Penyelesaian persamaan trigonometri rasional pecahan. Bagaimana untuk menyelesaikan persamaan trigonometri

Privasi anda adalah penting bagi kami. Atas sebab ini, kami telah membangunkan Dasar Privasi yang menerangkan cara kami menggunakan dan menyimpan maklumat anda. Sila baca dasar privasi kami dan beritahu kami jika anda mempunyai sebarang soalan.

Pengumpulan dan penggunaan maklumat peribadi

Maklumat peribadi merujuk kepada data yang boleh digunakan untuk mengenal pasti orang tertentu atau menghubunginya.

Anda mungkin diminta untuk memberikan maklumat peribadi anda pada bila-bila masa apabila anda menghubungi kami.

Berikut ialah beberapa contoh jenis maklumat peribadi yang mungkin kami kumpulkan dan cara kami boleh menggunakan maklumat tersebut.

Apakah maklumat peribadi yang kami kumpulkan:

• Apabila anda menyerahkan permohonan di tapak, kami mungkin mengumpul pelbagai maklumat, termasuk nama, nombor telefon, alamat e-mel, dsb.

Cara kami menggunakan maklumat peribadi anda:

• Maklumat peribadi yang kami kumpulkan membolehkan kami menghubungi anda dan memaklumkan anda tentang tawaran unik, promosi dan acara lain serta acara akan datang.
• Dari semasa ke semasa, kami mungkin menggunakan maklumat peribadi anda untuk menghantar notis dan mesej penting kepada anda.
• Kami juga mungkin menggunakan maklumat peribadi untuk tujuan dalaman, seperti menjalankan audit, analisis data dan pelbagai penyelidikan untuk menambah baik perkhidmatan yang kami sediakan dan memberikan anda cadangan berkenaan perkhidmatan kami.
• Jika anda menyertai cabutan hadiah, peraduan atau insentif yang serupa, kami mungkin menggunakan maklumat yang anda berikan untuk mentadbir program tersebut.

Pendedahan kepada pihak ketiga

Kami tidak mendedahkan maklumat yang diterima daripada anda kepada pihak ketiga.

Pengecualian:

• Sekiranya perlu - mengikut undang-undang, perintah kehakiman, dalam prosiding undang-undang, dan / atau berdasarkan permintaan awam atau permintaan daripada badan-badan negara di wilayah Persekutuan Rusia - mendedahkan maklumat peribadi anda. Kami juga mungkin mendedahkan maklumat tentang anda jika kami menentukan bahawa pendedahan tersebut perlu atau sesuai untuk keselamatan, penguatkuasaan undang-undang atau tujuan kepentingan awam yang lain.
• Sekiranya berlaku penyusunan semula, penggabungan atau penjualan, kami mungkin memindahkan maklumat peribadi yang kami kumpulkan kepada pengganti pihak ketiga yang berkaitan.

Perlindungan maklumat peribadi

Kami mengambil langkah berjaga-jaga - termasuk pentadbiran, teknikal dan fizikal - untuk melindungi maklumat peribadi anda daripada kehilangan, kecurian dan penyalahgunaan, serta daripada akses, pendedahan, pengubahan dan kemusnahan yang tidak dibenarkan.

Mengekalkan privasi anda di peringkat syarikat

Untuk memastikan maklumat peribadi anda selamat, kami menyampaikan amalan privasi dan keselamatan kepada pekerja kami dan menguatkuasakan amalan privasi dengan tegas.

Pelajaran dan pembentangan mengenai topik: "Penyelesaian persamaan trigonometri termudah"

Bahan tambahan
Pengguna yang dihormati, jangan lupa untuk meninggalkan komen, maklum balas, cadangan anda! Semua bahan disemak oleh program antivirus.

Manual dan simulator di kedai dalam talian "Integral" untuk gred 10 dari 1C
Kami menyelesaikan masalah dalam geometri. Tugas interaktif untuk membina di angkasa
Persekitaran perisian "1C: Pembina Matematik 6.1"

Apa yang akan kita kaji:
1. Apakah persamaan trigonometri?

3. Dua kaedah utama untuk menyelesaikan persamaan trigonometri.
4. Persamaan trigonometri homogen.
5. Contoh.

Apakah persamaan trigonometri?

