1 en 2 prachtige grenzen zijn voorbeelden van oplossingen. De eerste opmerkelijke grens: theorie en voorbeelden

Er zijn verschillende opmerkelijke limieten, maar de bekendste zijn de eerste en tweede opmerkelijke limieten. Het opmerkelijke aan deze limieten is dat ze op grote schaal worden gebruikt en dat je met hun hulp andere limieten kunt vinden die je bij talloze problemen tegenkomt. Dit gaan we doen in het praktijkgedeelte van deze les. Om problemen op te lossen door ze terug te brengen tot de eerste of tweede opmerkelijke limiet, is het niet nodig om de onzekerheden die erin zitten te onthullen, aangezien de waarden van deze limieten al lang zijn afgeleid door grote wiskundigen.

De eerste prachtige limiet wordt de limiet genoemd van de verhouding van de sinus van een oneindig kleine boog tot dezelfde boog, uitgedrukt in radialenmaat:

Laten we verder gaan met het oplossen van problemen bij de eerste opmerkelijke limiet. Let op: als er een trigonometrische functie onder het limietteken staat, is dit een vrijwel zeker teken dat deze uitdrukking kan worden teruggebracht tot de eerste opmerkelijke limiet.

Voorbeeld 1. Zoek de limiet.

Oplossing. Vervanging in plaats daarvan X nul leidt tot onzekerheid:

.

De noemer is sinus, daarom kan de uitdrukking tot de eerste opmerkelijke limiet worden gebracht. Laten we beginnen met de transformatie:

.

De noemer is de sinus van drie X, maar de teller heeft slechts één X, wat betekent dat je drie X in de teller moet krijgen. Waarvoor? Ter introductie 3 X = A en verkrijg de uitdrukking .

En we komen bij een variatie op de eerste opmerkelijke limiet:

omdat het niet uitmaakt welke letter (variabele) in deze formule staat in plaats van X.

We vermenigvuldigen X met drie en delen onmiddellijk:

.

In overeenstemming met de eerste opmerkelijke limiet die we hebben opgemerkt, vervangen we de fractionele uitdrukking:

Nu kunnen we eindelijk deze limiet oplossen:

.

Voorbeeld 2. Zoek de limiet.

Oplossing. Directe vervanging leidt opnieuw tot de onzekerheid van ‘nul gedeeld door nul’:

.

Om de eerste opmerkelijke limiet te krijgen, is het noodzakelijk dat de x onder het sinusteken in de teller en alleen de x in de noemer dezelfde coëfficiënt hebben. Laat deze coëfficiënt gelijk zijn aan 2. Stel je hiervoor de huidige coëfficiënt voor x voor zoals hieronder, door bewerkingen met breuken uit te voeren, verkrijgen we:

.

Voorbeeld 3. Zoek de limiet.

Oplossing. Bij vervanging krijgen we opnieuw de onzekerheid “nul gedeeld door nul”:

.

Je begrijpt waarschijnlijk al dat je uit de oorspronkelijke uitdrukking de eerste prachtige limiet kunt halen, vermenigvuldigd met de eerste prachtige limiet. Om dit te doen, ontleden we de kwadraten van de x in de teller en de sinus in de noemer in identieke factoren, en om dezelfde coëfficiënten voor de x en de sinus te krijgen, delen we de x in de teller door 3 en vermenigvuldigen we onmiddellijk tegen 3. We krijgen:

.

Voorbeeld 4. Zoek de limiet.

Oplossing. Opnieuw krijgen we de onzekerheid “nul gedeeld door nul”:

.

We kunnen de verhouding van de eerste twee opmerkelijke grenzen verkrijgen. We delen zowel de teller als de noemer door x. Vervolgens, zodat de coëfficiënten voor sinussen en xen samenvallen, vermenigvuldigen we de bovenste x met 2 en delen we onmiddellijk door 2, en vermenigvuldigen we de onderste x met 3 en delen we onmiddellijk door 3. We krijgen:

Voorbeeld 5. Zoek de limiet.

Oplossing. En opnieuw de onzekerheid van “nul gedeeld door nul”:

We herinneren ons uit de trigonometrie dat de tangens de verhouding is tussen sinus en cosinus, en dat de cosinus van nul gelijk is aan één. We voeren de transformaties uit en krijgen:

.

Voorbeeld 6. Zoek de limiet.

Oplossing. De trigonometrische functie onder het teken van een limiet suggereert opnieuw het gebruik van de eerste opmerkelijke limiet. We stellen het voor als de verhouding tussen sinus en cosinus.

Uit het bovenstaande artikel kun je ontdekken wat de limiet is en waarmee het wordt gegeten - dit is HEEL belangrijk. Waarom? Het kan zijn dat u niet begrijpt wat determinanten zijn en deze met succes kunt oplossen; het kan zijn dat u helemaal niet begrijpt wat een afgeleide is en ze met een “A” vindt. Maar als je niet begrijpt wat een limiet is, zal het oplossen van praktische taken moeilijk zijn. Het zou ook een goed idee zijn om vertrouwd te raken met de voorbeeldoplossingen en mijn ontwerpaanbevelingen. Alle informatie wordt gepresenteerd in een eenvoudige en toegankelijke vorm.

En voor deze les hebben we het volgende lesmateriaal nodig: Prachtige grenzen En Trigonometrische formules. Ze zijn te vinden op de pagina. Het is het beste om de handleidingen af ​​te drukken - dat is veel handiger en bovendien zul je ze vaak offline moeten raadplegen.

Wat is er zo speciaal aan opmerkelijke limieten? Het opmerkelijke aan deze limieten is dat ze zijn bewezen door de grootste geesten van beroemde wiskundigen, en dankbare nakomelingen hoeven niet te lijden onder vreselijke limieten met een stapel trigonometrische functies, logaritmen en machten. Dat wil zeggen dat we bij het vinden van de grenzen kant-en-klare resultaten zullen gebruiken die theoretisch zijn bewezen.

Er zijn verschillende prachtige grenzen, maar in de praktijk hebben deeltijdstudenten in 95% van de gevallen twee prachtige grenzen: De eerste prachtige limiet, Tweede prachtige limiet. Opgemerkt moet worden dat dit historisch gevestigde namen zijn, en wanneer ze bijvoorbeeld spreken over ‘de eerste opmerkelijke limiet’, bedoelen ze hiermee iets heel specifieks, en niet een willekeurige limiet die uit het plafond is gehaald.

De eerste prachtige limiet

Houd rekening met de volgende limiet: (in plaats van de oorspronkelijke letter "hij" zal ik de Griekse letter "alpha" gebruiken, dit is handiger vanuit het oogpunt van de presentatie van het materiaal).

Volgens onze regel voor het vinden van grenzen (zie artikel Grenzen. Voorbeelden van oplossingen) proberen we nul in de functie te vervangen: in de teller krijgen we nul (de sinus van nul is nul), en in de noemer is er uiteraard ook nul. We worden dus geconfronteerd met een onzekerheid over de vorm, die gelukkig niet openbaar hoeft te worden gemaakt. In de loop van wiskundige analyse is bewezen dat:

Dit wiskundige feit wordt genoemd De eerste prachtige limiet. Ik zal geen analytisch bewijs geven van de limiet, maar we zullen kijken naar de geometrische betekenis ervan in de les over oneindig kleine functies.

