De integraal is in actie. Hoe het volume van een omwentelingslichaam te berekenen met behulp van een bepaalde integraal

Definitie 3. Een omwentelingslichaam is een lichaam dat wordt verkregen door een plat figuur rond een as te draaien die de figuur niet snijdt en ermee in hetzelfde vlak ligt.

De rotatieas mag de figuur snijden als dit de symmetrieas van de figuur is.

Stelling 2.
, as
en rechte segmenten
En

draait rond een as
. Vervolgens kan het volume van het resulterende rotatielichaam worden berekend met behulp van de formule

(2)

Bewijs. Voor zo'n lichaam de doorsnede met abscis is een cirkel met straal
, Middelen
en formule (1) geeft het vereiste resultaat.

Als het cijfer wordt beperkt door de grafieken van twee continue functies
En
en lijnsegmenten
En
, En
En
, dan verkrijgen we bij rotatie rond de x-as een lichaam waarvan het volume

Voorbeeld 3. Bereken het volume van een torus die wordt verkregen door het roteren van een cirkel die wordt begrensd door een cirkel

rond de abscis-as.

R beslissing. De aangegeven cirkel wordt hieronder begrensd door de grafiek van de functie
, en van bovenaf –
. Het verschil tussen de kwadraten van deze functies:

Vereist volume

(de grafiek van de integrand is de bovenste halve cirkel, dus de hierboven geschreven integraal is de oppervlakte van de halve cirkel).

Voorbeeld 4. Parabolisch segment met basis
, en hoogte , draait rond de basis. Bereken het volume van het resulterende lichaam ("citroen" van Cavalieri).

R beslissing. We plaatsen de parabool zoals weergegeven in de afbeelding. Dan de vergelijking
, En
. Laten we de waarde van de parameter vinden :
. Dus het vereiste volume:

Stelling 3. Laat een kromlijnig trapezium begrensd worden door de grafiek van een continue niet-negatieve functie
, as
en rechte segmenten
En
, En
, draait rond een as
. Vervolgens kan het volume van het resulterende rotatielichaam worden gevonden met de formule

(3)

Het idee van bewijs. We hebben het segment gesplitst
stippen

, in delen en teken rechte lijnen
. De gehele trapezium wordt ontleed in stroken, die ongeveer als rechthoeken met een basis kunnen worden beschouwd
en hoogte
.

We snijden de resulterende cilinder door zo'n rechthoek langs de beschrijvende lijn te draaien en deze uit te vouwen. We krijgen een “bijna” parallellepipedum met afmetingen:
,
En
. Het volume
. Voor de omvang van een revolutielichaam zullen we dus ongeveer gelijk zijn

Om exacte gelijkheid te verkrijgen, moet men tot de limiet gaan
. De hierboven geschreven som is de integrale som voor de functie
daarom verkrijgen we in de limiet de integraal uit formule (3). De stelling is bewezen.

Notitie 1. In Stelling 2 en 3 de voorwaarde
kan worden weggelaten: formule (2) is over het algemeen ongevoelig voor het teken
, en in formule (3) is dit voldoende
vervangen door
.

Voorbeeld 5. Parabolisch segment (basis
, hoogte ) draait rond de hoogte. Zoek het volume van het resulterende lichaam.

Oplossing. Laten we de parabool plaatsen zoals weergegeven in de afbeelding. En hoewel de rotatie-as de figuur snijdt, is deze – de as – de symmetrieas. Daarom moeten we alleen rekening houden met de rechterhelft van het segment. Paraboolvergelijking
, En
, Middelen
. Voor volume hebben we:

Opmerking 2. Als de kromlijnige grens van een kromlijnig trapezium wordt gegeven door parametervergelijkingen
,
,
En
,
dan kunt u bij de vervanging de formules (2) en (3) gebruiken op
En
op
wanneer het verandert T van
voor .

Voorbeeld 6. Het cijfer wordt beperkt door de eerste boog van de cycloïde
,
,
en de x-as. Vind het volume van het lichaam verkregen door deze figuur rond te draaien: 1) as
; 2) assen
.

Oplossing. 1) Algemene formule
In ons geval:

2) Algemene formule
Voor ons figuur:

We nodigen studenten uit om alle berekeningen zelf uit te voeren.

Notitie 3. Laat een gebogen sector begrensd worden door een ononderbroken lijn
en roggen
,

, draait rond een polaire as. Het volume van het resulterende lichaam kan worden berekend met behulp van de formule.

Voorbeeld 7. Deel van een figuur begrensd door een cardioïde
, buiten de cirkel liggend
, draait rond een polaire as. Zoek het volume van het resulterende lichaam.

Oplossing. Beide lijnen, en dus de figuur die ze beperken, zijn symmetrisch rond de poolas. Daarom is het noodzakelijk om alleen dat deel te overwegen waarvoor
. De curven snijden elkaar op
En

bij
. Verder kan het cijfer worden beschouwd als het verschil tussen twee sectoren, en daarom kan het volume worden berekend als het verschil van twee integralen. We hebben:

Taken voor een onafhankelijk besluit.

1. Een cirkelvormig segment waarvan de basis
, hoogte , draait rond de basis. Vind het volume van het revolutielichaam.

2. Vind het volume van een omwentelingsparaboloïde waarvan de basis en de hoogte is .

3. Figuur begrensd door een astroïde
,
draait rond de abscis-as. Zoek het volume van het resulterende lichaam.

4. Figuur begrensd door lijnen
En
draait rond de x-as. Vind het volume van het revolutielichaam.

Onderwerp: “Het berekenen van de volumes van revolutielichamen met behulp van een bepaalde integraal”

Lestype: gecombineerd.

Het doel van de les: leer de volumes van revolutielichamen te berekenen met behulp van integralen.

