Hoe schrijf je de vergelijking van een rechte lijn die door een punt gaat. De vergelijking van een rechte lijn die door twee gegeven punten gaat: voorbeelden, oplossingen

Dit artikel vervolgt het onderwerp van de vergelijking van een rechte lijn in een vlak: beschouw een dergelijk type vergelijking als de algemene vergelijking van een rechte lijn. Laten we een stelling definiëren en het bewijs leveren; Laten we eens kijken wat een onvolledige algemene vergelijking van een rechte lijn is en hoe we overgangen kunnen maken van een algemene vergelijking naar andere soorten vergelijkingen van een rechte lijn. We zullen de hele theorie consolideren met illustraties en praktische problemen oplossen.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Laat een rechthoekig assenstelsel O x y gegeven worden op het vlak.

Stelling 1

Elke vergelijking van de eerste graad, met de vorm A x + B y + C \u003d 0, waarbij A, B, C enkele reële getallen zijn (A en B zijn niet tegelijkertijd gelijk aan nul) definieert een rechte lijn in een rechthoekig coördinatenstelsel op een vlak. Elke lijn in een rechthoekig coördinatensysteem op het vlak wordt op zijn beurt bepaald door een vergelijking in de vorm A x + B y + C = 0 voor een bepaalde reeks waarden A, B, C.

Bewijs

Deze stelling bestaat uit twee punten, we zullen ze elk bewijzen.

Laten we bewijzen dat de vergelijking A x + B y + C = 0 een lijn in het vlak definieert.

Laat er een punt M 0 (x 0 , y 0) zijn waarvan de coördinaten overeenkomen met de vergelijking A x + B y + C = 0 . Dus: A x 0 + B y 0 + C = 0 . Trek van de linker- en rechterkant van de vergelijkingen A x + B y + C \u003d 0 de linker- en rechterkant van de vergelijking A x 0 + B y 0 + C \u003d 0 af, we krijgen een nieuwe vergelijking die eruit ziet als A (x - x 0) + B (y - y 0) = 0 . Het is gelijk aan A x + B y + C = 0 .

De resulterende vergelijking A (x - x 0) + B (y - y 0) = 0 is een noodzakelijke en voldoende voorwaarde voor de loodrechtheid van de vectoren n → = (A, B) en M 0 M → = (x - x 0, j - j 0). De verzameling punten M (x, y) definieert dus in een rechthoekig coördinatensysteem een rechte lijn loodrecht op de richting van de vector n → = (A, B) . We kunnen aannemen dat dit niet zo is, maar dan zouden de vectoren n → = (A, B) en M 0 M → = (x - x 0, y - y 0) niet loodrecht staan, en de gelijkheid A (x - x 0 ) + B (y - y 0) = 0 zou niet waar zijn.

Daarom definieert de vergelijking A (x - x 0) + B (y - y 0) \u003d 0 een lijn in een rechthoekig coördinatensysteem in het vlak, en daarom definieert de equivalente vergelijking A x + B y + C \u003d 0 dezelfde lijn. Hiermee hebben we het eerste deel van de stelling bewezen.

Laten we bewijzen dat elke rechte lijn in een rechthoekig coördinatensysteem op een vlak gegeven kan worden door een vergelijking van de eerste graad A x + B y + C = 0 .

Laten we een rechte lijn a in een rechthoekig coördinatensysteem op het vlak zetten; punt M 0 (x 0 , y 0) waar deze lijn doorheen gaat, evenals de normaalvector van deze lijn n → = (A , B) .

Laat er ook een punt M (x , y) bestaan - een drijvend punt van de lijn. In dit geval staan de vectoren n → = (A , B) en M 0 M → = (x - x 0 , y - y 0) loodrecht op elkaar en is hun scalair product nul:

n → , M 0 M → = EEN (x - x 0) + B (y - y 0) = 0

Laten we de vergelijking A x + B y - A x 0 - B y 0 = 0 herschrijven, C: C = - A x 0 - B y 0 definiëren en tot slot de vergelijking A x + B y + C = 0 krijgen.

We hebben dus het tweede deel van de stelling bewezen, en we hebben de hele stelling als geheel bewezen.

Definitie 1

Een vergelijking die eruit ziet EEN x + B y + C = 0 - Dit algemene vergelijking van een rechte lijn op een vlak in een rechthoekig coördinatenstelselO x y .

Op basis van de bewezen stelling kunnen we concluderen dat een rechte lijn gegeven op een vlak in een vast rechthoekig coördinatensysteem en zijn algemene vergelijking onlosmakelijk met elkaar verbonden zijn. Met andere woorden, de oorspronkelijke regel komt overeen met de algemene vergelijking; de algemene vergelijking van een rechte lijn komt overeen met een gegeven rechte lijn.

Uit het bewijs van de stelling volgt ook dat de coëfficiënten A en B voor de variabelen x en y de coördinaten zijn van de normaalvector van de rechte lijn, die wordt gegeven door de algemene vergelijking van de rechte lijn A x + B y + C = 0 .

Beschouw een specifiek voorbeeld van de algemene vergelijking van een rechte lijn.

Geef de vergelijking 2 x + 3 y - 2 = 0, die overeenkomt met een rechte lijn in een gegeven rechthoekig coördinatenstelsel. De normaalvector van deze lijn is de vector n → = (2 , 3) . Teken een gegeven rechte lijn in de tekening.

