Jadual derivatif piawai. Apakah derivatif

Kursus video "Dapatkan A" merangkumi semua topik yang diperlukan untuk kejayaan lulus peperiksaan dalam matematik sebanyak 60-65 mata. Selesaikan semua tugasan 1-13 Profil USE dalam matematik. Juga sesuai untuk lulus PENGGUNAAN Asas dalam matematik. Jika anda ingin lulus peperiksaan dengan 90-100 mata, anda perlu menyelesaikan bahagian 1 dalam masa 30 minit dan tanpa kesilapan!

Kursus persediaan untuk peperiksaan untuk gred 10-11, dan juga untuk guru. Semua yang anda perlukan untuk menyelesaikan bahagian 1 peperiksaan dalam matematik (12 masalah pertama) dan masalah 13 (trigonometri). Dan ini adalah lebih daripada 70 mata pada Peperiksaan Negeri Bersepadu, dan pelajar seratus mata mahupun seorang humanis tidak boleh melakukannya tanpa mereka.

Semua teori yang diperlukan. Penyelesaian cepat, perangkap dan rahsia peperiksaan. Semua tugasan berkaitan bahagian 1 daripada tugas Bank of FIPI telah dianalisis. Kursus ini mematuhi sepenuhnya keperluan USE-2018.

Kursus ini mengandungi 5 topik besar, 2.5 jam setiap satu. Setiap topik diberikan dari awal, ringkas dan jelas.

Beratus-ratus tugas peperiksaan. Masalah teks dan teori kebarangkalian. Algoritma penyelesaian masalah yang ringkas dan mudah diingati. Geometri. Teori, bahan rujukan, analisis semua jenis tugas USE. Stereometri. Helah licik untuk menyelesaikan, helaian cheat berguna, pembangunan imaginasi spatial. Trigonometri dari awal - ke tugasan 13. Memahami bukannya menjejalkan. Penjelasan visual tentang konsep yang kompleks. Algebra. Akar, kuasa dan logaritma, fungsi dan terbitan. Asas untuk menyelesaikan masalah kompleks bahagian ke-2 peperiksaan.

Dalam pelajaran ini, kita akan belajar cara menggunakan formula dan peraturan pembezaan.

Contoh. Cari terbitan bagi fungsi.

1. y=x 7 +x 5 -x 4 +x 3 -x 2 +x-9. Menggunakan Peraturan saya, formula 4, 2 dan 1. Kita mendapatkan:

y'=7x 6 +5x 4 -4x 3 +3x 2 -2x+1.

2. y=3x6 -2x+5. Kami menyelesaikan dengan cara yang sama, menggunakan formula dan formula yang sama 3.

y’=3∙6x 5 -2=18x 5 -2.

Menggunakan Peraturan saya, formula 3, 5 dan 6 dan 1.

Menggunakan Peraturan IV, formula 5 dan 1 .

Dalam contoh kelima, mengikut peraturan saya terbitan jumlah itu adalah sama dengan jumlah terbitan, dan kami baru menemui terbitan sebutan pertama (contoh 4 ), oleh itu, kita akan mencari derivatif ke-2 dan ke-3 terma, dan untuk 1hb istilah, kita boleh segera menulis hasilnya.

Membezakan ke-2 dan ke-3 istilah mengikut formula 4 . Untuk melakukan ini, kita menukar akar darjah ketiga dan keempat dalam penyebut kepada kuasa dengan eksponen negatif, dan kemudian, mengikut 4 formula, kita dapati derivatif kuasa.

Lihat contoh ini dan hasilnya. Adakah anda menangkap coraknya? Baik. Ini bermakna kami mempunyai formula baharu dan boleh menambahkannya pada jadual terbitan kami.

Mari kita selesaikan contoh keenam dan dapatkan satu lagi formula.

Kami menggunakan peraturan IV dan formula 4 . Kami mengurangkan pecahan yang terhasil.

Kami melihat fungsi ini dan terbitannya. Anda, sudah tentu, memahami corak dan bersedia untuk menamakan formula:

Belajar formula baru!

Contoh.

1. Cari kenaikan hujah dan kenaikan fungsi y= x2 jika nilai awal hujah ialah 4 , dan yang baharu 4,01 .

Penyelesaian.

Nilai hujah baharu x \u003d x 0 + Δx. Gantikan data: 4.01=4+Δx, maka pertambahan hujah Δх=4.01-4=0.01. Kenaikan fungsi, mengikut definisi, adalah sama dengan perbezaan antara nilai baharu dan sebelumnya bagi fungsi tersebut, i.e. Δy \u003d f (x 0 + Δx) - f (x 0). Memandangkan kita mempunyai fungsi y=x2, kemudian Δу\u003d (x 0 + Δx) 2 - (x 0) 2 \u003d (x 0) 2 + 2x 0 · Δx+(Δx) 2 - (x 0) 2 \u003d 2x 0 · ∆x+(∆x) 2 =

2 · 4 · 0,01+(0,01) 2 =0,08+0,0001=0,0801.