Taken:

het vermogen consolideren om kromlijnige trapeziums te identificeren uit een aantal geometrische figuren en de vaardigheid ontwikkelen om de gebieden van kromlijnige trapeziums te berekenen;

kennis maken met het concept van een driedimensionale figuur;

leer de volumes van revolutielichamen te berekenen;

het bevorderen van de ontwikkeling van logisch denken, competente wiskundige spraak, nauwkeurigheid bij het maken van tekeningen;

om interesse in het onderwerp te cultiveren, om met wiskundige concepten en beelden te werken, om wilskracht, onafhankelijkheid en doorzettingsvermogen te cultiveren bij het bereiken van het eindresultaat.

Tijdens de lessen

I. Organisatorisch moment.

Groetjes van de groep. Communiceer de lesdoelstellingen aan de leerlingen.

Ik wil de les van vandaag beginnen met een gelijkenis. ‘Er leefde eens een wijze man die alles wist. Eén man wilde bewijzen dat de wijze niet alles weet. Met een vlinder in zijn handpalmen vroeg hij: “Vertel me, wijze, welke vlinder heb ik in mijn handen: dood of levend?” En hij denkt: "Als de levende zegt, zal ik haar vermoorden; als de dode zegt, zal ik haar vrijlaten." De wijze antwoordde na nadenken: "Alles ligt in jouw handen."

Laten we daarom vandaag vruchtbaar werken, een nieuwe hoeveelheid kennis opdoen, en we zullen de verworven vaardigheden en capaciteiten toepassen in het toekomstige leven en in praktische activiteiten.

II. Herhaling van eerder bestudeerd materiaal.

Laten we de belangrijkste punten van het eerder bestudeerde materiaal onthouden. Laten we hiervoor de taak 'Elimineer het extra woord' voltooien.

(De leerlingen zeggen een extra woord.)

Rechts "Differentieel". Probeer de overige woorden met één gewoon woord te benoemen. (Integrale berekening.)

Laten we de belangrijkste fasen en concepten onthouden die verband houden met integraalrekening.

Oefening. Herstel de gaten. (De leerling komt naar buiten en schrijft met een stift de vereiste woorden in.)

Werk in notitieboekjes.

De Newton-Leibniz-formule is afgeleid van de Engelse natuurkundige Isaac Newton (1643-1727) en de Duitse filosoof Gottfried Leibniz (1646-1716). En dit is niet verrassend, omdat wiskunde de taal is die door de natuur zelf wordt gesproken.

Laten we eens kijken hoe deze formule wordt gebruikt om praktische problemen op te lossen.

Voorbeeld 1: Bereken de oppervlakte van een figuur begrensd door lijnen

Oplossing: Laten we grafieken van functies op het coördinatenvlak construeren . Laten we het gebied van de figuur selecteren dat moet worden gevonden.

III. Nieuw materiaal leren.

Let op het scherm. Wat is er op de eerste afbeelding te zien? (De figuur toont een plat figuur.)

Wat is er op de tweede afbeelding te zien? Is dit cijfer vlak? (De figuur toont een driedimensionale figuur.)

In de ruimte, op aarde en in het dagelijks leven komen we niet alleen platte figuren tegen, maar ook driedimensionale figuren, maar hoe kunnen we het volume van zulke lichamen berekenen? Bijvoorbeeld: het volume van een planeet, komeet, meteoriet, etc.

Mensen denken aan volume, zowel bij het bouwen van huizen als bij het gieten van water van het ene vat naar het andere. Er moesten regels en technieken voor het berekenen van volumes ontstaan; hoe nauwkeurig en gerechtvaardigd ze waren, is een andere zaak.

Het jaar 1612 was zeer vruchtbaar voor de inwoners van de Oostenrijkse stad Linz, waar de beroemde astronoom Johannes Kepler woonde, vooral voor druiven. Mensen waren wijnvaten aan het voorbereiden en wilden weten hoe ze de volumes praktisch konden bepalen.

Zo markeerden de weloverwogen werken van Kepler het begin van een hele stroom van onderzoek die culmineerde in het laatste kwart van de 17e eeuw. ontwerp in de werken van I. Newton en G.V. Leibniz van differentiaal- en integraalrekening. Vanaf dat moment nam de wiskunde van variabelen een leidende plaats in in het systeem van wiskundige kennis.

Vandaag zullen jij en ik ons bezighouden met dergelijke praktische activiteiten.

Het onderwerp van onze les: “Het berekenen van de volumes van rotatielichamen met behulp van een bepaalde integraal.”

Je leert de definitie van een rotatielichaam door de volgende taak te voltooien.

"Labyrint".

Oefening. Vind een uitweg uit de verwarrende situatie en schrijf de definitie op.

IVBerekening van volumes.

Met behulp van een bepaalde integraal kun je het volume van een bepaald lichaam berekenen, in het bijzonder een omwentelingslichaam.

Een omwentelingslichaam is een lichaam dat wordt verkregen door een gebogen trapezium rond zijn basis te draaien (Fig. 1, 2)

Het volume van een omwentelingslichaam wordt berekend met behulp van een van de formules:

1. rond de OX-as.

2. , als de rotatie van een gebogen trapezium rond de as van de op-amp.

De leerlingen schrijven basisformules op in een notitieboekje.

De leerkracht legt de oplossingen van de voorbeelden op het bord uit.

1. Vind het volume van het lichaam verkregen door te roteren rond de ordinaat van een kromlijnig trapezium begrensd door lijnen: x2 + y2 = 64, y = -5, y = 5, x = 0.

Oplossing.

Antwoord: 1163 cm3.

2. Zoek het volume van het lichaam dat wordt verkregen door een parabolisch trapezium rond de x-as te draaien y =, x = 4, y = 0.

Oplossing.

V. Wiskundige simulator.

2. De verzameling van alle primitieve waarden van een bepaalde functie wordt aangeroepen

A) een onbepaalde integraal,

B) functie,

B) differentiatie.