Het volgende kan ook worden beargumenteerd: de rechte lijn die we in de tekening zien, wordt bepaald door de algemene vergelijking 2 x + 3 y - 2 = 0, aangezien de coördinaten van alle punten van een gegeven rechte lijn overeenkomen met deze vergelijking.

We kunnen de vergelijking λ · A x + λ · B y + λ · C = 0 krijgen door beide zijden van de algemene lineaire vergelijking te vermenigvuldigen met een getal dat niet nul is λ. De resulterende vergelijking is gelijk aan de oorspronkelijke algemene vergelijking en beschrijft daarom dezelfde lijn in het vlak.

Definitie 2

Volledige algemene vergelijking van een rechte lijn- zo'n algemene vergelijking van de lijn A x + B y + C \u003d 0, waarin de getallen A, B, C niet nul zijn. Anders is de vergelijking incompleet.

Laten we alle variaties van de onvolledige algemene vergelijking van de rechte lijn analyseren.

Wanneer A \u003d 0, B ≠ 0, C ≠ 0, wordt de algemene vergelijking B y + C \u003d 0. Zo'n onvolledige algemene vergelijking definieert een rechte lijn in een rechthoekig coördinatensysteem O x y dat evenwijdig is aan de O x -as, aangezien voor elke reële waarde van x de variabele y de waarde zal aannemen - C B. Met andere woorden, de algemene vergelijking van de lijn A x + B y + C \u003d 0, wanneer A \u003d 0, B ≠ 0, definieert de verzameling punten (x, y) waarvan de coördinaten gelijk zijn aan hetzelfde aantal - C B.
Als A \u003d 0, B ≠ 0, C \u003d 0, wordt de algemene vergelijking y \u003d 0. Zo'n onvolledige vergelijking definieert de x-as O x .
Wanneer A ≠ 0, B \u003d 0, C ≠ 0, krijgen we een onvolledige algemene vergelijking A x + C \u003d 0, die een rechte lijn definieert evenwijdig aan de y-as.
Stel A ≠ 0, B \u003d 0, C \u003d 0, dan zal de onvolledige algemene vergelijking de vorm x \u003d 0 aannemen, en dit is de vergelijking van de coördinatenlijn O y.
Ten slotte, wanneer A ≠ 0, B ≠ 0, C \u003d 0, heeft de onvolledige algemene vergelijking de vorm A x + B y \u003d 0. En deze vergelijking beschrijft een rechte lijn die door de oorsprong gaat. Inderdaad, het getallenpaar (0 , 0) komt overeen met de gelijkheid A x + B y = 0 , aangezien A · 0 + B · 0 = 0 .

Laten we alle bovenstaande typen van de onvolledige algemene vergelijking van een rechte lijn grafisch illustreren.

voorbeeld 1

Het is bekend dat de gegeven rechte lijn evenwijdig is aan de y-as en door het punt 2 7 , - 11 gaat. Het is noodzakelijk om de algemene vergelijking van een gegeven rechte lijn op te schrijven.

Oplossing

Een rechte lijn evenwijdig aan de y-as wordt gegeven door een vergelijking van de vorm A x + C \u003d 0, waarin A ≠ 0. De voorwaarde specificeert ook de coördinaten van het punt waar de lijn doorheen gaat, en de coördinaten van dit punt komen overeen met de voorwaarden van de onvolledige algemene vergelijking A x + C = 0 , d.w.z. gelijkheid klopt:

EEN 2 7 + C = 0

Het is mogelijk om C daaruit te bepalen door A een waarde te geven die niet gelijk is aan nul, bijvoorbeeld A = 7 . In dit geval krijgen we: 7 2 7 + C \u003d 0 ⇔ C \u003d - 2. We kennen beide coëfficiënten A en C, vervangen ze in de vergelijking A x + C = 0 en krijgen de vereiste vergelijking van de lijn: 7 x - 2 = 0

Antwoord: 7 x - 2 = 0

Voorbeeld 2

De tekening toont een rechte lijn, het is noodzakelijk om de vergelijking op te schrijven.

Oplossing

Met de gegeven tekening kunnen we gemakkelijk de eerste gegevens nemen om het probleem op te lossen. We zien in de tekening dat de gegeven lijn evenwijdig is aan de O x -as en door het punt (0 , 3) gaat.

De rechte lijn, die evenwijdig is aan de abscis, wordt bepaald door de onvolledige algemene vergelijking B y + С = 0. Zoek de waarden van B en C . De coördinaten van het punt (0, 3), aangezien de gegeven rechte lijn er doorheen gaat, zullen voldoen aan de vergelijking van de rechte lijn B y + С = 0, dan is de gelijkheid geldig: В · 3 + С = 0. Laten we B instellen op een andere waarde dan nul. Laten we zeggen B \u003d 1, in dit geval kunnen we uit de gelijkheid B · 3 + C \u003d 0 C vinden: C \u003d - 3. Met behulp van de bekende waarden van B en C verkrijgen we de vereiste vergelijking van de rechte lijn: y - 3 = 0.

Antwoord: y - 3 = 0 .

Algemene vergelijking van een rechte lijn die door een bepaald punt van het vlak gaat

Laat de gegeven lijn door het punt M 0 (x 0, y 0) gaan, dan komen de coördinaten overeen met de algemene vergelijking van de lijn, d.w.z. de gelijkheid is waar: A x 0 + B y 0 + C = 0 . Trek de linker- en rechterkant van deze vergelijking af van de linker- en rechterkant van de algemene volledige vergelijking van de rechte lijn. We krijgen: A (x - x 0) + B (y - y 0) + C = 0, deze vergelijking is gelijk aan de originele algemene, gaat door het punt M 0 (x 0, y 0) en heeft een normaalvector n → \u003d (A, B) .

