Bagaimana untuk menyelesaikan ungkapan dengan eksponen negatif. Darjah - sifat, peraturan, tindakan dan formula

Meningkatkan kuasa negatif adalah salah satu elemen asas matematik, yang sering ditemui dalam menyelesaikan masalah algebra. Di bawah adalah arahan terperinci.

Bagaimana untuk meningkatkan kuasa negatif - teori

Apabila kita mengambil nombor kepada kuasa biasa, kita mendarabkan nilainya beberapa kali. Sebagai contoh, 3 3 \u003d 3 × 3 × 3 \u003d 27. Dengan pecahan negatif, sebaliknya adalah benar. Bentuk am mengikut formula adalah seperti berikut: a -n = 1/a n . Oleh itu, untuk menaikkan nombor kepada kuasa negatif, anda perlu membahagikan satu dengan nombor yang diberikan, tetapi sudah kepada kuasa positif.

Bagaimana untuk menaikkan kepada kuasa negatif - contoh pada nombor biasa

Dengan mengambil kira peraturan di atas, mari kita selesaikan beberapa contoh.

4 -2 = 1/4 2 = 1/16
Jawapan: 4 -2 = 1/16

4 -2 = 1/-4 2 = 1/16.
Jawapannya ialah -4 -2 = 1/16.

Tetapi mengapa jawapan dalam contoh pertama dan kedua adalah sama? Hakikatnya ialah apabila nombor negatif dinaikkan kepada kuasa genap (2, 4, 6, dsb.), tanda itu menjadi positif. Sekiranya darjahnya genap, maka tolaknya dikekalkan:

4 -3 = 1/(-4) 3 = 1/(-64)

Bagaimana untuk menaikkan kepada kuasa negatif - nombor dari 0 hingga 1

Ingat bahawa apabila nombor antara 0 dan 1 dinaikkan kepada kuasa positif, nilai itu berkurangan apabila kuasa meningkat. Jadi sebagai contoh, 0.5 2 = 0.25. 0.25< 0,5. В случае с отрицательной степенью все обстоит наоборот. При возведении десятичного (дробного) числа в отрицательную степень, значение увеличивается.

Contoh 3: Kira 0.5 -2
Penyelesaian: 0.5 -2 = 1/1/2 -2 = 1/1/4 = 1×4/1 = 4.
Jawapan: 0.5 -2 = 4

Penghuraian (urutan tindakan):

• Tukar perpuluhan 0.5 kepada pecahan 1/2. Ia lebih mudah.
  Naikkan 1/2 kepada kuasa negatif. 1/(2) -2 . Bahagi 1 dengan 1/(2) 2 , kita dapat 1/(1/2) 2 => 1/1/4 = 4

Contoh 4: Kira 0.5 -3
Penyelesaian: 0.5 -3 = (1/2) -3 = 1/(1/2) 3 = 1/(1/8) = 8

Contoh 5: Kira -0.5 -3
Penyelesaian: -0.5 -3 = (-1/2) -3 = 1/(-1/2) 3 = 1/(-1/8) = -8
Jawapan: -0.5 -3 = -8

Berdasarkan contoh ke-4 dan ke-5, kami akan membuat beberapa kesimpulan:

• Untuk nombor positif dalam julat dari 0 hingga 1 (contoh 4), dinaikkan kepada kuasa negatif, darjah genap atau ganjil tidak penting, nilai ungkapan akan menjadi positif. Dalam kes ini, semakin besar darjah, semakin besar nilainya.
• Untuk nombor negatif antara 0 dan 1 (contoh 5), dinaikkan kepada kuasa negatif, darjah genap atau ganjil adalah tidak penting, nilai ungkapan akan menjadi negatif. Dalam kes ini, semakin tinggi darjah, semakin rendah nilainya.

Bagaimana untuk menaikkan kepada kuasa negatif - kuasa sebagai nombor pecahan

Ungkapan jenis ini mempunyai bentuk berikut: a -m/n, dengan a ialah nombor biasa, m ialah pengangka darjah, n ialah penyebut darjah.

Pertimbangkan contoh:
Kira: 8 -1/3

Penyelesaian (urutan tindakan):

• Ingat peraturan untuk menaikkan nombor kepada kuasa negatif. Kami dapat: 8 -1/3 = 1/(8) 1/3 .
• Perhatikan bahawa penyebutnya ialah 8 kepada kuasa pecahan. Bentuk umum pengiraan darjah pecahan adalah seperti berikut: a m/n = n √8 m .
• Oleh itu, 1/(8) 1/3 = 1/(3 √8 1). Kami mendapat punca kubus lapan, iaitu 2. Berdasarkan ini, 1/(8) 1/3 = 1/(1/2) = 2.
• Jawapan: 8 -1/3 = 2

Pelajaran dan pembentangan mengenai topik: "Ijazah dengan penunjuk negatif. Definisi dan contoh penyelesaian masalah"

Bahan tambahan
Pengguna yang dihormati, jangan lupa untuk meninggalkan komen, maklum balas, cadangan anda. Semua bahan disemak oleh program antivirus.

Alat bantu mengajar dan simulator di kedai dalam talian "Integral" untuk gred 8
Manual untuk buku teks Muravina G.K. Manual untuk buku teks Alimova Sh.A.

Menentukan darjah dengan eksponen negatif

Kami tahu betul bahawa sebarang nombor kepada kuasa sifar adalah sama dengan satu. $a^0=1$, $a≠0$.
Timbul persoalan, apa yang berlaku jika anda menaikkan nombor kepada kuasa negatif? Sebagai contoh, apakah nombor $2^(-2)$ sama dengan?
Ahli matematik pertama yang bertanya soalan ini memutuskan bahawa ia tidak berbaloi untuk mencipta semula roda, dan adalah baik bahawa semua sifat darjah kekal sama. Iaitu, apabila mendarab kuasa dengan asas yang sama, eksponen menambah.
Mari kita pertimbangkan kes ini: $2^3*2^(-3)=2^(3-3)=2^0=1$.
Kami mendapat bahawa hasil darab nombor tersebut harus memberikan perpaduan. Unit dalam hasil darab diperolehi dengan mendarab salingan, iaitu $2^(-3)=\frac(1)(2^3)$.

Penaakulan sedemikian membawa kepada definisi berikut.
Definisi. Jika $n$ ialah nombor asli dan $а≠0$, maka kesamaan berikut berlaku: $a^(-n)=\frac(1)(a^n)$.

Identiti penting yang sering digunakan: $(\frac(a)(b))^(-n)=(\frac(b)(a))^n$.
Khususnya, $(\frac(1)(a))^(-n)=a^n$.

Contoh penyelesaian

Penyelesaian.
Mari kita pertimbangkan setiap istilah secara berasingan.
1. $2^(-3)=\frac(1)(2^3)=\frac(1)(2*2*2)=\frac(1)(8)$.
2. $(\frac(2)(5))^(-2)=(\frac(5)(2))^2=\frac(5^2)(2^2)=\frac(25) (4)$.
3. $8^(-1)=\frac(1)(8)$.
Ia kekal untuk melaksanakan operasi tambah dan tolak: $\frac(1)(8)+\frac(25)(4)-\frac(1)(8)=\frac(25)(4)=6\frac( 1) (4)$.
Jawapan: $6\frac(1)(4)$.

Contoh 2
Nyatakan nombor yang diberi sebagai kuasa nombor perdana $\frac(1)(729)$.

Penyelesaian.
Jelas sekali $\frac(1)(729)=729^(-1)$.
Tetapi 729 bukanlah nombor perdana yang berakhir dengan 9. Kita boleh mengandaikan bahawa nombor ini ialah kuasa tiga. Mari bahagikan 729 dengan 3 secara berurutan.
1) $\frac(729)(3)=243$;
2) $\frac(243)(3)=81$;
3) $\frac(81)(3)=27$;
4) $\frac(27)(3)=9$;
5) $\frac(9)(3)=3$;
6) $\frac(3)(3)=1$.
Enam operasi telah selesai, yang bermaksud: $729=3^6$.
Untuk tugas kami:
$729^{-1}=(3^6)^{-1}=3^{-6}$.
Jawapan: $3^(-6)$.

Contoh 3. Nyatakan ungkapan sebagai kuasa: $\frac(a^6*(a^(-5))^2)((a^(-3)*a^8)^(-1))$.
Penyelesaian. Operasi pertama sentiasa dilakukan di dalam kurungan, kemudian pendaraban $\frac(a^6*(a^(-5))^2)((a^(-3)*a^8)^(-1) )=\frac (a^6*a^(-10))((a^5)^(-1))=\frac(a^((-4)))(a^((-5)) )=a^ (-4-(-5))=a^(-4+5)=a$.
Jawapan: $a$.

