Bagaimana untuk menentukan sama ada garis bersilang. Susunan garisan bersama dalam ruang

Oh-oh-oh-oh-oh ... baik, ia adalah tinny, seolah-olah anda membaca ayat itu sendiri =) Namun, kemudian kelonggaran akan membantu, terutamanya kerana saya membeli aksesori yang sesuai hari ini. Oleh itu, mari kita teruskan ke bahagian pertama, saya harap, pada akhir artikel saya akan mengekalkan mood yang ceria.

Susunan bersama dua garis lurus

Kes apabila dewan menyanyi bersama dalam korus. Dua baris boleh:

1) perlawanan;

2) selari: ;

3) atau bersilang pada satu titik: .

Bantuan untuk dummies : sila ingat tanda matematik persimpangan , ia akan berlaku sangat kerap. Entri bermaksud garis bersilang dengan garis pada titik.

Bagaimana untuk menentukan kedudukan relatif dua baris?

Mari kita mulakan dengan kes pertama:

Dua garis bertepatan jika dan hanya jika pekali masing-masing adalah berkadar, iaitu, terdapat nombor "lambda" sedemikian sehingga kesamaan

Mari kita pertimbangkan garis lurus dan susun tiga persamaan daripada pekali yang sepadan: . Daripada setiap persamaan ia mengikuti bahawa, oleh itu, garis-garis ini bertepatan.

Sesungguhnya, jika semua pekali persamaan darab dengan -1 (tanda perubahan), dan semua pekali persamaan kurangkan sebanyak 2, anda mendapat persamaan yang sama: .

Kes kedua apabila garis selari:

Dua garis adalah selari jika dan hanya jika pekalinya pada pembolehubah adalah berkadar: , tetapi.

Sebagai contoh, pertimbangkan dua garis lurus. Kami menyemak perkadaran pekali yang sepadan untuk pembolehubah:

Walau bagaimanapun, jelas bahawa .

Dan kes ketiga, apabila garis bersilang:

Dua garis bersilang jika dan hanya jika pekali pembolehubahnya TIDAK berkadar, iaitu, TIDAK ada nilai "lambda" sedemikian sehingga kesamaan dipenuhi

Jadi, untuk garis lurus kami akan menyusun sistem:

Daripada persamaan pertama ia mengikuti bahawa , dan daripada persamaan kedua: , oleh itu, sistem tidak konsisten(tiada penyelesaian). Oleh itu, pekali pada pembolehubah adalah tidak berkadar.

Kesimpulan: garis bersilang

Dalam masalah praktikal, skema penyelesaian yang baru dipertimbangkan boleh digunakan. Ngomong-ngomong, ia sangat serupa dengan algoritma untuk menyemak vektor untuk keselarasan, yang kami pertimbangkan dalam pelajaran. Konsep pergantungan linear (bukan) vektor. Asas vektor. Tetapi ada pakej yang lebih bertamadun:

Contoh 1

Ketahui kedudukan relatif garisan:

Penyelesaian berdasarkan kajian arah vektor garis lurus:

a) Daripada persamaan kita dapati vektor arah garis: .

, jadi vektor bukan kolinear dan garisan bersilang.

Untuk berjaga-jaga, saya akan meletakkan batu dengan penunjuk di persimpangan jalan:

Selebihnya melompat ke atas batu dan mengikuti, terus ke Kashchei the Deathless =)

b) Cari vektor arah bagi garisan tersebut:

Garis mempunyai vektor arah yang sama, yang bermaksud sama ada selari atau sama. Di sini penentu tidak perlu.

Jelas sekali, pekali yang tidak diketahui adalah berkadar, manakala .

Mari kita ketahui sama ada persamaan itu benar:

Dengan cara ini,

c) Cari vektor arah garis:

Mari kita hitung penentu, yang terdiri daripada koordinat vektor ini:
, oleh itu, vektor arah adalah kolinear. Garis sama ada selari atau bertepatan.

Faktor perkadaran "lambda" mudah dilihat secara langsung daripada nisbah vektor arah kolinear. Walau bagaimanapun, ia juga boleh didapati melalui pekali persamaan itu sendiri: .

Sekarang mari kita ketahui sama ada persamaan itu benar. Kedua-dua syarat percuma adalah sifar, jadi:

Nilai yang terhasil memenuhi persamaan ini (sebarang nombor secara amnya memenuhinya).

Oleh itu, garisan bertepatan.

Jawab:

Tidak lama lagi anda akan belajar (atau bahkan telah belajar) untuk menyelesaikan masalah yang dipertimbangkan secara lisan secara literal dalam beberapa saat. Dalam hal ini, saya tidak melihat sebab untuk menawarkan sesuatu untuk penyelesaian bebas, lebih baik meletakkan satu bata yang lebih penting dalam asas geometri:

Bagaimana untuk melukis garis selari dengan yang diberikan?

Kerana ketidaktahuan tentang tugas paling mudah ini, Nightingale si Perompak menghukum dengan keras.

Contoh 2

Garis lurus diberikan oleh persamaan. Tulis persamaan untuk garis selari yang melalui titik itu.

Penyelesaian: Nyatakan baris yang tidak diketahui dengan huruf . Apakah yang dikatakan syarat mengenainya? Garisan itu melalui titik itu. Dan jika garisan selari, maka jelaslah bahawa vektor pengarah garisan "ce" juga sesuai untuk membina garisan "de".

Kami mengeluarkan vektor arah dari persamaan:

Jawab:

Geometri contoh kelihatan mudah:

Pengesahan analitik terdiri daripada langkah-langkah berikut:

1) Kami menyemak bahawa garisan mempunyai vektor arah yang sama (jika persamaan garis tidak dipermudahkan dengan betul, maka vektor akan menjadi kolinear).

