Apakah persamaan linear dengan 2 pembolehubah. Ringkasan pelajaran mengenai topik "persamaan linear dalam dua pembolehubah"

Belajar untuk menyelesaikan persamaan adalah salah satu tugas utama yang diberikan oleh algebra untuk pelajar. Bermula dengan yang paling mudah, apabila ia terdiri daripada satu yang tidak diketahui, dan beralih kepada yang lebih kompleks. Jika anda belum menguasai tindakan yang perlu dilakukan dengan persamaan dari kumpulan pertama, sukar untuk memahami yang lain.

Untuk meneruskan perbualan, anda perlu bersetuju dengan notasi.

Bentuk umum persamaan linear dengan satu yang tidak diketahui dan prinsip penyelesaiannya

Mana-mana persamaan yang boleh ditulis seperti ini:

a * x = b,

dipanggil linear. Ini adalah formula umum. Tetapi selalunya dalam tugasan persamaan linear ditulis dalam bentuk tersirat. Maka adalah perlu untuk melakukan transformasi yang sama untuk mendapatkan tatatanda yang diterima umum. Tindakan ini termasuk:

kurungan pembukaan;
mengalihkan semua istilah dengan nilai pembolehubah ke sebelah kiri kesamaan, dan selebihnya ke kanan;
pengurangan istilah yang serupa.

Dalam kes di mana kuantiti yang tidak diketahui berada dalam penyebut pecahan, anda perlu menentukan nilainya di mana ungkapan itu tidak akan masuk akal. Dengan kata lain, anda perlu mengetahui domain definisi persamaan.

Prinsip di mana semua persamaan linear diselesaikan datang kepada membahagikan nilai di sebelah kanan persamaan dengan pekali di hadapan pembolehubah. Iaitu, "x" akan sama dengan b/a.

Kes khas persamaan linear dan penyelesaiannya

Semasa penaakulan, momen mungkin timbul apabila persamaan linear mengambil salah satu bentuk khas. Setiap daripada mereka mempunyai penyelesaian tertentu.

Dalam situasi pertama:

a * x = 0, dan ≠ 0.

Penyelesaian kepada persamaan sedemikian akan sentiasa x = 0.

Dalam kes kedua, "a" mengambil nilai yang sama dengan sifar:

0 * x = 0.

Jawapan kepada persamaan sedemikian ialah sebarang nombor. Iaitu, ia mempunyai bilangan akar yang tidak terhingga.

Keadaan ketiga kelihatan seperti ini:

0 * x = dalam, di mana dalam ≠ 0.

Persamaan ini tidak masuk akal. Kerana tidak ada akar yang memuaskannya.

Pandangan umum persamaan linear dengan dua pembolehubah

Dari namanya menjadi jelas bahawa sudah ada dua kuantiti yang tidak diketahui di dalamnya. Persamaan linear dalam dua pembolehubah kelihatan seperti ini:

a * x + b * y = c.

Oleh kerana terdapat dua yang tidak diketahui dalam rekod, jawapannya akan kelihatan seperti sepasang nombor. Iaitu, tidak cukup untuk menentukan satu nilai sahaja. Ini akan menjadi jawapan yang tidak lengkap. Sepasang kuantiti yang persamaan menjadi identiti adalah penyelesaian kepada persamaan. Selain itu, dalam jawapannya, pembolehubah yang didahulukan dalam abjad sentiasa ditulis dahulu. Kadang-kadang mereka mengatakan bahawa nombor ini memuaskannya. Lebih-lebih lagi, mungkin terdapat bilangan pasangan sedemikian yang tidak terhingga.

Bagaimana untuk menyelesaikan persamaan linear dengan dua yang tidak diketahui?

Untuk melakukan ini, anda hanya perlu memilih mana-mana pasangan nombor yang ternyata betul. Untuk kesederhanaan, anda boleh mengambil salah satu yang tidak diketahui bersamaan dengan beberapa nombor perdana, dan kemudian mencari yang kedua.

Apabila menyelesaikan, anda sering perlu melakukan langkah-langkah untuk memudahkan persamaan. Ia dipanggil transformasi identiti. Selain itu, sifat berikut sentiasa benar untuk persamaan:

setiap istilah boleh dialihkan ke bahagian yang bertentangan dengan kesamaan dengan menggantikan tandanya dengan yang bertentangan;
Sisi kiri dan kanan mana-mana persamaan dibenarkan untuk dibahagikan dengan nombor yang sama, selagi ia tidak sama dengan sifar.

Contoh tugasan dengan persamaan linear

Tugasan pertama. Selesaikan persamaan linear: 4x = 20, 8(x - 1) + 2x = 2(4 - 2x); (5x + 15) / (x + 4) = 4; (5x + 15) / (x + 3) = 4.

Dalam persamaan yang datang dahulu dalam senarai ini, bahagikan 20 dengan 4. Hasilnya ialah 5. Ini jawapannya: x = 5.

