вештини за операции со ирационални броеви.

Ајде да ја разгледаме секоја опција за одговор во решението:

√6 сам по себе е ирационален број; за да се решат ваквите проблеми, доволно е да се запамети дека можете рационално да го извлечете коренот од квадратите на природните броеви, на пример, 4, 9, 16, 25...

Кога се одзема од ирационален број кој било друг број освен самиот тој, тој повторно ќе доведе до ирационален број, така што во оваа верзија се добива ирационален број.

Кога множиме корени, можеме да го извлечеме коренот од производот на радикалните изрази, односно:

√3 √5 = √(3 5) = √15

Но, √15 е ирационален, така што овој одговор не е соодветен.

При квадратурање на квадратен корен, едноставно добиваме радикален израз (поточно, модуло радикален израз, но во случај на број, како во оваа верзија, тоа не е важно), затоа:

Оваа опција за одговор ни одговара.

Овој израз го претставува продолжението на точката 1, но ако √6-3 е ирационален број, тогаш тој не може да се претвори во рационален број со какви било операции познати за нас.

Дополни ги речениците: 1). Равенката е... 2). Коренот на равенката е... 3). Решавањето на равенката значи...

I. Усно решавајте ги равенките: 1). 2). 3). 4). 5). 6). 7). 8). 9). 6 x + 18=0 2 x + 5=0 5 x – 3=0 -3 x + 9=0 -5 x + 1=0 -2 x – 10=0 6 x – 7=5 x 9 x + 6 =10 x 5 x - 12=8 x

Која од наведените равенки нема решенија: а). 2 x – 14 = x + 7 b). 2 x - 14 = 2 (x – 7) в). x – 7 = 2 x + 14 g). 2 x- 14 = 2 x + 7?

Која од равенките има бесконечно многу решенија: а). 4 x – 12 = x – 12 b). 4 x – 12 = 4 x + 12 c). 4 (x – 3) = 4 x – 12 g). 4(x – 3) = x – 10?

РАВЕНКИТЕ НА ФОРМАТА kx + b = 0, каде k, b се дадени броеви, СЕ НАРЕКУВААТ ЛИНЕАРНИ. Алгоритам за решавање на линеарни равенки: 1). отворени загради 2). поместете ги поимите што го содржат непознатото на левата страна, а поимите што не го содржат непознатото на десната страна (знакот на пренесениот член е обратен); 3). донесе слични членови; 4). поделете ги двете страни на равенката со коефициентот на непознатата ако не е еднаков на нула.

Реши во тетратки Група I: бр.681 стр.63 6(4 -x)+3 x=3 III група: бр.767 стр.67 (x + 6)2 + (x + 3)2 = 2 x 2 равенки : II група: бр 697 стр 63 x-1 +(x+2) = -4(-5 -x)-5

Равенката од формата aх2 + bх + c =0, каде што a≠ 0, b, c се сите реални броеви, се нарекува квадратна. Нецелосни равенки: aх2 + bх =0 (c=0), aх2 + c =0 (b=0).

II. Усно решавајте ги квадратните равенки со означување дали се целосни или нецелосни: 1). x2 + 15 x=0 2). -x2 +2 x = 0 3). x2 -25=0 4). -x2 +9 =0 5). -x2 - 16 =0 6). x2 - 8 x + 15=0 7). x2 + 5 x + 6=0 8). x2 + x - 12 =0 9). (-x-5)(-x+ 6)=0 10). x2 -4 x +4 =0

ПРАШАЊА: 1). Кое својство на равенките се користело за решавање на нецелосни квадратни равенки? 2). Кои методи на факторинг на полином се користени за решавање на нецелосни квадратни равенки? 3). Кој е алгоритамот за решавање на целосни квадратни равенки?

1). Производот на два фактора е еднаков на нула, ако еден од нив е нула, вториот не го губи своето значење: ab = 0 ако a = 0 или b = 0. 2). Замена на заеднички фактор и a 2 - b 2 =(a – b)(a + b) е формулата за разликата на квадратите. 3). Целосна квадратна равенка ax2 + bx + c = o. D=b 2 – 4 ac, ако D>0, 2 корени; D = 0, 1 корен; Д

Теорема обратна од теоремата на Виета: ако броевите a, b, c, x 1 и x 2 се такви што x 1 x 2 = x 1 + x 2 =, а x 2 се корените на равенката a x 2 + bx + c = 0

РЕШИ ГИ РАВЕНКИТЕ: Група I: бр.802 страна 71 x2 - 5 x- 36 =0 II група: бр.810 страна 71 3 x2 - x + 21=5 x2 III група: x4 -5 x2 - 36 =0

III. РЕШЕТЕ ГИ РАВЕНКИТЕ: Група I и II: бр.860 III група: =0 =0 Како се нарекуваат ваквите равенки? Која сопственост се користи за нивно решавање?

Рационална равенка е равенка од формата =0. Дропката е еднаква на нула ако броителот е нула, а именителот не е нула. =0, ако a = 0, b≠ 0.

Накратко од историјата на математиката Математичарите од Стариот Египет можеле да решаваат квадратни и линеарни равенки. Персискиот средновековен научник Ал-Хорезми (IX век) прв ја вовел алгебрата како независна наука за општите методи за решавање на линеарни и квадратни равенки и дал класификација на овие равенки. Нов голем пробив во математиката е поврзан со името на францускиот научник Франсоа Виета (XVI век). Токму тој ги воведе буквите во алгебрата. Тој е одговорен за познатата теорема за корените на квадратните равенки. А традицијата на означување на непознати количини со последните букви од латинската азбука (x, y, z) му ја должиме на друг француски математичар - Рене Декарт (XVII).

Домашна работа Работа со сајтови: - Отворена банка на задачи ОГЕ (математика) http: //85. 142. 162. 126/os/xmodules/qprint/index. php? proj=DE 0 E 276 E 49 7 AB 3784 C 3 FC 4 CC 20248 DC 0 ; - „Ќе го решам ОГЕ“ од Д. Гушчин https: //oge. сдамгија. ru/ ; - Веб-страница на А. Ларин (опција 119) http: //alexlarin. нето/. Учебници: - Учебник Ју М. Кољагин „Алгебра 9-то одделение“, М., „Просветување“, 2014 година, стр. 308 -310; - „3000 задачи“ под. уредено од I. V. Yashchenko, M., „Испит“, 2017 година, стр. 5974.

Информации за родители Систем на подготовка за OGE по математика 1). Придружно повторување во лекциите 2). Финален преглед на крајот на годината 3). Изборни часови (во сабота) 4). Систем за домашни задачи - работа со сајтовите ќе РЕШАМ ОГЕ, ОТВОРЕНА БАНКА ФИПИ, СТРАНИЦА А. ЛАРИНА. 5). Индивидуални консултации (во понеделник)

Тојлонов Аргимаи и Тојлонов Еркеи

Математичкото образование добиено во сеопфатно училиште е суштинска компонента на општото образование и општата култура на современиот човек. Скоро сè што го опкружува современиот човек е некако поврзано со математиката. И неодамнешниот напредок во физиката, инженерството и информатичката технологија не остава сомнеж дека во иднина состојбата на работите ќе остане иста. Затоа, решавањето на многу практични проблеми се сведува на решавање на разни видови равенки кои треба да научите како да ги решавате.

И од 2013 година, сертификацијата по математика на крајот од основното училиште се спроведува во форма на OGE. Како и обединетиот државен испит, единствениот државен испит е дизајниран да спроведе сертификација не само по алгебра, туку и во целиот курс по математика на основното училиште.

Лавовскиот дел од задачите, на овој или оној начин, се сведува на изготвување равенки и нивни решенија. За да продолжиме со проучувањето на оваа тема, требаше да одговориме на прашањата: „Какви видови равенки се наоѓаат во задачите на OGE? и „Кои начини постојат за решавање на овие равенки?