Contoh 4. Buktikan identiti:
$(\frac(y^2 (xy^(-1)-1)^2)(x(1+x^(-1)y)^2)*\frac(y^2(x^(-2) )+y^(-2)))(x(xy^(-1)+x^(-1)y))):\frac(1-x^(-1) y)(xy^(-1 )+1)=\frac(xy)(x+y)$.

Penyelesaian.
Di sebelah kiri, pertimbangkan setiap faktor dalam kurungan secara berasingan.
1. $\frac(y^2(xy^(-1)-1)^2)(x(1+x^(-1)y)^2)=\frac(y^2(\frac(x )(y)-1)^2)(x(1+\frac(y)(x))^2) =\frac(y^2(\frac(x^2)(y^2)-2\ frac(x)(y)+1))(x(1+2\frac(y)(x)+\frac(y^2)(x^2)))=\frac(x^2-2xy+ y ^2)(x+2y+\frac(y^2)(x))=\frac(x^2-2xy+y^2)(\frac(x^2+2xy+y^2)(x) ) =\frac(x(x^2-2xy+y^2))((x^2+2xy+y^2))$.
2. $\frac(y^2(x^(-2)+y^(-2)))(x(xy^(-1)+x^(-1)y))=\frac(y^ 2(\frac(1)(x^2)+\frac(1)(y^2)))(x(\frac(x)(y)+\frac(y)(x))) =\frac (\frac(y^2)(x^2)+1)(\frac(x^2)(y)+y)=\frac(\frac(y^2+x^2)(x^2) )((\frac(x^2+y^2)(y)))=\frac(y^2+x^2)(x^2) *\frac(y)(x^2+y^2 )=\frac(y)(x^2)$.
3. $\frac(x(x^2-2xy+y^2))((x^2+2xy+y^2))*\frac(y)(x^2)=\frac(y(x ^2-2xy+y^2))(x(x^2+2xy+y^2))=\frac(y(xy)^2)(x(x+y)^2)$.
4. Mari kita beralih kepada pecahan yang kita bahagikan.
$\frac(1-x^(-1)y)(xy^(-1)+1)=\frac(1-\frac(y)(x))(\frac(x)(y)+1 )=\frac(\frac(xy)(x))(\frac(x+y)(y))=\frac(xy)(x)*\frac(y)(x+y)=\frac( y(xy))(x(x+y))$.
5. Mari buat pembahagian.
$\frac(y(xy)^2)(x(x+y)^2):\frac(y(xy))(x(x+y))=\frac(y(xy)^2)( x(x+y)^2)*\frac(x(x+y))(y(xy))=\frac(xy)(x+y)$.
Kami memperoleh identiti yang betul, yang perlu dibuktikan.

Pada akhir pelajaran, kami akan menulis peraturan untuk tindakan dengan darjah sekali lagi, di sini eksponen ialah integer.
$a^s*a^t=a^(s+t)$.
$\frac(a^s)(a^t)=a^(s-t)$.
$(a^s)^t=a^(st)$.
$(ab)^s=a^s*b^s$.
$(\frac(a)(b))^s=\frac(a^s)(b^s)$.

Tugas untuk penyelesaian bebas

Tahap pertama

Ijazah dan sifatnya. Panduan Komprehensif (2019)

Mengapakah ijazah diperlukan? Di manakah anda memerlukan mereka? Mengapa anda perlu meluangkan masa untuk mempelajarinya?

Untuk mempelajari segala-galanya tentang ijazah, untuk kegunaannya, cara menggunakan pengetahuan anda dalam kehidupan seharian, baca artikel ini.

Dan, sudah tentu, mengetahui ijazah akan membawa anda lebih dekat untuk berjaya lulus OGE atau Peperiksaan Negeri Bersepadu dan memasuki universiti impian anda.

Jom... (Jom!)

Nota PENTING! Jika bukannya formula yang anda lihat omong kosong, kosongkan cache anda. Untuk melakukan ini, tekan CTRL+F5 (pada Windows) atau Cmd+R (pada Mac).

PERINGKAT PERTAMA

Eksponen adalah operasi matematik yang sama seperti penambahan, penolakan, pendaraban atau pembahagian.

Sekarang saya akan menerangkan segala-galanya dalam bahasa manusia menggunakan contoh yang sangat mudah. Beri perhatian. Contohnya adalah asas, tetapi menerangkan perkara penting.

Mari kita mulakan dengan penambahan.

Tiada apa yang perlu dijelaskan di sini. Anda sudah tahu segala-galanya: terdapat lapan daripada kami. Setiap satu ada dua botol cola. Berapa banyak cola? Betul - 16 botol.

Sekarang pendaraban.

Contoh yang sama dengan cola boleh ditulis dengan cara yang berbeza: . Ahli matematik adalah orang yang licik dan malas. Mereka mula-mula melihat beberapa corak, dan kemudian menghasilkan cara untuk "mengira" mereka dengan lebih cepat. Dalam kes kami, mereka menyedari bahawa setiap lapan orang mempunyai bilangan botol kola yang sama dan menghasilkan teknik yang dipanggil pendaraban. Setuju, ia dianggap lebih mudah dan lebih cepat daripada.

Jadi, untuk mengira lebih cepat, lebih mudah dan tanpa ralat, anda hanya perlu ingat jadual pendaraban. Sudah tentu, anda boleh melakukan segala-galanya dengan lebih perlahan, lebih sukar dan dengan kesilapan! Tetapi…

Berikut ialah jadual pendaraban. ulang.

Dan satu lagi, lebih cantik:

Dan apakah helah pengiraan rumit lain yang dibuat oleh ahli matematik yang malas? Betul - menaikkan nombor kepada kuasa.

Menaikkan nombor kepada kuasa

Sekiranya anda perlu mendarabkan nombor dengan sendirinya lima kali, maka ahli matematik mengatakan bahawa anda perlu menaikkan nombor ini kepada kuasa kelima. Contohnya, . Ahli matematik ingat bahawa kuasa dua hingga kelima adalah. Dan mereka menyelesaikan masalah sedemikian dalam fikiran mereka - lebih cepat, lebih mudah dan tanpa kesilapan.

Untuk melakukan ini, anda hanya perlu ingat apa yang diserlahkan dalam warna dalam jadual kuasa nombor. Percayalah, ia akan menjadikan hidup anda lebih mudah.

By the way, kenapa gelaran kedua dipanggil segi empat sama nombor, dan yang ketiga kiub? Apakah maksudnya? Soalan yang sangat bagus. Sekarang anda akan mempunyai kedua-dua segi empat sama dan kiub.

Contoh kehidupan sebenar #1

Mari kita mulakan dengan segi empat sama atau kuasa kedua nombor.

Bayangkan kolam persegi berukuran meter demi meter. Kolam itu ada di halaman rumah anda. Panas dan saya sangat ingin berenang. Tetapi ... kolam tanpa dasar! Ia adalah perlu untuk menutup bahagian bawah kolam dengan jubin. Berapa banyak jubin yang anda perlukan? Untuk menentukan ini, anda perlu mengetahui kawasan dasar kolam.

Anda hanya boleh mengira dengan menusuk jari anda bahawa bahagian bawah kolam terdiri daripada kiub meter demi meter. Jika jubin anda adalah meter demi meter, anda memerlukan kepingan. Mudah sahaja... Tetapi di manakah anda melihat jubin sedemikian? Jubin akan agak menjadi cm dengan cm. Dan kemudian anda akan diseksa dengan "mengira dengan jari anda". Kemudian anda perlu membiak. Jadi, di satu sisi bahagian bawah kolam, kami akan memuatkan jubin (kepingan) dan di sisi lain juga, jubin. Mendarab dengan, anda mendapat jubin ().

Adakah anda perasan bahawa kami mendarabkan nombor yang sama dengan sendirinya untuk menentukan luas dasar kolam? Apakah maksudnya? Oleh kerana nombor yang sama didarab, kita boleh menggunakan teknik eksponen. (Sudah tentu, apabila anda hanya mempunyai dua nombor, anda masih perlu mendarabnya atau menaikkannya kepada kuasa. Tetapi jika anda mempunyai banyak nombor, maka menaikkan kepada kuasa adalah lebih mudah dan terdapat juga ralat yang lebih sedikit dalam pengiraan. Untuk peperiksaan, ini sangat penting).
Jadi, tiga puluh hingga darjah kedua akan menjadi (). Atau anda boleh mengatakan bahawa tiga puluh kuasa dua akan menjadi. Dalam erti kata lain, kuasa kedua nombor sentiasa boleh diwakili sebagai segi empat sama. Dan sebaliknya, jika anda melihat segi empat sama, ia SENTIASA kuasa kedua bagi beberapa nombor. Segi empat sama ialah imej kuasa kedua bagi suatu nombor.

Contoh kehidupan sebenar #2

Berikut adalah tugas untuk anda, kira berapa banyak petak pada papan catur menggunakan petak nombor itu ... Di satu sisi sel dan di sebelah yang lain juga. Untuk mengira bilangan mereka, anda perlu mendarab lapan dengan lapan, atau ... jika anda perasan bahawa papan catur ialah segi empat sama dengan sisi, maka anda boleh kuasa dua lapan. Dapatkan sel. () Jadi?