2) Periksa sama ada titik itu memenuhi persamaan yang terhasil.

Pengesahan analitik dalam kebanyakan kes mudah dilakukan secara lisan. Lihat kedua-dua persamaan dan ramai daripada anda akan dengan cepat mengetahui bagaimana garisan selari tanpa sebarang lukisan.

Contoh untuk menyelesaikan diri hari ini akan menjadi kreatif. Kerana anda masih perlu bersaing dengan Baba Yaga, dan dia, anda tahu, adalah pencinta semua jenis teka-teki.

Contoh 3

Tulis persamaan untuk garis yang melalui titik selari dengan garis jika

Terdapat cara yang rasional dan tidak terlalu rasional untuk menyelesaikannya. Cara terpendek ialah pada akhir pelajaran.

Kami melakukan sedikit kerja dengan garis selari dan akan kembali kepada mereka kemudian. Kes garis bertepatan adalah kurang menarik, jadi mari kita pertimbangkan masalah yang anda ketahui dari kurikulum sekolah:

Bagaimana untuk mencari titik persilangan dua garis?

Jika lurus bersilang pada titik , maka koordinatnya ialah penyelesaiannya sistem persamaan linear

Bagaimana untuk mencari titik persilangan garis? Selesaikan sistem.

Ini untuk anda makna geometri sistem dua persamaan linear dengan dua tidak diketahui ialah dua garis lurus yang bersilang (paling kerap) pada satah.

Contoh 4

Cari titik persilangan garis

Penyelesaian: Terdapat dua cara untuk menyelesaikan - grafik dan analitik.

Cara grafik adalah dengan hanya melukis garisan yang diberikan dan mengetahui titik persilangan terus dari lukisan:

Inilah point kami: . Untuk menyemak, anda harus menggantikan koordinatnya ke dalam setiap persamaan garis lurus, ia harus sesuai di sana dan di sana. Dalam erti kata lain, koordinat titik ialah penyelesaian sistem. Malah, kami mempertimbangkan cara grafik untuk menyelesaikannya sistem persamaan linear dengan dua persamaan, dua tidak diketahui.

Kaedah grafik, tentu saja, tidak buruk, tetapi terdapat kelemahan yang ketara. Tidak, maksudnya bukanlah bahawa pelajar gred tujuh membuat keputusan dengan cara ini, perkara utama ialah ia akan mengambil masa untuk membuat lukisan yang betul dan TEPAT. Di samping itu, beberapa baris tidak begitu mudah untuk dibina, dan titik persilangan itu sendiri mungkin berada di suatu tempat dalam kerajaan ketiga puluh di luar helaian buku nota.

Oleh itu, adalah lebih sesuai untuk mencari titik persilangan dengan kaedah analisis. Mari selesaikan sistem:

Untuk menyelesaikan sistem, kaedah penambahan sebutan bagi persamaan telah digunakan. Untuk mengembangkan kemahiran yang berkaitan, lawati pelajaran Bagaimana untuk menyelesaikan sistem persamaan?

Jawab:

Pengesahan adalah remeh - koordinat titik persilangan mesti memenuhi setiap persamaan sistem.

Contoh 5

Cari titik persilangan garis jika ia bersilang.

Ini adalah contoh buat sendiri. Tugas itu boleh dibahagikan dengan mudah kepada beberapa peringkat. Analisis keadaan menunjukkan bahawa perlu:
1) Tulis persamaan garis lurus.
2) Tulis persamaan garis lurus.
3) Ketahui kedudukan relatif garisan tersebut.
4) Jika garis bersilang, maka cari titik persilangan.

Pembangunan algoritma tindakan adalah tipikal untuk banyak masalah geometri, dan saya akan berulang kali memfokuskan pada ini.

Penyelesaian penuh dan jawapan pada akhir tutorial:

Sepasang kasut belum lagi haus, kerana kami sampai ke bahagian kedua pelajaran:

Garis serenjang. Jarak dari titik ke garis.
Sudut antara garisan

Mari kita mulakan dengan tugas biasa dan sangat penting. Pada bahagian pertama, kami belajar cara membina garis lurus selari dengan yang diberikan, dan kini pondok di kaki ayam akan bertukar 90 darjah:

Bagaimana untuk melukis garis berserenjang dengan yang diberikan?

Contoh 6

Garis lurus diberikan oleh persamaan. Tulis persamaan untuk garis serenjang yang melalui titik.

Penyelesaian: Adalah diketahui dengan andaian bahawa . Alangkah baiknya untuk mencari vektor arah garis lurus. Oleh kerana garisan adalah serenjang, silap mata adalah mudah:

Daripada persamaan kita "mengeluarkan" vektor normal: , yang akan menjadi vektor arah garis lurus.

Kami menyusun persamaan garis lurus dengan titik dan vektor arah:

Jawab:

Mari kita buka lakaran geometri:

Hmmm... Langit oren, laut oren, unta oren.

Pengesahan analisis penyelesaian:

1) Ekstrak vektor arah daripada persamaan dan dengan bantuan hasil darab titik bagi vektor kita menyimpulkan bahawa garis-garis itu sememangnya berserenjang: .

Dengan cara ini, anda boleh menggunakan vektor biasa, ia lebih mudah.

2) Periksa sama ada titik itu memenuhi persamaan yang terhasil .

Pengesahan, sekali lagi, mudah dilakukan secara lisan.

Contoh 7

Cari titik persilangan garis serenjang, jika persamaannya diketahui dan titik.

Ini adalah contoh buat sendiri. Terdapat beberapa tindakan dalam tugas itu, jadi mudah untuk mengatur penyelesaian titik demi titik.

