Kaedah matriks songsang. Peraturan Cramer

• penentu matriks A dikira;
• melalui penambahan algebra, matriks songsang A -1 ditemui;
• templat penyelesaian dibuat dalam Excel;

Arahan. Untuk mendapatkan penyelesaian dengan kaedah matriks songsang, adalah perlu untuk menentukan dimensi matriks. Seterusnya, dalam kotak dialog baharu, isikan matriks A dan vektor hasil B .

Algoritma penyelesaian

1. Penentu matriks A dikira. Jika penentu adalah sifar, maka akhir penyelesaian. Sistem ini mempunyai bilangan penyelesaian yang tidak terhingga.
2. Apabila penentu berbeza daripada sifar, matriks songsang A -1 ditemui melalui penambahan algebra.
3. Vektor keputusan X =(x 1 , x 2 , ..., x n ) diperoleh dengan mendarab matriks songsang dengan vektor hasil B .

Kaedah matriks Penyelesaian SLAU digunakan untuk menyelesaikan sistem persamaan di mana bilangan persamaan sepadan dengan bilangan yang tidak diketahui. Kaedah ini paling baik digunakan untuk menyelesaikan sistem pesanan rendah. Kaedah matriks untuk menyelesaikan sistem persamaan linear adalah berdasarkan aplikasi sifat pendaraban matriks.

Dengan cara ini, dengan kata lain kaedah matriks songsang, dipanggil begitu, kerana penyelesaian dikurangkan kepada persamaan matriks biasa, untuk penyelesaian yang anda perlukan untuk mencari matriks songsang.

Kaedah penyelesaian matriks SLAE dengan penentu lebih besar daripada atau kurang daripada sifar adalah seperti berikut:

Katakan terdapat SLE (sistem persamaan linear) dengan n tidak diketahui (melalui medan sewenang-wenangnya):

Jadi, mudah untuk menterjemahkannya ke dalam bentuk matriks:

AX=B, di mana A ialah matriks utama sistem, B dan X- lajur ahli percuma dan penyelesaian sistem, masing-masing:

Darabkan persamaan matriks di sebelah kiri ini dengan A -1- matriks songsang kepada matriks A: A −1 (AX)=A −1 B.

Kerana A −1 A=E, bermakna, X=A −1 B. Bahagian kanan persamaan memberikan lajur penyelesaian kepada sistem awal. Syarat untuk kebolehgunaan kaedah matriks ialah ketakdegenerasi matriks A. Syarat yang perlu dan mencukupi untuk ini ialah penentu matriks A:

detA≠0.

Untuk sistem persamaan linear homogen, iaitu jika vektor B=0, peraturan bertentangan memegang: sistem AX=0 ialah penyelesaian bukan remeh (iaitu, tidak sama dengan sifar) hanya apabila detA=0. Hubungan antara penyelesaian sistem homogen dan tidak homogen bagi persamaan linear dipanggil alternatif kepada Fredholm.

Oleh itu, penyelesaian SLAE dengan kaedah matriks dibuat mengikut formula . Atau, penyelesaian SLAE didapati menggunakan matriks songsang A -1.

Adalah diketahui bahawa matriks segi empat sama TAPI pesanan n pada n terdapat matriks songsang A -1 hanya jika penentunya bukan sifar. Oleh itu sistem n persamaan algebra linear dengan n tidak diketahui diselesaikan dengan kaedah matriks hanya jika penentu matriks utama sistem tidak sama dengan sifar.

Walaupun fakta bahawa terdapat batasan kemungkinan menggunakan kaedah sedemikian dan terdapat kesukaran pengiraan untuk nilai besar pekali dan sistem pesanan tinggi, kaedah itu boleh dilaksanakan dengan mudah pada komputer.

Contoh penyelesaian SLAE yang tidak homogen.

Mula-mula, mari kita semak sama ada penentu matriks pekali untuk SLAE yang tidak diketahui adalah tidak sama dengan sifar.

Sekarang kita dapati matriks pakatan, alihkan dan gantikannya ke dalam formula untuk menentukan matriks songsang.

Kami menggantikan pembolehubah dalam formula:

Sekarang kita mencari yang tidak diketahui dengan mendarabkan matriks songsang dan lajur sebutan bebas.