Het resultaat dat we hebben verkregen maakt het mogelijk om de algemene vergelijking van een rechte lijn te schrijven voor bekende coördinaten van de normaalvector van de rechte lijn en de coördinaten van een bepaald punt van deze rechte lijn.

Voorbeeld 3

Gegeven een punt M 0 (- 3, 4) waar de lijn doorheen gaat, en de normaalvector van deze lijn n → = (1 , - 2) . Het is noodzakelijk om de vergelijking van een gegeven rechte lijn op te schrijven.

Oplossing

De beginvoorwaarden stellen ons in staat om de nodige gegevens te verkrijgen voor het samenstellen van de vergelijking: A \u003d 1, B \u003d - 2, x 0 \u003d - 3, y 0 \u003d 4. Dan:

A (x - x 0) + B (y - y 0) = 0 ⇔ 1 (x - (- 3)) - 2 y (y - 4) = 0 ⇔ ⇔ x - 2 y + 22 = 0

Het probleem had anders opgelost kunnen worden. De algemene vergelijking van een rechte lijn heeft de vorm A x + B y + C = 0 . Met de gegeven normaalvector kun je de waarden van de coëfficiënten A en B krijgen, dan:

EEN x + B y + C = 0 ⇔ 1 x - 2 y + C = 0 ⇔ x - 2 y + C = 0

Laten we nu de waarde van C bepalen, gebruikmakend van het punt M 0 (- 3, 4) gegeven door de toestand van het probleem waar de lijn doorheen gaat. De coördinaten van dit punt komen overeen met de vergelijking x - 2 · y + C = 0 , d.w.z. - 3 - 2 4 + C = 0. Dus C = 11. De vereiste rechte lijnvergelijking heeft de vorm: x - 2 · y + 11 = 0 .

Antwoord: x - 2 y + 11 = 0 .

Voorbeeld 4

Gegeven een lijn 2 3 x - y - 1 2 = 0 en een punt M 0 dat op deze lijn ligt. Alleen de abscis van dit punt is bekend en is gelijk aan - 3. Het is noodzakelijk om de ordinaat van het gegeven punt te bepalen.

Oplossing

Laten we de aanduiding van de coördinaten van het punt M 0 instellen als x 0 en y 0 . De eerste gegevens geven aan dat x 0 \u003d - 3. Aangezien het punt tot een bepaalde lijn behoort, komen de coördinaten ervan overeen met de algemene vergelijking van deze lijn. Dan is de volgende gelijkheid waar:

2 3 x 0 - y 0 - 1 2 = 0

Definieer y 0: 2 3 (- 3) - y 0 - 1 2 = 0 ⇔ - 5 2 - y 0 = 0 ⇔ y 0 = - 5 2

Antwoord: - 5 2

Overgang van de algemene vergelijking van een rechte lijn naar andere soorten vergelijkingen van een rechte lijn en vice versa

Zoals we weten, zijn er verschillende soorten vergelijkingen van dezelfde rechte lijn in het vlak. De keuze van het type vergelijking hangt af van de omstandigheden van het probleem; het is mogelijk om degene te kiezen die handiger is voor zijn oplossing. Dit is waar de vaardigheid van het omzetten van een vergelijking van de ene soort in een vergelijking van een andere soort erg handig is.

Beschouw eerst de overgang van de algemene vergelijking van de vorm A x + B y + C = 0 naar de canonieke vergelijking x - x 1 a x = y - y 1 a y .

Als A ≠ 0, dan verplaatsen we de term B y naar de rechterkant van de algemene vergelijking. Aan de linkerkant nemen we A tussen haakjes. Als resultaat krijgen we: A x + C A = - B y .

Deze gelijkheid kan worden geschreven als een verhouding: x + C A - B = y A .

Als B ≠ 0, laten we alleen de term A x aan de linkerkant van de algemene vergelijking staan, verplaatsen we de andere naar de rechterkant, we krijgen: A x \u003d - B y - C. We nemen - B tussen haakjes, dan: A x \u003d - B y + C B.

Laten we de gelijkheid herschrijven als een verhouding: x - B = y + C B A .

Het is natuurlijk niet nodig om de resulterende formules uit het hoofd te leren. Het is voldoende om het algoritme van acties te kennen tijdens de overgang van de algemene vergelijking naar de canonieke vergelijking.

Voorbeeld 5

De algemene vergelijking van de lijn 3 y - 4 = 0 wordt gegeven. Het moet worden omgezet in een canonieke vergelijking.

Oplossing

We schrijven de oorspronkelijke vergelijking als 3 y - 4 = 0 . Vervolgens handelen we volgens het algoritme: de term 0 x blijft aan de linkerkant staan; en aan de rechterkant nemen we - 3 tussen haakjes; we krijgen: 0 x = - 3 y - 4 3 .

Laten we de resulterende gelijkheid schrijven als een verhouding: x - 3 = y - 4 3 0 . We hebben dus een vergelijking van de canonieke vorm verkregen.

Antwoord: x - 3 = y - 4 3 0.

Om de algemene vergelijking van een rechte lijn om te zetten in parametrische vergelijkingen, wordt eerst de overgang naar de canonieke vorm uitgevoerd en vervolgens de overgang van de canonieke vergelijking van de rechte lijn naar parametrische vergelijkingen.