Kawan-kawan, kita telah pun mempelajari arcsine, arccosine, arctangent dan arccotangent. Sekarang mari kita lihat persamaan trigonometri secara umum.

Persamaan trigonometri - persamaan di mana pembolehubah terkandung di bawah tanda fungsi trigonometri.

Kami mengulangi bentuk penyelesaian persamaan trigonometri yang paling mudah:

1) Jika |а|≤ 1, maka persamaan cos(x) = a mempunyai penyelesaian:

X= ± arccos(a) + 2πk

2) Jika |а|≤ 1, maka persamaan sin(x) = a mempunyai penyelesaian:

3) Jika |a| > 1, maka persamaan sin(x) = a dan cos(x) = a tidak mempunyai penyelesaian 4) Persamaan tg(x)=a mempunyai penyelesaian: x=arctg(a)+ πk

5) Persamaan ctg(x)=a mempunyai penyelesaian: x=arcctg(a)+ πk

Untuk semua formula, k ialah integer

Persamaan trigonometri termudah mempunyai bentuk: Т(kx+m)=a, T- sebarang fungsi trigonometri.

Selesaikan persamaan: a) sin(3x)= √3/2

Penyelesaian:

A) Mari kita nyatakan 3x=t, maka kita akan menulis semula persamaan kita dalam bentuk:

Penyelesaian kepada persamaan ini ialah: t=((-1)^n)arcsin(√3/2)+ πn.

Daripada jadual nilai kita dapat: t=((-1)^n)×π/3+ πn.

Mari kita kembali kepada pembolehubah kita: 3x =((-1)^n)×π/3+ πn,

Kemudian x= ((-1)^n)×π/9+ πn/3

Jawapan: x= ((-1)^n)×π/9+ πn/3, dengan n ialah integer. (-1)^n - tolak satu kepada kuasa n.

Lebih banyak contoh persamaan trigonometri.

Penyelesaian:

A) Kali ini kita akan pergi terus ke pengiraan punca-punca persamaan dengan segera:

X/5= ± arcos(1) + 2πk. Kemudian x/5= πk => x=5πk

Jawapan: x=5πk, dengan k ialah integer.

B) Kami menulis dalam bentuk: 3x- π/3=arctg(√3)+ πk. Kita tahu bahawa: arctg(√3)= π/3

3x- π/3= π/3+ πk => 3x=2π/3 + πk => x=2π/9 + πk/3

Jawapan: x=2π/9 + πk/3, dengan k ialah integer.

Selesaikan persamaan: cos(4x)= √2/2. Dan cari semua akar pada segmen itu.

Penyelesaian:

Mari kita selesaikan persamaan kita dalam bentuk umum: 4x= ± arccos(√2/2) + 2πk

4x= ± π/4 + 2πk;

X= ± π/16+ πk/2;

Sekarang mari kita lihat akar yang jatuh pada segmen kita. Untuk k Untuk k=0, x= π/16, kita berada dalam segmen yang diberikan.
Dengan k=1, x= π/16+ π/2=9π/16, mereka memukul lagi.
Untuk k=2, x= π/16+ π=17π/16, tetapi di sini kami tidak memukul, yang bermaksud kami tidak akan memukul untuk k besar sama ada.

Jawapan: x= π/16, x= 9π/16

Dua kaedah penyelesaian utama.

Mari kita selesaikan persamaan:

Penyelesaian:
Untuk menyelesaikan persamaan kami, kami menggunakan kaedah memperkenalkan pembolehubah baru, dilambangkan: t=tg(x).

Hasil daripada penggantian, kita mendapat: t 2 + 2t -1 = 0

Cari punca-punca persamaan kuadratik: t=-1 dan t=1/3

Kemudian tg(x)=-1 dan tg(x)=1/3, kita mendapat persamaan trigonometri termudah, mari kita cari puncanya.

X=arctg(-1) +πk= -π/4+πk; x=arctg(1/3) + πk.

Jawapan: x= -π/4+πk; x=arctg(1/3) + πk.

Contoh penyelesaian persamaan

Selesaikan persamaan: 2sin 2 (x) + 3 cos(x) = 0

Penyelesaian:

Mari kita gunakan identiti: sin 2 (x) + cos 2 (x)=1

Persamaan kita menjadi: 2-2cos 2 (x) + 3 cos (x) = 0

2 cos 2 (x) - 3 cos(x) -2 = 0

Mari kita perkenalkan penggantian t=cos(x): 2t 2 -3t - 2 = 0

Penyelesaian kepada persamaan kuadratik kami ialah punca-punca: t=2 dan t=-1/2

Kemudian cos(x)=2 dan cos(x)=-1/2.

