Соседни агли во правоаголен триаголник. Кои агли се нарекуваат соседни Колку е збирот на соседните агли?

Како да пронајдете соседен агол?

Математиката е најстарата егзактна наука, која задолжително се изучува во училиштата, факултетите, институтите и универзитетите. Сепак, основното знаење секогаш се поставува на училиште. Понекогаш, на детето му се даваат доста сложени задачи, но родителите не можат да помогнат, бидејќи едноставно заборавиле некои работи од математиката. На пример, како да се најде соседен агол врз основа на големината на главниот агол, итн. Проблемот е едноставен, но може да предизвика потешкотии во решавањето поради незнаење кои агли се нарекуваат соседни и како да се најдат.

Да ги разгледаме подетално дефиницијата и својствата на соседните агли, како и како да ги пресметаме од податоците во проблемот.

Дефиниција и својства на соседните агли

Два зраци кои произлегуваат од една точка формираат фигура наречена „агол на рамнина“. Во овој случај, оваа точка се нарекува теме на аголот, а зраците се неговите страни. Ако продолжите со еден од зраците надвор од почетната точка во права линија, тогаш се формира друг агол, кој се нарекува соседен. Секој агол во овој случај има два соседни агли, бидејќи страните на аголот се еквивалентни. Тоа е, секогаш постои соседен агол од 180 степени.

Главните својства на соседните агли вклучуваат

• Соседните агли имаат заедничко теме и една страна;
• Збирот на соседните агли е секогаш еднаков на 180 степени или бројот Pi ако пресметката се врши во радијани;
• Синусите на соседните агли се секогаш еднакви;
• Косинусите и тангентите на соседните агли се еднакви, но имаат спротивни знаци.

Како да пронајдете соседни агли

Обично се дадени три варијации на проблеми за да се најде големината на соседните агли

• Дадена е вредноста на главниот агол;
• Даден е односот на главниот и соседниот агол;
• Дадена е вредноста на вертикалниот агол.

Секоја верзија на проблемот има свое решение. Ајде да ги погледнеме.

Дадена е вредноста на главниот агол

Ако проблемот ја одредува вредноста на главниот агол, тогаш наоѓањето на соседниот агол е многу едноставно. За да го направите ова, само одземете ја вредноста на главниот агол од 180 степени и ќе ја добиете вредноста на соседниот агол. Ова решение се заснова на својството на соседниот агол - збирот на соседните агли е секогаш еднаков на 180 степени.

Ако вредноста на главниот агол е дадена во радијани и проблемот бара наоѓање на соседниот агол во радијани, тогаш потребно е да се одземе вредноста на главниот агол од бројот Pi, бидејќи вредноста на целосно расклопениот агол од 180 степени е еднаков на бројот Пи.

Даден е односот на главниот и соседниот агол

Проблемот може да го даде односот на главниот и соседниот агол наместо степените и радијаните на главниот агол. Во овој случај, решението ќе изгледа како равенка на пропорција:

1. Пропорцијата на главниот агол ја означуваме како променлива „Y“.
2. Дропката поврзана со соседниот агол е означена како променлива „X“.
3. Бројот на степени што паѓаат на секоја пропорција ќе биде означен, на пример, со „а“.
4. Општата формула ќе изгледа вака - a*X+a*Y=180 или a*(X+Y)=180.
5. Заедничкиот фактор на равенката „а“ го наоѓаме со помош на формулата a=180/(X+Y).
6. Потоа ја множиме добиената вредност на заедничкиот фактор „а“ со делот од аголот што треба да се одреди.

На овој начин можеме да ја најдеме вредноста на соседниот агол во степени. Меѓутоа, ако треба да најдете вредност во радијани, тогаш едноставно треба да ги претворите степените во радијани. За да го направите ова, помножете го аголот во степени со Pi и поделете сè за 180 степени. Добиената вредност ќе биде во радијани.