7. Vind het volume van het lichaam verkregen door te roteren rond de abscis-as van een kromlijnig trapezium begrensd door lijnen:

D/Z. Nieuw materiaal consolideren

Bereken het volume van het lichaam gevormd door de rotatie van het bloemblad rond de x-as y = x2, y2 = x.

Laten we grafieken van de functie maken. y = x2, y2 = x. Laten we de grafiek y2 = x transformeren naar de vorm y = .

We hebben V = V1 - V2 Laten we het volume van elke functie berekenen:

Conclusie:

De bepaalde integraal is een zekere basis voor de studie van de wiskunde, die een onvervangbare bijdrage levert aan het oplossen van praktische problemen.

Het onderwerp ‘Integraal’ laat duidelijk het verband zien tussen wiskunde en natuurkunde, biologie, economie en technologie.

De ontwikkeling van de moderne wetenschap is ondenkbaar zonder het gebruik van de integraal. In dit opzicht is het noodzakelijk om het te gaan studeren in het kader van het secundair gespecialiseerd onderwijs!

VI. Beoordeling.(Met commentaar.)

De grote Omar Khayyam - wiskundige, dichter, filosoof. Hij moedigt ons aan om meester te zijn over ons eigen lot. Laten we luisteren naar een fragment uit zijn werk:

Je zegt: dit leven is één moment.
Waardeer het, haal er inspiratie uit.
Zoals je het uitgeeft, zo gaat het ook voorbij.
Vergeet niet: zij is jouw creatie.

Net als bij het probleem van het vinden van het gebied, heb je zelfverzekerde tekenvaardigheden nodig - dit is bijna het belangrijkste (aangezien de integralen zelf vaak gemakkelijk zullen zijn). Met behulp van lesmateriaal en geometrische transformaties van grafieken kunt u competente en snelle grafische technieken beheersen. Maar eigenlijk heb ik in de klas al meerdere keren over het belang van tekeningen gesproken.

Over het algemeen zijn er veel interessante toepassingen in de integraalrekening; met behulp van een bepaalde integraal kun je de oppervlakte van een figuur, het volume van een rotatielichaam, de booglengte, het rotatieoppervlak en nog veel meer berekenen. meer. Het wordt dus leuk, blijf optimistisch!

Stel je een platte figuur voor op het coördinatenvlak. Geïntroduceerd? ... Ik vraag me af wie wat heeft gepresenteerd... =))) We hebben het gebied al gevonden. Maar bovendien kan dit figuur ook op twee manieren worden geroteerd:

– rond de abscis-as;
– rond de ordinaatas.

In dit artikel worden beide gevallen onderzocht. Vooral de tweede rotatiemethode is interessant; deze veroorzaakt de meeste problemen, maar in feite is de oplossing vrijwel hetzelfde als bij de meer gebruikelijke rotatie rond de x-as. Als bonus zal ik terugkeren naar probleem van het vinden van het gebied van een figuur, en ik zal je vertellen hoe je het gebied op de tweede manier kunt vinden: langs de as. Het is niet zozeer een bonus, want het materiaal past goed bij het onderwerp.

Laten we beginnen met het meest populaire type rotatie.

platte figuur rond een as

voorbeeld 1

Bereken het volume van een lichaam dat wordt verkregen door een figuur begrensd door lijnen rond een as te roteren.

Oplossing: Zoals bij het probleem van het vinden van het gebied, de oplossing begint met een tekening van een plat figuur. Dat wil zeggen, op het vlak is het noodzakelijk om een figuur te construeren die wordt begrensd door de lijnen, en vergeet niet dat de vergelijking de as specificeert. Hoe u een tekening efficiënter en sneller kunt voltooien, vindt u op de pagina's Grafieken en eigenschappen van elementaire functies En Bepaalde integraal. Hoe de oppervlakte van een figuur te berekenen. Dit is een Chinese herinnering, en op dit punt zal ik er niet verder op ingaan.

De tekening hier is vrij eenvoudig:

Het gewenste platte figuur is blauw gearceerd; het is degene die rond de as draait. Als resultaat van de rotatie is het resultaat een enigszins eivormige vliegende schotel die symmetrisch is rond de as. In feite heeft het lichaam een wiskundige naam, maar ik ben te lui om iets in het naslagwerk te verduidelijken, dus gaan we verder.

Hoe bereken je het volume van een revolutielichaam?

Het volume van een omwentelingslichaam kan worden berekend met behulp van de formule:

In de formule moet het getal vóór de integraal staan. Zo gebeurde het - alles wat in het leven draait, is verbonden met deze constante.

Ik denk dat het gemakkelijk is om te raden hoe je de grenzen van integratie “a” en “zijn” kunt bepalen op basis van de voltooide tekening.

Functie... wat is deze functie? Laten we naar de tekening kijken. De vlakke figuur wordt begrensd door de grafiek van de parabool bovenaan. Dit is de functie die in de formule wordt geïmpliceerd.

Bij praktische taken kan er soms een plat figuur onder de as worden geplaatst. Dit verandert niets - de integrand in de formule is kwadratisch: , dus de integraal is altijd niet-negatief, wat heel logisch is.

Laten we het volume van een rotatielichaam berekenen met behulp van deze formule:

Zoals ik al opmerkte, blijkt de integraal bijna altijd eenvoudig te zijn, het belangrijkste is om voorzichtig te zijn.

Antwoord:

In uw antwoord moet u de afmeting aangeven: kubieke eenheden. Dat wil zeggen, in ons rotatielichaam zijn er ongeveer 3,35 "kubussen". Waarom kubisch eenheden? Omdat de meest universele formulering. Er kunnen kubieke centimeters zijn, er kunnen kubieke meters zijn, er kunnen kubieke kilometers zijn, enz., zoveel groene mannetjes kan jouw verbeelding in een vliegende schotel stoppen.

Voorbeeld 2

Vind het volume van een lichaam gevormd door rotatie rond de as van een figuur begrensd door lijnen , ,

Dit is een voorbeeld dat u zelf kunt oplossen. Volledige oplossing en antwoord aan het einde van de les.

