Tiga pilihan untuk melengkapkan pukulan hadapan kaedah Gaussian. Kaedah Gaussian dalam talian

Kaedah Gaussian adalah mudah! kenapa? Ahli matematik Jerman terkenal Johann Carl Friedrich Gauss, semasa hayatnya, menerima pengiktirafan sebagai ahli matematik terhebat sepanjang zaman, seorang genius, dan juga gelaran "Raja Matematik." Dan segala-galanya yang bijak, seperti yang anda tahu, adalah mudah! Ngomong-ngomong, bukan sahaja penghisap mendapat wang, tetapi juga jenius - potret Gauss berada pada wang kertas 10 Deutschmark (sebelum pengenalan euro), dan Gauss masih tersenyum secara misteri kepada orang Jerman dari setem pos biasa.

Kaedah Gauss adalah mudah kerana PENGETAHUAN MURID DARJAH LIMA CUKUP untuk menguasainya. Anda mesti tahu cara menambah dan mendarab! Bukan kebetulan bahawa guru sering mempertimbangkan kaedah pengecualian berurutan yang tidak diketahui dalam elektif matematik sekolah. Ia satu paradoks, tetapi pelajar mendapati kaedah Gaussian paling sukar. Tiada apa-apa yang mengejutkan - ini semua tentang metodologi, dan saya akan cuba bercakap tentang algoritma kaedah dalam bentuk yang boleh diakses.

Pertama, mari kita sistematikkan sedikit pengetahuan tentang sistem persamaan linear. Sistem persamaan linear boleh:

1) Mempunyai penyelesaian yang unik.
2) Mempunyai banyak penyelesaian yang tidak terhingga.
3) Tidak mempunyai penyelesaian (jadi bukan sendi).

Kaedah Gauss ialah alat yang paling berkuasa dan universal untuk mencari penyelesaian mana-mana sistem persamaan linear. Seperti yang kita ingat, Kaedah peraturan dan matriks Cramer tidak sesuai dalam kes di mana sistem mempunyai banyak penyelesaian yang tidak terhingga atau tidak konsisten. Dan kaedah penghapusan berurutan yang tidak diketahui Bagaimanapun akan membawa kita kepada jawapan! Dalam pelajaran ini, kita sekali lagi akan mempertimbangkan kaedah Gauss untuk kes No. 1 (satu-satunya penyelesaian kepada sistem), artikel itu ditumpukan kepada situasi mata No. 2-3. Saya perhatikan bahawa algoritma kaedah itu sendiri berfungsi sama dalam ketiga-tiga kes.

Mari kita kembali kepada sistem yang paling mudah dari pelajaran Bagaimana untuk menyelesaikan sistem persamaan linear?
dan selesaikannya menggunakan kaedah Gaussian.

Langkah pertama ialah menulis matriks sistem lanjutan:
. Saya fikir semua orang boleh melihat dengan prinsip apakah pekali ditulis. Garis menegak di dalam matriks tidak mempunyai apa-apa makna matematik - ia hanyalah coretan untuk memudahkan reka bentuk.

Rujukan :Saya cadangkan anda ingat syarat algebra linear. Matriks Sistem ialah matriks yang hanya terdiri daripada pekali untuk yang tidak diketahui, dalam contoh ini matriks sistem: . Matriks Sistem Lanjutan– ini ialah matriks sistem yang sama ditambah lajur istilah bebas, dalam kes ini: . Untuk ringkasnya, mana-mana matriks boleh dipanggil matriks.

Selepas matriks sistem lanjutan ditulis, perlu melakukan beberapa tindakan dengannya, yang juga dipanggil transformasi asas.

Transformasi asas berikut wujud:

1) rentetan matriks boleh menyusun semula di beberapa tempat. Sebagai contoh, dalam matriks yang sedang dipertimbangkan, anda boleh menyusun semula baris pertama dan kedua tanpa rasa sakit:

2) Jika terdapat (atau telah muncul) baris berkadar (sebagai kes khas - serupa) dalam matriks, maka anda harus padam daripada matriks semua baris ini kecuali satu. Pertimbangkan, sebagai contoh, matriks . Dalam matriks ini, tiga baris terakhir adalah berkadar, jadi cukup untuk meninggalkan hanya satu daripadanya: .

3) Jika baris sifar muncul dalam matriks semasa transformasi, maka ia juga sepatutnya padam. Saya tidak akan melukis, sudah tentu, garis sifar ialah garisan di mana semua sifar.

4) Baris matriks boleh darab (bahagi) kepada sebarang nombor bukan sifar. Pertimbangkan, sebagai contoh, matriks . Di sini adalah dinasihatkan untuk membahagikan baris pertama dengan –3, dan darab baris kedua dengan 2: . Tindakan ini sangat berguna kerana ia memudahkan transformasi selanjutnya matriks.

5) Transformasi ini menyebabkan paling sukar, tetapi sebenarnya tidak ada yang rumit sama ada. Kepada barisan matriks anda boleh tambah satu lagi rentetan yang didarab dengan nombor, berbeza daripada sifar. Mari lihat matriks kami dari contoh praktikal: . Mula-mula saya akan menerangkan transformasi dengan terperinci. Darab baris pertama dengan –2: , Dan ke baris kedua kita tambah baris pertama didarab dengan –2: . Sekarang baris pertama boleh dibahagikan "kembali" dengan –2: . Seperti yang anda lihat, baris yang DITAMBAH LI – tidak berubah. Sentiasa baris KEPADA YANG DITAMBAH berubah UT.

Dalam amalan, sudah tentu, mereka tidak menulisnya secara terperinci, tetapi menulisnya secara ringkas:

Sekali lagi: ke baris kedua menambah baris pertama didarab dengan –2. Garis biasanya didarab secara lisan atau pada draf, dengan proses pengiraan mental berjalan seperti ini:

"Saya menulis semula matriks dan menulis semula baris pertama: »

“Lajur pertama. Di bahagian bawah saya perlu mendapat sifar. Oleh itu, saya mendarabkan yang di bahagian atas dengan –2: , dan menambah yang pertama ke baris kedua: 2 + (–2) = 0. Saya menulis hasilnya dalam baris kedua: »

“Sekarang ruangan kedua. Di bahagian atas, saya darab -1 dengan -2: . Saya menambah yang pertama ke baris kedua: 1 + 2 = 3. Saya menulis hasilnya dalam baris kedua: »

“Dan lajur ketiga. Di bahagian atas saya darab -5 dengan -2: . Saya menambah yang pertama pada baris kedua: –7 + 10 = 3. Saya menulis hasilnya dalam baris kedua: »

Sila fahami contoh ini dengan teliti dan fahami algoritma pengiraan berjujukan, jika anda memahami perkara ini, maka kaedah Gaussian boleh didapati di dalam poket anda. Tetapi, sudah tentu, kami masih akan mengusahakan transformasi ini.

Transformasi asas tidak mengubah penyelesaian sistem persamaan

! PERHATIAN: dianggap manipulasi tak boleh pakai, jika anda ditawarkan tugas di mana matriks diberikan "sendiri". Contohnya, dengan "klasik" operasi dengan matriks Dalam apa jua keadaan, anda tidak boleh menyusun semula apa-apa di dalam matriks!

Mari kembali ke sistem kami. Ia boleh dipecahkan.

Mari kita tuliskan matriks lanjutan sistem dan, menggunakan transformasi asas, kurangkan kepada pandangan melangkah:

(1) Baris pertama ditambah pada baris kedua, didarab dengan –2. Dan sekali lagi: mengapa kita mendarab baris pertama dengan –2? Untuk mendapatkan sifar di bahagian bawah, yang bermaksud menyingkirkan satu pembolehubah dalam baris kedua.

(2) Bahagikan baris kedua dengan 3.

Tujuan transformasi asas – kurangkan matriks kepada bentuk berperingkat: . Dalam reka bentuk tugas, mereka hanya menandakan "tangga" dengan pensil mudah, dan juga membulatkan nombor yang terletak pada "langkah". Istilah "pandangan berperingkat" itu sendiri tidak sepenuhnya teori; dalam kesusasteraan saintifik dan pendidikan ia sering dipanggil pandangan trapezoid atau pandangan segi tiga.

Hasil daripada transformasi asas, kami memperoleh bersamaan sistem persamaan asal:

Kini sistem perlu "dilepaskan" ke arah yang bertentangan - dari bawah ke atas, proses ini dipanggil songsang kaedah Gaussian.

Dalam persamaan yang lebih rendah kita sudah mempunyai hasil siap sedia: .

Mari kita pertimbangkan persamaan pertama sistem dan gantikan nilai "y" yang telah diketahui ke dalamnya:

Mari kita pertimbangkan situasi yang paling biasa, apabila kaedah Gaussian memerlukan penyelesaian sistem tiga persamaan linear dengan tiga tidak diketahui.

Contoh 1

Selesaikan sistem persamaan menggunakan kaedah Gauss:

Mari kita tulis matriks lanjutan sistem:

Sekarang saya akan segera melukis hasil yang akan kami perolehi semasa penyelesaian:

Dan saya ulangi, matlamat kami adalah untuk membawa matriks ke bentuk berperingkat menggunakan transformasi asas. Di mana hendak bermula?

Pertama, lihat nombor kiri atas:

Hampir selalu ada di sini unit. Secara umumnya, -1 (dan kadangkala nombor lain) akan berjaya, tetapi entah bagaimana secara tradisinya berlaku bahawa nombor itu biasanya diletakkan di sana. Bagaimana untuk mengatur unit? Kami melihat lajur pertama - kami mempunyai unit siap! Transformasi satu: tukar baris pertama dan ketiga:

Sekarang baris pertama akan kekal tidak berubah sehingga akhir penyelesaian. Sekarang baik.