Voorbeeld 6

De rechte lijn wordt gegeven door de vergelijking 2 x - 5 y - 1 = 0 . Schrijf de parametervergelijkingen van deze lijn op.

Oplossing

Laten we de overgang maken van de algemene vergelijking naar de canonieke:

2 x - 5 j - 1 = 0 ⇔ 2 x = 5 j + 1 ⇔ 2 x = 5 j + 1 5 ⇔ x 5 = j + 1 5 2

Laten we nu beide delen van de resulterende canonieke vergelijking gelijk aan λ nemen, dan:

x 5 = λ y + 1 5 2 = λ ⇔ x = 5 λ y = - 1 5 + 2 λ , λ ∈ R

Antwoord:x = 5 λ y = - 1 5 + 2 λ , λ ∈ R

De algemene vergelijking kan worden omgezet in een lineaire vergelijking met een helling y = k x + b, maar alleen als B ≠ 0. Voor de overgang aan de linkerkant laten we de term B y staan, de rest wordt naar rechts verplaatst. We krijgen: B y = - A x - C . Laten we beide delen van de resulterende gelijkheid delen door B , wat verschillend is van nul: y = - A B x - C B .

Voorbeeld 7

De algemene vergelijking van een rechte lijn wordt gegeven: 2 x + 7 y = 0 . U moet die vergelijking omzetten in een hellingsvergelijking.

Oplossing

Laten we de nodige acties uitvoeren volgens het algoritme:

2 x + 7 y = 0 ⇔ 7 y - 2 x ⇔ y = - 2 7 x

Antwoord: y = - 2 7 x .

Uit de algemene vergelijking van een rechte lijn volstaat het om eenvoudig een vergelijking in segmenten van de vorm x a + y b \u003d 1 te verkrijgen. Om zo'n overgang te maken, verplaatsen we het getal C naar de rechterkant van de gelijkheid, delen beide delen van de resulterende gelijkheid door - С en tenslotte brengen we de coëfficiënten voor de variabelen x en y over naar de noemers:

A x + B y + C = 0 ⇔ A x + B y = - C ⇔ ⇔ A - C x + B - C y = 1 ⇔ x - C A + y - C B = 1

Voorbeeld 8

Het is noodzakelijk om de algemene vergelijking van de rechte lijn x - 7 y + 1 2 = 0 om te zetten in de vergelijking van een rechte lijn in segmenten.

Oplossing

Laten we 1 2 naar de rechterkant verplaatsen: x - 7 y + 1 2 = 0 ⇔ x - 7 y = - 1 2 .

Deel door -1/2 aan beide zijden van de vergelijking: x - 7 y = - 1 2 ⇔ 1 - 1 2 x - 7 - 1 2 y = 1 .

Antwoord: x - 1 2 + y 1 14 = 1 .

Over het algemeen is de omgekeerde overgang ook eenvoudig: van andere soorten vergelijkingen naar de algemene.

De vergelijking van een rechte lijn in segmenten en de vergelijking met een helling kunnen eenvoudig worden omgezet in een algemene vergelijking door simpelweg alle termen aan de linkerkant van de vergelijking te verzamelen:

x a + y b ⇔ 1 a x + 1 b y - 1 = 0 ⇔ A x + B y + C = 0 y = k x + b ⇔ y - k x - b = 0 ⇔ A x + B y + C = 0

De canonieke vergelijking wordt geconverteerd naar de algemene volgens het volgende schema:

x - x 1 a x = y - y 1 a y ⇔ a y (x - x 1) = a x (y - y 1) ⇔ ⇔ a y x - a x y - a y x 1 + a x y 1 = 0 ⇔ A x + B y + C = 0

Om van de parametrische over te gaan, wordt eerst de overgang naar de canonieke uitgevoerd en vervolgens naar de algemene:

x = x 1 + a x λ y = y 1 + a y λ ⇔ x - x 1 a x = y - y 1 a y ⇔ A x + B y + C = 0

Voorbeeld 9

De parametervergelijkingen van de rechte x = - 1 + 2 · λ y = 4 worden gegeven. Het is noodzakelijk om de algemene vergelijking van deze regel op te schrijven.

Oplossing

Laten we de overgang maken van parametrische vergelijkingen naar canonieke vergelijkingen:

x = - 1 + 2 λ y = 4 ⇔ x = - 1 + 2 λ y = 4 + 0 λ ⇔ λ = x + 1 2 λ = y - 4 0 ⇔ x + 1 2 = y - 4 0

Laten we van canoniek naar algemeen gaan:

x + 1 2 = y - 4 0 ⇔ 0 (x + 1) = 2 (y - 4) ⇔ y - 4 = 0

Antwoord: j - 4 = 0

Voorbeeld 10

De vergelijking van een rechte lijn in segmenten x 3 + y 1 2 = 1 wordt gegeven. Het is noodzakelijk om de overgang naar de algemene vorm van de vergelijking uit te voeren.

Oplossing:

Laten we de vergelijking herschrijven in de vereiste vorm:

x 3 + y 1 2 = 1 ⇔ 1 3 x + 2 y - 1 = 0

Antwoord: 1 3 x + 2 y - 1 = 0 .

