De formule voor het volume van een regelmatige afgeknotte piramide. Volumeformules voor een volle en afgeknotte piramide

  • 09.10.2014

    De in de afbeelding getoonde voorversterker is ontworpen voor gebruik met 4 soorten geluidsbronnen, zoals een microfoon, cd-speler, radiobandrecorder, enz. Tegelijkertijd heeft de voorversterker één ingang die de gevoeligheid kan veranderen van 50mV naar 500mV . de uitgangsspanning van de versterker is 1000mV. Door bij het schakelen van schakelaar SA1 verschillende signaalbronnen aan te sluiten, krijgen we altijd...

  • 20.09.2014

    De PSU is ontworpen voor een belasting met een vermogen van 15 ... 20 watt. De bron is gemaakt volgens het schema van een pulserende hoogfrequente omzetter met één cyclus. Op de transistor is een oscillator gemonteerd die werkt met een frequentie van 20 ... 40 kHz. De frequentie wordt aangepast door de capaciteit C5. Elementen VD5, VD6 en C6 vormen een circuit voor het starten van een oscillator. In het secundaire circuit, na de bruggelijkrichter, bevindt zich een conventionele lineaire stabilisator op een microcircuit, waarmee u ...

  • 28.09.2014

    De afbeelding toont een generator op een K174XA11-chip, waarvan de frequentie wordt geregeld door spanning. Door de capaciteit C1 te wijzigen van 560 naar 4700pF kan een breed frequentiebereik worden verkregen, terwijl de frequentie wordt aangepast door de weerstand R4 te wijzigen. De auteur kwam er bijvoorbeeld achter dat bij C1 \u003d 560pF de generatorfrequentie kan worden gewijzigd met R4 van 600Hz naar 200kHz, ...

  • 03.10.2014

    Het apparaat is ontworpen om een ​​krachtige ULF aan te drijven, het is ontworpen voor een uitgangsspanning van ± 27V en laadt dus tot 3A op elke arm. De PSU is bipolair, gemaakt op complete composiettransistors KT825-KT827. Beide armen van de stabilisator zijn gemaakt volgens hetzelfde schema, maar in de andere arm (deze wordt niet getoond) wordt de polariteit van de condensatoren veranderd en worden transistors van de andere gebruikt ...

Het vermogen om het volume van ruimtelijke figuren te berekenen is belangrijk bij het oplossen van een aantal praktische problemen in de meetkunde. Een van de meest voorkomende vormen is de piramide. In dit artikel zullen we de piramides beschouwen, zowel volledige als afgeknotte.

Piramide als driedimensionale figuur

Iedereen kent de Egyptische piramides, dus ze hebben een goed idee van welk cijfer er besproken zal worden. Desalniettemin zijn Egyptische stenen constructies slechts een speciaal geval van een enorme klasse piramides.

Het geometrische object dat in het algemeen wordt overwogen, is een veelhoekige basis, waarvan elk hoekpunt is verbonden met een punt in de ruimte dat niet tot het basisvlak behoort. Deze definitie leidt tot een figuur bestaande uit één n-hoek en n driehoeken.

Elke piramide bestaat uit n+1 vlakken, 2*n randen en n+1 hoekpunten. Aangezien de figuur in kwestie een perfect veelvlak is, gehoorzamen de aantallen gemarkeerde elementen aan de Euler-vergelijking:

2*n = (n+1) + (n+1) - 2.

De veelhoek aan de basis geeft de naam van de piramide, bijvoorbeeld driehoekig, vijfhoekig, enzovoort. Op de onderstaande foto wordt een reeks piramides met verschillende bases weergegeven.

Het punt waarop n driehoeken van de figuur met elkaar verbonden zijn, wordt de top van de piramide genoemd. Als een loodlijn van daaruit naar de basis wordt neergelaten en deze in het geometrische midden snijdt, wordt zo'n figuur een rechte lijn genoemd. Als aan deze voorwaarde niet wordt voldaan, is er een hellende piramide.

Een rechte figuur, waarvan de basis wordt gevormd door een gelijkzijdige (gelijkhoekige) n-hoek, wordt regulier genoemd.

Piramide volume formule

Om het volume van de piramide te berekenen, gebruiken we de integraalrekening. Om dit te doen, verdelen we de figuur door secansvlakken evenwijdig aan de basis in een oneindig aantal dunne lagen. Onderstaande figuur toont een vierhoekige piramide met hoogte h en zijlengte L, waarin een dunne doorsnedelaag is gemarkeerd met een vierhoek.

