Kawasan unjuran ortogon. Pembangunan "Bukti terperinci teorem pada unjuran ortogon poligon" (gred 10)

Pertimbangkan sebuah kapal terbang hlm dan garis lurus yang memotongnya . biarlah A - titik sewenang-wenangnya dalam ruang. Mari kita lukis garis lurus melalui titik ini , selari dengan garisan . biarlah . titik dipanggil unjuran titik A ke kapal terbang hlm dengan reka bentuk selari di sepanjang garis lurus yang diberikan . kapal terbang hlm , yang mana titik ruang diunjurkan dipanggil satah unjuran.

p - satah unjuran;

- reka bentuk langsung; ;

; ; ;

Reka bentuk ortogon ialah kes khas reka bentuk selari. Reka bentuk ortogon ialah reka bentuk selari di mana garisan reka bentuk berserenjang dengan satah unjuran. Reka bentuk ortogon digunakan secara meluas dalam lukisan teknikal, di mana rajah diunjurkan ke tiga satah - mendatar dan dua menegak.

Definisi: Unjuran ortogon bagi sesuatu titik M ke kapal terbang hlm dipanggil pangkalan M 1 berserenjang MM 1, jatuh dari titik M ke kapal terbang hlm.

Jawatan: , , .

Definisi: Unjuran ortogon bagi suatu rajah F ke kapal terbang hlm ialah set semua titik satah yang merupakan unjuran ortogon bagi set titik rajah itu F ke kapal terbang hlm.

Reka bentuk ortogon, sebagai kes khas reka bentuk selari, mempunyai sifat yang sama:

p - satah unjuran;

- reka bentuk langsung; ;

1) ;

2) , .

1. Unjuran garis selari adalah selari.

KAWASAN Unjuran RAJAH RATA

Teorem: Luas unjuran poligon satah pada satah tertentu adalah sama dengan luas poligon unjuran didarab dengan kosinus sudut antara satah poligon dan satah unjuran.

Peringkat 1: Rajah unjuran ialah segitiga ABC, sisi AC terletak pada satah unjuran a (selari dengan satah unjuran a).

Diberi:

Buktikan:

Bukti:

1. ; ;

2. ; ; ; ;

3. ; ;

4. Dengan teorem tiga serenjang;

ВD – ketinggian; B 1 D – ketinggian;

5. – sudut linear sudut dihedral;

6. ; ; ; ;

Peringkat 2: Rajah unjuran ialah segi tiga ABC, tiada satu pun sisinya terletak pada satah unjuran a dan tidak selari dengannya.

Diberi:

Buktikan:

Bukti:

1. ; ;

2. ; ;

4. ; ; ;

(Tahap 1);

5. ; ; ;

(Tahap 1);

Peringkat: Rajah yang direka bentuk ialah poligon sewenang-wenangnya.

Bukti:

Poligon dibahagikan dengan pepenjuru yang dilukis dari satu bucu kepada bilangan segi tiga yang terhingga, bagi setiap satu teoremnya adalah benar. Oleh itu, teorem juga akan benar untuk hasil tambah luas semua segi tiga yang satahnya membentuk sudut yang sama dengan satah unjuran.

Komen: Teorem yang terbukti adalah sah untuk mana-mana rajah satah yang dibatasi oleh lengkung tertutup.

Senaman:

1. Cari luas segi tiga yang satahnya condong kepada satah unjuran pada sudut , jika unjurannya ialah segi tiga sekata dengan sisi a.

2. Cari luas segi tiga yang satahnya condong kepada satah unjuran pada sudut , jika unjurannya ialah segi tiga sama kaki dengan sisi 10 cm dan tapak 12 cm.

3. Cari luas segi tiga yang satahnya condong kepada satah unjuran pada sudut , jika unjurannya ialah segi tiga dengan sisi 9, 10 dan 17 cm.