Het opstellen van een algemene vergelijking van een rechte lijn

Hierboven zeiden we dat de algemene vergelijking kan worden geschreven met bekende coördinaten van de normaalvector en de coördinaten van het punt waar de lijn doorheen gaat. Zo'n rechte lijn wordt gedefinieerd door de vergelijking A (x - x 0) + B (y - y 0) = 0 . Op dezelfde plaats hebben we het bijbehorende voorbeeld geanalyseerd.

Laten we nu eens kijken naar complexere voorbeelden waarin het eerst nodig is om de coördinaten van de normaalvector te bepalen.

Voorbeeld 11

Gegeven een rechte evenwijdig aan de rechte 2 x - 3 y + 3 3 = 0 . Ook bekend is het punt M 0 (4 , 1) waar de gegeven lijn doorheen gaat. Het is noodzakelijk om de vergelijking van een gegeven rechte lijn op te schrijven.

Oplossing

De beginvoorwaarden vertellen ons dat de lijnen evenwijdig zijn, terwijl we als normaalvector van de lijn waarvan de vergelijking moet worden geschreven, de richtingsvector nemen van de lijn n → \u003d (2, - 3) : 2 x - 3 y + 3 3 \u003d 0. Nu kennen we alle benodigde gegevens om de algemene vergelijking van een rechte lijn samen te stellen:

A (x - x 0) + B (y - y 0) = 0 ⇔ 2 (x - 4) - 3 (y - 1) = 0 ⇔ 2 x - 3 y - 5 = 0

Antwoord: 2 x - 3 y - 5 = 0 .

Voorbeeld 12

De gegeven lijn gaat door de oorsprong loodrecht op de lijn x - 2 3 = y + 4 5 . Het is noodzakelijk om de algemene vergelijking van een gegeven rechte lijn te schrijven.

Oplossing

De normaalvector van de gegeven lijn is de richtingsvector van de lijn x - 2 3 = y + 4 5 .

Dan n → = (3 , 5) . De rechte lijn gaat door de oorsprong, d.w.z. door het punt O (0, 0) . Laten we de algemene vergelijking van een gegeven rechte lijn opstellen:

A (x - x 0) + B (y - y 0) = 0 ⇔ 3 (x - 0) + 5 (y - 0) = 0 ⇔ 3 x + 5 y = 0

Antwoord: 3 x + 5 y = 0 .

Als u een fout in de tekst opmerkt, markeer deze dan en druk op Ctrl+Enter

De canonieke vergelijkingen van een rechte lijn in de ruimte zijn vergelijkingen die een rechte lijn definiëren die door een gegeven punt collineair naar een richtingsvector gaat.

Laat een punt en een richtingsvector worden gegeven. Een willekeurig punt ligt op een lijn ik alleen als de vectoren en collineair zijn, d.w.z. ze voldoen aan de voorwaarde:

De bovenstaande vergelijkingen zijn de canonieke vergelijkingen van de lijn.

Nummers M , N En P zijn projecties van de richtingsvector op de coördinaatassen. Omdat de vector niet nul is, zijn alle getallen M , N En P kan niet tegelijkertijd nul zijn. Maar een of twee van hen kunnen nul zijn. In de analytische meetkunde is bijvoorbeeld de volgende notatie toegestaan:

wat betekent dat de projecties van de vector op de assen Oja En Oz zijn gelijk aan nul. Daarom staan zowel de vector als de rechte lijn gegeven door de canonieke vergelijkingen loodrecht op de assen Oja En Oz, d.w.z. vliegtuigen yOz .

voorbeeld 1 Stel vergelijkingen op van een rechte lijn in de ruimte loodrecht op een vlak en door het snijpunt van dit vlak met de as gaan Oz .

Oplossing. Zoek het snijpunt van het gegeven vlak met de as Oz. Aangezien elk punt op de as Oz, heeft coördinaten , uitgaande van de gegeven vergelijking van het vlak x=y= 0, krijgen we 4 z- 8 = 0 of z= 2 . Daarom is het snijpunt van het gegeven vlak met de as Oz heeft coördinaten (0; 0; 2) . Aangezien de gewenste lijn loodrecht op het vlak staat, is deze evenwijdig aan de normaalvector. Daarom kan de normaalvector dienen als richtingsvector van de rechte lijn gegeven vliegtuig.

Nu schrijven we de gewenste vergelijkingen van de rechte lijn die door het punt gaat A= (0; 0; 2) in de richting van de vector:

Vergelijkingen van een rechte lijn die door twee gegeven punten gaat

Een rechte lijn kan worden gedefinieerd door twee punten die erop liggen En In dit geval kan de richtingsvector van de rechte lijn de vector zijn. Dan nemen de canonieke vergelijkingen van de lijn de vorm aan

De bovenstaande vergelijkingen definiëren een rechte lijn die door twee gegeven punten gaat.

Voorbeeld 2 Schrijf de vergelijking van een rechte lijn in de ruimte die door de punten en gaat.

Oplossing. We schrijven de gewenste vergelijkingen van de rechte lijn in de hierboven gegeven vorm in de theoretische referentie:

Omdat , dan staat de gewenste lijn loodrecht op de as Oja .

Recht als een snijlijn van vlakken

Een rechte lijn in de ruimte kan worden gedefinieerd als een snijlijn van twee niet-parallelle vlakken en, d.w.z., als een reeks punten die voldoen aan een stelsel van twee lineaire vergelijkingen

De vergelijkingen van het stelsel worden ook wel de algemene vergelijkingen van de rechte lijn in de ruimte genoemd.