Laten we eens kijken naar twee complexere problemen, die ook in de praktijk vaak voorkomen.

Voorbeeld 3

Bereken het volume van het lichaam dat wordt verkregen door te roteren rond de abscis-as van de figuur begrensd door de lijnen , , en

Oplossing: Laten we in de tekening een platte figuur weergeven, begrensd door de lijnen , , , , zonder te vergeten dat de vergelijking de as definieert:

Het gewenste figuur is blauw gearceerd. Als hij om zijn as draait, blijkt het een surrealistische donut met vier hoeken te zijn.

Laten we het volume van het rotatielichaam berekenen als verschil in volume van lichamen.

Laten we eerst eens kijken naar de figuur die rood omcirkeld is. Wanneer het rond een as roteert, wordt een afgeknotte kegel verkregen. Laten we het volume van deze afgeknotte kegel aangeven met .

Beschouw het figuur dat groen omcirkeld is. Als je dit figuur rond de as draait, krijg je ook een afgeknotte kegel, alleen iets kleiner. Laten we het volume ervan aangeven met .

En het verschil in volumes is uiteraard precies het volume van onze "donut".

We gebruiken de standaardformule om het volume van een revolutielichaam te vinden:

1) De rood omcirkelde figuur wordt bovenaan begrensd door een rechte lijn, daarom:

2) De groen omcirkelde figuur wordt bovenaan begrensd door een rechte lijn, daarom:

3) Volume van het gewenste revolutielichaam:

Antwoord:

Het is merkwaardig dat in dit geval de oplossing kan worden gecontroleerd met behulp van de schoolformule voor het berekenen van het volume van een afgeknotte kegel.

De beslissing zelf wordt vaak korter geschreven, ongeveer zo:

Laten we nu even rusten en je vertellen over geometrische illusies.

Mensen hebben vaak illusies die verband houden met boekdelen, wat Perelman (een ander) in het boek opmerkte Vermakelijke geometrie. Kijk naar het platte cijfer in het opgeloste probleem - het lijkt een klein oppervlak te hebben, en het volume van het omwentelingslichaam is iets meer dan 50 kubieke eenheden, wat te groot lijkt. Trouwens, de gemiddelde persoon drinkt zijn hele leven het equivalent van een kamer van 18 vierkante meter vloeistof, wat integendeel een te klein volume lijkt.

Over het algemeen was het onderwijssysteem in de USSR echt het beste. Hetzelfde boek van Perelman, gepubliceerd in 1950, ontwikkelt zich heel goed, zoals de humorist zei, denken en leert je zoeken naar originele, niet-standaard oplossingen voor problemen. Ik heb onlangs enkele hoofdstukken met grote belangstelling herlezen, ik raad het aan, het is zelfs voor humanisten toegankelijk. Nee, je hoeft niet te lachen dat ik vrije tijd heb aangeboden, eruditie en een brede horizon in communicatie zijn iets geweldigs.

Na een lyrische uitweiding is het gewoon passend om een creatieve taak op te lossen:

Voorbeeld 4

Bereken het volume van een lichaam gevormd door rotatie rond de as van een platte figuur begrensd door de lijnen , , waarbij .

Dit is een voorbeeld dat u zelf kunt oplossen. Houd er rekening mee dat alle gevallen zich in de band voordoen, met andere woorden: er worden feitelijk kant-en-klare integratiegrenzen gegeven. Teken de grafieken van trigonometrische functies correct, laat me u herinneren aan het lesmateriaal hierover geometrische transformaties van grafieken: als het argument door twee wordt gedeeld: , dan worden de grafieken tweemaal langs de as uitgerekt. Het is raadzaam om minimaal 3-4 punten te vinden volgens trigonometrische tabellen om de tekening nauwkeuriger te voltooien. Volledige oplossing en antwoord aan het einde van de les. Overigens kan de taak rationeel en niet erg rationeel worden opgelost.

Berekening van het volume van een lichaam gevormd door rotatie
platte figuur rond een as

De tweede paragraaf zal nog interessanter zijn dan de eerste. De taak om het volume van een omwentelingslichaam rond de ordinaat-as te berekenen, is ook een vrij veel voorkomende gast bij testwerk. Onderweg zal er over nagedacht worden probleem van het vinden van het gebied van een figuur de tweede methode is integratie langs de as, hierdoor kun je niet alleen je vaardigheden verbeteren, maar leer je ook het meest winstgevende oplossingspad te vinden. Hier zit ook een praktische levenszin in! Zoals mijn docent wiskundelesmethoden zich glimlachend herinnerde, bedankten veel afgestudeerden haar met de woorden: “Jullie vak heeft ons enorm geholpen, nu zijn we effectieve managers en kunnen we personeel optimaal aansturen.” Ik maak van deze gelegenheid gebruik en spreek haar ook mijn grote dankbaarheid uit, vooral omdat ik de opgedane kennis gebruik voor het beoogde doel =).

Ik raad het iedereen aan, zelfs complete dummies. Bovendien zal het materiaal dat in de tweede paragraaf wordt geleerd, van onschatbare waarde zijn bij het berekenen van dubbele integralen.

Voorbeeld 5

Gegeven een plat figuur begrensd door de lijnen , , .

1) Zoek het gebied van een platte figuur begrensd door deze lijnen.
2) Zoek het volume van het lichaam dat wordt verkregen door een plat figuur, begrensd door deze lijnen, rond de as te draaien.

Aandacht! Zelfs als je alleen het tweede punt eerst wilt lezen Nodig lees de eerste!

Oplossing: De taak bestaat uit twee delen. Laten we beginnen met het vierkant.

1) Laten we een tekening maken:

Het is gemakkelijk in te zien dat de functie de bovenste tak van de parabool specificeert, en de functie de onderste tak van de parabool. Voor ons ligt een triviale parabool die ‘op zijn kant ligt’.

Het gewenste figuur, waarvan het gebied te vinden is, is blauw gearceerd.