Persamaan ketiga memerlukan transformasi identiti dilakukan. Ia akan terdiri daripada membuka kurungan dan membawa istilah yang serupa. Selepas langkah pertama, persamaan akan mengambil bentuk: 8x - 8 + 2x = 8 - 4x. Kemudian anda perlu mengalihkan semua yang tidak diketahui ke sebelah kiri persamaan, dan yang lain ke kanan. Persamaan akan kelihatan seperti ini: 8x + 2x + 4x = 8 + 8. Selepas menambah sebutan yang serupa: 14x = 16. Kini ia kelihatan sama seperti yang pertama, dan penyelesaiannya mudah dicari. Jawapannya ialah x=8/7. Tetapi dalam matematik anda sepatutnya mengasingkan keseluruhan bahagian daripada pecahan tak wajar. Kemudian hasilnya akan diubah, dan "x" akan sama dengan satu keseluruhan dan satu pertujuh.

Dalam contoh yang selebihnya, pembolehubah berada dalam penyebut. Ini bermakna anda perlu terlebih dahulu mengetahui nilai persamaan yang ditakrifkan. Untuk melakukan ini, anda perlu mengecualikan nombor di mana penyebut pergi ke sifar. Dalam contoh pertama ialah "-4", dalam contoh kedua ialah "-3". Iaitu, nilai-nilai ini perlu dikecualikan daripada jawapan. Selepas ini, anda perlu mendarab kedua-dua belah kesamaan dengan ungkapan dalam penyebut.

Membuka kurungan dan membawa istilah yang serupa, dalam persamaan pertama ini kita dapat: 5x + 15 = 4x + 16, dan dalam 5x + 15 kedua = 4x + 12. Selepas penjelmaan, penyelesaian kepada persamaan pertama ialah x = -1. Yang kedua ternyata sama dengan "-3", yang bermaksud bahawa yang kedua tidak mempunyai penyelesaian.

Tugasan kedua. Selesaikan persamaan: -7x + 2y = 5.

Katakan bahawa x = 1 yang pertama tidak diketahui, maka persamaan akan mengambil bentuk -7 * 1 + 2y = 5. Memindahkan faktor “-7” ke sebelah kanan kesamaan dan menukar tandanya kepada tambah, ternyata 2y = 12. Ini bermakna y =6. Jawapan: salah satu penyelesaian kepada persamaan x = 1, y = 6.

Bentuk umum ketaksamaan dengan satu pembolehubah

Semua kemungkinan situasi untuk ketidaksamaan dibentangkan di sini:

a * x > b;
a * x< в;
a * x ≥b;
a * x ≤в.

Secara umum, ia kelihatan seperti persamaan linear yang mudah, hanya tanda yang sama digantikan dengan ketaksamaan.

Peraturan untuk transformasi identiti ketidaksamaan

Sama seperti persamaan linear, ketaksamaan boleh diubah suai mengikut undang-undang tertentu. Mereka berpecah kepada yang berikut:

sebarang ungkapan abjad atau berangka boleh ditambah pada bahagian kiri dan kanan ketaksamaan, dan tanda ketaksamaan itu tetap sama;
anda juga boleh mendarab atau membahagi dengan nombor positif yang sama, ini sekali lagi tidak mengubah tanda;
Apabila mendarab atau membahagi dengan nombor negatif yang sama, kesamaan akan kekal benar dengan syarat tanda ketaksamaan diterbalikkan.

Pandangan umum tentang ketaksamaan berganda

Ketaksamaan berikut boleh dikemukakan dalam masalah:

V< а * х < с;
c ≤ a * x< с;
V< а * х ≤ с;
c ≤ a * x ≤ c.

Ia dipanggil berganda kerana ia dihadkan oleh tanda ketidaksamaan di kedua-dua belah pihak. Ia diselesaikan menggunakan peraturan yang sama seperti ketaksamaan biasa. Dan mencari jawapan datang kepada satu siri transformasi yang sama. Sehingga yang paling mudah diperolehi.

Ciri-ciri menyelesaikan ketaksamaan berganda

Yang pertama ialah imejnya pada paksi koordinat. Tidak perlu menggunakan kaedah ini untuk ketidaksamaan mudah. Tetapi dalam kes yang sukar ia mungkin perlu.

Untuk menggambarkan ketidaksamaan, anda perlu menandakan pada paksi semua mata yang diperoleh semasa penaakulan. Ini adalah nilai tidak sah, yang ditunjukkan oleh titik tertusuk, dan nilai daripada ketaksamaan yang diperoleh selepas transformasi. Di sini juga, adalah penting untuk melukis titik dengan betul. Jika ketidaksamaan adalah ketat, itu< или >, maka nilai-nilai ini ditebuk keluar. Dalam ketaksamaan yang tidak ketat, mata mesti dilorekkan.

Maka adalah perlu untuk menunjukkan maksud ketidaksamaan. Ini boleh dilakukan menggunakan teduhan atau arka. Persimpangan mereka akan menunjukkan jawapannya.

Ciri kedua adalah berkaitan dengan rakamannya. Terdapat dua pilihan yang ditawarkan di sini. Yang pertama ialah ketidaksamaan muktamad. Yang kedua adalah dalam bentuk selang. Ia berlaku dengannya bahawa kesukaran timbul. Jawapan dalam ruang sentiasa kelihatan seperti pembolehubah dengan tanda keahlian dan kurungan dengan nombor. Kadangkala terdapat beberapa ruang, maka anda perlu menulis simbol "dan" di antara kurungan. Tanda-tanda ini kelihatan seperti ini: ∈ dan ∩. Kurungan jarak juga memainkan peranan. Yang bulat diletakkan apabila titik dikecualikan daripada jawapan, dan yang segi empat tepat termasuk nilai ini. Tanda infiniti sentiasa dalam kurungan.