Дадена е вредноста на вертикалниот агол

Ако проблемот не ја дава вредноста на главниот агол, туку е дадена вредноста на вертикалниот агол, тогаш соседниот агол може да се пресмета со истата формула како во првиот пасус, каде што е дадена вредноста на главниот агол.

Вертикален агол е агол кој потекнува од истата точка како и главниот, но е насочен токму во спротивна насока. Ова резултира со огледална слика. Ова значи дека вертикалниот агол е еднаков по големина на главниот. За возврат, соседниот агол на вертикалниот агол е еднаков на соседниот агол на главниот агол. Благодарение на ова, може да се пресмета соседниот агол на главниот агол. За да го направите ова, едноставно одземете ја вертикалната вредност од 180 степени и добијте ја вредноста на соседниот агол на главниот агол во степени.

Ако вредноста е дадена во радијани, тогаш потребно е да се одземе вредноста на вертикалниот агол од бројот Pi, бидејќи вредноста на целосниот расклопен агол од 180 степени е еднаква на бројот Pi.

Можете исто така да ги прочитате нашите корисни написи и.

1. Соседни агли.

Ако ја прошириме страната на кој било агол надвор од неговото теме, ќе добиеме два агли (сл. 72): ∠ABC и ∠CBD, во кои едната страна BC е заедничка, а другите две, AB и BD, формираат права линија.

Два агли во кои едната страна е заедничка, а другите два прави права се нарекуваат соседни агли.

Соседните агли може да се добијат и на овој начин: ако нацртаме зрак од некоја точка на права (не лежи на дадена права), ќе добиеме соседни агли.

На пример, ∠ADF и ∠FDB се соседни агли (сл. 73).

Соседните агли може да имаат широк спектар на позиции (сл. 74).

Соседните агли се собираат до прав агол, така збирот на два соседни агли е 180°

Оттука, прав агол може да се дефинира како агол еднаков на неговиот соседен агол.

Знаејќи ја големината на еден од соседните агли, можеме да ја најдеме големината на другиот агол во непосредна близина на него.

На пример, ако еден од соседните агли е 54°, тогаш вториот агол ќе биде еднаков на:

180° - 54° = l26°.

2. Вертикални агли.

Ако ги прошириме страните на аголот надвор од неговото теме, добиваме вертикални агли. На слика 75, аглите EOF и AOC се вертикални; аглите AOE и COF се исто така вертикални.

Два агли се нарекуваат вертикални ако страните на едниот агол се продолжение на страните на другиот агол.

Нека ∠1 = \(\frac(7)(8)\) ⋅ 90°(сл. 76). ∠2 во непосредна близина на него ќе биде еднакво на 180° - \(\frac(7)(8)\) ⋅ 90°, односно 1\(\frac(1)(8)\) ⋅ 90°.

На ист начин, можете да пресметате на што се еднакви ∠3 и ∠4.

∠3 = 180° - 1\(\frac(1)(8)\) ⋅ 90° = \(\frac(7)(8)\) ⋅ 90°;

∠4 = 180° - \(\frac(7)(8)\) ⋅ 90° = 1\(\frac(1)(8)\) ⋅ 90° (сл. 77).

Гледаме дека ∠1 = ∠3 и ∠2 = ∠4.

Можете да решите уште неколку исти проблеми и секој пат ќе го добиете истиот резултат: вертикалните агли се еднакви еден на друг.

Меѓутоа, за да се осигураме дека вертикалните агли се секогаш еднакви еден со друг, не е доволно да се земат предвид поединечни нумерички примери, бидејќи заклучоците извлечени од одредени примери понекогаш може да бидат погрешни.

Неопходно е да се потврди валидноста на својствата на вертикалните агли со доказ.

Доказот може да се изврши на следниов начин (сл. 78):

∠a+∠в= 180°;

∠b+∠в= 180°;

(бидејќи збирот на соседните агли е 180°).