Perjalanan menarik kami diteruskan:

Jarak dari titik ke garisan

Di hadapan kita adalah jalur lurus sungai dan tugas kita adalah untuk mencapainya dengan cara yang paling singkat. Tiada halangan, dan laluan yang paling optimum adalah pergerakan sepanjang serenjang. Iaitu, jarak dari titik ke garis ialah panjang segmen serenjang.

Jarak dalam geometri secara tradisinya dilambangkan dengan huruf Yunani "ro", sebagai contoh: - jarak dari titik "em" ke garis lurus "de".

Jarak dari titik ke garisan dinyatakan oleh formula

Contoh 8

Cari jarak dari satu titik ke garis

Penyelesaian: apa yang anda perlukan adalah dengan berhati-hati menggantikan nombor ke dalam formula dan melakukan pengiraan:

Jawab:

Mari kita laksanakan lukisan:

Jarak yang ditemui dari titik ke garisan adalah betul-betul panjang ruas merah. Jika anda membuat lukisan di atas kertas berkotak-kotak pada skala 1 unit. \u003d 1 cm (2 sel), maka jarak boleh diukur dengan pembaris biasa.

Pertimbangkan tugas lain mengikut lukisan yang sama:

Tugasnya adalah untuk mencari koordinat titik , yang simetri kepada titik berkenaan dengan garis . Saya bercadang untuk melakukan tindakan sendiri, bagaimanapun, saya akan menggariskan algoritma penyelesaian dengan hasil perantaraan:

1) Cari garis yang berserenjang dengan garis.

2) Cari titik persilangan garis: .

Kedua-dua tindakan dibincangkan secara terperinci dalam pelajaran ini.

3) Titik ialah titik tengah segmen. Kami tahu koordinat tengah dan salah satu hujung. Oleh formula untuk koordinat tengah segmen cari .

Ia tidak akan berlebihan untuk memeriksa bahawa jarak juga sama dengan 2.2 unit.

Kesukaran di sini mungkin timbul dalam pengiraan, tetapi di menara kalkulator mikro banyak membantu, membolehkan anda mengira pecahan biasa. Telah menasihati banyak kali dan akan mengesyorkan lagi.

Bagaimana untuk mencari jarak antara dua garis selari?

Contoh 9

Cari jarak antara dua garis selari

Ini adalah satu lagi contoh untuk penyelesaian bebas. Sedikit petunjuk: terdapat banyak cara untuk diselesaikan. Taklimat di akhir pelajaran, tetapi lebih baik cuba teka sendiri, saya rasa anda berjaya menyuraikan kepintaran anda dengan baik.

Sudut antara dua garis

Walau apa pun sudutnya, maka tiangnya:


Dalam geometri, sudut antara dua garis lurus diambil sebagai sudut yang LEBIH KECIL, dari mana ia secara automatik mengikuti bahawa ia tidak boleh menjadi tumpul. Dalam rajah, sudut yang ditunjukkan oleh lengkok merah tidak dianggap sebagai sudut antara garis bersilang. Dan jirannya "hijau" atau berorientasikan bertentangan sudut lembayung.

Jika garisan itu berserenjang, maka mana-mana daripada 4 sudut itu boleh diambil sebagai sudut di antaranya.

Bagaimanakah sudut berbeza? Orientasi. Pertama, arah "menatal" sudut pada asasnya penting. Kedua, sudut berorientasikan negatif ditulis dengan tanda tolak, sebagai contoh, jika .

Mengapa saya berkata ini? Nampaknya anda boleh bertahan dengan konsep sudut biasa. Hakikatnya ialah dalam formula yang mana kita akan mencari sudut, hasil negatif boleh diperolehi dengan mudah, dan ini tidak sepatutnya mengejutkan anda. Sudut dengan tanda tolak tidak lebih buruk, dan mempunyai makna geometri yang sangat spesifik. Dalam lukisan untuk sudut negatif, adalah penting untuk menunjukkan orientasinya (mengikut arah jam) dengan anak panah.

Bagaimana untuk mencari sudut antara dua garis? Terdapat dua formula kerja:

Contoh 10

Cari sudut antara garis

Penyelesaian dan Kaedah satu

Pertimbangkan dua garis lurus yang diberikan oleh persamaan dalam bentuk umum:

Jika lurus tidak berserenjang, kemudian berorientasikan sudut di antara mereka boleh dikira menggunakan formula:

Mari kita perhatikan dengan teliti penyebutnya - ini betul-betul produk skalar vektor arah garis lurus:

Jika , maka penyebut formula itu hilang, dan vektor akan menjadi ortogon dan garis akan berserenjang. Itulah sebabnya tempahan dibuat tentang ketidakserenjangan garisan dalam rumusan.

Berdasarkan perkara di atas, penyelesaiannya diformalkan dengan mudah dalam dua langkah:

1) Kira hasil skalar bagi vektor arah garis lurus:
jadi garisan tidak berserenjang.

2) Kami mencari sudut antara garis dengan formula:

Menggunakan fungsi songsang, adalah mudah untuk mencari sudut itu sendiri. Dalam kes ini, kami menggunakan keganjilan tangen arka (lihat Rajah. Graf dan sifat fungsi asas):

Jawab:

Dalam jawapannya, kami menunjukkan nilai yang tepat, serta nilai anggaran (sebaik-baiknya dalam darjah dan dalam radian), dikira menggunakan kalkulator.

Nah, tolak, jadi tolak, tidak mengapa. Berikut adalah ilustrasi geometri:

Tidak menghairankan bahawa sudut itu ternyata berorientasikan negatif, kerana dalam keadaan masalah nombor pertama adalah garis lurus dan "berpusing" sudut itu bermula dengan tepat daripadanya.