Contoh penyelesaian ketaksamaan

1. Selesaikan ketaksamaan 7 - 5x ≥ 37.

Selepas penjelmaan mudah, kita dapat: -5x ≥ 30. Membahagi dengan “-5” kita boleh mendapatkan ungkapan berikut: x ≤ -6. Ini sudah jawapannya, tetapi ia boleh ditulis dengan cara lain: x ∈ (-∞; -6].

2. Selesaikan ketaksamaan berganda -4< 2x + 6 ≤ 8.

Mula-mula anda perlu menolak 6 di mana-mana. Anda mendapat: -10< 2x ≤ 2. Теперь нужно разделить на 2. Неравенство примет вид: -5 < x ≤ 1. Изобразив ответ на числовой оси, сразу можно понять, что результатом будет промежуток от -5 до 1. Причем первая точка исключена, а вторая включена. То есть ответ у неравенства такой: х ∈ (-5; 1].

Objektif pelajaran:

Pendidikan:
- ulang topik: “Persamaan. Persamaan linear. Persamaan setara dan sifatnya”;
- memastikan pelajar memahami konsep persamaan linear dengan dua pembolehubah dan penyelesaiannya.
Perkembangan:
- membentuk kebolehan intelek:
- keupayaan untuk membandingkan, membina analog, menyerlahkan perkara utama;
- keupayaan untuk membuat generalisasi dan sistematik bahan yang diliputi;
- membangunkan pemikiran logik, ingatan, imaginasi, ucapan matematik;
- membangunkan aktiviti kognitif yang aktif.
Pendidikan:
- untuk memupuk kebebasan, aktiviti, dan minat pelajar pada semua peringkat pelajaran;
- untuk membentuk kualiti watak seperti ketabahan, ketabahan, keazaman.

Tugas yang mesti diselesaikan oleh guru dalam pelajaran:

belajar untuk menyerlahkan idea utama dalam teks;
belajar bertanya soalan kepada guru, diri sendiri atau pelajar;
belajar menggunakan pengetahuan yang diperoleh untuk menyelesaikan masalah yang tidak standard;
ajar kebolehan untuk menyatakan fikiran anda secara matematik dengan betul.

Masalah yang perlu diselesaikan oleh pelajar dalam pelajaran ini:

mengetahui definisi persamaan linear dengan dua pembolehubah;
boleh menulis persamaan linear mudah;
dapat mencari nilai pembolehubah a, b dan c dengan betul;
dapat mengenal pasti persamaan linear dengan dua pembolehubah antara persamaan;
jawab soalan: apakah penyelesaian kepada persamaan linear dalam dua pembolehubah?
Bagaimanakah anda tahu jika sepasang nombor adalah penyelesaian kepada persamaan?
dapat menyatakan satu pembolehubah dalam sebutan yang lain.

Jenis pelajaran: pengajaran dalam mempelajari bahan baharu.

SEMASA KELAS

I. Detik organisasi

II. Pengulangan bahan bertutup

1) Di papan tulis: 2x, 2x + 5, 2x + 5 = 17.

2) Soalan untuk kelas:

– Tentukan ungkapan ini. (Jawapan yang dijangkakan: hasil darab, monomial, jumlah, polinomial, persamaan.)
-Apakah yang dipanggil persamaan?
– Adakah anda memerlukan persamaan...? (Putuskan)
– Apakah yang dimaksudkan dengan “menyelesaikan persamaan”?
– Apakah punca persamaan itu?
– Persamaan yang manakah setara?
– Apakah sifat kesetaraan persamaan yang anda tahu?

III. Mengemaskini pengetahuan pelajar

3) Tugasan kepada seluruh kelas:

– Tukar ungkapan :( dua orang bekerja di lembaga).

a) 2(x + 8) + 4(2x – 4) = b) 4(x – 2) + 2(3y + 4) =

Selepas transformasi kami mendapat: a) 10x; b) 4x + 6y:

– Gunakannya untuk mencipta persamaan (murid mencadangkan - guru menulis persamaan di papan tulis): 10x = 30; 4x + 6y = 28.

Soalan:

– Apakah nama persamaan pertama?
– Mengapa linear?
– Bandingkan persamaan kedua dengan yang pertama. Cuba rumuskan definisi persamaan kedua (Jawapan yang dijangkakan: persamaan dengan dua pembolehubah; perhatian pelajar tertumpu pada jenis persamaan - linear).

IV. Mempelajari bahan baharu

1) Topik pelajaran diumumkan. Merakam topik dalam buku nota. Rumusan bebas pelajar tentang definisi persamaan dengan dua pembolehubah, persamaan linear dengan dua pembolehubah (dengan analogi dengan definisi persamaan linear dengan satu pembolehubah), contoh persamaan dengan dua pembolehubah. Perbincangan berlaku dalam bentuk perbualan hadapan, dialog - penaakulan.