Kerana kosinus tidak boleh mengambil nilai lebih daripada satu, maka cos(x)=2 tidak mempunyai punca.

Untuk cos(x)=-1/2: x= ± arccos(-1/2) + 2πk; x= ±2π/3 + 2πk

Jawapan: x= ±2π/3 + 2πk

Persamaan trigonometri homogen.

Persamaan bentuk

persamaan trigonometri homogen darjah kedua.

Untuk menyelesaikan persamaan trigonometri homogen darjah pertama, kita bahagikannya dengan cos(x): Tidak mustahil untuk membahagi dengan kosinus jika ia sama dengan sifar, mari pastikan bahawa ini tidak begitu:
Biarkan cos(x)=0, kemudian asin(x)+0=0 => sin(x)=0, tetapi sinus dan kosinus tidak sama dengan sifar pada masa yang sama, kita mendapat percanggahan, jadi kita boleh membahagikan dengan selamat dengan sifar.

Selesaikan persamaan:
Contoh: cos 2 (x) + sin(x) cos(x) = 0

Penyelesaian:

Keluarkan faktor sepunya: cos(x)(c0s(x) + sin (x)) = 0

Kemudian kita perlu menyelesaikan dua persamaan:

cos(x)=0 dan cos(x)+sin(x)=0

Cos(x)=0 untuk x= π/2 + πk;

Pertimbangkan persamaan cos(x)+sin(x)=0 Bahagikan persamaan kita dengan cos(x):

1+tg(x)=0 => tg(x)=-1 => x=arctg(-1) +πk= -π/4+πk

Jawapan: x= π/2 + πk dan x= -π/4+πk

Bagaimana untuk menyelesaikan persamaan trigonometri homogen darjah kedua?
Kawan-kawan, patuhi peraturan ini sentiasa!

1. Lihat apakah pekali a bersamaan, jika a \u003d 0 maka persamaan kita akan mengambil bentuk cos (x) (bsin (x) + ccos (x)), contoh penyelesaiannya adalah pada sebelumnya. gelongsor

2. Jika a≠0, maka anda perlu membahagikan kedua-dua bahagian persamaan dengan kosinus kuasa dua, kita dapat:

Kami membuat perubahan pembolehubah t=tg(x) kami mendapat persamaan:

Selesaikan Contoh #:3

Bahagikan kedua-dua belah persamaan dengan kuasa dua kosinus:

Kami membuat perubahan pembolehubah t=tg(x): t 2 + 2 t - 3 = 0

Cari punca-punca persamaan kuadratik: t=-3 dan t=1

Kemudian: tg(x)=-3 => x=arctg(-3) + πk=-arctg(3) + πk

Tg(x)=1 => x= π/4+ πk

Jawapan: x=-arctg(3) + πk dan x= π/4+ πk

Selesaikan Contoh #:4

Penyelesaian:
Mari kita ubah ekspresi kita:

Kita boleh menyelesaikan persamaan tersebut: x= - π/4 + 2πk dan x=5π/4 + 2πk

Jawapan: x= - π/4 + 2πk dan x=5π/4 + 2πk

Selesaikan Contoh #:5

Penyelesaian:
Mari kita ubah ekspresi kita:

Kami memperkenalkan penggantian tg(2x)=t:2 2 - 5t + 2 = 0

Penyelesaian kepada persamaan kuadratik kita ialah punca-punca: t=-2 dan t=1/2

Kemudian kita dapat: tg(2x)=-2 dan tg(2x)=1/2
2x=-arctg(2)+ πk => x=-arctg(2)/2 + πk/2

2x= arctg(1/2) + πk => x=arctg(1/2)/2+ πk/2

Jawapan: x=-arctg(2)/2 + πk/2 dan x=arctg(1/2)/2+ πk/2

Tugas untuk penyelesaian bebas.

A) sin(7x)= 1/2 b) cos(3x)= √3/2 c) cos(-x) = -1 d) tg(4x) = √3 e) ctg(0.5x) = -1.7

2) Selesaikan persamaan: sin(3x)= √3/2. Dan cari semua punca pada ruas [π/2; π].