Jika anda benar-benar ingin mendapatkan sudut positif, anda perlu menukar garis lurus, iaitu, ambil pekali dari persamaan kedua , dan ambil pekali daripada persamaan pertama . Pendek kata, anda perlu bermula dengan langsung .

Dengan bantuan kalkulator dalam talian ini anda boleh mencari titik persilangan garisan pada pesawat. Penyelesaian terperinci dengan penjelasan diberikan. Untuk mencari koordinat titik persilangan garis, nyatakan jenis persamaan garis ("kanonik", "parametrik" atau "umum"), masukkan pekali persamaan garis ke dalam sel dan klik butang "Selesaikan". Lihat bahagian teori dan contoh berangka di bawah.

×

Amaran

Kosongkan semua sel?

Tutup Kosong

Arahan kemasukan data. Nombor dimasukkan sebagai nombor bulat (contoh: 487, 5, -7623, dsb.), nombor perpuluhan (cth. 67., 102.54, dsb.) atau pecahan. Pecahan mesti ditaip dalam bentuk a/b, dengan a dan b (b>0) ialah nombor integer atau perpuluhan. Contoh 45/5, 6.6/76.4, -7/6.7, dsb.

Titik persilangan garis dalam satah - teori, contoh dan penyelesaian

1. Titik persilangan garis lurus yang diberikan dalam bentuk am.

Oxy L 1 dan L 2:

Mari bina matriks tambahan:

Jika B" 2=0 dan DENGAN" 2 =0, maka sistem persamaan linear mempunyai banyak penyelesaian. Oleh itu langsung L 1 dan L 2 perlawanan. Jika B" 2=0 dan DENGAN" 2 ≠0, maka sistem itu tidak konsisten dan, oleh itu, garisan adalah selari dan tidak mempunyai titik sepunya. Jika B" 2 ≠0, maka sistem persamaan linear mempunyai penyelesaian yang unik. Daripada persamaan kedua kita dapati y: y=DENGAN" 2 /B" 2 dan menggantikan nilai yang terhasil ke dalam persamaan pertama, kita dapati x: x=−DENGAN 1 −B 1 y. Dapatkan titik persilangan garis L 1 dan L 2: M(x, y).

2. Titik persilangan garisan yang diberi dalam bentuk kanonik.

Biarkan sistem koordinat segi empat tepat Cartesan diberikan Oxy dan biarkan garisan diberikan dalam sistem koordinat ini L 1 dan L 2:

Mari buka kurungan dan buat transformasi:

Dengan kaedah yang sama, kita memperoleh persamaan am bagi garis lurus (7):

Daripada persamaan (12) ia berikut:

Cara mencari titik persilangan garis yang diberikan dalam bentuk kanonik diterangkan di atas.

4. Titik persilangan garisan yang ditakrifkan dalam pandangan yang berbeza.

Biarkan sistem koordinat segi empat tepat Cartesan diberikan Oxy dan biarkan garisan diberikan dalam sistem koordinat ini L 1 dan L 2:

Jom cari t:

Kami menyelesaikan sistem persamaan linear berkenaan dengan x, y. Untuk melakukan ini, kami menggunakan kaedah Gauss. Kita mendapatkan:

Contoh 2. Cari titik persilangan garis L 1 dan L 2:

(21)

Untuk mencari titik persilangan garis L 1 dan L 2 adalah perlu untuk menyelesaikan sistem persamaan linear (20) dan (21). Kami mewakili persamaan dalam bentuk matriks.

Biarkan dua garisan diberikan dan ia diperlukan untuk mencari titik persilangannya. Oleh kerana titik ini kepunyaan setiap dua baris yang diberikan, koordinatnya mesti memenuhi kedua-dua persamaan baris pertama dan persamaan baris kedua.

Oleh itu, untuk mencari koordinat titik persilangan dua garis, seseorang harus menyelesaikan sistem persamaan

Contoh 1. Cari titik persilangan garis dan

Penyelesaian. Kita akan mencari koordinat titik persilangan yang dikehendaki dengan menyelesaikan sistem persamaan

Titik persilangan M mempunyai koordinat

Mari kita tunjukkan cara membina garis lurus daripada persamaannya. Untuk melukis garis, cukup untuk mengetahui dua titiknya. Untuk memplot setiap titik ini, kami memberikan nilai arbitrari kepada salah satu koordinatnya, dan kemudian dari persamaan kami mencari nilai yang sepadan dengan koordinat yang lain.

Jika dalam persamaan umum garis lurus, kedua-dua pekali pada koordinat semasa tidak sama dengan sifar, maka untuk membina garis lurus ini, adalah yang terbaik untuk mencari titik persilangannya dengan paksi koordinat.

Contoh 2. Bina garis lurus.

Penyelesaian. Cari titik persilangan garis ini dengan paksi-x. Untuk melakukan ini, kami menyelesaikan bersama persamaan mereka:

dan kita dapat. Oleh itu, titik M (3; 0) persilangan garis lurus ini dengan paksi absis ditemui (Rajah 40).

Selesaikan kemudian bersama persamaan garis yang diberi dan persamaan paksi-y

kita mencari titik persilangan garis dengan paksi-y. Akhir sekali, kami membina garisan daripada dua titik M dan

Apabila menyelesaikan beberapa masalah geometri menggunakan kaedah koordinat, adalah perlu untuk mencari koordinat titik persilangan garis. Selalunya, seseorang perlu mencari koordinat titik persilangan dua garisan pada satah, tetapi kadangkala ia menjadi perlu untuk menentukan koordinat titik persilangan dua garisan di angkasa. Dalam artikel ini, kita akan berurusan dengan mencari koordinat titik di mana dua garis bersilang.

