Hoe u de coördinaten van punten kunt vinden met behulp van de vergelijking van een rechte lijn. Algemene vergelijking van een rechte lijn

Vergelijking van een lijn in een vlak.

Zoals bekend wordt elk punt op het vlak bepaald door twee coördinaten in een bepaald coördinatensysteem. Coördinatensystemen kunnen verschillen, afhankelijk van de keuze van de basis en de oorsprong.

Definitie. Lijnvergelijking is de relatie y = f(x) tussen de coördinaten van de punten waaruit deze lijn bestaat.

Merk op dat de lijnvergelijking op een parametrische manier kan worden uitgedrukt, dat wil zeggen dat elke coördinaat van elk punt wordt uitgedrukt via een onafhankelijke parameter T.

Een typisch voorbeeld is het traject van een bewegend punt. In dit geval speelt tijd de rol van een parameter.

Vergelijking van een rechte lijn in een vlak.

Definitie. Elke lijn in het vlak kan worden gegeven door een vergelijking van de eerste orde

Ah + Wu + C = 0,

bovendien zijn de constanten A, B niet tegelijkertijd gelijk aan nul, d.w.z. A 2 + B 2  0. Deze vergelijking van de eerste orde wordt genoemd de algemene vergelijking van een rechte lijn.

Afhankelijk van de waarden van de constanten A, B en C zijn de volgende speciale gevallen mogelijk:

C \u003d 0, A  0, B  0 - de lijn gaat door de oorsprong

A \u003d 0, B  0, C  0 (By + C \u003d 0) - de lijn is evenwijdig aan de Ox-as

B \u003d 0, A  0, C  0 ( Ax + C \u003d 0) - de lijn is evenwijdig aan de Oy-as

B \u003d C \u003d 0, A  0 - de rechte lijn valt samen met de Oy-as

A \u003d C \u003d 0, B  0 - de rechte lijn valt samen met de Ox-as

De vergelijking van een rechte lijn kan in verschillende vormen worden weergegeven, afhankelijk van de gegeven beginvoorwaarden.

Vergelijking van een rechte lijn door een punt en een normaalvector.

Definitie. In een cartesiaans rechthoekig coördinatensysteem staat een vector met componenten (A, B) loodrecht op de lijn gegeven door de vergelijking Ax + By + C = 0.

Voorbeeld. Zoek de vergelijking van een rechte lijn die door punt A (1, 2) loodrecht op de vector gaat (3, -1).

Laten we bij A \u003d 3 en B \u003d -1 de vergelijking van de rechte lijn samenstellen: 3x - y + C \u003d 0. Om de coëfficiënt C te vinden, vervangen we de coördinaten van het gegeven punt A in de resulterende uitdrukking.

We krijgen: 3 - 2 + C \u003d 0, dus C \u003d -1.

Totaal: de gewenste vergelijking: 3x - y - 1 = 0.

Vergelijking van een rechte lijn die door twee punten gaat.

Laten we twee punten M 1 (x 1, y 1, z 1) en M 2 (x 2, y 2, z 2) in de ruimte geven, dan geldt de vergelijking van een rechte lijn die door deze punten gaat:

Als een van de noemers gelijk is aan nul, moet de overeenkomstige teller gelijk worden gesteld aan nul.

Op een vlak is de hierboven geschreven vergelijking van een rechte lijn vereenvoudigd:

als x 1  x 2 en x = x 1, als x 1 = x 2.

Fractie
=k wordt aangeroepen hellingsfactor direct.

Voorbeeld. Bereken de vergelijking van een rechte lijn die door de punten A(1, 2) en B(3, 4) gaat.

Als we de bovenstaande formule toepassen, krijgen we:

Vergelijking van een rechte lijn door een punt en een helling.

Als de algemene vergelijking van de rechte lijn Ax + Vy + C = 0 tot de vorm leidt:

en aanwijzen
, dan wordt de resulterende vergelijking aangeroepen vergelijking van een rechte lijn met een hellingk.

De vergelijking van een rechte lijn op een punt en een richtvector.

Naar analogie met het punt, rekening houdend met de vergelijking van een rechte lijn door de normaalvector, kunt u de toewijzing van een rechte lijn door een punt en een richtende vector van een rechte lijn invoeren.

Definitie. Elke vector die niet nul is ( 1 ,  2), waarvan de componenten voldoen aan de voorwaarde A 1 + B 2 = 0, wordt de richtvector van de lijn genoemd

Ah + Wu + C = 0.

Voorbeeld. Zoek de vergelijking van een rechte lijn met een richtingsvector (1, -1) en gaat door het punt A(1, 2).

We gaan op zoek naar de vergelijking van de gewenste rechte lijn in de vorm: Ax + By + C = 0. In overeenstemming met de definitie moeten de coëfficiënten aan de voorwaarden voldoen:

1A + (-1)B = 0, d.w.z. EEN = B.

Dan heeft de vergelijking van een rechte lijn de vorm: Ax + Ay + C = 0, of x + y + C/A = 0.

bij x = 1, y = 2 krijgen we С/A = -3, d.w.z. gewenste vergelijking:

Vergelijking van een rechte lijn in segmenten.

Als we in de algemene vergelijking van de rechte lijn Ah + Wu + C = 0 C 0, dan krijgen we, gedeeld door –C:
of

, Waar

De geometrische betekenis van de coëfficiënten is dat de coëfficiënt A is de coördinaat van het snijpunt van de lijn met de x-as, en B- de coördinaat van het snijpunt van de rechte lijn met de Oy-as.

Voorbeeld. Gegeven de algemene vergelijking van de lijn x - y + 1 = 0. Zoek de vergelijking van deze lijn in de segmenten.

C \u003d 1,
, a = -1, b = 1.

Normaalvergelijking van een rechte lijn.

Als beide zijden van de vergelijking Ax + Wy + C = 0 gedeeld door het getal
, Wat genoemd wordt als normaliserende factor, dan krijgen wij

xcos + ysin - p = 0 –

normaalvergelijking van een rechte lijn.

Het teken  van de normaliserende factor moet zo worden gekozen dat С< 0.

p is de lengte van de loodlijn die valt van de oorsprong naar de rechte lijn, en  is de hoek die deze loodlijn vormt met de positieve richting van de Ox-as.

Voorbeeld. Gegeven de algemene vergelijking van de lijn 12x - 5y - 65 = 0. Het is vereist om verschillende soorten vergelijkingen voor deze lijn te schrijven.

de vergelijking van deze rechte lijn in segmenten:

de vergelijking van deze lijn met de helling: (delen door 5)

normaalvergelijking van een rechte lijn:

; cos = 12/13; zonde = -5/13; p=5.

Opgemerkt moet worden dat niet elke rechte lijn kan worden weergegeven door een vergelijking in segmenten, bijvoorbeeld rechte lijnen evenwijdig aan de assen of die door de oorsprong gaan.

Voorbeeld. De rechte lijn snijdt gelijke positieve segmenten af ​​op de coördinaatassen. Schrijf de vergelijking van een rechte lijn als de oppervlakte van de driehoek gevormd door deze segmenten 8 cm 2 is.

De vergelijking van een rechte lijn heeft de vorm:
, een = b = 1; ab/2 = 8; a = 4; -4.

a = -4 past niet bij de toestand van het probleem.

Totaal:
of x + y - 4 = 0.

Voorbeeld. Schrijf de vergelijking van een rechte lijn die door punt A (-2, -3) en de oorsprong gaat.

De vergelijking van een rechte lijn heeft de vorm:
, waarbij x 1 \u003d y 1 \u003d 0; x 2 \u003d -2; j 2 \u003d -3.

Hoek tussen lijnen in een vlak.

Definitie. Als twee lijnen gegeven zijn y = k 1 x + b 1 , y = k 2 x + b 2 , dan wordt de scherpe hoek tussen deze lijnen gedefinieerd als

.

Twee lijnen zijn evenwijdig als k 1 = k 2 .

Twee lijnen staan ​​loodrecht als k 1 = -1/k 2 .

Stelling. Rechte lijnen Ax + Vy + C = 0 en A 1 x+B 1 j + C 1 = 0 zijn parallel als de coëfficiënten A proportioneel zijn 1 =  A, B 1 =  B. Indien ook C 1 =  C, dan vallen de lijnen samen.

De coördinaten van het snijpunt van twee lijnen worden gevonden als een oplossing voor het stelsel vergelijkingen van deze lijnen.

Vergelijking van een lijn die door een bepaald punt gaat

loodrecht op deze lijn.

Definitie. De lijn die door het punt M 1 (x 1, y 1) gaat en loodrecht op de lijn y \u003d kx + b staat, wordt weergegeven door de vergelijking:

De afstand van een punt tot een lijn.

Stelling. Als een punt M(x 0 , j 0 ), dan wordt de afstand tot de lijn Ax + Vy + C = 0 gedefinieerd als

.

Bewijs. Laat het punt M 1 (x 1, y 1) de basis zijn van de loodlijn die valt van het punt M naar de gegeven lijn. Dan is de afstand tussen de punten M en M 1:

De x 1- en y 1-coördinaten kunnen worden gevonden als oplossing voor het stelsel vergelijkingen:

De tweede vergelijking van het systeem is de vergelijking van een rechte lijn die door een gegeven punt Mo loodrecht op een gegeven rechte lijn gaat.

Als we de eerste vergelijking van het systeem transformeren naar de vorm:

A(x - x 0) + B(y - y 0) + Ax 0 + Door 0 + C = 0,

dan, oplossend, krijgen we:

Als we deze uitdrukkingen in vergelijking (1) vervangen, vinden we:

.

De stelling is bewezen.

Voorbeeld. Bepaal de hoek tussen de lijnen: y = -3x + 7; y = 2x + 1.

k 1 \u003d -3; k2 = 2tg =
;  = /4.

Voorbeeld. Laat zien dat de lijnen 3x - 5y + 7 = 0 en 10x + 6y - 3 = 0 loodrecht staan.

We vinden: k 1 \u003d 3/5, k 2 \u003d -5/3, k 1 k 2 \u003d -1, daarom staan ​​de lijnen loodrecht.

Voorbeeld. De hoekpunten van de driehoek A(0; 1), B(6; 5), C(12; -1) zijn gegeven. Zoek de vergelijking voor de hoogte getrokken vanaf hoekpunt C.

We vinden de vergelijking van zijde AB:
; 4x = 6j - 6;

2x - 3j + 3 = 0;

De gewenste hoogtevergelijking is: Ax + By + C = 0 of y = kx + b.

k = . Dan y =
. Omdat de hoogte gaat door punt C, dan voldoen de coördinaten ervan aan deze vergelijking:
vandaar b = 17. Totaal:
.

Antwoord: 3x + 2y - 34 = 0.

Analytische geometrie in de ruimte.

Lijnvergelijking in de ruimte.

De vergelijking van een rechte lijn in de ruimte door een punt en

richtingsvector.

Neem een ​​willekeurige lijn en een vector (m, n, p) evenwijdig aan de gegeven lijn. Vector genaamd gidsvector direct.

Laten we twee willekeurige punten M 0 (x 0 , y 0 , z 0) en M(x, y, z) op de rechte lijn nemen.

z

M1

Laten we de straalvectoren van deze punten aanduiden als En , dat is duidelijk - =
.

Omdat vectoren
En collineair zijn, dan is de relatie waar
= t, waarbij t een parameter is.

In totaal kunnen we schrijven: = + T.

Omdat aan deze vergelijking wordt voldaan door de coördinaten van elk punt op de lijn, dan is de resulterende vergelijking dat ook parametervergelijking van een rechte lijn.

Deze vectorvergelijking kan in coördinatenvorm worden weergegeven:

Door dit systeem te transformeren en de waarden van de parameter t gelijk te stellen, verkrijgen we de canonieke vergelijkingen van een rechte lijn in de ruimte:

.

Definitie. Richting cosinus direct zijn de richtingscosinussen van de vector , die kan worden berekend met de formules:

;

.

Vanaf hier krijgen we: m: n: p = cos : cos : cos.

De getallen m, n, p worden genoemd helling factoren direct. Omdat Als een vector die niet nul is, kunnen m, n en p niet tegelijkertijd nul zijn, maar een of twee van deze getallen kunnen wel nul zijn. In dit geval moeten bij de vergelijking van een rechte lijn de overeenkomstige tellers gelijk worden gesteld aan nul.

Vergelijking van een rechte lijn in de ruimte die voorbijgaat

via twee punten.

Als twee willekeurige punten M 1 (x 1, y 1, z 1) en M 2 (x 2, y 2, z 2) op een rechte lijn in de ruimte zijn gemarkeerd, dan moeten de coördinaten van deze punten voldoen aan de vergelijking van de rechte lijn hierboven verkregen:

.

Bovendien kunnen we voor punt M 1 schrijven:

.

Als we deze vergelijkingen samen oplossen, krijgen we:

.

Dit is de vergelijking van een rechte lijn die door twee punten in de ruimte gaat.

Algemene vergelijkingen van een rechte lijn in de ruimte.

De vergelijking van een rechte lijn kan worden beschouwd als de vergelijking van een snijlijn van twee vlakken.

Zoals hierboven besproken, kan een vlak in vectorvorm worden gegeven door de vergelijking:

+ D = 0, waarbij

- vlak normaal; - straalvector van een willekeurig punt van het vlak.

Eigenschappen van een rechte lijn in de Euclidische meetkunde.

Er zijn oneindig veel lijnen die door elk punt kunnen worden getrokken.

Door twee niet-samenvallende punten loopt slechts één rechte lijn.

Twee niet-samenvallende lijnen in het vlak snijden elkaar in één punt, of zijn dat wel

parallel (volgt uit de vorige).

In de driedimensionale ruimte zijn er drie opties voor de relatieve positie van twee lijnen:

• lijnen kruisen elkaar;

• rechte lijnen zijn parallel;

• rechte lijnen snijden elkaar.

Direct lijn- algebraïsche curve van de eerste orde: in het cartesiaanse coördinatensysteem, een rechte lijn

wordt op het vlak gegeven door een vergelijking van de eerste graad (lineaire vergelijking).

Algemene vergelijking van een rechte lijn.

Definitie. Elke lijn in het vlak kan worden gegeven door een vergelijking van de eerste orde

Ah + Wu + C = 0,

en constant A, B niet tegelijkertijd gelijk aan nul. Deze vergelijking van de eerste orde wordt genoemd algemeen

vergelijking van een rechte lijn. Afhankelijk van de waarden van de constanten A, B En MET De volgende bijzondere gevallen zijn mogelijk:

. C = 0, A ≠ 0, B ≠ 0- de lijn gaat door de oorsprong

. A = 0, B ≠0, C ≠0 (Door + C = 0)- rechte lijn evenwijdig aan de as Oh

. B = 0, A ≠ 0, C ≠ 0 (Ax + C = 0)- rechte lijn evenwijdig aan de as OU

. B = C = 0, EEN ≠ 0- de lijn valt samen met de as OU

. A = C = 0, B ≠ 0- de lijn valt samen met de as Oh

De vergelijking van een rechte lijn kan in verschillende vormen worden weergegeven, afhankelijk van een bepaald gegeven

begincondities.

Vergelijking van een rechte lijn door een punt en een normaalvector.

Definitie. In een cartesiaans rechthoekig coördinatensysteem is een vector met componenten (A, B)

loodrecht op de lijn gegeven door de vergelijking

Ah + Wu + C = 0.

Voorbeeld. Zoek de vergelijking van een rechte lijn die door een punt gaat EEN(1, 2) loodrecht op de vector (3, -1).

Oplossing. Laten we bij A \u003d 3 en B \u003d -1 de vergelijking van de rechte lijn samenstellen: 3x - y + C \u003d 0. Om de coëfficiënt C te vinden

we vervangen de coördinaten van het gegeven punt A in de resulterende uitdrukking. We krijgen daarom: 3 - 2 + C \u003d 0, daarom

C = -1. Totaal: de gewenste vergelijking: 3x - y - 1 = 0.

Vergelijking van een rechte lijn die door twee punten gaat.

Laat twee punten in de ruimte gegeven worden M 1 (x 1, y 1, z 1) En M2 (x 2, y 2, z 2), Dan vergelijking van een rechte lijn,

langs deze punten:

Als een van de noemers gelijk is aan nul, moet de overeenkomstige teller gelijk worden gesteld aan nul. Op

vlak, is de vergelijking van een hierboven geschreven rechte lijn vereenvoudigd:

Als x 1 ≠ x 2 En x = x1, Als x1 = x2 .

Fractie = k genaamd hellingsfactor direct.

Voorbeeld. Bereken de vergelijking van een rechte lijn die door de punten A(1, 2) en B(3, 4) gaat.

Oplossing. Als we de bovenstaande formule toepassen, krijgen we:

Vergelijking van een rechte lijn door een punt en een helling.

Als de algemene vergelijking van een rechte lijn Ah + Wu + C = 0 breng naar het formulier:

en aanwijzen , dan wordt de resulterende vergelijking aangeroepen

vergelijking van een rechte lijn met helling k.

De vergelijking van een rechte lijn op een punt en een richtvector.

Naar analogie met het punt waarbij de vergelijking van een rechte lijn door de normaalvector wordt overwogen, kunt u de taak invoeren

een rechte lijn door een punt en een richtingsvector van een rechte lijn.

Definitie. Elke vector die niet nul is (α 1, α 2), waarvan de componenten aan de voorwaarde voldoen

Aα 1 + Ba 2 = 0 genaamd richtingsvector van de rechte lijn.

Ah + Wu + C = 0.

Voorbeeld. Zoek de vergelijking van een rechte lijn met richtingsvector (1, -1) en die door punt A(1, 2) gaat.

Oplossing. We zoeken naar de vergelijking van de gewenste rechte lijn in de vorm: Bijl + Door + C = 0. Volgens de definitie,

coëfficiënten moeten aan de voorwaarden voldoen:

1 * A + (-1) * B = 0, d.w.z. EEN = B.

Dan heeft de vergelijking van een rechte lijn de vorm: Bijl + Ay + C = 0, of x+y+C/A=0.

bij x=1, y=2 we krijgen K/ EEN = -3, d.w.z. gewenste vergelijking:

x + y - 3 = 0

Vergelijking van een rechte lijn in segmenten.

Als we in de algemene vergelijking van de rechte lijn Ah + Wu + C = 0 C≠0, dan krijgen we, gedeeld door -C:

of waar

De geometrische betekenis van de coëfficiënten is dat de coëfficiënt a de coördinaat is van het snijpunt

recht met as Oh, A B- de coördinaat van het snijpunt van de lijn met de as OU.

Voorbeeld. De algemene vergelijking van een rechte lijn wordt gegeven x - y + 1 = 0. Zoek de vergelijking van deze rechte lijn in segmenten.

C \u003d 1, , a \u003d -1, b \u003d 1.

Normaalvergelijking van een rechte lijn.

Als beide kanten van de vergelijking Ah + Wu + C = 0 delen door getal , Wat genoemd wordt als

normaliserende factor, dan krijgen wij

xcosφ + ysinφ - p = 0 -normaalvergelijking van een rechte lijn.

Het teken ± van de normaliserende factor moet zo worden gekozen dat μ * C< 0.

R- de lengte van de loodlijn die valt van de oorsprong naar de lijn,

A φ - de hoek die deze loodlijn vormt met de positieve richting van de as Oh.

Voorbeeld. Gegeven de algemene vergelijking van een rechte lijn 12x - 5j - 65 = 0. Vereist om verschillende soorten vergelijkingen te schrijven

deze rechte lijn.

De vergelijking van deze rechte lijn in segmenten:

De vergelijking van deze lijn met de helling: (delen door 5)

Vergelijking van een rechte lijn:

cos φ = 12/13; zonde φ= -5/13; p=5.

Opgemerkt moet worden dat niet elke rechte lijn kan worden weergegeven door een vergelijking in segmenten, bijvoorbeeld rechte lijnen,

evenwijdig aan de assen of door de oorsprong.

Hoek tussen lijnen in een vlak.

Definitie. Als er twee regels zijn gegeven y \u003d k 1 x + b 1, y \u003d k 2 x + b 2, dan de scherpe hoek tussen deze lijnen

zal worden gedefinieerd als

Twee lijnen zijn evenwijdig als k1 = k2. Twee lijnen staan ​​loodrecht

Als k1 \u003d -1 / k2 .

Stelling.

Direct Ah + Wu + C = 0 En A 1 x + B 1 y + C 1 \u003d 0 zijn parallel als de coëfficiënten proportioneel zijn

A 1 \u003d λA, B 1 \u003d λB. Als ook С 1 \u003d λС, dan vallen de lijnen samen. Coördinaten van het snijpunt van twee lijnen

worden gevonden als een oplossing voor het systeem van vergelijkingen van deze lijnen.

De vergelijking van een lijn die door een bepaald punt gaat, staat loodrecht op een gegeven lijn.

Definitie. Een lijn die door een punt gaat M 1 (x 1, y 1) en loodrecht op de lijn y = kx + b

weergegeven door de vergelijking:

De afstand van een punt tot een lijn.

Stelling. Als er een punt wordt gegeven M(x 0, y 0), dan de afstand tot de lijn Ah + Wu + C = 0 gedefinieerd als:

Bewijs. Laat het punt M 1 (x 1, y 1)- de basis van de loodlijn viel vanaf het punt M voor een gegeven

direct. Dan de afstand tussen de punten M En M 1:

(1)

Coördinaten x 1 En 1 kan worden gevonden als een oplossing voor het stelsel vergelijkingen:

De tweede vergelijking van het systeem is de vergelijking van een rechte lijn die loodrecht door een gegeven punt Mo gaat

gegeven lijn. Als we de eerste vergelijking van het systeem transformeren naar de vorm:

A(x - x 0) + B(y - y 0) + Ax 0 + Door 0 + C = 0,

dan, oplossend, krijgen we:

Als we deze uitdrukkingen in vergelijking (1) vervangen, vinden we:

De stelling is bewezen.

De lijn die door het punt K(x 0; y 0) gaat en evenwijdig is aan de lijn y = kx + a, wordt gevonden met de formule:

y - y 0 \u003d k (x - x 0) (1)

Waar k de helling van de rechte lijn is.

Alternatieve formule:
De lijn die door het punt M 1 (x 1 ; y 1) gaat en evenwijdig loopt aan de lijn Ax+By+C=0 wordt weergegeven door de vergelijking

A(x-x 1)+B(y-y 1)=0 . (2)

Voorbeeld #2. Schrijf de vergelijking van een rechte lijn evenwijdig aan de rechte lijn 2x + 5y = 0 en vorm, samen met de coördinaatassen, een driehoek met een oppervlakte van 5.
Oplossing . Omdat de lijnen evenwijdig zijn, is de vergelijking van de gewenste lijn 2x + 5y + C = 0. De oppervlakte van een rechthoekige driehoek, waarbij a en b de benen zijn. Zoek de snijpunten van de gewenste lijn met de coördinaatassen:
;
.
Dus A(-C/2,0), B(0,-C/5). Vervang de formule voor de oppervlakte: . We krijgen twee oplossingen: 2x + 5y + 10 = 0 en 2x + 5y - 10 = 0 .

Voorbeeld #3. Schrijf de vergelijking van de lijn die door het punt (-2; 5) gaat en de evenwijdige lijn 5x-7y-4=0 .
Oplossing. Deze rechte lijn kan worden weergegeven door de vergelijking y = 5/7 x – 4/7 (hier a = 5/7). De vergelijking van de gewenste lijn is y - 5 = 5 / 7 (x - (-2)), d.w.z. 7(y-5)=5(x+2) of 5x-7y+45=0 .

Voorbeeld #4. Als we voorbeeld 3 (A=5, B=-7) oplossen met behulp van formule (2), vinden we 5(x+2)-7(y-5)=0.

Voorbeeld nummer 5. Schrijf de vergelijking van een rechte lijn die door het punt (-2;5) gaat en een evenwijdige rechte lijn 7x+10=0.
Oplossing. Hier A=7, B=0. Formule (2) geeft 7(x+2)=0, d.w.z. x+2=0. Formule (1) is niet van toepassing, aangezien deze vergelijking niet kan worden opgelost met betrekking tot y (deze rechte lijn is evenwijdig aan de y-as).

Eigenschappen van een rechte lijn in de Euclidische meetkunde.

Er zijn oneindig veel lijnen die door elk punt kunnen worden getrokken.

Door twee niet-samenvallende punten loopt slechts één rechte lijn.

Twee niet-samenvallende lijnen in het vlak snijden elkaar in één punt, of zijn dat wel

parallel (volgt uit de vorige).

In de driedimensionale ruimte zijn er drie opties voor de relatieve positie van twee lijnen:

• lijnen kruisen elkaar;

• rechte lijnen zijn parallel;

• rechte lijnen snijden elkaar.

Direct lijn- algebraïsche curve van de eerste orde: in het cartesiaanse coördinatensysteem, een rechte lijn

wordt op het vlak gegeven door een vergelijking van de eerste graad (lineaire vergelijking).

Algemene vergelijking van een rechte lijn.

Definitie. Elke lijn in het vlak kan worden gegeven door een vergelijking van de eerste orde

Ah + Wu + C = 0,

en constant A, B niet tegelijkertijd gelijk aan nul. Deze vergelijking van de eerste orde wordt genoemd algemeen

vergelijking van een rechte lijn. Afhankelijk van de waarden van de constanten A, B En MET De volgende bijzondere gevallen zijn mogelijk:

. C = 0, A ≠ 0, B ≠ 0- de lijn gaat door de oorsprong

. A = 0, B ≠0, C ≠0 (Door + C = 0)- rechte lijn evenwijdig aan de as Oh

. B = 0, A ≠ 0, C ≠ 0 (Ax + C = 0)- rechte lijn evenwijdig aan de as OU

. B = C = 0, EEN ≠ 0- de lijn valt samen met de as OU

. A = C = 0, B ≠ 0- de lijn valt samen met de as Oh

De vergelijking van een rechte lijn kan in verschillende vormen worden weergegeven, afhankelijk van een bepaald gegeven

begincondities.

Vergelijking van een rechte lijn door een punt en een normaalvector.

Definitie. In een cartesiaans rechthoekig coördinatensysteem is een vector met componenten (A, B)

loodrecht op de lijn gegeven door de vergelijking

Ah + Wu + C = 0.

Voorbeeld. Zoek de vergelijking van een rechte lijn die door een punt gaat EEN(1, 2) loodrecht op de vector (3, -1).

Oplossing. Laten we bij A \u003d 3 en B \u003d -1 de vergelijking van de rechte lijn samenstellen: 3x - y + C \u003d 0. Om de coëfficiënt C te vinden

we vervangen de coördinaten van het gegeven punt A in de resulterende uitdrukking. We krijgen daarom: 3 - 2 + C \u003d 0, daarom

C = -1. Totaal: de gewenste vergelijking: 3x - y - 1 = 0.

Vergelijking van een rechte lijn die door twee punten gaat.

Laat twee punten in de ruimte gegeven worden M 1 (x 1, y 1, z 1) En M2 (x 2, y 2, z 2), Dan vergelijking van een rechte lijn,

langs deze punten:

Als een van de noemers gelijk is aan nul, moet de overeenkomstige teller gelijk worden gesteld aan nul. Op

vlak, is de vergelijking van een hierboven geschreven rechte lijn vereenvoudigd:

Als x 1 ≠ x 2 En x = x1, Als x1 = x2 .

Fractie = k genaamd hellingsfactor direct.

Voorbeeld. Bereken de vergelijking van een rechte lijn die door de punten A(1, 2) en B(3, 4) gaat.

Oplossing. Als we de bovenstaande formule toepassen, krijgen we:

Vergelijking van een rechte lijn door een punt en een helling.

Als de algemene vergelijking van een rechte lijn Ah + Wu + C = 0 breng naar het formulier:

en aanwijzen , dan wordt de resulterende vergelijking aangeroepen

vergelijking van een rechte lijn met helling k.

De vergelijking van een rechte lijn op een punt en een richtvector.

Naar analogie met het punt waarbij de vergelijking van een rechte lijn door de normaalvector wordt overwogen, kunt u de taak invoeren

een rechte lijn door een punt en een richtingsvector van een rechte lijn.

Definitie. Elke vector die niet nul is (α 1, α 2), waarvan de componenten aan de voorwaarde voldoen

Aα 1 + Ba 2 = 0 genaamd richtingsvector van de rechte lijn.

Ah + Wu + C = 0.

Voorbeeld. Zoek de vergelijking van een rechte lijn met richtingsvector (1, -1) en die door punt A(1, 2) gaat.

Oplossing. We zoeken naar de vergelijking van de gewenste rechte lijn in de vorm: Bijl + Door + C = 0. Volgens de definitie,

coëfficiënten moeten aan de voorwaarden voldoen:

1 * A + (-1) * B = 0, d.w.z. EEN = B.

Dan heeft de vergelijking van een rechte lijn de vorm: Bijl + Ay + C = 0, of x+y+C/A=0.

bij x=1, y=2 we krijgen K/ EEN = -3, d.w.z. gewenste vergelijking:

x + y - 3 = 0

Vergelijking van een rechte lijn in segmenten.

Als we in de algemene vergelijking van de rechte lijn Ah + Wu + C = 0 C≠0, dan krijgen we, gedeeld door -C:

of waar

De geometrische betekenis van de coëfficiënten is dat de coëfficiënt a de coördinaat is van het snijpunt

recht met as Oh, A B- de coördinaat van het snijpunt van de lijn met de as OU.

Voorbeeld. De algemene vergelijking van een rechte lijn wordt gegeven x - y + 1 = 0. Zoek de vergelijking van deze rechte lijn in segmenten.

C \u003d 1, , a \u003d -1, b \u003d 1.

Normaalvergelijking van een rechte lijn.

Als beide kanten van de vergelijking Ah + Wu + C = 0 delen door getal , Wat genoemd wordt als

normaliserende factor, dan krijgen wij

xcosφ + ysinφ - p = 0 -normaalvergelijking van een rechte lijn.

Het teken ± van de normaliserende factor moet zo worden gekozen dat μ * C< 0.

R- de lengte van de loodlijn die valt van de oorsprong naar de lijn,

A φ - de hoek die deze loodlijn vormt met de positieve richting van de as Oh.

Voorbeeld. Gegeven de algemene vergelijking van een rechte lijn 12x - 5j - 65 = 0. Vereist om verschillende soorten vergelijkingen te schrijven

deze rechte lijn.

De vergelijking van deze rechte lijn in segmenten:

De vergelijking van deze lijn met de helling: (delen door 5)

Vergelijking van een rechte lijn:

cos φ = 12/13; zonde φ= -5/13; p=5.

Opgemerkt moet worden dat niet elke rechte lijn kan worden weergegeven door een vergelijking in segmenten, bijvoorbeeld rechte lijnen,

evenwijdig aan de assen of door de oorsprong.

Hoek tussen lijnen in een vlak.

Definitie. Als er twee regels zijn gegeven y \u003d k 1 x + b 1, y \u003d k 2 x + b 2, dan de scherpe hoek tussen deze lijnen

zal worden gedefinieerd als

Twee lijnen zijn evenwijdig als k1 = k2. Twee lijnen staan ​​loodrecht

Als k1 \u003d -1 / k2 .

Stelling.

Direct Ah + Wu + C = 0 En A 1 x + B 1 y + C 1 \u003d 0 zijn parallel als de coëfficiënten proportioneel zijn

A 1 \u003d λA, B 1 \u003d λB. Als ook С 1 \u003d λС, dan vallen de lijnen samen. Coördinaten van het snijpunt van twee lijnen

worden gevonden als een oplossing voor het systeem van vergelijkingen van deze lijnen.

De vergelijking van een lijn die door een bepaald punt gaat, staat loodrecht op een gegeven lijn.

Definitie. Een lijn die door een punt gaat M 1 (x 1, y 1) en loodrecht op de lijn y = kx + b

weergegeven door de vergelijking:

De afstand van een punt tot een lijn.

Stelling. Als er een punt wordt gegeven M(x 0, y 0), dan de afstand tot de lijn Ah + Wu + C = 0 gedefinieerd als:

Bewijs. Laat het punt M 1 (x 1, y 1)- de basis van de loodlijn viel vanaf het punt M voor een gegeven

direct. Dan de afstand tussen de punten M En M 1:

(1)

Coördinaten x 1 En 1 kan worden gevonden als een oplossing voor het stelsel vergelijkingen:

De tweede vergelijking van het systeem is de vergelijking van een rechte lijn die loodrecht door een gegeven punt Mo gaat

gegeven lijn. Als we de eerste vergelijking van het systeem transformeren naar de vorm:

A(x - x 0) + B(y - y 0) + Ax 0 + Door 0 + C = 0,

dan, oplossend, krijgen we:

Als we deze uitdrukkingen in vergelijking (1) vervangen, vinden we:

De stelling is bewezen.

Dit artikel onthult de afleiding van de vergelijking van een rechte lijn die door twee gegeven punten gaat in een rechthoekig coördinatensysteem dat zich in een vlak bevindt. We leiden de vergelijking af van een rechte lijn die door twee gegeven punten gaat in een rechthoekig coördinatensysteem. We zullen verschillende voorbeelden met betrekking tot het behandelde materiaal visueel weergeven en oplossen.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Voordat we de vergelijking verkrijgen van een rechte lijn die door twee gegeven punten gaat, is het noodzakelijk om op enkele feiten te letten. Er is een axioma dat zegt dat het door twee niet-samenvallende punten in een vlak mogelijk is om een ​​rechte lijn te tekenen, en slechts één. Met andere woorden: twee gegeven punten van het vlak worden bepaald door een rechte lijn die door deze punten gaat.

Als het vlak wordt gegeven door het rechthoekige coördinatensysteem Oxy, zal elke daarin afgebeelde rechte lijn overeenkomen met de vergelijking van de rechte lijn in het vlak. Er bestaat ook een verband met de richtvector van de rechte lijn. Deze gegevens zijn voldoende om de vergelijking op te stellen van een rechte lijn die door twee gegeven punten gaat.

Overweeg een voorbeeld van het oplossen van een soortgelijk probleem. Het is noodzakelijk om de vergelijking te formuleren van een rechte lijn a die door twee niet-overeenkomende punten M 1 (x 1, y 1) en M 2 (x 2, y 2) gaat, gelegen in het cartesiaanse coördinatensysteem.

In de canonieke vergelijking van een rechte lijn op een vlak, met de vorm x - x 1 a x \u003d y - y 1 a y , wordt een rechthoekig coördinatensysteem O x y gespecificeerd met een rechte lijn die deze snijdt op een punt met coördinaten M 1 (x 1, y 1) met een gidsvector a → = (a x , a y) .

Het is noodzakelijk om de canonieke vergelijking van de rechte lijn a samen te stellen, die door twee punten gaat met de coördinaten M 1 (x 1, y 1) en M 2 (x 2, y 2) .

De rechte a heeft een richtvector M 1 M 2 → met coördinaten (x 2 - x 1, y 2 - y 1), aangezien hij de punten M 1 en M 2 snijdt. We hebben de nodige gegevens verkregen om de canonieke vergelijking te transformeren met de coördinaten van de richtingsvector M 1 M 2 → = (x 2 - x 1, y 2 - y 1) en de coördinaten van de punten M 1 die daarop liggen (x 1, y 1) en M 2 (x 2, y 2). We krijgen een vergelijking van de vorm x - x 1 x 2 - x 1 = y - y 1 y 2 - y 1 of x - x 2 x 2 - x 1 = y - y 2 y 2 - y 1 .

Beschouw de onderstaande figuur.

Na de berekeningen schrijven we de parametervergelijkingen van een rechte lijn in een vlak dat door twee punten gaat met de coördinaten M 1 (x 1, y 1) en M 2 (x 2, y 2) . We krijgen een vergelijking van de vorm x \u003d x 1 + (x 2 - x 1) λ y \u003d y 1 + (y 2 - y 1) λ of x \u003d x 2 + (x 2 - x 1) λ y \u003d y 2 + (y 2 - y 1) λ.

Laten we een paar voorbeelden eens nader bekijken.

voorbeeld 1

Schrijf de vergelijking van een rechte lijn die door 2 gegeven punten gaat met de coördinaten M 1 - 5 , 2 3 , M 2 1 , - 1 6 .

Oplossing

De canonieke vergelijking voor een rechte lijn die twee punten snijdt met de coördinaten x 1, y 1 en x 2, y 2 heeft de vorm x - x 1 x 2 - x 1 = y - y 1 y 2 - y 1. Volgens de toestand van het probleem hebben we dat x 1 \u003d - 5, y 1 \u003d 2 3, x 2 \u003d 1, y 2 \u003d - 1 6. Het is noodzakelijk om numerieke waarden in de vergelijking x - x 1 x 2 - x 1 = y - y 1 y 2 - y 1 te vervangen. Vanaf hier krijgen we dat de canonieke vergelijking de vorm zal aannemen x - (- 5) 1 - (- 5) = y - 2 3 - 1 6 - 2 3 ⇔ x + 5 6 = y - 2 3 - 5 6 .

Antwoord: x + 5 6 = y - 2 3 - 5 6 .

Als het nodig is om een ​​probleem met een ander type vergelijking op te lossen, dan kun je om te beginnen naar de canonieke vergelijking gaan, omdat het gemakkelijker is om daaruit een ander type vergelijking te halen.

Voorbeeld 2

Stel de algemene vergelijking samen van een rechte lijn die door punten gaat met de coördinaten M 1 (1, 1) en M 2 (4, 2) in het O x y-coördinatensysteem.

Oplossing

Eerst moet je de canonieke vergelijking opschrijven van een gegeven lijn die door de gegeven twee punten gaat. We krijgen een vergelijking van de vorm x - 1 4 - 1 = y - 1 2 - 1 ⇔ x - 1 3 = y - 1 1 .

We brengen de canonieke vergelijking in de gewenste vorm, dan krijgen we:

x - 1 3 = y - 1 1 ⇔ 1 x - 1 = 3 y - 1 ⇔ x - 3 y + 2 = 0

Antwoord: x - 3 y + 2 = 0 .

Voorbeelden van dergelijke taken werden tijdens algebralessen in schoolboeken besproken. Schooltaken verschilden doordat de vergelijking van een rechte lijn met een hellingscoëfficiënt bekend was, met de vorm y \u003d k x + b. Als je de waarde van de helling k en het getal b moet vinden, waarbij de vergelijking y \u003d k x + b een lijn definieert in het O x y-systeem die door de punten M 1 (x 1, y 1) en M gaat 2 (x 2, y 2) , waarbij x 1 ≠ x 2 . Wanneer x1 = x2 , dan neemt de helling de waarde oneindig aan, en wordt de rechte lijn M 1 M 2 gedefinieerd door een algemene onvolledige vergelijking van de vorm x - x 1 = 0 .

Omdat de puntjes M 1 En M2 op een rechte lijn liggen, dan voldoen hun coördinaten aan de vergelijking y 1 = k x 1 + b en y 2 = k x 2 + b. Het is noodzakelijk om het stelsel vergelijkingen y 1 = k x 1 + by y 2 = k x 2 + b op te lossen met betrekking tot k en b.

Om dit te doen, vinden we k \u003d y 2 - y 1 x 2 - x 1 b \u003d y 1 - y 2 - y 1 x 2 - x 1 x 1 of k \u003d y 2 - y 1 x 2 - x 1 b \u003d y 2 - y 2 - y 1 x 2 - x 1 x 2 .

Met dergelijke waarden van k en b heeft de vergelijking van een rechte lijn die door gegeven twee punten gaat de volgende vorm: y = y 2 - y 1 x 2 - x 1 x + y 2 - y 2 - y 1 x 2 - x 1 x 1 of y \u003d y 2 - y 1 x 2 - x 1 x + y 2 - y 2 - y 1 x 2 - x 1 x 2.

Het onthouden van zo'n groot aantal formules tegelijk zal niet werken. Om dit te doen, is het noodzakelijk om het aantal herhalingen bij het oplossen van problemen te vergroten.

Voorbeeld 3

Schrijf de vergelijking van een rechte lijn met een helling die door punten gaat met de coördinaten M 2 (2, 1) en y = k x + b.

Oplossing

Om het probleem op te lossen, gebruiken we een formule met een helling in de vorm y \u003d k x + b. De coëfficiënten k en b moeten een zodanige waarde aannemen dat deze vergelijking overeenkomt met een rechte lijn die door twee punten gaat met de coördinaten M 1 (- 7 , - 5) en M 2 (2 , 1) .

punten M 1 En M2 gelegen op een rechte lijn, dan moeten hun coördinaten de vergelijking y = k x + b omkeren naar de juiste gelijkheid. Vanaf hier krijgen we dat - 5 = k · (- 7) + b en 1 = k · 2 + b. Laten we de vergelijking combineren in het systeem - 5 = k · - 7 + b 1 = k · 2 + b en oplossen.

Bij vervanging krijgen we dat

5 = k - 7 + b 1 = k 2 + b ⇔ b = - 5 + 7 k 2 k + b = 1 ⇔ b = - 5 + 7 k 2 k - 5 + 7 k = 1 ⇔ ⇔ b = - 5 + 7 k k = 2 3 ⇔ b = - 5 + 7 2 3 k = 2 3 ⇔ b = - 1 3 k = 2 3

Nu worden de waarden k = 2 3 en b = - 1 3 vervangen door de vergelijking y = k x + b . We zien dat de gewenste vergelijking die door de gegeven punten gaat een vergelijking zal zijn die de vorm y = 2 3 x - 1 3 heeft.

Deze manier van oplossen bepaalt vooraf de besteding van een grote hoeveelheid tijd. Er is een manier waarop de taak letterlijk in twee stappen wordt opgelost.

We schrijven de canonieke vergelijking van een rechte lijn die door M 2 (2, 1) en M 1 (- 7, - 5) gaat, met de vorm x - (- 7) 2 - (- 7) = y - (- 5 ) 1 - (- 5) ⇔ X + 7 9 = y + 5 6 .

Laten we nu verder gaan met de hellingsvergelijking. We krijgen dat: x + 7 9 = y + 5 6 ⇔ 6 (x + 7) = 9 (y + 5) ⇔ y = 2 3 x - 1 3 .

Antwoord: y = 2 3 x - 1 3 .

Als er in de driedimensionale ruimte een rechthoekig coördinatensysteem O x y z is met twee gegeven niet-samenvallende punten met de coördinaten M 1 (x 1, y 1, z 1) en M 2 (x 2, y 2, z 2), dan rechte lijn M die er 1 M 2 doorheen gaat, het is noodzakelijk om de vergelijking van deze lijn te verkrijgen.

We hebben dat canonieke vergelijkingen van de vorm x - x 1 a x = y - y 1 a y = z - z 1 a z en parametervergelijkingen x = x 1 + a x λ y = y 1 + a y λ z = z 1 + a z λ zijn in staat om een ​​lijn in het O x y z-coördinatensysteem in te stellen die door punten gaat met coördinaten (x 1, y 1, z 1) met een richtvector a → = (a x, a y, a z) .

Recht M 1 M 2 heeft een richtingsvector van de vorm M 1 M 2 → = (x 2 - x 1 , y 2 - y 1 , z 2 - z 1) , waarbij de lijn door het punt M 1 (x 1 , y 1 , z 1) en M 2 (x 2, y 2, z 2), vandaar dat de canonieke vergelijking de vorm kan hebben x - x 1 x 2 - x 1 = y - y 1 y 2 - y 1 = z - z 1 z 2 - z 1 of x - x 2 x 2 - x 1 \u003d y - y 2 y 2 - y 1 \u003d z - z 2 z 2 - z 1, op zijn beurt parametrisch x \u003d x 1 + (x 2 - x 1) λ y \u003d y 1 + (y 2 - y 1) λ z = z 1 + (z 2 - z 1) λ of x = x 2 + (x 2 - x 1) λ y = y 2 + (y 2 - y 1) λ z \u003d z 2 + (z 2 - z 1) λ.

Beschouw een figuur die twee gegeven punten in de ruimte en de vergelijking van een rechte lijn toont.

Voorbeeld 4

Schrijf de vergelijking van een rechte lijn gedefinieerd in een rechthoekig coördinatensysteem O x y z van een driedimensionale ruimte, die door de gegeven twee punten gaat met de coördinaten M 1 (2, - 3, 0) en M 2 (1, - 3, - 5) ).

Oplossing

We moeten de canonieke vergelijking vinden. Omdat we het over een driedimensionale ruimte hebben, betekent dit dat wanneer een rechte lijn door bepaalde punten gaat, de gewenste canonieke vergelijking de vorm zal aannemen x - x 1 x 2 - x 1 = y - y 1 y 2 - y 1 = z - z 1 z 2 - z 1 .

Als voorwaarde geldt dat x 1 = 2, y 1 = - 3, z 1 = 0, x 2 = 1, y 2 = - 3, z 2 = - 5. Hieruit volgt dat de noodzakelijke vergelijkingen als volgt kunnen worden geschreven:

x - 2 1 - 2 = y - (- 3) - 3 - (- 3) = z - 0 - 5 - 0 ⇔ x - 2 - 1 = y + 3 0 = z - 5

Antwoord: x - 2 - 1 = y + 3 0 = z - 5.

Als u een fout in de tekst opmerkt, markeer deze dan en druk op Ctrl+Enter