Така, постои потреба да се проучат сите видови равенки кои се наоѓаат во задачите на OGE. Сето горенаведено одредува

ЦелРаботата е да се пополнат сите видови равенки кои се наоѓаат во задачите на OGE по тип и да се анализираат главните методи за решавање на овие равенки.

За да ја постигнеме оваа цел, го поставивме следново задачи:

1) Истражете ги главните ресурси за подготовка за главните државни испити.

2) Пополнете ги сите равенки по тип.

3) Анализирај ги методите за решавање на овие равенки.

4) Состави збирка со сите видови равенки и методи за нивно решавање.

Предмет на проучување:равенки

Предмет на проучување:равенки во задачите на OGE.

Преземи:

Преглед:

Општинска буџетска образовна институција

„Средно училиште Чибицкаја“

ОБУКА ПРОЕКТ:

„РАВЕНКИ ВО ОГЕ ЗАДАЧИ“

Тојлонов Ерки

ученици од 8 одделение

раководител: Надежда Владимировна Тоилонова, наставник по математика.

Временска рамка за имплементација на проектот:

од 13.12.2017 до 13.02. 2018 година

ВОВЕД

Математичкото образование добиено во сеопфатно училиште е суштинска компонента на општото образование и општата култура на современиот човек. Скоро сè што го опкружува современиот човек е некако поврзано со математиката. И неодамнешниот напредок во физиката, инженерството и информатичката технологија не остава сомнеж дека во иднина состојбата на работите ќе остане иста. Затоа, решавањето на многу практични проблеми се сведува на решавање на разни видови равенки кои треба да научите како да ги решавате.

И од 2013 година, сертификацијата по математика на крајот од основното училиште се спроведува во форма на OGE. Како и обединетиот државен испит, единствениот државен испит е дизајниран да спроведе сертификација не само по алгебра, туку и во целиот курс по математика на основното училиште.

Лавовскиот дел од задачите, на овој или оној начин, се сведува на изготвување равенки и нивни решенија. За да продолжиме со проучувањето на оваа тема, требаше да одговориме на прашањата: „Какви видови равенки се наоѓаат во задачите на OGE? и „Кои начини постојат за решавање на овие равенки?

Така, постои потреба да се проучат сите видови равенки кои се наоѓаат во задачите на OGE. Сето горенаведено одредуварелевантност на проблемот на извршената работа.

Цел Работата е да се пополнат сите видови равенки кои се наоѓаат во задачите на OGE по тип и да се анализираат главните методи за решавање на овие равенки.

За да ја постигнеме оваа цел, го поставивме следновозадачи:

1) Истражете ги главните ресурси за подготовка за главните државни испити.

2) Пополнете ги сите равенки по тип.

3) Анализирај ги методите за решавање на овие равенки.

4) Состави збирка со сите видови равенки и методи за нивно решавање.

Предмет на проучување:равенки

Предмет на проучување:равенки во задачите на OGE.

План за работа на проектот:

1. Формулирање на темата на проектот.
2. Избор на материјал од официјални извори на дадена тема.
3. Обработка и систематизација на информации.
4. Имплементација на проектот.
5. Дизајн на проектот.
6. Заштита на проектот.

Проблем : продлабочете го вашето разбирање за равенките. Покажете ги главните методи за решавање на равенките претставени во задачите на OGE во првиот и вториот дел.

Ова дело е обид да се генерализира и систематизира изучениот материјал и да се научат нови. Проектот опфаќа: линеарни равенки со пренос на поими од еден дел од равенката во друг и користење на својствата на равенките, како и проблеми решени со равенката, сите видови квадратни равенки и методи за решавање на рационални равенки.

Математиката... открива ред, симетрија и сигурност,

а ова се најважните видови убавина.

Аристотел.

Историска референца

Во тие далечни времиња, кога мудреците првпат почнале да размислуваат за еднаквоста што содржи непознати количини, веројатно немало парички или паричници. Но, имаше купишта, како и тенџериња и корпи, кои беа совршени за улогата на кешови за складирање во кои можеше да се собере непознат број предмети. „Бараме купче што заедно со две третини, половина и една седмина прави 37...“, поучувал египетскиот писар Ахмес во II милениум п.н.е. Во античките математички проблеми на Месопотамија, Индија, Кина, Грција, непознати количини го изразувале бројот на пауни во градината, бројот на бикови во стадото и севкупноста на нештата што се земале предвид при делењето на имотот. Книжниците, службениците и свештениците иницирани во тајното знаење, добро обучени во науката за сметките, доста успешно се справуваа со таквите задачи.

Изворите што стигнаа до нас укажуваат дека античките научници имале некои општи техники за решавање проблеми со непознати количини. Сепак, ниту една таблета од папирус или глина не содржи опис на овие техники. Авторите само повремено ги снабдувале своите нумерички пресметки со оскудни коментари како што се: „Гледај!“, „Направи го ова!“, „Го најдовте вистинскиот“. Во оваа смисла, исклучок е „Аритметиката“ на грчкиот математичар Диофант Александриски (III век) - збирка проблеми за составување равенки со систематско прикажување на нивните решенија.

Сепак, првиот прирачник за решавање проблеми што стана широко познат е работата на научникот од Багдад од 9 век. Мухамед бин Муса ал-Хваризми. Зборот „ал-џабр“ од арапското име на овој трактат - „Китаб ал-џабер вал-мукабала“ („Книга за реставрација и спротивставување“) - со текот на времето се претвори во добро познатиот збор „алгебра“, а ал- Самата работа на Хваризми послужи како почетна точка во развојот на науката за решавање равенки.

Па што е равенката?

Постои равенка на права, равенка на време (превод на вистинското сончево време во средно сончево време, прифатено во општеството и во науката; астр.) итн.

Во математиката е математичка еднаквост што содржи една или повеќе непознати величини и ја задржува својата важност само за одредени вредности на овие непознати величини.

Во равенките со една променлива, непознатата обично се означува со буквата " X“. Вредноста на "x" “, задоволувајќи ги овие услови, се нарекува корен на равенката.

Постојат различни равенкивидови:

секира + б = 0. - Линеарна равенка.
секира 2 + bx + c = 0. - Квадратна равенка.
секира 4 + bx 2 + c = 0. - Биквадратна равенка.

– Рационална равенка.

– Ирационална равенка.
Има таквиначини за решавање равенкиКако: алгебарски, аритметички и геометриски. Да го разгледаме алгебарскиот метод.

Решете ја равенката- ова е да се најдат такви вредности на X што, кога ќе се заменат во оригиналниот израз, ќе ни ја дадат точната еднаквост или ќе докажат дека нема решенија. Решавањето на равенките, иако е тешко, е возбудливо. На крајот на краиштата, навистина е изненадувачки кога цел тек на броеви зависи од еден непознат број.

Во равенките за да ја пронајдете непознатата, треба да го трансформирате и поедноставите оригиналниот израз. И на тој начин што кога се менува изгледот, не се менува суштината на изразот. Ваквите трансформации се нарекуваат идентични или еквивалентни.

Поглавје 1 Решавање равенки

1.1 Решавање линеарни равенки.

Сега ќе ги разгледаме решенијата на линеарни равенки. Потсетиме дека равенката на форматасе нарекува линеарна равенка или равенка од прв степен бидејќи со променливата " X » вишиот степен е од прв степен.

Решението на линеарната равенка е многу едноставно:

Пример 1: Решете ја равенката 3 x +3=5 x

Линеарна равенка се решава со пренесување на поими што содржат непознати на левата страна на знакот за еднакво, слободни коефициенти на десната страна на знакот за еднаквост:

3 x – 5 x = – 3

2 x=-3

x = 1,5

Се вика вредноста на променливата што ја претвора равенката во вистинска еднаквосткоренот на равенката.