2) Tugasan kelas:

a) Tulis dua persamaan linear dengan dua pembolehubah (guru dan pelajar mendengar jawapan beberapa pelajar; mengikut pilihan guru, salah seorang daripada mereka menulis persamaannya di papan tulis).

b) Bersama-sama dengan pelajar, tugasan dan soalan ditentukan bahawa mereka harus menerima jawapan dalam pelajaran ini. Setiap pelajar menerima kad dengan soalan ini.

c) Bekerjasama dengan pelajar untuk menyelesaikan isu dan tugas ini:

– Tentukan yang mana antara persamaan ini adalah persamaan linear dengan dua pembolehubah a) 6x 2 = 36; b) 2x – 5y = 9: c) 7x + 3y 3; d) 1/2x + 1/3y = 6, dsb. Masalah mungkin timbul dengan persamaan x: 5 – y: 4 = 3 (tanda bahagi mesti ditulis sebagai pecahan). Apakah sifat kesetaraan persamaan yang perlu digunakan? (Jawapan pelajar) Tentukan nilai pekali A, V Dan Dengan.

– Persamaan linear dengan dua pembolehubah, seperti semua persamaan, perlu diselesaikan. Apakah penyelesaian kepada persamaan linear dalam dua pembolehubah? (Kanak-kanak memberi definisi).

Contoh: Cari penyelesaian kepada persamaan: a) x – y = 12, tulis jawapan dalam bentuk (x; y) atau x = ...; y = .... Berapakah bilangan penyelesaian persamaan itu?

Contoh: Cari penyelesaian bagi persamaan berikut a) 2x + y = 7; b) 5x – y = 4. Bagaimanakah anda menemui penyelesaian bagi persamaan ini? (Dijemput).

– Bagaimanakah anda tahu jika sepasang nombor ialah penyelesaian kepada persamaan linear dalam dua pembolehubah?

3) Bekerja dengan buku teks.

– Cari dalam buku teks tempat-tempat di mana idea utama topik pelajaran ini diserlahkan

a) Pelaksanaan tugas secara lisan: No. 1092, No. 1094.

b) Menyelesaikan contoh No 1096 (untuk pelajar lemah), No. 1097 (untuk pelajar kuat).

c) Ulang sifat-sifat kesetaraan persamaan.

Senaman: Dengan menggunakan sifat-sifat kesetaraan persamaan, ungkapkan pembolehubah Y melalui pembolehubah X dalam persamaan 5x + 2y = 12 (“sesaat” untuk menyelesaikan secara bebas, kemudian gambaran umum penyelesaian di papan tulis, diikuti dengan penjelasan).

d) Pelaksanaan contoh No. 1099 (salah seorang pelajar menyiapkan tugasan di papan tulis).

Rujukan sejarah

1. Guys, persamaan yang kita temui di kelas hari ini dipanggil persamaan linear Diophantine dengan dua pembolehubah, dinamakan sempena ahli sains dan matematik Yunani purba Diophantus, yang hidup kira-kira 3.5 ribu tahun yang lalu. Ahli matematik purba mula-mula mengarang masalah dan kemudian berusaha untuk menyelesaikannya. Oleh itu, banyak masalah telah disusun, yang kami kenali dan belajar untuk menyelesaikannya.

2. Dan juga persamaan ini dipanggil persamaan tak tentu. Ramai ahli matematik bekerja untuk menyelesaikan persamaan tersebut. Salah seorang daripada mereka ialah Pierre Fermat, seorang ahli matematik Perancis. Beliau mempelajari teori penyelesaian persamaan tak tentu.

V. Ringkasan pelajaran

1) Merumuskan bahan yang dibincangkan dalam pelajaran. Jawapan kepada semua soalan yang dikemukakan kepada pelajar pada permulaan pelajaran:

– Apakah persamaan yang dipanggil linear dengan dua pembolehubah?
– Apakah yang dipanggil menyelesaikan persamaan linear dalam dua pembolehubah?
– Bagaimanakah keputusan ini direkodkan?
– Apakah persamaan yang dipanggil setara?
– Apakah sifat kesetaraan persamaan?
– Apakah masalah yang kami selesaikan di dalam kelas, apakah soalan yang kami jawab?

2) Melakukan kerja berdikari.

Bagi yang lemah:

– Cari nilai pembolehubah a, b dan c dalam persamaan –1.1x + 3.6y = – 34?
– Cari sekurang-kurangnya satu penyelesaian kepada persamaan x – y = 35?
– Adakah pasangan nombor (3; 2) merupakan penyelesaian kepada persamaan linear yang diberi dengan dua pembolehubah 2x – y = 4?

Untuk yang kuat:

– Tulis persamaan linear dengan dua pembolehubah untuk masalah Diophantus: Terdapat burung pegar dan arnab berjalan di halaman rumah. Bilangan semua kaki ternyata 26.
– Ungkapkan pembolehubah y dalam sebutan x dalam persamaan 3x – 5y = 8.

VI. Mesej kerja rumah

Lihat semua tugas dalam buku teks, analisis pantas setiap tugas, pilih tugas.

Bagi pelajar lemah: No. 1093, No. 1095b).
Untuk yang kuat: 1) No. 1101, No. 1104 (a). 2) selesaikan masalah Diophantus, cari semua penyelesaian semula jadi untuk persamaan ini.