Unit di penjuru kiri sebelah atas disusun. Kini anda perlu mendapatkan sifar di tempat ini:

Kami mendapat sifar menggunakan transformasi "sukar". Mula-mula kita berurusan dengan baris kedua (2, -1, 3, 13). Apakah yang perlu dilakukan untuk mendapatkan sifar pada kedudukan pertama? Perlu ke baris kedua tambah baris pertama didarab dengan –2. Secara mental atau pada draf, darab baris pertama dengan –2: (–2, –4, 2, –18). Dan kami secara konsisten melaksanakan (sekali lagi secara mental atau pada draf) tambahan, ke baris kedua kita tambah baris pertama, sudah didarab dengan –2:

Kami menulis hasilnya dalam baris kedua:

Kami berurusan dengan baris ketiga dengan cara yang sama (3, 2, -5, -1). Untuk mendapatkan sifar dalam kedudukan pertama, anda perlukan ke baris ketiga tambah baris pertama didarab dengan –3. Secara mental atau pada draf, darab baris pertama dengan –3: (–3, –6, 3, –27). DAN ke baris ketiga kita tambah baris pertama didarab dengan –3:

Kami menulis hasilnya dalam baris ketiga:

Dalam amalan, tindakan ini biasanya dilakukan secara lisan dan ditulis dalam satu langkah:

Tidak perlu mengira semuanya sekaligus dan pada masa yang sama. Susunan pengiraan dan "menulis dalam" keputusan konsisten dan selalunya begini: mula-mula kita tulis semula baris pertama, dan perlahan-lahan menghembus diri - SECARA KONSISTEN dan SECARA PERHATIAN:

Dan saya telah membincangkan proses mental pengiraan itu sendiri di atas.

Dalam contoh ini, ini mudah dilakukan; kami membahagikan baris kedua dengan –5 (kerana semua nombor di sana boleh dibahagi dengan 5 tanpa baki). Pada masa yang sama, kami membahagikan baris ketiga dengan –2, kerana lebih kecil nombor, lebih mudah penyelesaiannya:

Pada peringkat akhir transformasi asas, anda perlu mendapatkan satu lagi sifar di sini:

Untuk ini ke baris ketiga kita tambah baris kedua didarab dengan –2:

Cuba fikirkan sendiri tindakan ini - darab baris kedua secara mental dengan –2 dan lakukan penambahan.

Tindakan terakhir yang dilakukan ialah gaya rambut hasilnya, bahagikan baris ketiga dengan 3.

Hasil daripada transformasi asas, sistem persamaan linear yang setara telah diperolehi:

Sejuk.

Kini kebalikan kaedah Gaussian mula dimainkan. Persamaan "berehat" dari bawah ke atas.

Dalam persamaan ketiga kita sudah mempunyai hasil sedia:

Mari kita lihat persamaan kedua: . Makna "zet" sudah diketahui, oleh itu:

Dan akhirnya, persamaan pertama: . "Igrek" dan "zet" diketahui, ia hanya soal perkara kecil:

Jawab:

Seperti yang telah dinyatakan beberapa kali, untuk mana-mana sistem persamaan adalah mungkin dan perlu untuk menyemak penyelesaian yang ditemui, mujurlah, ini mudah dan cepat.

Contoh 2

Ini adalah contoh untuk penyelesaian bebas, sampel reka bentuk akhir dan jawapan pada akhir pelajaran.

Perlu diingatkan bahawa anda kemajuan keputusan mungkin tidak bertepatan dengan proses keputusan saya, dan ini adalah ciri kaedah Gauss. Tetapi jawapannya mesti sama!

Contoh 3

Selesaikan sistem persamaan linear menggunakan kaedah Gauss

Mari kita tuliskan matriks lanjutan sistem dan, menggunakan penjelmaan asas, bawa ia ke bentuk berperingkat:

Kami melihat "langkah" kiri atas. Kita sepatutnya mempunyai satu di sana. Masalahnya ialah tiada unit dalam lajur pertama sama sekali, jadi menyusun semula baris tidak akan menyelesaikan apa-apa. Dalam kes sedemikian, unit mesti disusun menggunakan transformasi asas. Ini biasanya boleh dilakukan dalam beberapa cara. Saya melakukan ini:
(1) Pada baris pertama kita tambahkan baris kedua, didarab dengan –1. Iaitu, kami secara mental mendarabkan baris kedua dengan –1 dan menambah baris pertama dan kedua, manakala baris kedua tidak berubah.

Sekarang di bahagian atas sebelah kiri terdapat "tolak satu", yang sesuai dengan kita. Sesiapa sahaja yang ingin mendapatkan +1 boleh melakukan pergerakan tambahan: darab baris pertama dengan –1 (tukar tandanya).

(2) Baris pertama didarab dengan 5 telah ditambah pada baris kedua. Baris pertama didarab dengan 3 telah ditambah pada baris ketiga.

(3) Baris pertama didarab dengan –1, pada dasarnya, ini adalah untuk kecantikan. Tanda baris ketiga juga ditukar dan ia dipindahkan ke tempat kedua, supaya pada "langkah" kedua kami mempunyai unit yang diperlukan.

(4) Baris kedua ditambahkan pada baris ketiga, didarab dengan 2.

(5) Baris ketiga dibahagikan dengan 3.

Tanda buruk yang menunjukkan ralat dalam pengiraan (lebih jarang, kesilapan menaip) ialah garis bawah "buruk". Iaitu, jika kita mendapat sesuatu seperti , di bawah, dan, sewajarnya, , maka dengan tahap kebarangkalian yang tinggi kita boleh mengatakan bahawa ralat telah dibuat semasa transformasi asas.

Kami mengecas sebaliknya, dalam reka bentuk contoh mereka sering tidak menulis semula sistem itu sendiri, tetapi persamaan "diambil terus dari matriks yang diberikan." Lejang terbalik, saya ingatkan anda, berfungsi dari bawah ke atas. Ya, inilah hadiahnya:

Jawab: .

Contoh 4

Selesaikan sistem persamaan linear menggunakan kaedah Gauss

Ini adalah contoh untuk anda selesaikan sendiri, ia agak rumit. Tidak mengapa jika ada yang keliru. Reka bentuk penyelesaian dan sampel penuh pada akhir pelajaran. Penyelesaian anda mungkin berbeza daripada penyelesaian saya.

Pada bahagian terakhir kita akan melihat beberapa ciri algoritma Gaussian.
Ciri pertama ialah kadangkala beberapa pembolehubah hilang daripada persamaan sistem, contohnya:

Bagaimana untuk menulis matriks sistem lanjutan dengan betul? Saya sudah bercakap tentang perkara ini di dalam kelas. Peraturan Cramer. Kaedah matriks. Dalam matriks lanjutan sistem, kami meletakkan sifar sebagai ganti pembolehubah yang hilang:

Ngomong-ngomong, ini adalah contoh yang agak mudah, kerana lajur pertama sudah mempunyai satu sifar, dan terdapat lebih sedikit transformasi asas untuk dilakukan.

Ciri kedua ialah ini. Dalam semua contoh yang dipertimbangkan, kami meletakkan sama ada -1 atau +1 pada "langkah". Mungkinkah ada nombor lain di sana? Dalam beberapa kes mereka boleh. Pertimbangkan sistem: .

Di sini di sebelah kiri atas "langkah" kita mempunyai dua. Tetapi kita perhatikan hakikat bahawa semua nombor dalam lajur pertama boleh dibahagikan dengan 2 tanpa baki - dan satu lagi ialah dua dan enam. Dan dua di kiri atas akan sesuai dengan kita! Dalam langkah pertama, anda perlu melakukan transformasi berikut: tambah baris pertama didarab dengan –1 ke baris kedua; ke baris ketiga tambah baris pertama didarab dengan –3. Dengan cara ini kita akan mendapat sifar yang diperlukan dalam lajur pertama.

Atau contoh konvensional lain: . Di sini tiga pada "langkah" kedua juga sesuai dengan kita, kerana 12 (tempat di mana kita perlu mendapatkan sifar) boleh dibahagikan dengan 3 tanpa baki. Ia adalah perlu untuk menjalankan transformasi berikut: tambah baris kedua ke baris ketiga, didarab dengan -4, akibatnya sifar yang kita perlukan akan diperolehi.

Kaedah Gauss adalah universal, tetapi terdapat satu keanehan. Anda dengan yakin boleh belajar menyelesaikan sistem menggunakan kaedah lain (kaedah Cramer, kaedah matriks) secara literal pada kali pertama - mereka mempunyai algoritma yang sangat ketat. Tetapi untuk merasa yakin dengan kaedah Gaussian, anda perlu menguasainya dan menyelesaikan sekurang-kurangnya 5-10 sistem. Oleh itu, pada mulanya mungkin terdapat kekeliruan dan kesilapan dalam pengiraan, dan tidak ada yang luar biasa atau tragis tentang ini.

Cuaca musim luruh hujan di luar tingkap.... Oleh itu, untuk semua orang yang mahukan contoh yang lebih kompleks untuk diselesaikan sendiri:

Contoh 5

Selesaikan sistem empat persamaan linear dengan empat tidak diketahui menggunakan kaedah Gauss.

Tugas sedemikian tidak begitu jarang dalam amalan. Saya fikir walaupun teko yang telah mengkaji halaman ini dengan teliti akan memahami algoritma untuk menyelesaikan sistem sedemikian secara intuitif. Pada asasnya, semuanya adalah sama - hanya terdapat lebih banyak tindakan.

Kes apabila sistem tidak mempunyai penyelesaian (tidak konsisten) atau mempunyai banyak penyelesaian yang tidak terhingga dibincangkan dalam pelajaran Sistem dan sistem tidak serasi dengan penyelesaian umum. Di sana anda boleh membetulkan algoritma kaedah Gaussian yang dipertimbangkan.

Semoga anda berjaya!

Penyelesaian dan jawapan:

Contoh 2: Penyelesaian : Mari kita tuliskan matriks lanjutan sistem dan, menggunakan penjelmaan asas, bawa ia ke bentuk berperingkat.

Transformasi asas dilakukan:
(1) Baris pertama ditambah pada baris kedua, didarab dengan –2. Baris pertama ditambah pada baris ketiga, didarab dengan -1. Perhatian! Di sini anda mungkin tergoda untuk menolak yang pertama dari baris ketiga; Saya sangat mengesyorkan agar tidak menolaknya - risiko ralat meningkat dengan ketara. Lipat sahaja!
(2) Tanda baris kedua telah ditukar (didarab dengan –1). Baris kedua dan ketiga telah ditukar. Nota, bahawa pada "langkah" kita berpuas hati bukan sahaja dengan satu, tetapi juga dengan -1, yang lebih mudah.
(3) Baris kedua ditambah pada baris ketiga, didarab dengan 5.
(4) Tanda baris kedua telah diubah (didarab dengan –1). Baris ketiga dibahagikan dengan 14.

terbalik:

Jawab: .

