Penyelesaian persamaan sistem dengan kaedah Gauss. Kaedah Gauss

Carl Friedrich Gauss, ahli matematik terhebat, teragak-agak untuk masa yang lama, memilih antara falsafah dan matematik. Mungkin pemikiran seperti itu yang membolehkannya "meninggalkan" begitu ketara dalam sains dunia. Khususnya, dengan mencipta "Kaedah Gauss" ...

Selama hampir 4 tahun, artikel laman web ini adalah berkaitan dengan pendidikan sekolah, terutamanya dari sudut pandangan falsafah, prinsip-prinsip (salah)faham yang diperkenalkan ke dalam minda kanak-kanak. Masanya akan datang untuk lebih spesifik, contoh dan kaedah ... Saya percaya bahawa ini adalah pendekatan kepada yang biasa, mengelirukan dan penting bidang kehidupan memberikan hasil yang terbaik.

Kita manusia sangat tersusun sehingga tidak kira berapa banyak yang anda bercakap pemikiran abstrak, tetapi persefahaman sentiasa berlaku melalui contoh. Jika tidak ada contoh, maka adalah mustahil untuk menangkap prinsip ... Betapa mustahilnya berada di puncak gunung selain daripada melalui seluruh cerunnya dari kaki.

Sama dengan sekolah: buat masa ini kisah hidup tidak cukup kita secara naluri terus menganggapnya sebagai tempat di mana kanak-kanak diajar untuk memahami.

Contohnya, mengajar kaedah Gauss...

Kaedah Gauss dalam gred 5 sekolah

Saya akan membuat tempahan dengan segera: kaedah Gauss mempunyai aplikasi yang lebih luas, contohnya, semasa menyelesaikan sistem persamaan linear. Apa yang kita akan bincangkan berlaku di tingkatan 5. ia mulakan, setelah memahami yang mana, adalah lebih mudah untuk memahami lebih banyak "pilihan lanjutan". Dalam artikel ini kita bercakap tentang kaedah (kaedah) Gauss apabila mencari jumlah siri

Berikut adalah contoh yang dibawa oleh anak bongsu saya dari sekolah, menghadiri gred 5 gimnasium Moscow.

Demonstrasi sekolah kaedah Gauss

Seorang guru matematik menggunakan papan putih interaktif (kaedah pengajaran moden) menunjukkan kepada kanak-kanak persembahan cerita "penciptaan kaedah" oleh Gauss kecil.

Guru sekolah menyebat Carl kecil (kaedah ketinggalan zaman, kini tidak digunakan di sekolah) kerana,

bukannya menambah nombor secara berurutan dari 1 hingga 100 untuk mencari jumlahnya perasan bahawa pasangan nombor yang sama jarak dari tepi janjang aritmetik ditambah kepada nombor yang sama. contohnya, 100 dan 1, 99 dan 2. Setelah mengira bilangan pasangan sedemikian, Gauss kecil hampir serta-merta menyelesaikan masalah yang dicadangkan oleh guru. Yang mana dia telah dikenakan hukuman mati di hadapan orang ramai yang terkejut. Bagi yang lain untuk berfikir adalah tidak hormat.

Apa yang Gauss kecil lakukan dibangunkan rasa nombor? perasan beberapa ciri siri nombor dengan langkah tetap (janjang aritmetik). Dan betul-betul ini menjadikannya seorang saintis yang hebat, dapat perasan, memiliki perasaan, naluri kefahaman.

Ini adalah nilai matematik, yang berkembang kebolehan melihat am khususnya - pemikiran abstrak. Oleh itu, kebanyakan ibu bapa dan majikan secara naluri menganggap matematik sebagai disiplin yang penting ...

“Matematik harus diajar kemudian, supaya ia menyusun fikiran.
M.V. Lomonosov".

Walau bagaimanapun, pengikut mereka yang menyebat genius masa depan mengubah Kaedah menjadi sesuatu yang bertentangan. Seperti yang dikatakan oleh penyelia saya 35 tahun yang lalu: "Mereka mempelajari soalan itu." Atau, seperti yang dikatakan oleh anak bongsu saya semalam mengenai kaedah Gauss: "Mungkin ia tidak berbaloi untuk membuat sains besar daripada ini, ya?"

Akibat kreativiti para "saintis" dapat dilihat pada tahap matematik sekolah semasa, tahap pengajaran dan pemahamannya tentang "Ratu Sains" oleh majoriti.

Namun, mari kita teruskan...

Kaedah untuk menerangkan kaedah Gauss dalam gred 5 sekolah

Seorang guru matematik di gimnasium Moscow, menerangkan kaedah Gauss dengan cara Vilenkin, merumitkan tugas itu.

Bagaimana jika perbezaan (langkah) janjang aritmetik bukan satu, tetapi nombor lain? Contohnya, 20.

Tugas yang dia berikan kepada pelajar tingkatan lima:

20+40+60+80+ ... +460+480+500

Sebelum membiasakan diri dengan kaedah gimnasium, mari lihat Web: bagaimana guru sekolah - tutor matematik melakukannya? ..