∠a+∠в = ∠b+∠в

(бидејќи левата страна на оваа еднаквост е еднаква на 180 °, а нејзината десна страна е исто така еднаква на 180 °).

Оваа еднаквост го вклучува истиот агол Со.

Ако од еднаквите количини одземеме еднакви количини, тогаш ќе останат еднакви количини. Резултатот ќе биде: ∠а = ∠б, односно вертикалните агли се еднакви еден на друг.

3. Збир на агли кои имаат заедничко теме.

На слика 79, ∠1, ∠2, ∠3 и ∠4 се наоѓаат на едната страна од правата и имаат заедничко теме на оваа права. Сумирано, овие агли сочинуваат прав агол, т.е.

∠1 + ∠2 + ∠3 + ∠4 = 180°.

На слика 80, ∠1, ∠2, ∠3, ∠4 и ∠5 имаат заедничко теме. Овие агли се собираат до полн агол, т.е. ∠1 + ∠2 + ∠3 + ∠4 + ∠5 = 360°.

Два агли се нарекуваат соседни ако имаат една заедничка страна, а другите страни на овие агли се комплементарни зраци. На слика 20, аглите AOB и BOC се соседни.

Збирот на соседните агли е 180°

Теорема 1. Збирот на соседните агли е 180°.

Доказ. Зракот OB (види слика 1) поминува помеѓу страните на расклопениот агол. Затоа ∠ AOB + ∠ BOS = 180°.

Од теорема 1 следува дека ако два агли се еднакви, тогаш нивните соседни агли се еднакви.

Вертикалните агли се еднакви

Два агли се нарекуваат вертикални ако страните на едниот агол се комплементарни зраци на страните на другиот. Аглите AOB и COD, BOD и AOC, формирани на пресекот на две прави линии, се вертикални (сл. 2).

Теорема 2. Вертикалните агли се еднакви.

Доказ. Да ги разгледаме вертикалните агли AOB и COD (види слика 2). Аголот BOD е во непосредна близина на секој од аглите AOB и COD. Со теорема 1 ∠ AOB + ∠ BOD = 180°, ∠ COD + ∠ BOD = 180°.

Од ова заклучуваме дека ∠ AOB = ∠ COD.

Заклучок 1. Агол близок до прав агол е прав агол.

Размислете за две пресечни права AC и BD (сл. 3). Тие формираат четири агли. Ако еден од нив е исправен (агол 1 на слика 3), тогаш и останатите агли се правилни (аглите 1 и 2, 1 и 4 се соседни, аглите 1 и 3 се вертикални). Во овој случај, тие велат дека овие линии се сечат под прав агол и се нарекуваат нормални (или меѓусебно нормални). Перпендикуларноста на правите AC и BD се означува на следниов начин: AC ⊥ BD.

Нормална симетрала на отсечка е права нормална на оваа отсечка и минува низ нејзината средна точка.

AN - нормално на права

Размислете за права линија a и точка A што не лежи на неа (сл. 4). Да ја поврземе точката А со отсечка со точката H со права а. Отсечката AN се нарекува нормална извлечена од точката A до правата a ако правата AN и a се нормални. Точката H се нарекува основа на нормалната.

Плоштад за цртање

Следната теорема е вистинита.

Теорема 3. Од која било точка што не лежи на права, можно е да се повлече нормална на оваа права, а згора на тоа, само една.

За да нацртате нормална од точка до права линија на цртеж, користете квадрат за цртање (слика 5).

Коментар. Формулирањето на теоремата обично се состои од два дела. Еден дел зборува за даденото. Овој дел се нарекува услов на теоремата. Во другиот дел се зборува за тоа што треба да се докаже. Овој дел се нарекува заклучок на теоремата. На пример, условот на теорема 2 е аглите да се вертикални; заклучок - овие агли се еднакви.