Navigasi halaman.

Titik persilangan dua garis adalah definisi.

Mari kita tentukan titik persilangan dua garis dahulu.

Dalam bahagian kedudukan relatif garis pada satah, ditunjukkan bahawa dua garis pada satah boleh sama ada bertepatan (dan ia mempunyai banyak titik sepunya yang tidak terhingga), atau selari (dan dua garis tidak mempunyai titik sepunya), atau bersilang. , mempunyai satu titik persamaan. Terdapat lebih banyak pilihan untuk susunan dua garisan bersama di angkasa - ia boleh bertepatan (mempunyai banyak titik persamaan), ia boleh selari (iaitu, ia terletak dalam satah yang sama dan tidak bersilang), ia boleh bersilang (tidak terletak dalam satah yang sama), dan mereka juga boleh mempunyai satu titik yang sama, iaitu, bersilang. Jadi, dua garis dalam satah dan dalam angkasa dipanggil bersilang jika mereka mempunyai satu titik sepunya.

Daripada definisi garis bersilang ia mengikuti penentuan titik persilangan garis: Titik di mana dua garis bersilang dipanggil titik persilangan garis ini. Dengan kata lain, satu-satunya titik sepunya bagi dua garis bersilang ialah titik persilangan garis ini.

Untuk kejelasan, kami membentangkan ilustrasi grafik titik persilangan dua garisan dalam satah dan dalam angkasa.

Bahagian atas halaman

Mencari koordinat titik persilangan dua garis pada satah.

Sebelum mencari koordinat titik persilangan dua garis dalam satah mengikut persamaan mereka yang diketahui, kami menganggap masalah tambahan.

Oxy a dan b. Kami akan menganggap bahawa langsung a sepadan dengan persamaan umum garis lurus, dan garis lurus b- jenis. Biarkan beberapa titik pesawat, dan ia diperlukan untuk mengetahui sama ada titik itu M 0 titik persilangan garis yang diberi.

Jom selesaikan masalah.

Jika M0 a dan b, maka mengikut definisi ia juga tergolong dalam baris a dan langsung b, iaitu, koordinatnya mesti serentak memenuhi kedua-dua persamaan dan persamaan. Oleh itu, kita perlu menggantikan koordinat titik tersebut M 0 ke dalam persamaan garis yang diberikan dan lihat jika dua kesamaan benar diperolehi. Jika titik koordinat M 0 memenuhi kedua-dua persamaan dan , maka ialah titik persilangan garis a dan b, jika tidak M 0 .

Adakah maksudnya M 0 dengan koordinat (2, -3) titik persilangan garis 5x-2y-16=0 dan 2x-5y-19=0?

Jika M 0 ialah titik persilangan garis yang diberi, maka koordinatnya memenuhi persamaan garis. Mari kita semak ini dengan menggantikan koordinat titik M 0 ke dalam persamaan yang diberikan:

Kami mendapat dua kesamaan sebenar, oleh itu, M 0 (2, -3)- titik persilangan garis 5x-2y-16=0 dan 2x-5y-19=0.

Untuk kejelasan, kami membentangkan lukisan yang menunjukkan garis lurus dan menunjukkan koordinat titik persilangan mereka.

ya, dot M 0 (2, -3) ialah titik persilangan garis 5x-2y-16=0 dan 2x-5y-19=0.

Adakah garis bersilang? 5x+3y-1=0 dan 7x-2y+11=0 pada titik M 0 (2, -3)?

Gantikan koordinat titik tersebut M 0 ke dalam persamaan garis, dengan tindakan ini kita akan menyemak sama ada titik itu kepunyaan M 0 kedua-dua baris pada masa yang sama:

Sejak persamaan kedua, apabila menggantikan koordinat titik ke dalamnya M 0 tidak bertukar menjadi kesaksamaan sebenar, maka intinya M 0 tidak tergolong dalam barisan 7x-2y+11=0. Daripada fakta ini, kita boleh membuat kesimpulan bahawa perkara itu M 0 bukan titik persilangan garis yang diberikan.

Ia juga jelas dilihat dalam lukisan bahawa titik M 0 bukan titik persilangan garis 5x+3y-1=0 dan 7x-2y+11=0. Jelas sekali, garisan yang diberikan bersilang pada satu titik dengan koordinat (-1, 2) .

M 0 (2, -3) bukan titik persilangan garis 5x+3y-1=0 dan 7x-2y+11=0.

Sekarang kita boleh meneruskan kepada masalah mencari koordinat titik persilangan dua garis mengikut persamaan garisan yang diberikan pada satah.

Biarkan sistem koordinat Cartesan segi empat tepat ditetapkan pada satah Oxy dan diberi dua garis bersilang a dan b persamaan dan masing-masing. Mari kita nyatakan titik persilangan garis yang diberikan sebagai M 0 dan selesaikan masalah berikut: cari koordinat titik persilangan dua garis a dan b mengikut persamaan yang diketahui bagi garis-garis ini dan .

titik M0 tergolong dalam setiap garis bersilang a dan b mengikut takrifan. Kemudian koordinat titik persilangan garis a dan b memenuhi kedua-dua persamaan dan persamaan. Oleh itu, koordinat titik persilangan dua garis a dan b ialah penyelesaian kepada sistem persamaan (lihat artikel penyelesaian sistem persamaan algebra linear).

Oleh itu, untuk mencari koordinat titik persilangan dua garis yang ditakrifkan pada satah dengan persamaan am, adalah perlu untuk menyelesaikan sistem yang terdiri daripada persamaan garis yang diberikan.