Kaedah Gauss: Penjelasan #1

Seorang tutor terkenal di saluran YOUTUBEnya memberikan alasan berikut:

"mari kita tulis nombor dari 1 hingga 100 seperti ini:

pertama satu siri nombor dari 1 hingga 50, dan betul-betul di bawahnya satu siri nombor lain dari 50 hingga 100, tetapi dalam susunan terbalik"

1, 2, 3, ... 48, 49, 50

100, 99, 98 ... 53, 52, 51

"Sila ambil perhatian: jumlah setiap pasangan nombor dari baris atas dan bawah adalah sama dan sama dengan 101! Mari kita hitung bilangan pasangan, ia ialah 50 dan darabkan hasil tambah satu pasangan dengan bilangan pasangan! Voila: The jawapan sudah sedia!".

“Kalau tak faham, jangan marah!” ulang guru itu sebanyak tiga kali semasa penerangan. "Anda akan lulus kaedah ini dalam darjah 9!"

Kaedah Gauss: Penjelasan #2

Seorang lagi tutor, kurang dikenali (berdasarkan bilangan tontonan) mengambil pendekatan yang lebih saintifik, menawarkan algoritma penyelesaian 5 mata yang mesti dilengkapkan mengikut urutan.

Bagi yang belum tahu: 5 ialah salah satu nombor Fibonacci yang secara tradisinya dianggap ajaib. Kaedah 5 langkah sentiasa lebih saintifik daripada kaedah 6 langkah, contohnya. ... Dan ini bukan kemalangan, kemungkinan besar, Pengarang adalah penganut tersembunyi teori Fibonacci

Diberi janjang aritmetik: 4, 10, 16 ... 244, 250, 256 .

Algoritma untuk mencari jumlah nombor dalam satu siri menggunakan kaedah Gauss:

4, 10, 16 ... 244, 250, 256

256, 250, 244 ... 16, 10, 4

Pada masa yang sama, anda perlu ingat tentang ditambah satu peraturan : satu mesti ditambah kepada hasil bahagi yang terhasil: jika tidak, kita akan mendapat keputusan yang kurang satu daripada bilangan pasangan sebenar: 42 + 1 = 43.

Ini ialah jumlah yang dikehendaki bagi janjang aritmetik dari 4 hingga 256 dengan perbezaan 6!

Kaedah Gauss: penjelasan dalam gred 5 gimnasium Moscow

Dan inilah cara ia diperlukan untuk menyelesaikan masalah mencari jumlah siri:

20+40+60+ ... +460+480+500

di gred 5 gimnasium Moscow, buku teks Vilenkin (menurut anak saya).

Selepas menunjukkan pembentangan, guru matematik menunjukkan beberapa contoh Gaussian dan memberikan kelas tugas mencari jumlah nombor dalam satu siri dengan langkah 20.

Ini memerlukan perkara berikut:

Seperti yang anda lihat, ini adalah teknik yang lebih padat dan cekap: nombor 3 juga merupakan ahli jujukan Fibonacci

Komen saya tentang kaedah Gauss versi sekolah

Ahli matematik yang hebat itu pasti akan memilih falsafah jika dia telah meramalkan apa yang pengikutnya akan mengubah "kaedah"nya. guru Jerman yang menyebat Karl dengan kayu. Dia akan melihat simbolisme dan lingkaran dialektik dan kebodohan yang tidak pernah mati dari "guru" cuba mengukur keharmonian pemikiran matematik yang hidup dengan algebra salah faham ....

By the way, tahukah anda. bahawa sistem pendidikan kita berakar umbi dari sekolah Jerman pada abad ke-18 dan ke-19?

Tetapi Gauss memilih matematik.

Apakah intipati kaedah beliau?

AT penyederhanaan. AT pemerhatian dan tangkapan pola nombor yang mudah. AT menukar aritmetik sekolah kering kepada aktiviti yang menarik dan menyeronokkan , mengaktifkan keinginan untuk meneruskan dalam otak, dan tidak menghalang aktiviti mental kos tinggi.

Adakah mungkin untuk mengira jumlah nombor janjang aritmetik dengan salah satu daripada "pengubahsuaian kaedah Gauss" di atas serta merta? Menurut "algoritma", Karl kecil akan dijamin untuk mengelakkan pukulan, memupuk keengganan untuk matematik dan menyekat dorongan kreatifnya sejak awal.

Mengapa tutor begitu bersungguh-sungguh menasihati pelajar kelas lima "jangan takut salah faham" tentang kaedah itu, meyakinkan mereka bahawa mereka akan menyelesaikan masalah "sebegitu" sudah di gred 9? Tindakan buta huruf secara psikologi. Ia adalah idea yang baik untuk diperhatikan: "Nampak? Awak dah darjah 5 pun boleh selesaikan masalah yang anda akan lalui hanya dalam masa 4 tahun! Alangkah baiknya kamu!"

Untuk menggunakan kaedah Gaussian, tahap 3 kelas adalah mencukupi apabila kanak-kanak biasa sudah tahu menambah, mendarab dan membahagi nombor 2-3 digit. Masalah timbul kerana ketidakupayaan guru dewasa yang "tidak masuk" bagaimana untuk menerangkan perkara yang paling mudah dalam bahasa manusia biasa, bukan hanya matematik ... Mereka tidak dapat menarik minat matematik dan tidak menggalakkan walaupun "mampu".