3) Selesaikan persamaan: ctg 2 (x) + 2ctg(x) + 1 =0

4) Selesaikan persamaan: 3 sin 2 (x) + √3sin (x) cos(x) = 0

5) Selesaikan persamaan: 3sin 2 (3x) + 10 sin(3x)cos(3x) + 3 cos 2 (3x) =0

6) Selesaikan persamaan: cos 2 (2x) -1 - cos(x) =√3/2 -sin 2 (2x)

Bukan rahsia lagi bahawa kejayaan atau kegagalan dalam proses menyelesaikan hampir semua masalah bergantung terutamanya pada ketepatan menentukan jenis persamaan yang diberikan, serta pada ketepatan menghasilkan semula urutan semua peringkat penyelesaiannya. Walau bagaimanapun, dalam kes persamaan trigonometri, sama sekali tidak sukar untuk menentukan hakikat bahawa persamaan itu adalah trigonometri. Tetapi dalam proses menentukan urutan tindakan yang sepatutnya membawa kita kepada jawapan yang betul, kita mungkin menghadapi kesukaran tertentu. Mari kita fikirkan cara menyelesaikan persamaan trigonometri dengan betul dari awal lagi.

Menyelesaikan persamaan trigonometri

Untuk menyelesaikan persamaan trigonometri, anda perlu cuba melaksanakan perkara berikut:

• Kami membawa semua fungsi yang termasuk dalam persamaan kami kepada "sudut yang sama";
• Adalah perlu untuk membawa persamaan yang diberikan kepada "fungsi yang serupa";
• Kami menguraikan bahagian kiri persamaan yang diberikan kepada faktor atau komponen lain yang diperlukan.

Kaedah

Kaedah 1. Adalah perlu untuk menyelesaikan persamaan tersebut dalam dua peringkat. Pertama, kita menukar persamaan untuk mendapatkan bentuk yang paling mudah (dipermudahkan). Persamaan: Cosx = a, Sinx = a dan seumpamanya dipanggil persamaan trigonometri termudah. Langkah kedua ialah menyelesaikan persamaan mudah yang terhasil. Perlu diingatkan bahawa persamaan paling mudah boleh diselesaikan dengan kaedah algebra, yang diketahui oleh kita dari kursus algebra sekolah. Ia juga dipanggil kaedah penggantian dan penggantian berubah. Dengan bantuan formula pengurangan, anda perlu menukar dahulu, kemudian buat penggantian dan kemudian cari akarnya.

Seterusnya, anda perlu menguraikan persamaan kami kepada faktor yang mungkin, untuk ini anda perlu mengalihkan semua istilah ke kiri dan kemudian anda boleh mengurai menjadi faktor. Sekarang anda perlu membawa persamaan ini kepada persamaan yang homogen, di mana semua istilah adalah sama dengan darjah yang sama, dan kosinus dan sinus mempunyai sudut yang sama.

Sebelum menyelesaikan persamaan trigonometri, anda perlu memindahkan istilahnya ke sebelah kiri, mengambilnya dari sebelah kanan, dan kemudian kami mengeluarkan semua penyebut biasa dalam kurungan. Kami menyamakan kurungan dan faktor kami kepada sifar. Kurungan yang disamakan kami ialah persamaan homogen darjah terkurang untuk dibahagikan dengan sin(cos) kepada kuasa tertinggi. Sekarang kita selesaikan persamaan algebra yang diperolehi berhubung dengan tan.

Kaedah 2. Kaedah lain yang anda boleh menyelesaikan persamaan trigonometri ialah peralihan kepada sudut separuh. Sebagai contoh, kita menyelesaikan persamaan: 3sinx-5cosx=7.

Kita perlu pergi ke separuh sudut, dalam kes kita ialah: 6sin(x/2)*cos(x/2)- 5cos²(x/2)+5sin²(x/2) = 7sin²(x/2)+7cos² (x / 2). Dan selepas itu, kami mengurangkan semua istilah menjadi satu bahagian (untuk kemudahan, lebih baik memilih yang betul) dan meneruskan untuk menyelesaikan persamaan.