По проверка добиваме:

Значи 1,5 е коренот на равенката.

Одговор: 1.5.

Решавање равенки со методот на пренесување поими од еден дел на равенката во друг, при што знакот на поимите се менува во спротивно и се користисвојства равенки - двете страни на равенката може да се помножат (поделат) со ист ненулти број или израз, може да се земат предвид при решавање на следните равенки.

Пример 2. Решете ги равенките:

а) 6 x +1=− 4 x ; б) 8+7 x =9 x +4; в) 4(x −8)=− 5.

Решение.

а) Користејќи го методот на пренос што го решаваме

6 x + 4 x = ─1;

10 x=─ 1;

x=─ 1:10;

x=─ 0,1.

Испитување:

Одговор: –0,1

б) Слично на претходниот пример, решаваме со методот на пренос:

Одговор: 2.

в) Во оваа равенка, потребно е да се отворат заградите, со примена на дистрибутивното својство на множење во однос на операцијата собирање.

Одговор: 6,75.

1.2 Квадратни равенки

Равенка на формата наречена квадратна равенка, кадеа – сениор коефициент,б – просечен коефициент, с – слободен член.

Во зависност од шанситеа, б и в – равенката може да биде целосна или нецелосна, дадена или недадена.

1.2.1 Нецелосни квадратни равенки

Ајде да разгледаме начини за решавање на нецелосни квадратни равенки:

1) Да почнеме да го разбираме решението на првиот тип на нецелосни квадратни равенки за c=0 . Нецелосни квадратни равенки на формата a x 2 +b x=0 ви овозможува да одлучитеметод на факторизација. Особено, методот на заграда.

Очигледно, можеме, сместени на левата страна на равенката, за што е доволно да се извади заедничкиот фактор од загради x . Ова ни овозможува да се преселиме од оригиналната нецелосна квадратна равенка на еквивалентна равенка од формата: x·(a·x+b)=0.

И оваа равенка е еквивалентна на комбинација од две равенки x=0 или x+b=0 , од кои последниот е линеарен и има корен x=− .

a x 2 +b x=0 има два корени

x=0 и x=− .

2) Сега да погледнеме како се решаваат нецелосни квадратни равенки, во кои коефициентот b е нула и c≠0 , односно равенки на формата a x 2 +c=0 . Знаеме дека преместувањето на член од едната страна на равенката на другата со спротивен знак, како и делењето на двете страни на равенката со број што не е нула, дава еквивалентна равенка. Затоа, можеме да ги извршиме следните еквивалентни трансформации на нецелосната квадратна равенка a x 2 +c=0 :

• трансфер од на десната страна, што ја дава равенката a x 2 =−c,
• и поделете ги двата дела соа , добиваме.

Добиената равенка ни овозможува да извлечеме заклучоци за нејзините корени.

Доколку бројот – е негативен, тогаш равенката нема корени. Оваа изјава произлегува од фактот дека квадратот на кој било број е ненегативен број.

Ако е позитивен број, тогаш ситуацијата со корените на равенката е различна. Во овој случај, треба да запомните дека постои корен на равенката, тоа е број. Коренот на равенката се пресметува според следнава шема:

Познато е дека замена во равенката наместо x неговите корени ја претвораат равенката во вистинска еднаквост.

Дозволете ни да ги сумираме информациите во овој пасус. Нецелосна квадратна равенка a x 2 +c=0 е еквивалентно на равенката, кои

3) Решенија на нецелосни квадратни равенки во кои коефициентитеб и в се еднакви на нула, односно со равенки на формата a x 2 =0. Равенката a x 2 =0 следи x 2 =0 , кој се добива од оригиналот со делење на двата дела со број што не е нулаа . Очигледно, коренот на равенката x 2 =0 е нула, бидејќи 0 2 =0 . Оваа равенка нема други корени.

Значи, нецелосната квадратна равенка a x 2 =0 има еден корен x=0 .

Пример 3. Решете ги равенките: а) x 2 = 5x, ако равенката има неколку корени, тогаш во одговорот наведете го најмалиот од нив;

б), ако равенката има неколку корени, тогаш во одговорот наведете го најголемиот од нив;

в) x 2 −9=0, ако равенката има неколку корени, тогаш во одговорот наведете го најмалиот од нив.

Решение.

Добивме нецелосна квадратна равенка за која нема слободен член. Решаваме користејќи го методот на заграда.

У Равенката може да се направи со два корени, од кои помалиот е 0.

Одговор: 0.

б) . Слично на претходниот пример, го користиме методот на заграда

Одговорот мора да го означи поголемиот од корените. Ова е бројот 2.

Одговор: 2.

V) . Оваа равенка е нецелосна квадратна равенка која нема просечен коефициент.

Најмалиот од овие корени е бројот - 3.

Одговор: -3.

1.2.2 Целосни квадратни равенки.

1. Дискриминантна, основна формула за корени на квадратна равенка

Постои коренска формула.

Ајде да го запишеме формула за корените на квадратна равенка чекор по чекор:

1) D=b 2 −4 a c - т.н.

а) ако Д

б) ако D>0, тогаш равенкатанема еден корен:

в) ако Д нема два корени:

Алгоритам за решавање на квадратни равенки со помош на коренски формули

Во пракса, кога решавате квадратни равенки, можете веднаш да ја користите коренската формула за да ги пресметате нивните вредности. Но, ова е повеќе поврзано со наоѓање сложени корени.

Меѓутоа, во училишниот курс за алгебра обично не зборуваме за сложени, туку за вистински корени на квадратна равенка. Во овој случај, препорачливо е, пред да ги користите формулите за корените на квадратната равенка, прво да го пронајдете дискриминаторот, да бидете сигурни дека е ненегативен (во спротивно, можеме да заклучиме дека равенката нема вистински корени). и само тогаш пресметајте ги вредностите на корените.

Горенаведеното расудување ни дозволува да пишувамеалгоритам за решавање на квадратна равенка. Да се ​​реши квадратна равенка a x 2 +b x+c=0 , ви треба:

• според формулата за дискриминација D=b 2 −4 a c пресметајте ја неговата вредност;
• заклучи дека квадратната равенка нема вистински корени ако дискриминантата е негативна;
• пресметај го единствениот корен од равенката користејќи ја формулата ако D=0 ;
• најдете два реални корени на квадратна равенка користејќи ја коренската формула ако дискриминантата е позитивна.

2. Дискриминант, втората формула за корените на квадратна равенка (со парен втор коефициент).

Да се ​​решаваат квадратни равенки на формата, со парен коефициент b=2k има друга формула.

Ајде да снимиме нов формула за корени на квадратна равенка на:

1) D’=k 2 −a c - т.ндискриминатор на квадратна равенка.

а) ако Д' нема вистински корени;

б) ако D’>0, тогаш равенкатанема еден корен:

в) ако Д' нема два корени:

Пример 4. Решете ја 2x равенката 2 −3x+1=0.. Ако равенката има повеќе од еден корен, запишете го поголемиот корен како одговор.

Решение. Во првиот случај, ги имаме следните коефициенти на квадратната равенка: a=2 , b=-3 и c=1 D=b 2 −4·a·c=(-3) 2 −4·2·1=9-8=1 . Од 1>0

Ние имаме Добивме два корени, од кои поголемиот е бројот 1.

Одговор: 1.

Пример 5. Решете ја равенката x 2 −21=4x.

Ако равенката има повеќе од еден корен, запишете го поголемиот корен како одговор.

Решение. По аналогија со претходниот пример, се движиме 4h на левата страна на знакот за еднаквост и добиваме:

Во овој случај ги имаме следните коефициенти на квадратната равенка: a=1, k=-2 и c=−21 . Според алгоритмот, прво треба да ја пресметате дискриминаторот D’=k 2 −a·c=(-2) 2 −1·(−21)=4+21=25 . Број 25>0 , односно дискриминантата е поголема од нула, тогаш квадратната равенка има два реални корени. Ајде да ги најдеме користејќи ја коренската формула

Одговор: 7.