Contoh 4: Penyelesaian : Mari kita tuliskan matriks lanjutan sistem dan, menggunakan penjelmaan asas, bawa ia ke bentuk berperingkat:

Penukaran dilakukan:
(1) Baris kedua telah ditambahkan pada baris pertama. Oleh itu, unit yang dikehendaki disusun di sebelah kiri atas "langkah".
(2) Baris pertama didarab dengan 7 telah ditambah pada baris kedua. Baris pertama didarab dengan 6 ditambah kepada baris ketiga.

Dengan "langkah" kedua semuanya menjadi lebih teruk , "calon" untuknya ialah nombor 17 dan 23, dan kami memerlukan sama ada satu atau –1. Transformasi (3) dan (4) akan bertujuan untuk mendapatkan unit yang dikehendaki

(3) Baris kedua ditambah pada baris ketiga, didarab dengan –1.
(4) Baris ketiga ditambah pada baris kedua, didarab dengan –3.
(3) Baris kedua ditambah pada baris ketiga, didarab dengan 4. Baris kedua ditambah pada baris keempat, didarab dengan –1.
(4) Tanda baris kedua telah ditukar. Baris keempat dibahagikan dengan 3 dan diletakkan di tempat baris ketiga.
(5) Baris ketiga ditambah kepada baris keempat, didarab dengan –5.

terbalik:

Dalam artikel ini, kaedah ini dianggap sebagai kaedah untuk menyelesaikan sistem persamaan linear (SLAE). Kaedah ini adalah analitikal, iaitu, ia membolehkan anda menulis algoritma penyelesaian dalam bentuk umum, dan kemudian menggantikan nilai dari contoh khusus di sana. Tidak seperti kaedah matriks atau formula Cramer, apabila menyelesaikan sistem persamaan linear menggunakan kaedah Gauss, anda juga boleh bekerja dengan penyelesaian yang mempunyai bilangan penyelesaian yang tidak terhingga. Atau mereka tidak memilikinya sama sekali.

Apakah yang dimaksudkan untuk menyelesaikan menggunakan kaedah Gaussian?

Pertama, kita perlu menulis sistem persamaan kita dalam Ia kelihatan seperti ini. Ambil sistem:

Pekali ditulis dalam bentuk jadual, dan istilah bebas ditulis dalam lajur berasingan di sebelah kanan. Lajur dengan istilah bebas dipisahkan untuk kemudahan. Matriks yang merangkumi lajur ini dipanggil dilanjutkan.

Seterusnya, matriks utama dengan pekali mesti dikurangkan kepada bentuk segi tiga atas. Ini adalah perkara utama untuk menyelesaikan sistem menggunakan kaedah Gaussian. Ringkasnya, selepas manipulasi tertentu, matriks harus kelihatan supaya bahagian kiri bawahnya hanya mengandungi sifar:

Kemudian, jika anda menulis semula matriks baharu sebagai sistem persamaan, anda akan perasan bahawa baris terakhir sudah mengandungi nilai salah satu punca, yang kemudiannya digantikan dengan persamaan di atas, punca lain ditemui, dan seterusnya.

Ini adalah perihalan penyelesaian dengan kaedah Gaussian dalam istilah yang paling umum. Apa yang berlaku jika tiba-tiba sistem tidak mempunyai penyelesaian? Atau adakah terdapat banyak daripada mereka? Untuk menjawab ini dan banyak soalan lain, adalah perlu untuk mempertimbangkan secara berasingan semua elemen yang digunakan dalam menyelesaikan kaedah Gaussian.

Matriks, sifatnya

Tiada makna tersembunyi dalam matriks. Ini hanyalah cara mudah untuk merekod data untuk operasi seterusnya dengannya. Malah pelajar sekolah tidak perlu takut dengan mereka.

Matriks sentiasa segi empat tepat, kerana ia lebih mudah. Walaupun dalam kaedah Gauss, di mana segala-galanya datang untuk membina matriks bentuk segi tiga, segi empat tepat muncul dalam entri, hanya dengan sifar di tempat yang tiada nombor. Sifar mungkin tidak ditulis, tetapi ia tersirat.

Matriks mempunyai saiz. "Lebar"nya ialah bilangan baris (m), "panjang" ialah bilangan lajur (n). Kemudian saiz matriks A (huruf Latin besar biasanya digunakan untuk menandakannya) akan dilambangkan sebagai A m×n. Jika m=n, maka matriks ini adalah segi empat sama, dan m=n ialah susunannya. Sehubungan itu, sebarang unsur matriks A boleh dilambangkan dengan nombor baris dan lajurnya: a xy ; x - nombor baris, perubahan, y - nombor lajur, perubahan.

B bukan perkara utama keputusan. Pada dasarnya, semua operasi boleh dilakukan secara langsung dengan persamaan itu sendiri, tetapi notasi akan menjadi lebih rumit, dan lebih mudah untuk dikelirukan di dalamnya.

Penentu

Matriks juga mempunyai penentu. Ini adalah ciri yang sangat penting. Tidak perlu mengetahui maksudnya sekarang; anda hanya boleh menunjukkan cara ia dikira, dan kemudian memberitahu sifat matriks yang ditentukannya. Cara paling mudah untuk mencari penentu adalah melalui pepenjuru. pepenjuru khayalan dilukis dalam matriks; unsur-unsur yang terletak pada setiap daripada mereka didarabkan, dan kemudian produk yang dihasilkan ditambah: pepenjuru dengan cerun ke kanan - dengan tanda tambah, dengan cerun ke kiri - dengan tanda tolak.

Adalah amat penting untuk diperhatikan bahawa penentu hanya boleh dikira untuk matriks segi empat sama. Untuk matriks segi empat tepat, anda boleh melakukan perkara berikut: pilih yang terkecil daripada bilangan baris dan bilangan lajur (biarlah k), dan kemudian tandakan secara rawak k lajur dan k baris dalam matriks. Unsur-unsur di persimpangan lajur dan baris yang dipilih akan membentuk matriks persegi baharu. Jika penentu bagi matriks sedemikian ialah nombor bukan sifar, ia dipanggil minor asas bagi matriks segi empat tepat asal.

Sebelum anda mula menyelesaikan sistem persamaan menggunakan kaedah Gaussian, tidak ada salahnya untuk mengira penentu. Jika ternyata sifar, maka kita boleh dengan segera mengatakan bahawa matriks mempunyai sama ada bilangan penyelesaian yang tidak terhingga atau tiada sama sekali. Dalam kes yang menyedihkan, anda perlu pergi lebih jauh dan mengetahui tentang pangkat matriks.

Pengelasan sistem

Terdapat perkara seperti pangkat matriks. Ini ialah susunan maksimum penentu bukan sifarnya (jika kita ingat tentang asas minor, kita boleh mengatakan bahawa pangkat matriks ialah susunan asas minor).

Berdasarkan situasi dengan pangkat, SLAE boleh dibahagikan kepada:

sendi. U Dalam sistem gabungan, pangkat matriks utama (hanya terdiri daripada pekali) bertepatan dengan pangkat matriks lanjutan (dengan lajur istilah bebas). Sistem sedemikian mempunyai penyelesaian, tetapi tidak semestinya satu, oleh itu, sistem sendi tambahan dibahagikan kepada:
- pasti- mempunyai penyelesaian tunggal. Dalam sistem tertentu, pangkat matriks dan bilangan yang tidak diketahui (atau bilangan lajur, yang merupakan perkara yang sama) adalah sama;
- tidak ditentukan - dengan bilangan penyelesaian yang tidak terhingga. Kedudukan matriks dalam sistem sedemikian adalah kurang daripada bilangan yang tidak diketahui.
Tidak serasi. U Dalam sistem sedemikian, pangkat matriks utama dan lanjutan tidak bertepatan. Sistem yang tidak serasi tidak mempunyai penyelesaian.

Kaedah Gauss adalah baik kerana semasa penyelesaian ia membolehkan seseorang memperoleh sama ada bukti yang tidak jelas tentang ketidakkonsistenan sistem (tanpa mengira penentu matriks besar), atau penyelesaian dalam bentuk umum untuk sistem dengan bilangan penyelesaian yang tidak terhingga.

Transformasi asas

Sebelum meneruskan terus untuk menyelesaikan sistem, anda boleh menjadikannya kurang rumit dan lebih mudah untuk pengiraan. Ini dicapai melalui transformasi asas - supaya pelaksanaannya tidak mengubah jawapan akhir dalam apa jua cara. Perlu diingatkan bahawa beberapa transformasi asas yang diberikan hanya sah untuk matriks, yang mana sumbernya ialah SLAE. Berikut ialah senarai transformasi ini:

Menyusun semula baris. Jelas sekali, jika anda menukar susunan persamaan dalam rekod sistem, ini tidak akan menjejaskan penyelesaian dalam apa cara sekalipun. Akibatnya, baris dalam matriks sistem ini juga boleh ditukar, tidak lupa, sudah tentu, lajur istilah bebas.
Mendarab semua elemen rentetan dengan pekali tertentu. Sangat membantu! Ia boleh digunakan untuk mengurangkan bilangan besar dalam matriks atau mengeluarkan sifar. Banyak keputusan, seperti biasa, tidak akan berubah, tetapi operasi selanjutnya akan menjadi lebih mudah. Perkara utama ialah pekali tidak sama dengan sifar.
Mengalih keluar baris dengan faktor berkadar. Ini sebahagiannya mengikuti perenggan sebelumnya. Jika dua atau lebih baris dalam matriks mempunyai pekali berkadar, maka apabila salah satu baris didarab/dibahagikan dengan pekali perkadaran, dua (atau, sekali lagi, lebih) baris yang sama mutlak diperoleh, dan yang tambahan boleh dikeluarkan, meninggalkan hanya satu.
Mengalih keluar garisan nol. Jika, semasa transformasi, satu baris diperoleh di suatu tempat di mana semua elemen, termasuk istilah bebas, adalah sifar, maka baris tersebut boleh dipanggil sifar dan dibuang keluar dari matriks.
Menambah pada elemen satu baris elemen yang lain (dalam lajur yang sepadan), didarab dengan pekali tertentu. Transformasi yang paling tidak jelas dan paling penting dari semuanya. Ia bernilai memikirkannya dengan lebih terperinci.