Vaak kunnen bij praktische taken functies anders worden ingericht, dit verandert niets:

- dezelfde eerste prachtige limiet.

Maar je kunt de teller en de noemer niet zelf herschikken! Als er een limiet wordt gegeven in de vorm , dan moet deze in dezelfde vorm worden opgelost, zonder iets te herschikken.

In de praktijk kan niet alleen een variabele, maar ook een elementaire functie of een complexe functie als parameter fungeren. Het enige belangrijke is dat het naar nul neigt.

Voorbeelden:
, , ,

Hier , , , , en alles is goed - de eerste prachtige limiet is van toepassing.

Maar de volgende vermelding is ketterij:

Waarom? Omdat de polynoom niet naar nul neigt, neigt hij naar vijf.

Trouwens, een korte vraag: wat is de limiet? ? Het antwoord vind je aan het einde van de les.

In de praktijk verloopt niet alles zo soepel; bijna nooit wordt een student aangeboden een vrije limiet op te lossen en een gemakkelijke pass te krijgen. Hmmm... Ik ben deze regels aan het schrijven, en er kwam een ​​heel belangrijke gedachte in me op: het is tenslotte beter om 'vrije' wiskundige definities en formules uit het hoofd te onthouden, dit kan van onschatbare hulp zijn bij de test, wanneer de vraag wordt gesteld er kan worden gekozen tussen “twee” en “drie”, en de leraar besluit de leerling een eenvoudige vraag te stellen of aan te bieden een eenvoudig voorbeeld op te lossen (“misschien weet hij (s) nog wat?!”).

Laten we verder gaan met het bekijken van praktische voorbeelden:

voorbeeld 1

Zoek de limiet

Als we een sinus in de limiet opmerken, zou dit ons er onmiddellijk toe moeten brengen na te denken over de mogelijkheid om de eerste opmerkelijke limiet toe te passen.

Eerst proberen we 0 te vervangen in de uitdrukking onder het limietteken (we doen dit mentaal of in een concept):

We hebben dus onzekerheid over de vorm zeker aangeven bij het nemen van een beslissing. De uitdrukking onder het limietteken is vergelijkbaar met de eerste prachtige limiet, maar dit is het niet precies, het staat onder de sinus, maar in de noemer.

In dergelijke gevallen moeten we de eerste opmerkelijke limiet zelf organiseren, met behulp van een kunstmatige techniek. De redenering zou als volgt kunnen zijn: “onder de sinus hebben we , wat betekent dat we ook in de noemer moeten komen.”
En dit gebeurt heel eenvoudig:

Dat wil zeggen, de noemer wordt in dit geval kunstmatig vermenigvuldigd met 7 en gedeeld door dezelfde zeven. Nu heeft onze opname een vertrouwde vorm aangenomen.
Wanneer de taak met de hand wordt opgesteld, is het raadzaam om de eerste opmerkelijke grens aan te geven met een eenvoudig potlood:


Wat is er gebeurd? In feite werd onze omcirkelde uitdrukking een eenheid en verdween in het werk:

Het enige dat nu overblijft is het wegwerken van de breuk van drie verdiepingen:

Wie de vereenvoudiging van breuken op meerdere niveaus is vergeten, vernieuw het materiaal in het naslagwerk Populaire formules voor de wiskundecursus op school .

Klaar. Definitieve antwoord:

Als u geen potloodstrepen wilt gebruiken, kunt u de oplossing als volgt schrijven:

“

Laten we de eerste prachtige limiet gebruiken

“

Voorbeeld 2

Zoek de limiet

Opnieuw zien we een breuk en een sinus in de limiet. Laten we proberen nul in de teller en de noemer te vervangen:

We hebben inderdaad onzekerheid en daarom moeten we proberen de eerste prachtige limiet te organiseren. Bij de les Grenzen. Voorbeelden van oplossingen we hebben de regel overwogen dat als we onzekerheid hebben, we de teller en de noemer moeten ontbinden in factoren. Hier is het hetzelfde, we stellen de graden voor als een product (vermenigvuldigers):

Net als in het vorige voorbeeld tekenen we een potlood rond de opmerkelijke grenzen (hier zijn er twee) en geven aan dat ze naar eenheid neigen:

Eigenlijk is het antwoord klaar:

In de volgende voorbeelden zal ik geen kunst maken in Paint, ik denk hoe je een oplossing correct in een notitieboekje kunt opstellen - je begrijpt het al.

Voorbeeld 3

Zoek de limiet

We vervangen nul in de uitdrukking onder het limietteken:

Er is sprake van een onzekerheid die openbaar gemaakt moet worden. Als er een raaklijn in de limiet zit, dan wordt deze vrijwel altijd omgezet in sinus en cosinus met behulp van de bekende trigonometrische formule (ze doen overigens ongeveer hetzelfde met cotangens, zie methodologisch materiaal Hete trigonometrische formules Op de pagina Wiskundige formules, tabellen en referentiematerialen).

In dit geval:

De cosinus van nul is gelijk aan één, en het is gemakkelijk om er vanaf te komen (vergeet niet te markeren dat deze naar één neigt):

Dus als de cosinus in de limiet een MULTIPLIER is, dan moet deze grofweg worden omgezet in een eenheid, die in het product verdwijnt.

Hier bleek alles eenvoudiger, zonder vermenigvuldigingen en delingen. De eerste opmerkelijke grens wordt ook één en verdwijnt in het product:

Als resultaat wordt oneindigheid verkregen, en dit gebeurt.

Voorbeeld 4

Zoek de limiet

Laten we proberen nul in de teller en de noemer te vervangen:

De onzekerheid wordt verkregen (de cosinus van nul is, zoals we ons herinneren, gelijk aan één)

We gebruiken de trigonometrische formule. Maak een notitie! Om de een of andere reden zijn limieten die deze formule gebruiken heel gebruikelijk.

Laten we de constante factoren voorbij het limietpictogram verplaatsen:

Laten we de eerste prachtige limiet organiseren:


Hier hebben we slechts één opmerkelijke limiet, die verandert in één en verdwijnt in het product:

Laten we de structuur met drie verdiepingen wegwerken:

De limiet is feitelijk opgelost, we geven aan dat de resterende sinus naar nul neigt:

Voorbeeld 5

Zoek de limiet

Dit voorbeeld is ingewikkelder, probeer het zelf uit te zoeken:

Sommige limieten kunnen worden teruggebracht tot de 1e opmerkelijke limiet door een variabele te wijzigen, hierover kun je verderop in het artikel lezen Methoden voor het oplossen van grenzen.

Tweede prachtige limiet

In de theorie van de wiskundige analyse is bewezen dat:

Dit feit wordt genoemd tweede prachtige limiet.

Referentie: is een irrationeel getal.

De parameter kan niet alleen een variabele zijn, maar ook een complexe functie. Het enige belangrijke is dat het naar oneindigheid streeft.

Voorbeeld 6

Zoek de limiet

Wanneer de uitdrukking onder het limietteken een graad aangeeft, is dit het eerste teken dat u moet proberen de tweede prachtige limiet toe te passen.

Maar eerst proberen we, zoals altijd, een oneindig groot getal in de uitdrukking te vervangen. Het principe waarmee dit wordt gedaan wordt besproken in de les Grenzen. Voorbeelden van oplossingen.