Contoh kehidupan sebenar #3

Kini kubus atau kuasa ketiga bagi suatu nombor. Kolam yang sama. Tetapi sekarang anda perlu mengetahui berapa banyak air yang perlu dituangkan ke dalam kolam ini. Anda perlu mengira isipadu. (Jumlah dan cecair, dengan cara ini, diukur dalam meter padu. Tidak dijangka, bukan?) Lukis kolam: bahagian bawah bersaiz satu meter dan dalam satu meter dan cuba kira berapa banyak meter demi meter kiub akan memasuki kolam anda.

Hanya tuding jari anda dan mengira! Satu, dua, tiga, empat...dua puluh dua, dua puluh tiga... Berapa banyak yang berlaku? Tak sesat ke? Adakah sukar untuk mengira dengan jari anda? Jadi itu! Ambil contoh daripada ahli matematik. Mereka malas, jadi mereka perasan bahawa untuk mengira isipadu kolam, anda perlu mendarabkan panjang, lebar dan ketinggiannya dengan satu sama lain. Dalam kes kami, isipadu kolam akan sama dengan kiub ... Lebih mudah, bukan?

Sekarang bayangkan betapa malas dan licik ahli matematik jika mereka membuatnya terlalu mudah. Mengurangkan segala-galanya kepada satu tindakan. Mereka perasan bahawa panjang, lebar dan tinggi adalah sama dan nombor yang sama didarab dengan sendirinya ... Dan apakah maksudnya? Ini bermakna anda boleh menggunakan ijazah. Jadi, apa yang pernah anda hitung dengan jari, mereka lakukan dalam satu tindakan: tiga dalam kubus adalah sama. Ia ditulis seperti ini:

Kekal sahaja hafal jadual darjah. Kecuali, sudah tentu, anda malas dan licik seperti ahli matematik. Jika anda suka bekerja keras dan melakukan kesilapan, anda boleh terus mengira dengan jari anda.

Nah, untuk akhirnya meyakinkan anda bahawa ijazah telah dicipta oleh loafers dan orang yang licik untuk menyelesaikan masalah hidup mereka, dan bukan untuk mencipta masalah untuk anda, berikut adalah beberapa lagi contoh dari kehidupan.

Contoh kehidupan sebenar #4

Anda mempunyai satu juta rubel. Pada awal setiap tahun, anda memperoleh satu juta lagi untuk setiap juta. Iaitu, setiap juta anda pada awal setiap tahun berganda. Berapa banyak wang yang anda akan ada dalam beberapa tahun? Jika anda kini duduk dan "mengira dengan jari", maka anda adalah seorang yang sangat rajin dan .. bodoh. Tetapi kemungkinan besar anda akan memberikan jawapan dalam beberapa saat, kerana anda bijak! Jadi, pada tahun pertama - dua kali dua ... pada tahun kedua - apa yang berlaku, dengan dua lagi, pada tahun ketiga ... Berhenti! Anda perasan bahawa nombor itu didarab dengan sendiri sekali. Jadi dua hingga kuasa kelima adalah sejuta! Sekarang bayangkan bahawa anda mempunyai persaingan dan orang yang mengira lebih cepat akan mendapat berjuta-juta ini ... Adakah patut mengingati darjah nombor, apa pendapat anda?

Contoh kehidupan sebenar #5

Anda mempunyai satu juta. Pada awal setiap tahun, anda memperoleh dua lagi untuk setiap juta. Ia hebat bukan? Setiap juta adalah tiga kali ganda. Berapa banyak wang yang anda akan ada dalam setahun? Jom kira. Tahun pertama - darab dengan, kemudian hasilnya dengan yang lain ... Ia sudah membosankan, kerana anda sudah memahami segala-galanya: tiga didarab dengan sendirinya kali. Jadi kuasa keempat ialah sejuta. Anda hanya perlu ingat bahawa kuasa tiga hingga keempat ialah atau.

Sekarang anda tahu bahawa dengan menaikkan nombor kepada kuasa, anda akan menjadikan hidup anda lebih mudah. Mari kita lihat lebih lanjut tentang perkara yang boleh anda lakukan dengan ijazah dan perkara yang perlu anda ketahui tentangnya.

Terma dan konsep...supaya tidak terkeliru

Jadi, pertama, mari kita tentukan konsep. Apa pendapat kamu, apakah eksponen? Ia sangat mudah - ini ialah nombor yang "di bahagian atas" kuasa nombor itu. Tidak saintifik, tetapi jelas dan mudah diingat...

Nah, pada masa yang sama, apa asas ijazah? Lebih mudah lagi ialah nombor yang berada di bahagian bawah, di pangkal.

Ini gambar untuk anda pasti.

Nah, secara umum, untuk membuat generalisasi dan mengingati dengan lebih baik ... Ijazah dengan asas "" dan penunjuk "" dibaca sebagai "dalam darjah" dan ditulis seperti berikut:

Kuasa nombor dengan eksponen semula jadi

Anda mungkin sudah meneka: kerana eksponen ialah nombor asli. Ya, tetapi apa nombor asli? peringkat rendah! Nombor asli ialah nombor yang digunakan dalam mengira apabila menyenaraikan item: satu, dua, tiga ... Apabila kita mengira item, kita tidak mengatakan: "tolak lima", "tolak enam", "tolak tujuh". Kami tidak menyebut "satu pertiga" atau "sifar koma lima persepuluh" sama ada. Ini bukan nombor asli. Pada pendapat anda, apakah nombor ini?

Nombor seperti "tolak lima", "tolak enam", "tolak tujuh" merujuk kepada nombor bulat. Secara umum, integer merangkumi semua nombor asli, nombor bertentangan dengan nombor asli (iaitu, diambil dengan tanda tolak), dan nombor. Sifar mudah difahami - ini adalah apabila tiada apa-apa. Dan apakah maksud nombor negatif ("tolak")? Tetapi mereka dicipta terutamanya untuk menandakan hutang: jika anda mempunyai baki pada telefon anda dalam rubel, ini bermakna anda berhutang dengan rubel pengendali.

Semua pecahan ialah nombor rasional. Bagaimana mereka muncul, adakah anda fikir? Sangat ringkas. Beberapa ribu tahun yang lalu, nenek moyang kita mendapati bahawa mereka tidak mempunyai nombor semula jadi yang mencukupi untuk mengukur panjang, berat, luas, dll. Dan mereka datang dengan nombor rasional… Menarik, bukan?

Terdapat juga nombor tidak rasional. Apakah nombor ini? Pendek kata, pecahan perpuluhan tak terhingga. Sebagai contoh, jika anda membahagikan lilitan bulatan dengan diameternya, maka anda mendapat nombor tidak rasional.

Ringkasan:

Mari kita tentukan konsep darjah, eksponennya ialah nombor asli (iaitu, integer dan positif).

1. Sebarang nombor kepada kuasa pertama adalah sama dengan dirinya sendiri:
2. Untuk kuasa dua nombor adalah dengan mendarabnya dengan sendiri:
3. Untuk menduakan nombor adalah dengan mendarabnya dengan sendirinya tiga kali:

Definisi. Untuk menaikkan nombor kepada kuasa semula jadi adalah dengan mendarabkan nombor itu dengan sendirinya:
.

Sifat ijazah

Dari mana datangnya hartanah ini? Saya akan tunjukkan sekarang.

Mari lihat apa yang ada dan ?

Mengikut definisi:

Berapakah jumlah pengganda yang ada?

Ia sangat mudah: kami menambah faktor kepada faktor, dan hasilnya adalah faktor.

Tetapi mengikut takrifan, ini ialah darjah nombor dengan eksponen, iaitu: , yang diperlukan untuk dibuktikan.

Contoh: Permudahkan ungkapan.

Penyelesaian:

Contoh: Permudahkan ungkapan.

Penyelesaian: Adalah penting untuk diperhatikan bahawa dalam peraturan kita semestinya mesti sebab sama!
Oleh itu, kami menggabungkan darjah dengan asas, tetapi kekal sebagai faktor yang berasingan:

hanya untuk produk kuasa!

Dalam keadaan apa pun anda tidak boleh menulis itu.

2. iaitu -kuasa ke- bagi suatu nombor

Sama seperti harta sebelumnya, mari kita beralih kepada definisi ijazah:

Ternyata ungkapan itu didarab dengan sendirinya sekali, iaitu, mengikut takrifan, ini adalah kuasa nombor ke-:

Malah, ini boleh dipanggil "merapatkan penunjuk". Tetapi anda tidak boleh melakukan ini secara keseluruhan:

Mari kita ingat semula formula untuk pendaraban singkatan: berapa kali kita mahu menulis?