Jika perlu, anda boleh memasukkan sudut tambahan. Ini dilakukan apabila anda perlu menggantikan nilai integer sin (a) atau cos (a) dan tanda "a" hanya bertindak sebagai sudut tambahan.

produk untuk dijumlahkan

Bagaimana untuk menyelesaikan persamaan trigonometri menggunakan hasil tambah? Kaedah yang dikenali sebagai penukaran produk kepada jumlah juga boleh digunakan untuk menyelesaikan persamaan tersebut. Dalam kes ini, perlu menggunakan formula yang sepadan dengan persamaan.

Sebagai contoh, kita mempunyai persamaan: 2sinx * sin3x= cos4x

Kita perlu menyelesaikan masalah ini dengan menukar bahagian kiri kepada jumlah, iaitu:

cos 4x –cos8x=cos4x ,

x = p/16 + pk/8.

Jika kaedah di atas tidak sesuai, dan anda masih tidak tahu bagaimana untuk menyelesaikan persamaan trigonometri yang paling mudah, anda boleh menggunakan kaedah lain - penggantian sejagat. Dengan itu, anda boleh mengubah ungkapan dan membuat penggantian. Contohnya: Cos(x/2)=u. Sekarang kita boleh menyelesaikan persamaan dengan parameter u yang diberikan. Dan setelah menerima hasil yang diingini, jangan lupa menterjemah nilai ini ke sebaliknya.

Ramai pelajar "berpengalaman" dinasihatkan untuk beralih kepada orang dalam talian untuk menyelesaikan persamaan. Bagaimana untuk menyelesaikan persamaan trigonometri dalam talian, anda bertanya. Untuk menyelesaikan masalah dalam talian, anda boleh beralih ke forum mengenai topik yang berkaitan, di mana anda boleh dibantu dengan nasihat atau dalam menyelesaikan masalah. Tapi yang bestnya cuba uruskan sendiri.

Kemahiran dan kebolehan dalam menyelesaikan persamaan trigonometri adalah sangat penting dan berguna. Perkembangan mereka akan memerlukan banyak usaha daripada anda. Banyak masalah dalam fizik, stereometri, dan lain-lain dikaitkan dengan penyelesaian persamaan tersebut. Dan proses menyelesaikan masalah sedemikian membayangkan kehadiran kemahiran dan pengetahuan yang boleh diperoleh semasa mempelajari unsur-unsur trigonometri.

Belajar rumus trigonometri

Dalam proses menyelesaikan persamaan, anda mungkin menghadapi keperluan untuk menggunakan sebarang formula daripada trigonometri. Anda boleh, sudah tentu, mula mencarinya dalam buku teks dan helaian curang anda. Dan jika formula ini dimasukkan ke dalam kepala anda, anda bukan sahaja akan menyelamatkan saraf anda, tetapi juga menjadikan tugas anda lebih mudah, tanpa membuang masa mencari maklumat yang diperlukan. Oleh itu, anda akan mempunyai peluang untuk memikirkan cara yang paling rasional untuk menyelesaikan masalah.

Kursus video "Dapatkan A" merangkumi semua topik yang diperlukan untuk kejayaan lulus peperiksaan dalam matematik sebanyak 60-65 mata. Selesaikan semua tugasan 1-13 Profil USE dalam matematik. Juga sesuai untuk lulus PENGGUNAAN Asas dalam matematik. Jika anda ingin lulus peperiksaan dengan 90-100 mata, anda perlu menyelesaikan bahagian 1 dalam masa 30 minit dan tanpa kesilapan!

Kursus persediaan untuk peperiksaan untuk gred 10-11, dan juga untuk guru. Semua yang anda perlukan untuk menyelesaikan bahagian 1 peperiksaan dalam matematik (12 masalah pertama) dan masalah 13 (trigonometri). Dan ini adalah lebih daripada 70 mata pada Peperiksaan Negeri Bersepadu, dan pelajar seratus mata mahupun seorang humanis tidak boleh melakukannya tanpa mereka.

Semua teori yang diperlukan. Penyelesaian cepat, perangkap dan rahsia peperiksaan. Semua tugasan berkaitan bahagian 1 daripada tugas Bank of FIPI telah dianalisis. Kursus ini mematuhi sepenuhnya keperluan USE-2018.

Kursus ini mengandungi 5 topik besar, 2.5 jam setiap satu. Setiap topik diberikan dari awal, ringkas dan jelas.