Mari kita pertimbangkan contoh penyelesaian.

Cari titik persilangan dua garis yang ditakrifkan dalam sistem koordinat segi empat tepat dalam satah dengan persamaan x-9y+14=0 dan 5x-2y-16=0.

Kami diberi dua persamaan umum garis, kami akan menyusun sistem daripadanya: . Penyelesaian sistem persamaan yang terhasil mudah didapati jika persamaan pertamanya diselesaikan berkenaan dengan pembolehubah x dan gantikan ungkapan ini ke dalam persamaan kedua:

Penyelesaian sistem persamaan yang ditemui memberi kita koordinat yang dikehendaki bagi titik persilangan dua garis.

M 0 (4, 2)- titik persilangan garis x-9y+14=0 dan 5x-2y-16=0.

Jadi, mencari koordinat titik persilangan dua garis, yang ditakrifkan oleh persamaan am pada satah, dikurangkan kepada menyelesaikan sistem dua persamaan linear dengan dua pembolehubah yang tidak diketahui. Tetapi bagaimana jika garis lurus pada satah diberikan bukan oleh persamaan umum, tetapi oleh persamaan jenis yang berbeza (lihat jenis persamaan garis lurus pada satah)? Dalam kes ini, anda boleh mula-mula membawa persamaan garis ke bentuk umum, dan hanya selepas itu mencari koordinat titik persilangan.

Sebelum mencari koordinat titik persilangan garis yang diberikan, kami membawa persamaannya ke bentuk umum. Peralihan daripada persamaan parametrik garis lurus kepada persamaan umum garis lurus ini adalah seperti berikut:

Sekarang kita akan menjalankan tindakan yang diperlukan dengan persamaan kanonik garis:

Oleh itu, koordinat yang dikehendaki bagi titik persilangan garis adalah penyelesaian kepada sistem persamaan bentuk . Kami menggunakan kaedah Cramer untuk menyelesaikannya:

M 0 (-5, 1)

Terdapat satu lagi cara untuk mencari koordinat titik persilangan dua garisan dalam satah. Ia adalah mudah untuk menggunakannya apabila satu daripada garis lurus diberikan oleh persamaan parametrik bentuk , dan satu lagi diberikan oleh persamaan garis lurus daripada jenis yang berbeza. Dalam kes ini, ke dalam persamaan lain dan bukannya pembolehubah x dan y anda boleh menggantikan ungkapan dan , dari mana anda boleh mendapatkan nilai yang sepadan dengan titik persilangan baris yang diberikan. Dalam kes ini, titik persilangan garis mempunyai koordinat .

Mari cari koordinat titik persilangan garis dari contoh sebelumnya dengan cara ini.

Tentukan koordinat titik persilangan garis dan .

Gantikan dalam persamaan ungkapan langsung:

Menyelesaikan persamaan yang terhasil, kita dapat . Nilai ini sepadan dengan titik sepunya garis dan . Kami mengira koordinat titik persilangan dengan menggantikan garis lurus ke dalam persamaan parametrik:
.

M 0 (-5, 1).

Untuk melengkapkan gambar, satu lagi perkara perlu dibincangkan.

Sebelum mencari koordinat titik persilangan dua garisan dalam satah, adalah berguna untuk memastikan bahawa garisan yang diberikan benar-benar bersilang. Jika ternyata garis asal bertepatan atau selari, maka tidak ada persoalan untuk mencari koordinat titik persilangan garis tersebut.

Anda boleh, tentu saja, melakukan tanpa pemeriksaan sedemikian, dan segera merangka sistem persamaan bentuk dan menyelesaikannya. Jika sistem persamaan mempunyai penyelesaian yang unik, maka ia memberikan koordinat titik di mana garis asal bersilang. Jika sistem persamaan tidak mempunyai penyelesaian, maka kita boleh membuat kesimpulan bahawa garis asal adalah selari (kerana tidak ada pasangan nombor nyata x dan y, yang pada masa yang sama akan memenuhi kedua-dua persamaan garis yang diberikan). Daripada kehadiran set penyelesaian tak terhingga kepada sistem persamaan, maka garis asal mempunyai banyak titik persamaan yang tak terhingga, iaitu, ia bertepatan.

Mari lihat contoh yang sesuai dengan situasi ini.

Ketahui jika garis dan bersilang, dan jika ia bersilang, kemudian cari koordinat titik persilangan.

Persamaan garis yang diberi sepadan dengan persamaan dan . Mari kita selesaikan sistem yang terdiri daripada persamaan ini.

Jelas sekali, persamaan sistem dinyatakan secara linear melalui satu sama lain (persamaan kedua sistem diperoleh daripada yang pertama dengan mendarab kedua-dua bahagiannya dengan 4 ), oleh itu, sistem persamaan mempunyai bilangan penyelesaian yang tidak terhingga. Oleh itu, persamaan dan mentakrifkan garis yang sama, dan kita tidak boleh bercakap tentang mencari koordinat titik persilangan garis-garis ini.

persamaan dan ditakrifkan dalam sistem koordinat segi empat tepat Oxy garis lurus yang sama, jadi kita tidak boleh bercakap tentang mencari koordinat titik persilangan.

Cari koordinat titik persilangan garis dan, jika boleh.

Keadaan masalah mengakui bahawa garisan mungkin tidak bersilang. Mari kita susun sistem persamaan ini. Kami menggunakan kaedah Gauss untuk menyelesaikannya, kerana ia membolehkan kami mewujudkan keserasian atau ketidakkonsistenan sistem persamaan, dan dalam kes keserasiannya, cari penyelesaian:

Persamaan terakhir sistem selepas laluan langsung kaedah Gauss bertukar menjadi kesamaan yang tidak betul, oleh itu, sistem persamaan tidak mempunyai penyelesaian. Daripada ini kita boleh membuat kesimpulan bahawa garis asal adalah selari, dan kita tidak boleh bercakap tentang mencari koordinat titik persilangan garis-garis ini.