Het gebied van elke dergelijke laag kan worden berekend met de formule:

A(z) = EEN 0 *(h-z) 2 /h 2 .

Hier is A 0 het gebied van de basis, z is de waarde van de verticale coördinaat. Het is te zien dat als z = 0, de formule de waarde A 0 geeft.

Om de formule voor het volume van de piramide te krijgen, moet u de integraal over de gehele hoogte van de figuur berekenen, dat wil zeggen:

V = ∫ h 0 (A(z)*dz).

Door de afhankelijkheid A(z) te vervangen en de primitieve te berekenen, komen we tot de uitdrukking:

V = -A 0 *(h-z) 3 /(3*h 2)| h 0 \u003d 1/3 * A 0 * h.

We hebben de formule verkregen voor het volume van een piramide. Om de waarde van V te vinden, volstaat het om de hoogte van de figuur te vermenigvuldigen met de oppervlakte van de basis en het resultaat vervolgens door drie te delen.

Merk op dat de resulterende uitdrukking geldig is voor het berekenen van het volume van een piramide van een willekeurig type. Dat wil zeggen, het kan hellend zijn en de basis kan een willekeurige n-hoek zijn.

en het volume ervan

De algemene volumeformule die in de bovenstaande alinea is verkregen, kan worden verfijnd in het geval van een piramide met een regelmatige basis. Het gebied van zo'n basis wordt berekend met de volgende formule:

A 0 = n/4*L 2 *ctg(pi/n).

Hierin is L de zijlengte van een regelmatige veelhoek met n hoekpunten. Het symbool pi is het getal pi.

Door de uitdrukking voor A 0 in de algemene formule te vervangen, verkrijgen we het volume van een regelmatige piramide:

Vn = 1/3*n/4*L 2 *h*ctg(pi/n) = n/12*L 2 *h*ctg(pi/n).

Voor een driehoekige piramide leidt deze formule bijvoorbeeld tot de volgende uitdrukking:

V 3 \u003d 3/12 * L 2 * h * ctg (60 o) \u003d √3 / 12 * L 2 * h.

Voor een regelmatige vierhoekige piramide heeft de volumeformule de vorm:

V 4 \u003d 4/12 * L 2 * h * ctg (45 o) \u003d 1/3 * L 2 * h.

Het bepalen van de volumes van reguliere piramides vereist kennis van de zijkant van hun basis en de hoogte van de figuur.

Piramide afgekapt

Stel dat we een willekeurige piramide hebben genomen en een deel van het laterale oppervlak met de hoekpunt hebben afgesneden. De overgebleven figuur wordt een afgeknotte piramide genoemd. Het bestaat al uit twee n-hoekige bases en n trapeziums die ze verbinden. Als het snijvlak evenwijdig was aan de basis van de figuur, wordt een afgeknotte piramide gevormd met parallelle vergelijkbare bases. Dat wil zeggen, de lengtes van de zijden van een van hen kunnen worden verkregen door de lengtes van de andere te vermenigvuldigen met een coëfficiënt k.

De figuur hierboven toont een afgeknotte regelmatige vorm waarvan te zien is dat de bovenste basis, net als de onderste, wordt gevormd door een regelmatige zeshoek.

De formule die kan worden afgeleid met behulp van een integraalrekening vergelijkbaar met het bovenstaande is:

V = 1/3*h*(A 0 + A 1 + √(A 0 *A 1)).

Waarbij A 0 en A 1 respectievelijk de gebieden van de onderste (grote) en bovenste (kleine) basis zijn. De variabele h geeft de hoogte van de afgeknotte piramide aan.

Het volume van de piramide van Cheops

Het is merkwaardig om het probleem op te lossen van het bepalen van het volume dat de grootste Egyptische piramide bevat.

In 1984 stelden de Britse egyptologen Mark Lehner en Jon Goodman de exacte afmetingen van de piramide van Cheops vast. De oorspronkelijke hoogte was 146,50 meter (momenteel ongeveer 137 meter). De gemiddelde lengte van elk van de vier zijden van de structuur was 230,363 meter. De basis van de piramide is vierkant met hoge nauwkeurigheid.