Tetapi itu tidak benar, sebenarnya.

Ijazah dengan asas negatif

Setakat ini, kami hanya membincangkan apa yang sepatutnya menjadi eksponen.

Tetapi apa yang harus dijadikan asas?

Dalam darjah dari penunjuk semula jadi asasnya mungkin sebarang nombor. Sesungguhnya, kita boleh mendarab sebarang nombor dengan satu sama lain, sama ada ia positif, negatif, atau genap.

Mari kita fikirkan apakah tanda ("" atau "") akan mempunyai darjah nombor positif dan negatif?

Sebagai contoh, adakah nombor itu positif atau negatif? A? ? Dengan yang pertama, semuanya jelas: tidak kira berapa banyak nombor positif yang kita darab antara satu sama lain, hasilnya akan positif.

Tetapi yang negatif sedikit lebih menarik. Lagipun, kita masih ingat peraturan mudah dari gred 6: "tolak kali tolak memberikan tambah." Iaitu, atau. Tetapi jika kita darab dengan, ternyata.

Tentukan sendiri tanda yang akan ada pada ungkapan berikut:

Adakah anda berjaya?

Berikut adalah jawapannya: Dalam empat contoh pertama, saya harap semuanya jelas? Kami hanya melihat asas dan eksponen, dan menggunakan peraturan yang sesuai.

1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) .

Dalam contoh 5), segala-galanya juga tidak menakutkan seperti yang kelihatan: tidak kira apa asasnya sama dengan - darjahnya adalah sama, yang bermaksud bahawa hasilnya akan sentiasa positif.

Nah, kecuali apabila asasnya adalah sifar. Asasnya tidak sama, bukan? Jelas sekali tidak, sejak (kerana).

Contoh 6) tidak lagi begitu mudah!

6 contoh amalan

Analisis penyelesaian 6 contoh

Jika kita tidak memberi perhatian kepada darjah kelapan, apakah yang kita lihat di sini? Jom kita tengok program darjah 7. Jadi, ingat? Ini adalah rumus pendaraban yang disingkatkan, iaitu perbezaan kuasa dua! Kita mendapatkan:

Kami melihat dengan teliti penyebutnya. Ia kelihatan seperti salah satu faktor pengangka, tetapi apa yang salah? Tersalah susunan istilah. Jika mereka ditukar, peraturan itu boleh digunakan.

Tetapi bagaimana untuk melakukannya? Ternyata ia sangat mudah: tahap sekata penyebut membantu kami di sini.

Istilah telah bertukar tempat secara ajaib. "Fenomena" ini terpakai pada sebarang ungkapan pada tahap yang sama: kita boleh menukar tanda dalam kurungan secara bebas.

Tetapi penting untuk diingat: semua tanda berubah pada masa yang sama!

Mari kita kembali kepada contoh:

Dan sekali lagi formula:

keseluruhan kami menamakan nombor asli, bertentangan mereka (iaitu, diambil dengan tanda "") dan nombor itu.

integer positif, dan ia tidak berbeza dengan semula jadi, maka semuanya kelihatan sama seperti dalam bahagian sebelumnya.

Sekarang mari kita lihat kes baru. Mari kita mulakan dengan penunjuk sama dengan.

Sebarang nombor kepada kuasa sifar adalah sama dengan satu:

Seperti biasa, kita bertanya kepada diri sendiri: kenapa jadi begini?

Pertimbangkan beberapa kuasa dengan asas. Ambil, sebagai contoh, dan darab dengan:

Jadi, kami mendarabkan nombor itu dengan, dan mendapat sama seperti -. Apakah nombor yang mesti didarabkan supaya tiada perubahan? Betul, pada. Bermakna.

Kita boleh melakukan perkara yang sama dengan nombor sewenang-wenangnya:

Mari ulangi peraturan:

Sebarang nombor kepada kuasa sifar adalah sama dengan satu.

Tetapi terdapat pengecualian kepada banyak peraturan. Dan di sini ia juga ada - ini adalah nombor (sebagai asas).

Di satu pihak, ia mesti sama dengan mana-mana darjah - tidak kira berapa banyak anda mendarab sifar dengan sendirinya, anda masih mendapat sifar, ini jelas. Tetapi sebaliknya, seperti mana-mana nombor hingga darjah sifar, ia mestilah sama. Jadi apakah kebenaran ini? Ahli matematik memutuskan untuk tidak terlibat dan enggan menaikkan sifar kepada kuasa sifar. Iaitu, sekarang kita bukan sahaja boleh membahagi dengan sifar, tetapi juga menaikkannya kepada kuasa sifar.

Mari pergi lebih jauh. Selain nombor asli dan nombor, integer termasuk nombor negatif. Untuk memahami apa itu darjah negatif, mari kita lakukan perkara yang sama seperti kali terakhir: kita darab beberapa nombor biasa dengan yang sama dalam darjah negatif:

Dari sini sudah mudah untuk menyatakan yang dikehendaki:

Sekarang kita melanjutkan peraturan yang terhasil ke tahap sewenang-wenangnya:

Jadi, mari kita rumuskan peraturan:

Nombor kepada kuasa negatif ialah songsangan nombor yang sama kepada kuasa positif. Tetapi pada masa yang sama asas tidak boleh nol:(kerana tidak boleh dibahagi).

Mari kita ringkaskan:

I. Ungkapan tidak ditakrifkan dalam kes. Jika, maka.

II. Sebarang nombor kepada kuasa sifar adalah sama dengan satu: .

III. Nombor yang tidak sama dengan sifar kepada kuasa negatif ialah songsangan bagi nombor yang sama kepada kuasa positif: .

Tugas untuk penyelesaian bebas:

Nah, seperti biasa, contoh untuk penyelesaian bebas:

Analisis tugas untuk penyelesaian bebas:

Saya tahu, saya tahu, nombor itu menakutkan, tetapi pada peperiksaan anda perlu bersedia untuk apa sahaja! Selesaikan contoh ini atau analisis penyelesaiannya jika anda tidak dapat menyelesaikannya dan anda akan belajar cara menanganinya dengan mudah dalam peperiksaan!

Mari kita terus mengembangkan julat nombor "sesuai" sebagai eksponen.

Sekarang pertimbangkan nombor rasional. Apakah nombor yang dipanggil rasional?

Jawapan: semua yang boleh diwakili sebagai pecahan, di mana dan adalah integer, lebih-lebih lagi.

Untuk memahami apa itu "darjah pecahan" Mari kita pertimbangkan pecahan:

Mari kita tingkatkan kedua-dua belah persamaan kepada kuasa:

Sekarang ingat peraturan "ijazah ke ijazah":

Apakah nombor yang mesti dinaikkan kepada kuasa untuk mendapatkan?

Rumusan ini ialah takrifan punca darjah ke.

Biar saya ingatkan anda: punca kuasa ke satu nombor () ialah nombor yang, apabila dinaikkan kepada kuasa, adalah sama.

Iaitu, punca darjah ke ialah operasi songsang bagi eksponen: .

Ternyata begitu. Jelas sekali, kes istimewa ini boleh dilanjutkan: .

Sekarang tambah pengangka: apakah itu? Jawapannya mudah diperolehi dengan peraturan kuasa-ke-kuasa:

Tetapi bolehkah asasnya menjadi sebarang nombor? Lagipun, akar tidak boleh diekstrak dari semua nombor.

tiada!

Ingat peraturan: sebarang nombor yang dinaikkan kepada kuasa genap ialah nombor positif. Iaitu, mustahil untuk mengekstrak akar darjah genap daripada nombor negatif!

Dan ini bermakna bahawa nombor sedemikian tidak boleh dinaikkan kepada kuasa pecahan dengan penyebut genap, iaitu, ungkapan itu tidak masuk akal.

Bagaimana dengan ekspresi?

Tetapi di sini masalah timbul.

Nombor itu boleh diwakili sebagai pecahan terkecil yang lain, contohnya, atau.

Dan ternyata ia wujud, tetapi tidak wujud, dan ini hanyalah dua rekod berbeza dengan nombor yang sama.

Atau contoh lain: sekali, kemudian anda boleh menulisnya. Tetapi sebaik sahaja kami menulis penunjuk dengan cara yang berbeza, kami sekali lagi mendapat masalah: (iaitu, kami mendapat hasil yang sama sekali berbeza!).

Untuk mengelakkan paradoks sedemikian, pertimbangkan hanya eksponen asas positif dengan eksponen pecahan.

Jadi kalau:

• - nombor asli;
• ialah integer;

Contoh:

Kuasa dengan eksponen rasional sangat berguna untuk mengubah ungkapan dengan akar, contohnya:

5 contoh amalan

Analisis 5 contoh untuk latihan

Nah, sekarang - yang paling sukar. Sekarang kita akan menganalisis darjah dengan eksponen yang tidak rasional.