Penyelesaian kedua.

Mari kita ketahui sama ada garisan yang diberikan bersilang.

Vektor normal ialah garis, dan vektor ialah vektor normal garis. Mari kita periksa pemenuhan syarat keselarasan vektor dan : kesamaan adalah benar, kerana, oleh itu, vektor normal garisan yang diberikan adalah kolinear. Kemudian, garisan ini selari atau bertepatan. Oleh itu, kita tidak dapat mencari koordinat titik persilangan garis asal.

adalah mustahil untuk mencari koordinat titik persilangan garis yang diberikan, kerana garis ini selari.

Cari koordinat titik persilangan garis 2x-1=0 dan jika mereka bersilang.

Mari kita susun satu sistem persamaan yang merupakan persamaan am bagi garisan yang diberi: . Penentu matriks utama sistem persamaan ini adalah berbeza daripada sifar, oleh itu sistem persamaan mempunyai penyelesaian unik, yang menunjukkan persilangan garis yang diberikan.

Untuk mencari koordinat titik persilangan garis, kita perlu menyelesaikan sistem:

Penyelesaian yang terhasil memberi kita koordinat titik persilangan garis, iaitu, - titik persilangan garis 2x-1=0 dan .

Bahagian atas halaman

Mencari koordinat titik persilangan dua garis dalam ruang.

Koordinat titik persilangan dua garisan dalam ruang tiga dimensi didapati sama.

Biarkan garis bersilang a dan b diberikan dalam sistem koordinat segi empat tepat Oxyz persamaan dua satah bersilang, iaitu garis lurus a ditentukan oleh sistem bentuk , dan garisan b- . biarlah M 0- titik persilangan garis a dan b. Kemudian intinya M 0 mengikut definisi tergolong dalam baris a dan langsung b, oleh itu, koordinatnya memenuhi persamaan kedua-dua garis. Oleh itu, koordinat titik persilangan garis a dan b mewakili penyelesaian kepada sistem persamaan linear dalam bentuk . Di sini kita memerlukan maklumat daripada bahagian penyelesaian sistem persamaan linear di mana bilangan persamaan tidak bertepatan dengan bilangan pembolehubah yang tidak diketahui.

Mari kita pertimbangkan contoh.

Cari koordinat titik persilangan dua garis yang diberi dalam ruang oleh persamaan dan .

Mari kita susun sistem persamaan daripada persamaan garis yang diberi: . Penyelesaian sistem ini akan memberi kita koordinat yang dikehendaki bagi titik persilangan garisan dalam ruang. Mari kita cari penyelesaian sistem persamaan bertulis.

Matriks utama sistem mempunyai bentuk , dan yang dilanjutkan - .

Tentukan pangkat matriks A dan pangkat matriks T. Kami menggunakan kaedah menyempadankan kanak-kanak di bawah umur, sementara kami tidak akan menerangkan secara terperinci pengiraan penentu (jika perlu, rujuk artikel yang mengira penentu matriks):

Oleh itu, pangkat matriks utama adalah sama dengan pangkat matriks lanjutan dan bersamaan dengan tiga.

Oleh itu, sistem persamaan mempunyai penyelesaian yang unik.

Kami mengambil penentu sebagai asas kecil, jadi persamaan terakhir harus dikecualikan daripada sistem persamaan, kerana ia tidak mengambil bahagian dalam pembentukan asas kecil. Jadi,

Penyelesaian sistem yang terhasil mudah didapati:

Oleh itu, titik persilangan garis dan mempunyai koordinat (1, -3, 0) .

(1, -3, 0) .

Perlu diingatkan bahawa sistem persamaan mempunyai penyelesaian yang unik jika dan hanya jika garis a dan b bersilang. Jika langsung a dan b selari atau bersilang, maka sistem persamaan terakhir tidak mempunyai penyelesaian, kerana dalam hal ini garis tidak mempunyai titik sepunya. Jika lurus a dan b bertepatan, maka mereka mempunyai bilangan titik sepunya yang tidak terhingga, oleh itu, sistem persamaan yang ditunjukkan mempunyai bilangan penyelesaian yang tidak terhingga. Walau bagaimanapun, dalam kes ini kita tidak boleh bercakap tentang mencari koordinat titik persilangan garis, kerana garisan tidak bersilang.

Oleh itu, jika kita tidak mengetahui terlebih dahulu, garisan yang diberikan bersilang a dan b atau tidak, adalah munasabah untuk menyusun sistem persamaan bentuk dan menyelesaikannya menggunakan kaedah Gauss. Jika kita mendapat penyelesaian yang unik, maka ia akan sepadan dengan koordinat titik persilangan garis a dan b. Jika sistem ternyata tidak konsisten, maka langsung a dan b jangan bersilang. Jika sistem mempunyai bilangan penyelesaian yang tidak terhingga, maka langsung a dan b padankan.

Anda boleh melakukannya tanpa menggunakan kaedah Gauss. Sebagai alternatif, anda boleh mengira pangkat matriks utama dan lanjutan sistem ini, dan berdasarkan data yang diperolehi dan teorem Kronecker-Capelli, buat kesimpulan sama ada tentang kewujudan penyelesaian tunggal, atau tentang kewujudan banyak penyelesaian, atau tentang ketiadaan penyelesaian. Ini soal selera.

