Getaran harmonik. Bandul matematik: tempoh, pecutan dan formula
(lat. amplitud- magnitud) ialah sisihan terbesar jasad berayun daripada kedudukan keseimbangannya.
Untuk bandul, ini ialah jarak maksimum bola bergerak dari kedudukan keseimbangannya (rajah di bawah). Untuk ayunan dengan amplitud kecil, jarak sedemikian boleh diambil sebagai panjang lengkok 01 atau 02, dan panjang segmen ini.
Amplitud ayunan diukur dalam unit panjang - meter, sentimeter, dsb. Pada graf ayunan, amplitud ditakrifkan sebagai ordinat maksimum (modulo) bagi lengkung sinusoidal (lihat rajah di bawah).
Tempoh ayunan.
Tempoh ayunan- ini ialah tempoh masa terpendek di mana sistem berayun kembali semula ke keadaan yang sama di mana ia berada pada saat awal masa, dipilih sewenang-wenangnya.
Dengan kata lain, tempoh ayunan ( T) ialah masa di mana satu ayunan lengkap berlaku. Sebagai contoh, dalam rajah di bawah, ini ialah masa yang diperlukan untuk bandul bob bergerak dari titik paling kanan melalui titik keseimbangan. TENTANG ke titik paling kiri dan kembali melalui titik TENTANG sekali lagi ke paling kanan.
Sepanjang tempoh ayunan penuh, jasad itu melalui laluan yang sama dengan empat amplitud. Tempoh ayunan diukur dalam unit masa - saat, minit, dsb. Tempoh ayunan boleh ditentukan daripada graf ayunan yang terkenal (lihat rajah di bawah).
Konsep "tempoh ayunan", secara tegasnya, sah hanya apabila nilai kuantiti berayun betul-betul diulang selepas tempoh masa tertentu, iaitu untuk ayunan harmonik. Walau bagaimanapun, konsep ini juga terpakai kepada kes-kes kuantiti yang lebih kurang berulang, contohnya, untuk ayunan yang dilembapkan.
Kekerapan ayunan.
Kekerapan ayunan- ini ialah bilangan ayunan yang dilakukan setiap unit masa, contohnya, dalam 1 s.
Unit SI kekerapan dinamakan hertz(Hz) sebagai penghormatan kepada ahli fizik Jerman G. Hertz (1857-1894). Jika frekuensi ayunan ( v) adalah sama dengan 1 Hz, ini bermakna setiap saat terdapat satu ayunan. Kekerapan dan tempoh ayunan dikaitkan dengan hubungan:
Dalam teori ayunan mereka juga menggunakan konsep kitaran, atau kekerapan bulat ω . Ia berkaitan dengan frekuensi biasa v dan tempoh ayunan T nisbah:
.
Kekerapan kitaran ialah bilangan ayunan yang dilakukan setiap 2π detik
Gerakan berayun- pergerakan berkala atau hampir berkala badan, koordinat, kelajuan dan pecutan yang pada selang masa yang sama mengambil kira-kira nilai yang sama.
Getaran mekanikal berlaku apabila, apabila jasad dikeluarkan dari kedudukan keseimbangan, daya muncul yang cenderung untuk mengembalikan jasad itu kembali.
Sesaran x ialah sisihan badan daripada kedudukan keseimbangan.
Amplitud A ialah modul anjakan maksimum badan.
Tempoh ayunan T - masa satu ayunan:
Kekerapan ayunan
Bilangan ayunan yang dilakukan oleh badan per unit masa: Semasa ayunan, kelajuan dan pecutan berubah secara berkala. Dalam kedudukan keseimbangan, kelajuan adalah maksimum dan pecutan adalah sifar. Pada titik anjakan maksimum, pecutan mencapai maksimum dan kelajuan menjadi sifar.
JADUAL GETAR HARMONIK
Harmonik getaran yang berlaku mengikut hukum sinus atau kosinus dipanggil:
dengan x(t) ialah sesaran sistem pada masa t, A ialah amplitud, ω ialah kekerapan kitaran ayunan.