Секоја теорема може детално да се изрази со зборови, така што нејзината состојба започнува со зборот „ако“ и нејзиниот заклучок со зборот „тогаш“. На пример, теоремата 2 може детално да се наведе на следниов начин: „Ако два агли се вертикални, тогаш тие се еднакви“.

Пример 1.Еден од соседните агли е 44°. На што е еднакво другиот?

Решение. Да ја означиме степенската мерка на друг агол со x, тогаш според теорема 1.
44° + x = 180°.
Решавајќи ја добиената равенка, наоѓаме дека x = 136°. Според тоа, другиот агол е 136°.

Пример 2.Нека аголот COD на слика 21 е 45°. Кои се аглите AOB и AOC?

Решение. Аглите COD и AOB се вертикални, затоа според теорема 1.2 тие се еднакви, т.е. ∠ AOB = 45°. Аголот AOC е во непосредна близина на аголот COD, што значи според теорема 1.
∠ AOC = 180° - ∠ COD = 180° - 45° = 135°.

Пример 3.Најдете соседни агли ако еден од нив е 3 пати поголем од другиот.

Решение. Степенот на помалиот агол да го означиме со x. Тогаш степенот мерка на поголемиот агол ќе биде 3x. Бидејќи збирот на соседните агли е еднаков на 180° (теорема 1), тогаш x + 3x = 180°, од каде x = 45°.
Ова значи дека соседните агли се 45° и 135°.

Пример 4.Збирот на два вертикални агли е 100°. Најдете ја големината на секој од четирите агли.

Решение. Нека Слика 2 ги исполнува условите на задачата.Вертикалните агли COD до AOB се еднакви (теорема 2), што значи дека и нивните мерки за степен се еднакви. Затоа, ∠ COD = ∠ AOB = 50° (нивната сума според условот е 100°). Аголот BOD (исто така аголот AOC) е во непосредна близина на аголот COD, и затоа, според теорема 1
∠ BOD = ∠ AOC = 180° - 50° = 130°.

Прашање 1.Кои агли се нарекуваат соседни?
Одговори.Два агли се нарекуваат соседни ако имаат една заедничка страна, а другите страни на овие агли се комплементарни полуправи.
На слика 31, аглите (a 1 b) и (a 2 b) се соседни. Тие имаат заедничка страна b, а страните a 1 и a 2 се дополнителни полуправи.

Прашање 2.Докажете дека збирот на соседните агли е 180°.
Одговори. Теорема 2.1.Збирот на соседните агли е 180°.
Доказ.Нека аголот (a 1 b) и аголот (a 2 b) се дадени соседни агли (види слика 31). Зракот b минува помеѓу страните a 1 и a 2 со прав агол. Според тоа, збирот на аглите (a 1 b) и (a 2 b) е еднаков на расклопениот агол, т.е. 180°. Q.E.D.

Прашање 3.Докажете дека ако два агли се еднакви, тогаш и нивните соседни агли се еднакви.
Одговори.

Од теоремата 2.1 Следи дека ако два агли се еднакви, тогаш нивните соседни агли се еднакви.
Да речеме дека аглите (a 1 b) и (c 1 d) се еднакви. Треба да докажеме дека и аглите (a 2 b) и (c 2 d) се еднакви.
Збирот на соседните агли е 180°. Од ова произлегува дека a 1 b + a 2 b = 180° и c 1 d + c 2 d = 180°. Оттука, a 2 b = 180° - a 1 b и c 2 d = 180° - c 1 d. Бидејќи аглите (a 1 b) и (c 1 d) се еднакви, добиваме дека a 2 b = 180° - a 1 b = c 2 d. Според својството на транзитивност на знакот за еднаквост следува дека a 2 b = c 2 d. Q.E.D.

Прашање 4.Кој агол се нарекува правилен (акутен, тап)?
Одговори.Аголот еднаков на 90° се нарекува прав агол.
Агол помал од 90° се нарекува остар агол.
Аголот поголем од 90° и помал од 180° се нарекува тап.

Прашање 5.Докажете дека аголот блиску до прав агол е прав агол.
Одговори.Од теоремата за збирот на соседните агли следува дека аголот блиску до прав агол е прав агол: x + 90° = 180°, x = 180° - 90°, x = 90°.

Прашање 6.Кои агли се нарекуваат вертикални?
Одговори.Два агли се нарекуваат вертикални ако страните на едниот агол се комплементарни полуправи на страните на другиот.

Прашање 7.Докажете дека вертикалните агли се еднакви.
Одговори. Теорема 2.2. Вертикалните агли се еднакви.
Доказ.Нека (a 1 b 1) и (a 2 b 2) се дадените вертикални агли (сл. 34). Аголот (a 1 b 2) е во непосредна близина на аголот (a 1 b 1) и на аголот (a 2 b 2). Оттука, користејќи ја теоремата за збирот на соседните агли, заклучуваме дека секој од аглите (a 1 b 1) и (a 2 b 2) го надополнува аголот (a 1 b 2) до 180°, т.е. аглите (a 1 b 1) и (a 2 b 2) се еднакви. Q.E.D.

Прашање 8.Докажете дека ако, кога се сечат две прави, еден од аглите е прав, тогаш и другите три агли се правилни.
Одговори.Да претпоставиме дека линиите AB и CD се сечат една со друга во точката O. Да претпоставиме дека аголот AOD е 90°. Бидејќи збирот на соседните агли е 180°, добиваме дека AOC = 180° - AOD = 180° - 90° = 90°. Аголот COB е вертикален на аголот AOD, така што тие се еднакви. Тоа е, агол COB = 90 °. Аголот COA е вертикален на аголот BOD, така што тие се еднакви. Односно, агол BOD = 90°. Така, сите агли се еднакви на 90°, односно сите се прави агли. Q.E.D.

Прашање 9.Кои прави се нарекуваат нормални? Кој знак се користи за означување на нормалноста на правата?
Одговори.Две прави се нарекуваат нормални ако се сечат под прав агол.
Перпендикуларноста на линиите е означена со знакот \(\perp\). Влезот \(a\perp b\) гласи: „Линија a е нормална на правата b“.

Прашање 10.Докажете дека низ која било точка на правата можете да нацртате права нормална на неа, и тоа само една.
Одговори. Теорема 2.3.Преку секоја линија можете да нацртате линија нормална на неа, и тоа само една.
Доказ.Нека a е дадена права и A дадена точка на неа. Да означиме со a 1 една од полуправите на правата a со почетната точка A (сл. 38). Да одземеме агол (a 1 b 1) еднаков на 90° од полуправата a 1. Тогаш правата линија што го содржи зракот b 1 ќе биде нормална на правата а.

Да претпоставиме дека има уште една права, која исто така минува низ точката А и е нормална на правата a. Да ја означиме со c 1 полуправата на оваа права која лежи во истата полурамнина со зракот b 1 .
Аглите (a 1 b 1) и (a 1 c 1), секој еднаков на 90°, се поставени во една полурамнина од полуправата a 1. Но, од полуправата a 1 може да се стави само еден агол еднаков на 90° во дадена полурамнина. Според тоа, не може да има друга права што минува низ точката А и нормална на правата a. Теоремата е докажана.

Прашање 11.Што е нормално на права?
Одговори.Нормална на дадена права е отсечка од права нормална на дадена права, која има еден од нејзините краеви на нивната пресечна точка. Овој крај на сегментот се нарекува основанормално.

Прашање 12.Објасни од што се состои доказот со противречност.
Одговори.Доказниот метод што го користевме во теорема 2.3 се нарекува доказ со контрадикција. Овој метод на докажување се состои од тоа прво да се направи претпоставка спротивна на она што го наведува теоремата. Потоа, со расудување, потпирајќи се на аксиоми и докажани теореми, доаѓаме до заклучок кој е во спротивност или со условите на теоремата, или со една од аксиомите, или со претходно докажана теорема. Врз основа на ова, заклучуваме дека нашата претпоставка е неточна, и затоа изјавата на теоремата е вистинита.