Het is gemakkelijk om op te merken dat wanneer de basis van de graad is en de exponent is , dat wil zeggen, er is onzekerheid over de vorm:

Deze onzekerheid wordt precies onthuld met behulp van de tweede opmerkelijke grens. Maar zoals vaak gebeurt, ligt de tweede prachtige grens niet op een presenteerblaadje, maar moet deze kunstmatig worden georganiseerd. Je kunt als volgt redeneren: in dit voorbeeld is de parameter , wat betekent dat we ook de indicator moeten organiseren. Om dit te doen, verheffen we de basis tot de macht, en zodat de uitdrukking niet verandert, verheffen we deze tot de macht:

Wanneer de taak met de hand is voltooid, markeren we met een potlood:


Bijna alles is klaar, de vreselijke graad is veranderd in een mooie brief:

In dit geval verplaatsen we het limietpictogram zelf naar de indicator:

Voorbeeld 7

Zoek de limiet

Aandacht! Dit type limiet komt zeer vaak voor. Bestudeer dit voorbeeld zorgvuldig.

Laten we proberen een oneindig groot getal te vervangen door de uitdrukking onder het limietteken:

Het resultaat is onzekerheid. Maar de tweede opmerkelijke grens geldt voor de onzekerheid van de vorm. Wat moeten we doen? We moeten de basis van het diploma omzetten. We redeneren als volgt: in de noemer hebben we , wat betekent dat we in de teller ook moeten organiseren .

Laten we nu, met een kalme ziel, verder gaan met nadenken prachtige grenzen.
lijkt op .

In plaats van de variabele x kunnen er verschillende functies aanwezig zijn, het belangrijkste is dat ze naar 0 neigen.

Het is noodzakelijk om de limiet te berekenen

Zoals u kunt zien, lijkt deze limiet sterk op de eerste opmerkelijke, maar dit is niet helemaal waar. Als u zonde binnen de limiet opmerkt, moet u in het algemeen onmiddellijk nadenken of het mogelijk is om de eerste opmerkelijke limiet te gebruiken.

Volgens onze regel nr. 1 vervangen we nul in plaats van x:

Wij krijgen onzekerheid.

Laten we nu proberen de eerste prachtige limiet zelf te organiseren. Om dit te doen, doen we een eenvoudige combinatie:

Dus organiseren we de teller en de noemer om 7x te markeren. Nu is de bekende opmerkelijke grens al verschenen. Het is raadzaam om dit te benadrukken bij het beslissen:

Laten we de oplossing vervangen door het eerste opmerkelijke voorbeeld en krijgen:

De breuk vereenvoudigen:

Antwoord: 7/3.

Zoals je kunt zien, is alles heel eenvoudig.

Lijkt op , waarbij e = 2,718281828... een irrationeel getal is.

Er kunnen verschillende functies aanwezig zijn in plaats van de variabele x, het belangrijkste is dat ze de neiging hebben om .

Het is noodzakelijk om de limiet te berekenen

Hier zien we de aanwezigheid van een graad onder het teken van een limiet, wat betekent dat het mogelijk is een tweede opmerkelijke limiet te hanteren.

Zoals altijd gebruiken we regel nr. 1: vervang x in plaats van:

Het is te zien dat bij x de basis van de graad , en de exponent 4x > is, d.w.z. we verkrijgen een onzekerheid van de vorm:

Laten we de tweede prachtige grens gebruiken om onze onzekerheid bloot te leggen, maar eerst moeten we die organiseren. Zoals je kunt zien, moeten we aanwezigheid in de indicator bereiken, waarvoor we de basis verhogen tot de macht 3x, en tegelijkertijd tot de macht 1/3x, zodat de uitdrukking niet verandert:

Vergeet niet onze prachtige limiet te benadrukken:

Dat zijn ze werkelijk prachtige grenzen!
Mocht u nog vragen hebben over de eerste en tweede prachtige grenzen, stel ze dan gerust in de reacties.
Wij zullen iedereen zoveel mogelijk antwoorden.

Je kunt ook met een docent aan dit onderwerp werken.
Wij bieden u graag de diensten aan om een ​​gekwalificeerde bijlesleraar in uw stad te selecteren. Onze partners selecteren snel en tegen gunstige voorwaarden een goede docent voor u.

Niet genoeg informatie? - Jij kan !

U kunt wiskundige berekeningen in notitieblokken schrijven. Het is veel prettiger om individueel te schrijven in notitieboekjes met een logo (http://www.blocnot.ru).

De eerste opmerkelijke grens is de volgende gelijkheid:

\begin(vergelijking)\lim_(\alpha\to(0))\frac(\sin\alpha)(\alpha)=1 \end(vergelijking)

Omdat we voor $\alpha\to(0)$ $\sin\alpha\to(0)$ hebben, zeggen ze dat de eerste opmerkelijke limiet een onzekerheid van de vorm $\frac(0)(0)$ onthult. Over het algemeen kan in formule (1) in plaats van de variabele $\alpha$ elke uitdrukking onder het sinusteken en in de noemer worden geplaatst, zolang aan twee voorwaarden wordt voldaan:

  1. De uitdrukkingen onder het sinusteken en in de noemer neigen tegelijkertijd naar nul, d.w.z. er is onzekerheid in de vorm $\frac(0)(0)$.
  2. De uitdrukkingen onder het sinusteken en in de noemer zijn hetzelfde.

Uitvloeisels uit de eerste opmerkelijke grens worden ook vaak gebruikt:

\begin(vergelijking) \lim_(\alpha\to(0))\frac(\tg\alpha)(\alpha)=1 \end(vergelijking) \begin(vergelijking) \lim_(\alpha\to(0) )\frac(\arcsin\alpha)(\alpha)=1 \end(vergelijking) \begin(vergelijking) \lim_(\alpha\to(0))\frac(\arctg\alpha)(\alpha)=1 \einde(vergelijking)

Op deze pagina worden elf voorbeelden opgelost. Voorbeeld nr. 1 is gewijd aan het bewijs van formules (2)-(4). Voorbeelden nr. 2, nr. 3, nr. 4 en nr. 5 bevatten oplossingen met gedetailleerd commentaar. Voorbeelden nr. 6-10 bevatten oplossingen met vrijwel geen commentaar, omdat in eerdere voorbeelden gedetailleerde uitleg werd gegeven. De oplossing maakt gebruik van enkele trigonometrische formules die kunnen worden gevonden.

Ik wil opmerken dat de aanwezigheid van trigonometrische functies gekoppeld aan de onzekerheid $\frac (0) (0)$ niet noodzakelijkerwijs de toepassing van de eerste opmerkelijke limiet betekent. Soms zijn eenvoudige trigonometrische transformaties voldoende, zie bijvoorbeeld.