Jika anda merancang sisihan badan dari kedudukan keseimbangan sepanjang paksi menegak, dan masa sepanjang paksi mendatar, anda akan mendapat graf ayunan x = x(t) - pergantungan anjakan badan pada masa. Untuk ayunan harmonik percuma, ia adalah gelombang sinus atau gelombang kosinus. Rajah menunjukkan graf kebergantungan sesaran x, unjuran halaju V x dan pecutan a x pada masa.
Seperti yang dapat dilihat daripada graf, pada anjakan maksimum x, kelajuan V jasad berayun adalah sifar, pecutan a, dan oleh itu daya yang bertindak ke atas jasad itu, adalah maksimum dan diarahkan bertentangan dengan anjakan. Dalam kedudukan keseimbangan, anjakan dan pecutan menjadi sifar, dan kelajuan adalah maksimum. Unjuran pecutan sentiasa mempunyai tanda yang bertentangan dengan anjakan.
TENAGA GERAKAN BERGETAR
Jumlah tenaga mekanikal bagi jasad berayun adalah sama dengan jumlah tenaga kinetik dan potensinya dan, tanpa adanya geseran, kekal malar:
Pada masa apabila anjakan mencapai maksimum x = A, kelajuan, dan dengan itu tenaga kinetik, menjadi sifar.
Dalam kes ini, jumlah tenaga adalah sama dengan tenaga keupayaan:
Jumlah tenaga mekanikal bagi jasad berayun adalah berkadar dengan kuasa dua amplitud ayunannya.
Apabila sistem melepasi kedudukan keseimbangan, anjakan dan tenaga keupayaan adalah sifar: x = 0, E p = 0. Oleh itu, jumlah tenaga adalah sama dengan tenaga kinetik:
Jumlah tenaga mekanikal jasad berayun adalah berkadar dengan kuasa dua kelajuannya dalam kedudukan keseimbangan. Oleh itu:
PENDULUM MATEMATIK
1. Bandul matematik ialah titik material yang digantung pada benang tidak dapat dipanjangkan tanpa berat.
Dalam kedudukan keseimbangan, daya graviti diimbangi oleh ketegangan benang. Jika bandul terpesong dan dilepaskan, maka daya akan terhenti untuk mengimbangi satu sama lain, dan daya paduan akan timbul menghala ke arah kedudukan keseimbangan. Hukum kedua Newton:
Untuk ayunan kecil, apabila sesaran x jauh lebih kecil daripada l, titik bahan akan bergerak hampir sepanjang paksi x mendatar. Kemudian dari segi tiga MAB kita dapat:
Kerana sin a = x/l, maka unjuran daya R yang terhasil pada paksi x adalah sama dengan
Tanda tolak menunjukkan bahawa daya R sentiasa diarahkan bertentangan dengan sesaran x.
2. Jadi, semasa ayunan bandul matematik, dan juga semasa ayunan bandul spring, daya pemulihan adalah berkadar dengan anjakan dan diarahkan ke arah yang bertentangan.
Mari kita bandingkan ungkapan untuk daya pemulihan pendulum matematik dan spring:
Ia boleh dilihat bahawa mg/l adalah analog k. Menggantikan k dengan mg/l dalam formula untuk tempoh bandul spring
kita memperoleh formula untuk tempoh bandul matematik:
Tempoh ayunan kecil bandul matematik tidak bergantung pada amplitud.
Bandul matematik digunakan untuk mengukur masa dan menentukan pecutan graviti pada lokasi tertentu di permukaan bumi.
Ayunan bebas bandul matematik pada sudut pesongan kecil adalah harmonik. Ia berlaku disebabkan oleh daya paduan graviti dan daya tegangan benang, serta inersia beban. Hasil daripada daya ini ialah daya pemulihan.
Contoh. Tentukan pecutan akibat graviti pada planet di mana bandul 6.25 m panjang mempunyai tempoh ayunan bebas 3.14 s.