Hoe vind je de oppervlakte van een figuur? Het kan op de “gewone” manier worden gevonden, zoals besproken in de klas Bepaalde integraal. Hoe de oppervlakte van een figuur te berekenen. Bovendien wordt het gebied van de figuur gevonden als de som van de gebieden:
- op het segment ;
- op het segment.

Daarom:

Waarom is de gebruikelijke oplossing in dit geval slecht? Ten eerste hebben we twee integralen. Ten tweede zijn integralen wortels, en wortels in integralen zijn geen geschenk, en bovendien kun je in de war raken bij het vervangen van de grenzen van integratie. In feite zijn de integralen natuurlijk niet dodelijk, maar in de praktijk kan alles veel triester zijn, ik heb zojuist "betere" functies voor het probleem geselecteerd.

Er is een meer rationele oplossing: deze bestaat uit het overschakelen naar inverse functies en integratie langs de as.

Hoe kom je bij inverse functies? Grofweg moet je “x” tot en met “y” uitdrukken. Laten we eerst eens naar de parabool kijken:

Dit is genoeg, maar laten we ervoor zorgen dat dezelfde functie kan worden afgeleid van de lagere tak:

Het is gemakkelijker met een rechte lijn:

Kijk nu naar de as: kantel uw hoofd af en toe 90 graden naar rechts terwijl u uitlegt (dit is geen grap!). Het cijfer dat we nodig hebben ligt op het segment, dat wordt aangegeven door de rode stippellijn. In dit geval bevindt de rechte lijn zich op het segment boven de parabool, wat betekent dat het gebied van de figuur moet worden gevonden met behulp van de formule die u al kent: . Wat is er veranderd in de formule? Gewoon een brief en meer niet.

! Opmerking: De grenzen van de integratie langs de as moeten worden vastgesteld strikt van onder naar boven!

Het gebied vinden:

Op het segment dus:

Merk op hoe ik de integratie heb uitgevoerd, dit is de meest rationele manier, en in de volgende paragraaf van de taak zal duidelijk worden waarom.

Voor lezers die twijfelen aan de juistheid van integratie, zal ik afgeleiden vinden:

De oorspronkelijke integrandfunctie wordt verkregen, wat betekent dat de integratie correct is uitgevoerd.

Antwoord:

2) Laten we het volume berekenen van het lichaam dat wordt gevormd door de rotatie van deze figuur rond de as.

Ik zal de tekening opnieuw tekenen in een iets ander ontwerp:

Het blauw gearceerde figuur draait dus rond de as. Het resultaat is een ‘zwevende vlinder’ die om zijn as draait.

Om het volume van een rotatielichaam te vinden, zullen we langs de as integreren. Eerst moeten we naar inverse functies gaan. Dit is al gedaan en in detail beschreven in de vorige paragraaf.

Nu kantelen we ons hoofd weer naar rechts en bestuderen we onze figuur. Het is duidelijk dat het volume van een rotatielichaam moet worden gevonden als het verschil in volumes.

We draaien het rood omcirkelde figuur rond de as, waardoor een afgeknotte kegel ontstaat. Laten we dit volume aangeven met .

We roteren de figuur die groen is omcirkeld rond de as en geven deze aan met het volume van het resulterende rotatielichaam.

Het volume van onze vlinder is gelijk aan het verschil in volumes.

We gebruiken de formule om het volume van een revolutielichaam te vinden:

Wat is het verschil met de formule in de vorige paragraaf? Alleen in de brief.

Maar het voordeel van integratie, waar ik het onlangs over had, is veel gemakkelijker te vinden , in plaats van eerst de integrand tot de vierde macht te verheffen.

Antwoord:

Echter geen ziekelijke vlinder.

Houd er rekening mee dat als hetzelfde platte figuur om de as wordt gedraaid, je een heel ander rotatielichaam krijgt, met uiteraard een ander volume.

Voorbeeld 6

Gegeven een platte figuur begrensd door lijnen en een as.

1) Ga naar inverse functies en vind de oppervlakte van een vlakke figuur begrensd door deze lijnen door te integreren over de variabele.
2) Bereken het volume van het lichaam dat wordt verkregen door een plat figuur, begrensd door deze lijnen, rond de as te draaien.

Dit is een voorbeeld dat u zelf kunt oplossen. Geïnteresseerden kunnen de oppervlakte van een figuur ook op de “gebruikelijke” manier vinden, waarbij ze punt 1) controleren. Maar als je, ik herhaal, een plat figuur rond de as draait, krijg je trouwens een heel ander rotatielichaam met een ander volume, het juiste antwoord (ook voor degenen die graag problemen oplossen).

Een volledige oplossing voor de twee voorgestelde punten van de taak vindt u aan het einde van de les.

Ja, en vergeet niet je hoofd naar rechts te kantelen om de rotatielichamen en de grenzen van integratie te begrijpen!

Hoe bereken je het volume van een omwentelingslichaam met behulp van een bepaalde integraal?

Daarnaast het vinden van de oppervlakte van een vlakke figuur met behulp van een bepaalde integraal de belangrijkste toepassing van het onderwerp is het berekenen van het volume van een omwentelingslichaam. De stof is eenvoudig, maar de lezer moet voorbereid zijn: je moet kunnen oplossen onbepaalde integralen gemiddelde complexiteit en pas de Newton-Leibniz-formule toe bepaalde integraal . Net als bij het probleem van het vinden van het gebied, heb je zelfverzekerde tekenvaardigheden nodig - dit is bijna het belangrijkste (aangezien de integralen zelf vaak gemakkelijk zullen zijn). Met behulp van methodologisch materiaal kunt u competente en snelle kaarttechnieken beheersen . Maar eigenlijk heb ik in de klas al meerdere keren over het belang van tekeningen gesproken. .