Jawapan: pertambahan hujah Δх=0.01; kenaikan fungsi Δу=0,0801.

Ia adalah mungkin untuk mencari kenaikan fungsi dengan cara lain: Δy\u003d y (x 0 + Δx) -y (x 0) \u003d y (4.01) -y (4) \u003d 4.01 2 -4 2 \u003d 16.0801-16 \u003d 0.0801.

2. Cari sudut kecondongan tangen kepada graf fungsi y=f(x) pada titik x 0, jika f "(x 0) \u003d 1.

Penyelesaian.

Nilai terbitan pada titik sentuhan x 0 dan ialah nilai tangen cerun tangen (makna geometri terbitan). Kami ada: f "(x 0) \u003d tgα \u003d 1 → α \u003d 45 °, kerana tg45°=1.

Jawapan: tangen kepada graf fungsi ini membentuk sudut dengan arah positif paksi Lembu, sama dengan 45°.

3. Terbitkan formula untuk terbitan bagi suatu fungsi y=xn.

Pembezaan ialah tindakan mencari terbitan bagi suatu fungsi.

Apabila mencari derivatif, formula digunakan yang diterbitkan berdasarkan takrifan derivatif, dengan cara yang sama seperti kami memperoleh formula untuk darjah derivatif: (x n)" = nx n-1.

Berikut adalah formulanya.

Jadual terbitan ia akan lebih mudah untuk menghafal dengan menyebut rumusan lisan:

1. Terbitan bagi nilai malar ialah sifar.

2. Lejang X adalah sama dengan satu.

3. Faktor malar boleh dikeluarkan daripada tanda terbitan.

4. Terbitan darjah adalah sama dengan hasil darab pangkat ini dengan darjah dengan asas yang sama, tetapi eksponennya kurang satu.

5. Terbitan punca adalah sama dengan satu dibahagikan dengan dua punca yang sama.

6. Terbitan perpaduan dibahagikan dengan x ialah tolak satu dibahagikan dengan x kuasa dua.

7. Terbitan sinus adalah sama dengan kosinus.

8. Terbitan kosinus adalah sama dengan tolak sinus.

9. Terbitan tangen adalah sama dengan satu dibahagikan dengan kuasa dua kosinus.

10. Terbitan bagi kotangen ialah tolak satu dibahagikan dengan kuasa dua sinus.

Kami mengajar peraturan pembezaan.

1. Terbitan bagi hasil tambah algebra adalah sama dengan hasil tambah algebra bagi sebutan terbitan.

2. Terbitan hasil darab adalah sama dengan hasil darab derivatif faktor pertama dengan yang kedua ditambah hasil darab faktor pertama dengan terbitan kedua.

3. Terbitan "y" dibahagikan dengan "ve" adalah sama dengan pecahan, dalam pengangkanya "y ialah lejang didarab dengan "ve" tolak "y, didarab dengan lejang", dan dalam penyebut - "ve kuasa dua. ”.

4. Kes khas formula 3.

Jom belajar sama-sama!

Muka surat 1 daripada 1 1

Pengiraan derivatif sering dijumpai dalam tugasan USE. Halaman ini mengandungi senarai formula untuk mencari derivatif.

Peraturan pembezaan

1. (k⋅f(x))′=k⋅f′(x).
2. (f(x)+g(x))′=f′(x)+g′(x).
3. (f(x)⋅ g(x))′=f′(x)⋅ g(x)+f(x)⋅ g′(x).
4. Terbitan fungsi kompleks. Jika y=F(u) dan u=u(x), maka fungsi y=f(x)=F(u(x)) dipanggil fungsi kompleks bagi x. Sama dengan y′(x)=Fu′⋅ ux′.
5. Terbitan bagi fungsi tersirat. Fungsi y=f(x) dipanggil fungsi tersirat yang diberikan oleh hubungan F(x,y)=0 jika F(x,f(x))≡0.
6. Terbitan bagi fungsi songsang. Jika g(f(x))=x, maka fungsi g(x) dipanggil fungsi songsang untuk fungsi y=f(x).
7. Terbitan bagi fungsi yang diberi secara parametrik. Biarkan x dan y diberikan sebagai fungsi pembolehubah t: x=x(t), y=y(t). Dikatakan bahawa y=y(x) ialah fungsi yang ditakrifkan secara parametrik pada selang x∈ (a;b) jika pada selang ini persamaan x=x(t) boleh dinyatakan sebagai t=t(x) dan fungsi y=y(t(x))=y(x).
8. Terbitan fungsi eksponen. Ia didapati dengan membawa logaritma ke pangkal logaritma asli.