Atau, seperti yang diulas oleh anak saya, "buat sains yang besar daripadanya."

Kaedah Gauss, penjelasan saya

Saya dan isteri saya menjelaskan "kaedah" ini kepada anak kami, nampaknya, sebelum sekolah ...

Kesederhanaan dan bukannya kerumitan atau permainan soalan - jawapan

""Lihat, ini adalah nombor dari 1 hingga 100. Apa yang anda lihat?"

Ia bukan tentang apa yang dilihat oleh kanak-kanak itu. Caranya ialah untuk membuat dia kelihatan.

"Bagaimana anda boleh menggabungkan mereka?" Anak lelaki itu mendapati bahawa soalan sedemikian tidak ditanya "begitu sahaja" dan anda perlu melihat soalan "entah bagaimana berbeza, berbeza daripada yang biasanya dia lakukan"

Tidak mengapa jika anak melihat penyelesaiannya dengan segera, tidak mungkin. Ia adalah penting bahawa dia berhenti takut untuk melihat, atau seperti yang saya katakan: "menggerakkan tugas". Ini adalah permulaan jalan untuk memahami

"Mana yang lebih mudah: tambah, sebagai contoh, 5 dan 6 atau 5 dan 95?" Soalan utama... Tetapi selepas semua, apa-apa latihan datang untuk "membimbing" seseorang kepada "jawapan" - dalam apa-apa cara boleh diterima olehnya.

Pada peringkat ini, mungkin sudah ada tekaan tentang cara "simpan" pada pengiraan.

Apa yang telah kami lakukan hanyalah petunjuk: kaedah pengiraan "depan, linear" bukanlah satu-satunya yang mungkin. Jika kanak-kanak itu telah memotong ini, maka dia akan mencipta lebih banyak kaedah seperti itu, sebab menarik!!! Dan dia pasti akan mengelakkan "salah faham" matematik, tidak akan merasa jijik untuk itu. Dia mendapat kemenangan!

Sekiranya bayi ditemui bahawa menambah pasangan nombor yang menambah sehingga seratus adalah tugas yang remeh, maka "janjang aritmetik dengan beza 1"- perkara yang agak suram dan tidak menarik untuk kanak-kanak - tiba-tiba memberikan kehidupan kepadanya . Daripada huru-hara datang perintah, dan ini sentiasa bersemangat: begitulah cara kita!

Soalan cepat: mengapa, selepas wawasan kanak-kanak, mereka perlu sekali lagi didorong ke dalam rangka kerja algoritma kering, yang juga tidak berguna dalam kes ini?!

Mengapa membuat menulis semula bodoh nombor turutan dalam buku nota: supaya mereka yang berkebolehan tidak akan mempunyai peluang untuk memahami? Secara statistik, sudah tentu, tetapi pendidikan massa tertumpu pada "statistik" ...

Ke mana perginya sifar?

Namun, menambah nombor yang menambah sehingga 100 adalah lebih diterima oleh minda daripada memberikan 101 ...

"Kaedah Gauss sekolah" memerlukan ini: melipat tanpa berfikir sama jarak dari pusat janjang sepasang nombor, apa pun yang terjadi.

Bagaimana jika anda melihat?

Namun, sifar adalah ciptaan terbesar manusia, yang berusia lebih daripada 2,000 tahun. Dan guru matematik terus mengabaikannya.

Lebih mudah untuk menukar siri nombor bermula dari 1 kepada siri bermula pada 0. Jumlahnya tidak akan berubah, bukan? Anda perlu berhenti "berfikir dalam buku teks" dan mula mencari ... Dan untuk melihat bahawa pasangan dengan jumlah 101 boleh digantikan sepenuhnya oleh pasangan dengan jumlah 100!

0 + 100, 1 + 99, 2 + 98 ... 49 + 51

Bagaimana untuk menghapuskan "peraturan tambah 1"?

Sejujurnya, saya mula-mula mendengar tentang peraturan sedemikian daripada tutor YouTube itu ...

Apakah yang masih saya lakukan apabila saya perlu menentukan bilangan ahli siri?

Melihat urutan:

1, 2, 3, .. 8, 9, 10

dan apabila benar-benar letih, kemudian pada baris yang lebih mudah:

1, 2, 3, 4, 5

dan saya fikir: jika anda menolak satu daripada 5, anda mendapat 4, tetapi saya agak jelas lihat 5 nombor! Oleh itu, anda perlu menambah satu! Pengertian nombor, yang dibangunkan di sekolah rendah, mencadangkan bahawa walaupun terdapat keseluruhan Google ahli siri (10 hingga kuasa seratus), coraknya akan kekal sama.

Persetan dengan peraturan?..

Supaya dalam beberapa - tiga tahun untuk mengisi semua ruang antara dahi dan belakang kepala dan berhenti berfikir? Bagaimana pula dengan mendapatkan roti dan mentega? Lagipun, kita bergerak dalam kedudukan yang sama ke dalam era ekonomi digital!