Menambah rentetan didarab dengan faktor

Untuk memudahkan pemahaman, proses ini patut dipecahkan langkah demi langkah. Dua baris diambil daripada matriks:

a 11 a 12 ... a 1n | b1

a 21 a 22 ... a 2n | b 2

Katakan anda perlu menambah yang pertama kepada yang kedua, didarab dengan pekali "-2".

a" 21 = a 21 + -2×a 11

a" 22 = a 22 + -2×a 12

a" 2n = a 2n + -2×a 1n

Kemudian baris kedua dalam matriks digantikan dengan yang baru, dan yang pertama kekal tidak berubah.

a 11 a 12 ... a 1n | b1

a" 21 a" 22 ... a" 2n | b 2

Perlu diingatkan bahawa pekali pendaraban boleh dipilih sedemikian rupa sehingga, sebagai hasil daripada menambah dua baris, salah satu elemen baris baru adalah sama dengan sifar. Oleh itu, adalah mungkin untuk mendapatkan persamaan dalam sistem di mana terdapat satu persamaan yang kurang diketahui. Dan jika anda mendapat dua persamaan sedemikian, maka operasi boleh dilakukan semula dan mendapatkan persamaan yang akan mengandungi dua kurang tidak diketahui. Dan jika setiap kali anda menukar satu pekali semua baris yang berada di bawah yang asal kepada sifar, maka anda boleh, seperti tangga, turun ke bahagian paling bawah matriks dan mendapatkan persamaan dengan satu yang tidak diketahui. Ini dipanggil menyelesaikan sistem menggunakan kaedah Gaussian.

Secara umum

Biar ada sistem. Ia mempunyai m persamaan dan n punca yang tidak diketahui. Anda boleh menulisnya seperti berikut:

Matriks utama disusun daripada pekali sistem. Lajur istilah bebas ditambahkan pada matriks lanjutan dan, untuk kemudahan, dipisahkan dengan garis.

baris pertama matriks didarab dengan pekali k = (-a 21 /a 11);
baris pertama diubah suai dan baris kedua matriks ditambah;
bukannya baris kedua, hasil penambahan daripada perenggan sebelumnya dimasukkan ke dalam matriks;
kini pekali pertama dalam baris kedua baharu ialah 11 × (-a 21 /a 11) + a 21 = -a 21 + a 21 = 0.

Kini siri transformasi yang sama dilakukan, hanya baris pertama dan ketiga yang terlibat. Oleh itu, pada setiap langkah algoritma, elemen a 21 digantikan dengan 31. Kemudian semuanya diulang untuk 41, ... a m1. Hasilnya ialah matriks di mana elemen pertama dalam baris adalah sifar. Kini anda perlu melupakan baris nombor satu dan melakukan algoritma yang sama, bermula dari baris dua:

pekali k = (-a 32 /a 22);
baris kedua yang diubah suai ditambah pada baris "semasa";
hasil penambahan digantikan ke dalam baris ketiga, keempat, dan seterusnya, manakala yang pertama dan kedua kekal tidak berubah;
dalam baris matriks dua elemen pertama sudah sama dengan sifar.

Algoritma mesti diulang sehingga pekali k = (-a m,m-1 /a mm) muncul. Ini bermakna kali terakhir algoritma dilaksanakan hanya untuk persamaan yang lebih rendah. Kini matriks kelihatan seperti segi tiga, atau mempunyai bentuk bertingkat. Di bahagian bawah terdapat kesamaan a mn × x n = b m. Pekali dan sebutan bebas diketahui, dan puncanya dinyatakan melaluinya: x n = b m /a mn. Punca yang terhasil digantikan ke baris atas untuk mencari x n-1 = (b m-1 - a m-1,n ×(b m /a mn))÷a m-1,n-1. Dan seterusnya dengan analogi: dalam setiap baris seterusnya terdapat akar baru, dan, setelah mencapai "atas" sistem, anda boleh mencari banyak penyelesaian. Ia akan menjadi satu-satunya.

Apabila tiada penyelesaian

Jika dalam salah satu baris matriks semua elemen kecuali istilah bebas adalah sama dengan sifar, maka persamaan yang sepadan dengan baris ini kelihatan seperti 0 = b. Ia tidak mempunyai penyelesaian. Dan oleh kerana persamaan sedemikian dimasukkan ke dalam sistem, maka set penyelesaian keseluruhan sistem adalah kosong, iaitu, ia merosot.

Apabila terdapat bilangan penyelesaian yang tidak terhingga

Ia mungkin berlaku bahawa dalam matriks segi tiga yang diberikan tidak ada baris dengan satu elemen pekali persamaan dan satu sebutan bebas. Terdapat hanya baris yang, apabila ditulis semula, akan kelihatan seperti persamaan dengan dua atau lebih pembolehubah. Ini bermakna sistem mempunyai bilangan penyelesaian yang tidak terhingga. Dalam kes ini, jawapan boleh diberikan dalam bentuk penyelesaian umum. Bagaimana hendak melakukannya?

Semua pembolehubah dalam matriks dibahagikan kepada asas dan bebas. Yang asas ialah yang berdiri "di tepi" baris dalam matriks langkah. Selebihnya percuma. Dalam penyelesaian umum, pembolehubah asas ditulis melalui yang bebas.

Untuk kemudahan, matriks pertama kali ditulis semula ke dalam sistem persamaan. Kemudian pada yang terakhir daripada mereka, di mana hanya terdapat satu pembolehubah asas yang tinggal, ia kekal di satu pihak, dan segala-galanya dipindahkan ke yang lain. Ini dilakukan untuk setiap persamaan dengan satu pembolehubah asas. Kemudian, dalam persamaan yang tinggal, jika boleh, ungkapan yang diperoleh untuknya digantikan dan bukannya pembolehubah asas. Jika hasilnya sekali lagi merupakan ungkapan yang mengandungi hanya satu pembolehubah asas, ia sekali lagi dinyatakan dari sana, dan seterusnya, sehingga setiap pembolehubah asas ditulis sebagai ungkapan dengan pembolehubah bebas. Ini ialah penyelesaian umum SLAE.

Anda juga boleh mencari penyelesaian asas sistem - berikan pembolehubah bebas sebarang nilai, dan kemudian untuk kes khusus ini hitung nilai pembolehubah asas. Terdapat bilangan penyelesaian tertentu yang tidak terhingga yang boleh diberikan.

Penyelesaian dengan contoh khusus

Berikut adalah sistem persamaan.

Untuk kemudahan, lebih baik untuk segera membuat matriksnya

Adalah diketahui bahawa apabila diselesaikan dengan kaedah Gaussian, persamaan yang sepadan dengan baris pertama akan kekal tidak berubah pada akhir transformasi. Oleh itu, ia akan menjadi lebih menguntungkan jika elemen kiri atas matriks adalah yang terkecil - maka elemen pertama baris yang tinggal selepas operasi akan bertukar kepada sifar. Ini bermakna bahawa dalam matriks yang disusun adalah berfaedah untuk meletakkan baris kedua di tempat yang pertama.

baris kedua: k = (-a 21 /a 11) = (-3/1) = -3

a" 21 = a 21 + k×a 11 = 3 + (-3)×1 = 0

a" 22 = a 22 + k×a 12 = -1 + (-3)×2 = -7

a" 23 = a 23 + k×a 13 = 1 + (-3)×4 = -11

b" 2 = b 2 + k×b 1 = 12 + (-3)×12 = -24

baris ketiga: k = (-a 3 1 /a 11) = (-5/1) = -5

a" 3 1 = a 3 1 + k×a 11 = 5 + (-5)×1 = 0

a" 3 2 = a 3 2 + k×a 12 = 1 + (-5)×2 = -9

a" 3 3 = a 33 + k×a 13 = 2 + (-5)×4 = -18

b" 3 = b 3 + k×b 1 = 3 + (-5)×12 = -57

Sekarang, untuk tidak keliru, anda perlu menulis matriks dengan hasil perantaraan transformasi.

Jelas sekali, matriks sedemikian boleh dibuat lebih mudah untuk persepsi menggunakan operasi tertentu. Sebagai contoh, anda boleh mengalih keluar semua "tolak" daripada baris kedua dengan mendarab setiap elemen dengan "-1".

Perlu juga diperhatikan bahawa dalam baris ketiga semua elemen adalah gandaan tiga. Kemudian anda boleh memendekkan rentetan dengan nombor ini, mendarabkan setiap elemen dengan "-1/3" (tolak - pada masa yang sama, untuk mengalih keluar nilai negatif).

Nampak lebih cantik. Sekarang kita perlu meninggalkan baris pertama sahaja dan bekerja dengan baris kedua dan ketiga. Tugasnya ialah menambah baris kedua ke baris ketiga, didarab dengan pekali sedemikian sehingga unsur a 32 menjadi sama dengan sifar.

k = (-a 32 /a 22) = (-3/7) = -3/7 (jika semasa beberapa transformasi jawapan tidak menjadi integer, adalah disyorkan untuk mengekalkan ketepatan pengiraan untuk meninggalkan ia "seadanya", dalam bentuk pecahan biasa, dan hanya selepas itu, apabila jawapan diterima, tentukan sama ada untuk membundarkan dan menukar kepada bentuk rakaman lain)

a" 32 = a 32 + k×a 22 = 3 + (-3/7)×7 = 3 + (-3) = 0

a" 33 = a 33 + k×a 23 = 6 + (-3/7)×11 = -9/7

b" 3 = b 3 + k×b 2 = 19 + (-3/7)×24 = -61/7

Matriks ditulis semula dengan nilai baru.