1.2.3 Посебни методи за решавање на квадратни равенки.

1) Односот помеѓу корените и коефициентите на квадратна равенка. Теорема на Виета.

Формулата за корените на квадратната равенка ги изразува корените на равенката преку нејзините коефициенти. Врз основа на формулата на коренот, можете да добиете други односи помеѓу корените и коефициентите.

Најпознатата и најприменлива формула се нарекува теорема на Виета.

Теорема: Нека - корени на дадената квадратна равенка. Тогаш производот на корените е еднаков на слободниот член, а збирот на корените е еднаков на спротивната вредност на вториот коефициент:

Користејќи ги веќе напишаните формули, можете да добиете голем број други врски помеѓу корените и коефициентите на квадратната равенка. На пример, можете да го изразите збирот на квадратите на корените на квадратната равенка во однос на нејзините коефициенти.

Пример 6. а) Решете ја равенката x 2

б) Решете ја равенката x 2

в) Решете ја равенката x 2

Решение.

а) Решете ја равенката x 2 −6x+5=0. Ако равенката има повеќе од еден корен, запишете го помалиот корен како одговор.

Избор на најмалиот од корените

Одговор: 1

б) Решете ја равенката x 2 +7x+10=0. Ако равенката има повеќе од еден корен, запишете го поголемиот корен како одговор.

Применувајќи ја теоремата на Виета, пишуваме формули за корените

Расудувајќи логично, тоа го заклучуваме. Избор на најголемиот од корените

Одговор: ─2.

в) Решете ја равенката x 2 ─5x─14=0. Ако равенката има повеќе од еден корен, запишете го поголемиот корен како одговор.

Применувајќи ја теоремата на Виета, пишуваме формули за корените

Расудувајќи логично, тоа го заклучуваме. Избор на најмалиот од корените

Одговор: ─2.

1.3 Рационални равенки

Ако ви е дадена равенка со дропки од форматасо променлива во броител или именител, тогаш таквиот израз се нарекува рационална равенка. Рационална равенка е секоја равенка која вклучува барем еден рационален израз. Рационалните равенки се решаваат на ист начин како и секоја равенка: истите операции се вршат на двете страни на равенката додека променливата не се изолира на едната страна од равенката. Сепак, постојат 2 методи за решавање на рационални равенки.

1) Вкрстено множење.Доколку е потребно, препишете ја равенката дадена за да има по една дропка (еден рационален израз) на секоја страна; само во овој случај можете да го користите методот на вкрстено множење.

Помножете го броителот на левата дропка со именителот на десната. Повторете го ова со броителот на десната дропка и именителот на левата.

• Вкрстеното множење се заснова на основните алгебарски принципи. Во рационалните изрази и другите дропки, можете да се ослободите од броителот со соодветно множење на броителите и именители на двете дропки.
• Изедначете ги добиените изрази и поедноставете ги.
• Решете ја добиената равенка, односно пронајдете „x“. Ако „x“ е на двете страни на равенката, изолирајте го на едната страна од равенката.

2) За да се поедностави оваа равенка се користи најнискиот заеднички именител (LCD).Овој метод се користи кога не можете да напишете дадена равенка со еден рационален израз на секоја страна од равенката (и да користите вкрстен метод на множење). Овој метод се користи кога ви е дадена рационална равенка со 3 или повеќе дропки (во случај на две дропки, подобро е да користите вкрстено множење).

• Најдете го најмалиот заеднички именител на дропките (или најмалиот заеднички множител).NOZ е најмалиот број што е рамномерно делив со секој именител.
• Помножете ги и броителот и именителот на секоја дропка со број еднаков на резултатот од делењето на NOC со соодветниот именител на секоја дропка.
• Најдете x. Сега кога сте ги намалиле дропките на заеднички именител, можете да се ослободите од именителот. За да го направите ова, помножете ја секоја страна од равенката со заедничкиот именител. Потоа решете ја добиената равенка, односно пронајдете „x“. За да го направите ова, изолирајте ја променливата на едната страна од равенката.

Пример 7. Решете ги равенките: а); б) в) .

Решение.

А) . Го користиме методот на вкрстено множење.

Ги отвораме заградите и презентираме слични термини.

доби линеарна равенка со една непозната

Одговор: ─10.

б) , слично на претходниот пример, го применуваме методот на вкрстено множење.

Одговор: ─1.9.

V) , користиме метод со најмал заеднички именител (LCD).

Во овој пример, заедничкиот именител би бил 12.

Одговор: 5.

Поглавје 2 Сложени равенки

Равенките кои припаѓаат на категоријата сложени равенки можат да комбинираат различни методи и техники за решавање. Но, на еден или друг начин, сите равенки со методот на логичко расудување и еквивалентни дејства доведуваат до равенки кои претходно биле проучувани.

Пример 7. Реши ја равенката( x +3) 2 =(x +8) 2 .

Решение. Користејќи ги скратените формули за множење, ќе ги отвориме заградите:

Ги пренесуваме сите поими надвор од знакот за еднаквост и носиме слични,

Одговор: 5.5.

Пример 8. Решете ги равенките: а)(− 5 x +3)(− x +6)=0, б) (x +2)(− x +6)=0.

Решение.

а)(− 5 x +3)(− x +6)=0; Да ги отвориме заградите и да претставиме слични термини

добивме целосна квадратна равенка, која ќе ја решиме преку првата дискриминаторска формула

равенката има два корени

Одговор: 0,6 и 6.

б) (x +2) (− x +6)=0, за оваа равенка ќе направиме логично расудување (производот е еднаков на нула кога еден од факторите е еднаков на нула). Средства

Одговор: ─2 и 6.

Пример 9. Решете ги равенките:, б) .

Решение. Да го најдеме најмалиот заеднички именител

Дозволете ни да напишеме по опаѓачки редослед на степени на променливата

; добиена е целосна квадратна равенка со парен втор коефициент

Равенката има два реални корени

Одговор:.

б) . Расудувањето е слично на а). Наоѓање НПД

Ги отвораме заградите и презентираме слични термини

решете ја целосната квадратна равенка преку општата формула

Одговор:.

Пример 10. Решете ги равенките:

Решение.

А) , Забележуваме дека од левата страна изразот внатре во заградите ја претставува формулата за скратено множење, поточно квадратот на збирот на два израза. Ајде да го трансформираме

; поместете ги членовите на оваа равенка на едната страна

ајде да го ставиме надвор од загради

Производот е нула кога еден од факторите е нула. Средства,

Одговор: ─2, ─1 и 1.

б) Расудуваме на ист начин како на пример а)

, со теоремата на Виета

Одговор:

Пример 11. Решете ги равенките а)

Решение.

А) ; [на левата и десната страна на равенката можете да го користите методот на вадење загради, а од левата страна ќе извадиме, а на десната страна го ставаме бројот 16.]

[да преместиме сè на едната страна и уште еднаш да го примениме методот на заградување. Ќе го извадиме заедничкиот фактор]

[Производот е нула кога еден од факторите е нула.]

Одговор:

б) . [Оваа равенка е слична на равенката а). Затоа, во овој случај, го применуваме методот на групирање]

Одговор:

Пример 12. Решете ја равенката=0.

Решение.

0 [двоквадратна равенка. Решено со промена на методот на променлива].

0; [Применувајќи ја теоремата на Виета, ги добиваме корените]

. [враќање на претходните променливи]

Одговор:

Пример 13. Решете ја равенката

Решение. [двоквадратна равенка, се ослободуваме од парните моќи со користење на знаци на модул.]

[добивме две квадратни равенки, кои ги решаваме користејќи ја основната формула за корените на квадратна равенка]

ниедна равенка на вистински корени нема два корени

Одговор:

Пример 14. Решете ја равенката

Решение.