Selain itu, atas permintaan pelajar - No. 1105.

Daripada kesimpulan: Saya telah menjadi guru matematik selama lebih 40 tahun. Dan saya ingin ambil perhatian bahawa pelajaran terbuka tidak selalu merupakan pelajaran terbaik. Selalunya berlaku kadangkala pelajaran biasa membawa lebih kegembiraan dan kepuasan kepada guru. Dan kemudian anda berfikir dengan penyesalan bahawa tiada siapa yang melihat pelajaran ini - penciptaan guru dan pelajar.

Pelajaran adalah satu organisma, satu keseluruhan; dalam pelajaran itu pengalaman peribadi dan moral pendidikan diperoleh untuk pelajar dan guru. 45 minit pelajaran adalah sangat banyak dan sedikit. Banyak - kerana pada masa ini anda boleh "melihat" ke dalam kedalaman berabad-abad dengan pelajar anda dan, "kembali" dari sana, belajar banyak perkara baru, menarik, dan masih mempunyai masa untuk mempelajari bahan baru.

Setiap pelajar mesti dibawa kepada pemahaman bahawa matematik adalah asas perkembangan intelek manusia. Dan asas untuk ini adalah perkembangan pemikiran logik. Oleh itu, sebelum setiap pelajaran, saya menetapkan matlamat untuk diri saya dan pelajar saya: untuk mengajar pelajar untuk berjaya bekerja dengan definisi, mahir membezakan yang tidak diketahui daripada yang diketahui, terbukti daripada yang tidak terbukti, menganalisis, membandingkan, mengelaskan, mengemukakan soalan dan belajar menyelesaikan dengan mahir. mereka. Gunakan analogi, tetapi jika anda tidak boleh keluar sendiri, maka di sebelah anda bukan sahaja seorang guru, tetapi pembantu utama anda - sebuah buku.

Sudah tentu, pelajaran terbuka adalah beberapa hasil kerja kreatif guru. Dan guru yang hadir pada pelajaran ini harus memberi perhatian kepada perkara utama: sistem kerja, kebaharuan, idea. Di sini, saya fikir, tidak begitu penting metodologi pengajaran yang digunakan oleh guru dalam pelajaran: teknologi inovatif lama, moden atau baru, perkara utama ialah penggunaannya sesuai dan berkesan untuk guru dan pelajar.

Saya sangat gembira kerana dalam hidup saya, saya mempunyai sekolah, anak-anak, pelajaran dan rakan sekerja yang baik. Terima kasih semua!

Persamaan linear dengan dua pembolehubah mempunyai bentuk am ax + by + c = 0. Di dalamnya, a, b dan c ialah pekali - beberapa nombor; dan x dan y ialah pembolehubah - nombor tidak diketahui yang perlu dicari.

Penyelesaian kepada persamaan linear dengan dua pembolehubah ialah sepasang nombor x dan y, yang mana ax + by + c = 0 ialah kesamaan sebenar.

Persamaan linear yang diberikan dalam dua pembolehubah (contohnya, 3x + 2y – 1 = 0) mempunyai satu set penyelesaian, iaitu, satu set pasangan nombor yang persamaannya adalah benar. Persamaan linear dengan dua pembolehubah diubah menjadi fungsi linear dalam bentuk y = kx + m, iaitu garis lurus pada satah koordinat. Koordinat semua titik yang terletak pada garis ini adalah penyelesaian kepada persamaan linear dalam dua pembolehubah.

Jika dua persamaan linear bentuk ax + by + c = 0 diberikan dan diperlukan untuk mencari nilai x dan y yang mana kedua-duanya akan mempunyai penyelesaian, maka kita katakan bahawa kita mesti menyelesaikan sistem persamaan. Sistem persamaan ditulis di bawah pendakap kerinting biasa. Contoh:

Sistem persamaan tidak boleh mempunyai penyelesaian jika garis-garis yang merupakan graf bagi fungsi linear yang sepadan tidak bersilang (iaitu, selari antara satu sama lain). Untuk membuat kesimpulan bahawa tiada penyelesaian, adalah cukup untuk mengubah kedua-dua persamaan linear dengan dua pembolehubah kepada bentuk y = kx + m. Jika k ialah nombor yang sama dalam kedua-dua persamaan, maka sistem tidak mempunyai penyelesaian.

Jika sistem persamaan ternyata terdiri daripada dua persamaan yang sama (yang mungkin tidak jelas serta-merta, tetapi selepas transformasi), maka ia mempunyai bilangan penyelesaian yang tidak terhingga. Dalam kes ini kita bercakap tentang ketidakpastian.

Dalam semua kes lain, sistem mempunyai satu penyelesaian. Kesimpulan ini boleh dibuat daripada fakta bahawa mana-mana dua garisan tidak selari boleh bersilang hanya pada satu titik. Titik persilangan inilah yang akan terletak pada kedua-dua baris pertama dan kedua, iaitu, ia akan menjadi penyelesaian kepada kedua-dua persamaan pertama dan kedua. Oleh itu, ia adalah penyelesaian kepada sistem persamaan. Walau bagaimanapun, adalah perlu untuk menetapkan situasi apabila sekatan tertentu dikenakan ke atas nilai x dan y (biasanya mengikut syarat masalah). Sebagai contoh, x > 0, y > 0. Dalam kes ini, walaupun sistem persamaan mempunyai penyelesaian, tetapi ia tidak memenuhi syarat, maka kesimpulan dibuat bahawa sistem persamaan tidak mempunyai penyelesaian di bawah keadaan yang diberikan. .