Beratus-ratus tugas peperiksaan. Masalah teks dan teori kebarangkalian. Algoritma penyelesaian masalah yang ringkas dan mudah diingati. Geometri. Teori, bahan rujukan, analisis semua jenis tugas USE. Stereometri. Helah licik untuk menyelesaikan, helaian cheat berguna, pembangunan imaginasi spatial. Trigonometri dari awal - ke tugasan 13. Memahami bukannya menjejalkan. Penjelasan visual tentang konsep yang kompleks. Algebra. Akar, kuasa dan logaritma, fungsi dan terbitan. Asas untuk menyelesaikan masalah kompleks bahagian ke-2 peperiksaan.

Anda boleh memesan penyelesaian terperinci untuk masalah anda !!!

Kesamaan yang mengandungi tidak diketahui di bawah tanda fungsi trigonometri (`sin x, cos x, tg x` atau `ctg x`) dipanggil persamaan trigonometri, dan kami akan mempertimbangkan formulanya dengan lebih lanjut.

Persamaan yang paling mudah ialah `sin x=a, cos x=a, tg x=a, ctg x=a`, dengan `x` ialah sudut yang perlu ditemui, `a` ialah sebarang nombor. Mari kita tulis formula akar untuk setiap daripada mereka.

1. Persamaan `sin x=a`.

Untuk `|a|>1` ia tidak mempunyai penyelesaian.

Dengan `|a| \leq 1` mempunyai bilangan penyelesaian yang tidak terhingga.

Formula akar: `x=(-1)^n arcsin a + \pi n, n \in Z`

2. Persamaan `cos x=a`

Untuk `|a|>1` - seperti dalam kes sinus, tiada penyelesaian antara nombor nyata.

Dengan `|a| \leq 1` mempunyai bilangan penyelesaian yang tidak terhingga.

Formula akar: `x=\pm arccos a + 2\pi n, n \in Z`

Kes khas untuk sinus dan kosinus dalam graf.

3. Persamaan `tg x=a`

Mempunyai bilangan penyelesaian yang tidak terhingga untuk sebarang nilai `a`.

Formula akar: `x=arctg a + \pi n, n \in Z`

4. Persamaan `ctg x=a`

Ia juga mempunyai bilangan penyelesaian yang tidak terhingga untuk sebarang nilai `a`.

Formula akar: `x=arcctg a + \pi n, n \in Z`

Formula untuk punca persamaan trigonometri dalam jadual

Untuk resdung:
Untuk kosinus:
Untuk tangen dan kotangen:
Formula untuk menyelesaikan persamaan yang mengandungi fungsi trigonometri songsang:

Kaedah untuk menyelesaikan persamaan trigonometri

Penyelesaian mana-mana persamaan trigonometri terdiri daripada dua peringkat:

• menggunakan untuk menukarnya kepada yang paling mudah;
• selesaikan persamaan mudah yang terhasil menggunakan formula di atas untuk punca dan jadual.

Mari kita pertimbangkan kaedah penyelesaian utama menggunakan contoh.

kaedah algebra.

Dalam kaedah ini, penggantian pembolehubah dan penggantiannya kepada kesamaan dilakukan.

Contoh. Selesaikan persamaan: `2cos^2(x+\frac \pi 6)-3sin(\frac \pi 3 - x)+1=0`

`2cos^2(x+\frac \pi 6)-3cos(x+\frac \pi 6)+1=0`,

buat penggantian: `cos(x+\frac \pi 6)=y`, kemudian `2y^2-3y+1=0`,

kita dapati puncanya: `y_1=1, y_2=1/2`, dari mana dua kes berikut:

1. `cos(x+\frac \pi 6)=1`, `x+\frac \pi 6=2\pi n`, `x_1=-\frac \pi 6+2\pi n`.

2. `cos(x+\frac \pi 6)=1/2`, `x+\frac \pi 6=\pm arccos 1/2+2\pi n`, `x_2=\pm \frac \pi 3- \frac \pi 6+2\pi n`.

Jawapan: `x_1=-\frac \pi 6+2\pi n`, `x_2=\pm \frac \pi 3-\frac \pi 6+2\pi n`.

Pemfaktoran.

Contoh. Selesaikan persamaan: `sin x+cos x=1`.