4. Kira luas trapezoid, yang satahnya condong kepada satah unjuran pada sudut , jika unjurannya ialah trapezoid sama kaki, tapak yang lebih besar ialah 44 cm, sisinya ialah 17 cm dan pepenjuru. ialah 39 cm.

5. Kira luas unjuran heksagon sekata dengan sisi 8 cm, satahnya condong ke satah unjuran pada sudut.

6. Rombus dengan sisi 12 cm dan sudut lancip membentuk sudut dengan satah tertentu. Kira luas unjuran rombus pada satah ini.

7. Rombus dengan sisi 20 cm dan pepenjuru 32 cm membentuk sudut dengan satah tertentu. Kira luas unjuran rombus pada satah ini.

8. Unjuran kanopi ke atas satah mengufuk ialah segi empat tepat dengan sisi dan . Cari luas kanopi jika muka sisi adalah segi empat sama yang condong ke satah mengufuk pada sudut, dan bahagian tengah kanopi ialah segi empat sama selari dengan satah unjuran.

11. Latihan mengenai topik "Garisan dan satah di angkasa":

Sisi segi tiga itu adalah sama dengan 20 cm, 65 cm, 75 cm. Dari bucu sudut yang lebih besar bagi segitiga itu, sebuah serenjang bersamaan 60 cm dilukis pada satahnya. Cari jarak dari hujung serenjang ke sisi yang lebih besar bagi segi tiga itu.

2. Dari satu titik yang terletak pada jarak cm dari satah, dua titik condong dilukis, membentuk sudut dengan satah sama dengan , dan sudut tepat di antara mereka. Cari jarak antara titik persilangan satah condong.

3. Sisi segi tiga sekata ialah 12 cm Titik M dipilih supaya ruas yang menghubungkan titik M dengan semua bucu segitiga membentuk sudut dengan satahnya. Cari jarak dari titik M ke bucu dan sisi segi tiga.

4. Sebuah satah dilukis melalui sisi segi empat sama pada sudut kepada pepenjuru segi empat sama. Cari sudut di mana dua sisi segi empat sama condong ke satah.

5. Kaki segi tiga sama kaki condong kepada satah a melalui hipotenus pada sudut . Buktikan bahawa sudut antara satah a dan satah segi tiga adalah sama dengan .

6. Sudut dihedral antara satah segi tiga ABC dan DBC adalah sama dengan . Cari AD jika AB = AC = 5 cm, BC = 6 cm, BD = DC = cm.

Soalan ujian mengenai topik "Garisan dan satah di angkasa"

1. Senaraikan konsep asas stereometri. Rumuskan aksiom stereometri.

2. Buktikan akibat daripada aksiom.

3. Apakah kedudukan relatif dua garisan dalam ruang? Berikan definisi garis bersilang, selari dan condong.

4. Buktikan tanda garisan senget.

5. Apakah kedudukan relatif bagi garisan dan satah? Berikan definisi bersilang, garis selari dan satah.

6. Buktikan tanda selari antara garis dan satah.

7. Apakah kedudukan relatif kedua-dua satah itu?

8. Tentukan satah selari. Buktikan tanda bahawa dua satah adalah selari. Nyatakan teorem tentang satah selari.

9. Tentukan sudut antara garis lurus.

10. Buktikan tanda serenjang garis dan satah.

11. Takrifkan tapak serenjang, tapak condong, unjuran condong ke atas satah. Rumuskan sifat garis serenjang dan condong yang jatuh ke atas satah dari satu titik.