Lebih lanjut mengenai kaedah sekolah Gauss: "mengapa membuat sains daripada ini? .."

Tidak sia-sia saya menyiarkan tangkapan skrin dari buku nota anak saya...

"Apa yang ada dalam pelajaran?"

"Baiklah, saya segera mengira, mengangkat tangan saya, tetapi dia tidak bertanya. Oleh itu, semasa yang lain mengira, saya mula melakukan DZ dalam bahasa Rusia supaya tidak membuang masa. Kemudian, apabila yang lain selesai menulis (?? ?), dia memanggil saya ke lembaga pengarah. Saya berkata jawapannya."

"Betul, tunjukkan kepada saya bagaimana anda menyelesaikannya," kata guru itu. saya tunjukkan. Dia berkata: "Salah, anda perlu mengira seperti yang saya tunjukkan!"

"Adalah bagus saya tidak meletakkan deuce. Dan saya membuat saya menulis "proses keputusan" dengan cara mereka sendiri dalam buku nota. Mengapa membuat sains yang besar daripada ini? .."

Jenayah utama seorang guru matematik

hampir tidak selepas majlis itu Carl Gauss mengalami rasa hormat yang tinggi terhadap guru matematik sekolah. Tetapi jika dia tahu bagaimana pengikut guru itu menyelewengkan intipati kaedah... dia akan meraung dengan kemarahan dan, melalui Pertubuhan Harta Intelek Dunia WIPO, mencapai larangan penggunaan nama jujurnya dalam buku teks sekolah! ..

Apa kesilapan utama pendekatan sekolah? Atau, seperti yang saya katakan, jenayah guru matematik sekolah terhadap kanak-kanak?

Algoritma salah faham

Apakah yang dilakukan oleh ahli metodologi sekolah, sebahagian besar daripada mereka tidak tahu bagaimana untuk berfikir?

Buat kaedah dan algoritma (lihat). ia reaksi defensif yang melindungi guru daripada kritikan ("Semuanya dilakukan mengikut ..."), dan kanak-kanak daripada memahami. Dan dengan itu - dari keinginan untuk mengkritik guru!(Terbitan kedua "kebijaksanaan" birokrasi, pendekatan saintifik untuk masalah itu). Seseorang yang tidak memahami maksudnya lebih suka menyalahkan salah fahamnya sendiri, dan bukannya kebodohan sistem sekolah.

Apa yang berlaku: ibu bapa menyalahkan anak-anak, dan guru-guru... begitu juga dengan anak-anak yang “tidak faham matematik!..

Adakah anda arif?

Apa yang Carl kecil lakukan?

Benar-benar tidak konvensional mendekati tugas templat. Inilah intipati pendekatan-Nya. ia perkara utama yang harus diajar di sekolah ialah berfikir bukan dengan buku teks, tetapi dengan kepala anda. Sudah tentu, terdapat juga komponen instrumental yang boleh digunakan ... untuk mencari kaedah pengiraan yang lebih mudah dan cekap.

Kaedah Gauss mengikut Vilenkin

Di sekolah mereka mengajar bahawa kaedah Gauss adalah untuk

apa, jika bilangan elemen dalam baris itu ganjil, seperti dalam tugas yang diberikan kepada anak lelaki? ..

"Helah" ialah dalam kes ini anda harus mencari nombor "tambahan" siri itu dan tambahkannya kepada jumlah pasangan. Dalam contoh kami, nombor ini ialah 260.

Bagaimana untuk menemui? Menulis semula semua pasangan nombor dalam buku nota!(Itulah sebabnya guru membuat anak-anak melakukan kerja bodoh ini, cuba mengajar "kreativiti" menggunakan kaedah Gaussian... Dan itulah sebabnya "kaedah" sedemikian boleh dikatakan tidak boleh digunakan untuk siri data yang besar, Dan itulah sebabnya ia bukan Gaussian kaedah).

Sedikit kreativiti dalam rutin sekolah...

Anak lelaki bertindak berbeza.

(20 + 500, 40 + 480 ...).

0+500, 20+480, 40+460 ...

Mudah, kan?

Tetapi dalam praktiknya ia menjadi lebih mudah, yang membolehkan anda mengukir 2-3 minit untuk penderiaan jauh dalam bahasa Rusia, sementara selebihnya "mengira". Di samping itu, ia mengekalkan bilangan langkah metodologi: 5, yang tidak membenarkan mengkritik pendekatan itu kerana tidak saintifik.

Jelas sekali pendekatan ini lebih mudah, lebih pantas dan lebih serba boleh, dalam gaya Kaedah. Tapi... cikgu bukan sahaja tidak memuji, malah memaksa saya menulis semula "dengan cara yang betul" (lihat screenshot). Iaitu, dia membuat percubaan terdesak untuk menyekat dorongan kreatif dan keupayaan untuk memahami matematik sejak awal! Nampaknya, untuk kemudian diambil sebagai tutor ... Dia menyerang yang salah ...

Segala-galanya yang telah saya huraikan dengan begitu panjang dan membosankan boleh dijelaskan kepada kanak-kanak biasa dalam masa maksimum setengah jam. Bersama dengan contoh.

Dan supaya dia tidak akan melupakannya.