Voorbeeld nr. 1

Bewijs dat $\lim_(\alpha\to(0))\frac(\tg\alpha)(\alpha)=1$, $\lim_(\alpha\to(0))\frac(\arcsin\alpha ) (\alpha)=1$, $\lim_(\alpha\to(0))\frac(\arctg\alpha)(\alpha)=1$.

a) Sinds $\tg\alpha=\frac(\sin\alpha)(\cos\alpha)$, dan:

$$ \lim_(\alpha\to(0))\frac(\tg(\alpha))(\alpha)=\left|\frac(0)(0)\right| =\lim_(\alpha\to(0))\frac(\sin(\alpha))(\alpha\cos(\alpha)) $$

Sinds $\lim_(\alpha\to(0))\cos(0)=1$ en $\lim_(\alpha\to(0))\frac(\sin\alpha)(\alpha)=1$ , Dat:

$$ \lim_(\alpha\to(0))\frac(\sin(\alpha))(\alpha\cos(\alpha)) =\frac(\displaystyle\lim_(\alpha\to(0)) \frac(\sin(\alpha))(\alpha))(\displaystyle\lim_(\alpha\to(0))\cos(\alpha)) =\frac(1)(1) =1. $$

b) Laten we de wijziging $\alpha=\sin(y)$ doorvoeren. Omdat $\sin(0)=0$, hebben we vanuit de voorwaarde $\alpha\to(0)$ $y\to(0)$. Daarnaast is er een buurt van nul waarin $\arcsin\alpha=\arcsin(\sin(y))=y$, dus:

$$ \lim_(\alpha\to(0))\frac(\arcsin\alpha)(\alpha)=\left|\frac(0)(0)\right| =\lim_(y\tot(0))\frac(y)(\sin(y)) =\lim_(y\tot(0))\frac(1)(\frac(\sin(y))( y)) =\frac(1)(\displaystyle\lim_(y\to(0))\frac(\sin(y))(y)) =\frac(1)(1) =1. $$

De gelijkheid $\lim_(\alpha\to(0))\frac(\arcsin\alpha)(\alpha)=1$ is bewezen.

c) Laten we de vervanging $\alpha=\tg(y)$ maken. Omdat $\tg(0)=0$ zijn de voorwaarden $\alpha\to(0)$ en $y\to(0)$ gelijkwaardig. Bovendien is er een buurt van nul waarin $\arctg\alpha=\arctg\tg(y))=y$, daarom zullen we, gebaseerd op de resultaten van punt a), het volgende hebben:

$$ \lim_(\alpha\to(0))\frac(\arctg\alpha)(\alpha)=\left|\frac(0)(0)\right| =\lim_(y\tot(0))\frac(y)(\tg(y)) =\lim_(y\tot(0))\frac(1)(\frac(\tg(y))( y)) =\frac(1)(\displaystyle\lim_(y\to(0))\frac(\tg(y))(y)) =\frac(1)(1) =1. $$

De gelijkheid $\lim_(\alpha\to(0))\frac(\arctg\alpha)(\alpha)=1$ is bewezen.

Gelijkheden a), b), c) worden vaak samen met de eerste opmerkelijke limiet gebruikt.

Voorbeeld nr. 2

Bereken de limiet $\lim_(x\to(2))\frac(\sin\left(\frac(x^2-4)(x+7)\right))(\frac(x^2-4) (x+7))$.

Sinds $\lim_(x\to(2))\frac(x^2-4)(x+7)=\frac(2^2-4)(2+7)=0$ en $\lim_( x \to(2))\sin\left(\frac(x^2-4)(x+7)\right)=\sin(0)=0$, d.w.z. en zowel de teller als de noemer van de breuk neigen tegelijkertijd naar nul, dan hebben we hier te maken met een onzekerheid van de vorm $\frac(0)(0)$, d.w.z. klaar. Bovendien is het duidelijk dat de uitdrukkingen onder het sinusteken en in de noemer samenvallen (d.w.z. en is voldaan):

Er is dus voldaan aan beide voorwaarden die aan het begin van de pagina worden vermeld. Hieruit volgt dat de formule van toepassing is, d.w.z. $\lim_(x\to(2)) \frac(\sin\left(\frac(x^2-4)(x+7)\right))(\frac(x^2-4)(x+ 7 ))=1$.

Antwoord: $\lim_(x\to(2))\frac(\sin\left(\frac(x^2-4)(x+7)\right))(\frac(x^2-4)(x +7))=1$.

Voorbeeld nr. 3

Zoek $\lim_(x\to(0))\frac(\sin(9x))(x)$.

Omdat $\lim_(x\to(0))\sin(9x)=0$ en $\lim_(x\to(0))x=0$ hebben we te maken met een onzekerheid van de vorm $\frac (0 )(0)$, d.w.z. klaar. De uitdrukkingen onder het sinusteken en in de noemer vallen echter niet samen. Hier moet u de uitdrukking in de noemer aanpassen aan de gewenste vorm. We hebben de uitdrukking $9x$ nodig om in de noemer te staan, dan wordt deze waar. In wezen missen we een factor $9$ in de noemer, wat niet zo moeilijk is om in te voeren. Vermenigvuldig gewoon de uitdrukking in de noemer met $9$. Om de vermenigvuldiging met $9$ te compenseren, moet je uiteraard onmiddellijk delen door $9$:

$$ \lim_(x\to(0))\frac(\sin(9x))(x)=\left|\frac(0)(0)\right| =\lim_(x\naar(0))\frac(\sin(9x))(9x\cdot\frac(1)(9)) =9\lim_(x\naar(0))\frac(\sin (9x))(9x)$$

Nu vallen de uitdrukkingen in de noemer en onder het sinusteken samen. Aan beide voorwaarden voor de limiet $\lim_(x\to(0))\frac(\sin(9x))(9x)$ is voldaan. Daarom is $\lim_(x\to(0))\frac(\sin(9x))(9x)=1$. En dit betekent dat:

$$ 9\lim_(x\to(0))\frac(\sin(9x))(9x)=9\cdot(1)=9. $$

Antwoord: $\lim_(x\to(0))\frac(\sin(9x))(x)=9$.

Voorbeeld nr. 4

Zoek $\lim_(x\to(0))\frac(\sin(5x))(\tg(8x))$.

Omdat $\lim_(x\to(0))\sin(5x)=0$ en $\lim_(x\to(0))\tg(8x)=0$ hebben we hier te maken met onzekerheid van de vorm $\frac(0)(0)$. De vorm van de eerste opmerkelijke grens wordt echter geschonden. Een teller die $\sin(5x)$ bevat, vereist een noemer van $5x$. In deze situatie is de eenvoudigste manier om de teller te delen door $5x$ en dit onmiddellijk te vermenigvuldigen met $5x$. Daarnaast zullen we een soortgelijke bewerking uitvoeren met de noemer, waarbij we $\tg(8x)$ vermenigvuldigen en delen door $8x$:

$$\lim_(x\to(0))\frac(\sin(5x))(\tg(8x))=\left|\frac(0)(0)\right| =\lim_(x\to(0))\frac(\frac(\sin(5x))(5x)\cdot(5x))(\frac(\tg(8x))(8x)\cdot(8x) )$$

Als we reduceren met $x$ en de constante $\frac(5)(8)$ buiten het limietteken nemen, krijgen we:

$$ \lim_(x\to(0))\frac(\frac(\sin(5x))(5x)\cdot(5x))(\frac(\tg(8x))(8x)\cdot(8x )) =\frac(5)(8)\cdot\lim_(x\to(0))\frac(\frac(\sin(5x))(5x))(\frac(\tg(8x))( 8x)) $$

Merk op dat $\lim_(x\to(0))\frac(\sin(5x))(5x)$ volledig voldoet aan de vereisten voor de eerste opmerkelijke limiet. Om $\lim_(x\to(0))\frac(\tg(8x))(8x)$ te vinden is de volgende formule van toepassing:

$$ \frac(5)(8)\cdot\lim_(x\to(0))\frac(\frac(\sin(5x))(5x))(\frac(\tg(8x))(8x )) =\frac(5)(8)\cdot\frac(\displaystyle\lim_(x\to(0))\frac(\sin(5x))(5x))(\displaystyle\lim_(x\to (0))\frac(\tg(8x))(8x)) =\frac(5)(8)\cdot\frac(1)(1) =\frac(5)(8). $$

Antwoord: $\lim_(x\to(0))\frac(\sin(5x))(\tg(8x))=\frac(5)(8)$.