ОДЗ:

[префрлете ги сите членови од равенката на левата страна и внесете слични членови]

[Ја добивме намалената квадратна равенка, која лесно се решава со помош на теоремата на Виета]

Бројот – 1 не го задоволува ODZ на дадената равенка, па затоа не може да биде коренот на оваа равенка. Ова значи дека само бројот 7 е коренот.

Одговор: 7.

Пример 15. Решете ја равенката

Решение.

Збирот на квадратите на два изрази може да биде еднаков на нула само ако изразите се еднакви на нула истовремено. Имено

[Секоја равенка ја решаваме посебно]

Со теоремата на Виета

Совпаѓањето на корените еднакво на –5 ќе биде коренот на равенката.

Одговор: - 5.

ЗАКЛУЧОК

Сумирајќи ги резултатите од сработеното, можеме да заклучиме: равенките играат огромна улога во развојот на математиката. Го систематизиравме стекнатото знаење и го сумиравме опфатениот материјал. Ова знаење може да не подготви за претстојните испити.

Нашата работа овозможува да се погледне поинаку на задачите што ни ги поставува математиката.

• на крајот од проектот ги систематизиравме и генерализиравме претходно изучените методи за решавање равенки;
• се запозна со нови начини на решавање равенки и својства на равенките;

• Ги разгледавме сите видови равенки кои се во задачите на OGE и во првиот и во вториот дел.
• Создадовме методолошка збирка „Равенки во задачите на OGE“.

Сметаме дека ја постигнавме целта што ни беше поставена - да ги разгледуваме сите видови равенки во задачите на главниот државен испит по математика.

Список на користена литература:

1. Б.В. Гнеденко „Математиката во современиот свет“. Московско „Просветителство“ 1980 година

2. Да.И. Перелман „Забавна алгебра“. Москва „Наука“ 1978 година

6. http://tutorial.math.lamar.edu

7. http://www.regentsprep.org

8. http://www.fipi.ru

Анекс 1

Линеарни равенки

1. Најдете го коренот на равенката

2. Најдете го коренот на равенката

3. Најдете го коренот на равенката

Додаток 2

Нецелосни квадратни равенки

1. Решете ја равенката x 2 = 5x. Ако равенката има повеќе од еден корен, запишете го помалиот корен како одговор.

2. Решете ја 2x равенката 2 = 8x. Ако равенката има повеќе од еден корен, запишете го помалиот корен како одговор.

3. Решете ја 3x равенката 2 = 9x. Ако равенката има повеќе од еден корен, запишете го помалиот корен како одговор.

4. Решете ја 4x равенката 2 = 20x. Ако равенката има повеќе од еден корен, запишете го помалиот корен како одговор.

5. Решете ја 5x равенката 2 = 35x. Ако равенката има повеќе од еден корен, запишете го помалиот корен како одговор.

6. Реши ја 6х равенката 2 = 36x. Ако равенката има повеќе од еден корен, запишете го помалиот корен како одговор.

7. Решете ја равенката 7x 2 = 42x. Ако равенката има повеќе од еден корен, запишете го помалиот корен како одговор.

8. Решете ја равенката 8x 2 = 72x. Ако равенката има повеќе од еден корен, запишете го помалиот корен како одговор.

9. Решете ја равенката 9x 2 = 54x. Ако равенката има повеќе од еден корен, запишете го помалиот корен како одговор.

10. Решете ја равенката 10x2 = 80x. Ако равенката има повеќе од еден корен, запишете го помалиот корен како одговор.

11. Решете ја 5x равенката2 −10x=0. Ако равенката има повеќе од еден корен, запишете го поголемиот корен како одговор.

12. Решете ја 3x равенката2 −9x=0. Ако равенката има повеќе од еден корен, запишете го поголемиот корен како одговор.

13. Решете ја 4x равенката2 −16x=0. Ако равенката има повеќе од еден корен, запишете го поголемиот корен како одговор.

14. Решете ја 5x равенката2 +15x=0. Ако равенката има повеќе од еден корен, запишете го помалиот корен како одговор.

15. Решете ја 3х равенката2 +18x=0. Ако равенката има повеќе од еден корен, запишете го помалиот корен како одговор.

16. Реши ја 6х равенката2 +24x=0. Ако равенката има повеќе од еден корен, запишете го помалиот корен како одговор.

17. Решете ја 4x равенката2 −20x=0. Ако равенката има повеќе од еден корен, запишете го поголемиот корен како одговор.

18. Решете ја 5x равенката2 +20x=0. Ако равенката има повеќе од еден корен, запишете го помалиот корен како одговор.

19. Решете ја равенката 7x2 −14x=0. Ако равенката има повеќе од еден корен, запишете го поголемиот корен како одговор.

20. Реши ја 3х равенката2 +12x=0. Ако равенката има повеќе од еден корен, запишете го помалиот корен како одговор.

21. Решете ја равенката x2 −9=0. Ако равенката има повеќе од еден корен, запишете го помалиот корен како одговор.

22. Решете ја равенката x2 −121=0. Ако равенката има повеќе од еден корен, запишете го помалиот корен како одговор.

23. Решете ја равенката x2 −16=0. Ако равенката има повеќе од еден корен, запишете го помалиот корен како одговор.

24. Решете ја равенката x2 −25=0. Ако равенката има повеќе од еден корен, запишете го помалиот корен како одговор.

25. Решете ја равенката x2 −49=0. Ако равенката има повеќе од еден корен, запишете го помалиот корен како одговор.

26. Решете ја равенката x2 −81=0. Ако равенката има повеќе од еден корен, запишете го помалиот корен како одговор.

27. Решете ја равенката x2 −4=0. Ако равенката има повеќе од еден корен, запишете го помалиот корен како одговор.

28. Решете ја равенката x2 −64=0. Ако равенката има повеќе од еден корен, запишете го помалиот корен како одговор.

29. Решете ја равенката x2 −36=0. Ако равенката има повеќе од еден корен, запишете го помалиот корен како одговор.

30. Решете ја равенката x2 −144=0. Ако равенката има повеќе од еден корен, запишете го помалиот корен како одговор.

31. Решете ја равенката x2 −9=0. Ако равенката има повеќе од еден корен, запишете го поголемиот корен како одговор.

32. Решете ја равенката x2 −121=0. Ако равенката има повеќе од еден корен, запишете го поголемиот корен како одговор.

33. Решете ја равенката x2 −16=0. Ако равенката има повеќе од еден корен, запишете го поголемиот корен како одговор.

34. Решете ја равенката x2 −25=0. Ако равенката има повеќе од еден корен, запишете го поголемиот корен како одговор.

35. Решете ја равенката x2 −49=0. Ако равенката има повеќе од еден корен, запишете го поголемиот корен како одговор.

36. Решете ја равенката x2 −81=0. Ако равенката има повеќе од еден корен, запишете го поголемиот корен како одговор.

37. Решете ја равенката x2 −4=0. Ако равенката има повеќе од еден корен, запишете го поголемиот корен како одговор.

38. Реши ја равенката x2 −64=0. Ако равенката има повеќе од еден корен, запишете го поголемиот корен како одговор.

39. Решете ја равенката x2 −36=0. Ако равенката има повеќе од еден корен, запишете го поголемиот корен како одговор.

40. Решете ја равенката x2 −144=0. Ако равенката има повеќе од еден корен, запишете го поголемиот корен како одговор.

Додаток 3

Целосни квадратни равенки

1. Решете ја равенката x2 +3x=10. Ако равенката има повеќе од еден корен, запишете го поголемиот корен како одговор.

2. Решете ја равенката x2 +7x=18. Ако равенката има повеќе од еден корен, запишете го поголемиот корен како одговор.

3. Решете ја равенката x2 +2x=15. Ако равенката има повеќе од еден корен, запишете го помалиот корен како одговор.