1	2	4	12
0	7	11	24
0	0	-9/7	-61/7

Seperti yang anda lihat, matriks yang terhasil sudah mempunyai bentuk berperingkat. Oleh itu, transformasi lanjut sistem menggunakan kaedah Gaussian tidak diperlukan. Apa yang boleh anda lakukan di sini ialah mengalih keluar pekali keseluruhan "-1/7" daripada baris ketiga.

Sekarang semuanya cantik. Apa yang perlu dilakukan ialah menulis semula matriks dalam bentuk sistem persamaan dan mengira punca

x + 2y + 4z = 12 (1)

7y + 11z = 24 (2)

Algoritma yang mana akar kini akan ditemui dipanggil langkah terbalik dalam kaedah Gaussian. Persamaan (3) mengandungi nilai z:

y = (24 - 11×(61/9))/7 = -65/9

Dan persamaan pertama membolehkan kita mencari x:

x = (12 - 4z - 2y)/1 = 12 - 4×(61/9) - 2×(-65/9) = -6/9 = -2/3

Kami mempunyai hak untuk memanggil gabungan sistem sedemikian, dan juga pasti, iaitu, mempunyai penyelesaian yang unik. Jawapannya ditulis dalam bentuk berikut:

x 1 = -2/3, y = -65/9, z = 61/9.

Contoh sistem yang tidak pasti

Varian penyelesaian sistem tertentu menggunakan kaedah Gauss telah dianalisis; kini adalah perlu untuk mempertimbangkan kes jika sistem itu tidak pasti, iaitu, banyak penyelesaian yang tidak terhingga boleh didapati untuknya.

x 1 + x 2 + x 3 + x 4 + x 5 = 7 (1)

3x 1 + 2x 2 + x 3 + x 4 - 3x 5 = -2 (2)

x 2 + 2x 3 + 2x 4 + 6x 5 = 23 (3)

5x 1 + 4x 2 + 3x 3 + 3x 4 - x 5 = 12 (4)

Penampilan sistem sudah membimbangkan, kerana bilangan yang tidak diketahui ialah n = 5, dan pangkat matriks sistem sudah betul-betul kurang daripada nombor ini, kerana bilangan baris adalah m = 4, iaitu, susunan terbesar bagi segi empat sama penentu ialah 4. Ini bermakna terdapat bilangan penyelesaian yang tidak terhingga, dan anda perlu mencari rupa umumnya. Kaedah Gauss untuk persamaan linear membolehkan anda melakukan ini.

Pertama, seperti biasa, matriks lanjutan disusun.

Baris kedua: pekali k = (-a 21 /a 11) = -3. Dalam baris ketiga, elemen pertama adalah sebelum transformasi, jadi anda tidak perlu menyentuh apa-apa, anda perlu membiarkannya seperti sedia ada. Baris keempat: k = (-a 4 1 /a 11) = -5

Dengan mendarab unsur-unsur baris pertama dengan setiap pekalinya secara bergilir-gilir dan menambahkannya pada baris yang diperlukan, kami memperoleh matriks dalam bentuk berikut:

Seperti yang anda lihat, baris kedua, ketiga dan keempat terdiri daripada elemen yang berkadar antara satu sama lain. Yang kedua dan keempat biasanya sama, jadi salah satu daripadanya boleh dialih keluar serta-merta, dan yang selebihnya boleh didarab dengan pekali "-1" dan dapatkan nombor baris 3. Dan sekali lagi, daripada dua baris yang sama, tinggalkan satu.

Hasilnya adalah matriks seperti ini. Walaupun sistem masih belum ditulis, adalah perlu untuk menentukan pembolehubah asas di sini - yang berdiri pada pekali a 11 = 1 dan a 22 = 1, dan yang bebas - semua yang lain.

Dalam persamaan kedua terdapat hanya satu pembolehubah asas - x 2. Ini bermakna ia boleh dinyatakan dari sana dengan menulisnya melalui pembolehubah x 3 , x 4 , x 5 , yang bebas.

Kami menggantikan ungkapan yang terhasil ke dalam persamaan pertama.

Hasilnya ialah persamaan di mana satu-satunya pembolehubah asas ialah x 1 . Mari kita lakukan perkara yang sama dengannya seperti dengan x 2.

Semua pembolehubah asas, yang mana terdapat dua, dinyatakan dalam sebutan tiga pembolehubah percuma; kini kita boleh menulis jawapan dalam bentuk umum.

Anda juga boleh menentukan salah satu daripada penyelesaian tertentu sistem. Untuk kes sedemikian, sifar biasanya dipilih sebagai nilai untuk pembolehubah bebas. Maka jawapannya ialah:

16, 23, 0, 0, 0.

Contoh sistem bukan koperasi

Menyelesaikan sistem persamaan yang tidak serasi menggunakan kaedah Gauss adalah yang paling cepat. Ia tamat serta-merta sebaik sahaja pada salah satu peringkat diperoleh persamaan yang tidak mempunyai penyelesaian. Iaitu, peringkat pengiraan akar, yang agak panjang dan membosankan, dihapuskan. Sistem berikut dipertimbangkan:

x + y - z = 0 (1)

2x - y - z = -2 (2)

4x + y - 3z = 5 (3)

Seperti biasa, matriks disusun:

1	1	-1	0
2	-1	-1	-2
4	1	-3	5

Dan ia dikurangkan kepada bentuk berperingkat:

k 1 = -2k 2 = -4

1	1	-1	0
0	-3	1	-2
0	0	0	7

Selepas penjelmaan pertama, baris ketiga mengandungi persamaan bentuk

tanpa penyelesaian. Akibatnya, sistem tidak konsisten, dan jawapannya adalah set kosong.

Kebaikan dan keburukan kaedah

Jika anda memilih kaedah untuk menyelesaikan SLAE di atas kertas dengan pen, maka kaedah yang dibincangkan dalam artikel ini kelihatan paling menarik. Adalah lebih sukar untuk dikelirukan dalam transformasi asas daripada jika anda perlu mencari secara manual untuk penentu atau beberapa matriks songsang yang rumit. Walau bagaimanapun, jika anda menggunakan program untuk bekerja dengan data jenis ini, sebagai contoh, hamparan, maka ternyata program tersebut sudah mengandungi algoritma untuk mengira parameter utama matriks - penentu, minor, songsang, dan sebagainya. Dan jika anda pasti bahawa mesin akan mengira nilai-nilai ini sendiri dan tidak akan membuat kesilapan, adalah lebih baik untuk menggunakan kaedah matriks atau formula Cramer, kerana aplikasinya bermula dan berakhir dengan pengiraan penentu dan matriks songsang .

Permohonan

Oleh kerana penyelesaian Gaussian adalah algoritma, dan matriks sebenarnya adalah tatasusunan dua dimensi, ia boleh digunakan dalam pengaturcaraan. Tetapi memandangkan artikel itu meletakkan dirinya sebagai panduan "untuk dummies," harus dikatakan bahawa tempat paling mudah untuk meletakkan kaedah itu ialah hamparan, contohnya, Excel. Sekali lagi, mana-mana SLAE yang dimasukkan ke dalam jadual dalam bentuk matriks akan dianggap oleh Excel sebagai tatasusunan dua dimensi. Dan untuk operasi dengan mereka terdapat banyak arahan yang bagus: penambahan (anda hanya boleh menambah matriks saiz yang sama!), pendaraban dengan nombor, pendaraban matriks (juga dengan sekatan tertentu), mencari matriks songsang dan transpos dan, yang paling penting , mengira penentu. Jika tugas yang memakan masa ini digantikan dengan satu arahan, adalah mungkin untuk menentukan kedudukan matriks dengan lebih cepat dan, oleh itu, mewujudkan keserasian atau ketidakserasiannya.

Kami terus mempertimbangkan sistem persamaan linear. Pelajaran ini adalah yang ketiga mengenai topik ini. Sekiranya anda mempunyai idea yang samar-samar tentang sistem persamaan linear secara umum, jika anda berasa seperti teko, maka saya cadangkan bermula dengan asas pada halaman Seterusnya, adalah berguna untuk mengkaji pelajaran.

Pertama, mari kita sistematikkan sedikit pengetahuan tentang sistem persamaan linear. Sistem persamaan linear boleh:

1) Mempunyai penyelesaian yang unik. 2) Mempunyai banyak penyelesaian yang tidak terhingga. 3) Tidak mempunyai penyelesaian (jadi bukan sendi).

Kaedah Gauss ialah alat yang paling berkuasa dan universal untuk mencari penyelesaian mana-mana sistem persamaan linear. Seperti yang kita ingat, Kaedah peraturan dan matriks Cramer tidak sesuai dalam kes di mana sistem mempunyai banyak penyelesaian yang tidak terhingga atau tidak konsisten. Dan kaedah penghapusan berurutan yang tidak diketahui Bagaimanapun akan membawa kita kepada jawapan! Dalam pelajaran ini, kita sekali lagi akan mempertimbangkan kaedah Gauss untuk kes No. 1 (satu-satunya penyelesaian kepada sistem), artikel dikhaskan untuk situasi mata No. 2-3. Saya perhatikan bahawa algoritma kaedah itu sendiri berfungsi sama dalam ketiga-tiga kes.

Mari kita kembali kepada sistem yang paling mudah dari pelajaran Bagaimana untuk menyelesaikan sistem persamaan linear? dan selesaikannya menggunakan kaedah Gaussian.

Langkah pertama ialah menulis matriks sistem lanjutan: . Saya fikir semua orang boleh melihat dengan prinsip apakah pekali ditulis. Garis menegak di dalam matriks tidak mempunyai apa-apa makna matematik - ia hanyalah coretan untuk memudahkan reka bentuk.

Rujukan : Saya cadangkan anda ingat syarat algebra linear. Matriks Sistem ialah matriks yang hanya terdiri daripada pekali untuk yang tidak diketahui, dalam contoh ini matriks sistem: . Matriks Sistem Lanjutan – ini adalah matriks sistem yang sama ditambah lajur istilah bebas, dalam kes ini: . Untuk ringkasnya, mana-mana matriks boleh dipanggil matriks.

Selepas matriks sistem lanjutan ditulis, perlu melakukan beberapa tindakan dengannya, yang juga dipanggil transformasi asas.