Tempoh ayunan bandul matematik bergantung pada panjang benang dan pecutan graviti:
Dengan mengkuadratkan kedua-dua belah kesamaan, kita mendapat:
Jawapan: pecutan graviti ialah 25 m/s 2 .
Masalah dan ujian mengenai topik "Topik 4. "Mekanik. Ayunan dan ombak."
- Gelombang melintang dan membujur. Panjang gelombang
Pelajaran: 3 Tugasan: 9 Ujian: 1
- Bunyi ombak. Kelajuan bunyi - Getaran mekanikal dan gelombang. Bunyi darjah 9
Bandul matematik
pengenalan
Tempoh ayunan
kesimpulan
kesusasteraan
pengenalan
Kini tidak mungkin lagi untuk mengesahkan legenda tentang bagaimana Galileo, berdiri dalam solat di katedral, dengan teliti memerhatikan ayunan candelier gangsa. Saya memerhati dan menentukan masa yang dihabiskan oleh candelier bergerak ke sana ke mari. Masa ini kemudiannya dipanggil tempoh ayunan. Galileo tidak mempunyai jam tangan, dan untuk membandingkan tempoh ayunan candelier yang digantung pada rantai dengan panjang yang berbeza, dia menggunakan frekuensi nadinya.
Bandul digunakan untuk melaraskan kelajuan jam, kerana mana-mana bandul mempunyai tempoh ayunan yang sangat spesifik. Bandul juga menemui aplikasi penting dalam penerokaan geologi. Adalah diketahui bahawa di tempat yang berbeza di seluruh dunia nilai g adalah berbeza. Mereka berbeza kerana Bumi bukanlah sfera yang sama sekali. Di samping itu, di kawasan di mana batu tumpat berlaku, seperti beberapa bijih logam, nilainya g tinggi luar biasa. Pengukuran yang tepat g dengan bantuan bandul matematik kadangkala boleh mengesan deposit tersebut.
Persamaan gerakan bandul matematik
Bandul matematik ialah titik bahan berat yang bergerak sama ada sepanjang bulatan menegak (bandul matematik rata) atau sepanjang sfera (bandul sfera). Untuk anggaran pertama, bandul matematik boleh dianggap sebagai beban kecil yang digantung pada benang fleksibel yang tidak boleh dipanjangkan.
Mari kita pertimbangkan gerakan bandul matematik rata di sepanjang bulatan jejari l berpusat pada satu titik TENTANG(Rajah 1). Kami akan menentukan kedudukan titik itu M(bandulum) sudut sisihan j jejari OM daripada menegak. Mengarahkan tangen M t ke arah sudut positif j, kita akan menyusun persamaan semula jadi bagi gerakan. Persamaan ini terbentuk daripada persamaan gerakan
mW=F+N, (1)
di mana F ialah daya aktif yang bertindak pada titik, dan N- tindak balas komunikasi.
Gambar 1
Kami memperoleh persamaan (1) mengikut undang-undang kedua Newton, iaitu undang-undang asas dinamik dan menyatakan bahawa terbitan masa bagi momentum titik material adalah sama dengan daya yang bertindak ke atasnya, i.e.
Dengan mengandaikan jisim adalah malar, kita boleh mewakili persamaan sebelumnya dalam bentuk
di mana W ialah pecutan titik.
Jadi persamaan (1) dalam unjuran ke paksi t akan memberi kita salah satu persamaan semula jadi untuk pergerakan titik di sepanjang lengkung licin tetap yang diberikan:
Dalam kes kami, kami memperoleh dalam unjuran ke paksi t
,
di mana m terdapat jisim bandul.
Sejak atau , dari sini kita dapati
.