4. Решете ја равенката x2 −6x=16. Ако равенката има повеќе од еден корен, запишете го помалиот корен како одговор.

5. Решете ја равенката x2 −3x=18. Ако равенката има повеќе од еден корен, запишете го поголемиот корен како одговор.

6. Решете ја равенката x2 −18=7х. Ако равенката има повеќе од еден корен, запишете го поголемиот корен како одговор.

7. Решете ја равенката x2 +4x=21. Ако равенката има повеќе од еден корен, запишете го помалиот корен како одговор.

8. Решете ја равенката x2 −21=4x. Ако равенката има повеќе од еден корен, запишете го поголемиот корен како одговор.

9. Решете ја равенката x2 −15=2x. Ако равенката има повеќе од еден корен, запишете го помалиот корен како одговор.

10. Решете ја равенката x2 −5x=14. Ако равенката има повеќе од еден корен, запишете го поголемиот корен како одговор.

11. Решете ја равенката x2 +6=5x. Ако равенката има повеќе од еден корен, запишете го помалиот корен како одговор.

12. Решете ја равенката x2 +4=5x. Ако равенката има повеќе од еден корен, запишете го поголемиот корен како одговор.

13. Решете ја равенката x2 −x=12. Ако равенката има повеќе од еден корен, запишете го поголемиот корен како одговор.

14. Решете ја равенката x2 +4x=5. Ако равенката има повеќе од еден корен, запишете го помалиот корен како одговор.

15. Решете ја равенката x2 −7x=8. Ако равенката има повеќе од еден корен, запишете го поголемиот корен како одговор.

16. Решете ја равенката x2 +7=8x. Ако равенката има повеќе од еден корен, запишете го помалиот корен како одговор.

17. Решете ја равенката x2 +18=9x. Ако равенката има повеќе од еден корен, запишете го помалиот корен како одговор.

18. Решете ја равенката x2 +10=7x. Ако равенката има повеќе од еден корен, запишете го поголемиот корен како одговор.

19. Решете ја равенката x2 −20=x. Ако равенката има повеќе од еден корен, запишете го поголемиот корен како одговор.

20. Решете ја равенката x2 −35=2x. Ако равенката има повеќе од еден корен, запишете го помалиот корен како одговор.

21. Реши ја равенката 2x2 −3x+1=0. Ако равенката има повеќе од еден корен, запишете го помалиот корен како одговор.

22. Реши ја равенката 5x2 +4x−1=0. Ако равенката има повеќе од еден корен, запишете го поголемиот корен како одговор.

23. Реши ја равенката 2x2 +5x−7=0. Ако равенката има повеќе од еден корен, запишете го помалиот корен како одговор.

24. Решете ја 5x равенката2 −12x+7=0. Ако равенката има повеќе од еден корен, запишете го поголемиот корен како одговор.

25. Реши ја равенката 5x2 −9x+4=0. Ако равенката има повеќе од еден корен, запишете го помалиот корен како одговор.

26. Решете ја равенката 8x2 −12x+4=0. Ако равенката има повеќе од еден корен, запишете го помалиот корен како одговор.

27. Решете ја равенката 8x2 −10x+2=0. Ако равенката има повеќе од еден корен, запишете го помалиот корен како одговор.

28. Реши ја 6х равенката2 −9x+3=0. Ако равенката има повеќе од еден корен, запишете го помалиот корен како одговор.

29. Реши ја равенката 5x2 +9x+4=0. Ако равенката има повеќе од еден корен, запишете го поголемиот корен како одговор.

30. Реши ја равенката 5x2 +8x+3=0. Ако равенката има повеќе од еден корен, запишете го поголемиот корен како одговор.

31. Решете ја равенката x2 −6x+5=0. Ако равенката има повеќе од еден корен, запишете го помалиот корен како одговор.

32. Решете ја равенката x2 −7x+10=0. Ако равенката има повеќе од еден корен, запишете го помалиот корен како одговор.

33. Решете ја равенката x2 −9x+18=0. Ако равенката има повеќе од еден корен, запишете го помалиот корен како одговор.

34. Решете ја равенката x2 −10x+24=0. Ако равенката има повеќе од еден корен, запишете го помалиот корен како одговор.

35. Решете ја равенката x2 −11x+30=0. Ако равенката има повеќе од еден корен, запишете го помалиот корен како одговор.

36. Решете ја равенката x2 −8x+12=0. Ако равенката има повеќе од еден корен, запишете го поголемиот корен како одговор.

37. Решете ја равенката x2 −10x+21=0. Ако равенката има повеќе од еден корен, запишете го поголемиот корен како одговор.

38. Реши ја равенката x2 −9x+8=0. Ако равенката има повеќе од еден корен, запишете го поголемиот корен како одговор.

39. Решете ја равенката x2 −11x+18=0. Ако равенката има повеќе од еден корен, запишете го поголемиот корен како одговор.

40. Решете ја равенката x2 −12x+20=0. Ако равенката има повеќе од еден корен, запишете го поголемиот корен како одговор.

Додаток 4.

Рационални равенки.

1. Најдете го коренот на равенката

2. Најдете го коренот на равенката

3. Најдете го коренот на равенката

4. Најдете го коренот на равенката

5. Најдете го коренот на равенката

6. Најдете го коренот на равенката.

7. Најдете го коренот на равенката

8. Најдете го коренот на равенката

9. Најдете го коренот на равенката.

10. Најдете го коренот на равенката

11. Најдете го коренот на равенката.

12. Најдете го коренот на равенката

13. Најдете го коренот на равенката

14. Најдете го коренот на равенката

15. Најдете го коренот на равенката

16. Најдете го коренот на равенката

17. Најдете го коренот на равенката

18. Најдете го коренот на равенката

19. Најдете го коренот на равенката

20. Најдете го коренот на равенката

21. Најдете го коренот на равенката

22. Најдете го коренот на равенката

23. Најдете го коренот на равенката

Додаток 5

Сложени равенки.

1. Најдете го коренот на равенката (x+3)2 =(x+8)2 .

2. Најдете го коренот на равенката (x−5)2 =(x+10)2 .

3. Најдете го коренот на равенката (x+9)2 =(x+6)2 .

4. Најдете го коренот на равенката (x+10)2 =(x−9)2 .

5. Најдете го коренот на равенката (x−5)2 =(x−8)2 .

6. Најдете го коренот на равенката.

7. Најдете го коренот на равенката.

8. Најдете го коренот на равенката.

9. Најдете го коренот на равенката.

10. Најдете го коренот на равенката.

11. Реши ја равенката (x+2)(− x+6)=0. Ако равенката има повеќе од еден корен, запишете го помалиот корен како одговор.

12. Реши ја равенката (x+3)(− x−2)=0. Ако равенката има повеќе од еден корен, запишете го помалиот корен како одговор.

13. Реши ја равенката (x−11)(− x+9)=0. Ако равенката има повеќе од еден корен, запишете го помалиот корен како одговор.

14. Реши ја равенката (x−1)(− x−4)=0. Ако равенката има повеќе од еден корен, запишете го помалиот корен како одговор.

15. Реши ја равенката (x−2)(− x−1)=0. Ако равенката има повеќе од еден корен, запишете го помалиот корен како одговор.

16. Реши ја равенката (x+20)(− x+10)=0. Ако равенката има повеќе од еден корен, запишете го поголемиот корен како одговор.

17. Реши ја равенката (x−2)(− x−3)=0. Ако равенката има повеќе од еден корен, запишете го поголемиот корен како одговор.

18. Реши ја равенката (x−7)(− x+2)=0. Ако равенката има повеќе од еден корен, запишете го поголемиот корен како одговор.

19. Реши ја равенката (x−5)(− x−10)=0. Ако равенката има повеќе од еден корен, запишете го поголемиот корен како одговор.