Dan ia akan langkah ke arah pemahaman... bukan sahaja matematik.

Akui: berapa kali dalam hidup anda telah anda tambah menggunakan kaedah Gauss? Dan saya tidak pernah!

Tetapi naluri kefahaman, yang berkembang (atau padam) dalam proses mempelajari kaedah matematik di sekolah ... Oh! .. Ini benar-benar satu perkara yang tidak boleh ditukar ganti!

Terutama dalam era digitalisasi sejagat, yang kita masuki secara senyap-senyap di bawah bimbingan ketat Parti dan Kerajaan.

Sedikit perkataan untuk membela guru...

Adalah tidak adil dan salah untuk meletakkan semua tanggungjawab untuk gaya pengajaran ini semata-mata kepada guru sekolah. Sistem sedang beroperasi.

Beberapa guru memahami kemustahilan apa yang berlaku, tetapi apa yang perlu dilakukan? Undang-undang Pendidikan, Piawaian Pendidikan Negeri Persekutuan, kaedah, kad pelajaran... Semuanya harus dilakukan "mengikut dan atas dasar" dan semuanya harus didokumentasikan. Ke tepi - berdiri dalam barisan untuk pemecatan. Jangan jadi hipokrit: gaji guru Moscow sangat baik... Jika mereka dipecat, ke mana mereka harus pergi?..

Oleh itu laman web ini bukan tentang pendidikan. Dia kira-kira pendidikan individu, satu-satunya cara yang mungkin untuk keluar daripada orang ramai Generasi Z ...

Salah satu kaedah universal dan berkesan untuk menyelesaikan sistem algebra linear ialah Kaedah Gauss , yang terdiri daripada penghapusan berturut-turut yang tidak diketahui.

Ingat bahawa kedua-dua sistem dipanggil bersamaan (bersamaan) jika set penyelesaiannya adalah sama. Dalam erti kata lain, sistem adalah setara jika setiap penyelesaian kepada salah satu daripada mereka adalah penyelesaian kepada yang lain, dan sebaliknya. Sistem yang setara diperoleh dengan transformasi asas persamaan sistem:

mendarab kedua-dua belah persamaan dengan nombor bukan sifar;

menambah pada beberapa persamaan bahagian yang sepadan bagi persamaan lain, didarab dengan nombor selain daripada sifar;

pilih atur dua persamaan.

Biarkan sistem persamaan

Proses penyelesaian sistem ini dengan kaedah Gauss terdiri daripada dua peringkat. Pada peringkat pertama (lari ke hadapan), sistem dikurangkan dengan cara transformasi asas kepada melangkah , atau segi tiga minda, dan pada peringkat kedua (langkah terbalik) terdapat urutan, bermula dari pembolehubah terakhir, takrifan yang tidak diketahui daripada sistem langkah yang terhasil.

Mari kita andaikan bahawa pekali sistem ini
, jika tidak dalam sistem baris pertama boleh ditukar ganti dengan mana-mana baris lain supaya pekali pada adalah berbeza daripada sifar.

Mari kita ubah sistem, hapuskan yang tidak diketahui dalam semua persamaan kecuali yang pertama. Untuk melakukan ini, darabkan kedua-dua belah persamaan pertama dengan dan tambah sebutan demi sebutan dengan persamaan kedua sistem. Kemudian darab kedua-dua belah persamaan pertama dengan dan tambahkannya pada persamaan ketiga sistem. Meneruskan proses ini, kami memperoleh sistem yang setara

Di sini
ialah nilai baharu bagi pekali dan terma bebas, yang diperoleh selepas langkah pertama.

Begitu juga dengan mengambil kira elemen utama
, kecualikan yang tidak diketahui daripada semua persamaan sistem, kecuali yang pertama dan kedua. Kami meneruskan proses ini selama mungkin, hasilnya kami mendapat sistem langkah

,

di mana ,
,…,- elemen utama sistem
.

Jika dalam proses membawa sistem ke bentuk langkah, persamaan muncul, iaitu, kesamaan bentuk
, mereka dibuang, kerana sebarang set nombor memenuhinya
. Jika di
persamaan bentuk yang tidak mempunyai penyelesaian muncul, ini menunjukkan ketidakkonsistenan sistem.

Dalam laluan terbalik, yang pertama tidak diketahui dinyatakan daripada persamaan terakhir sistem langkah yang diubah melalui semua yang tidak diketahui lain
yang dipanggil percuma . Kemudian ungkapan berubah daripada persamaan terakhir sistem digantikan ke dalam persamaan kedua terakhir dan pembolehubah dinyatakan daripadanya
. Pembolehubah ditakrifkan dengan cara yang sama
. Pembolehubah
, dinyatakan dalam sebutan pembolehubah bebas, dipanggil asas (bergantung). Hasilnya, penyelesaian umum sistem persamaan linear diperolehi.

Untuk mencari keputusan peribadi sistem, percuma tidak diketahui
dalam penyelesaian umum, nilai arbitrari diberikan dan nilai pembolehubah dikira
.

Secara teknikalnya lebih mudah untuk menundukkan transformasi asas bukan kepada persamaan sistem, tetapi kepada matriks lanjutan sistem

.