Mengurangkan sebanyak m dan beriman
, (3)
kita akhirnya akan mempunyai:
,
,
,
. (4)
Mari kita pertimbangkan dahulu kes ayunan kecil. Biarkan pada saat awal bandul terpesong dari menegak dengan sudut j dan diturunkan tanpa kelajuan awal. Kemudian syarat awalnya ialah:
di t= 0, 
. (5)
Daripada kamiran tenaga:
, (6)
di mana V- tenaga berpotensi, dan h ialah pemalar pengamiran, ia berikutan bahawa di bawah keadaan ini pada bila-bila masa sudut jЈj 0 . Nilai tetap h ditentukan daripada data awal. Mari kita andaikan bahawa sudut j 0 adalah kecil (j 0 Ј1); maka sudut j juga akan menjadi kecil dan kita boleh lebih kurang menetapkan sinj»j. Dalam kes ini, persamaan (4) akan mengambil bentuk
. (7)
Persamaan (7) ialah persamaan pembezaan bagi ayunan harmonik ringkas. Penyelesaian umum untuk persamaan ini ialah
, (8)
di mana A Dan B atau a dan e ialah pemalar penyepaduan.
Dari sini kita segera mencari tempoh ( T) ayunan kecil bandul matematik (tempoh - tempoh masa di mana titik kembali ke kedudukan sebelumnya pada kelajuan yang sama)
Dan 
,
kerana sin mempunyai tempoh sama dengan 2p, kemudian w T=2p Yu
(9)
Untuk mencari hukum gerakan di bawah keadaan awal (5), kita mengira:
. (10)
Menggantikan nilai (5) ke dalam persamaan (8) dan (10), kita memperoleh:
j 0 = A, 0 = w B,
mereka. B=0. Akibatnya, hukum gerakan untuk ayunan kecil di bawah keadaan (5) ialah:
j = j 0 cos wt. (sebelas)
Marilah kita mencari penyelesaian yang tepat kepada masalah bandul matematik rata. Mari kita tentukan kamiran pertama bagi persamaan gerakan (4). Kerana
,
maka (4) boleh diwakili sebagai
.
Oleh itu, mendarab kedua-dua belah persamaan dengan d j dan mengintegrasikan, kita dapat:
. (12)
Mari kita nyatakan di sini j 0 sudut pesongan maksimum bandul; maka untuk j = j 0 kita akan ada, dari mana C= w 2 cosj 0 . Akibatnya, kamiran (12) memberikan:
, (13)
di mana w ditentukan oleh kesamaan (3).
Kamiran ini ialah kamiran tenaga dan boleh didapati secara langsung daripada persamaan
, (14)
di mana kerja bergerak M 0 M daya aktif F, jika kita mengambil kira bahawa dalam kes kita v 0 =0, dan (lihat rajah).
Daripada persamaan (13) adalah jelas bahawa apabila bandul bergerak, sudut j akan berubah antara nilai +j 0 dan -j 0 (|j|Јj 0, sejak), i.e. bandul akan melakukan gerakan berayun. Mari kita bersetuju untuk mengira masa t dari saat bandul melepasi menegak O.A. apabila ia bergerak ke kanan (lihat rajah). Kemudian kita akan mempunyai syarat awal:
di t=0, j=0. (15)
Di samping itu, apabila bergerak dari satu titik A kehendak ; mengambil punca kuasa dua daripada kedua-dua belah kesamaan (13), kita memperoleh:
.
Mengasingkan pembolehubah di sini, kami mempunyai:
. (16)
, 
,
Itu
.
Menggantikan keputusan ini ke dalam persamaan (16), kita perolehi.
Tempoh ayunan bandul matematik bergantung pada panjang benang: apabila panjang benang berkurangan, tempoh ayunan berkurangan
Untuk bandul matematik, beberapa undang-undang dipenuhi:
1 undang-undang. Jika, sambil mengekalkan panjang bandul yang sama, kita menggantung beban yang berbeza (contohnya, 5 kg dan 100 kg), maka tempoh ayunan akan sama, walaupun jisim beban sangat berbeza. Tempoh bandul matematik tidak bergantung kepada jisim beban.
undang-undang ke-2. Jika bandul dipesongkan oleh sudut yang berbeza tetapi kecil, maka ia akan berayun dengan tempoh yang sama, walaupun dengan amplitud yang berbeza. Selagi amplitud bandul kecil, ayunan dalam bentuknya akan serupa dengan yang harmonik, dan kemudian tempoh bandul matematik tidak bergantung pada amplitud ayunan. Sifat ini dipanggil isokronisme.