20. Реши ја равенката (x+10)(− x−8)=0. Ако равенката има повеќе од еден корен, запишете го поголемиот корен како одговор.

21. Реши ја равенката (− 5x+3)(− x+6)=0. Ако равенката има повеќе од еден корен, запишете го помалиот корен како одговор.

22. Реши ја равенката (− 2x+1)(− 2x−7)=0. Ако равенката има повеќе од еден корен, запишете го помалиот корен како одговор.

23. Реши ја равенката (− x−4)(3x+3)=0. Ако равенката има повеќе од еден корен, запишете го поголемиот корен како одговор.

24. Реши ја равенката (x−6)(4x−6)=0. Ако равенката има повеќе од еден корен, запишете го помалиот корен како одговор.

25. Реши ја равенката (− 5x−3)(2x−1)=0. Ако равенката има повеќе од еден корен, запишете го помалиот корен како одговор.

26. Реши ја равенката (x−2)(− 2x−3)=0. Ако равенката има повеќе од еден корен, запишете го помалиот корен како одговор.

27. Реши ја равенката (5x+2)(− x−4)=0. Ако равенката има повеќе од еден корен, запишете го поголемиот корен како одговор.

28. Реши ја равенката (x−6)(− 5x−9)=0. Ако равенката има повеќе од еден корен, запишете го помалиот корен како одговор.

29. Реши ја равенката (6x−3)(− x+3)=0. Ако равенката има повеќе од еден корен, запишете го поголемиот корен како одговор.

30. Реши ја равенката (5x−2)(− x+3)=0. Ако равенката има повеќе од еден корен, запишете го помалиот корен како одговор.

31. Реши ја равенката

32. Реши ја равенката

33. Реши ја равенката

34. Реши ја равенката

35. Реши ја равенката

36. Реши ја равенката

37. Реши ја равенката

38. Реши ја равенката

39. Реши ја равенката

40 Решете ја равенката

41. Решете ја равенката x(x2 +2x+1)=2(x+1).

42. Решете ја равенката (x−1)(x2 +4x+4)=4(x+2).

43. Решете ја равенката x(x2 +6x+9)=4(x+3).

44. Решете ја равенката (x−1)(x2 +8x+16)=6(x+4).

45. Решете ја равенката x(x2 +2x+1)=6(x+1).

46. ​​Решете ја равенката (x−1)(x2 +6x+9)=5(x+3).

47. Решете ја равенката (x−2)(x2 +8x+16)=7(x+4).

48. Решете ја равенката x(x2 +4x+4)=3(x+2).

49. Решете ја равенката (x−2)(x2 +2x+1)=4(x+1).

50. Решете ја равенката (x−2)(x2 +6x+9)=6(x+3).

51. Реши ја равенката (x+2)4 −4(x+2)2 −5=0.

52. Реши ја равенката (x+1)4 +(x+1)2 −6=0.

53. Реши ја равенката (x+3)4 +2(x+3)2 −8=0.

54. Решете ја равенката (x−1)4 −2 (x−1)2 −3=0.

55. Решете ја равенката (x−2)4 −(x−2)2 −6=0.

56. Решете ја равенката (x−3)4 −3 (x−3)2 −10=0.

57. Реши ја равенката (x+4)4 −6(x+4)2 −7=0.
58. Решете ја равенката (x−4)4 −4 (x−4)2 −21=0.

59. Реши ја равенката (x+2)4 +(x+2)2 −12=0.

60. Решете ја равенката (x−2)4 +3(x−2)2 −10=0.

61. Решете ја равенката x3 + 3x2 =16x+48.

62. Решете ја равенката x3 +4x2 =4x+16.

63. Решете ја равенката x3 +6x2 =4x+24.

64. Решете ја равенката x3 +6x2 = 9x+54.

65. Решете ја равенката x3 + 3x2 =4x+12.

66. Решете ја равенката x3 +2x2 = 9x+18.

67. Решете ја равенката x3 +7x2 =4x+28.

68. Решете ја равенката x3 +4x2 =9x+36.

69. Решете ја равенката x3 +5x2 =4x+20.

70. Решете ја равенката x3 +5x2 =9x+45.

71. Реши ја равенката x3 + 3x2 −x−3=0.

72. Реши ја равенката x3 +4x2 −4x−16=0.

73. Решете ја равенката x3 +5x2 −x−5=0.

74. Решете ја равенката x3 +2x2 −x−2=0.

75. Реши ја равенката x3 + 3x2 −4x−12=0.

76. Решете ја равенката x3 +2x2 −9x−18=0.

77. Реши ја равенката x3 +4x2 −x−4=0.

78. Реши ја равенката x3 +4x2 −9x−36=0.

79. Реши ја равенката x3 +5x2 −4x−20=0.
80. Реши ја равенката x3 +5x2 −9x−45=0.

81. Решете ја равенката x4 =(x−20)2 .

82. Решете ја равенката x4 =(2x−15)2 .

83. Решете ја равенката x4 =(3x−10)2 .

84. Решете ја равенката x4 =(4x−5)2 .

85. Решете ја равенката x4 =(x−12)2 .

86. Решете ја равенката x4 =(2x−8)2 .

87. Решете ја равенката x4 =(3x−4)2 .

88. Решете ја равенката x4 =(x−6)2 .

89. Решете ја равенката x4 =(2x−3)2 .

90. Реши ја равенката x4 =(x−2)2 .

91. Реши ја равенката

92. Реши ја равенката

93. Реши ја равенката

94. Реши ја равенката

95. Реши ја равенката

96. Реши ја равенката

97. Реши ја равенката

98. Реши ја равенката

99. Реши ја равенката

100. Реши ја равенката

101. Реши ја равенката.

102. Реши ја равенката

103. Реши ја равенката

104. Реши ја равенката

105. Реши ја равенката

106. Реши ја равенката

107. Реши ја равенката

108. Реши ја равенката

109. Реши ја равенката

110. Реши ја равенката

РЕШАВАЊЕ РАВЕНКИ

подготовка за OGE

9-то одделение

подготвено од наставникот по математика GBOU училиште бр. 14 од областа Невски во Санкт Петербург Путрова Марина Николаевна

Доврши ги речениците:

1). Равенката е ...

2). Коренот на равенката е ...

3). Решавањето на равенката значи...

I. Усно решавајте ги равенките:

• 1). 6x + 18=0
• 2). 2x + 5=0
• 3). 5x – 3=0
• 4). -3x + 9=0
• 5). -5x + 1=0
• 6). -2х – 10=0
• 7). 6x – 7=5x
• 8). 9x + 6=10x
• 9). 5x - 12=8x

Која од следните равенки нема решенија:

А). 2x – 14 = x + 7

б). 2x - 14 = 2 (x - 7)

V). x – 7 = 2x + 14

G). 2x- 14 = 2x + 7?

Која равенка има бесконечно многу решенија:

А). 4x – 12 = x – 12

б). 4x – 12 = 4x + 12

V). 4 (x – 3) = 4x – 12

G). 4(x – 3) = x – 10?

РАВЕНКИ ОД ВИДОТ

kx + b = 0

ТИЕ СЕ НАРЕКУВААТ ЛИНЕАРНИ.

Алгоритам за решавање на линеарни равенки :

1). поместете ги поимите што го содржат непознатото на левата страна, а поимите што не го содржат непознатото на десната страна (знакот на пренесениот член е обратен);

2). донесе слични членови;

3).поделете ги двете страни на равенката со коефициентот на непознатата ако тој не е еднаков на нула.

Решавајте равенки во вашите тетратки :

II група: бр.697 стр.63

x-1 +(x+2) = -4(-5-x)-5

Група I:

№ 681 страна 63

6(4x)+3x=3

III група: бр.767 стр.67

(x + 6) 2 + (x + 3) 2 = 2 x 2

Равенка на формата

ах 2 + bх + c =0,

каде a≠0, b, c - сите реални броеви се нарекуваат квадратни.