Voorbeeld nr. 5

Zoek $\lim_(x\to(0))\frac(\cos(5x)-\cos^3(5x))(x^2)$.

Aangezien $\lim_(x\to(0))(\cos(5x)-\cos^3(5x))=1-1=0$ (onthoud dat $\cos(0)=1$) en $\ lim_(x\to(0))x^2=0$, dan hebben we te maken met onzekerheid van de vorm $\frac(0)(0)$. Om echter de eerste opmerkelijke limiet toe te passen, moet je de cosinus in de teller verwijderen en verder gaan met sinussen (om vervolgens de formule toe te passen) of raaklijnen (om vervolgens de formule toe te passen). Dit kan met de volgende transformatie:

$$\cos(5x)-\cos^3(5x)=\cos(5x)\cdot\left(1-\cos^2(5x)\right)$$ $$\cos(5x)-\cos ^3(5x)=\cos(5x)\cdot\left(1-\cos^2(5x)\right)=\cos(5x)\cdot\sin^2(5x).$$

Laten we teruggaan naar de limiet:

$$ \lim_(x\to(0))\frac(\cos(5x)-\cos^3(5x))(x^2)=\left|\frac(0)(0)\right| =\lim_(x\to(0))\frac(\cos(5x)\cdot\sin^2(5x))(x^2) =\lim_(x\to(0))\left(\cos (5x)\cdot\frac(\sin^2(5x))(x^2)\right) $$

De breuk $\frac(\sin^2(5x))(x^2)$ ligt al dicht bij de vorm die vereist is voor de eerste opmerkelijke limiet. Laten we een beetje werken met de breuk $\frac(\sin^2(5x))(x^2)$, en deze aanpassen aan de eerste opmerkelijke limiet (merk op dat de uitdrukkingen in de teller en onder de sinus moeten overeenkomen):

$$\frac(\sin^2(5x))(x^2)=\frac(\sin^2(5x))(25x^2\cdot\frac(1)(25))=25\cdot\ frac(\sin^2(5x))(25x^2)=25\cdot\left(\frac(\sin(5x))(5x)\right)^2$$

Laten we terugkeren naar de betreffende limiet:

$$ \lim_(x\to(0))\left(\cos(5x)\cdot\frac(\sin^2(5x))(x^2)\right) =\lim_(x\to(0 ))\left(25\cos(5x)\cdot\left(\frac(\sin(5x))(5x)\right)^2\right)=\\ =25\cdot\lim_(x\to( 0))\cos(5x)\cdot\lim_(x\to(0))\left(\frac(\sin(5x))(5x)\right)^2 =25\cdot(1)\cdot( 1^2) =25. $$

Antwoord: $\lim_(x\to(0))\frac(\cos(5x)-\cos^3(5x))(x^2)=25$.

Voorbeeld nr. 6

Zoek de limiet $\lim_(x\to(0))\frac(1-\cos(6x))(1-\cos(2x))$.

Aangezien $\lim_(x\to(0))(1-\cos(6x))=0$ en $\lim_(x\to(0))(1-\cos(2x))=0$, dan we hebben te maken met onzekerheid $\frac(0)(0)$. Laten we het onthullen met behulp van de eerste opmerkelijke limiet. Om dit te doen, gaan we van cosinus naar sinus. Aangezien $1-\cos(2\alpha)=2\sin^2(\alpha)$, geldt dan:

$$1-\cos(6x)=2\sin^2(3x);\;1-\cos(2x)=2\sin^2(x).$$

Als we doorgaan naar sinussen binnen de gegeven limiet, krijgen we:

$$ \lim_(x\to(0))\frac(1-\cos(6x))(1-\cos(2x))=\left|\frac(0)(0)\right| =\lim_(x\tot(0))\frac(2\sin^2(3x))(2\sin^2(x)) =\lim_(x\tot(0))\frac(\sin^ 2(3x))(\sin^2(x))=\\ =\lim_(x\to(0))\frac(\frac(\sin^2(3x))((3x)^2)\ cdot(3x)^2)(\frac(\sin^2(x))(x^2)\cdot(x^2)) =\lim_(x\to(0))\frac(\left(\ frac(\sin(3x))(3x)\right)^2\cdot(9x^2))(\left(\frac(\sin(x))(x)\right)^2\cdot(x^ 2)) =9\cdot\frac(\displaystyle\lim_(x\to(0))\left(\frac(\sin(3x))(3x)\right)^2)(\displaystyle\lim_(x \to(0))\left(\frac(\sin(x))(x)\right)^2) =9\cdot\frac(1^2)(1^2) =9. $$

Antwoord: $\lim_(x\to(0))\frac(1-\cos(6x))(1-\cos(2x))=9$.

Voorbeeld nr. 7

Bereken de limiet $\lim_(x\to(0))\frac(\cos(\alpha(x))-\cos(\beta(x)))(x^2)$ onderworpen aan $\alpha\neq \ bèta$.

Gedetailleerde uitleg werd eerder gegeven, maar hier merken we simpelweg op dat er opnieuw sprake is van onzekerheid $\frac(0)(0)$. Laten we van cosinus naar sinus gaan met behulp van de formule

$$\cos\alpha-\cos\beta=-2\sin\frac(\alpha+\beta)(2)\cdot\sin\frac(\alpha-\beta)(2).$$

Met behulp van deze formule krijgen we:

$$ \lim_(x\to(0))\frac(\cos(\alpha(x))-\cos(\beta(x)))(x^2)=\left|\frac(0)( 0)\rechts| =\lim_(x\to(0))\frac(-2\sin\frac(\alpha(x)+\beta(x))(2)\cdot\sin\frac(\alpha(x)-\ beta(x))(2))(x^2)=\\ =-2\cdot\lim_(x\to(0))\frac(\sin\left(x\cdot\frac(\alpha+\beta )(2)\right)\cdot\sin\left(x\cdot\frac(\alpha-\beta)(2)\right))(x^2) =-2\cdot\lim_(x\to( 0))\left(\frac(\sin\left(x\cdot\frac(\alpha+\beta)(2)\right))(x)\cdot\frac(\sin\left(x\cdot\frac (\alpha-\beta)(2)\right))(x)\right)=\\ =-2\cdot\lim_(x\to(0))\left(\frac(\sin\left(x \cdot\frac(\alpha+\beta)(2)\right))(x\cdot\frac(\alpha+\beta)(2))\cdot\frac(\alpha+\beta)(2)\cdot\frac (\sin\left(x\cdot\frac(\alpha-\beta)(2)\right))(x\cdot\frac(\alpha-\beta)(2))\cdot\frac(\alpha- \beta)(2)\right)=\\ =-\frac((\alpha+\beta)\cdot(\alpha-\beta))(2)\lim_(x\to(0))\frac(\ sin\left(x\cdot\frac(\alpha+\beta)(2)\right))(x\cdot\frac(\alpha+\beta)(2))\cdot\lim_(x\to(0)) \frac(\sin\left(x\cdot\frac(\alpha-\beta)(2)\right))(x\cdot\frac(\alpha-\beta)(2)) =-\frac(\ alpha^2-\beta^2)(2)\cdot(1)\cdot(1) =\frac(\beta^2-\alpha^2)(2). $$

Antwoord: $\lim_(x\to(0))\frac(\cos(\alpha(x))-\cos(\beta(x)))(x^2)=\frac(\beta^2-\ alfa^2)(2)$.

Voorbeeld nr. 8

Zoek de limiet $\lim_(x\to(0))\frac(\tg(x)-\sin(x))(x^3)$.

Aangezien $\lim_(x\to(0))(\tg(x)-\sin(x))=0$ (onthoud dat $\sin(0)=\tg(0)=0$) en $\ lim_(x\to(0))x^3=0$, dan hebben we hier te maken met onzekerheid van de vorm $\frac(0)(0)$. Laten we het als volgt opsplitsen:

$$ \lim_(x\to(0))\frac(\tg(x)-\sin(x))(x^3)=\left|\frac(0)(0)\right| =\lim_(x\to(0))\frac(\frac(\sin(x))(\cos(x))-\sin(x))(x^3) =\lim_(x\to( 0))\frac(\sin(x)\cdot\left(\frac(1)(\cos(x))-1\right))(x^3) =\lim_(x\to(0)) \frac(\sin(x)\cdot\left(1-\cos(x)\right))(x^3\cdot\cos(x))=\\ =\lim_(x\to(0)) \frac(\sin(x)\cdot(2)\sin^2\frac(x)(2))(x^3\cdot\cos(x)) =\frac(1)(2)\cdot\ lim_(x\to(0))\left(\frac(\sin(x))(x)\cdot\left(\frac(\sin\frac(x)(2))(\frac(x)( 2))\right)^2\cdot\frac(1)(\cos(x))\right) =\frac(1)(2)\cdot(1)\cdot(1^2)\cdot(1 ) =\frac(1)(2). $$

Antwoord: $\lim_(x\to(0))\frac(\tg(x)-\sin(x))(x^3)=\frac(1)(2)$.

Voorbeeld nr. 9

Zoek de limiet $\lim_(x\to(3))\frac(1-\cos(x-3))((x-3)\tg\frac(x-3)(2))$.

Sinds $\lim_(x\to(3))(1-\cos(x-3))=0$ en $\lim_(x\to(3))(x-3)\tg\frac(x - 3)(2)=0$, dan is er onzekerheid van de vorm $\frac(0)(0)$. Voordat u verdergaat met de uitbreiding ervan, is het handig om de variabele zodanig te wijzigen dat de nieuwe variabele naar nul neigt (merk op dat in de formules de variabele $\alpha \to 0$ is). De eenvoudigste manier is om de variabele $t=x-3$ te introduceren. Voor het gemak van verdere transformaties (dit voordeel kun je zien in de loop van de onderstaande oplossing) is het echter de moeite waard om de volgende vervanging uit te voeren: $t=\frac(x-3)(2)$. Ik merk op dat beide vervangingen in dit geval van toepassing zijn, alleen kun je met de tweede vervanging minder met breuken werken. Sinds $x\to(3)$, dan $t\to(0)$.

$$ \lim_(x\to(3))\frac(1-\cos(x-3))((x-3)\tg\frac(x-3)(2))=\left|\frac (0)(0)\rechts| =\left|\begin(uitgelijnd)&t=\frac(x-3)(2);\\&t\to(0)\end(uitgelijnd)\right| =\lim_(t\tot(0))\frac(1-\cos(2t))(2t\cdot\tg(t)) =\lim_(t\tot(0))\frac(2\sin^ 2t)(2t\cdot\tg(t)) =\lim_(t\to(0))\frac(\sin^2t)(t\cdot\tg(t))=\\ =\lim_(t\ to(0))\frac(\sin^2t)(t\cdot\frac(\sin(t))(\cos(t))) =\lim_(t\to(0))\frac(\sin (t)\cos(t))(t) =\lim_(t\to(0))\left(\frac(\sin(t))(t)\cdot\cos(t)\right) =\ lim_(t\tot(0))\frac(\sin(t))(t)\cdot\lim_(t\tot(0))\cos(t) =1\cdot(1) =1. $$

Antwoord: $\lim_(x\to(3))\frac(1-\cos(x-3))((x-3)\tg\frac(x-3)(2))=1$.

Voorbeeld nr. 10

Zoek de limiet $\lim_(x\to\frac(\pi)(2))\frac(1-\sin(x))(\left(\frac(\pi)(2)-x\right)^ 2 )$.

Opnieuw hebben we te maken met onzekerheid $\frac(0)(0)$. Voordat u verdergaat met de uitbreiding ervan, is het handig om de variabele zodanig te wijzigen dat de nieuwe variabele naar nul neigt (merk op dat in de formules de variabele $\alpha\to(0)$ is). De eenvoudigste manier is om de variabele $t=\frac(\pi)(2)-x$ te introduceren. Sinds $x\to\frac(\pi)(2)$, dan $t\to(0)$:

$$ \lim_(x\to\frac(\pi)(2))\frac(1-\sin(x))(\left(\frac(\pi)(2)-x\right)^2) =\links|\frac(0)(0)\rechts| =\left|\begin(uitgelijnd)&t=\frac(\pi)(2)-x;\\&t\to(0)\end(uitgelijnd)\right| =\lim_(t\to(0))\frac(1-\sin\left(\frac(\pi)(2)-t\right))(t^2) =\lim_(t\to(0 ))\frac(1-\cos(t))(t^2)=\\ =\lim_(t\to(0))\frac(2\sin^2\frac(t)(2))( t^2) =2\lim_(t\tot(0))\frac(\sin^2\frac(t)(2))(t^2) =2\lim_(t\tot(0))\ frac(\sin^2\frac(t)(2))(\frac(t^2)(4)\cdot(4)) =\frac(1)(2)\cdot\lim_(t\to( 0))\left(\frac(\sin\frac(t)(2))(\frac(t)(2))\right)^2 =\frac(1)(2)\cdot(1^2 ) =\frac(1)(2). $$

Antwoord: $\lim_(x\to\frac(\pi)(2))\frac(1-\sin(x))(\left(\frac(\pi)(2)-x\right)^2) =\frac(1)(2)$.

Voorbeeld nr. 11

Zoek de limieten $\lim_(x\to\frac(\pi)(2))\frac(1-\sin(x))(\cos^2x)$, $\lim_(x\to\frac(2) \ pi)(3))\frac(\tg(x)+\sqrt(3))(2\cos(x)+1)$.

In dit geval hoeven we de eerste prachtige limiet niet te gebruiken. Houd er rekening mee dat zowel de eerste als de tweede limiet alleen trigonometrische functies en getallen bevatten. Vaak is het in dit soort voorbeelden mogelijk om de uitdrukking onder het limietteken te vereenvoudigen. Bovendien verdwijnt de onzekerheid na de bovengenoemde vereenvoudiging en reductie van enkele factoren. Ik heb dit voorbeeld slechts voor één doel gegeven: om aan te tonen dat de aanwezigheid van trigonometrische functies onder het limietteken niet noodzakelijkerwijs het gebruik van de eerste opmerkelijke limiet betekent.

Omdat $\lim_(x\to\frac(\pi)(2))(1-\sin(x))=0$ (onthoud dat $\sin\frac(\pi)(2)=1$ ) en $\lim_(x\to\frac(\pi)(2))\cos^2x=0$ (laat me je eraan herinneren dat $\cos\frac(\pi)(2)=0$), dan hebben we omgaan met onzekerheid van de vorm $\frac(0)(0)$. Dit betekent echter niet dat we de eerste prachtige limiet moeten gebruiken. Om de onzekerheid duidelijk te maken, volstaat het om rekening te houden met het volgende: $\cos^2x=1-\sin^2x$:

$$ \lim_(x\to\frac(\pi)(2))\frac(1-\sin(x))(\cos^2x) =\left|\frac(0)(0)\right| =\lim_(x\naar\frac(\pi)(2))\frac(1-\sin(x))(1-\sin^2x) =\lim_(x\naar\frac(\pi)( 2))\frac(1-\sin(x))((1-\sin(x))(1+\sin(x))) =\lim_(x\to\frac(\pi)(2) )\frac(1)(1+\sin(x)) =\frac(1)(1+1) =\frac(1)(2). $$

Er staat een soortgelijke oplossing in het oplossingenboek van Demidovich (nr. 475). Wat de tweede limiet betreft, hebben we, net als in de voorgaande voorbeelden in deze sectie, een onzekerheid van de vorm $\frac(0)(0)$. Waarom ontstaat het? Het ontstaat omdat $\tg\frac(2\pi)(3)=-\sqrt(3)$ en $2\cos\frac(2\pi)(3)=-1$. We gebruiken deze waarden om de uitdrukkingen in de teller en de noemer te transformeren. Het doel van onze acties is om de som als product in de teller en de noemer op te schrijven. Overigens is het binnen een soortgelijk type vaak handig om een ​​variabele te wijzigen, die zo is gemaakt dat de nieuwe variabele naar nul neigt (zie bijvoorbeeld voorbeelden nr. 9 of nr. 10 op deze pagina). In dit voorbeeld heeft het echter geen zin om te vervangen, hoewel het desgewenst vervangen van de variabele $t=x-\frac(2\pi)(3)$ niet moeilijk te implementeren is.

$$ \lim_(x\to\frac(2\pi)(3))\frac(\tg(x)+\sqrt(3))(2\cos(x)+1) =\lim_(x\ naar\frac(2\pi)(3))\frac(\tg(x)+\sqrt(3))(2\cdot\left(\cos(x)+\frac(1)(2)\right )) =\lim_(x\to\frac(2\pi)(3))\frac(\tg(x)-\tg\frac(2\pi)(3))(2\cdot\left(\ cos(x)-\cos\frac(2\pi)(3)\right))=\\ =\lim_(x\to\frac(2\pi)(3))\frac(\frac(\sin \left(x-\frac(2\pi)(3)\right))(\cos(x)\cos\frac(2\pi)(3)))(-4\sin\frac(x+\frac (2\pi)(3))(2)\sin\frac(x-\frac(2\pi)(3))(2)) =\lim_(x\to\frac(2\pi)(3 ))\frac(\sin\left(x-\frac(2\pi)(3)\right))(-4\sin\frac(x+\frac(2\pi)(3))(2)\ sin\frac(x-\frac(2\pi)(3))(2)\cos(x)\cos\frac(2\pi)(3))=\\ =\lim_(x\to\frac (2\pi)(3))\frac(2\sin\frac(x-\frac(2\pi)(3))(2)\cos\frac(x-\frac(2\pi)(3 ))(2))(-4\sin\frac(x+\frac(2\pi)(3))(2)\sin\frac(x-\frac(2\pi)(3))(2) \cos(x)\cos\frac(2\pi)(3)) =\lim_(x\to\frac(2\pi)(3))\frac(\cos\frac(x-\frac(2) \pi)(3))(2))(-2\sin\frac(x+\frac(2\pi)(3))(2)\cos(x)\cos\frac(2\pi)(3 ))=\\ =\frac(1)(-2\cdot\frac(\sqrt(3))(2)\cdot\left(-\frac(1)(2)\right)\cdot\left( -\frac(1)(2)\right)) =-\frac(4)(\sqrt(3)). $$

Zoals je kunt zien, hoefden we de eerste prachtige limiet niet toe te passen. Natuurlijk kunt u dit doen als u dat wilt (zie opmerking hieronder), maar het is niet noodzakelijk.

Wat is de oplossing met behulp van de eerste opmerkelijke limiet? laten zien verbergen

Met behulp van de eerste opmerkelijke limiet krijgen we:

$$ \lim_(x\to\frac(2\pi)(3))\frac(\sin\left(x-\frac(2\pi)(3)\right))(-4\sin\frac (x+\frac(2\pi)(3))(2)\sin\frac(x-\frac(2\pi)(3))(2)\cos(x)\cos\frac(2\pi )(3))=\\ =\lim_(x\to\frac(2\pi)(3))\left(\frac(\sin\left(x-\frac(2\pi)(3)\ rechts))(x-\frac(2\pi)(3))\cdot\frac(1)(\frac(\sin\frac(x-\frac(2\pi)(3))(2)) (\frac(x-\frac(2\pi)(3))(2)))\cdot\frac(1)(-2\sin\frac(x+\frac(2\pi)(3))( 2)\cos(x)\cos\frac(2\pi)(3))\right) =1\cdot(1)\cdot\frac(1)(-2\cdot\frac(\sqrt(3) )(2)\cdot\left(-\frac(1)(2)\right)\cdot\left(-\frac(1)(2)\right)) =-\frac(4)(\sqrt( 3)). $$

Antwoord: $\lim_(x\to\frac(\pi)(2))\frac(1-\sin(x))(\cos^2x)=\frac(1)(2)$, $\lim_( x\to\frac(2\pi)(3))\frac(\tg(x)+\sqrt(3))(2\cos(x)+1)=-\frac(4)(\sqrt( 3))$.

Bewijs:

Laten we eerst de stelling bewijzen voor het geval van de reeks

Volgens de binominale formule van Newton:

Ervan uitgaande dat we het krijgen

Uit deze gelijkheid (1) volgt dat naarmate n toeneemt, het aantal positieve termen aan de rechterkant toeneemt. Bovendien neemt het aantal af naarmate n toeneemt, en dus ook de waarden nemen toe. Daarom de volgorde toenemend, en (2)*We laten zien dat het begrensd is. Vervang elk haakje aan de rechterkant van de gelijkheid door één, de rechterkant wordt groter en we krijgen de ongelijkheid

Laten we de resulterende ongelijkheid versterken, 3,4,5, ..., staande in de noemers van de breuken, vervangen door het getal 2: We vinden de som tussen haakjes met behulp van de formule voor de som van de termen van een geometrische progressie: Daarom (3)*

De reeks wordt dus van bovenaf begrensd en er is voldaan aan de ongelijkheden (2) en (3): Daarom is de reeks gebaseerd op de stelling van Weierstrass (criterium voor de convergentie van een reeks). neemt monotoon toe en is beperkt, wat betekent dat het een limiet heeft, aangegeven met de letter e. Die.

Wetende dat de tweede opmerkelijke limiet geldt voor natuurlijke waarden van x, bewijzen we de tweede opmerkelijke limiet voor reële x, dat wil zeggen, we bewijzen dat . Laten we twee gevallen bekijken:

1. Laat elke waarde van x tussen twee positieve gehele getallen staan: ,waar is het gehele deel van x. => =>

Als , dan Daarom, volgens de limiet We hebben

Gebaseerd op het criterium (over de limiet van een tussenfunctie) van het bestaan ​​van limieten

2. Laat . Laten we dan de substitutie − x = t maken

Uit deze twee gevallen volgt het volgende voor echte x.

Gevolgen:

9 .) Vergelijking van oneindige getallen. De stelling over het vervangen van oneindig kleine getallen door gelijkwaardige exemplaren in de limiet en de stelling over het grootste deel van oneindig kleine getallen.

Laat de functies a( X) en B( X) – b.m. bij X ® X 0 .

DEFINITIES.

1)een( X) genaamd oneindig veel hogere orde dan B (X) Als

Schrijf op: een( X) = o(b( X)) .

2)een( X) En B( X)worden genoemd oneindig kleine getallen van dezelfde orde, Als

waar CÎℝ en C¹ 0 .

Schrijf op: een( X) = O(B( X)) .

3)een( X) En B( X) worden genoemd equivalent , Als

Schrijf op: een( X) ~ b( X).

4)een( X) oneindig klein van orde k relatief genoemd
absoluut oneindig klein B( X), als het oneindig klein is A( X)En(B( X))k dezelfde volgorde hebben, d.w.z. Als

waar CÎℝ en C¹ 0 .

STELLING 6 (over het vervangen van oneindig kleine getallen door gelijkwaardige exemplaren).

Laten A( X), B( X), een 1 ( X), b 1 ( X)– b.m. bij x ® X 0 . Als A( X) ~ een 1 ( X), B( X) ~ b1 ( X),

Dat

Bewijs: Laat a( X) ~ een 1 ( X), B( X) ~ b1 ( X), Dan

STELLING 7 (ongeveer het grootste deel van het oneindig kleine).

Laten A( X)En B( X)– b.m. bij x ® X 0 , En B( X)– b.m. hogere orde dan A( X).

= , a sinds b( X) – hogere orde dan a( X), dan, d.w.z. van het is duidelijk dat een ( X) + b( X) ~ een( X)

10) Continuïteit van een functie op een punt (in de taal van epsilon-delta, geometrische grenzen) Eenzijdige continuïteit. Continuïteit op een interval, op een segment. Eigenschappen van continue functies.

1. Basisdefinities

Laten F(X) is gedefinieerd in een bepaalde buurt van het punt X 0 .

DEFINITIE 1. Functie f(X) genaamd continu op een punt X 0 als de gelijkheid waar is

Opmerkingen.

1) Op grond van Stelling 5 §3 kan gelijkheid (1) in de vorm worden geschreven

Conditie (2) – definitie van continuïteit van een functie op een punt in de taal van eenzijdige grenzen.

2) Gelijkheid (1) kan ook geschreven worden als:

Ze zeggen: “als een functie in een punt continu is X 0, dan kunnen het teken van de limiet en de functie worden verwisseld."

DEFINITIE 2 (in e-d-taal).

Functie f(X) genaamd continu op een punt X 0 Als"e>0 $d>0 zo een, Wat

als xОU( X 0 , d) (dat wil zeggen | X – X 0 | < d),

dan f(X)ÎU( F(X 0), e) (dat wil zeggen | F(X) – F(X 0) | < e).

Laten X, X 0 Î D(F) (X 0 – vast, X - willekeurig)

Laten we aanduiden: D X= x – x 0 – argumentverhoging

D F(X 0) = F(X) – F(X 0) – toename van de functie op pointx 0

DEFINITIE 3 (geometrisch).

Functie f(X) op genaamd continu op een punt X 0 als op dit punt een oneindig kleine toename in het argument overeenkomt met een oneindig kleine toename in de functie, d.w.z.

Laat de functie F(X) wordt gedefinieerd op het interval [ X 0 ; X 0 + d) (op het interval ( X 0 – d; X 0 ]).

DEFINITIE. Functie f(X) genaamd continu op een punt X 0 rechts (links ), als de gelijkheid waar is

Dat is duidelijk F(X) is continu op het punt X 0 Û F(X) is continu op het punt X 0 rechts en links.

DEFINITIE. Functie f(X) genaamd continu gedurende een interval e ( A; B) als het continu is op elk punt van dit interval.

Functie f(X) wordt continu op het segment genoemd [A; B] als het continu is op het interval (A; B) en heeft eenrichtingscontinuïteit op de grenspunten(dat wil zeggen continu op het punt A aan de rechterkant, op het punt B- links).

11) Breekpunten, hun classificatie

DEFINITIE. Als functie f(X) gedefinieerd in een bepaalde omgeving van punt x 0 , maar is op dit punt dus niet continu F(X) discontinu genoemd in punt x 0 , en het punt zelf X 0 het breekpunt genoemd functies f(X) .

Opmerkingen.

1) F(X) kan worden gedefinieerd in een onvolledige buurt van het punt X 0 .

Beschouw vervolgens de overeenkomstige eenzijdige continuïteit van de functie.

2) Uit de definitie van Þ punt X 0 is het breekpunt van de functie F(X) in twee gevallen:

a) U( X 0 , d)О D(F) , maar voor F(X) Gelijkheid geldt niet

b) U * ( X 0 , d)О D(F) .

Voor elementaire functies is alleen geval b) mogelijk.

Laten X 0 – functiebreekpunt F(X) .

DEFINITIE. Punt x 0 genaamd breekpunt I soort van als functie f(X)heeft op dit punt eindige grenzen aan de linker- en rechterkant.

Als deze limieten gelijk zijn, dan punt x 0 genaamd verwijderbaar breekpunt , anders - sprong punt .

DEFINITIE. Punt x 0 genaamd breekpunt II soort van als ten minste één van de eenzijdige grenzen van de functie f(X)op dit punt is gelijk¥ of bestaat niet.

12) Eigenschappen van functies die continu zijn op een interval (stellingen van Weierstrass (zonder bewijs) en Cauchy

De stelling van Weierstrass

Laat de functie f(x) dan continu zijn op het interval

1)f(x)is beperkt tot

2) f(x) neemt de kleinste en grootste waarde op het interval aan

Definitie: De waarde van de functie m=f wordt de kleinste genoemd als m≤f(x) voor elke x€ D(f).

Er wordt gezegd dat de waarde van de functie m=f het grootst is als m≥f(x) voor elke x € D(f).

De functie kan op verschillende punten van het segment de kleinste/grootste waarde aannemen.

f(x 3)=f(x 4)=max

De stelling van Cauchy.

Laat de functie f(x) continu zijn op het segment en x het getal tussen f(a) en f(b) zijn, dan is er minstens één punt x 0 € zodat f(x 0)= g