Mari terbitkan formula bagi tempoh bandul matematik.
Beban m bandul matematik digerakkan oleh daya graviti mg dan daya kenyal benang Fynp. Mari kita halakan paksi 0X sepanjang tangen ke trajektori pergerakan ke atas. Mari kita tuliskan hukum kedua Newton untuk kes ini:
Kami menayangkan segala-galanya ke paksi OX:
Pada sudut yang kecil
Selepas membuat penggantian dan transformasi kecil, kita mendapat bahawa persamaan kelihatan seperti:
Membandingkan ungkapan yang terhasil dengan persamaan getaran harmonik, kita dapat:
Daripada persamaan dapat dilihat bahawa frekuensi kitaran bandul spring akan mempunyai bentuk:
Kemudian tempoh bandul matematik akan sama dengan:
Tempoh bandul matematik hanya bergantung pada pecutan graviti g dan pada panjang bandul l. Daripada formula yang dihasilkan, tempoh bandul tidak bergantung pada jisim dan amplitudnya (dengan syarat ia cukup kecil). Kami juga mewujudkan hubungan kuantitatif antara tempoh bandul, panjangnya dan pecutan graviti. Tempoh bandul matematik adalah berkadar dengan punca kuasa dua nisbah panjang bandul kepada pecutan graviti. Faktor perkadaran ialah 2p
Terdapat juga:
Tempoh bandul spring
Tempoh bandul fizikal 
Tempoh bandul kilasan
Sebagai contoh konkrit jasad berputar mengelilingi paksi, pertimbangkan pergerakan bandul.
Bandul fizikal ialah jasad tegar yang mempunyai paksi putaran mendatar di sekelilingnya yang melakukan pergerakan berayun di bawah pengaruh beratnya (Rajah 119).
Kedudukan bandul ditentukan sepenuhnya oleh sudut sisihan dari kedudukan keseimbangan, dan oleh itu, untuk menentukan hukum gerakan bandul, sudah cukup untuk mencari pergantungan sudut ini pada masa.
Persamaan bentuk:
dipanggil persamaan (hukum) pergerakan bandul. Ia bergantung kepada keadaan awal, iaitu, pada sudut dan halaju sudut.
Kes had bagi Pendulum fizikal ialah bandul matematik, yang mewakili (seperti yang dinyatakan sebelum ini - Bab 2, § 3) titik material yang disambungkan kepada paksi mendatar di sekelilingnya diputar oleh rod tanpa berat yang tegar (Rajah 120). Jarak titik bahan dari paksi putaran dipanggil panjang bandul matematik.
Persamaan pergerakan bandul fizik dan matematik
Marilah kita memilih sistem paksi koordinat supaya satah xy melalui pusat graviti badan C dan bertepatan dengan satah hayunan bandul, seperti yang ditunjukkan dalam lukisan (Rajah 119). Mari kita halakan paksi yang berserenjang dengan satah lukisan ke arah kita. Kemudian, berdasarkan keputusan perenggan sebelumnya, kami menulis persamaan gerakan bandul fizik dalam bentuk:
di mana melalui menandakan momen inersia bandul berbanding paksi putarannya dan
Oleh itu anda boleh menulis:
Daya aktif yang bertindak pada bandul ialah beratnya, momen yang relatif kepada paksi berat ialah:
di manakah jarak dari paksi putaran bandul ke pusat jisim C.
Akibatnya, kita sampai pada persamaan gerakan bandul fizik berikut:
Oleh kerana bandul matematik ialah kes khas bagi bandul fizik, persamaan pembezaan yang ditulis di atas juga sah untuk bandul matematik. Jika panjang bandul matematik adalah sama dengan dan beratnya maka momen inersianya berbanding dengan paksi putaran adalah sama dengan
Oleh kerana jarak pusat graviti bandul matematik dari paksi adalah sama, persamaan pembezaan akhir bagi gerakan bandul matematik boleh ditulis dalam bentuk:
Panjang bandul fizikal yang dikurangkan
Membandingkan persamaan (16.8) dan (16.9), kita boleh membuat kesimpulan bahawa jika parameter bandul fizikal dan matematik dikaitkan dengan hubungan
maka hukum pergerakan bandul fizikal dan matematik adalah sama (di bawah keadaan awal yang sama).