Voorbeeld 3 Stel canonieke vergelijkingen samen van een rechte lijn in de ruimte die wordt gegeven door algemene vergelijkingen

Oplossing. Om de canonieke vergelijkingen van een rechte lijn of, wat hetzelfde is, de vergelijking van een rechte lijn die door twee gegeven punten gaat, te schrijven, moet je de coördinaten van twee willekeurige punten op de rechte lijn vinden. Dit kunnen bijvoorbeeld de snijpunten zijn van een rechte lijn met twee willekeurige coördinatenvlakken yOz En xOz .

Snijpunt van een lijn met een vlak yOz heeft een abscis X= 0 . Daarom veronderstellen we in dit systeem van vergelijkingen X= 0 , krijgen we een systeem met twee variabelen:

Haar beslissing j = 2 , z= 6 samen met X= 0 definieert een punt A(0; 2; 6) van de gewenste regel. Ervan uitgaande dan in het gegeven stelsel van vergelijkingen j= 0, we krijgen het systeem

Haar beslissing X = -2 , z= 0 samen met j= 0 definieert een punt B(-2; 0; 0) snijpunt van een lijn met een vlak xOz .

Nu schrijven we de vergelijkingen van een rechte lijn die door de punten gaat A(0; 2; 6) en B (-2; 0; 0) :

of na deling van de noemers door -2:

Laat de rechte lijn door de punten M 1 (x 1; y 1) en M 2 (x 2; y 2) gaan. De vergelijking van een rechte lijn die door het punt M 1 gaat, heeft de vorm y- y 1 \u003d k (x - x 1), (10,6)

Waar k - nog onbekende coëfficiënt.

Aangezien de rechte lijn door het punt M 2 (x 2 y 2) gaat, moeten de coördinaten van dit punt voldoen aan vergelijking (10.6): y 2 -y 1 \u003d k (x 2 -x 1).

Vanaf hier vinden we Vervanging van de gevonden waarde k in vergelijking (10.6) krijgen we de vergelijking van een rechte lijn die door de punten M 1 en M 2 gaat:

Aangenomen wordt dat in deze vergelijking x 1 ≠ x 2, y 1 ≠ y 2

Als x 1 \u003d x 2, dan is de rechte lijn die door de punten M 1 (x 1, y I) en M 2 (x 2, y 2) gaat evenwijdig aan de y-as. De vergelijking is x = x 1 .

Als y 2 \u003d y I, dan kan de vergelijking van de rechte lijn worden geschreven als y \u003d y 1, de rechte lijn M 1 M 2 is evenwijdig aan de x-as.

Vergelijking van een rechte lijn in segmenten

Laat de rechte lijn de Ox-as snijden in het punt M 1 (a; 0) en de Oy-as in het punt M 2 (0; b). De vergelijking zal de vorm aannemen:
die.
. Deze vergelijking wordt genoemd de vergelijking van een rechte lijn in segmenten, omdat de cijfers a en b geven aan welke segmenten de rechte lijn afsnijdt op de coördinaatassen.

Vergelijking van een rechte lijn die door een gegeven punt loodrecht op een gegeven vector gaat

Laten we de vergelijking zoeken van een rechte lijn die door een gegeven punt Mo (x O; y o) loodrecht op een gegeven niet-nul vector n = (A; B) gaat.

Neem een willekeurig punt M(x; y) op de rechte lijn en beschouw de vector M 0 M (x - x 0; y - y o) (zie figuur 1). Aangezien de vectoren n en M o M loodrecht staan, is hun scalair product gelijk aan nul: dat wil zeggen,

A(x - xo) + B(y - yo) = 0. (10.8)

Vergelijking (10.8) wordt aangeroepen vergelijking van een rechte lijn die door een gegeven punt loodrecht op een gegeven vector gaat .

De vector n = (A; B) loodrecht op de lijn wordt normaal genoemd normaalvector van deze lijn .

Vergelijking (10.8) kan worden herschreven als Ah + Wu + C = 0 , (10.9)

waarbij A en B de coördinaten zijn van de normaalvector, C \u003d -Ax o - Vu o - vrij lid. Vergelijking (10.9) is de algemene vergelijking van een rechte lijn(zie afb.2).

Afb.1 Afb.2

Canonieke vergelijkingen van de rechte lijn

Waar
zijn de coördinaten van het punt waar de lijn doorheen gaat, en
- richtingsvector.

Curven van de tweede orde cirkel

Een cirkel is de verzameling van alle punten van een vlak op gelijke afstand van een bepaald punt, dat het middelpunt wordt genoemd.

Canonieke vergelijking van een straalcirkel R gecentreerd op een punt
:

In het bijzonder, als het midden van de paal samenvalt met de oorsprong, ziet de vergelijking er als volgt uit:

Ovaal

Een ellips is een verzameling punten in een vlak, de som van de afstanden van elk van hen tot twee gegeven punten En , die foci worden genoemd, is een constante waarde
, groter dan de afstand tussen de brandpunten
.

De canonieke vergelijking van een ellips waarvan de brandpunten op de Ox-as liggen en waarvan de oorsprong in het midden tussen de brandpunten ligt, heeft de vorm
G de A de lengte van de grote halve as; B is de lengte van de kleine halve as (fig. 2).