Jadi, x=2; y=1; z=4.

Apabila beralih daripada bentuk biasa SLAE ke bentuk matriks, berhati-hati dengan susunan pembolehubah yang tidak diketahui dalam persamaan sistem. Sebagai contoh:

JANGAN tulis sebagai:

Ia adalah perlu, pertama, untuk memerintahkan pembolehubah yang tidak diketahui dalam setiap persamaan sistem dan hanya selepas itu meneruskan ke notasi matriks:

Di samping itu, anda perlu berhati-hati dengan penetapan pembolehubah yang tidak diketahui, bukannya x 1 , x 2 , …, x n mungkin ada surat lain. Sebagai contoh:

dalam bentuk matriks, kami menulis:

Menggunakan kaedah matriks, adalah lebih baik untuk menyelesaikan sistem persamaan linear di mana bilangan persamaan bertepatan dengan bilangan pembolehubah yang tidak diketahui dan penentu matriks utama sistem tidak sama dengan sifar. Apabila terdapat lebih daripada 3 persamaan dalam sistem, ia akan mengambil lebih banyak usaha pengiraan untuk mencari matriks songsang, oleh itu, dalam kes ini, adalah dinasihatkan untuk menggunakan kaedah Gauss untuk menyelesaikannya.

Topik 2. SISTEM PERSAMAAN ALGEBRA LINEAR.

Konsep asas.

Definisi 1. sistem m persamaan linear dengan n tidak diketahui ialah sistem dalam bentuk:

di mana dan adalah nombor.

Definisi 2. Penyelesaian sistem (I) adalah satu set yang tidak diketahui, di mana setiap persamaan sistem ini bertukar menjadi identiti.

Definisi 3. Sistem (I) dipanggil sendi jika ia mempunyai sekurang-kurangnya satu penyelesaian dan tidak serasi jika ia tidak mempunyai penyelesaian. Sistem sendi dipanggil pasti jika ia mempunyai penyelesaian yang unik, dan tidak pasti sebaliknya.

Definisi 4. Taip persamaan

dipanggil sifar, dan persamaan bentuk

dipanggil tidak serasi. Jelas sekali, sistem persamaan yang mengandungi persamaan tidak konsisten adalah tidak konsisten.

Definisi 5. Dua sistem persamaan linear dipanggil bersamaan jika setiap penyelesaian satu sistem adalah penyelesaian yang lain dan, sebaliknya, setiap penyelesaian sistem kedua ialah penyelesaian yang pertama.

Tatatanda matriks untuk sistem persamaan linear.

Pertimbangkan sistem (I) (lihat §1).

Nyatakan:

Matriks pekali untuk yang tidak diketahui

Matriks - lajur ahli percuma

Matriks - lajur yang tidak diketahui

.

Definisi 1. Matriks dipanggil matriks utama sistem(I), dan matriks ialah matriks tambahan sistem (I).

Dengan takrifan kesamaan matriks, sistem (I) sepadan dengan kesamaan matriks:

.

Bahagian kanan kesamaan ini mengikut takrif hasil darab matriks ( lihat definisi 3 § 5 bab 1) boleh difaktorkan:

, iaitu

Kesaksamaan (2) dipanggil tatatanda matriks sistem (I).

Menyelesaikan sistem persamaan linear dengan kaedah Cramer.

Biarkan masuk sistem (I) (lihat §1) m=n, iaitu bilangan persamaan adalah sama dengan bilangan yang tidak diketahui, dan matriks utama sistem adalah tidak merosot, i.e. . Kemudian sistem (I) dari §1 mempunyai penyelesaian yang unik

di mana ∆ = det A dipanggil utama penentu sistem(I), ∆ i diperoleh daripada penentu Δ dengan menggantikan i-lajur ke lajur ahli bebas sistem (I).

Contoh. Selesaikan sistem dengan kaedah Cramer:

.

Dengan formula (3) .

Kami mengira penentu sistem:

,

,

.

Untuk mendapatkan penentu, kami telah menggantikan lajur pertama dalam penentu dengan lajur terma bebas; menggantikan lajur ke-2 dalam penentu dengan lajur ahli bebas, kami memperoleh; begitu juga, menggantikan lajur ke-3 dalam penentu dengan lajur ahli bebas, kami memperoleh . Penyelesaian sistem:

Menyelesaikan sistem persamaan linear menggunakan matriks songsang.