12. Tentukan sudut antara garis lurus dan satah.

13. Buktikan teorem tentang tiga serenjang.

14. Berikan definisi sudut dihedral, sudut linear sudut dihedral.

15. Buktikan tanda keserenjang dua satah.

16. Tentukan jarak antara dua titik yang berbeza.

17. Tentukan jarak dari titik ke garis.

18. Tentukan jarak dari titik ke satah.

19. Tentukan jarak antara garis lurus dan satah yang selari dengannya.

20. Tentukan jarak antara satah selari.

21. Tentukan jarak antara garis bersilang.

22. Takrifkan unjuran ortogon bagi suatu titik pada satah.

23. Takrifkan unjuran ortogon suatu rajah ke atas satah.

24. Merumus sifat unjuran pada satah.

25. Merumus dan membuktikan teorem pada luas unjuran poligon satah.

Bukti terperinci teorem unjuran ortogon poligon

Jika ialah unjuran sebuah flat n -gon ke satah, maka di manakah sudut antara satah poligon dan. Dengan kata lain, luas unjuran poligon satah adalah sama dengan hasil darab luas poligon unjuran dan kosinus sudut antara satah unjuran dan satah poligon unjuran.

Bukti. saya pentas. Mari kita laksanakan pembuktian terlebih dahulu untuk segitiga. Mari kita pertimbangkan 5 kes.

1 kes. berbaring di satah unjuran .

Biarkan unjuran mata pada satah, masing-masing. Dalam kes kita. Mari kita anggap itu. Biarkan ketinggian, maka dengan teorem tiga serenjang kita boleh membuat kesimpulan bahawa - ketinggian (- unjuran condong, - tapaknya dan garis lurus melalui tapak condong, dan).

Mari kita pertimbangkan. Ianya segi empat tepat. Mengikut definisi kosinus:

Sebaliknya, sejak dan, kemudian mengikut takrifan ialah sudut linear sudut dihedral yang dibentuk oleh separuh satah satah dan dengan garis lurus sempadan, dan, oleh itu, ukurannya juga merupakan ukuran sudut antara satah unjuran segi tiga dan segi tiga itu sendiri, iaitu.

Mari cari nisbah luas kepada:

Ambil perhatian bahawa formula kekal benar walaupun apabila. Dalam kes ini

Kes 2. Hanya terletak pada satah unjuran dan selari dengan satah unjuran .

Biarkan unjuran mata pada satah, masing-masing. Dalam kes kita.

Mari kita lukis garis lurus melalui titik. Dalam kes kami, garis lurus bersilang dengan satah unjuran, yang bermaksud, dengan lemma, garis lurus juga bersilang dengan satah unjuran. Biarkan ini berada pada titik Sejak, maka titik-titik terletak pada satah yang sama, dan oleh kerana ia selari dengan satah unjuran, maka akibat tanda selari garis dan satah ia mengikutinya. Oleh itu, ia adalah segi empat selari. Mari kita pertimbangkan dan. Mereka adalah sama pada tiga sisi (sisi biasa adalah seperti sisi bertentangan segi empat selari). Perhatikan bahawa segi empat ialah segi empat tepat dan sama (di sepanjang kaki dan hipotenus), oleh itu, sama pada tiga sisi. sebab tu.

Untuk kes 1 yang berkenaan: , iaitu.

Kes 3. Hanya terletak pada satah unjuran dan tidak selari dengan satah unjuran .

Biarkan titik itu ialah titik persilangan garis dengan satah unjuran. Perhatikan bahawa dan. Dalam 1 kes: i. Oleh itu kita mendapat itu

Kes 4 Bucu tidak terletak pada satah unjuran . Mari kita lihat pada serenjang. Mari kita ambil yang terkecil di antara serenjang ini. Biarkan ia berserenjang. Ia mungkin ternyata sama ada hanya atau sahaja. Kemudian kami akan mengambilnya pula.

Marilah kita ketepikan satu titik dari titik pada segmen, supaya, dan dari titik pada segmen, titik, supaya. Pembinaan ini boleh dilakukan kerana ia adalah yang paling kecil daripada serenjang. Perhatikan bahawa adalah unjuran dan, melalui pembinaan. Mari kita buktikan dan sama.

Pertimbangkan segi empat. Mengikut keadaan - berserenjang dengan satu satah, oleh itu, mengikut teorem, oleh itu. Oleh kerana dengan pembinaan, maka berdasarkan ciri-ciri segi empat selari (dengan sisi selari dan sama bertentangan) kita boleh membuat kesimpulan bahawa ia adalah segi empat selari. Bermaksud, . Begitu juga, terbukti bahawa, . Oleh itu, dan adalah sama pada tiga pihak. sebab tu. Perhatikan bahawa dan, sebagai sisi bertentangan segi empat selari, oleh itu, berdasarkan keselarian satah, . Oleh kerana satah ini selari, ia membentuk sudut yang sama dengan satah unjuran.

Kes-kes terdahulu berlaku:.

Kes 5 Satah unjuran bersilang sisi . Mari kita lihat garis lurus. Mereka berserenjang dengan satah unjuran, jadi mengikut teorem mereka selari. Pada sinar kodirectional dengan asalan pada titik, kami masing-masing akan memplot segmen yang sama, supaya bucu terletak di luar satah unjuran. Perhatikan bahawa adalah unjuran dan, melalui pembinaan. Mari kita tunjukkan bahawa ia adalah sama.

Sejak dan, dengan pembinaan, maka. Oleh itu, mengikut ciri segi empat selari (pada dua sisi yang sama dan selari), ia adalah segi empat selari. Ia dibuktikan dengan cara yang sama iaitu dan segi empat selari. Tetapi kemudian, dan (sebagai sisi bertentangan), oleh itu adalah sama pada tiga bahagian. Bermaksud, .

Di samping itu, dan oleh itu, berdasarkan keselarian satah. Oleh kerana satah ini selari, ia membentuk sudut yang sama dengan satah unjuran.

Untuk kes 4 yang berkenaan:.

II pentas. Mari bahagikan poligon rata kepada segi tiga menggunakan pepenjuru yang dilukis dari bucu: Kemudian, mengikut kes sebelumnya untuk segi tiga: .

Q.E.D.

Dalam masalah geometri, kejayaan bergantung bukan sahaja pada pengetahuan teori, tetapi pada lukisan berkualiti tinggi.
Dengan lukisan rata semuanya lebih kurang jelas. Tetapi dalam stereometri keadaannya lebih rumit. Lagipun, adalah perlu untuk menggambarkan tiga dimensi badan dihidupkan rata lukisan, dan supaya anda sendiri dan orang yang melihat lukisan anda akan melihat isipadu isipadu yang sama.

Bagaimana hendak melakukannya?
Sudah tentu, mana-mana imej badan isipadu pada satah akan bersyarat. Walau bagaimanapun, terdapat satu set peraturan tertentu. Terdapat cara yang diterima umum untuk membina lukisan - unjuran selari.

Mari kita ambil badan volumetrik.
Jom pilih satah unjuran.
Melalui setiap titik badan isipadu kita melukis garis lurus selari antara satu sama lain dan bersilang dengan satah unjuran pada sebarang sudut. Setiap garisan ini bersilang dengan satah unjuran pada satu ketika. Dan semuanya membentuk titik-titik ini unjuran jasad isipadu pada satah, iaitu imej ratanya.

Bagaimana untuk membina unjuran badan volumetrik?
Bayangkan anda mempunyai bingkai badan isipadu - prisma, piramid atau silinder. Dengan meneranginya dengan pancaran cahaya selari, kita mendapat imej - bayang di dinding atau pada skrin. Ambil perhatian bahawa dari sudut yang berbeza imej yang berbeza diperoleh, tetapi beberapa corak masih ada:

Unjuran segmen akan menjadi segmen.

Sudah tentu, jika segmen itu berserenjang dengan satah unjuran, ia akan dipaparkan pada satu titik.

Dalam kes umum, unjuran bulatan akan menjadi elips.

Unjuran segi empat tepat ialah segi empat selari.