Penyelesaian. Beralih ke kiri semua sebutan kesamaan: `sin x+cos x-1=0`. Menggunakan , kami mengubah dan memfaktorkan bahagian kiri:

`sin x - 2sin^2 x/2=0`,

`2sin x/2 cos x/2-2sin^2 x/2=0`,

`2sin x/2 (cos x/2-sin x/2)=0`,

1. `sin x/2 =0`, `x/2 =\pi n`, `x_1=2\pi n`.
2. `cos x/2-sin x/2=0`, `tg x/2=1`, `x/2=arctg 1+ \pi n`, `x/2=\pi/4+ \pi n` , `x_2=\pi/2+ 2\pi n`.

Jawapan: `x_1=2\pi n`, `x_2=\pi/2+ 2\pi n`.

Pengurangan kepada persamaan homogen

Pertama, anda perlu membawa persamaan trigonometri ini kepada salah satu daripada dua bentuk:

`a sin x+b cos x=0` (persamaan homogen darjah pertama) atau `a sin^2 x + b sin x cos x +c cos^2 x=0` (persamaan homogen darjah kedua).

Kemudian bahagikan kedua-dua bahagian dengan `cos x \ne 0` untuk kes pertama dan dengan `cos^2 x \ne 0` untuk yang kedua. Kami mendapat persamaan untuk `tg x`: `a tg x+b=0` dan `a tg^2 x + b tg x +c =0`, yang mesti diselesaikan menggunakan kaedah yang diketahui.

Contoh. Selesaikan persamaan: `2 sin^2 x+sin x cos x - cos^2 x=1`.

Penyelesaian. Mari kita tulis sebelah kanan sebagai `1=sin^2 x+cos^2 x`:

`2 sin^2 x+sin x cos x — cos^2 x=` `sin^2 x+cos^2 x`,

`2 sin^2 x+sin x cos x - cos^2 x -` ` sin^2 x - cos^2 x=0`

`sin^2 x+sin x cos x - 2 cos^2 x=0`.

Ini ialah persamaan trigonometri homogen darjah kedua, membahagikan bahagian kiri dan kanannya dengan `cos^2 x \ne 0`, kita dapat:

`\frac (sin^2 x)(cos^2 x)+\frac(sin x cos x)(cos^2 x) - \frac(2 cos^2 x)(cos^2 x)=0`

`tg^2 x+tg x - 2=0`. Mari kita perkenalkan penggantian `tg x=t`, hasilnya `t^2 + t - 2=0`. Punca-punca persamaan ini ialah `t_1=-2` dan `t_2=1`. Kemudian:

1. `tg x=-2`, `x_1=arctg (-2)+\pi n`, `n \dalam Z`
2. `tg x=1`, `x=arctg 1+\pi n`, `x_2=\pi/4+\pi n`, ` n \dalam Z`.

Jawab. `x_1=arctg (-2)+\pi n`, `n \dalam Z`, `x_2=\pi/4+\pi n`, `n \dalam Z`.

Pergi ke Half Corner

Contoh. Selesaikan persamaan: `11 sin x - 2 cos x = 10`.

Penyelesaian. Menggunakan formula sudut berganda, hasilnya ialah: `22 sin (x/2) cos (x/2) -` `2 cos^2 x/2 + 2 sin^2 x/2=` `10 sin^2 x /2 +10 cos^2 x/2`

`4 tg^2 x/2 - 11 tg x/2 +6=0`

Menggunakan kaedah algebra yang diterangkan di atas, kami memperoleh:

1. `tg x/2=2`, `x_1=2 arctg 2+2\pi n`, `n \dalam Z`,
2. `tg x/2=3/4`, `x_2=arctg 3/4+2\pi n`, `n \dalam Z`.

Jawab. `x_1=2 arctg 2+2\pi n, n \in Z`, `x_2=arctg 3/4+2\pi n`, `n \in Z`.

Pengenalan sudut bantu

Dalam persamaan trigonometri `a sin x + b cos x =c`, dengan a,b,c ialah pekali dan x ialah pembolehubah, kita bahagikan kedua-dua bahagian dengan `sqrt (a^2+b^2)`:

`\frac a(sqrt (a^2+b^2)) sin x +` `\frac b(sqrt (a^2+b^2)) cos x =` `\frac c(sqrt (a^2 +b^2))`.