Semua peraturan dan sifat darjah di sini adalah sama seperti darjah dengan eksponen rasional, kecuali

Sesungguhnya, mengikut takrifan, nombor tak rasional ialah nombor yang tidak boleh diwakili sebagai pecahan, di mana dan adalah integer (iaitu, nombor tak rasional ialah semua nombor nyata kecuali nombor rasional).

Apabila mempelajari ijazah dengan penunjuk semula jadi, integer dan rasional, setiap kali kami membuat "imej", "analogi" atau perihalan tertentu dalam istilah yang lebih biasa.

Contohnya, eksponen semula jadi ialah nombor yang didarab dengan dirinya beberapa kali;

...kuasa sifar- ini adalah, seolah-olah, nombor yang didarab dengan sendirinya sekali, iaitu, ia belum mula didarab, yang bermaksud bahawa nombor itu sendiri belum muncul - oleh itu, hasilnya hanya "penyediaan nombor”, iaitu nombor;

...eksponen integer negatif- seolah-olah "proses terbalik" tertentu telah berlaku, iaitu, bilangannya tidak didarab dengan sendirinya, tetapi dibahagikan.

By the way, sains sering menggunakan ijazah dengan eksponen kompleks, iaitu, eksponen bukan nombor nyata.

Tetapi di sekolah, kami tidak memikirkan kesukaran seperti itu; anda akan mempunyai peluang untuk memahami konsep baharu ini di institut.

DI MANA KAMI PASTI ANDA AKAN PERGI! (jika anda belajar bagaimana untuk menyelesaikan contoh sedemikian :))

Sebagai contoh:

Tentukan sendiri:

Analisis penyelesaian:

1. Mari kita mulakan dengan peraturan biasa untuk menaikkan ijazah ke ijazah:

Sekarang lihat markah. Adakah dia mengingatkan anda tentang apa-apa? Kami ingat formula untuk pendaraban singkatan bagi perbezaan kuasa dua:

Dalam kes ini,

Ternyata:

Jawapan: .

2. Kami membawa pecahan dalam eksponen kepada bentuk yang sama: sama ada kedua-dua perpuluhan atau kedua-duanya biasa. Kami mendapat, sebagai contoh:

Jawapan: 16

3. Tiada apa-apa yang istimewa, kami menggunakan sifat biasa darjah:

TAHAP MAJU

Definisi ijazah

Ijazah ialah ungkapan bentuk: , di mana:

• — asas ijazah;
• - eksponen.

Darjah dengan eksponen semula jadi (n = 1, 2, 3,...)

Menaikkan nombor kepada kuasa semula jadi n bermakna mendarabkan nombor itu dengan sendirinya:

Kuasa dengan eksponen integer (0, ±1, ±2,...)

Jika eksponen ialah integer positif nombor:

ereksi kepada kuasa sifar:

Ungkapan itu tidak tentu, kerana, di satu pihak, pada tahap mana pun adalah ini, dan sebaliknya, sebarang nombor hingga darjah ke adalah ini.

Jika eksponen ialah integer negatif nombor:

(kerana tidak boleh dibahagi).

Sekali lagi tentang nulls: ungkapan tidak ditakrifkan dalam kes itu. Jika, maka.

Contoh:

Ijazah dengan eksponen rasional

• - nombor asli;
• ialah integer;

Contoh:

Sifat ijazah

Untuk memudahkan menyelesaikan masalah, mari cuba fahami: dari mana datangnya sifat-sifat ini? Mari kita buktikan mereka.

Mari lihat: apakah dan?

Mengikut definisi:

Jadi, di sebelah kanan ungkapan ini, produk berikut diperoleh:

Tetapi mengikut takrifan, ini ialah kuasa nombor dengan eksponen, iaitu:

Q.E.D.

Contoh : Permudahkan ungkapan.

Penyelesaian : .

Contoh : Permudahkan ungkapan.

Penyelesaian : Adalah penting untuk ambil perhatian bahawa dalam peraturan kami semestinya mesti mempunyai asas yang sama. Oleh itu, kami menggabungkan darjah dengan asas, tetapi kekal sebagai faktor yang berasingan:

Satu lagi nota penting: peraturan ini - hanya untuk produk kuasa!

Dalam keadaan apa pun saya tidak patut menulis itu.

Sama seperti harta sebelumnya, mari kita beralih kepada definisi ijazah:

Mari kita susun semula seperti ini:

Ternyata ungkapan itu didarabkan dengan sendirinya sekali, iaitu, mengikut takrifan, ini adalah kuasa ke-- nombor:

Malah, ini boleh dipanggil "merapatkan penunjuk". Tetapi anda tidak boleh melakukan ini secara keseluruhan:!

Mari kita ingat semula formula untuk pendaraban singkatan: berapa kali kita mahu menulis? Tetapi itu tidak benar, sebenarnya.

Kuasa dengan asas negatif.

Setakat ini, kami hanya membincangkan apa yang sepatutnya penunjuk ijazah. Tetapi apa yang harus dijadikan asas? Dalam darjah dari semula jadi penunjuk asasnya mungkin sebarang nombor .

Sesungguhnya, kita boleh mendarab sebarang nombor dengan satu sama lain, sama ada ia positif, negatif, atau genap. Mari kita fikirkan apakah tanda ("" atau "") akan mempunyai darjah nombor positif dan negatif?

Sebagai contoh, adakah nombor itu positif atau negatif? A? ?

Dengan yang pertama, semuanya jelas: tidak kira berapa banyak nombor positif yang kita darab antara satu sama lain, hasilnya akan positif.

Tetapi yang negatif sedikit lebih menarik. Lagipun, kita masih ingat peraturan mudah dari gred 6: "tolak kali tolak memberikan tambah." Iaitu, atau. Tetapi jika kita darab dengan (), kita mendapat -.

Dan seterusnya ad infinitum: dengan setiap pendaraban berikutnya, tanda akan berubah. Anda boleh merumuskan peraturan mudah ini:

1. malah ijazah, - nombor positif.
2. Nombor negatif dinaikkan kepada ganjil ijazah, - nombor negatif.
3. Nombor positif kepada sebarang kuasa ialah nombor positif.
4. Sifar kepada mana-mana kuasa adalah sama dengan sifar.

Tentukan sendiri tanda yang akan ada pada ungkapan berikut:

Adakah anda berjaya? Berikut adalah jawapannya:

1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) .

Dalam empat contoh pertama, saya harap semuanya jelas? Kami hanya melihat asas dan eksponen, dan menggunakan peraturan yang sesuai.

Dalam contoh 5), segala-galanya juga tidak menakutkan seperti yang kelihatan: tidak kira apa asasnya sama dengan - darjahnya adalah sama, yang bermaksud bahawa hasilnya akan sentiasa positif. Nah, kecuali apabila asasnya adalah sifar. Asasnya tidak sama, bukan? Jelas sekali tidak, sejak (kerana).

Contoh 6) tidak lagi begitu mudah. Di sini anda perlu mengetahui yang mana kurang: atau? Jika anda ingat itu, ia menjadi jelas bahawa, yang bermaksud bahawa asas adalah kurang daripada sifar. Iaitu, kami menggunakan peraturan 2: hasilnya akan negatif.

Dan sekali lagi kita menggunakan definisi ijazah:

Semuanya seperti biasa - kami menulis definisi darjah dan membahagikannya kepada satu sama lain, membahagikannya kepada pasangan dan dapatkan:

Sebelum menganalisis peraturan terakhir, mari kita selesaikan beberapa contoh.

Kira nilai ungkapan:

Penyelesaian :

Jika kita tidak memberi perhatian kepada darjah kelapan, apakah yang kita lihat di sini? Jom kita tengok program darjah 7. Jadi, ingat? Ini adalah rumus pendaraban yang disingkatkan, iaitu perbezaan kuasa dua!

Kita mendapatkan:

Kami melihat dengan teliti penyebutnya. Ia kelihatan seperti salah satu faktor pengangka, tetapi apa yang salah? Tersalah susunan istilah. Jika ia diterbalikkan, peraturan 3 boleh digunakan. Tetapi bagaimana untuk melakukannya? Ternyata ia sangat mudah: tahap sekata penyebut membantu kami di sini.

Jika didarabkan, tidak ada perubahan, bukan? Tetapi sekarang ia kelihatan seperti ini:

Istilah telah bertukar tempat secara ajaib. "Fenomena" ini terpakai pada sebarang ungkapan pada tahap yang sama: kita boleh menukar tanda dalam kurungan secara bebas. Tetapi penting untuk diingat: semua tanda berubah pada masa yang sama! Ia tidak boleh digantikan dengan menukar hanya satu tolak yang tidak menyenangkan kepada kami!

Mari kita kembali kepada contoh:

Dan sekali lagi formula:

Jadi sekarang peraturan terakhir:

Bagaimana kita hendak membuktikannya? Sudah tentu, seperti biasa: mari kita kembangkan konsep ijazah dan mudahkan:

Nah, sekarang mari kita buka kurungan. Berapa banyak huruf yang akan ada? kali dengan pengganda - apakah rupanya? Ini tidak lain hanyalah takrifan operasi pendaraban: jumlah ternyata menjadi pengganda. Iaitu, mengikut takrifan, kuasa nombor dengan eksponen:

Contoh:

Darjah dengan eksponen tidak rasional

Sebagai tambahan kepada maklumat tentang darjah untuk tahap purata, kami akan menganalisis darjah dengan penunjuk yang tidak rasional. Semua peraturan dan sifat darjah di sini adalah sama seperti untuk ijazah dengan eksponen rasional, dengan pengecualian - lagipun, mengikut takrifan, nombor tidak rasional ialah nombor yang tidak boleh diwakili sebagai pecahan, di mana dan adalah integer (iaitu , nombor tak rasional adalah semua nombor nyata kecuali nombor rasional).

Apabila mempelajari ijazah dengan penunjuk semula jadi, integer dan rasional, setiap kali kami membuat "imej", "analogi" atau perihalan tertentu dalam istilah yang lebih biasa. Contohnya, eksponen semula jadi ialah nombor yang didarab dengan dirinya beberapa kali; nombor hingga darjah sifar adalah, seolah-olah, nombor yang didarab dengan dirinya sekali, iaitu, ia belum mula didarab, yang bermaksud bahawa nombor itu sendiri belum muncul lagi - oleh itu, hasilnya hanya "penyediaan nombor" tertentu, iaitu nombor; darjah dengan penunjuk negatif integer - seolah-olah "proses terbalik" tertentu telah berlaku, iaitu, nombor itu tidak didarab dengan sendirinya, tetapi dibahagikan.

Amat sukar untuk membayangkan ijazah dengan eksponen yang tidak rasional (sama seperti sukar untuk membayangkan ruang 4 dimensi). Sebaliknya, ia adalah objek matematik semata-mata yang telah dicipta oleh ahli matematik untuk memperluaskan konsep darjah ke seluruh ruang nombor.

By the way, sains sering menggunakan ijazah dengan eksponen kompleks, iaitu, eksponen bukan nombor nyata. Tetapi di sekolah, kami tidak memikirkan kesukaran seperti itu; anda akan mempunyai peluang untuk memahami konsep baharu ini di institut.

Jadi apa yang kita lakukan jika kita melihat eksponen yang tidak rasional? Kami cuba yang terbaik untuk menyingkirkannya! :)

Sebagai contoh:

Tentukan sendiri:

Jawapan:

1. Ingat rumus perbezaan kuasa dua. Jawapan: .
2. Kami membawa pecahan kepada bentuk yang sama: sama ada kedua-dua perpuluhan, atau kedua-dua perpuluhan biasa. Kita dapat, contohnya: .
3. Tiada yang istimewa, kami menggunakan sifat biasa darjah:

RINGKASAN BAHAGIAN DAN FORMULA ASAS

Ijazah dipanggil ungkapan bentuk: , di mana:

Darjah dengan eksponen integer

darjah, eksponennya ialah nombor asli (iaitu integer dan positif).

Ijazah dengan eksponen rasional

darjah, penunjuknya ialah nombor negatif dan pecahan.

Darjah dengan eksponen tidak rasional

eksponen yang eksponennya ialah pecahan perpuluhan tak terhingga atau punca.

Sifat ijazah

Ciri-ciri darjah.

• Nombor negatif dinaikkan kepada malah ijazah, - nombor positif.
• Nombor negatif dinaikkan kepada ganjil ijazah, - nombor negatif.
• Nombor positif kepada sebarang kuasa ialah nombor positif.
• Sifar adalah sama dengan mana-mana kuasa.
• Sebarang nombor kepada kuasa sifar adalah sama.

SEKARANG ANDA ADA PERKATAAN...

Bagaimana anda menyukai artikel itu? Beritahu saya dalam komen di bawah jika anda suka atau tidak.

Beritahu kami tentang pengalaman anda dengan sifat kuasa.

Mungkin anda mempunyai soalan. Atau cadangan.

Tulis dalam komen.

Dan semoga berjaya dengan peperiksaan anda!

Dalam rangka bahan ini, kami akan menganalisis apa itu kuasa nombor. Sebagai tambahan kepada definisi asas, kami akan merumuskan apakah darjah dengan eksponen semula jadi, integer, rasional dan tidak rasional. Seperti biasa, semua konsep akan diilustrasikan dengan contoh tugasan.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Pertama, kami merumuskan definisi asas ijazah dengan eksponen semula jadi. Untuk melakukan ini, kita perlu mengingati peraturan asas pendaraban. Mari kita jelaskan terlebih dahulu bahawa buat masa ini kita akan mengambil nombor nyata sebagai asas (mari kita nyatakan dengan huruf a), dan sebagai penunjuk - nombor asli (ditandakan dengan huruf n).

Definisi 1

Kuasa a dengan eksponen semula jadi n ialah hasil darab ke-n bagi faktor, setiap satunya adalah sama dengan nombor a. Ijazah ditulis seperti ini: a n, dan dalam bentuk formula, komposisinya boleh diwakili seperti berikut:

Sebagai contoh, jika eksponen ialah 1 dan asas ialah a, maka kuasa pertama a ditulis sebagai a 1. Memandangkan a ialah nilai faktor dan 1 ialah bilangan faktor, kita boleh membuat kesimpulan bahawa a 1 = a.

Secara umum, kita boleh mengatakan bahawa ijazah adalah satu bentuk yang mudah untuk menulis sejumlah besar faktor yang sama. Jadi, rekod borang 8 8 8 8 boleh dikurangkan kepada 8 4 . Dengan cara yang sama, produk membantu kita mengelak daripada menulis sejumlah besar istilah (8 + 8 + 8 + 8 = 8 4) ; kami telah menganalisis ini dalam artikel yang dikhaskan untuk pendaraban nombor asli.

Bagaimana cara membaca rekod ijazah dengan betul? Pilihan yang diterima umum ialah "a kepada kuasa n". Atau anda boleh menyebut "kuasa ke-n" atau "kuasa ke-n". Jika, katakan, dalam contoh ada entri 8 12 , kita boleh membaca "8 kepada kuasa ke-12", "8 kepada kuasa 12" atau "kuasa ke-12 daripada 8".

Darjah kedua dan ketiga nombor mempunyai nama mereka sendiri yang mantap: segi empat sama dan kubus. Jika kita melihat kuasa kedua, sebagai contoh, nombor 7 (7 2), maka kita boleh mengatakan "7 kuasa dua" atau "persegi bagi nombor 7". Begitu juga, ijazah ketiga dibaca seperti ini: 5 3 ialah "kubus nombor 5" atau "5 kubus". Walau bagaimanapun, ia juga mungkin untuk menggunakan kata-kata standard "dalam darjah kedua / ketiga", ini tidak akan menjadi kesilapan.

Contoh 1

Mari kita lihat contoh ijazah dengan penunjuk semula jadi: untuk 5 7 lima akan menjadi asas, dan tujuh akan menjadi penunjuk.

Pangkalan tidak perlu menjadi integer: untuk ijazah (4 , 32) 9 asasnya ialah pecahan 4, 32, dan eksponennya ialah sembilan. Beri perhatian kepada kurungan: notasi sedemikian dibuat untuk semua darjah, asasnya berbeza daripada nombor semula jadi.

Contohnya: 1 2 3 , (- 3) 12 , - 2 3 5 2 , 2 , 4 35 5 , 7 3 .

Untuk apa kurungan itu? Mereka membantu untuk mengelakkan kesilapan dalam pengiraan. Katakan kita mempunyai dua entri: (− 2) 3 dan − 2 3 . Yang pertama bermakna nombor negatif tolak dua, dinaikkan kepada kuasa dengan eksponen semula jadi tiga; yang kedua ialah nombor yang sepadan dengan nilai bertentangan darjah 2 3 .

Kadangkala dalam buku anda boleh menemui ejaan yang sedikit berbeza bagi darjah suatu nombor - a^n(di mana a ialah asas dan n ialah eksponen). Jadi 4^9 adalah sama dengan 4 9 . Jika n ialah nombor berbilang digit, ia disertakan dalam kurungan. Contohnya, 15 ^ (21) , (− 3 , 1) ^ (156) . Tetapi kami akan menggunakan notasi a n sebagai lebih biasa.

Cara mengira nilai darjah dengan eksponen semula jadi adalah mudah untuk meneka dari definisinya: anda hanya perlu mendarabkan bilangan ke-n. Kami menulis lebih lanjut mengenai ini dalam artikel lain.

Konsep ijazah adalah bertentangan dengan konsep matematik yang lain - punca nombor. Jika kita tahu nilai eksponen dan eksponen, kita boleh mengira asasnya. Ijazah mempunyai beberapa sifat khusus yang berguna untuk menyelesaikan masalah yang telah kami analisis dalam bahan yang berasingan.