Over het algemeen zijn er veel interessante toepassingen in de integraalrekening: met behulp van een bepaalde integraal kun je de oppervlakte van een figuur berekenen, het volume van een rotatielichaam, de lengte van een boog, de oppervlakte van een lichaam en nog veel meer. Het wordt dus leuk, blijf optimistisch!

– rond de x-as; – rond de ordinaatas.

In dit artikel worden beide gevallen onderzocht. Vooral de tweede rotatiemethode is interessant; deze veroorzaakt de meeste problemen, maar in feite is de oplossing vrijwel hetzelfde als bij de meer gebruikelijke rotatie rond de x-as. Als bonus zal ik terugkeren naar probleem van het vinden van het gebied van een figuur , en ik zal je vertellen hoe je het gebied op de tweede manier kunt vinden: langs de as. Het is niet zozeer een bonus, want het materiaal past goed bij het onderwerp.

Laten we beginnen met het meest populaire type rotatie.

voorbeeld 1

Bereken het volume van een lichaam dat wordt verkregen door een figuur begrensd door lijnen rond een as te roteren.

Oplossing: Net als bij het probleem van het vinden van het gebied, de oplossing begint met een tekening van een plat figuur. Dat wil zeggen, op een vlak is het noodzakelijk om een figuur te construeren die wordt begrensd door lijnen, en vergeet niet dat de vergelijking de as definieert. Hoe u een tekening efficiënter en sneller kunt voltooien, vindt u op de pagina's Grafieken en eigenschappen van elementaire functies En Bepaalde integraal. Hoe de oppervlakte van een figuur te berekenen . Dit is een Chinese herinnering, en op dit punt zal ik er niet verder op ingaan.

De tekening hier is vrij eenvoudig:

Het gewenste platte figuur is blauw gearceerd; het is degene die rond de as draait. Als gevolg van rotatie ontstaat er een enigszins eivormige vliegende schotel die symmetrisch is om de as. In feite heeft het lichaam een wiskundige naam, maar ik ben te lui om in het naslagwerk te kijken, dus gaan we verder.

Hoe bereken je het volume van een revolutielichaam?

Het volume van een omwentelingslichaam kan worden berekend met behulp van de formule:

In de formule moet het getal vóór de integraal staan. Zo gebeurde het - alles wat in het leven draait, is verbonden met deze constante.

Ik denk dat het gemakkelijk is om te raden hoe je de grenzen van integratie “a” en “zijn” kunt bepalen op basis van de voltooide tekening.

Functie... wat is deze functie? Laten we naar de tekening kijken. De platte figuur wordt bovenaan begrensd door de paraboolgrafiek. Dit is de functie die in de formule wordt geïmpliceerd.

Bij praktische taken kan er soms een plat figuur onder de as worden geplaatst. Dit verandert niets - de functie in de formule is kwadratisch: dus het volume van een revolutielichaam is altijd niet-negatief, wat heel logisch is.

Laten we het volume van een rotatielichaam berekenen met behulp van deze formule:

Zoals ik al opmerkte, blijkt de integraal bijna altijd eenvoudig te zijn, het belangrijkste is om voorzichtig te zijn.

Antwoord:

Voorbeeld 2

Vind het volume van een lichaam gevormd door rotatie rond de as van een figuur begrensd door lijnen,

Dit is een voorbeeld dat u zelf kunt oplossen. Volledige oplossing en antwoord aan het einde van de les.

Laten we eens kijken naar twee complexere problemen, die ook in de praktijk vaak voorkomen.

Voorbeeld 3

Bereken het volume van het lichaam dat wordt verkregen door te roteren rond de abscis-as van de figuur begrensd door de lijnen ,, en

Oplossing: Laten we in de tekening een platte figuur weergeven, begrensd door de lijnen ,,,, zonder te vergeten dat de vergelijking de as definieert:

Het gewenste figuur is blauw gearceerd. Als hij om zijn as draait, blijkt het een surrealistische donut met vier hoeken te zijn.

Laten we het volume van het rotatielichaam berekenen als verschil in volume van lichamen.

Laten we eerst eens kijken naar de figuur die rood omcirkeld is. Wanneer het rond een as roteert, wordt een afgeknotte kegel verkregen. Laten we het volume van deze afgeknotte kegel aangeven met.

Beschouw het figuur dat groen omcirkeld is. Als je dit figuur rond de as draait, krijg je ook een afgeknotte kegel, alleen iets kleiner. Laten we het volume ervan aangeven met.

En het verschil in volumes is uiteraard precies het volume van onze "donut".

We gebruiken de standaardformule om het volume van een revolutielichaam te vinden:

1) De rood omcirkelde figuur wordt bovenaan begrensd door een rechte lijn, daarom:

2) De groen omcirkelde figuur wordt bovenaan begrensd door een rechte lijn, daarom:

3) Volume van het gewenste revolutielichaam:

Antwoord:

Het is merkwaardig dat in dit geval de oplossing kan worden gecontroleerd met behulp van de schoolformule voor het berekenen van het volume van een afgeknotte kegel.

De beslissing zelf wordt vaak korter geschreven, ongeveer zo:

Laten we nu even rusten en je vertellen over geometrische illusies.

Mensen hebben vaak illusies die verband houden met boekdelen, die door Perelman (niet die) in het boek werden opgemerkt Vermakelijke geometrie. Kijk naar het platte cijfer in het opgeloste probleem - het lijkt een klein oppervlak te hebben, en het volume van het omwentelingslichaam is iets meer dan 50 kubieke eenheden, wat te groot lijkt. Trouwens, de gemiddelde persoon drinkt zijn hele leven het equivalent van een kamer van 18 vierkante meter vloeistof, wat integendeel een te klein volume lijkt.

Over het algemeen was het onderwijssysteem in de USSR echt het beste. Hetzelfde boek van Perelman, door hem geschreven in 1950, ontwikkelt zich zeer goed, zoals de humorist zei, het denken en leert iemand zoeken naar originele, niet-standaard oplossingen voor problemen. Ik heb onlangs enkele hoofdstukken met grote belangstelling herlezen, ik raad het aan, het is zelfs voor humanisten toegankelijk. Nee, je hoeft niet te lachen dat ik vrije tijd heb aangeboden, eruditie en een brede horizon in communicatie zijn iets geweldigs.

