Apakah ekstrem fungsi: titik kritikal maksimum dan minimum.
Apakah ekstrem bagi suatu fungsi dan apakah syarat yang diperlukan untuk ekstremum?
Ekstrem fungsi ialah maksimum dan minimum fungsi.
Syarat yang diperlukan untuk maksimum dan minimum (ekstrem) fungsi adalah seperti berikut: jika fungsi f(x) mempunyai ekstrem pada titik x = a, maka pada titik ini terbitan adalah sama ada sifar, atau tak terhingga, atau tidak. tidak wujud.
Syarat ini perlu, tetapi tidak mencukupi. Terbitan pada titik x = a boleh lenyap, pergi ke infiniti, atau tidak wujud tanpa fungsi mempunyai ekstrem pada ketika ini.
Apakah syarat yang mencukupi untuk ekstrem fungsi (maksimum atau minimum)?
Syarat pertama:
Jika, dalam jarak yang mencukupi dengan titik x = a, terbitan f?(x) adalah positif di sebelah kiri a dan negatif di sebelah kanan a, maka pada titik x = a itu sendiri, fungsi f(x) mempunyai maksimum
Jika, dalam jarak yang mencukupi dengan titik x = a, terbitan f?(x) adalah negatif di sebelah kiri a dan positif di sebelah kanan a, maka pada titik x = a itu sendiri, fungsi f(x) mempunyai minimum dengan syarat bahawa fungsi f(x) adalah selanjar di sini.
Sebaliknya, anda boleh menggunakan syarat mencukupi kedua untuk extremum fungsi:
Biarkan pada titik x = dan terbitan pertama f? (x) lenyap; jika terbitan kedua f??(а) adalah negatif, maka fungsi f(x) mempunyai maksimum pada titik x = a, jika ia positif, maka minimum.
Apakah titik kritikal fungsi dan bagaimana untuk mencarinya?
Ini ialah nilai hujah fungsi di mana fungsi mempunyai ekstrem (iaitu maksimum atau minimum). Untuk mencarinya, anda perlu cari terbitan fungsi f?(x) dan, menyamakannya dengan sifar, selesaikan persamaan f?(x) = 0. Punca-punca persamaan ini, serta titik-titik di mana terbitan fungsi ini tidak wujud, adalah titik kritikal, iaitu, nilai-nilai hujah yang mungkin terdapat ekstrem . Mereka boleh dikenal pasti dengan mudah dengan melihat graf terbitan: kami berminat dengan nilai hujah di mana graf fungsi bersilang dengan paksi absis (paksi lembu) dan nilai di mana graf mengalami pecah.
Sebagai contoh, mari kita cari ekstrem parabola.
Fungsi y(x) = 3x2 + 2x - 50.
Derivatif fungsi: y?(x) = 6x + 2
Kami menyelesaikan persamaan: y?(x) = 0
6x + 2 = 0, 6x = -2, x = -2/6 = -1/3
Dalam kes ini, titik kritikal ialah x0=-1/3. Ia adalah untuk nilai hujah ini yang mempunyai fungsi melampau. Untuk mendapatkannya cari, kami menggantikan nombor yang ditemui dalam ungkapan untuk fungsi dan bukannya "x":
y0 = 3*(-1/3)2 + 2*(-1/3) - 50 = 3*1/9 - 2/3 - 50 = 1/3 - 2/3 - 50 = -1/3 - 50 = -50.333.
Bagaimana untuk menentukan maksimum dan minimum fungsi, i.e. nilai terbesar dan terkecilnya?
Jika tanda derivatif berubah daripada "tambah" kepada "tolak" apabila melalui titik genting x0, maka x0 ialah titik maksimum; jika tanda derivatif berubah daripada tolak kepada tambah, maka x0 ialah titik minimum; jika tanda tidak berubah, maka pada titik x0 tidak ada maksimum atau minimum.
Untuk contoh yang dipertimbangkan:
Kami mengambil nilai arbitrari argumen di sebelah kiri titik kritikal: x = -1
Apabila x = -1, nilai terbitan ialah y? (-1) = 6 * (-1) + 2 = -6 + 2 = -4 (iaitu, tanda tolak).
Sekarang kita mengambil nilai arbitrari argumen di sebelah kanan titik kritikal: x = 1
Untuk x = 1, nilai terbitan ialah y(1) = 6 * 1 + 2 = 6 + 2 = 8 (iaitu, tanda tambah).
Seperti yang anda lihat, apabila melalui titik kritikal, derivatif menukar tanda daripada tolak kepada tambah. Ini bermakna pada nilai kritikal x0 kita mempunyai titik minimum.
Nilai terbesar dan terkecil fungsi pada selang waktu(pada segmen) ditemui dengan prosedur yang sama, hanya dengan mengambil kira fakta bahawa, mungkin, tidak semua titik kritikal akan terletak dalam selang waktu yang ditentukan. Titik kritikal yang berada di luar selang mesti dikecualikan daripada pertimbangan. Jika terdapat hanya satu titik kritikal di dalam selang, ia akan sama ada mempunyai maksimum atau minimum. Dalam kes ini, untuk menentukan nilai terbesar dan terkecil fungsi, kami juga mengambil kira nilai fungsi pada hujung selang.
Sebagai contoh, mari cari nilai terbesar dan terkecil bagi fungsi tersebut
y (x) \u003d 3 dosa (x) - 0.5x
pada selang waktu:
Jadi terbitan bagi fungsi tersebut ialah
y?(x) = 3cos(x) - 0.5
Kami menyelesaikan persamaan 3cos(x) - 0.5 = 0
cos(x) = 0.5/3 = 0.16667
x \u003d ± arccos (0.16667) + 2πk.
Kami mencari titik kritikal pada selang [-9; 9]:
x \u003d arccos (0.16667) - 2π * 2 \u003d -11.163 (tidak termasuk dalam selang)
x \u003d -arccos (0.16667) - 2π * 1 \u003d -7.687
x \u003d arccos (0.16667) - 2π * 1 \u003d -4.88
x \u003d -arccos (0.16667) + 2π * 0 \u003d -1.403
x \u003d arccos (0.16667) + 2π * 0 \u003d 1.403
x \u003d -arccos (0.16667) + 2π * 1 \u003d 4.88
x \u003d arccos (0.16667) + 2π * 1 \u003d 7.687
x \u003d -arccos (0.16667) + 2π * 2 \u003d 11.163 (tidak termasuk dalam selang)
Kami mencari nilai fungsi pada nilai kritikal hujah:
y(-7.687) = 3cos(-7.687) - 0.5 = 0.885
y(-4.88) = 3cos(-4.88) - 0.5 = 5.398
y(-1.403) = 3cos(-1.403) - 0.5 = -2.256
y(1.403) = 3cos(1.403) - 0.5 = 2.256
y(4.88) = 3cos(4.88) - 0.5 = -5.398
y(7.687) = 3cos(7.687) - 0.5 = -0.885
Ia boleh dilihat bahawa pada selang [-9; 9] fungsi mempunyai nilai terbesar pada x = -4.88:
x = -4.88, y = 5.398,
dan yang terkecil - pada x = 4.88:
x = 4.88, y = -5.398.
Pada selang [-6; -3] kita hanya mempunyai satu titik kritikal: x = -4.88. Nilai fungsi pada x = -4.88 ialah y = 5.398.
Kami mencari nilai fungsi pada hujung selang:
y(-6) = 3cos(-6) - 0.5 = 3.838
y(-3) = 3cos(-3) - 0.5 = 1.077
Pada selang [-6; -3] kita mempunyai nilai terbesar bagi fungsi tersebut
y = 5.398 pada x = -4.88
nilai terkecil ialah
y = 1.077 pada x = -3
Bagaimana untuk mencari titik infleksi graf fungsi dan menentukan sisi cembung dan cekung?
Untuk mencari semua titik infleksi garis y \u003d f (x), anda perlu mencari derivatif kedua, samakannya dengan sifar (selesaikan persamaan) dan uji semua nilai x yang mana derivatif kedua adalah sifar , tidak terhingga atau tidak wujud. Jika, apabila melalui salah satu nilai ini, derivatif kedua berubah tanda, maka graf fungsi mempunyai infleksi pada ketika ini. Jika ia tidak berubah, maka tidak ada perubahan.
Punca-punca persamaan f ? (x) = 0, serta kemungkinan titik ketakselanjaran fungsi dan terbitan kedua, bahagikan domain fungsi itu kepada beberapa selang. Kecembungan pada setiap selangnya ditentukan oleh tanda terbitan kedua. Jika terbitan kedua pada satu titik pada selang yang dikaji adalah positif, maka garis y = f(x) adalah cekung ke atas di sini, dan jika ia negatif, maka ke bawah.
Bagaimana untuk mencari ekstrem fungsi dua pembolehubah?
Untuk mencari ekstrem bagi fungsi f(x, y), boleh dibezakan dalam kawasan tugasannya, anda perlukan:
1) cari titik kritikal, dan untuk ini, selesaikan sistem persamaan
fx? (x,y) = 0, fy? (x,y) = 0
2) bagi setiap titik kritikal P0(a;b), siasat sama ada tanda perbezaan itu kekal tidak berubah
untuk semua titik (x; y) cukup hampir kepada P0. Jika perbezaan mengekalkan tanda positif, maka pada titik P0 kita mempunyai minimum, jika negatif, maka maksimum. Jika perbezaan tidak mengekalkan tandanya, maka tidak ada ekstrem pada titik Р0.
Begitu juga, extrema fungsi ditentukan untuk bilangan argumen yang lebih besar.
Apakah laman web rasmi penyanyi Mika Newton dan kumpulannya
Keajaiban Ukraine baharu - Mika Newton! Ini adalah kumpulan 5 orang bermain pop-rock, menikmati kehidupan, memberi dorongan dan melihat secara positif kehidupan ini. Lelaki itu berkumpul di Kiev, tempat mereka tinggal sekarang. Lelaki itu tidak bersetuju dengan asas standard dalam muzik dan kehidupan, menemui bunyi baharu mereka dan melanggar semua jenis piawaian. Ketua pasukan -
Bagaimana untuk menukar mililiter kepada meter padu
Unit asas panjang dalam sistem SI ialah meter. Berdasarkan ini, unit asas isipadu harus dianggap sebagai meter padu, atau, kerana ia juga dipanggil, meter padu atau meter padu. Ini ialah isipadu kubus dengan tepi sama dengan satu meter. Walau bagaimanapun, dalam amalan tidak selalunya mudah untuk menyatakan isipadu dalam meter padu. Sebagai contoh, adalah mudah untuk menyatakan isipadu bilik dalam meter padu: darab panjang
Apakah kandungan kalori semolina
Makanan kalori, jadual kalori. Keperluan tenaga manusia diukur dalam kilokalori (kcal). Perkataan "kalori" berasal dari bahasa Latin dan bermaksud "kehangatan". Dalam fizik, tenaga diukur dalam kalori. Satu kilokalori ialah jumlah tenaga
Apakah peringkat perkembangan realisme dalam sastera
Realisme (lat. nyata, nyata) ialah aliran dalam kesusasteraan dan seni yang bertujuan untuk menghasilkan semula realiti dalam ciri tipikalnya. Ciri biasa: Gambaran artistik kehidupan dalam imej, sepadan dengan intipati fenomena kehidupan itu sendiri. Hakikat adalah alat pengetahuan manusia tentang dirinya dan dunia sekelilingnya. Menaip
Apakah hubungan antara berkelium dan unsur ke-117 dalam jadual berkala
Berkelium, Berkelium, Bk - unsur ke-97 dalam jadual berkala. Ditemui pada Disember 1949 oleh Thompson, Ghiorso dan Seaborg di Universiti California di Berkeley. Dengan menyinari 241Am dengan zarah alfa, mereka memperoleh isotop Berkelium 243Bk. Kerana Bk secara strukturnya serupa dengan terbium, yang mengambil namanya daripada En. Ytterby dalam
Apakah yang terkenal dengan Yaroslav the Wise?
Yaroslav the Wise (980-1054), Grand Duke of Kiev (1019). Anak kepada Vladimir I Svyatoslavovich. Dia mengusir Svyatopolk I yang Terkutuk, berperang dengan saudaranya Mstislav, membahagikan negeri dengannya (1025), dan pada 1035 menyatukannya semula. Beberapa kemenangan telah menjamin sempadan selatan dan barat Rusia. Menjalin hubungan dinasti dengan banyak negara Ev
Bagaimana tradisi menjerit "Pahit!"
Pada zaman dahulu, terdapat tradisi untuk menjerit semasa kenduri perkahwinan: "Pahit!", Memaksa pengantin baru bangun dari tempat duduk mereka dan mencium. Hari ini, ramai yang tidak meneka apa maksud upacara ini.Pada zaman dahulu, di majlis perkahwinan, mereka menjerit "Pahit!", menjelaskan bahawa wain di dalam mangkuk didakwa tidak manis. A
Apakah gejala laringitis
Laryngitis (dari bahasa Greek lain λ?ρυγξ - laring) adalah keradangan laring, biasanya dikaitkan dengan selsema atau penyakit berjangkit seperti campak, demam merah, batuk kokol. Perkembangan penyakit ini difasilitasi oleh hipotermia, bernafas melalui mulut, berdebu
Sama ada jantina dan deklinasi ditentukan untuk kata nama yang hanya mempunyai bentuk jamak
Nombor ialah kategori tatabahasa yang menyatakan ciri kuantitatif sesuatu objek. 1. Kebanyakan kata nama berubah mengikut nombor, iaitu. Ia mempunyai dua bentuk - tunggal dan jamak. Dalam bentuk tunggal, kata nama menandakan satu objek, dalam bentuk jamak, beberapa objek:
Apakah bubur Rusia yang berguna
Bubur Buckwheat Buckwheat adalah bijirin istimewa. Daripada itu, ternyata, mungkin, salah satu bijirin yang paling berguna. Tidak hairanlah kami memanggilnya yang pertama. Soba mengandungi serat, pelbagai jenis vitamin - E, PP, B1, B2, asid folik dan organik, serta peratusan besar kanji, yang menyumbang kepada pengambilan jumlah neo yang betul
Peta interaktif bandar Arkhangelsk boleh dilihat di tapak berikut: Peta1 - satelit dan peta piawai, Peta2 - peta piawai (1:350,000); Map3 - terdapat nama jalan, nombor rumah, carian mengikut jalan mungkin; Map4 - peta dengan nama jalan; Map5 - peta interaktif bandar; Map6 - peta interaktif bandar.
Fungsi melampau
Definisi 2
Titik $x_0$ dipanggil titik maksimum bagi fungsi $f(x)$ jika wujud kejiranan titik ini supaya untuk semua $x$ dari kejiranan ini ketaksamaan $f(x)\le f(x_0 )$ berpuas hati.
Definisi 3
Titik $x_0$ dipanggil titik maksimum bagi fungsi $f(x)$ jika wujud kejiranan titik ini supaya bagi semua $x$ dari kejiranan ini ketaksamaan $f(x)\ge f(x_0) $ berpuas hati.
Konsep ekstrem bagi sesuatu fungsi berkait rapat dengan konsep titik genting sesuatu fungsi. Mari kita perkenalkan definisinya.
Definisi 4
$x_0$ dipanggil titik kritikal bagi fungsi $f(x)$ jika:
1) $x_0$ - titik dalaman domain definisi;
2) $f"\left(x_0\right)=0$ atau tidak wujud.
Untuk konsep ekstrem, seseorang boleh merumuskan teorem mengenai syarat yang mencukupi dan perlu untuk kewujudannya.
Teorem 2
Keadaan ekstrem yang mencukupi
Biarkan titik $x_0$ menjadi kritikal untuk fungsi $y=f(x)$ dan terletak pada selang $(a,b)$. Biarkan pada setiap selang $\left(a,x_0\right)\ dan\ (x_0,b)$ terbitan $f"(x)$ wujud dan kekalkan tanda malar. Kemudian:
1) Jika pada selang $(a,x_0)$ terbitan $f"\left(x\right)>0$, dan pada selang $(x_0,b)$ derivatif $f"\left(x\ betul)
2) Jika terbitan $f"\left(x\right)0$ berada pada selang $(a,x_0)$, maka titik $x_0$ ialah titik minimum untuk fungsi ini.
3) Jika kedua-duanya pada selang $(a,x_0)$ dan pada selang $(x_0,b)$ terbitan $f"\left(x\right) >0$ atau derivatif $f"\left(x \kanan)
Teorem ini digambarkan dalam Rajah 1.
Rajah 1. Keadaan yang mencukupi untuk kewujudan extrema
Contoh keterlaluan (Rajah 2).
Rajah 2. Contoh titik ekstrem
Peraturan untuk memeriksa fungsi untuk ekstrem
2) Cari terbitan $f"(x)$;
7) Buat kesimpulan tentang kehadiran maksimum dan minima pada setiap selang, menggunakan Teorem 2.
Fungsi Menaik dan Menurun
Mari kita mula-mula memperkenalkan definisi fungsi meningkat dan menurun.
Definisi 5
Fungsi $y=f(x)$ ditakrifkan pada selang $X$ dipanggil meningkat jika untuk sebarang mata $x_1,x_2\in X$ untuk $x_1
Definisi 6
Fungsi $y=f(x)$ ditakrifkan pada selang $X$ dipanggil menurun jika untuk sebarang mata $x_1,x_2\dalam X$ untuk $x_1f(x_2)$.
Memeriksa Fungsi Bertambah dan Menurun
Anda boleh menyiasat fungsi untuk meningkat dan menurun menggunakan derivatif.
Untuk memeriksa fungsi bagi selang kenaikan dan penurunan, anda mesti melakukan perkara berikut:
1) Cari domain bagi fungsi $f(x)$;
2) Cari terbitan $f"(x)$;
3) Cari titik di mana kesamaan $f"\left(x\right)=0$;
4) Cari titik di mana $f"(x)$ tidak wujud;
5) Tandakan pada garis koordinat semua titik yang ditemui dan domain fungsi yang diberikan;
6) Tentukan tanda terbitan $f"(x)$ pada setiap selang yang terhasil;
7) Buat kesimpulan: pada selang di mana $f"\left(x\right)0$ fungsi meningkat.
Contoh masalah untuk kajian fungsi untuk meningkat, menurun dan kehadiran titik ekstrem
Contoh 1
Siasat fungsi untuk meningkat dan menurun, dan kehadiran titik maksimum dan minima: $f(x)=(2x)^3-15x^2+36x+1$
Oleh kerana 6 mata pertama adalah sama, kami akan menariknya terlebih dahulu.
1) Domain definisi - semua nombor nyata;
2) $f"\left(x\right)=6x^2-30x+36$;
3) $f"\left(x\right)=0$;
\ \ \
4) $f"(x)$ wujud di semua titik domain definisi;
5) Garis koordinat:
Rajah 3
6) Tentukan tanda terbitan $f"(x)$ pada setiap selang:
\ \. Seperti yang diketahui, fungsi sedemikian mencapai nilai maksimum dan minimumnya, sama ada pada sempadan segmen, atau di dalamnya. Jika nilai maksimum atau minimum fungsi dicapai pada titik dalaman segmen, maka nilai ini adalah maksimum atau minimum fungsi, iaitu, ia dicapai pada titik kritikal.
Oleh itu, kami mendapat yang berikut peraturan untuk mencari nilai terbesar dan terkecil fungsi pada segmen [ a, b] :
- Cari semua titik kritikal fungsi dalam selang ( a, b) dan hitung nilai fungsi pada titik ini.
- Kira nilai fungsi di hujung segmen untuk x=a, x=b.
- Daripada semua nilai yang diperoleh, pilih yang terbesar dan terkecil.