Jika garis dan bersilang, maka tentukan koordinat titik persilangan.

Mari kita susun sistem persamaan yang diberikan: . Kami menyelesaikannya dengan kaedah Gauss dalam bentuk matriks:

Ia menjadi jelas bahawa sistem persamaan tidak mempunyai penyelesaian, oleh itu, garis-garis yang diberikan tidak bersilang, dan tidak ada persoalan untuk mencari koordinat titik persilangan garis-garis ini.

kita tidak dapat mencari koordinat titik persilangan garis yang diberikan, kerana garis ini tidak bersilang.

Apabila garis bersilang diberikan oleh persamaan kanonik garis dalam ruang atau persamaan parametrik garis dalam ruang, maka anda harus terlebih dahulu mendapatkan persamaannya dalam bentuk dua satah bersilang, dan hanya selepas itu cari koordinat titik persilangan.

Dua garis bersilang diberikan dalam sistem koordinat segi empat tepat Oxyz persamaan dan . Cari koordinat titik persilangan garis ini.

Mari kita tetapkan garis lurus awal dengan persamaan dua satah bersilang:

Untuk mencari koordinat titik persilangan garis, ia kekal untuk menyelesaikan sistem persamaan. Kedudukan matriks utama sistem ini adalah sama dengan pangkat matriks lanjutan dan bersamaan dengan tiga (kami mengesyorkan menyemak fakta ini). Sebagai asas minor, kita ambil , oleh itu, persamaan terakhir boleh dikecualikan daripada sistem. Setelah menyelesaikan sistem yang terhasil dengan sebarang kaedah (contohnya, kaedah Cramer), kami memperoleh penyelesaiannya. Oleh itu, titik persilangan garis dan mempunyai koordinat (-2, 3, -5) .

Pelajaran daripada siri "Algoritma Geometrik"

Hello pembaca yang dikasihi!

Kami terus berkenalan dengan algoritma geometri. Dalam pelajaran lepas, kami mendapati persamaan garis lurus dalam koordinat dua titik. Kami mempunyai persamaan bentuk:

Hari ini kita akan menulis fungsi yang, menggunakan persamaan dua garis lurus, akan mencari koordinat titik persilangan mereka (jika ada). Untuk menyemak kesamaan nombor nyata, kami akan menggunakan fungsi khas RealEq().

Titik pada satah diterangkan oleh sepasang nombor nyata. Apabila menggunakan jenis sebenar, adalah lebih baik untuk mengatur operasi perbandingan dengan fungsi khas.

Sebabnya diketahui: tidak ada hubungan pesanan pada jenis Nyata dalam sistem pengaturcaraan Pascal, jadi lebih baik tidak menggunakan rekod bentuk a = b, di mana a dan b adalah nombor nyata.
Hari ini kami akan memperkenalkan fungsi RealEq() untuk melaksanakan operasi “=” (sangat sama):

Fungsi RealEq(Const a, b:Real):Boolean; (sangat sama) mulakan RealEq:=Abs(a-b)<=_Eps End; {RealEq}

Tugasan. Persamaan dua garis lurus diberikan: dan . Cari titik persimpangan mereka.

Penyelesaian. Penyelesaian yang jelas adalah untuk menyelesaikan sistem persamaan garis: Mari kita tulis semula sistem ini sedikit berbeza:
(1)

Kami memperkenalkan notasi: , , . Di sini D ialah penentu sistem, dan merupakan penentu yang diperoleh dengan menggantikan lajur pekali untuk yang tidak diketahui sepadan dengan lajur sebutan bebas. Jika , maka sistem (1) adalah pasti, iaitu, ia mempunyai penyelesaian yang unik. Penyelesaian ini boleh didapati dengan formula berikut: , , yang dipanggil Formula Cramer. Biar saya ingatkan anda bagaimana penentu tertib kedua dikira. Penentu membezakan antara dua pepenjuru: utama dan sekunder. Diagonal utama terdiri daripada elemen yang diambil dalam arah dari sudut kiri atas penentu ke sudut kanan bawah. Diagonal sisi - dari kanan atas ke kiri bawah. Penentu tertib kedua adalah sama dengan hasil darab unsur pepenjuru utama tolak hasil darab unsur pepenjuru sekunder.

Kod menggunakan fungsi RealEq() untuk menyemak kesamaan. Pengiraan ke atas nombor nyata dibuat dengan ketepatan sehingga _Eps=1e-7.

Program geom2; Const _Eps: Real=1e-7;(ketepatan pengiraan) var a1,b1,c1,a2,b2,c2,x,y,d,dx,dy:Real; Fungsi RealEq(Const a, b:Real):Boolean; (sangat sama) mulakan RealEq:=Abs(a-b)<=_Eps End; {RealEq} Function LineToPoint(a1,b1,c1,a2,b2,c2: real; var x,y:real):Boolean; {Определение координат точки пересечения двух линий. Значение функции равно true, если точка пересечения есть, и false, если прямые параллельны. } var d:real; begin d:=a1*b2-b1*a2; if Not(RealEq(d,0)) then begin LineToPoint:=True; dx:=-c1*b2+b1*c2; dy:=-a1*c2+c1*a2; x:=dx/d; y:=dy/d; end else LineToPoint:=False End;{LineToPoint} begin {main} writeln("Введите коэффициенты уравнений: a1,b1,c1,a2,b2,c2 "); readln(a1,b1,c1,a2,b2,c2); if LineToPoint(a1,b1,c1,a2,b2,c2,x,y) then writeln(x:5:1,y:5:1) else writeln("Прямые параллельны."); end.

Kami telah menyusun atur cara yang anda boleh, mengetahui persamaan garis, mencari koordinat titik persilangannya.