Apakah derivatif?

Jadual terbitan.

Derivatif adalah salah satu konsep utama matematik yang lebih tinggi. Dalam pelajaran ini, kami akan memperkenalkan konsep ini. Mari kita berkenalan, tanpa rumusan dan pembuktian matematik yang ketat.

Pengenalan ini akan membolehkan anda:

Memahami intipati tugasan mudah dengan terbitan;

Selesaikan tugasan yang sangat mudah ini dengan jayanya;

Bersedia untuk pelajaran terbitan yang lebih serius.

Pertama, kejutan yang menyenangkan.

Takrifan derivatif yang ketat adalah berdasarkan teori had, dan perkara itu agak rumit. Ia menjengkelkan. Tetapi aplikasi praktikal derivatif, sebagai peraturan, tidak memerlukan pengetahuan yang begitu luas dan mendalam!

Untuk berjaya menyelesaikan kebanyakan tugas di sekolah dan universiti, sudah cukup untuk mengetahui hanya beberapa istilah- untuk memahami tugas, dan hanya beberapa peraturan- untuk menyelesaikannya. Dan itu sahaja. Ini membuatkan saya gembira.

Bolehkah kita berkenalan antara satu sama lain?)

Terma dan sebutan.

Terdapat banyak operasi matematik dalam matematik asas. Penambahan, penolakan, pendaraban, eksponen, logaritma, dsb. Jika satu lagi operasi ditambah kepada operasi ini, matematik asas menjadi lebih tinggi. Operasi baru ini dipanggil pembezaan. Definisi dan maksud operasi ini akan dibincangkan dalam pelajaran berasingan.

Di sini adalah penting untuk memahami bahawa pembezaan hanyalah operasi matematik fungsi. Kami mengambil sebarang fungsi dan, mengikut peraturan tertentu, mengubahnya. Hasilnya ialah fungsi baharu. Fungsi baru ini dipanggil: terbitan.

Pembezaan- tindakan pada fungsi.

Derivatif adalah hasil daripada tindakan ini.

Sama seperti, contohnya, jumlah adalah hasil penambahan. Ataupun persendirian adalah hasil pembahagian.

Mengetahui istilah, anda sekurang-kurangnya dapat memahami tugasan.) Perkataannya adalah seperti berikut: cari terbitan bagi suatu fungsi; ambil derivatif; membezakan fungsi; mengira derivatif dan lain-lain. itu semua sama. Sudah tentu, terdapat tugas yang lebih kompleks, di mana mencari derivatif (pembezaan) akan menjadi salah satu langkah dalam menyelesaikan tugas.

Derivatif dilambangkan dengan sempang di bahagian atas sebelah kanan di atas fungsi. seperti ini: y" atau f"(x) atau S"(t) dan sebagainya.

membaca lejang y, lejang ef daripada x, lejang daripada te, baik anda faham...)

Perdana juga boleh menunjukkan terbitan bagi fungsi tertentu, contohnya: (2x+3)", (x 3 )" , (sinx)" dan lain-lain. Selalunya derivatif dilambangkan menggunakan pembezaan, tetapi kami tidak akan mempertimbangkan tatatanda sedemikian dalam pelajaran ini.

Katakan kita telah belajar memahami tugasan. Tiada apa-apa lagi - untuk belajar bagaimana untuk menyelesaikannya.) Biar saya ingatkan anda sekali lagi: mencari derivatif ialah transformasi fungsi mengikut peraturan tertentu. Peraturan ini sangat sedikit.

Untuk mencari terbitan fungsi, anda hanya perlu mengetahui tiga perkara. Tiga tiang di mana semua pembezaan terletak. Berikut adalah tiga ikan paus:

1. Jadual derivatif (formula pembezaan).

3. Terbitan bagi fungsi kompleks.

Mari kita mulakan mengikut urutan. Dalam pelajaran ini, kita akan mempertimbangkan jadual derivatif.

Jadual terbitan.

Dunia mempunyai bilangan fungsi yang tidak terhingga. Di antara set ini terdapat fungsi yang paling penting untuk aplikasi praktikal. Fungsi ini terletak dalam semua undang-undang alam. Daripada fungsi ini, seperti dari batu bata, anda boleh membina semua yang lain. Kelas fungsi ini dipanggil fungsi asas. Fungsi-fungsi ini yang dipelajari di sekolah - linear, kuadratik, hiperbola, dll.