Hubungan terakhir menunjukkan panjang yang perlu ada pada bandul matematik untuk bergerak dengan cara yang sama seperti bandul fizikal yang sepadan. Panjang ini dipanggil panjang berkurangan bandul fizikal. Maksud konsep ini ialah kajian pergerakan bandul fizikal boleh digantikan dengan kajian pergerakan bandul matematik iaitu litar mekanikal ringkas.
Kamiran pertama bagi persamaan gerakan bandul
Persamaan gerakan bandul fizik dan matematik mempunyai bentuk yang sama, oleh itu, persamaan gerakannya akan
Oleh kerana satu-satunya daya yang diambil kira dalam persamaan ini ialah daya graviti kepunyaan medan daya potensi, undang-undang pemuliharaan tenaga mekanikal berlaku.
Yang terakhir boleh diperolehi dengan cara yang mudah, iaitu, kita mendarab persamaan (16.10) pada masa itu.
Mengintegrasikan persamaan ini, kita dapat
Menentukan pemalar penyepaduan Cu daripada keadaan awal, kita dapati
Menyelesaikan persamaan terakhir untuk relatif yang kita dapat
Hubungan ini mewakili kamiran pertama bagi persamaan pembezaan (16.10).
Penentuan tindak balas sokongan bandul fizikal dan matematik
Kamiran pertama bagi persamaan gerakan membolehkan kita menentukan tindak balas sokongan bandul. Seperti yang ditunjukkan dalam perenggan sebelumnya, tindak balas sokongan ditentukan daripada persamaan (16.5). Dalam kes bandul fizikal, komponen daya aktif di sepanjang paksi koordinat dan momennya berbanding dengan paksi ialah:
Koordinat pusat jisim ditentukan oleh formula:
Kemudian persamaan untuk menentukan tindak balas sokongan mengambil bentuk:
Momen inersia emparan badan dan jarak antara sokongan mesti diketahui mengikut keadaan masalah. Pecutan sudut b dan halaju sudut с ditentukan daripada persamaan (16.9) dan (16.4) dalam bentuk:
Oleh itu, persamaan (16.12) menentukan sepenuhnya komponen tindak balas sokongan bandul fizik.
Persamaan (16.12) dipermudahkan lagi jika kita mempertimbangkan bandul matematik. Sesungguhnya, oleh kerana titik material bandul matematik terletak dalam satah maka Di samping itu, kerana satu titik ditetapkan, maka Akibatnya, persamaan (16.12) bertukar menjadi persamaan bentuk:
Daripada persamaan (16.13) menggunakan persamaan (16.9) ia berikutan bahawa tindak balas sokongan diarahkan sepanjang benang I (Rajah 120). Yang terakhir adalah hasil yang jelas. Akibatnya, mengunjurkan komponen kesamaan (16.13) ke arah benang, kita dapati persamaan untuk menentukan tindak balas sokongan bentuk (Rajah 120):
Menggantikan nilai di sini dan mengambil kira bahawa kami menulis:
Hubungan terakhir menentukan tindak balas dinamik bandul matematik. Perhatikan bahawa tindak balas statiknya adalah
Kajian kualitatif tentang sifat pergerakan bandul
Kamiran pertama bagi persamaan gerakan bandul membolehkan kita menjalankan kajian kualitatif tentang sifat gerakannya. Iaitu, kami menulis integral ini (16.11) dalam bentuk:
Semasa pergerakan, ekspresi radikal mesti sama ada positif atau lenyap pada beberapa titik. Mari kita anggap bahawa syarat awal adalah sedemikian
Dalam kes ini, ungkapan radikal tidak hilang di mana-mana. Akibatnya, apabila bergerak, bandul akan melalui semua nilai sudut dan halaju sudut dari bandul mempunyai tanda yang sama, yang ditentukan oleh arah halaju sudut awal, atau sudut sama ada akan meningkatkan semua masa atau berkurangan sepanjang masa, iaitu bandul akan berputar pada satu sisi.