Terdapat tiga cara untuk menyelesaikan sistem persamaan:

Dengan kaedah pemilihan. Selalunya ini sangat sukar dilakukan.
Kaedah grafik. Apabila dua garis lurus (graf fungsi persamaan yang sepadan) dilukis pada satah koordinat dan titik persilangannya ditemui. Kaedah ini mungkin tidak memberikan keputusan yang tepat jika koordinat titik persilangan adalah nombor pecahan.
Kaedah algebra. Mereka serba boleh dan boleh dipercayai.

Arahan

Diberi sistem dua persamaan linear, selesaikannya seperti berikut. Pilih satu daripada persamaan di mana pekali di hadapan pembolehubah adalah lebih kecil dan nyatakan salah satu pembolehubah, contohnya, x. Kemudian gantikan nilai yang mengandungi y ini ke dalam persamaan kedua. Dalam persamaan yang terhasil hanya akan ada satu pembolehubah y, gerakkan semua bahagian dengan y ke sebelah kiri, dan yang bebaskan ke kanan. Cari y dan gantikan kepada mana-mana persamaan asal untuk mencari x.

Terdapat satu lagi cara untuk menyelesaikan sistem dua persamaan. Darab satu daripada persamaan dengan nombor supaya pekali salah satu pembolehubah, seperti x, adalah sama dalam kedua-dua persamaan. Kemudian tolak satu daripada persamaan daripada yang lain (jika bahagian kanan tidak sama dengan 0, ingat untuk menolak bahagian kanan dengan cara yang sama). Anda akan melihat bahawa pembolehubah x telah hilang dan hanya tinggal satu pembolehubah y. Selesaikan persamaan yang terhasil, dan gantikan nilai y yang ditemui ke dalam mana-mana kesamaan asal. Cari x.

Cara ketiga untuk menyelesaikan sistem dua persamaan linear ialah grafik. Lukis sistem koordinat dan graf dua garis lurus yang persamaannya diberikan dalam sistem anda. Untuk melakukan ini, gantikan mana-mana dua nilai x ke dalam persamaan dan cari y yang sepadan - ini akan menjadi koordinat titik kepunyaan garis. Cara paling mudah untuk mencari persilangan dengan paksi koordinat adalah dengan hanya menggantikan nilai x=0 dan y=0. Koordinat titik persilangan kedua-dua garis ini akan menjadi tugas.

Jika terdapat hanya satu persamaan linear dalam keadaan masalah, maka anda telah diberikan syarat tambahan yang melaluinya anda boleh mencari penyelesaian. Baca masalah dengan teliti untuk mencari syarat ini. Jika pembolehubah x dan y menunjukkan jarak, kelajuan, berat, sila tetapkan had x≥0 dan y≥0. Ada kemungkinan x atau y menyembunyikan bilangan epal, pokok, dsb. – maka nilai hanya boleh menjadi integer. Jika x adalah umur anak lelaki, jelas bahawa dia tidak boleh lebih tua daripada bapanya, jadi nyatakan ini dalam keadaan masalah.

Bina graf garis yang sepadan dengan persamaan linear. Lihat graf, mungkin terdapat hanya beberapa penyelesaian yang memenuhi semua syarat - contohnya, integer dan nombor positif. Mereka akan menjadi penyelesaian kepada persamaan anda.

Sumber:

bagaimana untuk menyelesaikan persamaan dengan satu pembolehubah

Salah satu masalah utama matematik ialah menyelesaikan sistem persamaan dengan beberapa perkara yang tidak diketahui. Ini adalah masalah yang sangat praktikal: terdapat beberapa parameter yang tidak diketahui, beberapa syarat dikenakan ke atasnya, dan perlu mencari kombinasi yang paling optimum. Tugas sedemikian adalah perkara biasa dalam ekonomi, pembinaan, reka bentuk sistem mekanikal yang kompleks, dan secara amnya di mana-mana pengoptimuman kos bahan dan sumber manusia diperlukan. Dalam hal ini, persoalan timbul: bagaimana untuk menyelesaikan sistem sedemikian?

Arahan

Matematik memberi kita dua cara untuk menyelesaikan sistem sedemikian: grafik dan analitik. Kaedah ini adalah setara, dan tidak boleh dikatakan bahawa mana-mana daripada mereka adalah lebih baik atau lebih teruk. Dalam setiap situasi, apabila mengoptimumkan penyelesaian, anda perlu memilih kaedah yang memberikan penyelesaian yang lebih mudah. Tetapi terdapat juga beberapa situasi biasa. Oleh itu, sistem persamaan satah, iaitu apabila dua graf mempunyai bentuk y=ax+b, adalah lebih mudah untuk diselesaikan secara grafik. Segala-galanya dilakukan dengan sangat mudah: dua garis lurus dibina: graf fungsi linear, kemudian titik persilangannya ditemui. Koordinat titik ini (abscissa dan ordinat) akan menjadi penyelesaian kepada persamaan ini. Perhatikan juga bahawa dua garis boleh selari. Kemudian sistem persamaan tidak mempunyai penyelesaian, dan fungsinya dipanggil bersandar linear.