Transformasi asas berikut wujud:

3) Jika baris sifar muncul dalam matriks semasa transformasi, maka ia juga sepatutnya padam. Saya tidak akan melukis, sudah tentu, garis sifar ialah garisan di mana semua sifar.

Dalam amalan, sudah tentu, mereka tidak menulisnya secara terperinci, tetapi menulisnya secara ringkas: Sekali lagi: ke baris kedua menambah baris pertama didarab dengan –2. Garis biasanya didarab secara lisan atau pada draf, dengan proses pengiraan mental berjalan seperti ini:

"Saya menulis semula matriks dan menulis semula baris pertama: »

“Sekarang ruangan kedua. Di bahagian atas, saya darab -1 dengan -2: . Saya menambah yang pertama ke baris kedua: 1 + 2 = 3. Saya menulis hasilnya dalam baris kedua: »

“Dan lajur ketiga. Di bahagian atas saya darab -5 dengan -2: . Saya menambah yang pertama pada baris kedua: –7 + 10 = 3. Saya menulis hasilnya dalam baris kedua: »

Transformasi asas tidak mengubah penyelesaian sistem persamaan

Mari kita tuliskan matriks lanjutan sistem dan, menggunakan transformasi asas, kurangkan kepada pandangan melangkah:

(2) Bahagikan baris kedua dengan 3.

Hasil daripada transformasi asas, kami memperoleh bersamaan sistem persamaan asal:

Kini sistem perlu "dilepaskan" ke arah yang bertentangan - dari bawah ke atas, proses ini dipanggil songsang kaedah Gaussian.

Dalam persamaan yang lebih rendah kita sudah mempunyai hasil siap sedia: .

Mari kita pertimbangkan persamaan pertama sistem dan gantikan nilai "y" yang telah diketahui ke dalamnya:

Mari kita pertimbangkan situasi yang paling biasa, apabila kaedah Gaussian memerlukan penyelesaian sistem tiga persamaan linear dengan tiga tidak diketahui.

Contoh 1

Selesaikan sistem persamaan menggunakan kaedah Gauss:

Mari kita tulis matriks lanjutan sistem:

Sekarang saya akan segera melukis hasil yang akan kami perolehi semasa penyelesaian: Dan saya ulangi, matlamat kami adalah untuk membawa matriks ke bentuk berperingkat menggunakan transformasi asas. Di mana hendak bermula?

Pertama, lihat nombor kiri atas: Hampir selalu ada di sini unit. Secara umumnya, -1 (dan kadangkala nombor lain) akan berjaya, tetapi entah bagaimana secara tradisinya berlaku bahawa nombor itu biasanya diletakkan di sana. Bagaimana untuk mengatur unit? Kami melihat lajur pertama - kami mempunyai unit siap! Transformasi satu: tukar baris pertama dan ketiga:

Sekarang baris pertama akan kekal tidak berubah sehingga akhir penyelesaian. Sekarang baik.

Unit di penjuru kiri sebelah atas disusun. Kini anda perlu mendapatkan sifar di tempat ini:

Kami menulis hasilnya dalam baris kedua:

Kami menulis hasilnya dalam baris ketiga:

Dalam amalan, tindakan ini biasanya dilakukan secara lisan dan ditulis dalam satu langkah:

Tidak perlu mengira semuanya sekaligus dan pada masa yang sama. Susunan pengiraan dan "menulis dalam" keputusan konsisten dan selalunya begini: mula-mula kita tulis semula baris pertama, dan perlahan-lahan menghembus diri - SECARA KONSISTEN dan SECARA PERHATIAN:
Dan saya telah membincangkan proses mental pengiraan itu sendiri di atas.

Pada peringkat akhir transformasi asas, anda perlu mendapatkan satu lagi sifar di sini:

Untuk ini ke baris ketiga kita tambah baris kedua didarab dengan –2:
Cuba fikirkan sendiri tindakan ini - darab baris kedua secara mental dengan –2 dan lakukan penambahan.

Tindakan terakhir yang dilakukan ialah gaya rambut hasilnya, bahagikan baris ketiga dengan 3.

Hasil daripada transformasi asas, sistem persamaan linear yang setara telah diperolehi: Sejuk.

Kini kebalikan kaedah Gaussian mula dimainkan. Persamaan "berehat" dari bawah ke atas.

Dalam persamaan ketiga kita sudah mempunyai hasil sedia:

Mari kita lihat persamaan kedua: . Makna "zet" sudah diketahui, oleh itu:

Dan akhirnya, persamaan pertama: . "Igrek" dan "zet" diketahui, ia hanya soal perkara kecil:

Jawab:

Seperti yang telah dinyatakan beberapa kali, untuk mana-mana sistem persamaan adalah mungkin dan perlu untuk menyemak penyelesaian yang ditemui, mujurlah, ini mudah dan cepat.

Contoh 2

Ini adalah contoh untuk penyelesaian bebas, sampel reka bentuk akhir dan jawapan pada akhir pelajaran.

Perlu diingatkan bahawa anda kemajuan keputusan mungkin tidak bertepatan dengan proses keputusan saya, dan ini adalah ciri kaedah Gauss. Tetapi jawapannya mesti sama!

Contoh 3

Selesaikan sistem persamaan linear menggunakan kaedah Gauss

Kami melihat "langkah" kiri atas. Kita sepatutnya mempunyai satu di sana. Masalahnya ialah tiada unit dalam lajur pertama sama sekali, jadi menyusun semula baris tidak akan menyelesaikan apa-apa. Dalam kes sedemikian, unit mesti disusun menggunakan transformasi asas. Ini biasanya boleh dilakukan dalam beberapa cara. Saya melakukan ini: (1) Pada baris pertama kita tambahkan baris kedua, didarab dengan –1. Iaitu, kami secara mental mendarabkan baris kedua dengan –1 dan menambah baris pertama dan kedua, manakala baris kedua tidak berubah.

(2) Baris pertama didarab dengan 5 telah ditambah pada baris kedua. Baris pertama didarab dengan 3 telah ditambah pada baris ketiga.

(4) Baris kedua ditambahkan pada baris ketiga, didarab dengan 2.

(5) Baris ketiga dibahagikan dengan 3.

Jawab: .

Contoh 4

Selesaikan sistem persamaan linear menggunakan kaedah Gauss

Pada bahagian terakhir kita akan melihat beberapa ciri algoritma Gaussian. Ciri pertama ialah kadangkala beberapa pembolehubah hilang daripada persamaan sistem, contohnya: Bagaimana untuk menulis matriks sistem lanjutan dengan betul? Saya sudah bercakap tentang perkara ini di dalam kelas. Peraturan Cramer. Kaedah matriks. Dalam matriks lanjutan sistem, kami meletakkan sifar sebagai ganti pembolehubah yang hilang: Ngomong-ngomong, ini adalah contoh yang agak mudah, kerana lajur pertama sudah mempunyai satu sifar, dan terdapat lebih sedikit transformasi asas untuk dilakukan.

Kaedah Gauss adalah universal, tetapi terdapat satu keanehan. Anda dengan yakin boleh belajar menyelesaikan sistem menggunakan kaedah lain (kaedah Cramer, kaedah matriks) secara literal pada kali pertama - mereka mempunyai algoritma yang sangat ketat. Tetapi untuk merasa yakin dengan kaedah Gaussian, anda harus "memasukkan gigi anda" dan menyelesaikan sekurang-kurangnya 5-10 sepuluh sistem. Oleh itu, pada mulanya mungkin terdapat kekeliruan dan kesilapan dalam pengiraan, dan tidak ada yang luar biasa atau tragis tentang ini.

Cuaca musim luruh hujan di luar tingkap.... Oleh itu, untuk semua orang yang mahukan contoh yang lebih kompleks untuk diselesaikan sendiri:

Contoh 5

Selesaikan sistem 4 persamaan linear dengan empat tidak diketahui menggunakan kaedah Gauss.

Kes apabila sistem tidak mempunyai penyelesaian (tidak konsisten) atau mempunyai banyak penyelesaian yang tidak terhingga dibincangkan dalam pelajaran Sistem dan sistem yang tidak serasi dengan penyelesaian yang sama. Di sana anda boleh membetulkan algoritma kaedah Gaussian yang dipertimbangkan.

Semoga anda berjaya!

Penyelesaian dan jawapan:

Contoh 2: Penyelesaian : Mari kita tuliskan matriks lanjutan sistem dan, menggunakan penjelmaan asas, bawa ia ke bentuk berperingkat.
Transformasi asas dilakukan: (1) Baris pertama ditambah pada baris kedua, didarab dengan –2. Baris pertama ditambah pada baris ketiga, didarab dengan -1. Perhatian! Di sini anda mungkin tergoda untuk menolak yang pertama dari baris ketiga; Saya sangat mengesyorkan agar tidak menolaknya - risiko ralat meningkat dengan ketara. Lipat sahaja! (2) Tanda baris kedua telah ditukar (didarab dengan –1). Baris kedua dan ketiga telah ditukar. Nota , bahawa pada "langkah" kita berpuas hati bukan sahaja dengan satu, tetapi juga dengan -1, yang lebih mudah. (3) Baris kedua ditambah pada baris ketiga, didarab dengan 5. (4) Tanda baris kedua telah diubah (didarab dengan –1). Baris ketiga dibahagikan dengan 14.

terbalik:

Jawab : .

Contoh 4: Penyelesaian : Mari kita tuliskan matriks lanjutan sistem dan, menggunakan penjelmaan asas, bawa ia ke bentuk berperingkat:

Penukaran dilakukan: (1) Baris kedua telah ditambahkan pada baris pertama. Oleh itu, unit yang dikehendaki disusun di sebelah kiri atas "langkah". (2) Baris pertama didarab dengan 7 telah ditambah pada baris kedua. Baris pertama didarab dengan 6 ditambah kepada baris ketiga.