Pembezaan fungsi "dari awal", i.e. berdasarkan definisi derivatif dan teori had - perkara yang agak memakan masa. Dan ahli matematik adalah orang juga, ya, ya!) Jadi mereka memudahkan hidup mereka (dan kita). Mereka mengira derivatif fungsi asas sebelum kita. Hasilnya ialah jadual derivatif, di mana semuanya sudah sedia.)

Ini dia, plat ini untuk fungsi yang paling popular. Kiri - fungsi asas, kanan - terbitannya.

	Fungsi y	Terbitan fungsi y y"
1	C (malar)	C" = 0
2	x	x" = 1
3	x n (n ialah sebarang nombor)	(x n)" = nx n-1
	x 2 (n = 2)	(x 2)" = 2x
4	dosa x	(sinx)" = cosx
	kerana x	(cos x)" = - dosa x
	tg x
	ctg x
5	arcsin x
	arccos x
	arctg x
	arcctg x
4	a x
	e x
5	log a x
	ln x ( a = e)

Saya mengesyorkan memberi perhatian kepada kumpulan ketiga fungsi dalam jadual terbitan ini. Derivatif fungsi kuasa ialah salah satu formula yang paling biasa, jika bukan yang paling biasa! Adakah pembayangnya jelas?) Ya, adalah wajar untuk mengetahui jadual terbitan dengan teliti. By the way, ini tidaklah sesukar yang disangka. Cuba selesaikan lebih banyak contoh, jadual itu sendiri akan diingati!)

Mencari nilai jadual terbitan, seperti yang anda faham, bukanlah tugas yang paling sukar. Oleh itu, selalunya dalam tugas sedemikian terdapat cip tambahan. Sama ada dalam rumusan tugas, atau dalam fungsi asal, yang nampaknya tidak ada dalam jadual ...

Mari lihat beberapa contoh:

1. Cari terbitan bagi fungsi y = x 3

Tiada fungsi sedemikian dalam jadual. Tetapi terdapat terbitan umum bagi fungsi kuasa (kumpulan ketiga). Dalam kes kami, n=3. Oleh itu, kami menggantikan tiga kali ganda dan bukannya n dan dengan teliti menulis hasilnya:

(x 3) " = 3 x 3-1 = 3x 2

Itu sahaja yang ada.

Jawapan: y" = 3x 2

2. Cari nilai terbitan bagi fungsi y = sinx pada titik x = 0.

Tugasan ini bermakna anda mesti mencari terbitan sinus dahulu, dan kemudian menggantikan nilainya x = 0 kepada terbitan yang sama ini. Ia dalam susunan itu! Jika tidak, ia berlaku bahawa mereka segera menggantikan sifar ke dalam fungsi asal ... Kami diminta untuk mencari bukan nilai fungsi asal, tetapi nilai terbitannya. Derivatif, biar saya ingatkan anda, sudah pun menjadi fungsi baharu.

Pada plat kita dapati sinus dan terbitan yang sepadan:

y" = (sinx)" = cosx

Gantikan sifar ke dalam terbitan:

y"(0) = cos 0 = 1

Ini akan menjadi jawapannya.

3. Bezakan fungsi:

Apa yang memberi inspirasi?) Tidak ada fungsi seperti itu dalam jadual derivatif.

Izinkan saya mengingatkan anda bahawa untuk membezakan fungsi adalah semata-mata untuk mencari terbitan fungsi ini. Jika anda terlupa trigonometri asas, mencari derivatif fungsi kami agak menyusahkan. Meja tidak membantu...

Tetapi jika kita melihat bahawa fungsi kita adalah kosinus sudut berganda, maka semuanya segera menjadi lebih baik!

Ya Ya! Ingat bahawa penjelmaan fungsi asal sebelum pembezaan agak boleh diterima! Dan ia berlaku untuk menjadikan hidup lebih mudah. Mengikut formula untuk kosinus sudut berganda:

Itu. fungsi rumit kami tidak lain adalah y = cox. Dan ini adalah fungsi jadual. Kami segera mendapat:

Jawapan: y" = - dosa x.

Contoh untuk siswazah lanjutan dan pelajar:

4. Cari terbitan bagi suatu fungsi:

Tiada fungsi sedemikian dalam jadual derivatif, sudah tentu. Tetapi jika anda masih ingat matematik asas, tindakan dengan kuasa... Maka sangat mungkin untuk memudahkan fungsi ini. seperti ini:

Dan x kuasa satu persepuluh sudah menjadi fungsi jadual! Kumpulan ketiga, n=1/10. Terus mengikut formula dan tulis:

Itu sahaja. Ini akan menjadi jawapannya.

Saya berharap dengan ikan paus pembezaan pertama - jadual derivatif - semuanya jelas. Ia kekal untuk berurusan dengan dua ikan paus yang tinggal. AT pelajaran seterusnya mempelajari peraturan pembezaan.