Прашање 13.Која е симетралата на аголот?
Одговори.Симетралата на аголот е зрак што излегува од темето на аголот, поминува меѓу неговите страни и го дели аголот на половина.

Познатата вредност на главниот агол α1 = α2 = 180°-α.

Од ова има. Ако два агли се и соседни и еднакви, тогаш тие се прави агли. Ако еден од соседните агли е прав, односно 90 степени, тогаш и другиот агол е прав. Ако еден од соседните агли е акутен, тогаш другиот ќе биде тап. Слично на тоа, ако еден од аглите е тап, тогаш вториот, соодветно, ќе биде акутен.

Акутен агол е оној чија мерка на степен е помала од 90 степени, но поголема од 0. Тап агол има степен мерка поголема од 90 степени, но помала од 180.

Друго својство на соседните агли е формулирано на следниов начин: ако два агли се еднакви, тогаш аглите соседни до нив се исто така еднакви. Ова значи дека ако има два агли за кои мерката на степенот е иста (на пример, таа е 50 степени) и во исто време еден од нив има соседен агол, тогаш вредностите на овие соседни агли исто така се совпаѓаат ( во примерот, нивната мерка за степен ќе биде еднаква на 130 степени).

Извори:

• Голем енциклопедиски речник - соседни агли
• агол од 180 степени

Зборот "" има различни толкувања. Во геометријата, аголот е дел од рамнина ограничена со два зраци кои произлегуваат од една точка - темето. Кога зборуваме за прави, акутни и отпуштени агли, мислиме на геометриски агли.

Како и сите фигури во геометријата, аглите може да се споредат. Еднаквоста на аглите се одредува со помош на движење. Лесно е да се подели аголот на два еднакви делови. Поделбата на три дела е малку потешко, но сепак може да се направи со помош на линијар и компас. Патем, оваа задача изгледаше доста тешка. Опишувањето дека еден агол е поголем или помал од друг е геометриски едноставно.

Мерната единица за агли е 1/180 од развиениот агол. Големината на аголот е бројка што покажува колку аголот избран како мерна единица се вклопува во сликата за која станува збор.

Секој агол има степен мерка поголема од нула. Прав агол е 180 степени. Мерката на степенот на аголот се смета за еднаква на збирот на мерките на степенот на аглите на кои тој е поделен со кој било зрак на рамнината ограничена со неговите страни.

Агол со одреден степен мерка што не надминува 180 може да се нацрта од кој било зрак во дадена рамнина. Покрај тоа, ќе има само еден таков агол. Мерката на рамнински агол, која е дел од полурамнина, е степенот на мерка на агол со слични страни. Мерката на рамнината на аголот што содржи полурамнина е вредноста 360 ~ α, каде α е степенот мерка на комплементарниот агол на рамнината.

Мерката на степенот на аголот овозможува да се премести од геометриски опис на нумерички. Значи, прав агол е агол еднаков на 90 степени, тап агол е агол помал од 180 степени, но поголем од 90, акутен агол не надминува 90 степени.

Покрај степените, постои и радијанска мерка за агол. Во планиметријата, должината е L, радиусот е r, а соодветниот централен агол е α. Покрај тоа, овие параметри се поврзани со релацијата α = L/r. Ова е основата на радијанската мерка на аглите. Ако L=r, тогаш аголот α ќе биде еднаков на еден радијан. Значи, радијанската мерка на аголот е односот на должината на лакот нацртан со произволен радиус и затворен помеѓу страните на овој агол до радиусот на лакот. Целосната ротација во степени (360 степени) одговара на 2π во радијани. Едниот е 57,2958 степени.

Видео на темата

Извори:

• степен мерка на агли формула