Laten we de gegeven cijfers gebruiken om het volume van deze stenen reus te bepalen. Aangezien de piramide een regelmatige vierhoek is, is de formule ervoor geldig:

Als we de cijfers invoeren, krijgen we:

V 4 \u003d 1/3 * (230.363) 2 * 146.5 ≈ 2591444 m 3.

Het volume van de piramide van Cheops is bijna 2,6 miljoen m3. Ter vergelijking merken we op dat het Olympisch zwembad een inhoud heeft van 2,5 duizend m 3. Dat wil zeggen, om de hele Cheops-piramide te vullen, zijn er meer dan 1000 van dergelijke pools nodig!

- Dit is een veelvlak, dat wordt gevormd door de basis van de piramide en een parallel daaraan. We kunnen zeggen dat een afgeknotte piramide een piramide is met een afgesneden bovenkant. Dit figuur heeft veel unieke eigenschappen:

  • De zijvlakken van de piramide zijn trapeziums;
  • De zijribben van een regelmatig afgeknotte piramide hebben dezelfde lengte en hellen onder dezelfde hoek naar de basis;
  • De bases zijn vergelijkbare veelhoeken;
  • In een regelmatige afgeknotte piramide zijn de vlakken identieke gelijkbenige trapezoïden, waarvan de oppervlakte gelijk is. Ze neigen ook onder één hoek naar de basis.

De formule voor de oppervlakte van het manteloppervlak van een afgeknotte piramide is de som van de oppervlakten van de zijden:

Aangezien de zijkanten van de afgeknotte piramide trapeziums zijn, moet u de formule gebruiken om de parameters te berekenen trapezium gebied. Voor een regelmatige afgeknotte piramide kan een andere formule voor het berekenen van de oppervlakte worden toegepast. Aangezien alle zijden, vlakken en hoeken aan de basis gelijk zijn, is het mogelijk om de omtrekken van de basis en de apothem toe te passen en ook de oppervlakte af te leiden door de hoek aan de basis.

Als, volgens de voorwaarden in een regelmatige afgeknotte piramide, de apothem (hoogte van de zijde) en de lengtes van de zijden van de basis worden gegeven, dan kan de oppervlakte worden berekend door het halfproduct van de som van de omtrekken van de bases en de apothem:

Laten we eens kijken naar een voorbeeld van het berekenen van het laterale oppervlak van een afgeknotte piramide.
Gegeven een regelmatige vijfhoekige piramide. Apothema ik\u003d 5 cm, de lengte van het gezicht in de grote basis is A\u003d 6 cm, en het gezicht bevindt zich aan de kleinere basis B\u003d 4 cm Bereken de oppervlakte van de afgeknotte piramide.

Laten we eerst de omtrekken van de bases bepalen. Aangezien we een vijfhoekige piramide krijgen, begrijpen we dat de bases vijfhoeken zijn. Dit betekent dat de basis een figuur is met vijf identieke zijden. Zoek de omtrek van de grotere basis:

Op dezelfde manier vinden we de omtrek van de kleinere basis:

Nu kunnen we de oppervlakte van een regelmatige afgeknotte piramide berekenen. We vervangen de gegevens in de formule:

Zo berekenden we het gebied van een regelmatige afgeknotte piramide door de omtrekken en apothem.

Een andere manier om het manteloppervlak van een regelmatige piramide te berekenen, is de formule door de hoeken aan de basis en het gebied van deze basissen.

Laten we eens kijken naar een voorbeeldberekening. Onthoud dat deze formule alleen van toepassing is op een regelmatige afgeknotte piramide.

Laat een regelmatige vierhoekige piramide worden gegeven. Het vlak van de onderste basis is a = 6 cm en het vlak van de bovenste b = 4 cm De tweevlakshoek aan de basis is β = 60°. Zoek het manteloppervlak van een regelmatige afgeknotte piramide.

Laten we eerst het gebied van de bases berekenen. Omdat de piramide regelmatig is, zijn alle vlakken van de basissen gelijk aan elkaar. Aangezien de basis een vierhoek is, begrijpen we dat het nodig zal zijn om te berekenen vierkant gebied. Het is het product van breedte en lengte, maar in het kwadraat zijn deze waarden hetzelfde. Zoek het gebied van de grotere basis:


Nu gebruiken we de gevonden waarden om het manteloppervlak te berekenen.

We kenden een paar eenvoudige formules en berekenden eenvoudig de oppervlakte van de laterale trapezium van een afgeknotte piramide door middel van verschillende waarden.