Eksponen boleh mengandungi bukan sahaja nombor asli, tetapi secara amnya sebarang nilai integer, termasuk nilai negatif dan sifar, kerana ia juga tergolong dalam set integer.

Definisi 2

Darjah nombor dengan eksponen integer positif boleh dipaparkan sebagai formula: .

Selain itu, n ialah sebarang integer positif.

Mari kita berurusan dengan konsep sifar darjah. Untuk melakukan ini, kami menggunakan pendekatan yang mengambil kira harta hasil bagi kuasa dengan asas yang sama. Ia dirumuskan seperti ini:

Definisi 3

Kesaksamaan a m: a n = a m − n akan menjadi benar dalam keadaan berikut: m dan n ialah nombor asli, m< n , a ≠ 0 .

Syarat terakhir adalah penting kerana ia mengelakkan pembahagian dengan sifar. Jika nilai m dan n adalah sama, maka kita akan mendapat hasil berikut: a n: a n = a n − n = a 0

Tetapi pada masa yang sama a n: a n = 1 - hasil bagi nombor yang sama a n dan a. Ternyata darjah sifar mana-mana nombor bukan sifar adalah sama dengan satu.

Walau bagaimanapun, bukti sedemikian tidak sesuai untuk sifar kepada sifar kuasa. Untuk melakukan ini, kita memerlukan satu lagi harta kuasa - harta produk kuasa dengan asas yang sama. Ia kelihatan seperti ini: a m a n = a m + n .

Jika n ialah 0, maka a m a 0 = a m(persamaan ini juga membuktikan kepada kita bahawa a 0 = 1). Tetapi jika dan juga sama dengan sifar, kesaksamaan kita wujud 0 m 0 0 = 0 m, Ia akan benar untuk sebarang nilai semula jadi n, dan tidak kira apa sebenarnya nilai darjah itu 0 0 , iaitu, ia boleh sama dengan sebarang nombor, dan ini tidak akan menjejaskan kesahihan kesaksamaan. Oleh itu, rekod borang 0 0 tidak mempunyai makna tersendiri, dan kami tidak akan mengaitkannya dengannya.

Sekiranya dikehendaki, mudah untuk menyemaknya a 0 = 1 bertumpu dengan harta darjah (a m) n = a m n dengan syarat asas darjah tidak sama dengan sifar. Oleh itu, darjah sebarang nombor bukan sifar dengan eksponen sifar adalah sama dengan satu.

Contoh 2

Mari kita lihat contoh dengan nombor tertentu: Jadi, 5 0 - unit, (33 , 3) 0 = 1 , - 4 5 9 0 = 1 , dan nilainya 0 0 tidak ditentukan.

Selepas darjah sifar, kita tinggal untuk memikirkan apa itu darjah negatif. Untuk melakukan ini, kita memerlukan harta yang sama hasil darab kuasa dengan asas yang sama, yang telah kita gunakan di atas: a m · a n = a m + n.

Kami memperkenalkan keadaan: m = − n , maka a tidak boleh sama dengan sifar. Ia berikutan itu a − n a n = a − n + n = a 0 = 1. Ternyata a n dan a-n kita mempunyai nombor timbal balik.

Akibatnya, a kepada kuasa integer negatif hanyalah pecahan 1 a n .

Rumusan ini mengesahkan bahawa untuk ijazah dengan eksponen integer negatif, semua sifat yang sama adalah sah seperti yang dimiliki oleh darjah dengan eksponen semula jadi (dengan syarat asasnya tidak sama dengan sifar).

Contoh 3

Kuasa a dengan integer negatif n boleh diwakili sebagai pecahan 1 a n . Oleh itu, a - n = 1 a n di bawah keadaan a ≠ 0 dan n ialah sebarang nombor asli.

Mari kita gambarkan idea kita dengan contoh khusus:

Contoh 4

3 - 2 = 1 3 2 , (- 4 . 2) - 5 = 1 (- 4 . 2) 5 , 11 37 - 1 = 1 11 37 1

Di bahagian terakhir perenggan, kami akan cuba menggambarkan semua yang telah dikatakan dengan jelas dalam satu formula:

Definisi 4

Kuasa a dengan eksponen asli z ialah: az = az, e dengan z dan z ialah integer positif 1, z = 0 dan a ≠ 0 , (jika z = 0 dan a = 0 kita dapat 0 0 , nilai-nilai ​daripada ungkapan 0 0 tidak boleh ditentukan)   1 az , jika z ialah integer negatif dan a ≠ 0 ( jika z ialah integer negatif dan a = 0 kita dapat 0 z , ia adalah a n d e n t i o n )

Apakah darjah dengan eksponen rasional

Kami telah menganalisis kes apabila eksponen ialah integer. Walau bagaimanapun, anda juga boleh menaikkan nombor kepada kuasa apabila eksponennya ialah nombor pecahan. Ini dipanggil ijazah dengan eksponen rasional. Dalam subseksyen ini kita akan membuktikan bahawa ia mempunyai sifat yang sama dengan kuasa-kuasa lain.

Apakah nombor rasional? Set mereka termasuk nombor integer dan pecahan, manakala nombor pecahan boleh diwakili sebagai pecahan biasa (kedua-dua positif dan negatif). Kami merumuskan takrif darjah nombor a dengan eksponen pecahan m / n, di mana n ialah nombor asli, dan m ialah integer.

Kami mempunyai beberapa darjah dengan eksponen pecahan a m n . Untuk membolehkan harta kuasa dipegang dalam satu darjah, kesamaan a m n n = a m n · n = a m mestilah benar.

Memandangkan takrifan punca ke-n dan a m n n = a m , kita boleh menerima syarat a m n = a m n jika a m n masuk akal untuk nilai yang diberikan m , n dan a .

Sifat di atas bagi darjah dengan eksponen integer adalah benar di bawah keadaan a m n = a m n .

Kesimpulan utama dari penaakulan kami adalah seperti berikut: darjah nombor tertentu a dengan eksponen pecahan m / n ialah punca darjah ke-n dari nombor a hingga kuasa m. Ini benar jika, untuk nilai tertentu m, n, dan a, ungkapan a m n masuk akal.

1. Kita boleh mengehadkan nilai asas darjah: ambil a, yang untuk nilai positif m akan lebih besar daripada atau sama dengan 0, dan untuk nilai negatif ia akan menjadi kurang (kerana untuk m ≤ 0 kita dapat 0 m, tetapi ijazah ini tidak ditakrifkan). Dalam kes ini, takrifan darjah dengan eksponen pecahan akan kelihatan seperti ini:

Eksponen pecahan m/n untuk beberapa nombor positif a ialah punca ke-n bagi suatu yang dinaikkan kepada kuasa m. Dalam bentuk formula, ini boleh diwakili seperti berikut:

Untuk ijazah dengan asas sifar, peruntukan ini juga sesuai, tetapi hanya jika eksponennya ialah nombor positif.

Kuasa dengan asas sifar dan eksponen pecahan positif m/n boleh dinyatakan sebagai

0 m n = 0 m n = 0 di bawah keadaan integer positif m dan n asli.

Dengan nisbah negatif m n< 0 степень не определяется, т.е. такая запись смысла не имеет.

Mari kita perhatikan satu perkara. Oleh kerana kami telah memperkenalkan syarat bahawa a lebih besar daripada atau sama dengan sifar, kami telah membuang beberapa kes.

Ungkapan a m n kadangkala masih masuk akal untuk beberapa nilai negatif a dan beberapa nilai negatif m . Jadi, entri adalah betul (- 5) 2 3 , (- 1 , 2) 5 7 , - 1 2 - 8 4 , di mana asasnya adalah negatif.

2. Pendekatan kedua ialah mempertimbangkan secara berasingan punca a m n dengan eksponen genap dan ganjil. Kemudian kita perlu memperkenalkan satu lagi syarat: darjah a, dalam eksponen yang terdapat pecahan biasa boleh dikurangkan, dianggap darjah a, dalam eksponen yang terdapat pecahan tak dapat dikurangkan sepadan. Kemudian kami akan menerangkan mengapa kami memerlukan syarat ini dan mengapa ia sangat penting. Oleh itu, jika kita mempunyai rekod a m · k n · k , maka kita boleh mengurangkannya kepada a m n dan memudahkan pengiraan.

Jika n ialah nombor ganjil dan m adalah positif dan a ialah sebarang nombor bukan negatif, maka a m n masuk akal. Syarat untuk a bukan negatif adalah perlu, kerana punca darjah genap tidak diekstrak daripada nombor negatif. Jika nilai m adalah positif, maka a boleh menjadi kedua-dua negatif dan sifar, kerana Punca ganjil boleh diambil daripada sebarang nombor nyata.