Vergelijking van een lijn die door een bepaald punt in een bepaalde richting gaat. Vergelijking van een rechte lijn die door twee gegeven punten gaat. Hoek tussen twee lijnen. Voorwaarde van evenwijdigheid en loodrechtheid van twee lijnen. Het snijpunt van twee lijnen bepalen

1. Vergelijking van een lijn die door een gegeven punt gaat A(X 1 , j 1) in een bepaalde richting, bepaald door de helling k,

j - j 1 = k(X - X 1). (1)

Deze vergelijking definieert een potlood van lijnen die door een punt gaan A(X 1 , j 1), wat het midden van de straal wordt genoemd.

2. Vergelijking van een rechte lijn die door twee punten gaat: A(X 1 , j 1) en B(X 2 , j 2) is als volgt geschreven:

De helling van een rechte lijn die door twee gegeven punten gaat, wordt bepaald door de formule

3. Hoek tussen rechte lijnen A En B is de hoek waarover de eerste rechte lijn moet worden gedraaid A rond het snijpunt van deze lijnen tegen de klok in totdat het samenvalt met de tweede lijn B. Als twee lijnen worden gegeven door hellingsvergelijkingen

j = k 1 X + B 1 ,

Definitie. Elke lijn in het vlak kan worden gegeven door een vergelijking van de eerste orde

Ah + Wu + C = 0,

en de constanten A, B zijn niet tegelijkertijd gelijk aan nul. Deze eerste orde vergelijking wordt genoemd de algemene vergelijking van een rechte lijn. Afhankelijk van de waarden van de constanten A, B en C zijn de volgende speciale gevallen mogelijk:

C \u003d 0, A ≠ 0, B ≠ 0 - de lijn gaat door de oorsprong

A \u003d 0, B ≠ 0, C ≠ 0 (By + C \u003d 0) - de lijn is evenwijdig aan de Ox-as

B \u003d 0, A ≠ 0, C ≠ 0 ( Ax + C \u003d 0) - de lijn is evenwijdig aan de Oy-as

B \u003d C \u003d 0, A ≠ 0 - de rechte lijn valt samen met de Oy-as

A \u003d C \u003d 0, B ≠ 0 - de rechte lijn valt samen met de Ox-as

De vergelijking van een rechte lijn kan in verschillende vormen worden weergegeven, afhankelijk van de gegeven beginvoorwaarden.

Vergelijking van een rechte lijn door een punt en een normaalvector

Definitie. In een Cartesiaans rechthoekig coördinatensysteem staat een vector met componenten (A, B) loodrecht op de lijn gegeven door de vergelijking Ax + By + C = 0.

Voorbeeld. Zoek de vergelijking van een rechte lijn die door het punt A(1, 2) loodrecht op (3, -1) gaat.

Oplossing. Bij A = 3 en B = -1 stellen we de vergelijking van een rechte lijn samen: 3x - y + C = 0. Om de coëfficiënt C te vinden, vervangen we de coördinaten van het gegeven punt A in de resulterende uitdrukking. 3 - 2 + C = 0, dus C = -1 . Totaal: de gewenste vergelijking: 3x - y - 1 \u003d 0.

Vergelijking van een lijn die door twee punten gaat

Stel twee punten M 1 (x 1, y 1, z 1) en M 2 (x 2, y 2, z 2) in de ruimte, dan is de vergelijking van een rechte lijn die door deze punten gaat:

Als een van de noemers gelijk is aan nul, moet de corresponderende teller gelijk worden gesteld aan nul.In het vlak is de hierboven geschreven rechte lijnvergelijking vereenvoudigd:

als x 1 ≠ x 2 en x = x 1 als x 1 = x 2.

Fractie = k wordt genoemd hellingsfactor direct.

Voorbeeld. Zoek de vergelijking van een rechte lijn die door de punten A(1, 2) en B(3, 4) gaat.

Oplossing. Als we de bovenstaande formule toepassen, krijgen we:

Vergelijking van een rechte lijn vanuit een punt en een helling

Als het totaal Ax + Wu + C = 0 leidt tot de vorm:

en aanwijzen , dan wordt de resulterende vergelijking aangeroepen vergelijking van een rechte lijn met een hellingk.

Vergelijking van een rechte lijn met een punt- en richtingsvector

Naar analogie met het punt gezien de vergelijking van een rechte lijn door de normaalvector, kunt u de toewijzing van een rechte lijn door een punt en een richtingsvector van een rechte lijn invoeren.

Definitie. Elke niet-nul vector (α 1, α 2), waarvan de componenten voldoen aan de voorwaarde A α 1 + B α 2 = 0 wordt de richtingsvector van de lijn genoemd

Ah + Wu + C = 0.

Voorbeeld. Vind de vergelijking van een rechte lijn met richtingsvector (1, -1) en door punt A(1, 2).

Oplossing. We gaan op zoek naar de vergelijking van de gewenste rechte lijn in de vorm: Ax + By + C = 0. Conform de definitie moeten de coëfficiënten voldoen aan de voorwaarden:

1 * A + (-1) * B = 0, d.w.z. EEN = B.

Dan heeft de vergelijking van een rechte lijn de vorm: Ax + Ay + C = 0, of x + y + C / A = 0. voor x = 1, y = 2 krijgen we C / A = -3, d.w.z. gewenste vergelijking:

Vergelijking van een rechte lijn in segmenten

Als in de algemene vergelijking van de rechte lijn Ah + Wu + C = 0 C≠0, dan krijgen we, gedeeld door –C: of

De geometrische betekenis van de coëfficiënten is dat de coëfficiënt A is de coördinaat van het snijpunt van de lijn met de x-as, en B- de coördinaat van het snijpunt van de rechte lijn met de Oy-as.