Нецелосни равенки:

ах 2 + bх =0 (c=0),

ах 2 + c =0 (b=0).

II. Усно решавајте ги квадратните равенки, означувајќи дали се целосни или нецелосни:

1). 5x 2 + 15x=0

2). -Х 2 +2x = 0

3). X 2 -25=0

4). -Х 2 +9 =0

5). -Х 2 - 16 =0

6). X 2 - 8x + 15=0

7 ) . X 2 + 5x + 6=0

8). X 2 + x - 12 =0

9).(-x-5)(-x+ 6)=0

ПРАШАЊА:

1). Кое својство на равенките се користело за решавање на нецелосни квадратни равенки?

2). Кои методи на факторинг на полином се користени за решавање на нецелосни квадратни равенки?

3). Кој е алгоритамот за решавање на целосни квадратни равенки ?

1). Производот на два фактора е еднаков на нула, ако еден од нив е еднаков на нула, вториот не го губи своето значење: ab = 0 , Ако a = 0 или b = 0 .

2). Замена на заеднички множител и

а 2 - б 2 =(а – б)(а + б) - формула за разлика на квадрати.

3). Целосна квадратна равенка ах 2 + bх + c = o.

D=b 2 – 4ac ако D0, 2 корени;

D = 0, 1 корен;

X 1,2 =

РЕШЕТЕ ГИ РАВЕНКИТЕ :

Група I: бр.802 стр.71 X 2 - 5x- 36 =0

Група II: бр.810 стр.71 3x 2 - x + 21=5x 2

III група: X 4 -5x 2 - 36 =0

III. РЕШЕТЕ ГИ РАВЕНКИТЕ :

Група I и II: бр.860 = 0

III група: =0

Како се нарекуваат таквите равенки? Која сопственост се користи за нивно решавање?

Рационална равенка е равенка на формата

Дропката е еднаква на нула ако броителот е нула, а именителот не е нула. =0, ако a = 0, b≠0.

Кратка историја на математиката

• Математичарите од Стариот Египет беа во можност да решаваат квадратни и линеарни равенки.

• Персискиот средновековен научник Ал-Хорезми (IX век) прв ја вовел алгебрата како независна наука за општите методи за решавање на линеарни и квадратни равенки и дал класификација на овие равенки.

• Нов голем пробив во математиката е поврзан со името на францускиот научник Франсоа Виета (XVI век). Токму тој ги воведе буквите во алгебрата. Тој е одговорен за познатата теорема за корените на квадратните равенки.

• А традицијата на означување на непознати количини со последните букви од латинската азбука (x, y, z) му ја должиме на друг француски математичар - Рене Декарт (XVII).

Ал-Хваризми

Франсоа Вие

Рене Декарт

Домашна работа

Работа со веб-страници :

- Отворена банка на задачи ОГЕ (математика) http://85.142.162.126/os/xmodules/qprint/index.php?proj=DE0E276E497AB3784C3FC4CC20248DC0 ;

- „Ќе го решам ОГЕ“ од Д. Гушчин https://oge.sdamgia.ru/ ;

- Веб-страница на А. Ларин (опција 119) http://alexlarin.net/ .

Упатства:

- Учебник Ју.М. Кољагин „Алгебра 9-то одделение“, М., „Просветителство“, 2014 година, стр. 308-310;

- „3000 задачи“ под. уредено од И.В. Јашченко, М., „Испит“, 2017 година, стр.59-74.

! Од теорија до пракса;

! Од едноставни до сложени

MAOU "Средно училиште Платошин",

наставник по математика, Мелехина Г.В.

Општа форма на линеарна равенка: секира + б = 0 ,

Каде аИ б– бројки (коефициенти).

• Ако a = 0И b = 0, Тоа 0x + 0 = 0 – бесконечно многу корени;
• Ако a = 0И b ≠ 0, Тоа 0x + b = 0– нема решенија;
• Ако a ≠ 0И б = 0 , Тоа секира + 0 = 0 – еден корен, x = 0;
• Ако a ≠ 0И б ≠ 0 , Тоа секира + б = 0 - еден корен,

! Ако X е на првата сила и не е во именителот, тогаш тоа е линеарна равенка

! И ако линеарната равенка е комплекс :

! Условите со X одат налево, без X - надесно.

! Овие равенки се исто така линеарна .

! Главното својство на пропорција (напречно).

! Отворете ги заградите, со X налево, без X надесно.

• ако коефициентот a = 1, тогаш се повикува равенката дадена :

• ако коефициентот б = 0 или/и c = 0, тогаш се повикува равенката нецелосни :

! Основни формули

! Повеќе формули

Биквадратна равенка- наречена равенка на формата секира 4 +bx 2 + c = 0 .

Биквадратната равенка се сведува на квадратна равенкакористејќи замена, тогаш

Добиваме квадратна равенка:

Ајде да ги најдеме корените и да се вратиме на замената:

Пример 1:

Решете ја равенката x 4 + 5x 2 – 36 = 0.

Решение:

Замена: x 2 = t.

t 2 + 5t – 36 = 0. Корените на равенката се t 1 = -9 и t 2 = 4.

x 2 = -9 или x 2 = 4.

Одговор: Во првата равенка нема корени, но во втората: x = ±2.

Пример 2:

Решете ја равенката (2х – 1) 4 – 25 (2x – 1) 2 + 144 = 0.

Решение:

Замена: (2x – 1) 2 = t.

t 2 – 25t + 144 = 0. Корените на равенката се t 1 = 9 и t 2 = 16.

(2x – 1) 2 = 9 или (2x – 1) 2 = 16.

2x – 1 = ±3 или 2x – 1 = ±4.

Првата равенка има два корени: x = 2 и x = -1, втората исто така има два корени: x = 2,5 и x = -1,5.

Одговор: -1,5; -1; 2; 2.5.

1) X 4 - 9 X 2 = 0; 2) 4 X 4 - x 2 = 0;

1) X 4 + x 2 - 2 = 0;

2) X 4 - 3 X 2 - 4 = 0; 3) 9 X 4 + 8 X 2 - 1 = 0; 4) 20 X 4 - X 2 - 1 = 0.

Решавајте равенки со избирање од левата страна полн квадрат :

1) X 4 - 20 X 2 + 64 = 0; 2) X 4 - 13 X 2 + 36 = 0; 3) X 4 - 4 X 2 + 1 = 0; 4) X 4 + 2 X 2 +1 = 0.

! Запомнете го квадратот на збирот и квадратот на разликата

Рационално изразувањее алгебарски израз составен од броеви и променлива xкористејќи ги операциите собирање, одземање, множење, делење и степенување со природен показател.

Ако r(x)е рационален израз, потоа равенката r(x)=0наречена рационална равенка.

Алгоритам за решавање на рационална равенка:

1. Поместете ги сите членови од равенката на едната страна.

2. Претворете го овој дел од равенката во алгебарска дропка p(x)/q(x)

3. Решете ја равенката p(x)=0

4. За секој корен од равенката p(x)=0проверете дали го задоволува условот q(x)≠0или не. Ако да, тогаш ова е коренот на дадената равенка; ако не, тогаш тоа е надворешен корен и не треба да се вклучува во одговорот.

! Да се ​​потсетиме на решението на фракционата рационална равенка:

! За да се решат равенките, корисно е да се потсетиме на скратените формули за множење:

Ако равенката содржи променлива под знакот на квадратен корен, тогаш равенката се нарекува ирационален .

Начин на квадратура на двете страни на равенката- главниот метод за решавање на ирационални равенки.

Откако ќе ја решите добиената рационална равенка, неопходно е да провери , отстранување на можните надворешни корени.

Одговор: 5; 4

Друг пример:

Испитување:

Изразот нема значење.

Одговор:нема решенија.