Pekali di sebelah kiri mempunyai sifat sinus dan kosinus, iaitu, hasil tambah kuasa duanya ialah 1 dan modulusnya ialah paling banyak 1. Mari kita nyatakan ia seperti berikut: `\frac a(sqrt (a^2+b^) 2))=cos \varphi` , ` \frac b(sqrt (a^2+b^2)) =sin \varphi`, `\frac c(sqrt (a^2+b^2))=C` , maka:

`cos \varphi sin x + sin \varphi cos x =C`.

Mari kita lihat lebih dekat contoh berikut:

Contoh. Selesaikan persamaan: `3 sin x+4 cos x=2`.

Penyelesaian. Membahagikan kedua-dua belah persamaan dengan `sqrt (3^2+4^2)`, kita dapat:

`\frac (3 sin x) (sqrt (3^2+4^2))+` `\frac(4 cos x)(sqrt (3^2+4^2))=` `\frac 2(sqrt (3^2+4^2))`

`3/5 sin x+4/5 cos x=2/5`.

Nyatakan `3/5 = cos \varphi` , `4/5=sin \varphi`. Oleh kerana `sin \varphi>0`, `cos \varphi>0`, kami mengambil `\varphi=arcsin 4/5` sebagai sudut tambahan. Kemudian kami menulis kesamaan kami dalam bentuk:

`cos \varphi sin x+sin \varphi cos x=2/5`

Menggunakan formula untuk jumlah sudut untuk sinus, kami menulis kesamaan kami dalam bentuk berikut:

`sin(x+\varphi)=2/5`,

`x+\varphi=(-1)^n arcsin 2/5+ \pi n`, `n \in Z`,

`x=(-1)^n arcsin 2/5-` `arcsin 4/5+ \pi n`, `n \in Z`.

Jawab. `x=(-1)^n arcsin 2/5-` `arcsin 4/5+ \pi n`, `n \in Z`.

Persamaan trigonometri pecahan-rasional

Ini adalah kesamaan dengan pecahan, dalam pengangka dan penyebutnya terdapat fungsi trigonometri.

Contoh. Selesaikan persamaan. `\frac (sin x)(1+cos x)=1-cos x`.

Penyelesaian. Darab dan bahagi sebelah kanan persamaan dengan `(1+cos x)`. Hasilnya, kami mendapat:

`\frac (sin x)(1+cos x)=` `\frac ((1-cos x)(1+cos x))(1+cos x)`

`\frac (sin x)(1+cos x)=` `\frac (1-cos^2 x)(1+cos x)`

`\frac (sin x)(1+cos x)=` `\frac (sin^2 x)(1+cos x)`

`\frac (sin x)(1+cos x)-` `\frac (sin^2 x)(1+cos x)=0`

`\frac (sin x-sin^2 x)(1+cos x)=0`

Memandangkan penyebut tidak boleh sifar, kita mendapat `1+cos x \ne 0`, `cos x \ne -1`, ` x \ne \pi+2\pi n, n \in Z`.

Samakan pengangka pecahan kepada sifar: `sin x-sin^2 x=0`, `sin x(1-sin x)=0`. Kemudian `sin x=0` atau `1-sin x=0`.

1. `sin x=0`, `x=\pi n`, `n \dalam Z`
2. `1-sin x=0`, `sin x=-1`, `x=\pi /2+2\pi n, n \dalam Z`.

Diberi bahawa ` x \ne \pi+2\pi n, n \in Z`, penyelesaiannya ialah `x=2\pi n, n \in Z` dan `x=\pi /2+2\pi n` , `n \dalam Z`.

Jawab. `x=2\pi n`, `n \dalam Z`, `x=\pi /2+2\pi n`, `n \dalam Z`.

Trigonometri, dan persamaan trigonometri khususnya, digunakan dalam hampir semua bidang geometri, fizik dan kejuruteraan. Kajian bermula pada gred ke-10, sentiasa ada tugas untuk peperiksaan, jadi cuba ingat semua formula persamaan trigonometri - ia pasti berguna untuk anda!

Walau bagaimanapun, anda tidak perlu menghafalnya, perkara utama adalah memahami intipati, dan dapat menyimpulkan. Ia tidak sesukar yang disangka. Lihat sendiri dengan menonton video.