Voorbeeld. Gegeven de algemene vergelijking van de lijn x - y + 1 = 0. Zoek de vergelijking van deze lijn in de segmenten.

C \u003d 1, , a \u003d -1, b \u003d 1.

Normale vergelijking van een rechte lijn

Als beide zijden van de vergelijking Ax + Vy + C = 0 worden vermenigvuldigd met het getal , Wat genoemd wordt als normaliserende factor, dan krijgen we

xcosφ + ysinφ - p = 0 –

normale vergelijking van een rechte lijn. Het teken ± van de normalisatiefactor moet zo worden gekozen dat μ * С< 0. р – длина перпендикуляра, опущенного из начала координат на прямую, а φ - угол, образованный этим перпендикуляром с положительным направлением оси Ох.

Voorbeeld. Gegeven de algemene vergelijking van de lijn 12x - 5y - 65 = 0. Het is vereist om verschillende soorten vergelijkingen voor deze lijn te schrijven.

de vergelijking van deze rechte lijn in segmenten:

de vergelijking van deze lijn met de helling: (delen door 5)

; cos φ = 12/13; zonde φ= -5/13; p=5.

Opgemerkt moet worden dat niet elke rechte lijn kan worden weergegeven door een vergelijking in segmenten, bijvoorbeeld rechte lijnen evenwijdig aan de assen of die door de oorsprong gaan.

Voorbeeld. De rechte lijn snijdt gelijke positieve segmenten af op de coördinaatassen. Schrijf de vergelijking van een rechte lijn als de oppervlakte van de driehoek gevormd door deze segmenten 8 cm 2 is.

Oplossing. De lineaire vergelijking heeft de vorm: , ab /2 = 8; ab=16; a=4, a=-4. een = -4< 0 не подходит по условию задачи. Итого: или х + у – 4 = 0.

Voorbeeld. Schrijf de vergelijking van een rechte lijn die door het punt A (-2, -3) en de oorsprong gaat.

Oplossing. De vergelijking van een rechte lijn heeft de vorm: , waar x 1 \u003d y 1 \u003d 0; x 2 \u003d -2; y 2 \u003d -3.

Hoek tussen lijnen op een vlak

Definitie. Als twee lijnen gegeven zijn y = k 1 x + b 1 , y = k 2 x + b 2 , dan wordt de scherpe hoek tussen deze lijnen gedefinieerd als

Twee rechten zijn evenwijdig als k 1 = k 2 . Twee lijnen staan loodrecht als k 1 = -1/ k 2 .

Stelling. De rechte lijnen Ax + Vy + C \u003d 0 en A 1 x + B 1 y + C 1 \u003d 0 zijn evenwijdig als de coëfficiënten A 1 \u003d λA, B 1 \u003d λB evenredig zijn. Als ook С 1 = λС, dan vallen de lijnen samen. De coördinaten van het snijpunt van twee lijnen worden gevonden als een oplossing voor het stelsel vergelijkingen van deze lijnen.

Vergelijking van een lijn die door een gegeven punt loodrecht op een gegeven lijn gaat

Definitie. De lijn die door het punt M 1 (x 1, y 1) gaat en loodrecht op de lijn y \u003d kx + b wordt weergegeven door de vergelijking:

Afstand van punt tot lijn

Stelling. Als een punt M(x 0, y 0) wordt gegeven, wordt de afstand tot de lijn Ax + Vy + C \u003d 0 gedefinieerd als

Bewijs. Laat het punt M 1 (x 1, y 1) de basis zijn van de loodlijn die vanuit het punt M naar de gegeven lijn valt. Dan is de afstand tussen de punten M en M 1:

(1)

De coördinaten x 1 en y 1 kunnen worden gevonden als een oplossing voor het stelsel vergelijkingen:

De tweede vergelijking van het stelsel is de vergelijking van een rechte lijn die door een gegeven punt M 0 loodrecht op een gegeven rechte lijn gaat. Als we de eerste vergelijking van het stelsel transformeren naar de vorm:

A(x - x 0) + B(y - y 0) + Ax 0 + By 0 + C = 0,

dan, oplossend, krijgen we:

Als we deze uitdrukkingen in vergelijking (1) substitueren, vinden we:

De stelling is bewezen.

Voorbeeld. Bepaal de hoek tussen de lijnen: y = -3 x + 7; y = 2 x + 1.

k 1 \u003d -3; k2 = 2; tgφ = ; φ= π /4.

Voorbeeld. Laat zien dat de lijnen 3x - 5y + 7 = 0 en 10x + 6y - 3 = 0 loodrecht staan.

Oplossing. We vinden: k 1 \u003d 3/5, k 2 \u003d -5/3, k 1 * k 2 \u003d -1, daarom zijn de lijnen loodrecht.

Voorbeeld. De hoekpunten van de driehoek A(0; 1), B (6; 5), C (12; -1) zijn gegeven. Zoek de vergelijking voor de hoogte getrokken uit hoekpunt C.

Oplossing. We vinden de vergelijking van zijde AB: ; 4 x = 6 j - 6;

2x – 3j + 3 = 0;

De gewenste hoogtevergelijking is: Ax + By + C = 0 of y = kx + b. k = . Dan is y = . Omdat de hoogte gaat door punt C, dan voldoen de coördinaten aan deze vergelijking: vandaar b = 17. Totaal: .

Antwoord: 3x + 2j - 34 = 0.