Dengan "langkah" kedua semuanya menjadi lebih teruk , "calon" untuknya ialah nombor 17 dan 23, dan kami memerlukan sama ada satu atau –1. Transformasi (3) dan (4) akan bertujuan untuk mendapatkan unit yang dikehendaki (3) Baris kedua ditambah pada baris ketiga, didarab dengan –1. (4) Baris ketiga ditambah pada baris kedua, didarab dengan –3. Item yang diperlukan pada langkah kedua telah diterima. . (5) Baris kedua ditambah pada baris ketiga, didarab dengan 6. (6) Baris kedua didarab dengan –1, baris ketiga dibahagi dengan -83.

terbalik:

Jawab :

Contoh 5: Penyelesaian : Mari kita tuliskan matriks sistem dan, menggunakan penjelmaan asas, bawa ia ke bentuk berperingkat:

Penukaran dilakukan: (1) Baris pertama dan kedua telah ditukar. (2) Baris pertama ditambah pada baris kedua, didarab dengan –2. Baris pertama ditambah pada baris ketiga, didarab dengan –2. Baris pertama ditambah pada baris keempat, didarab dengan –3. (3) Baris kedua ditambah pada baris ketiga, didarab dengan 4. Baris kedua ditambah pada baris keempat, didarab dengan –1. (4) Tanda baris kedua telah ditukar. Baris keempat dibahagikan dengan 3 dan diletakkan di tempat baris ketiga. (5) Baris ketiga ditambah kepada baris keempat, didarab dengan –5.

terbalik:

Jawab :

Biarkan sistem persamaan algebra linear diberikan yang perlu diselesaikan (cari nilai yang tidak diketahui xi yang menjadikan setiap persamaan sistem menjadi kesamaan).

Kita tahu bahawa sistem persamaan algebra linear boleh:

1) Tiada penyelesaian (jadi bukan sendi).
2) Mempunyai banyak penyelesaian yang tidak terhingga.
3) Mempunyai satu penyelesaian.

Seperti yang kita ingat, peraturan Cramer dan kaedah matriks tidak sesuai dalam kes di mana sistem mempunyai banyak penyelesaian yang tidak terhingga atau tidak konsisten. Kaedah Gauss – alat yang paling berkuasa dan serba boleh untuk mencari penyelesaian kepada mana-mana sistem persamaan linear, yang dalam setiap kes akan membawa kita kepada jawapan! Algoritma kaedah itu sendiri berfungsi sama dalam ketiga-tiga kes. Jika kaedah Cramer dan matriks memerlukan pengetahuan tentang penentu, maka untuk menggunakan kaedah Gauss anda hanya memerlukan pengetahuan tentang operasi aritmetik, yang menjadikannya boleh diakses walaupun kepada pelajar sekolah rendah.

Transformasi matriks tambahan ( ini ialah matriks sistem - matriks yang hanya terdiri daripada pekali yang tidak diketahui, ditambah lajur sebutan bebas) sistem persamaan algebra linear dalam kaedah Gauss:

1) Dengan troki matriks boleh menyusun semula di beberapa tempat.

2) jika baris berkadar (sebagai kes khas - serupa) muncul (atau wujud) dalam matriks, maka anda harus padam daripada matriks semua baris ini kecuali satu.

3) jika baris sifar muncul dalam matriks semasa transformasi, maka ia juga sepatutnya padam.

4) baris matriks boleh darab (bahagi) kepada sebarang nombor selain sifar.

5) ke baris matriks anda boleh tambah satu lagi rentetan yang didarab dengan nombor, berbeza daripada sifar.

Dalam kaedah Gauss, transformasi asas tidak mengubah penyelesaian sistem persamaan.

Kaedah Gauss terdiri daripada dua peringkat:

"Pergerakan langsung" - menggunakan transformasi asas, bawa matriks lanjutan sistem persamaan algebra linear ke bentuk langkah "segi tiga": unsur-unsur matriks lanjutan yang terletak di bawah pepenjuru utama adalah sama dengan sifar (gerakan atas-bawah). Sebagai contoh, untuk jenis ini:

Untuk melakukan ini, lakukan langkah berikut:

1) Mari kita pertimbangkan persamaan pertama bagi sistem persamaan algebra linear dan pekali untuk x 1 adalah sama dengan K. Kedua, ketiga, dsb. kita ubah persamaan seperti berikut: kita bahagikan setiap persamaan (pekali bagi yang tidak diketahui, termasuk sebutan bebas) dengan pekali x 1 yang tidak diketahui, yang terdapat dalam setiap persamaan, dan darab dengan K. Selepas ini, kita tolak yang pertama daripada persamaan kedua (pekali tak diketahui dan sebutan bebas). Untuk x 1 dalam persamaan kedua kita memperoleh pekali 0. Daripada persamaan transformasi ketiga kita tolak persamaan pertama sehingga semua persamaan kecuali yang pertama, untuk x 1 yang tidak diketahui, mempunyai pekali 0.

2) Mari kita beralih kepada persamaan seterusnya. Biarkan ini menjadi persamaan kedua dan pekali untuk x 2 sama dengan M. Kami meneruskan dengan semua persamaan "rendah" seperti yang diterangkan di atas. Oleh itu, "di bawah" x 2 yang tidak diketahui akan terdapat sifar dalam semua persamaan.

3) Beralih ke persamaan seterusnya dan seterusnya sehingga satu yang terakhir tidak diketahui dan sebutan bebas yang diubah kekal.

"Langkah terbalik" kaedah Gauss adalah untuk mendapatkan penyelesaian kepada sistem persamaan algebra linear (langkah "bawah ke atas"). Daripada persamaan "rendah" terakhir kita memperoleh satu penyelesaian pertama - x n yang tidak diketahui. Untuk melakukan ini, kami menyelesaikan persamaan asas A * x n = B. Dalam contoh yang diberikan di atas, x 3 = 4. Kami menggantikan nilai yang ditemui ke dalam persamaan "atas" seterusnya dan menyelesaikannya berkenaan dengan yang tidak diketahui seterusnya. Contohnya, x 2 – 4 = 1, i.e. x 2 = 5. Dan seterusnya sehingga kita dapati semua yang tidak diketahui.

Contoh.

Mari kita selesaikan sistem persamaan linear menggunakan kaedah Gauss, seperti yang dinasihatkan oleh beberapa penulis:

Mari kita tuliskan matriks lanjutan sistem dan, menggunakan penjelmaan asas, bawa ia ke bentuk berperingkat:

Kami melihat "langkah" kiri atas. Kita sepatutnya mempunyai satu di sana. Masalahnya ialah tiada unit dalam lajur pertama sama sekali, jadi menyusun semula baris tidak akan menyelesaikan apa-apa. Dalam kes sedemikian, unit mesti disusun menggunakan transformasi asas. Ini biasanya boleh dilakukan dalam beberapa cara. Mari lakukan ini:
1 langkah . Pada baris pertama kita tambahkan baris kedua, didarab dengan –1. Iaitu, kami secara mental mendarabkan baris kedua dengan –1 dan menambah baris pertama dan kedua, manakala baris kedua tidak berubah.

Sekarang di bahagian atas sebelah kiri terdapat "tolak satu", yang sesuai dengan kita. Sesiapa sahaja yang ingin mendapatkan +1 boleh melakukan tindakan tambahan: darab baris pertama dengan –1 (tukar tandanya).

Langkah 2 . Baris pertama, didarab dengan 5, telah ditambahkan pada baris kedua. Baris pertama, didarab dengan 3, ditambah pada baris ketiga.

Langkah 3 . Baris pertama didarab dengan –1, pada dasarnya, ini adalah untuk kecantikan. Tanda baris ketiga juga ditukar dan ia dipindahkan ke tempat kedua, supaya pada "langkah" kedua kami mempunyai unit yang diperlukan.

Langkah 4 . Baris ketiga ditambahkan pada baris kedua, didarab dengan 2.

Langkah 5 . Baris ketiga dibahagikan dengan 3.

Tanda yang menunjukkan ralat dalam pengiraan (lebih jarang, kesilapan menaip) ialah garis bawah yang "buruk". Iaitu, jika kita mendapat sesuatu seperti (0 0 11 |23) di bawah, dan, oleh itu, 11x 3 = 23, x 3 = 23/11, maka dengan tahap kebarangkalian yang tinggi kita boleh mengatakan bahawa ralat telah dibuat semasa asas transformasi.

Mari kita lakukan sebaliknya; dalam reka bentuk contoh, sistem itu sendiri selalunya tidak ditulis semula, tetapi persamaannya "diambil terus dari matriks yang diberikan." Langkah terbalik, saya ingatkan anda, berfungsi dari bawah ke atas. Dalam contoh ini, hasilnya ialah hadiah:

x 3 = 1
x 2 = 3
x 1 + x 2 – x 3 = 1, oleh itu x 1 + 3 – 1 = 1, x 1 = –1

Jawab:x 1 = –1, x 2 = 3, x 3 = 1.

Mari kita selesaikan sistem yang sama menggunakan algoritma yang dicadangkan. Kita mendapatkan

4 2 –1 1
5 3 –2 2
3 2 –3 0

Bahagikan persamaan kedua dengan 5, dan yang ketiga dengan 3. Kita dapat:

4 2 –1 1
1 0.6 –0.4 0.4
1 0.66 –1 0

Mendarabkan persamaan kedua dan ketiga dengan 4, kita dapat:

4 2 –1 1
4 2,4 –1.6 1.6
4 2.64 –4 0

Kurangkan persamaan pertama daripada persamaan kedua dan ketiga, kita mempunyai:

4 2 –1 1
0 0.4 –0.6 0.6
0 0.64 –3 –1

Bahagikan persamaan ketiga dengan 0.64:

4 2 –1 1
0 0.4 –0.6 0.6
0 1 –4.6875 –1.5625

Darabkan persamaan ketiga dengan 0.4

4 2 –1 1
0 0.4 –0.6 0.6
0 0.4 –1.875 –0.625

Menolak kedua daripada persamaan ketiga, kami memperoleh matriks lanjutan "berlangkah":

4 2 –1 1
0 0.4 –0.6 0.6
0 0 –1.275 –1.225

Oleh itu, kerana ralat terkumpul semasa pengiraan, kita memperoleh x 3 = 0.96 atau lebih kurang 1.

x 2 = 3 dan x 1 = –1.

Dengan menyelesaikan dengan cara ini, anda tidak akan pernah keliru dalam pengiraan dan, walaupun terdapat ralat pengiraan, anda akan mendapat hasilnya.

Kaedah menyelesaikan sistem persamaan algebra linear ini mudah diprogramkan dan tidak mengambil kira ciri khusus pekali untuk yang tidak diketahui, kerana dalam amalan (dalam pengiraan ekonomi dan teknikal) seseorang perlu berurusan dengan pekali bukan integer.

Semoga anda berjaya! Jumpa anda di dalam kelas! Tutor.

blog.site, apabila menyalin bahan sepenuhnya atau sebahagian, pautan ke sumber asal diperlukan.

Apakah yang dimaksudkan untuk menyelesaikan menggunakan kaedah Gaussian?

Pertama, kita perlu menulis sistem persamaan kita dalam Ia kelihatan seperti ini. Ambil sistem:

Matriks, sifatnya

Tiada makna tersembunyi dalam matriks. Ini hanyalah cara mudah untuk merekod data untuk operasi seterusnya dengannya. Malah pelajar sekolah tidak perlu takut dengan mereka.

Penentu

Pengelasan sistem

Berdasarkan situasi dengan pangkat, SLAE boleh dibahagikan kepada:

sendi. U Dalam sistem gabungan, pangkat matriks utama (hanya terdiri daripada pekali) bertepatan dengan pangkat matriks lanjutan (dengan lajur istilah bebas). Sistem sedemikian mempunyai penyelesaian, tetapi tidak semestinya satu, oleh itu, sistem sendi tambahan dibahagikan kepada:
- pasti- mempunyai penyelesaian tunggal. Dalam sistem tertentu, pangkat matriks dan bilangan yang tidak diketahui (atau bilangan lajur, yang merupakan perkara yang sama) adalah sama;
- tidak ditentukan - dengan bilangan penyelesaian yang tidak terhingga. Kedudukan matriks dalam sistem sedemikian adalah kurang daripada bilangan yang tidak diketahui.
Tidak serasi. U Dalam sistem sedemikian, pangkat matriks utama dan lanjutan tidak bertepatan. Sistem yang tidak serasi tidak mempunyai penyelesaian.

Transformasi asas

Menyusun semula baris. Jelas sekali, jika anda menukar susunan persamaan dalam rekod sistem, ini tidak akan menjejaskan penyelesaian dalam apa cara sekalipun. Akibatnya, baris dalam matriks sistem ini juga boleh ditukar, tidak lupa, sudah tentu, lajur istilah bebas.
Mendarab semua elemen rentetan dengan pekali tertentu. Sangat membantu! Ia boleh digunakan untuk mengurangkan bilangan besar dalam matriks atau mengeluarkan sifar. Banyak keputusan, seperti biasa, tidak akan berubah, tetapi operasi selanjutnya akan menjadi lebih mudah. Perkara utama ialah pekali tidak sama dengan sifar.
Mengalih keluar baris dengan faktor berkadar. Ini sebahagiannya mengikuti perenggan sebelumnya. Jika dua atau lebih baris dalam matriks mempunyai pekali berkadar, maka apabila salah satu baris didarab/dibahagikan dengan pekali perkadaran, dua (atau, sekali lagi, lebih) baris yang sama mutlak diperoleh, dan yang tambahan boleh dikeluarkan, meninggalkan hanya satu.
Mengalih keluar garisan nol. Jika, semasa transformasi, satu baris diperoleh di suatu tempat di mana semua elemen, termasuk istilah bebas, adalah sifar, maka baris tersebut boleh dipanggil sifar dan dibuang keluar dari matriks.
Menambah pada elemen satu baris elemen yang lain (dalam lajur yang sepadan), didarab dengan pekali tertentu. Transformasi yang paling tidak jelas dan paling penting dari semuanya. Ia bernilai memikirkannya dengan lebih terperinci.

Menambah rentetan didarab dengan faktor

Untuk memudahkan pemahaman, proses ini patut dipecahkan langkah demi langkah. Dua baris diambil daripada matriks:

a 11 a 12 ... a 1n | b1

a 21 a 22 ... a 2n | b 2

Katakan anda perlu menambah yang pertama kepada yang kedua, didarab dengan pekali "-2".

a" 21 = a 21 + -2×a 11

a" 22 = a 22 + -2×a 12

a" 2n = a 2n + -2×a 1n

Kemudian baris kedua dalam matriks digantikan dengan yang baru, dan yang pertama kekal tidak berubah.

a 11 a 12 ... a 1n | b1

a" 21 a" 22 ... a" 2n | b 2

Secara umum

Biar ada sistem. Ia mempunyai m persamaan dan n punca yang tidak diketahui. Anda boleh menulisnya seperti berikut:

Matriks utama disusun daripada pekali sistem. Lajur istilah bebas ditambahkan pada matriks lanjutan dan, untuk kemudahan, dipisahkan dengan garis.

baris pertama matriks didarab dengan pekali k = (-a 21 /a 11);
baris pertama diubah suai dan baris kedua matriks ditambah;
bukannya baris kedua, hasil penambahan daripada perenggan sebelumnya dimasukkan ke dalam matriks;
kini pekali pertama dalam baris kedua baharu ialah 11 × (-a 21 /a 11) + a 21 = -a 21 + a 21 = 0.

pekali k = (-a 32 /a 22);
baris kedua yang diubah suai ditambah pada baris "semasa";
hasil penambahan digantikan ke dalam baris ketiga, keempat, dan seterusnya, manakala yang pertama dan kedua kekal tidak berubah;
dalam baris matriks dua elemen pertama sudah sama dengan sifar.

Apabila tiada penyelesaian

Apabila terdapat bilangan penyelesaian yang tidak terhingga

Penyelesaian dengan contoh khusus

Berikut adalah sistem persamaan.

Untuk kemudahan, lebih baik untuk segera membuat matriksnya

baris kedua: k = (-a 21 /a 11) = (-3/1) = -3

a" 21 = a 21 + k×a 11 = 3 + (-3)×1 = 0

a" 22 = a 22 + k×a 12 = -1 + (-3)×2 = -7

a" 23 = a 23 + k×a 13 = 1 + (-3)×4 = -11

b" 2 = b 2 + k×b 1 = 12 + (-3)×12 = -24

baris ketiga: k = (-a 3 1 /a 11) = (-5/1) = -5

a" 3 1 = a 3 1 + k×a 11 = 5 + (-5)×1 = 0

a" 3 2 = a 3 2 + k×a 12 = 1 + (-5)×2 = -9

a" 3 3 = a 33 + k×a 13 = 2 + (-5)×4 = -18

b" 3 = b 3 + k×b 1 = 3 + (-5)×12 = -57

Sekarang, untuk tidak keliru, anda perlu menulis matriks dengan hasil perantaraan transformasi.

a" 32 = a 32 + k×a 22 = 3 + (-3/7)×7 = 3 + (-3) = 0

a" 33 = a 33 + k×a 23 = 6 + (-3/7)×11 = -9/7

b" 3 = b 3 + k×b 2 = 19 + (-3/7)×24 = -61/7

Matriks ditulis semula dengan nilai baru.

1	2	4	12
0	7	11	24
0	0	-9/7	-61/7

Sekarang semuanya cantik. Apa yang perlu dilakukan ialah menulis semula matriks dalam bentuk sistem persamaan dan mengira punca

x + 2y + 4z = 12 (1)

7y + 11z = 24 (2)

Algoritma yang mana akar kini akan ditemui dipanggil langkah terbalik dalam kaedah Gaussian. Persamaan (3) mengandungi nilai z:

y = (24 - 11×(61/9))/7 = -65/9

Dan persamaan pertama membolehkan kita mencari x:

x = (12 - 4z - 2y)/1 = 12 - 4×(61/9) - 2×(-65/9) = -6/9 = -2/3

Kami mempunyai hak untuk memanggil gabungan sistem sedemikian, dan juga pasti, iaitu, mempunyai penyelesaian yang unik. Jawapannya ditulis dalam bentuk berikut:

x 1 = -2/3, y = -65/9, z = 61/9.

Contoh sistem yang tidak pasti

x 1 + x 2 + x 3 + x 4 + x 5 = 7 (1)

3x 1 + 2x 2 + x 3 + x 4 - 3x 5 = -2 (2)

x 2 + 2x 3 + 2x 4 + 6x 5 = 23 (3)

5x 1 + 4x 2 + 3x 3 + 3x 4 - x 5 = 12 (4)

Pertama, seperti biasa, matriks lanjutan disusun.

Dengan mendarab unsur-unsur baris pertama dengan setiap pekalinya secara bergilir-gilir dan menambahkannya pada baris yang diperlukan, kami memperoleh matriks dalam bentuk berikut:

Dalam persamaan kedua terdapat hanya satu pembolehubah asas - x 2. Ini bermakna ia boleh dinyatakan dari sana dengan menulisnya melalui pembolehubah x 3 , x 4 , x 5 , yang bebas.

Kami menggantikan ungkapan yang terhasil ke dalam persamaan pertama.

Hasilnya ialah persamaan di mana satu-satunya pembolehubah asas ialah x 1 . Mari kita lakukan perkara yang sama dengannya seperti dengan x 2.

Semua pembolehubah asas, yang mana terdapat dua, dinyatakan dalam sebutan tiga pembolehubah percuma; kini kita boleh menulis jawapan dalam bentuk umum.

Anda juga boleh menentukan salah satu daripada penyelesaian tertentu sistem. Untuk kes sedemikian, sifar biasanya dipilih sebagai nilai untuk pembolehubah bebas. Maka jawapannya ialah:

16, 23, 0, 0, 0.

Contoh sistem bukan koperasi

x + y - z = 0 (1)

2x - y - z = -2 (2)

4x + y - 3z = 5 (3)

Seperti biasa, matriks disusun:

1	1	-1	0
2	-1	-1	-2
4	1	-3	5

Dan ia dikurangkan kepada bentuk berperingkat:

k 1 = -2k 2 = -4

1	1	-1	0
0	-3	1	-2
0	0	0	7

Selepas penjelmaan pertama, baris ketiga mengandungi persamaan bentuk

tanpa penyelesaian. Akibatnya, sistem tidak konsisten, dan jawapannya adalah set kosong.