Keadaan sebaliknya juga boleh berlaku. Jika kita perlu mencari satu pertiga yang tidak diketahui, diberikan dua persamaan bebas linear, maka sistem akan kurang ditentukan dan mempunyai bilangan penyelesaian yang tidak terhingga. Dalam teori algebra linear, terbukti bahawa sistem mempunyai penyelesaian yang unik jika dan hanya jika bilangan persamaan bertepatan dengan bilangan yang tidak diketahui.

RUMUSAN PELAJARAN

Kelas: 7

UMK: Algebra darjah 7: buku teks. untuk pendidikan am organisasi / [Yu. N. Makarychev, N.G. Mindyuk et al.]; diedit oleh S.A. Telyakovsky. – ed ke-2. – M.: Pendidikan, 2014

Subjek: Persamaan linear dalam dua pembolehubah

Matlamat: Memperkenalkan pelajar kepada konsep persamaan linear dengan dua pembolehubah dan penyelesaiannya, ajar cara menyatakan daripada persamaanX melaluidi ataudi melaluiX .

UUD yang dibentuk:

Kognitif: mengemukakan dan mewajarkan hipotesis, cadangkan cara untuk mengujinya

kawal selia: membandingkan kaedah dan hasil tindakan seseorang dengan piawaian tertentu, mengesan penyelewengan dan perbezaan daripada piawai; merangka pelan dan urutan tindakan.

Komunikatif: mewujudkan hubungan kerja; bekerjasama secara berkesan dan menggalakkan kerjasama yang produktif.

Peribadi: fmembangunkan kemahiran untuk mengatur analisis aktiviti seseorang

peralatan:komputer, projektor multimedia, skrin

Semasa kelas:

saya mengatur masa

Dengarkan cerita dongeng tentang Atuk Sama-sama dan teka apa yang akan kita bincangkan hari ini

Kisah dongeng "Datuk-Setara"

Seorang datuk bernama Ravnyalo tinggal di sebuah pondok di pinggir hutan. Dia suka bergurau dengan nombor. Datuk akan mengambil nombor pada kedua-dua belah dirinya, menyambungkannya dengan tanda, dan meletakkan nombor terpantas dalam kurungan, tetapi pastikan satu bahagian adalah sama dengan bahagian yang lain. Dan kemudian dia akan menyembunyikan beberapa nombor di bawah topeng "X" dan meminta cucunya, Ravnyalka kecil, untuk mencarinya. Walaupun Ravnyalka kecil, dia tahu perkaranya: dia akan segera memindahkan semua nombor kecuali "X" ke sisi lain dan tidak akan lupa untuk menukar tanda mereka ke sebaliknya. Dan nombor mematuhinya, dengan cepat melaksanakan semua tindakan atas perintahnya, dan "X" diketahui. Datuk melihat betapa bijak cucunya melakukan segala-galanya dan bergembira: pengganti yang baik untuknya sedang membesar.

Jadi, apakah kisah ini?(tentang persamaan)

II . Mari kita ingat semua yang kita tahu tentang persamaan linear dan cuba lukiskan selari antara bahan yang kita tahu dan bahan baharu.

Apakah jenis persamaan yang kita tahu?(persamaan linear dengan satu pembolehubah)

Mari kita ingat takrif persamaan linear dengan satu pembolehubah.

Apakah punca persamaan linear dalam satu pembolehubah?

Mari kita rumuskan semua sifat persamaan linear dengan satu pembolehubah.

1 bahagian jadual diisi

ax = b, dengan x ialah pembolehubah, a, b ialah nombor.

Contoh: 3x = 6

Nilai x di mana persamaan menjadi benar

1) memindahkan istilah dari satu bahagian persamaan ke yang lain, menukar tandanya kepada sebaliknya.

2) darab atau bahagi kedua-dua belah persamaan dengan nombor yang sama, tidak sama dengan sifar.

Persamaan linear dengan dua pembolehubah.

ax + vy = c, dengan x, y ialah pembolehubah, a, b.c ialah nombor.

Contoh:

x – y = 5

x + y = 56

2x + 6y =68

Nilai x, y yang menjadikan persamaan itu benar.

x=8; y=3 (8;3)

x=60; y = - 4 (60;-4)

Sifat 1 dan 2 adalah benar.

3) persamaan setara:

x-y=5 dan y=x-5

(8;3) (8;3)

Selepas kami telah mengisi bahagian pertama jadual, berdasarkan analogi, kami mula mengisi baris kedua jadual, dengan itu mempelajari bahan baru.

III . Mari kita kembali kepada topik:persamaan linear dalam dua pembolehubah . Tajuk topik itu menunjukkan bahawa anda perlu memperkenalkan pembolehubah baharu, contohnya y.