Beginilah rupa unjuran kubus pada satah:

Di sini muka depan dan belakang adalah selari dengan satah unjuran

Anda boleh melakukannya secara berbeza:

Walau apapun sudut yang kita pilih, unjuran segmen selari dalam lukisan juga akan menjadi segmen selari. Ini adalah salah satu prinsip unjuran selari.

Kami melukis unjuran piramid,

silinder:

Mari kita ulangi sekali lagi prinsip asas unjuran selari. Kami memilih satah unjuran dan melukis garis lurus selari antara satu sama lain melalui setiap titik badan isipadu. Garis-garis ini bersilang dengan satah unjuran pada sebarang sudut. Jika sudut ini ialah 90°, kita bercakap tentang unjuran segi empat tepat. Menggunakan unjuran segi empat tepat, lukisan bahagian volumetrik dalam teknologi dibina. Dalam kes ini kita bercakap tentang pandangan atas, pandangan hadapan dan pandangan sisi.

Bab IV. Garis lurus dan satah di angkasa. Polyhedra

§ 55. Luas unjuran poligon.

Mari kita ingat bahawa sudut di antara garis dan satah ialah sudut antara garis tertentu dan unjurannya ke atas satah (Rajah 164).

Teorem. Luas unjuran ortogon poligon pada satah adalah sama dengan luas poligon unjuran didarab dengan kosinus sudut yang dibentuk oleh satah poligon dan satah unjuran.

Setiap poligon boleh dibahagikan kepada segi tiga yang jumlah kawasannya sama dengan luas poligon. Oleh itu, cukup untuk membuktikan teorem bagi segitiga.

biarlah /\ ABC diunjurkan ke atas kapal terbang R. Mari kita pertimbangkan dua kes:
a) salah satu pihak /\ ABC adalah selari dengan satah R;
b) tiada pihak /\ ABC tidak selari R.

Mari kita pertimbangkan kes pertama: biarkan [AB] || R.

Mari kita lukis satah melalui (AB) R 1 || R dan reka bentuk secara ortogon /\ ABC dihidupkan R 1 dan seterusnya R(Gamb. 165); kita mendapatkan /\ ABC 1 dan /\ A"B"C".
Dengan harta unjuran yang kita ada /\ ABC 1 /\ A"B"C", dan oleh itu

S /\ ABC1=S /\ A"B"C"

Mari lukis _|_ dan segmen D 1 C 1 . Kemudian _|_ , a = φ ialah nilai sudut antara satah /\ ABC dan kapal terbang R 1 . sebab tu

S /\ ABC1 = 1 / 2 | AB | | C 1 D 1 | = 1 / 2 | AB | | CD 1 | cos φ = S /\ ABC cos φ

dan oleh itu S /\ A"B"C" = S /\ ABC cos φ.

Mari kita teruskan untuk mempertimbangkan kes kedua. Mari kita lukis kapal terbang R 1 || R atas itu /\ ABC, jarak dari mana ke kapal terbang R yang terkecil (biar ini bucu A).
Jom design /\ ABC di atas kapal terbang R 1 dan R(Gamb. 166); biarlah unjurannya masing-masing /\ AB 1 C 1 dan /\ A"B"C".

Biarkan (matahari) hlm 1 = D. Kemudian

S /\ A"B"C" = S /\ AB1 C1 = S /\ ADC1-S /\ ADB1 = (S /\ ADC-S /\ ADB) cos φ = S /\ ABC cos φ

Tugasan. Sebuah satah dilukis melalui sisi tapak prisma segi tiga sekata pada sudut φ = 30° kepada satah tapaknya. Cari luas keratan rentas yang terhasil jika sisi tapak prisma itu A= 6 cm.

Mari kita gambarkan keratan rentas prisma ini (Rajah 167). Oleh kerana prisma itu sekata, tepi sisinya berserenjang dengan satah tapak. Bermaksud, /\ ABC ialah unjuran /\ Oleh itu, ADC