Mari gabungkan semua data di atas definisi dalam satu entri:

Di sini m/n bermaksud pecahan tidak boleh dikurangkan, m ialah sebarang integer, dan n ialah sebarang nombor asli.

Definisi 5

Bagi mana-mana pecahan terkurang biasa m · k n · k, darjah boleh digantikan dengan a m n .

Darjah a dengan eksponen pecahan tidak boleh dikurangkan m / n – boleh dinyatakan sebagai m n dalam kes berikut: - untuk mana-mana nyata a , nilai integer positif m dan nilai semula jadi ganjil n . Contoh: 2 5 3 = 2 5 3 , (- 5 , 1) 2 7 = (- 5 , 1) - 2 7 , 0 5 19 = 0 5 19 .

Untuk mana-mana bukan sifar nyata a , nilai integer negatif m dan nilai ganjil n , contohnya, 2 - 5 3 = 2 - 5 3 , (- 5 , 1) - 2 7 = (- 5 , 1) - 2 7

Untuk mana-mana bukan negatif a , nilai integer positif bagi m dan genap n , contohnya, 2 1 4 = 2 1 4 , (5 , 1) 3 2 = (5 , 1) 3 , 0 7 18 = 0 7 18 .

Untuk sebarang positif a , integer negatif m dan genap n , contohnya, 2 - 1 4 = 2 - 1 4 , (5 , 1) - 3 2 = (5 , 1) - 3 , .

Dalam kes nilai lain, darjah dengan eksponen pecahan tidak ditentukan. Contoh kuasa tersebut: - 2 11 6 , - 2 1 2 3 2 , 0 - 2 5 .

Sekarang mari kita terangkan kepentingan keadaan yang dinyatakan di atas: mengapa menggantikan pecahan dengan eksponen boleh dikurangkan untuk pecahan dengan yang tidak boleh dikurangkan. Jika kita tidak melakukan ini, maka situasi seperti itu akan berlaku, katakan, 6/10 = 3/5. Kemudian (- 1) 6 10 = - 1 3 5 sepatutnya benar, tetapi - 1 6 10 = (- 1) 6 10 = 1 10 = 1 10 10 = 1 , dan (- 1) 3 5 = (- 1) 3 5 = - 1 5 = - 1 5 5 = - 1 .

Takrifan darjah dengan eksponen pecahan, yang kami berikan dahulu, lebih mudah digunakan dalam amalan daripada yang kedua, jadi kami akan terus menggunakannya.

Definisi 6

Oleh itu, kuasa nombor positif a dengan eksponen pecahan m / n ditakrifkan sebagai 0 m n = 0 m n = 0 . Dalam kes negatif a tatatanda a m n tidak masuk akal. Darjah Sifar untuk Eksponen Pecahan Positif m/n ditakrifkan sebagai 0 m n = 0 m n = 0 , untuk eksponen pecahan negatif kita tidak mentakrifkan darjah sifar.

Dalam kesimpulan, kami perhatikan bahawa sebarang penunjuk pecahan boleh ditulis sebagai nombor bercampur dan sebagai pecahan perpuluhan: 5 1, 7, 3 2 5 - 2 3 7.

Apabila mengira, adalah lebih baik untuk menggantikan eksponen dengan pecahan biasa dan kemudian menggunakan definisi darjah dengan eksponen pecahan. Untuk contoh di atas, kita dapat:

5 1 , 7 = 5 17 10 = 5 7 10 3 2 5 - 2 3 7 = 3 2 5 - 17 7 = 3 2 5 - 17 7

Apakah darjah dengan eksponen tidak rasional dan nyata

Apakah nombor nyata? Set mereka termasuk nombor rasional dan tidak rasional. Oleh itu, untuk memahami apa itu ijazah dengan eksponen sebenar, kita perlu mentakrifkan darjah dengan eksponen rasional dan tidak rasional. Mengenai rasional yang telah kami sebutkan di atas. Mari kita berurusan dengan penunjuk tidak rasional langkah demi langkah.

Contoh 5

Katakan kita mempunyai nombor tak rasional a dan urutan penghampiran perpuluhannya a 0 , a 1 , a 2 , . . . . Sebagai contoh, mari kita ambil nilai a = 1 , 67175331 . . . , kemudian

a 0 = 1 , 6 , a 1 = 1 , 67 , a 2 = 1 , 671 , . . . , a 0 = 1 , 67 , a 1 = 1 , 6717 , a 2 = 1 , 671753 , . . .

Kita boleh mengaitkan jujukan penghampiran dengan jujukan kuasa a a 0 , a a 1 , a a 2 , . . . . Jika kita ingat apa yang kita bincangkan sebelum ini tentang menaikkan nombor kepada kuasa rasional, maka kita boleh mengira nilai kuasa ini sendiri.

Ambil contoh a = 3, maka a a 0 = 3 1 , 67 , a a 1 = 3 1 , 6717 , a a 2 = 3 1 , 671753 , . . . dan lain-lain.

Urutan darjah boleh dikurangkan kepada nombor, yang akan menjadi nilai darjah dengan asas a dan eksponen tidak rasional a. Hasilnya: ijazah dengan eksponen tidak rasional dalam bentuk 3 1 , 67175331 . . boleh dikurangkan kepada nombor 6, 27.

Definisi 7

Kuasa nombor positif a dengan eksponen tak rasional a ditulis sebagai a . Nilainya ialah had bagi jujukan a a 0 , a a 1 , a a 2 , . . . , di mana a 0 , a 1 , a 2 , . . . ialah penghampiran perpuluhan berturut-turut bagi nombor tak rasional a. Darjah dengan asas sifar juga boleh ditakrifkan untuk eksponen tidak rasional positif, manakala 0 a \u003d 0 Jadi, 0 6 \u003d 0, 0 21 3 3 \u003d 0. Dan untuk yang negatif, ini tidak boleh dilakukan, kerana, sebagai contoh, nilai 0 - 5, 0 - 2 π tidak ditakrifkan. Unit yang dinaikkan kepada sebarang kuasa tidak rasional kekal sebagai unit, contohnya, dan 1 2 , 1 5 dalam 2 dan 1 - 5 akan sama dengan 1 .

Jika anda melihat kesilapan dalam teks, sila serlahkannya dan tekan Ctrl+Enter

Formula kuasa digunakan dalam proses mengurangkan dan memudahkan ungkapan kompleks, dalam menyelesaikan persamaan dan ketaksamaan.

Nombor c adalah n-kuasa ke- bagi suatu nombor a bila:

Operasi dengan ijazah.

1. Mendarab darjah dengan asas yang sama, penunjuknya ditambah:

a ma n = a m + n .

2. Dalam pembahagian darjah dengan asas yang sama, penunjuk mereka ditolak:

3. Darjah hasil darab 2 atau lebih faktor adalah sama dengan darab darjah faktor ini:

(abc…) n = a n b n c n …

4. Darjah pecahan adalah sama dengan nisbah darjah dividen dan pembahagi:

(a/b) n = a n / b n .

5. Meningkatkan kuasa kepada kuasa, eksponen didarabkan:

(am) n = a m n .

Setiap formula di atas adalah betul mengikut arah dari kiri ke kanan dan sebaliknya.

contohnya. (2 3 5/15)² = 2² 3² 5²/15² = 900/225 = 4.

Operasi dengan akar.

1. Punca hasil darab beberapa faktor adalah sama dengan hasil darab punca faktor ini:

2. Punca nisbah adalah sama dengan nisbah dividen dan pembahagi punca:

3. Apabila menaikkan akar kepada kuasa, cukup untuk menaikkan nombor akar kepada kuasa ini:

4. Jika kita meningkatkan darjah akar dalam n sekali dan pada masa yang sama naikkan kepada n kuasa ke adalah nombor akar, maka nilai akar tidak akan berubah:

5. Jika kita menurunkan darjah akar dalam n akar pada masa yang sama n darjah ke- dari nombor radikal, maka nilai akar tidak akan berubah:

Ijazah dengan eksponen negatif. Darjah nombor tertentu dengan eksponen bukan positif (integer) ditakrifkan sebagai satu dibahagikan dengan darjah nombor yang sama dengan eksponen sama dengan nilai mutlak eksponen bukan positif:

Formula a m:a n = a m - n boleh digunakan bukan sahaja untuk m> n, tetapi juga pada m< n.

contohnya. a4:a 7 = a 4 - 7 = a -3.

Kepada formula a m:a n = a m - n menjadi adil pada m=n, anda memerlukan kehadiran darjah sifar.

Darjah dengan eksponen sifar. Kuasa mana-mana nombor bukan sifar dengan eksponen sifar adalah sama dengan satu.

contohnya. 2 0 = 1,(-5) 0 = 1,(-3/5) 0 = 1.

Darjah dengan eksponen pecahan. Untuk menaikkan nombor nyata a ke tahap m/n, anda perlu mengekstrak akarnya n darjah ke- m kuasa ke nombor ini a.