Terdapat dua nombor x dan y, satu lebih besar daripada yang lain sebanyak 5. Bagaimana untuk menulis hubungan antara mereka? (x – y = 5) ini adalah persamaan linear dengan dua pembolehubah. Mari kita rumuskan, dengan analogi dengan definisi persamaan linear dengan satu pembolehubah, definisi persamaan linear dengan dua pembolehubah (Persamaan linear dalam dua pembolehubah ialah persamaan bentukkapak + oleh = c , Di manaa,b Danc - beberapa nombor, danx Dany -pembolehubah).

Persamaan x – y= 5 dengan x = 8, y = 3 bertukar menjadi kesamaan yang betul 8 – 3 = 5. Mereka mengatakan bahawa pasangan nilai pembolehubah x = 8, y = 3 ialah penyelesaian kepada persamaan ini.

Rumuskan takrif penyelesaian kepada persamaan dengan dua pembolehubah (Penyelesaian kepada persamaan dengan dua pembolehubah ialah sepasang nilai pembolehubah yang mengubah persamaan ini menjadi kesamaan sebenar)

Pasangan nilai pembolehubah kadangkala ditulis lebih pendek: (8;3). Dalam tatatanda sedemikian, nilai x ditulis di tempat pertama dan nilai y di tempat kedua.

Persamaan dengan dua pembolehubah yang mempunyai penyelesaian yang sama (atau tiada penyelesaian) dipanggil setara.

Persamaan dengan dua pembolehubah mempunyai sifat yang sama seperti persamaan dengan satu pembolehubah:

Jika anda memindahkan sebarang istilah dalam persamaan dari satu bahagian ke bahagian yang lain, menukar tandanya, anda akan mendapat persamaan yang setara dengan yang diberikan.

Jika kedua-dua belah persamaan didarab atau dibahagikan dengan nombor yang sama (tidak sama dengan sifar), anda mendapat persamaan yang setara dengan yang diberikan.

Contoh 1. Pertimbangkan persamaan 10x + 5y = 15. Dengan menggunakan sifat persamaan, kita menyatakan satu pembolehubah dalam sebutan yang lain.

Untuk melakukan ini, mula-mula gerakkan 10x dari sebelah kiri ke kanan, menukar tandanya. Kami mendapat persamaan setara 5y = 15 - 10x.

Membahagikan setiap bahagian persamaan ini dengan nombor 5, kita mendapat persamaan yang setara

y = 3 - 2x. Oleh itu, kami menyatakan satu pembolehubah dari segi yang lain. Menggunakan kesamaan ini, untuk setiap nilai x kita boleh mengira nilai y.

Jika x = 2, maka y = 3 - 2 2 = -1.

Jika x = -2, maka y = 3 - 2· (-2) = 7. Pasangan nombor (2; -1), (-2; 7) ialah penyelesaian kepada persamaan ini. Oleh itu, persamaan ini mempunyai banyak penyelesaian yang tidak terhingga.

Dari sejarah. Masalah menyelesaikan persamaan dalam nombor semula jadi telah dipertimbangkan secara terperinci dalam karya ahli matematik Yunani terkenal Diophantus (abad III). Risalahnya "Aritmetik" mengandungi penyelesaian yang bijak dalam nombor semula jadi kepada pelbagai jenis persamaan. Dalam hal ini, persamaan dengan beberapa pembolehubah yang memerlukan penyelesaian dalam nombor asli atau integer dipanggil persamaan Diophantine.

Contoh 2. Tepung dibungkus dalam beg 3 kg dan 2 kg. Berapakah bilangan beg bagi setiap jenis yang perlu anda ambil untuk membuat 20 kg tepung?

Katakan kita perlu mengambil x beg 3 kg dan y beg 2 kg. Kemudian 3x + 2y = 20. Ia dikehendaki mencari semua pasangan nilai semula jadi bagi pembolehubah x dan y yang memenuhi persamaan ini. Kita mendapatkan:

2y = 20 - 3x

y =

Menggantikan ke dalam kesamaan ini dan bukannya x berturut-turut semua nombor 1,2,3, dsb., kita dapati yang mana nilai x, nilai y ialah nombor asli.

Kami mendapat: (2;7), (4;4), (6;1). Tiada pasangan lain yang memenuhi persamaan ini. Ini bermakna anda perlu mengambil sama ada 2 dan 7, atau 4 dan 4, atau 6 dan 1 pakej, masing-masing.

IV . Kerja dari buku teks (secara lisan) No. 1025, No. 1027 (a)

Kerja bebas dengan ujian di dalam kelas.

1. Tulis persamaan linear dengan dua pembolehubah.

a) 3x + 6y = 5 c) xy = 11 b) x – 2y = 5

2. Adakah sepasang nombor merupakan penyelesaian kepada persamaan?

2x + y = -5 (-4;3), (-1;-3), (0;5).

3. Ungkapkan daripada persamaan linear

4x – 3y = 12 a) x melalui y b) y melalui x

4. Cari tiga penyelesaian bagi persamaan itu.

x + y = 27

V . Jadi, untuk meringkaskan:

Tentukan persamaan linear dengan dua pembolehubah.

Apakah yang dipanggil penyelesaian (akar) persamaan linear dengan dua pembolehubah.

Nyatakan sifat-sifat persamaan linear dengan dua pembolehubah.

Penggredan.

Kerja rumah: perenggan 40, No 1028, No. 1032