Kaedah Gauss adalah kaedah universal yang membolehkan anda menyelesaikan bukan sahaja persegi, tetapi juga sistem segi empat tepat di mana bilangan yang tidak diketahui.
tidak sama dengan bilangan persamaan
.

Kelebihan kaedah ini juga terletak pada hakikat bahawa dalam proses penyelesaian kita secara serentak memeriksa sistem untuk keserasian, kerana, setelah mengurangkan matriks tambahan
kepada bentuk berperingkat, adalah mudah untuk menentukan pangkat matriks dan matriks lanjutan
dan memohon teorem Kronecker-Capelli .

Contoh 2.1 Selesaikan sistem menggunakan kaedah Gauss

Penyelesaian. Bilangan Persamaan
dan bilangan yang tidak diketahui
.

Mari kita karang matriks lanjutan sistem dengan menetapkan di sebelah kanan matriks pekali ruangan ahli percuma .

Jom bawak matriks kepada bentuk segi tiga; untuk melakukan ini, kita akan mendapat "0" di bawah elemen pada pepenjuru utama menggunakan transformasi asas.

Untuk mendapatkan "0" di kedudukan kedua lajur pertama, darab baris pertama dengan (-1) dan tambah pada baris kedua.

Kami menulis transformasi ini sebagai nombor (-1) terhadap baris pertama dan menandakannya dengan anak panah dari baris pertama ke baris kedua.

Untuk mendapatkan "0" di kedudukan ketiga lajur pertama, darab baris pertama dengan (-3) dan tambah pada baris ketiga; Mari tunjukkan tindakan ini dengan anak panah dari baris pertama ke baris ketiga.

.

Dalam matriks yang terhasil, ditulis kedua dalam rantaian matriks, kita mendapat "0" dalam lajur kedua di kedudukan ketiga. Untuk melakukan ini, darabkan baris kedua dengan (-4) dan tambah pada baris ketiga. Dalam matriks yang terhasil, kita darab baris kedua dengan (-1), dan bahagikan baris ketiga dengan (-8). Semua unsur matriks ini yang terletak di bawah unsur pepenjuru adalah sifar.

Kerana , sistem adalah kolaboratif dan khusus.

Sistem persamaan yang sepadan dengan matriks terakhir mempunyai bentuk segi tiga:

Daripada persamaan terakhir (ketiga).
. Gantikan dalam persamaan kedua dan dapatkan
.

Pengganti
dan
ke dalam persamaan pertama, kita dapati


.

Intipati kaedah Gauss adalah untuk mengubah (1) kepada sistem dengan matriks segi tiga , dari mana nilai semua yang tidak diketahui kemudiannya secara berurutan (terbalik) diperoleh. Mari kita pertimbangkan salah satu skim pengiraan. Litar ini dipanggil litar pembahagian tunggal. Jadi mari kita lihat rajah ini. Biarkan 11 ≠0 (elemen utama) membahagi dengan 11 persamaan pertama. Dapatkan
(2)
Dengan menggunakan persamaan (2), adalah mudah untuk mengecualikan x 1 yang tidak diketahui daripada persamaan sistem yang tinggal (untuk ini, cukup untuk menolak persamaan (2) daripada setiap persamaan yang didarabkan terlebih dahulu dengan pekali sepadan pada x 1), bahawa ialah, pada langkah pertama yang kita perolehi
.
Dalam erti kata lain, pada langkah 1, setiap elemen baris berikutnya, bermula dari yang kedua, adalah sama dengan perbezaan antara elemen asal dan hasil "unjuran"nya pada lajur pertama dan baris pertama (berubah).
Selepas itu, meninggalkan persamaan pertama sahaja, sepanjang persamaan sistem yang lain yang diperolehi pada langkah pertama, kita akan melakukan transformasi yang sama: kita memilih daripada antara mereka persamaan dengan unsur utama dan menggunakannya untuk mengecualikan x 2 daripada persamaan yang tinggal (langkah 2).
Selepas n langkah, bukannya (1) kita mendapat sistem yang setara
(3)
Oleh itu, pada peringkat pertama, kita akan memperoleh sistem segi tiga (3). Langkah ini dipanggil ke hadapan.
Pada peringkat kedua (pergerakan songsang) kita secara berurutan mencari daripada (3) nilai x n , x n -1 , …, x 1 .
Mari kita nyatakan penyelesaian yang diperoleh sebagai x 0 . Kemudian perbezaan ε=b-A x 0 dipanggil sisa.
Jika ε=0, maka penyelesaian yang ditemui x 0 adalah betul.

Pengiraan dengan kaedah Gauss dilakukan dalam dua peringkat:

1. Peringkat pertama dipanggil kursus langsung kaedah. Pada peringkat pertama, sistem asal ditukar kepada bentuk segi tiga.
2. Peringkat kedua dipanggil terbalik. Pada peringkat kedua, sistem segi tiga bersamaan dengan yang asal diselesaikan.