Arah pergerakan akan sepadan dengan satu atau tanda lain dalam ungkapan (16.11). Syarat yang perlu untuk pelaksanaan pergerakan sedemikian ialah kehadiran halaju sudut awal, kerana jelas daripada ketaksamaan (16.14) bahawa, pada mana-mana sudut pesongan awal, adalah mustahil untuk mendapatkan pergerakan bandul sedemikian.
Biarlah sekarang keadaan awalnya begitu
Dalam kes ini, terdapat dua nilai sudut sedemikian di mana ungkapan radikal menjadi sifar. Biarkan ia sepadan dengan sudut yang ditakrifkan oleh kesamaan
Selain itu, ia akan berada di suatu tempat dalam julat dari 0 hingga . Selanjutnya, adalah jelas bahawa apabila
ungkapan radikal (16.11) akan menjadi positif dan untuk sewenang-wenangnya sedikit melebihinya akan menjadi negatif.
Akibatnya, apabila bandul bergerak, sudutnya berubah dalam julat:
Apabila halaju sudut bandul menjadi sifar dan sudut mula menurun kepada nilai . Dalam kes ini, tanda halaju sudut atau tanda di hadapan radikal dalam ungkapan (16.11) akan berubah. Apabila halaju sudut bandul mencapai sifar semula dan sudut sekali lagi mula meningkat kepada nilai
Oleh itu, bandul akan membuat pergerakan berayun
Amplitud ayunan bandul
Apabila bandul berayun, nilai maksimum sisihan dari menegak dipanggil amplitud ayunan. Ia sama dengan yang ditentukan daripada kesamarataan
Seperti berikut dari formula terakhir, amplitud ayunan bergantung pada data awal ciri-ciri utama bandul atau panjangnya yang dikurangkan.
Dalam kes tertentu, apabila bandul terpesong dari kedudukan keseimbangan dan dilepaskan tanpa kelajuan awal, maka ia akan sama dengan , oleh itu, amplitud tidak bergantung pada panjang yang dikurangkan.
Persamaan gerakan bandul dalam bentuk akhir
Biarkan kelajuan awal bandul adalah sifar, maka kamiran pertama bagi persamaan gerakannya ialah:
Mengintegrasikan persamaan ini, kami dapati
Kami akan mengira masa dari kedudukan bandul, sepadan kemudian
Mari kita ubah integrand menggunakan formula:
Kemudian kita dapat:
Kamiran yang terhasil dipanggil kamiran eliptik jenis pertama. Ia tidak boleh dinyatakan menggunakan bilangan terhingga fungsi asas.
Penyongsangan kamiran eliptik (16.15) berkenaan dengan had atasnya mewakili persamaan gerakan bandul:
Ini akan menjadi fungsi elips Jacobi yang dikaji dengan baik.
Tempoh ayunan bandul
Masa yang diambil untuk satu ayunan lengkap bandul dipanggil tempoh ayunannya. Mari kita nyatakan T. Oleh kerana masa pergerakan bandul dari kedudukan ke kedudukan adalah sama dengan masa pergerakan dari itu T akan ditentukan oleh formula:
Mari buat perubahan pembolehubah dengan meletakkan
Apabila berbeza dari 0 kepada akan berubah dari 0 kepada . Selanjutnya,
dan oleh itu
Kamiran terakhir dipanggil kamiran eliptik lengkap jenis pertama (nilainya diberikan dalam jadual khas).
Apabila integrand cenderung kepada perpaduan dan .
Rumus anggaran untuk ayunan kecil bandul
Dalam kes apabila ayunan bandul mempunyai amplitud yang kecil (secara praktikal tidak boleh melebihi 20°), anda boleh meletakkan
Kemudian persamaan pembezaan gerakan bandul mengambil bentuk:
