Gedeeltelijke oplossing van de diffin detail. Het oplossen van de eenvoudigste differentiaalvergelijkingen van de eerste orde

I. Gewone differentiaalvergelijkingen

1.1. Basisconcepten en definities

Een differentiaalvergelijking is een vergelijking die een onafhankelijke variabele in verband brengt X, de vereiste functie j en zijn derivaten of verschillen.

Symbolisch wordt de differentiaalvergelijking als volgt geschreven:

F(x,y,y")=0, F(x,y,y")=0, F(x,y,y",y",.., y (n))=0

Een differentiaalvergelijking wordt gewoon genoemd als de vereiste functie afhangt van één onafhankelijke variabele.

Een differentiaalvergelijking oplossen wordt een functie genoemd die deze vergelijking in een identiteit verandert.

De volgorde van de differentiaalvergelijking is de orde van de hoogste afgeleide in deze vergelijking

Voorbeelden.

1. Beschouw een differentiaalvergelijking van de eerste orde

De oplossing voor deze vergelijking is de functie y = 5 ln x. Vervanging inderdaad jij" in de vergelijking, krijgen we de identiteit.

En dit betekent dat de functie y = 5 ln x– een oplossing is voor deze differentiaalvergelijking.

2. Beschouw de differentiaalvergelijking van de tweede orde y" - 5j" +6j = 0. De functie is de oplossing van deze vergelijking.

Echt, .

Door deze uitdrukkingen in de vergelijking in te vullen, verkrijgen we: , – identiteit.

En dit betekent dat de functie de oplossing is voor deze differentiaalvergelijking.

Differentiaalvergelijkingen integreren is het proces van het vinden van oplossingen voor differentiaalvergelijkingen.

Algemene oplossing van de differentiaalvergelijking een functie van de vorm genoemd , die evenveel onafhankelijke willekeurige constanten bevat als de volgorde van de vergelijking.

Gedeeltelijke oplossing van de differentiaalvergelijking is een oplossing verkregen uit een algemene oplossing voor verschillende numerieke waarden van willekeurige constanten. De waarden van willekeurige constanten worden gevonden bij bepaalde beginwaarden van het argument en de functie.

De grafiek van een bepaalde oplossing van een differentiaalvergelijking wordt genoemd integrale kromme.

Voorbeelden

1. Zoek een specifieke oplossing voor een differentiaalvergelijking van de eerste orde

xdx + ydy = 0, Als j= 4 bij X = 3.

Oplossing. Als we beide kanten van de vergelijking integreren, krijgen we

Opmerking. Een willekeurige constante C verkregen als resultaat van integratie kan in elke vorm worden weergegeven die geschikt is voor verdere transformaties. In dit geval is het, rekening houdend met de canonieke vergelijking van een cirkel, handig om een ​​willekeurige constante C in de vorm weer te geven.

- algemene oplossing van de differentiaalvergelijking.

Bepaalde oplossing van de vergelijking die aan de beginvoorwaarden voldoet j = 4 bij X = 3 wordt gevonden uit de algemene oplossing door de beginvoorwaarden te vervangen door de algemene oplossing: 3 2 + 4 2 = C 2 ; C=5.

Als we C=5 in de algemene oplossing vervangen, krijgen we: x 2 +y 2 = 5 2 .

Dit is een specifieke oplossing voor een differentiaalvergelijking die wordt verkregen uit een algemene oplossing onder gegeven beginvoorwaarden.

2. Vind de algemene oplossing van de differentiaalvergelijking

De oplossing voor deze vergelijking is elke functie van de vorm , waarbij C een willekeurige constante is. Als we in de vergelijkingen invullen, verkrijgen we inderdaad: , .

Bijgevolg heeft deze differentiaalvergelijking een oneindig aantal oplossingen, omdat voor verschillende waarden van de constante C gelijkheid verschillende oplossingen voor de vergelijking bepaalt.

Door directe vervanging kunt u bijvoorbeeld verifiëren dat de functionaliteit werkt zijn oplossingen voor de vergelijking.

Een probleem waarbij je een bepaalde oplossing voor de vergelijking moet vinden y" = f(x,y) voldoen aan de beginvoorwaarde y(x0) = y0, wordt het Cauchy-probleem genoemd.

De vergelijking oplossen y" = f(x,y), die voldoet aan de beginvoorwaarde, y(x0) = y0, wordt een oplossing voor het Cauchy-probleem genoemd.

De oplossing voor het Cauchy-probleem heeft een eenvoudige geometrische betekenis. Volgens deze definities inderdaad om het Cauchy-probleem op te lossen y" = f(x,y) gezien dat y(x0) = y0, betekent het vinden van de integrale curve van de vergelijking y" = f(x,y) die door een bepaald punt gaat M 0 (x 0,j 0).

II. Differentiaalvergelijkingen van de eerste orde

2.1. Basisconcepten

Een differentiaalvergelijking van de eerste orde is een vergelijking van de vorm F(x,y,y") = 0.

Een differentiaalvergelijking van de eerste orde omvat de eerste afgeleide en omvat geen afgeleiden van hogere orde.

De vergelijking y" = f(x,y) wordt een vergelijking van de eerste orde genoemd, opgelost met betrekking tot de afgeleide.

De algemene oplossing van een differentiaalvergelijking van de eerste orde is een functie van de vorm , die één willekeurige constante bevat.

Voorbeeld. Beschouw een differentiaalvergelijking van de eerste orde.

De oplossing van deze vergelijking is de functie.

Als we deze vergelijking vervangen door de waarde ervan, krijgen we inderdaad

dat is 3x=3x

Daarom is de functie een algemene oplossing voor de vergelijking voor elke constante C.

Zoek een specifieke oplossing voor deze vergelijking die aan de beginvoorwaarde voldoet y(1)=1 Beginvoorwaarden vervangen x = 1, y = 1 in de algemene oplossing van de vergelijking, komen we vandaan C=0.

We verkrijgen dus een specifieke oplossing uit de algemene oplossing door de resulterende waarde in deze vergelijking te vervangen C=0– particuliere oplossing.

2.2. Differentiaalvergelijkingen met scheidbare variabelen

Een differentiaalvergelijking met scheidbare variabelen is een vergelijking van de vorm: y"=f(x)g(y) of via verschillen, waar f(x) En g(j)– gespecificeerde functies.

Voor degenen j, waarvoor , de vergelijking y"=f(x)g(y) is gelijk aan de vergelijking, waarin de variabele j is alleen aan de linkerkant aanwezig en de variabele x bevindt zich alleen aan de rechterkant. Ze zeggen: "in vgl. y"=f(x)g(y Laten we de variabelen scheiden."

Vergelijking van de vorm een gescheiden variabele vergelijking genoemd.

Integratie van beide kanten van de vergelijking Door X, we krijgen G(y) = F(x) + C is de algemene oplossing van de vergelijking, waarbij G(y) En F(x)– enkele primitieve namen van respectievelijk functies en f(x), C willekeurige constante.

Algoritme voor het oplossen van een differentiaalvergelijking van de eerste orde met scheidbare variabelen

voorbeeld 1

Los De vergelijking op y" = xy

Oplossing. Afgeleide van een functie jij" vervang het door

laten we de variabelen scheiden

Laten we beide kanten van de gelijkheid integreren:

Voorbeeld 2

2jj" = 1- 3x 2, Als j 0 = 3 bij x0 = 1

Dit is een vergelijking met gescheiden variabelen. Laten we het ons voorstellen in verschillen. Om dit te doen, herschrijven we deze vergelijking in de vorm Vanaf hier

Als we beide kanten van de laatste gelijkheid integreren, vinden we

Vervanging van de initiële waarden x 0 = 1, y 0 = 3 wij zullen vinden MET 9=1-1+C, d.w.z. C = 9.

Daarom zal de vereiste gedeeltelijke integraal zijn of

Voorbeeld 3

Schrijf een vergelijking voor een kromme die door een punt gaat M(2;-3) en met een raaklijn met een hoekcoëfficiënt

Oplossing. Volgens de voorwaarde

Dit is een vergelijking met scheidbare variabelen. Als we de variabelen delen, krijgen we:

Als we beide kanten van de vergelijking integreren, krijgen we:

Gebruikmakend van de beginvoorwaarden, x = 2 En j = - 3 wij zullen vinden C:

Daarom heeft de vereiste vergelijking de vorm

2.3. Lineaire differentiaalvergelijkingen van de eerste orde

Een lineaire differentiaalvergelijking van de eerste orde is een vormvergelijking y" = f(x)y + g(x)

Waar f(x) En g(x)- enkele gespecificeerde functies.

Als g(x)=0 dan wordt de lineaire differentiaalvergelijking homogeen genoemd en heeft deze de vorm: y" = f(x)y

Als dan de vergelijking y" = f(x)y + g(x) heet heterogeen.

Algemene oplossing van een lineaire homogene differentiaalvergelijking y" = f(x)y wordt gegeven door de formule: waar MET– willekeurige constante.

In het bijzonder, als C =0, dan is de oplossing j = 0 Als een lineaire homogene vergelijking de vorm heeft y" = ky Waar k een constante is, dan heeft de algemene oplossing de vorm: .

Algemene oplossing van een lineaire inhomogene differentiaalvergelijking y" = f(x)y + g(x) wordt gegeven door de formule ,

die. is gelijk aan de som van de algemene oplossing van de overeenkomstige lineaire homogene vergelijking en de specifieke oplossing van deze vergelijking.

Voor een lineaire inhomogene vergelijking van de vorm y" = kx + b,

Waar k En B- sommige getallen en een bepaalde oplossing zullen een constante functie zijn. Daarom heeft de algemene oplossing de vorm .

Voorbeeld. Los De vergelijking op y" + 2y +3 = 0

Oplossing. Laten we de vergelijking in het formulier weergeven y" = -2y - 3 Waar k = -2, b = -3 De algemene oplossing wordt gegeven door de formule.

Daarom is C een willekeurige constante.

2.4. Oplossen van lineaire differentiaalvergelijkingen van de eerste orde volgens de Bernoulli-methode

Een algemene oplossing vinden voor een lineaire differentiaalvergelijking van de eerste orde y" = f(x)y + g(x) reduceert tot het oplossen van twee differentiaalvergelijkingen met gescheiden variabelen met behulp van substitutie jij=uv, Waar u En v- onbekende functies van X. Deze oplossingsmethode wordt de methode van Bernoulli genoemd.

Algoritme voor het oplossen van een lineaire differentiaalvergelijking van de eerste orde

y" = f(x)y + g(x)

1. Voer vervanging in jij=uv.

2. Differentieer deze gelijkheid y" = u"v + uv"

3. Vervanging j En jij" in deze vergelijking: u"v + uv" =f(x)uv + g(x) of u"v + uv" + f(x)uv = g(x).

4. Groepeer de termen van de vergelijking zo dat u haal het tussen haakjes:

5. Zoek de functie uit de haak, stel deze gelijk aan nul

Dit is een scheidbare vergelijking:

Laten we de variabelen verdelen en krijgen:

Waar . .

6. Vervang de resulterende waarde v in de vergelijking (uit stap 4):

en zoek de functie Dit is een vergelijking met scheidbare variabelen:

7. Schrijf de algemene oplossing in de vorm: , d.w.z. .

voorbeeld 1

Zoek een bepaalde oplossing voor de vergelijking y" = -2y +3 = 0 Als j = 1 bij x = 0

Oplossing. Laten we het oplossen met behulp van vervanging jij=uv,.y" = u"v + uv"

Vervanging j En jij" in deze vergelijking krijgen we

Door de tweede en derde term aan de linkerkant van de vergelijking te groeperen, halen we de gemeenschappelijke factor eruit u buiten haakjes

We stellen de uitdrukking tussen haakjes gelijk aan nul en nadat we de resulterende vergelijking hebben opgelost, vinden we de functie v = v(x)

We krijgen een vergelijking met gescheiden variabelen. Laten we beide kanten van deze vergelijking integreren: Zoek de functie v:

Laten we de resulterende waarde vervangen v in de vergelijking die we krijgen:

Dit is een vergelijking met gescheiden variabelen. Laten we beide kanten van de vergelijking integreren: Laten we de functie vinden u = u(x,c) Laten we een algemene oplossing vinden: Laten we een bepaalde oplossing voor de vergelijking vinden die aan de beginvoorwaarden voldoet j = 1 bij x = 0:

III. Differentiaalvergelijkingen van hogere orde

3.1. Basisconcepten en definities

Een differentiaalvergelijking van de tweede orde is een vergelijking die afgeleiden bevat die niet hoger zijn dan de tweede orde. In het algemene geval wordt een differentiaalvergelijking van de tweede orde geschreven als: F(x,y,y",y") = 0

De algemene oplossing van een differentiaalvergelijking van de tweede orde is een functie van de vorm , die twee willekeurige constanten omvat C 1 En C 2.

Een bijzondere oplossing voor een differentiaalvergelijking van de tweede orde is een oplossing verkregen uit een algemene oplossing voor bepaalde waarden van willekeurige constanten C 1 En C 2.

3.2. Lineaire homogene differentiaalvergelijkingen van de tweede orde met constante coëfficiënten.

Lineaire homogene differentiaalvergelijking van de tweede orde met constante coëfficiënten een vormvergelijking genoemd y" + py" +qy = 0, Waar P En Q- constante waarden.

Algoritme voor het oplossen van homogene differentiaalvergelijkingen van de tweede orde met constante coëfficiënten

1. Schrijf de differentiaalvergelijking in de vorm: y" + py" +qy = 0.

2. Creëer de karakteristieke vergelijking, ter aanduiding jij" door r2, jij" door R, j in 1: r2 +pr+q = 0

Differentiaalvergelijkingen oplossen. Dankzij onze online service kunt u differentiaalvergelijkingen van elk type en complexiteit oplossen: inhomogeen, homogeen, niet-lineair, lineair, eerste, tweede orde, met scheidbare of niet-scheidbare variabelen, enz. U ontvangt een oplossing voor differentiaalvergelijkingen in analytische vorm met een gedetailleerde beschrijving. Veel mensen zijn geïnteresseerd: waarom is het nodig om differentiaalvergelijkingen online op te lossen? Dit type vergelijking is heel gebruikelijk in de wiskunde en natuurkunde, waar het onmogelijk zal zijn om veel problemen op te lossen zonder de differentiaalvergelijking te berekenen. Differentiaalvergelijkingen zijn ook gebruikelijk in de economie, geneeskunde, biologie, scheikunde en andere wetenschappen. Het online oplossen van een dergelijke vergelijking vereenvoudigt uw taken aanzienlijk, geeft u de mogelijkheid om de stof beter te begrijpen en uzelf te testen. Voordelen van het online oplossen van differentiaalvergelijkingen. Op een moderne wiskundige servicewebsite kunt u online differentiaalvergelijkingen van elke complexiteit oplossen. Zoals u weet, zijn er een groot aantal soorten differentiaalvergelijkingen en elk ervan heeft zijn eigen oplossingsmethoden. Op onze service kunt u online oplossingen vinden voor differentiaalvergelijkingen van elke orde en soort. Om een ​​oplossing te krijgen, raden wij u aan de initiële gegevens in te vullen en op de knop “Oplossing” te klikken. Fouten in de werking van de dienst zijn uitgesloten, zodat u er 100% zeker van kunt zijn dat u het juiste antwoord heeft ontvangen. Los differentiaalvergelijkingen op met onze service. Los differentiaalvergelijkingen online op. Standaard is in een dergelijke vergelijking de functie y een functie van de x-variabele. Maar u kunt ook uw eigen variabeleaanduiding opgeven. Als u bijvoorbeeld y(t) opgeeft in een differentiaalvergelijking, bepaalt onze service automatisch dat y een functie is van de variabele t. De volgorde van de gehele differentiaalvergelijking zal afhangen van de maximale volgorde van de afgeleide van de functie die in de vergelijking aanwezig is. Het oplossen van een dergelijke vergelijking betekent het vinden van de gewenste functie. Onze service helpt u bij het online oplossen van differentiaalvergelijkingen. Het kost u niet veel moeite om de vergelijking op te lossen. U hoeft alleen maar de linker- en rechterkant van uw vergelijking in de vereiste velden in te voeren en op de knop "Oplossing" te klikken. Bij het invoeren moet de afgeleide van een functie worden aangegeven met een apostrof. Binnen enkele seconden ontvangt u een kant-en-klare gedetailleerde oplossing voor de differentiaalvergelijking. Onze service is geheel gratis. Differentiaalvergelijkingen met scheidbare variabelen. Als er in een differentiaalvergelijking aan de linkerkant een uitdrukking is die afhangt van y, en aan de rechterkant een uitdrukking die afhangt van x, dan heet zo'n differentiaalvergelijking met scheidbare variabelen. De linkerkant kan een afgeleide van y bevatten; de oplossing voor dit soort differentiaalvergelijkingen zal de vorm hebben van een functie van y, uitgedrukt door de integraal van de rechterkant van de vergelijking. Als er aan de linkerkant een differentiaal is van de functie van y, dan zijn in dit geval beide zijden van de vergelijking geïntegreerd. Wanneer de variabelen in een differentiaalvergelijking niet gescheiden zijn, zullen ze gescheiden moeten worden om een ​​gescheiden differentiaalvergelijking te verkrijgen. Lineaire differentiaalvergelijking. Een differentiaalvergelijking waarvan de functie en al zijn afgeleiden in de eerste graad liggen, wordt lineair genoemd. Algemene vorm van de vergelijking: y’+a1(x)y=f(x). f(x) en a1(x) zijn continue functies van x. Het oplossen van dit soort differentiaalvergelijkingen komt neer op het integreren van twee differentiaalvergelijkingen met gescheiden variabelen. Volgorde van differentiaalvergelijking. Een differentiaalvergelijking kan van de eerste, tweede, n-de orde zijn. De volgorde van een differentiaalvergelijking bepaalt de volgorde van de hoogste afgeleide die deze bevat. In onze service kunt u online differentiaalvergelijkingen oplossen voor de eerste, tweede, derde, enz. volgorde. De oplossing voor de vergelijking zal elke functie y=f(x) zijn. Als je deze in de vergelijking vervangt, krijg je een identiteit. Het proces van het vinden van een oplossing voor een differentiaalvergelijking wordt integratie genoemd. Cauchy-probleem. Als naast de differentiaalvergelijking zelf ook de beginvoorwaarde y(x0)=y0 wordt gegeven, dan wordt dit het Cauchy-probleem genoemd. De indicatoren y0 en x0 worden toegevoegd aan de oplossing van de vergelijking en de waarde van een willekeurige constante C wordt bepaald, en vervolgens wordt een bepaalde oplossing van de vergelijking bepaald bij deze waarde van C. Dit is de oplossing voor het Cauchy-probleem. Het Cauchy-probleem wordt ook wel een probleem met randvoorwaarden genoemd, wat veel voorkomt in de natuurkunde en mechanica. Je hebt ook de mogelijkheid om het Cauchy-probleem in te stellen, dat wil zeggen dat je uit alle mogelijke oplossingen voor de vergelijking een quotiënt selecteert dat aan de gegeven beginvoorwaarden voldoet.

Differentiaalvergelijkingen van de eerste orde. Voorbeelden van oplossingen.
Differentiaalvergelijkingen met scheidbare variabelen

Differentiaalvergelijkingen (DE). Deze twee woorden maken de gemiddelde persoon meestal bang. Differentiaalvergelijkingen lijken voor veel studenten iets onbetaalbaars en moeilijks te beheersen. Uuuuuu... differentiaalvergelijkingen, hoe kan ik dit allemaal overleven?!

Deze mening en deze houding zijn fundamenteel verkeerd, omdat het feitelijk zo is DIFFERENTIEELVERGELIJKINGEN - HET IS EENVOUDIG EN ZELFS LEUK. Wat moet je weten en kunnen om differentiaalvergelijkingen te leren oplossen? Om diffuus succesvol te bestuderen, moet je goed zijn in integreren en differentiëren. Hoe beter de onderwerpen worden bestudeerd Afgeleide van een functie van één variabele En Onbepaalde integraal, hoe gemakkelijker het zal zijn om differentiaalvergelijkingen te begrijpen. Ik zal nog meer zeggen: als je min of meer behoorlijke integratievaardigheden hebt, dan heb je het onderwerp bijna onder de knie! Hoe meer integralen van verschillende typen je kunt oplossen, hoe beter. Waarom? Je zult veel moeten integreren. En differentiëren. Ook ten zeerste aanbevelen leren vinden.

In 95% van de gevallen bevatten testpapieren 3 soorten differentiaalvergelijkingen van de eerste orde: scheidbare vergelijkingen waar we in deze les naar zullen kijken; homogene vergelijkingen En lineaire inhomogene vergelijkingen. Voor degenen die beginnen met het bestuderen van diffusers, raad ik je aan de lessen in precies deze volgorde te lezen, en na het bestuderen van de eerste twee artikelen kan het geen kwaad om je vaardigheden te consolideren in een extra workshop - vergelijkingen reduceren tot homogeen.

Er zijn nog zeldzamere soorten differentiaalvergelijkingen: totale differentiaalvergelijkingen, Bernoulli-vergelijkingen en enkele andere. De belangrijkste van de laatste twee typen zijn vergelijkingen in totale verschillen, omdat ik naast deze differentiaalvergelijking nieuw materiaal overweeg - gedeeltelijke integratie.

Als je nog maar een dag of twee over hebt, Dat voor een ultrasnelle bereiding Er bestaat blitz cursus in pdf-formaat.

Dus de oriëntatiepunten zijn gezet - laten we gaan:

Laten we eerst de gebruikelijke algebraïsche vergelijkingen onthouden. Ze bevatten variabelen en getallen. Het eenvoudigste voorbeeld: . Wat betekent het om een ​​gewone vergelijking op te lossen? Dit betekent vinden reeks cijfers, die aan deze vergelijking voldoen. Het is gemakkelijk op te merken dat de kindervergelijking één enkele wortel heeft: . Laten we voor de lol eens kijken en de gevonden wortel in onze vergelijking vervangen:

– de juiste gelijkheid is verkregen, wat betekent dat de oplossing correct is gevonden.

De diffusers zijn op vrijwel dezelfde manier ontworpen!

Differentiaalvergelijking eerste bestelling in het algemeen bevat:
1) onafhankelijke variabele;
2) afhankelijke variabele (functie);
3) de eerste afgeleide van de functie: .

In sommige vergelijkingen van de eerste orde is er mogelijk geen “x” en/of “y”, maar dit is niet significant - belangrijk om naar de controlekamer te gaan was eerste afgeleide, en had niet derivaten van hogere ordes – , enz.

Wat betekent ? Het oplossen van een differentiaalvergelijking betekent vinden set van alle functies, die aan deze vergelijking voldoen. Zo'n reeks functies heeft vaak de vorm (– een willekeurige constante), die wordt genoemd algemene oplossing van de differentiaalvergelijking.

voorbeeld 1

Differentiaalvergelijking oplossen

Volledige munitie. Waar te beginnen oplossing?

Allereerst moet je de afgeleide in een iets andere vorm herschrijven. We herinneren ons de omslachtige benaming, die velen van jullie waarschijnlijk belachelijk en onnodig leken. Dit zijn de regels in diffusers!

Laten we in de tweede stap kijken of het mogelijk is afzonderlijke variabelen? Wat betekent het om variabelen te scheiden? Grof gezegd, aan de linkerkant we moeten vertrekken alleen "Grieken", A aan de rechterkant organiseren alleen "X's". De verdeling van variabelen wordt uitgevoerd met behulp van ‘schoolmanipulaties’: ze tussen haakjes zetten, termen van deel naar deel overbrengen met een verandering van teken, factoren van deel naar deel overbrengen volgens de regel van proportie, enz.

Differentiëlen zijn volledige vermenigvuldigers en actieve deelnemers aan vijandelijkheden. In het beschouwde voorbeeld kunnen de variabelen gemakkelijk worden gescheiden door de factoren te gooien volgens de evenredigheidsregel:

Variabelen zijn gescheiden. Aan de linkerkant zijn er alleen “Y’s”, aan de rechterkant – alleen “X’s”.

Volgende fase - integratie van differentiaalvergelijking. Het is eenvoudig, we plaatsen integralen aan beide kanten:

Natuurlijk moeten we integralen nemen. In dit geval zijn ze in tabelvorm:

Zoals we ons herinneren, wordt aan elk primitief een constante toegewezen. Er zijn hier twee integralen, maar het is voldoende om de constante één keer op te schrijven (aangezien constant + constant nog steeds gelijk is aan een andere constante). In de meeste gevallen wordt deze aan de rechterkant geplaatst.

Strikt genomen wordt de differentiaalvergelijking, nadat de integralen zijn genomen, als opgelost beschouwd. Het enige is dat onze “y” niet wordt uitgedrukt via “x”, dat wil zeggen dat de oplossing wordt gepresenteerd op een impliciete manier formulier. De oplossing van een differentiaalvergelijking in impliciete vorm wordt genoemd algemene integraal van de differentiaalvergelijking. Dat wil zeggen, dit is een algemene integraal.

Het antwoord in deze vorm is heel acceptabel, maar is er een betere optie? Laten we proberen te krijgen gemeenschappelijk besluit.

Alsjeblieft, onthoud de eerste techniek, het is heel gebruikelijk en wordt vaak gebruikt bij praktische taken: als er na integratie aan de rechterkant een logaritme verschijnt, dan is het in veel gevallen (maar niet altijd!) ook raadzaam om de constante onder de logaritme te schrijven.

Dat is, IN PLAATS VAN inzendingen zijn meestal geschreven .

Waarom is dit nodig? En om het gemakkelijker te maken om “spel” uit te drukken. De eigenschap van logaritmen gebruiken . In dit geval:

Nu kunnen logaritmen en modules worden verwijderd:

De functie wordt expliciet gepresenteerd. Dit is de algemene oplossing.

Antwoord: gemeenschappelijk besluit: .

De antwoorden op veel differentiaalvergelijkingen zijn vrij eenvoudig te controleren. In ons geval gebeurt dit heel eenvoudig, we nemen de gevonden oplossing en differentiëren deze:

Vervolgens vervangen we de afgeleide in de oorspronkelijke vergelijking:

– de juiste gelijkheid wordt verkregen, wat betekent dat de algemene oplossing voldoet aan de vergelijking, wat gecontroleerd moest worden.

Door constant verschillende waarden op te geven, kun je een oneindig aantal krijgen particuliere oplossingen differentiaalvergelijking. Het is duidelijk dat alle functies , , etc. voldoet aan de differentiaalvergelijking.

Soms wordt de algemene oplossing genoemd familie van functies. In dit voorbeeld de algemene oplossing is een familie van lineaire functies, of preciezer gezegd, een familie van directe evenredigheid.

Na een grondige beoordeling van het eerste voorbeeld is het passend om een ​​aantal naïeve vragen over differentiaalvergelijkingen te beantwoorden:

1)In dit voorbeeld konden we de variabelen scheiden. Kan dit altijd? Nee niet altijd. En nog vaker kunnen variabelen niet worden gescheiden. Bijvoorbeeld, binnen homogene vergelijkingen van de eerste orde, moet u deze eerst vervangen. Bij andere soorten vergelijkingen, bijvoorbeeld bij een lineaire inhomogene vergelijking van de eerste orde, moet je verschillende technieken en methoden gebruiken om een ​​algemene oplossing te vinden. Vergelijkingen met scheidbare variabelen, die we in de eerste les beschouwen, zijn het eenvoudigste type differentiaalvergelijkingen.

2) Is het altijd mogelijk om een ​​differentiaalvergelijking te integreren? Nee niet altijd. Het is heel gemakkelijk om een ​​‘mooie’ vergelijking te bedenken die niet kan worden geïntegreerd; bovendien zijn er integralen die niet kunnen worden genomen. Maar dergelijke DE's kunnen bij benadering worden opgelost met behulp van speciale methoden. D'Alembert en Cauchy garanderen... ...ugh, lurkmore.om zojuist veel te lezen, voegde ik er bijna 'uit de andere wereld' aan toe.

3) In dit voorbeeld hebben we een oplossing verkregen in de vorm van een algemene integraal . Is het altijd mogelijk om een ​​algemene oplossing te vinden op basis van een algemene integraal, dat wil zeggen om de “y” expliciet uit te drukken? Nee niet altijd. Bijvoorbeeld: . Hoe kun je hier ‘Grieks’ uitdrukken?! In dergelijke gevallen moet het antwoord als een algemene integraal worden geschreven. Bovendien is het soms mogelijk om een ​​algemene oplossing te vinden, maar deze is zo omslachtig en onhandig geschreven dat het beter is om het antwoord in de vorm van een algemene integraal te laten.

4) ...misschien is dat voorlopig genoeg. In het eerste voorbeeld kwamen we tegen nog een belangrijk punt, maar om de “dummies” niet te bedekken met een lawine aan nieuwe informatie, wacht ik tot de volgende les.

Wij zullen ons niet haasten. Nog een eenvoudige afstandsbediening en nog een typische oplossing:

Voorbeeld 2

Zoek een specifieke oplossing voor de differentiaalvergelijking die aan de beginvoorwaarde voldoet

Oplossing: volgens de voorwaarde die je moet vinden particuliere oplossing DE die aan een bepaalde beginvoorwaarde voldoet. Deze vraagstelling wordt ook wel genoemd Cauchy-probleem.

Eerst vinden we een algemene oplossing. Er is geen "x" -variabele in de vergelijking, maar dit mag niet voor verwarring zorgen, het belangrijkste is dat deze de eerste afgeleide heeft.

We herschrijven de afgeleide in de gewenste vorm:

Uiteraard kunnen de variabelen worden gescheiden, jongens aan de linkerkant, meisjes aan de rechterkant:

Laten we de vergelijking integreren:

De algemene integraal wordt verkregen. Hier heb ik een constante met een asterisk getekend, het feit is dat deze zeer binnenkort in een andere constante zal veranderen.

Nu proberen we de algemene integraal om te zetten in een algemene oplossing (druk de “y” expliciet uit). Laten we de goede oude dingen van school onthouden: . In dit geval:

De constante in de indicator ziet er op de een of andere manier onkoosjer uit, dus wordt deze meestal met de grond gelijk gemaakt. In detail is dit hoe het gebeurt. Met behulp van de eigenschap graden herschrijven we de functie als volgt:

Als het een constante is, dan is het ook een constante, laten we het opnieuw benoemen met de letter:

Bedenk dat ‘slopen’ een constante is tweede techniek, die vaak wordt gebruikt bij het oplossen van differentiaalvergelijkingen.

De algemene oplossing is dus: . Dit is een mooie familie van exponentiële functies.

In de laatste fase moet je een bepaalde oplossing vinden die aan de gegeven beginvoorwaarde voldoet. Dit is ook eenvoudig.

Wat is de taak? Moet worden opgehaald zo een de waarde van de constante zodat aan de voorwaarde wordt voldaan.

Het kan op verschillende manieren worden opgemaakt, maar dit is waarschijnlijk de duidelijkste manier. In de algemene oplossing vervangen we in plaats van de “X” een nul, en in plaats van de “Y” vervangen we een twee:



Dat is,

Standaard ontwerpversie:

Nu vervangen we de gevonden waarde van de constante in de algemene oplossing:
– dit is de specifieke oplossing die we nodig hebben.

Antwoord: particuliere oplossing:

Laten we het controleren. Het controleren van een privéoplossing bestaat uit twee fasen:

Eerst moet u controleren of de gevonden oplossing daadwerkelijk aan de beginvoorwaarde voldoet? In plaats van de “X” vervangen we een nul en kijken wat er gebeurt:
- ja, er is inderdaad een twee ontvangen, wat betekent dat aan de initiële voorwaarde is voldaan.

De tweede fase is al bekend. We nemen de resulterende specifieke oplossing en vinden de afgeleide:

We substitueren in de oorspronkelijke vergelijking:

– de juiste gelijkheid wordt verkregen.

Conclusie: de betreffende oplossing is correct gevonden.

Laten we verder gaan met meer betekenisvolle voorbeelden.

Voorbeeld 3

Differentiaalvergelijking oplossen

Oplossing: We herschrijven de afgeleide in de vorm die we nodig hebben:

We evalueren of het mogelijk is om de variabelen te scheiden? Kan. We verplaatsen de tweede term naar de rechterkant met een verandering van teken:

En we dragen de vermenigvuldigers over volgens de evenredigheidsregel:

De variabelen zijn gescheiden, laten we beide delen integreren:

Ik moet je waarschuwen: de dag des oordeels nadert. Als je niet goed hebt gestudeerd onbepaalde integralen, heb een paar voorbeelden opgelost, dan kun je nergens heen - je zult ze nu onder de knie moeten krijgen.

De integraal van de linkerkant is gemakkelijk te vinden; we behandelen de integraal van de cotangens met behulp van de standaardtechniek die we in de les hebben bekeken Trigonometrische functies integreren afgelopen jaar:

Aan de rechterkant hebben we een logaritme, en volgens mijn eerste technische aanbeveling zou de constante ook onder de logaritme moeten worden geschreven.

Nu proberen we de algemene integraal te vereenvoudigen. Omdat we alleen logaritmen hebben, is het heel goed mogelijk (en noodzakelijk) om ze kwijt te raken. Door het gebruiken van bekende eigenschappen We ‘verpakken’ de logaritmes zoveel mogelijk. Ik zal het heel gedetailleerd opschrijven:

De verpakking is klaar om op barbaarse wijze aan flarden te worden gescheurd:

Is het mogelijk om ‘spel’ uit te drukken? Kan. Het is noodzakelijk om beide delen vierkant te maken.

Maar je hoeft dit niet te doen.

Derde technische tip: als het voor het verkrijgen van een algemene oplossing nodig is om een ​​macht te verwerven of wortel te schieten, dan In de meeste gevallen je moet afzien van deze acties en het antwoord achterlaten in de vorm van een algemene integraal. Feit is dat de algemene oplossing er gewoon verschrikkelijk uit zal zien - met grote wortels, borden en ander afval.

Daarom schrijven we het antwoord in de vorm van een algemene integraal. Het wordt als een goede gewoonte beschouwd om het in de vorm te presenteren, dat wil zeggen, aan de rechterkant, indien mogelijk, alleen een constante achterlatend. Het is niet noodzakelijk om dit te doen, maar het is altijd nuttig om de professor een plezier te doen ;-)

Antwoord: algemene integraal:

! Opmerking: De algemene integraal van elke vergelijking kan op meer dan één manier worden geschreven. Als uw resultaat dus niet samenvalt met het eerder bekende antwoord, betekent dit niet dat u de vergelijking verkeerd heeft opgelost.

De algemene integraal is ook vrij eenvoudig te controleren, het belangrijkste is dat je hem kunt vinden afgeleide van een impliciet gespecificeerde functie. Laten we het antwoord differentiëren:

We vermenigvuldigen beide termen met:

En deel door:

De oorspronkelijke differentiaalvergelijking is exact verkregen, wat betekent dat de algemene integraal correct is gevonden.

Voorbeeld 4

Zoek een specifieke oplossing voor de differentiaalvergelijking die aan de beginvoorwaarde voldoet. Controle uitvoeren.

Dit is een voorbeeld dat u zelf kunt oplossen.

Ik wil u eraan herinneren dat het algoritme uit twee fasen bestaat:
1) het vinden van een algemene oplossing;
2) het vinden van de gewenste specifieke oplossing.

De controle wordt ook in twee stappen uitgevoerd (zie voorbeeld in voorbeeld nr. 2). U moet:
1) zorg ervoor dat de specifieke gevonden oplossing voldoet aan de beginvoorwaarde;
2) controleer of een bepaalde oplossing in het algemeen voldoet aan de differentiaalvergelijking.

Volledige oplossing en antwoord aan het einde van de les.

Voorbeeld 5

Zoek een bepaalde oplossing voor een differentiaalvergelijking , die voldoet aan de beginvoorwaarde. Controle uitvoeren.

Oplossing: Laten we eerst een algemene oplossing vinden. Deze vergelijking bevat al kant-en-klare differentiëlen en daarom is de oplossing vereenvoudigd. We scheiden de variabelen:

Laten we de vergelijking integreren:

De integraal aan de linkerkant is in tabelvorm, de integraal aan de rechterkant is genomen methode om een ​​functie onder het differentiaalteken te plaatsen:

De algemene integraal is verkregen; is het mogelijk om de algemene oplossing met succes uit te drukken? Kan. We hangen logaritmen aan beide kanten. Omdat ze positief zijn, zijn de modulustekens niet nodig:

(Ik hoop dat iedereen de transformatie begrijpt, zulke dingen zouden al bekend moeten zijn)

De algemene oplossing is dus:

Laten we een bepaalde oplossing vinden die overeenkomt met de gegeven beginvoorwaarde.
In de algemene oplossing vervangen we in plaats van “X” nul, en in plaats van “Y” vervangen we de logaritme van twee:

Bekender ontwerp:

We vervangen de gevonden waarde van de constante in de algemene oplossing.

Antwoord: particuliere oplossing:

Controleren: Laten we eerst controleren of aan de beginvoorwaarde is voldaan:
- alles is goed.

Laten we nu eens kijken of de gevonden specifieke oplossing überhaupt aan de differentiaalvergelijking voldoet. De afgeleide vinden:

Laten we eens kijken naar de oorspronkelijke vergelijking: – het wordt gepresenteerd in verschillen. Er zijn twee manieren om dit te controleren. Het is mogelijk om het verschil met de gevonden afgeleide uit te drukken:

Laten we de gevonden specifieke oplossing en het resulterende verschil vervangen door de oorspronkelijke vergelijking :

We gebruiken de basislogaritmische identiteit:

De juiste gelijkheid wordt verkregen, wat betekent dat de betreffende oplossing correct is gevonden.

De tweede controlemethode is gespiegeld en vertrouwder: vanuit de vergelijking Laten we de afgeleide uitdrukken. Om dit te doen delen we alle stukken door:

En in de getransformeerde DE vervangen we de verkregen deeloplossing en de gevonden afgeleide. Als gevolg van vereenvoudigingen moet ook de juiste gelijkheid worden verkregen.

Voorbeeld 6

Differentiaalvergelijking oplossen. Presenteer het antwoord in de vorm van een algemene integraal.

Dit is een voorbeeld dat u zelf kunt oplossen, volledige oplossing en antwoord aan het einde van de les.

Welke moeilijkheden liggen op de loer bij het oplossen van differentiaalvergelijkingen met scheidbare variabelen?

1) Het is niet altijd duidelijk (vooral voor een “theepot”) dat variabelen gescheiden kunnen worden. Laten we een voorwaardelijk voorbeeld bekijken: . Hier moet je de factoren tussen haakjes zetten: en de wortels scheiden: . Het is duidelijk wat we nu moeten doen.

2) Moeilijkheden met de integratie zelf. Integralen zijn vaak niet de eenvoudigste, en als er gebreken zijn in de vaardigheden van het vinden onbepaalde integraal, dan wordt het lastig met veel diffusers. Bovendien is de logica ‘aangezien de differentiaalvergelijking eenvoudig is, laat de integralen dan tenminste ingewikkelder’ populair onder samenstellers van verzamelingen en trainingshandleidingen.

3) Transformaties met een constante. Zoals iedereen heeft gemerkt, kan de constante in differentiaalvergelijkingen vrijelijk worden gehanteerd, en sommige transformaties zijn voor een beginner niet altijd duidelijk. Laten we eens naar een ander voorwaardelijk voorbeeld kijken: . Het is raadzaam om alle termen met 2 te vermenigvuldigen: . De resulterende constante is ook een soort constante, die kan worden aangegeven met: . Ja, en aangezien er aan de rechterkant een logaritme is, is het raadzaam om de constante te herschrijven in de vorm van een andere constante: .

Het probleem is dat ze zich vaak niet druk maken over indexen en dezelfde letter gebruiken. Als gevolg hiervan heeft het beslissingsverslag de volgende vorm:

Wat voor soort ketterij? Daar zitten fouten in! Strikt genomen wel. Inhoudelijk gezien zijn er echter geen fouten, omdat door het transformeren van een variabele constante toch een variabele constante wordt verkregen.

Of een ander voorbeeld: stel dat tijdens het oplossen van de vergelijking een algemene integraal wordt verkregen. Dit antwoord ziet er lelijk uit, dus het is raadzaam om het teken van elke term te veranderen: . Formeel is er hier nog een fout: deze moet aan de rechterkant worden geschreven. Maar informeel wordt gesuggereerd dat ‘minus ce’ nog steeds een constante is ( die net zo gemakkelijk elke betekenis kan hebben!), dus een “min” plaatsen heeft geen zin en je kunt dezelfde letter gebruiken.

Ik zal proberen een onzorgvuldige aanpak te vermijden en toch verschillende indices aan constanten toewijzen bij het converteren ervan.

Voorbeeld 7

Differentiaalvergelijking oplossen. Controle uitvoeren.

Oplossing: Deze vergelijking maakt scheiding van variabelen mogelijk. We scheiden de variabelen:

Laten we integreren:

Het is niet nodig om de constante hier als een logaritme te definiëren, aangezien hier niets nuttigs uit zal voortkomen.

Antwoord: algemene integraal:

Controle: Differentieer het antwoord (impliciete functie):

We verwijderen breuken door beide termen te vermenigvuldigen met:

De oorspronkelijke differentiaalvergelijking is verkregen, wat betekent dat de algemene integraal correct is gevonden.

Voorbeeld 8

Zoek een specifieke oplossing van de DE.
,

Dit is een voorbeeld dat u zelf kunt oplossen. De enige hint is dat je hier een algemene integraal krijgt, en, beter gezegd, je moet proberen geen specifieke oplossing te vinden, maar gedeeltelijke integraal. Volledige oplossing en antwoord aan het einde van de les.

Met deze online rekenmachine kunt u differentiaalvergelijkingen online oplossen. Het volstaat om uw vergelijking in het juiste veld in te voeren, de afgeleide van de functie aan te geven met een apostrof en op de knop "vergelijking oplossen" te klikken. En het systeem, geïmplementeerd op basis van de populaire WolframAlpha-website, zal gedetailleerde informatie geven het oplossen van een differentiaalvergelijking helemaal vrij. Je kunt ook een Cauchy-probleem definiëren om uit de hele reeks mogelijke oplossingen het quotiënt te selecteren dat overeenkomt met de gegeven beginvoorwaarden. Het Cauchy-probleem wordt in een apart veld ingevoerd.

Differentiaalvergelijking

Standaard de functie in de vergelijking j is een functie van een variabele X. U kunt echter uw eigen benaming voor de variabele opgeven; als u bijvoorbeeld y(t) in de vergelijking schrijft, zal de rekenmachine dat automatisch herkennen j er is een functie van een variabele T. Met behulp van een rekenmachine kan dat wel differentiaalvergelijkingen oplossen van elke complexiteit en type: homogeen en inhomogeen, lineair of niet-lineair, eerste orde of tweede en hogere ordes, vergelijkingen met scheidbare of niet-scheidbare variabelen, enz. Oplossing verschil. de vergelijking wordt in analytische vorm gegeven en heeft een gedetailleerde beschrijving. Differentiaalvergelijkingen zijn heel gebruikelijk in de natuurkunde en wiskunde. Zonder ze te berekenen is het onmogelijk om veel problemen op te lossen (vooral in de wiskundige natuurkunde).

Een van de fasen bij het oplossen van differentiaalvergelijkingen is het integreren van functies. Er zijn standaardmethoden voor het oplossen van differentiaalvergelijkingen. Het is noodzakelijk om de vergelijkingen terug te brengen tot een vorm met scheidbare variabelen y en x en de gescheiden functies afzonderlijk te integreren. Om dit te doen, moet er soms een bepaalde vervanging plaatsvinden.

Gewone differentiaal vergelijking is een vergelijking die een onafhankelijke variabele relateert, een onbekende functie van deze variabele en zijn afgeleiden (of differentiëlen) van verschillende ordes.

De volgorde van de differentiaalvergelijking wordt de orde van de hoogste afgeleide die het bevat genoemd.

Naast de gewone worden ook partiële differentiaalvergelijkingen bestudeerd. Dit zijn vergelijkingen die onafhankelijke variabelen met elkaar in verband brengen, een onbekende functie van deze variabelen en de gedeeltelijke afgeleiden ervan met betrekking tot dezelfde variabelen. Maar we zullen het alleen overwegen gewone differentiaalvergelijkingen Daarom laten we kortheidshalve het woord ‘gewoon’ achterwege.

Voorbeelden van differentiaalvergelijkingen:

(1) ;

(3) ;

(4) ;

Vergelijking (1) is van de vierde orde, vergelijking (2) is van de derde orde, vergelijkingen (3) en (4) zijn van de tweede orde, vergelijking (5) is van de eerste orde.

Differentiaalvergelijking N De e-orde hoeft niet noodzakelijkerwijs een expliciete functie te bevatten, al zijn afgeleiden van de eerste tot N-de orde en onafhankelijke variabele. Het mag niet expliciet afgeleiden van bepaalde orders, een functie of een onafhankelijke variabele bevatten.

In vergelijking (1) zijn er bijvoorbeeld duidelijk geen afgeleiden van de derde en tweede orde, evenals een functie; in vergelijking (2) - de afgeleide van de tweede orde en de functie; in vergelijking (4) - de onafhankelijke variabele; in vergelijking (5) - functies. Alleen vergelijking (3) bevat expliciet alle afgeleiden, de functie en de onafhankelijke variabele.

Een differentiaalvergelijking oplossen elke functie wordt aangeroepen y = f(x) Wanneer het in de vergelijking wordt gesubstitueerd, verandert het in een identiteit.

Het proces van het vinden van een oplossing voor een differentiaalvergelijking wordt het proces genoemd integratie.

Voorbeeld 1. Zoek de oplossing van de differentiaalvergelijking.

Oplossing. Laten we deze vergelijking in de vorm schrijven. De oplossing is om de functie uit zijn afgeleide te vinden. De oorspronkelijke functie, zoals bekend uit de integraalrekening, is een primitief voor, d.w.z.

Dat is wat het is oplossing van deze differentiaalvergelijking . Daarin veranderen C, zullen we verschillende oplossingen verkrijgen. We ontdekten dat er een oneindig aantal oplossingen is voor een differentiaalvergelijking van de eerste orde.

Algemene oplossing van de differentiaalvergelijking N De orde is de oplossing ervan, expliciet uitgedrukt met betrekking tot de onbekende functie en bevattend N onafhankelijke willekeurige constanten, d.w.z.

De oplossing van de differentiaalvergelijking in voorbeeld 1 is algemeen.

Gedeeltelijke oplossing van de differentiaalvergelijking een oplossing waarin willekeurige constanten specifieke numerieke waarden krijgen, wordt genoemd.

Voorbeeld 2. Vind de algemene oplossing van de differentiaalvergelijking en een specifieke oplossing voor .

Oplossing. Laten we beide zijden van de vergelijking een aantal keren integreren dat gelijk is aan de volgorde van de differentiaalvergelijking.

,

.

Als resultaat kregen we een algemene oplossing:

van een gegeven differentiaalvergelijking van de derde orde.

Laten we nu een specifieke oplossing vinden onder de gespecificeerde voorwaarden. Om dit te doen, vervangt u hun waarden in plaats van willekeurige coëfficiënten en krijgt u

.

Als naast de differentiaalvergelijking de beginvoorwaarde wordt gegeven in de vorm , dan wordt een dergelijk probleem genoemd Cauchy-probleem . Vervang de waarden en in de algemene oplossing van de vergelijking en vind de waarde van een willekeurige constante C, en vervolgens een specifieke oplossing van de vergelijking voor de gevonden waarde C. Dit is de oplossing voor het Cauchy-probleem.

Voorbeeld 3. Los het Cauchy-probleem op voor de differentiaalvergelijking uit Voorbeeld 1 met inachtneming van .

Oplossing. Laten we de waarden uit de beginvoorwaarde vervangen door de algemene oplossing j = 3, X= 1. Wij krijgen

We schrijven de oplossing voor het Cauchy-probleem op voor deze differentiaalvergelijking van de eerste orde:

Het oplossen van differentiaalvergelijkingen, zelfs de eenvoudigste, vereist goede integratie- en afgeleide vaardigheden, inclusief complexe functies. Dit is te zien in het volgende voorbeeld.

Voorbeeld 4. Zoek de algemene oplossing van de differentiaalvergelijking.

Oplossing. De vergelijking is in een zodanige vorm geschreven dat je beide kanten onmiddellijk kunt integreren.

.

We passen de methode van integratie toe door verandering van variabele (substitutie). Laat het dan zo zijn.

Verplicht om mee te nemen dx en nu - aandacht - doen we dit volgens de regels voor differentiatie van een complexe functie, sindsdien X en er is een complexe functie ("appel" is de extractie van een vierkantswortel of, wat hetzelfde is, verheffen tot de macht "half", en "gehakt" is de uitdrukking onder de wortel):

We vinden de integraal:

Terugkomend op de variabele X, we krijgen:

.

Dit is de algemene oplossing voor deze differentiaalvergelijking van de eerste graad.

Bij het oplossen van differentiaalvergelijkingen zijn niet alleen vaardigheden uit eerdere delen van de hogere wiskunde vereist, maar ook vaardigheden uit de elementaire, dat wil zeggen schoolwiskunde. Zoals reeds vermeld, is er in een differentiaalvergelijking van welke orde dan ook mogelijk geen onafhankelijke variabele, dat wil zeggen een variabele X. Kennis over verhoudingen van school die niet is vergeten (maar afhankelijk van wie) van school zal dit probleem helpen oplossen. Dit is het volgende voorbeeld.