Tujuan kaedah Gauss

Jenis kaedah Gauss

1. Kaedah Gauss Klasik;
2. Pengubahsuaian kaedah Gauss. Salah satu pengubahsuaian kaedah Gaussian ialah litar dengan pilihan elemen utama. Satu ciri kaedah Gauss dengan pilihan elemen utama ialah pilih atur persamaan supaya pada langkah ke-k elemen utama ialah elemen terbesar dalam lajur ke-k.
3. kaedah Jordan-Gauss;

Contoh penyelesaian Gauss
Mari selesaikan sistem:

Untuk kemudahan pengiraan, kami menukar baris:

Darab baris ke-2 dengan (2). Tambah baris ke-3 ke baris ke-2

Darab baris ke-2 dengan (-1). Tambahkan baris ke-2 ke baris pertama

Dari baris 1 kita nyatakan x 3:
Daripada baris ke-2 kita nyatakan x 2:
Daripada baris ke-3 kita nyatakan x 1:

Contoh penyelesaian dengan kaedah Jordan-Gauss
Kami akan menyelesaikan SLAE yang sama menggunakan kaedah Jordano-Gauss.

Kami akan secara berurutan memilih elemen penyelesaian RE, yang terletak pada pepenjuru utama matriks.
Elemen pemboleh adalah sama dengan (1).



NE \u003d SE - (A * B) / RE
RE - elemen pemboleh (1), A dan B - elemen matriks membentuk segi empat tepat dengan unsur STE dan RE.
Mari kita bentangkan pengiraan setiap elemen dalam bentuk jadual:

x 1	x2	x 3	B
1 / 1 = 1	2 / 1 = 2	-2 / 1 = -2	1 / 1 = 1

x 1	x2	x 3	B
0 / 3 = 0	3 / 3 = 1	1 / 3 = 0.33	4 / 3 = 1.33

x 1	x2	x 3	B
0 / -4 = 0	0 / -4 = 0	-4 / -4 = 1	-4 / -4 = 1

Pelaksanaan kaedah Gauss

Menggunakan Kaedah Gauss

Aplikasi kaedah Gauss dalam teori permainan

Aplikasi kaedah Gauss dalam menyelesaikan persamaan pembezaan

Aplikasi kaedah Jordano-Gauss dalam pengaturcaraan linear

Salah satu cara paling mudah untuk menyelesaikan sistem persamaan linear ialah kaedah berdasarkan pengiraan penentu ( Peraturan Cramer). Kelebihannya ialah ia membolehkan anda merekodkan penyelesaian dengan segera, ia amat mudah dalam kes di mana pekali sistem bukan nombor, tetapi beberapa parameter. Kelemahannya ialah kerumitan pengiraan dalam kes sejumlah besar persamaan, lebih-lebih lagi, peraturan Cramer tidak terpakai secara langsung kepada sistem di mana bilangan persamaan tidak bertepatan dengan bilangan yang tidak diketahui. Dalam kes sedemikian, ia biasanya digunakan Kaedah Gauss.

Sistem persamaan linear yang mempunyai set penyelesaian yang sama dipanggil bersamaan. Jelas sekali, set penyelesaian sistem linear tidak akan berubah jika mana-mana persamaan ditukar ganti, atau jika salah satu persamaan didarab dengan beberapa nombor bukan sifar, atau jika satu persamaan ditambah kepada persamaan yang lain.

Kaedah Gauss (kaedah penghapusan berturut-turut yang tidak diketahui) terletak pada hakikat bahawa, dengan bantuan transformasi asas, sistem dikurangkan kepada sistem berperingkat yang setara. Pertama, dengan bantuan persamaan 1, x 1 daripada semua persamaan sistem berikutnya. Kemudian, menggunakan persamaan ke-2, kita hapuskan x 2 daripada persamaan ke-3 dan semua persamaan seterusnya. Proses ini, dipanggil kaedah Gauss langsung, berterusan sehingga hanya tinggal satu yang tidak diketahui di sebelah kiri persamaan terakhir x n. Selepas itu, ia dibuat Gaussian terbalik– menyelesaikan persamaan terakhir, kita dapati x n; selepas itu, menggunakan nilai ini, daripada persamaan kedua-dua kita mengira x n-1 dsb. Terakhir kita jumpa x 1 daripada persamaan pertama.

Adalah mudah untuk menjalankan transformasi Gaussian dengan melakukan transformasi bukan dengan persamaan itu sendiri, tetapi dengan matriks pekalinya. Pertimbangkan matriks:

dipanggil sistem matriks lanjutan, kerana sebagai tambahan kepada matriks utama sistem, ia termasuk lajur ahli percuma. Kaedah Gauss adalah berdasarkan kepada membawa matriks utama sistem kepada bentuk segi tiga (atau bentuk trapezoid dalam kes sistem bukan segi empat sama) menggunakan transformasi baris asas (!) bagi matriks lanjutan sistem.