Biarkan masuk sistem (I) (lihat §1) m=n dan matriks utama sistem adalah tidak merosot. Kami menulis sistem (I) dalam bentuk matriks ( lihat §2):

kerana matriks A tidak merosot, maka ia mempunyai matriks songsang ( lihat Teorem 1 §6 Bab 1). Darab kedua-dua belah persamaan (2) ke matriks, kemudian

Mengikut takrifan matriks songsang . Daripada kesamarataan (3) kita ada

Selesaikan sistem menggunakan matriks songsang

.

Menandakan

Dalam contoh (§ 3) kita mengira penentu , oleh itu, matriks A mempunyai matriks songsang. Kemudian berkuat kuasa (4) , iaitu

. (5)

Cari matriks ( lihat §6 bab 1)

, , ,

, , ,

,

.

Kaedah Gauss.

Biarkan sistem persamaan linear diberikan:

. (saya)

Ia diperlukan untuk mencari semua penyelesaian sistem (I) atau untuk memastikan bahawa sistem itu tidak konsisten.

Definisi 1.Mari kita panggil transformasi asas sistem(I) mana-mana daripada tiga tindakan:

1) pemadaman persamaan sifar;

2) menambah pada kedua-dua bahagian persamaan bahagian yang sepadan bagi persamaan lain, didarab dengan nombor l;

3) menukar istilah dalam persamaan sistem supaya yang tidak diketahui dengan nombor yang sama dalam semua persamaan menduduki tempat yang sama, i.e. jika, sebagai contoh, dalam persamaan 1 kita menukar sebutan ke-2 dan ke-3, maka perkara yang sama mesti dilakukan dalam semua persamaan sistem.

Kaedah Gauss terdiri daripada fakta bahawa sistem (I) dengan bantuan transformasi asas dikurangkan kepada sistem yang setara, penyelesaiannya didapati secara langsung atau ketidakbolehlarutannya ditubuhkan.

Seperti yang diterangkan dalam §2, sistem (I) ditentukan secara unik oleh matriks lanjutannya, dan sebarang transformasi asas sistem (I) sepadan dengan transformasi asas matriks lanjutan:

.

Penjelmaan 1) sepadan dengan pemadaman baris sifar dalam matriks , penjelmaan 2) adalah bersamaan dengan menambah pada baris sepadan matriks baris lainnya didarab dengan nombor l, penjelmaan 3) adalah bersamaan dengan menyusun semula lajur dalam matriks .

Adalah mudah untuk melihat bahawa, sebaliknya, setiap transformasi asas matriks sepadan dengan transformasi asas sistem (I). Memandangkan apa yang telah diperkatakan, bukannya operasi dengan sistem (I), kami akan bekerja dengan matriks tambahan sistem ini.

Dalam matriks, lajur 1 terdiri daripada pekali pada x 1, lajur ke-2 - daripada pekali pada x 2 dan lain-lain. Dalam kes penyusunan semula lajur, ia harus diambil kira bahawa syarat ini dilanggar. Sebagai contoh, jika kita menukar lajur 1 dan 2, maka sekarang dalam lajur 1 akan terdapat pekali pada x 2, dan dalam lajur ke-2 - pekali pada x 1.

Kami akan menyelesaikan sistem (I) dengan kaedah Gauss.

1. Potong semua baris sifar dalam matriks, jika ada (iaitu, potong semua persamaan sifar dalam sistem (I).

2. Semak sama ada terdapat baris antara baris matriks di mana semua elemen kecuali yang terakhir adalah sama dengan sifar (mari kita panggil baris sedemikian tidak konsisten). Jelas sekali, garis sedemikian sepadan dengan persamaan yang tidak konsisten dalam sistem (I), oleh itu, sistem (I) tidak mempunyai penyelesaian, dan di sinilah proses itu berakhir.

3. Biarkan matriks tidak mengandungi baris tidak konsisten (sistem (I) tidak mengandungi persamaan tidak konsisten). Sekiranya a 11 =0, maka kita dapati dalam baris pertama beberapa elemen (kecuali yang terakhir) yang berbeza daripada sifar dan susun semula lajur supaya tiada sifar dalam baris pertama di tempat pertama. Kami kini menganggap bahawa (iaitu, kami menukar istilah yang sepadan dalam persamaan sistem (I)).

4. Darabkan baris pertama dengan dan tambahkan hasil pada baris ke-2, kemudian darab baris pertama dengan dan tambahkan hasilnya pada baris ke-3, dsb. Jelas sekali, proses ini bersamaan dengan menghapuskan yang tidak diketahui x 1 daripada semua persamaan sistem (I), kecuali yang pertama. Dalam matriks baharu, kita mendapat sifar dalam lajur pertama di bawah elemen a 11:

.

5. Potong semua baris sifar dalam matriks, jika ada, semak jika terdapat baris yang tidak konsisten (jika ada, maka sistem tidak konsisten dan penyelesaiannya berakhir di sana). Mari kita semak jika a 22 / =0, jika ya, maka kita dapati elemen dalam baris ke-2 yang berbeza daripada sifar dan susun semula lajur supaya . Seterusnya, kita darabkan unsur-unsur baris ke-2 dengan dan tambah dengan elemen sepadan baris ke-3, kemudian - elemen baris ke-2 dihidupkan dan tambah dengan elemen sepadan baris ke-4, dsb., sehingga kita mendapat sifar di bawah a 22 /

.

Tindakan yang dilakukan adalah bersamaan dengan penghapusan yang tidak diketahui x 2 daripada semua persamaan sistem (I), kecuali untuk 1 dan 2. Oleh kerana bilangan baris adalah terhingga, oleh itu, selepas bilangan langkah terhingga, kita akan mendapat sama ada sistem itu tidak konsisten, atau kita akan sampai ke matriks langkah ( lihat definisi 2 §7 bab 1) :

,

Mari kita tuliskan sistem persamaan yang sepadan dengan matriks. Sistem ini bersamaan dengan sistem (I)

.

Daripada persamaan terakhir kita nyatakan ; kita gantikan ke dalam persamaan sebelumnya, cari, dsb., sehingga kita mendapat .

Catatan 1. Oleh itu, apabila menyelesaikan sistem (I) dengan kaedah Gauss, kita tiba di salah satu daripada kes berikut.

1. Sistem (I) tidak konsisten.

2. Sistem (I) mempunyai penyelesaian yang unik jika bilangan baris dalam matriks adalah sama dengan bilangan yang tidak diketahui ().

3. Sistem (I) mempunyai bilangan penyelesaian yang tidak terhingga jika bilangan baris dalam matriks kurang daripada bilangan yang tidak diketahui ().

Oleh itu teorem berikut berlaku.

Teorem. Sistem persamaan linear sama ada tidak konsisten, atau mempunyai penyelesaian unik, atau terdapat set penyelesaian tak terhingga.

Contoh. Selesaikan sistem persamaan dengan kaedah Gauss atau buktikan ketidaktekalannya:

b) ;

a) Mari kita tulis semula sistem yang diberikan dalam bentuk:

.

Kami menukar persamaan 1 dan 2 sistem asal untuk memudahkan pengiraan (bukan pecahan, kami akan beroperasi hanya dengan integer menggunakan pilih atur sedemikian).

Kami menyusun matriks yang diperluaskan:

.

Tiada garisan nol; tiada garisan yang tidak serasi, ; kami mengecualikan yang pertama yang tidak diketahui daripada semua persamaan sistem, kecuali untuk yang pertama. Untuk melakukan ini, kami mendarabkan unsur-unsur baris pertama matriks dengan "-2" dan menambahnya kepada unsur-unsur yang sepadan pada baris ke-2, yang bersamaan dengan mendarabkan persamaan pertama dengan "-2" dan menambahkannya pada persamaan ke-2. Kemudian kita darabkan unsur-unsur baris pertama dengan "-3" dan tambahkannya kepada unsur-unsur yang sepadan dengan baris ketiga, i.e. darabkan persamaan ke-2 sistem yang diberi dengan "-3" dan tambahkannya pada persamaan ke-3. Dapatkan

.

Matriks sepadan dengan sistem persamaan). - (lihat Takrif 3 § 7 Bab 1).

Biarkan terdapat matriks segi empat sama bagi susunan ke-n

Matriks A -1 dipanggil matriks songsang berkenaan dengan matriks A, jika A * A -1 = E, dengan E ialah matriks identiti bagi susunan ke-n.

Matriks identiti- matriks segi empat sama, di mana semua elemen di sepanjang pepenjuru utama, melepasi dari sudut kiri atas ke sudut kanan bawah, adalah satu, dan selebihnya adalah sifar, sebagai contoh:

matriks songsang mungkin wujud hanya untuk matriks segi empat sama mereka. untuk matriks yang mempunyai bilangan baris dan lajur yang sama.

Teorem Keadaan Kewujudan Matriks Songsang

Untuk matriks mempunyai matriks songsang, adalah perlu dan mencukupi bahawa ia tidak merosot.

Matriks A = (A1, A2,...A n) dipanggil tidak merosot jika vektor lajur adalah bebas linear. Bilangan vektor lajur bebas linear bagi matriks dipanggil pangkat matriks. Oleh itu, kita boleh mengatakan bahawa agar matriks songsang wujud, adalah perlu dan mencukupi bahawa pangkat matriks adalah sama dengan dimensinya, i.e. r = n.

Algoritma untuk mencari matriks songsang

1. Tulis matriks A dalam jadual untuk menyelesaikan sistem persamaan dengan kaedah Gauss dan di sebelah kanan (sebagai ganti bahagian kanan persamaan) tetapkan matriks E kepadanya.
2. Menggunakan transformasi Jordan, bawa matriks A kepada matriks yang terdiri daripada lajur tunggal; dalam kes ini, adalah perlu untuk mengubah matriks E secara serentak.
3. Jika perlu, susun semula baris (persamaan) jadual terakhir supaya matriks identiti E diperoleh di bawah matriks A jadual asal.
4. Tulis matriks songsang A -1, yang berada dalam jadual terakhir di bawah matriks E jadual asal.

Untuk matriks A, cari matriks songsang A -1

Penyelesaian: Kami menulis matriks A dan di sebelah kanan kami menetapkan matriks identiti E. Dengan menggunakan transformasi Jordan, kami mengurangkan matriks A kepada matriks identiti E. Pengiraan ditunjukkan dalam Jadual 31.1.

Mari kita semak ketepatan pengiraan dengan mendarab matriks asal A dan matriks songsang A -1.

Hasil daripada pendaraban matriks, matriks identiti diperolehi. Oleh itu, pengiraan adalah betul.

Jawapan:

Penyelesaian persamaan matriks

Persamaan matriks boleh kelihatan seperti:

AX = B, XA = B, AXB = C,

di mana A, B, C diberi matriks, X ialah matriks yang dikehendaki.

Persamaan matriks diselesaikan dengan mendarabkan persamaan dengan matriks songsang.

Sebagai contoh, untuk mencari matriks daripada persamaan, anda perlu mendarabkan persamaan ini dengan di sebelah kiri.

Oleh itu, untuk mencari penyelesaian kepada persamaan, anda perlu mencari matriks songsang dan mendarabkannya dengan matriks di sebelah kanan persamaan.

Persamaan lain diselesaikan dengan cara yang sama.

Selesaikan persamaan AX = B jika

Penyelesaian: Oleh kerana songsangan matriks adalah sama (lihat contoh 1)

Kaedah matriks dalam analisis ekonomi

Bersama-sama dengan yang lain, mereka juga mencari aplikasi kaedah matriks. Kaedah ini adalah berdasarkan algebra linear dan vektor-matriks. Kaedah sedemikian digunakan untuk tujuan menganalisis fenomena ekonomi yang kompleks dan multidimensi. Selalunya, kaedah ini digunakan apabila perlu untuk membandingkan fungsi organisasi dan bahagian strukturnya.

Dalam proses mengaplikasikan kaedah analisis matriks, beberapa peringkat boleh dibezakan.

Pada peringkat pertama pembentukan sistem penunjuk ekonomi dijalankan dan berdasarkannya matriks data awal disusun, iaitu jadual di mana nombor sistem ditunjukkan dalam baris individunya (i = 1,2,....,n), dan sepanjang graf menegak - bilangan penunjuk (j = 1,2,....,m).

Pada peringkat kedua untuk setiap lajur menegak, nilai terbesar yang tersedia bagi penunjuk didedahkan, yang diambil sebagai satu unit.

Selepas itu, semua jumlah yang ditunjukkan dalam lajur ini dibahagikan dengan nilai terbesar dan matriks pekali piawai terbentuk.

Pada peringkat ketiga semua komponen matriks adalah kuasa dua. Sekiranya mereka mempunyai kepentingan yang berbeza, maka setiap penunjuk matriks diberikan pekali pemberat tertentu k. Nilai yang terakhir ditentukan oleh pakar.

Pada yang terakhir peringkat keempat nilai penilaian yang ditemui Rj dikumpulkan mengikut urutan meningkat atau menurun.

Kaedah matriks di atas harus digunakan, sebagai contoh, dalam analisis perbandingan pelbagai projek pelaburan, serta dalam menilai penunjuk prestasi ekonomi organisasi yang lain.

Sistem persamaan linear m dengan n tidak diketahui dipanggil sistem bentuk

di mana aij dan b i (i=1,…,m; b=1,…,n) ialah beberapa nombor yang diketahui, dan x 1 ,…,x n- tidak diketahui. Dalam tatatanda pekali aij indeks pertama i menunjukkan nombor persamaan, dan kedua j ialah bilangan yang tidak diketahui di mana pekali ini berada.

Pekali untuk yang tidak diketahui akan ditulis dalam bentuk matriks , yang akan kami panggil matriks sistem.

Nombor di sebelah kanan persamaan b 1 ,…,b m dipanggil ahli percuma.

Agregat n nombor c 1 ,…,c n dipanggil keputusan sistem ini, jika setiap persamaan sistem menjadi kesamaan selepas menggantikan nombor ke dalamnya c 1 ,…,c n bukannya yang tidak diketahui yang sepadan x 1 ,…,x n.

Tugas kami adalah untuk mencari penyelesaian kepada sistem. Dalam kes ini, tiga situasi mungkin timbul:

Sistem persamaan linear yang mempunyai sekurang-kurangnya satu penyelesaian dipanggil sendi. Jika tidak, i.e. jika sistem tidak mempunyai penyelesaian, maka ia dipanggil tidak serasi.

Pertimbangkan cara untuk mencari penyelesaian kepada sistem.

KAEDAH MATRIKS UNTUK MENYELESAIKAN SISTEM PERSAMAAN LINEAR

Matriks membolehkan untuk menulis secara ringkas sistem persamaan linear. Biarkan sistem 3 persamaan dengan tiga tidak diketahui diberikan:

Pertimbangkan matriks sistem dan lajur matriks ahli yang tidak diketahui dan bebas

Jom cari produk

mereka. sebagai hasil daripada hasil darab, kita memperoleh bahagian kiri persamaan sistem ini. Kemudian, menggunakan definisi kesamaan matriks, sistem ini boleh ditulis sebagai

atau lebih pendek A∙X=B.

Di sini matriks A dan B diketahui, dan matriks X tidak diketahui. Dia perlu ditemui, kerana. unsur-unsurnya adalah penyelesaian sistem ini. Persamaan ini dipanggil persamaan matriks.

Biarkan penentu matriks berbeza daripada sifar | A| ≠ 0. Kemudian persamaan matriks diselesaikan seperti berikut. Darab kedua-dua belah persamaan di sebelah kiri dengan matriks A-1, songsangan matriks A: . Kerana ia A -1 A = E dan E∙X=X, maka kita memperoleh penyelesaian persamaan matriks dalam bentuk X = A -1 B .

Perhatikan bahawa kerana matriks songsang hanya boleh didapati untuk matriks segi empat sama, kaedah matriks hanya boleh menyelesaikan sistem di mana bilangan persamaan adalah sama dengan bilangan yang tidak diketahui. Walau bagaimanapun, notasi matriks sistem juga mungkin dalam kes apabila bilangan persamaan tidak sama dengan bilangan yang tidak diketahui, maka matriks A bukan segi empat sama dan oleh itu adalah mustahil untuk mencari penyelesaian kepada sistem dalam bentuk X = A -1 B.

Contoh. Menyelesaikan sistem persamaan.

PERATURAN CRAMER

Pertimbangkan sistem 3 persamaan linear dengan tiga tidak diketahui:

Penentu tertib ketiga yang sepadan dengan matriks sistem, i.e. terdiri daripada pekali pada yang tidak diketahui,

dipanggil penentu sistem.

Kami menyusun tiga lagi penentu seperti berikut: kami menggantikan berturut-turut 1, 2 dan 3 lajur dalam penentu D dengan lajur ahli bebas

Kemudian kita boleh membuktikan keputusan berikut.

Teorem (Peraturan Cramer). Jika penentu sistem ialah Δ ≠ 0, maka sistem yang sedang dipertimbangkan mempunyai satu dan hanya satu penyelesaian, dan

Bukti. Jadi, pertimbangkan sistem 3 persamaan dengan tiga tidak diketahui. Darabkan persamaan pertama sistem dengan pelengkap algebra A 11 unsur a 11, persamaan ke-2 - pada A21 dan ke-3 - pada A 31:

Mari tambahkan persamaan ini:

Pertimbangkan setiap kurungan dan bahagian kanan persamaan ini. Dengan teorem tentang pengembangan penentu dari segi unsur-unsur lajur pertama

Begitu juga, ia boleh ditunjukkan bahawa dan .

Akhirnya, mudah untuk melihatnya

Oleh itu, kita mendapat kesamarataan: .

Akibatnya, .

Persamaan dan diterbitkan serupa, dari mana penegasan teorem berikut.

Oleh itu, kita perhatikan bahawa jika penentu sistem ialah Δ ≠ 0, maka sistem itu mempunyai penyelesaian yang unik dan begitu juga sebaliknya. Jika penentu sistem adalah sama dengan sifar, maka sistem sama ada mempunyai set penyelesaian tak terhingga atau tidak mempunyai penyelesaian, i.e. tidak serasi.

Contoh. Menyelesaikan sistem persamaan

KAEDAH GAUSS

Kaedah yang dipertimbangkan sebelum ini boleh digunakan untuk menyelesaikan hanya sistem di mana bilangan persamaan bertepatan dengan bilangan yang tidak diketahui, dan penentu sistem mestilah berbeza daripada sifar. Kaedah Gaussian adalah lebih universal dan sesuai untuk sistem dengan sebarang bilangan persamaan. Ia terdiri daripada penghapusan berturut-turut yang tidak diketahui daripada persamaan sistem.

Pertimbangkan sekali lagi sistem tiga persamaan dengan tiga tidak diketahui:

.

Kami membiarkan persamaan pertama tidak berubah, dan dari ke-2 dan ke-3 kami mengecualikan istilah yang mengandungi x 1. Untuk melakukan ini, kami membahagikan persamaan kedua dengan a 21 dan darab dengan - a 11 dan kemudian tambah dengan persamaan 1. Begitu juga, kita membahagikan persamaan ketiga kepada a 31 dan darab dengan - a 11 dan kemudian tambahkannya kepada yang pertama. Akibatnya, sistem asal akan mengambil bentuk:

Sekarang, daripada persamaan terakhir, kami menghapuskan istilah yang mengandungi x2. Untuk melakukan ini, bahagikan persamaan ketiga dengan , darab dengan dan tambahkannya pada kedua. Kemudian kita akan mempunyai sistem persamaan:

Oleh itu dari persamaan terakhir ia mudah dicari x 3, kemudian daripada persamaan ke-2 x2 dan akhirnya dari 1 - x 1.

Apabila menggunakan kaedah Gaussian, persamaan boleh ditukar ganti jika perlu.

Selalunya, daripada menulis sistem persamaan baharu, mereka mengehadkan diri mereka untuk menulis matriks lanjutan sistem:

dan kemudian bawanya ke bentuk segi tiga atau pepenjuru menggunakan penjelmaan asas.

Kepada transformasi asas matriks termasuk penjelmaan berikut:

1. pilih atur baris atau lajur;
2. mendarab rentetan dengan nombor bukan sifar;
3. menambah satu baris baris lain.

Contoh: Selesaikan sistem persamaan menggunakan kaedah Gauss.

Oleh itu, sistem mempunyai bilangan penyelesaian yang tidak terhingga.