Na een lyrische uitweiding is het gewoon passend om een creatieve taak op te lossen:

Voorbeeld 4

Bereken het volume van een lichaam gevormd door rotatie rond de as van een platte figuur begrensd door lijnen, waar.

Dit is een voorbeeld dat u zelf kunt oplossen. Houd er rekening mee dat alles in de band gebeurt, met andere woorden: er worden praktisch kant-en-klare integratiegrenzen gegeven. Probeer ook de grafieken van trigonometrische functies correct te tekenen; als het argument door twee wordt gedeeld: dan worden de grafieken twee keer langs de as uitgerekt. Probeer minimaal 3-4 punten te vinden volgens trigonometrische tabellen en voltooi de tekening nauwkeuriger. Volledige oplossing en antwoord aan het einde van de les. Overigens kan de taak rationeel en niet erg rationeel worden opgelost.

Berekening van het volume van een lichaam gevormd door het roteren van een plat figuur rond een as

Voorbeeld 5

Gegeven een plat figuur begrensd door lijnen ,,.

1) Zoek het gebied van een platte figuur begrensd door deze lijnen. 2) Zoek het volume van het lichaam dat wordt verkregen door een plat figuur, begrensd door deze lijnen, rond de as te draaien.

Aandacht! Zelfs als je alleen het tweede punt eerst wilt lezen Nodig lees de eerste!

Oplossing: De taak bestaat uit twee delen. Laten we beginnen met het vierkant.

1) Laten we een tekening maken:

Het gewenste figuur, waarvan het gebied te vinden is, is blauw gearceerd.

Hoe vind je de oppervlakte van een figuur? Het kan op de “gewone” manier worden gevonden, zoals besproken in de klas Bepaalde integraal. Hoe de oppervlakte van een figuur te berekenen . Bovendien wordt de oppervlakte van de figuur gevonden als de som van de gebieden: – op het segment ; - op het segment.

Daarom:

Er is een meer rationele oplossing: deze bestaat uit het overschakelen naar inverse functies en integratie langs de as.

Hoe kom je bij inverse functies? Grofweg moet je “x” tot en met “y” uitdrukken. Laten we eerst eens naar de parabool kijken:

Dit is genoeg, maar laten we ervoor zorgen dat dezelfde functie kan worden afgeleid van de lagere tak:

Het is gemakkelijker met een rechte lijn:

Kijk nu naar de as: kantel uw hoofd af en toe 90 graden naar rechts terwijl u uitlegt (dit is geen grap!). Het cijfer dat we nodig hebben ligt op het segment, dat wordt aangegeven door de rode stippellijn. Bovendien bevindt de rechte lijn zich op het segment boven de parabool, wat betekent dat het gebied van de figuur moet worden gevonden met behulp van de formule die u al kent: . Wat is er veranderd in de formule? Gewoon een brief en meer niet.

! Opmerking: De integratielimieten langs de as moeten worden ingesteldstrikt van onder naar boven !

Het gebied vinden:

Op het segment dus:

Merk op hoe ik de integratie heb uitgevoerd, dit is de meest rationele manier, en in de volgende paragraaf van de taak zal duidelijk worden waarom.

Voor lezers die twijfelen aan de juistheid van integratie, zal ik afgeleiden vinden:

De oorspronkelijke integrandfunctie wordt verkregen, wat betekent dat de integratie correct is uitgevoerd.

Antwoord:

2) Laten we het volume berekenen van het lichaam dat wordt gevormd door de rotatie van deze figuur rond de as.

Ik zal de tekening opnieuw tekenen in een iets ander ontwerp:

Het blauw gearceerde figuur draait dus rond de as. Het resultaat is een ‘zwevende vlinder’ die om zijn as draait.

Om het volume van een rotatielichaam te vinden, zullen we langs de as integreren. Eerst moeten we naar inverse functies gaan. Dit is al gedaan en in detail beschreven in de vorige paragraaf.

Nu kantelen we ons hoofd weer naar rechts en bestuderen we onze figuur. Het is duidelijk dat het volume van een rotatielichaam moet worden gevonden als het verschil in volumes.

We draaien het rood omcirkelde figuur rond de as, waardoor een afgeknotte kegel ontstaat. Laten we dit volume aanduiden met.

We roteren de figuur die groen is omcirkeld rond de as en geven dit aan met het volume van het resulterende rotatielichaam.

Het volume van onze vlinder is gelijk aan het verschil in volumes.

We gebruiken de formule om het volume van een revolutielichaam te vinden:

Wat is het verschil met de formule in de vorige paragraaf? Alleen in de brief.

Maar het voordeel van integratie, waar ik het onlangs over had, is veel gemakkelijker te vinden , in plaats van eerst de integrand tot de vierde macht te verheffen.

Hoe het volume van een revolutielichaam te berekenen
een bepaalde integraal gebruiken?

Over het algemeen zijn er veel interessante toepassingen in de integraalrekening: met behulp van een bepaalde integraal kun je de oppervlakte van een figuur berekenen, het volume van een rotatielichaam, de lengte van een boog, de oppervlakte van rotatie en nog veel meer. Het wordt dus leuk, blijf optimistisch!

- rond de abscis-as;
- rond de ordinaatas.

Laten we beginnen met het meest populaire type rotatie.

platte figuur rond een as

Bereken het volume van een lichaam dat wordt verkregen door een figuur begrensd door lijnen rond een as te roteren.