Contoh 5.1. Selesaikan sistem menggunakan kaedah Gauss:

Penyelesaian. Mari kita tuliskan matriks tambahan sistem dan, menggunakan baris pertama, selepas itu kita akan menetapkan seluruh elemen kepada sifar:

kita mendapat sifar dalam baris ke-2, ke-3 dan ke-4 lajur pertama:

Sekarang kita memerlukan semua elemen dalam lajur kedua di bawah baris ke-2 untuk sama dengan sifar. Untuk melakukan ini, anda boleh mendarabkan baris kedua dengan -4/7 dan menambah pada baris ke-3. Walau bagaimanapun, untuk tidak berurusan dengan pecahan, kami akan mencipta unit di baris ke-2 lajur kedua dan hanya

Sekarang, untuk mendapatkan matriks segi tiga, anda perlu menyifarkan elemen baris keempat lajur ke-3, untuk ini anda boleh mendarabkan baris ketiga dengan 8/54 dan menambahnya pada yang keempat. Walau bagaimanapun, untuk tidak berurusan dengan pecahan, kami akan menukar baris ke-3 dan ke-4 serta lajur ke-3 dan ke-4, dan hanya selepas itu kami akan menetapkan semula elemen yang ditentukan. Ambil perhatian bahawa apabila lajur disusun semula, pembolehubah yang sepadan ditukar, dan ini mesti diingat; transformasi asas lain dengan lajur (penambahan dan pendaraban dengan nombor) tidak boleh dilakukan!

Matriks ringkas terakhir sepadan dengan sistem persamaan yang setara dengan yang asal:

Dari sini, menggunakan laluan terbalik kaedah Gauss, kita dapati daripada persamaan keempat x 3 = -1; daripada yang ketiga x 4 = -2, daripada yang kedua x 2 = 2 dan daripada persamaan pertama x 1 = 1. Dalam bentuk matriks, jawapan ditulis sebagai

Kami telah mempertimbangkan kes apabila sistem adalah pasti, i.e. apabila hanya ada satu penyelesaian. Mari lihat apa yang berlaku jika sistem tidak konsisten atau tidak tentu.

Contoh 5.2. Terokai sistem menggunakan kaedah Gaussian:

Penyelesaian. Kami menulis dan mengubah matriks tambahan sistem

Kami menulis sistem persamaan yang dipermudahkan:

Di sini, dalam persamaan terakhir, ternyata 0=4, i.e. percanggahan. Oleh itu, sistem tidak mempunyai penyelesaian, i.e. dia tidak serasi. à

Contoh 5.3. Teroka dan selesaikan sistem menggunakan kaedah Gaussian:

Penyelesaian. Kami menulis dan mengubah matriks lanjutan sistem:

Hasil daripada penjelmaan, hanya sifar diperoleh dalam baris terakhir. Ini bermakna bilangan persamaan telah berkurangan sebanyak satu:

Oleh itu, selepas penyederhanaan, dua persamaan kekal, dan empat tidak diketahui, i.e. dua "tambahan" yang tidak diketahui. Biarkan "berlebihan", atau, seperti yang mereka katakan, pembolehubah bebas, akan x 3 dan x empat. Kemudian

Andainya x 3 = 2a dan x 4 = b, kita mendapatkan x 2 = 1–a dan x 1 = 2b–a; atau dalam bentuk matriks

Penyelesaian yang ditulis dengan cara ini dipanggil umum, sejak, dengan memberikan parameter a dan b nilai yang berbeza, adalah mungkin untuk menerangkan semua kemungkinan penyelesaian sistem. a

Di sini anda boleh menyelesaikan sistem persamaan linear secara percuma Kaedah Gauss dalam talian saiz besar dalam nombor kompleks dengan penyelesaian yang sangat terperinci. Kalkulator kami boleh menyelesaikan dalam talian kedua-dua sistem persamaan linear tetap dan tak tentu konvensional menggunakan kaedah Gaussian, yang mempunyai bilangan penyelesaian yang tidak terhingga. Dalam kes ini, dalam jawapan anda akan menerima pergantungan beberapa pembolehubah melalui yang lain, yang percuma. Anda juga boleh menyemak sistem persamaan untuk keserasian dalam talian menggunakan penyelesaian Gaussian.

Mengenai kaedah

Apabila menyelesaikan sistem persamaan linear dalam talian dengan kaedah Gauss, langkah-langkah berikut dilakukan.

1. Kami menulis matriks tambahan.
2. Malah, penyelesaiannya dibahagikan kepada langkah ke hadapan dan ke belakang kaedah Gaussian. Pergerakan langsung kaedah Gauss dipanggil pengurangan matriks kepada bentuk berperingkat. Pergerakan terbalik kaedah Gauss ialah pengurangan matriks kepada bentuk berperingkat khas. Tetapi dalam amalan, adalah lebih mudah untuk segera memusnahkan perkara di atas dan di bawah elemen yang dipersoalkan. Kalkulator kami menggunakan pendekatan ini dengan tepat.
3. Adalah penting untuk ambil perhatian bahawa apabila menyelesaikan dengan kaedah Gauss, kehadiran dalam matriks sekurang-kurangnya satu baris sifar dengan sisi kanan bukan sifar (lajur ahli bebas) menunjukkan ketidakkonsistenan sistem. Penyelesaian sistem linear dalam kes ini tidak wujud.

Untuk lebih memahami cara algoritma Gaussian berfungsi dalam talian, masukkan sebarang contoh, pilih "penyelesaian yang sangat terperinci" dan lihat penyelesaiannya dalam talian.