Oplossing: Zoals bij het probleem van het vinden van het gebied, de oplossing begint met een tekening van een plat figuur. Dat wil zeggen, op het vlak is het noodzakelijk om een figuur te construeren die wordt begrensd door de lijnen, en vergeet niet dat de vergelijking de as specificeert. Hoe u een tekening efficiënter en sneller kunt voltooien, vindt u op de pagina's Grafieken en eigenschappen van elementaire functies En . Dit is een Chinese herinnering, en op dit punt zal ik er niet verder op ingaan.

De tekening hier is vrij eenvoudig:

Hoe bereken je het volume van een revolutielichaam?

Het volume van een omwentelingslichaam kan worden berekend met behulp van de formule:

In de formule moet het getal vóór de integraal staan. Zo gebeurde het - alles wat in het leven draait, is verbonden met deze constante.

Ik denk dat het gemakkelijk is om te raden hoe je de grenzen van integratie “a” en “zijn” kunt bepalen op basis van de voltooide tekening.

Functie... wat is deze functie? Laten we naar de tekening kijken. De vlakke figuur wordt begrensd door de grafiek van de parabool bovenaan. Dit is de functie die in de formule wordt geïmpliceerd.

Laten we het volume van een rotatielichaam berekenen met behulp van deze formule:

Zoals ik al opmerkte, blijkt de integraal bijna altijd eenvoudig te zijn, het belangrijkste is om voorzichtig te zijn.

Antwoord:

Vind het volume van een lichaam gevormd door rotatie rond de as van een figuur begrensd door lijnen , ,

Dit is een voorbeeld dat u zelf kunt oplossen. Volledige oplossing en antwoord aan het einde van de les.

Laten we eens kijken naar twee complexere problemen, die ook in de praktijk vaak voorkomen.

Bereken het volume van het lichaam dat wordt verkregen door te roteren rond de abscis-as van de figuur begrensd door de lijnen , , en

Oplossing: Laten we in de tekening een platte figuur weergeven, begrensd door de lijnen , , , , zonder te vergeten dat de vergelijking de as definieert:

Het gewenste figuur is blauw gearceerd. Als hij om zijn as draait, blijkt het een surrealistische donut met vier hoeken te zijn.

Laten we het volume van het rotatielichaam berekenen als verschil in volume van lichamen.

Laten we eerst eens kijken naar de figuur die rood omcirkeld is. Wanneer het rond een as roteert, wordt een afgeknotte kegel verkregen. Laten we het volume van deze afgeknotte kegel aangeven met .

Beschouw het figuur dat groen omcirkeld is. Als je dit figuur rond de as draait, krijg je ook een afgeknotte kegel, alleen iets kleiner. Laten we het volume ervan aangeven met .

En het verschil in volumes is uiteraard precies het volume van onze "donut".

We gebruiken de standaardformule om het volume van een revolutielichaam te vinden:

1) De rood omcirkelde figuur wordt bovenaan begrensd door een rechte lijn, daarom:

2) De groen omcirkelde figuur wordt bovenaan begrensd door een rechte lijn, daarom:

3) Volume van het gewenste revolutielichaam:

Antwoord:

Het is merkwaardig dat in dit geval de oplossing kan worden gecontroleerd met behulp van de schoolformule voor het berekenen van het volume van een afgeknotte kegel.

De beslissing zelf wordt vaak korter geschreven, ongeveer zo:

Laten we nu even rusten en je vertellen over geometrische illusies.

Na een lyrische uitweiding is het gewoon passend om een creatieve taak op te lossen:

Bereken het volume van een lichaam gevormd door rotatie rond de as van een platte figuur begrensd door de lijnen , , waarbij .

Berekening van het volume van een lichaam gevormd door rotatie
platte figuur rond een as

Ik raad het iedereen aan, zelfs complete dummies. Bovendien zal het materiaal dat in de tweede paragraaf wordt geleerd, van onschatbare waarde zijn bij het berekenen van dubbele integralen.

Gegeven een plat figuur begrensd door de lijnen , , .

1) Zoek het gebied van een platte figuur begrensd door deze lijnen.
2) Zoek het volume van het lichaam dat wordt verkregen door een plat figuur, begrensd door deze lijnen, rond de as te draaien.

Aandacht! Zelfs als je alleen het tweede punt wilt lezen, lees dan zeker eerst het eerste!

Oplossing: De taak bestaat uit twee delen. Laten we beginnen met het vierkant.

1) Laten we een tekening maken:

Het gewenste figuur, waarvan het gebied te vinden is, is blauw gearceerd.

Daarom:

Waarom is de gebruikelijke oplossing in dit geval slecht? Ten eerste hebben we twee integralen. Ten tweede zijn er wortels onder integralen, en wortels in integralen zijn geen geschenk, en bovendien kun je in de war raken bij het vervangen van de grenzen van integratie. In feite zijn de integralen natuurlijk niet dodelijk, maar in de praktijk kan alles veel triester zijn, ik heb zojuist "betere" functies voor het probleem geselecteerd.

Er is een meer rationele oplossing: deze bestaat uit het overschakelen naar inverse functies en integratie langs de as.

Hoe kom je bij inverse functies? Grofweg moet je “x” tot en met “y” uitdrukken. Laten we eerst eens naar de parabool kijken:

Dit is genoeg, maar laten we ervoor zorgen dat dezelfde functie kan worden afgeleid van de lagere tak:

Het is gemakkelijker met een rechte lijn:

! Opmerking: De grenzen van de integratie langs de as moeten worden vastgesteld strikt van onder naar boven!

Het gebied vinden:

Op het segment dus:

Merk op hoe ik de integratie heb uitgevoerd, dit is de meest rationele manier, en in de volgende paragraaf van de taak zal duidelijk worden waarom.

Voor lezers die twijfelen aan de juistheid van integratie, zal ik afgeleiden vinden:

De oorspronkelijke integrandfunctie wordt verkregen, wat betekent dat de integratie correct is uitgevoerd.

Antwoord:

2) Laten we het volume berekenen van het lichaam dat wordt gevormd door de rotatie van deze figuur rond de as.

Ik zal de tekening opnieuw tekenen in een iets ander ontwerp: