Samenvatting van de les "Rechtlijnige en kromlijnige beweging. Cirkelvormige beweging van een lichaam"

Je bent je er terdege van bewust dat beweging, afhankelijk van de vorm van het traject, wordt onderverdeeld in rechtlijnig En kromlijnig. In eerdere lessen hebben we geleerd hoe we met rechtlijnige beweging kunnen werken, namelijk het oplossen van het belangrijkste probleem van de mechanica voor dit soort beweging.

Het is echter duidelijk dat we in de echte wereld meestal te maken hebben met kromlijnige beweging, wanneer het traject een gebogen lijn is. Voorbeelden van een dergelijke beweging zijn het traject van een lichaam dat onder een hoek ten opzichte van de horizon wordt geworpen, de beweging van de aarde rond de zon, en zelfs het traject van de beweging van je ogen, die nu deze toon volgen.

Deze les zal gewijd zijn aan de vraag hoe het belangrijkste probleem van de mechanica wordt opgelost in het geval van kromlijnige beweging.

Laten we om te beginnen bepalen welke fundamentele verschillen er bestaan in kromlijnige beweging (Fig. 1) ten opzichte van rechtlijnige beweging en waar deze verschillen toe leiden.

Rijst. 1. Traject van kromlijnige beweging

Laten we het hebben over hoe het handig is om de beweging van een lichaam tijdens kromlijnige beweging te beschrijven.

De beweging kan worden opgedeeld in afzonderlijke secties, waarbij de beweging elk als rechtlijnig kan worden beschouwd (figuur 2).

Rijst. 2. Het verdelen van de kromlijnige beweging in delen van rechtlijnige beweging

De volgende aanpak is echter handiger. We stellen ons deze beweging voor als een combinatie van verschillende bewegingen langs cirkelbogen (Fig. 3). Houd er rekening mee dat er minder van dergelijke scheidingswanden zijn dan in het vorige geval, bovendien is de beweging langs de cirkel kromlijnig. Bovendien zijn voorbeelden van beweging in een cirkel heel gebruikelijk in de natuur. Hieruit kunnen we concluderen:

Om kromlijnige bewegingen te beschrijven, moet je leren beweging in een cirkel te beschrijven en vervolgens willekeurige bewegingen weer te geven in de vorm van reeksen bewegingen langs cirkelbogen.

Rijst. 3. Het verdelen van kromlijnige beweging in beweging langs cirkelbogen

Laten we dus beginnen met het bestuderen van kromlijnige beweging door uniforme beweging in een cirkel te bestuderen. Laten we eens kijken wat de fundamentele verschillen zijn tussen kromlijnige beweging en rechtlijnige beweging. Laten we om te beginnen niet vergeten dat we in de negende klas het feit bestudeerden dat de snelheid van een lichaam wanneer het in een cirkel beweegt, rakend aan het traject is gericht (figuur 4). Je kunt dit feit overigens experimenteel waarnemen als je kijkt hoe vonken bewegen bij het gebruik van een slijpsteen.

Laten we de beweging van een lichaam langs een cirkelboog bekijken (Fig. 5).

Rijst. 5. Lichaamssnelheid bij het bewegen in een cirkel

Houd er rekening mee dat in dit geval de modulus van de snelheid van het lichaam op een punt gelijk is aan de modulus van de snelheid van het lichaam op dat punt:

Een vector is echter niet gelijk aan een vector. We hebben dus een snelheidsverschilvector (Fig. 6):

Rijst. 6. Snelheidsverschilvector

Bovendien vond de snelheidsverandering na enige tijd plaats. We krijgen dus de bekende combinatie:

Dit is niets anders dan een snelheidsverandering over een bepaalde periode, of een versnelling van een lichaam. Er kan een zeer belangrijke conclusie worden getrokken:

Beweging langs een gebogen pad wordt versneld. De aard van deze versnelling is een continue verandering in de richting van de snelheidsvector.

Laten we nogmaals opmerken dat, zelfs als er wordt gezegd dat het lichaam gelijkmatig in een cirkel beweegt, er wordt bedoeld dat de modulus van de snelheid van het lichaam niet verandert. Een dergelijke beweging wordt echter altijd versneld, omdat de richting van de snelheid verandert.

In de negende klas heb je onderzocht waaraan deze versnelling gelijk is en hoe deze gericht is (Fig. 7). De centripetale versnelling is altijd gericht naar het midden van de cirkel waarlangs het lichaam beweegt.

Rijst. 7. Centripetale versnelling

De module van centripetale versnelling kan worden berekend met de formule:

Laten we verder gaan met de beschrijving van de uniforme beweging van een lichaam in een cirkel. Laten we het erover eens zijn dat de snelheid die je gebruikte bij het beschrijven van de translatiebeweging nu lineaire snelheid wordt genoemd. En onder lineaire snelheid verstaan we de momentane snelheid op het punt van de baan van een roterend lichaam.

Rijst. 8. Beweging van schijfpunten

Beschouw een schijf die met de klok mee draait voor de duidelijkheid. Op de straal markeren we twee punten en (Fig. 8). Laten we hun beweging eens bekijken. Na verloop van tijd zullen deze punten langs de bogen van de cirkel bewegen en punten en worden. Het is duidelijk dat het punt meer is verplaatst dan het punt. Hieruit kunnen we concluderen dat hoe verder een punt van de rotatie-as verwijderd is, hoe groter de lineaire snelheid is waarmee het beweegt

Als je echter goed naar de punten en kijkt, kunnen we zeggen dat de hoek waarmee ze draaiden ten opzichte van de rotatie-as onveranderd bleef. Het zijn de hoekkarakteristieken die we zullen gebruiken om de beweging in een cirkel te beschrijven. Merk op dat we om cirkelvormige bewegingen te beschrijven kunnen gebruiken hoek kenmerken.

Laten we beweging in een cirkel gaan bekijken met het eenvoudigste geval: uniforme beweging in een cirkel. Laten we ons herinneren dat een uniforme translatiebeweging een beweging is waarbij het lichaam gelijke bewegingen maakt over een gelijke tijdsperiode. Naar analogie kunnen we de definitie geven van eenparige beweging in een cirkel.

Eenvormige cirkelbeweging is een beweging waarbij het lichaam over gelijke hoeken over gelijke tijdsintervallen roteert.

Vergelijkbaar met het concept van lineaire snelheid, wordt het concept van hoeksnelheid geïntroduceerd.

Hoeksnelheid van uniforme beweging ( is een fysieke grootheid die gelijk is aan de verhouding van de hoek waarover het lichaam draaide en de tijd waarin deze rotatie plaatsvond.

In de natuurkunde wordt de radiale hoekmaat het vaakst gebruikt. Hoek b is bijvoorbeeld gelijk aan radialen. Hoeksnelheid wordt gemeten in radialen per seconde:

Laten we het verband vinden tussen de hoeksnelheid van een punt en de lineaire snelheid van dit punt.

Rijst. 9. Relatie tussen hoek- en lineaire snelheid

Bij rotatie passeert een punt een boog met lengte en draait onder een hoek. Uit de definitie van de radiale maat van een hoek kunnen we schrijven:

Laten we de linker- en rechterkant van de gelijkheid delen door de tijdsperiode waarin de beweging werd gemaakt, en vervolgens de definitie van hoek- en lineaire snelheden gebruiken:

Houd er rekening mee dat hoe verder een punt van de rotatie-as verwijderd is, hoe hoger de lineaire snelheid is. En de punten op de rotatieas zelf zijn bewegingloos. Een voorbeeld hiervan is een carrousel: hoe dichter je bij het midden van de carrousel bent, hoe makkelijker je erop kunt blijven staan.

Deze afhankelijkheid van lineaire en hoeksnelheden wordt gebruikt bij geostationaire satellieten (satellieten die zich altijd boven hetzelfde punt op het aardoppervlak bevinden). Dankzij dergelijke satellieten kunnen we televisiesignalen ontvangen.

Laten we niet vergeten dat we eerder de concepten van periode en frequentie van rotatie introduceerden.

De rotatieperiode is de tijd van één volledige omwenteling. De rotatieperiode wordt aangegeven met een letter en gemeten in SI-seconden:

Rotatiefrequentie is een fysieke grootheid die gelijk is aan het aantal omwentelingen dat een lichaam per tijdseenheid maakt.

De frequentie wordt aangegeven met een letter en gemeten in wederkerige seconden:

Ze zijn gerelateerd door de relatie:

Er bestaat een verband tussen de hoeksnelheid en de rotatiefrequentie van het lichaam. Als we bedenken dat een volledige omwenteling gelijk is aan , is het gemakkelijk in te zien dat de hoeksnelheid:

Door deze uitdrukkingen te vervangen door de relatie tussen hoekige en lineaire snelheid, kunnen we de afhankelijkheid van lineaire snelheid van periode of frequentie verkrijgen:

Laten we ook de relatie tussen de centripetale versnelling en deze grootheden opschrijven:

We kennen dus de relatie tussen alle kenmerken van een uniforme cirkelvormige beweging.

Laten we het samenvatten. In deze les zijn we begonnen met het beschrijven van kromlijnige bewegingen. We begrepen hoe we kromlijnige beweging kunnen verbinden met cirkelvormige beweging. Cirkelvormige bewegingen worden altijd versneld en de aanwezigheid van versnelling bepaalt het feit dat de snelheid altijd van richting verandert. Deze versnelling wordt centripetaal genoemd. Ten slotte herinnerden we ons enkele kenmerken van cirkelbewegingen (lineaire snelheid, hoeksnelheid, rotatieperiode en frequentie) en vonden we de relaties daartussen.

Bibliografie

G.Ya. Mjakisjev, B.B. Boekhovtsev, N.N. Sotski. Natuurkunde 10. - M.: Onderwijs, 2008.
A.P. Rymkevitsj. Natuurkunde. Problemenboek 10-11. - M.: Trap, 2006.
O. Ja. Savchenko. Natuurkundige problemen. - M.: Nauka, 1988.
AV Peryshkin, V.V. Krauklis. Natuurkunde cursus. T. 1. - M.: Staat. docent red. min. opleiding van de RSFSR, 1957.

Аyp.ru ().
Wikipedia().

Huiswerk

Nadat u de problemen voor deze les hebt opgelost, kunt u zich voorbereiden op vraag 1 van het staatsexamen en vragen A1, A2 van het Unified State Exam.

Problemen 92, 94, 98, 106, 110 - za. problemen Rymkevitsj, uitg. 10
Bereken de hoeksnelheid van de minuten-, seconde- en uurwijzers van de klok. Bereken de centripetale versnelling die op de punten van deze pijlen inwerkt als de straal van elk één meter is.

Met behulp van deze les kun je zelfstandig het onderwerp 'Rechtlijnige en kromlijnige beweging' bestuderen. Beweging van een lichaam in een cirkel met een constante absolute snelheid." Eerst zullen we rechtlijnige en kromlijnige bewegingen karakteriseren door na te gaan hoe bij dit soort bewegingen de snelheidsvector en de op het lichaam uitgeoefende kracht met elkaar in verband staan. Vervolgens beschouwen we een speciaal geval waarin een lichaam in een cirkel beweegt met een constante snelheid in absolute waarde.

In de vorige les hebben we gekeken naar kwesties die verband houden met de wet van de universele zwaartekracht. Het onderwerp van de les van vandaag hangt nauw samen met deze wet; we zullen ons richten op de uniforme beweging van een lichaam in een cirkel.

Dat zeiden we eerder beweging - Dit is een verandering in de positie van een lichaam in de ruimte ten opzichte van andere lichamen in de loop van de tijd. Beweging en bewegingsrichting worden ook gekenmerkt door snelheid. De verandering in snelheid en het type beweging zelf houden verband met de werking van kracht. Als er een kracht op een lichaam inwerkt, verandert het lichaam van snelheid.

Als de kracht parallel aan de beweging van het lichaam is gericht, zal een dergelijke beweging dat zijn rechtdoorzee(Figuur 1).

Rijst. 1. Rechtlijnige beweging

Kromlijnig er zal een dergelijke beweging plaatsvinden wanneer de snelheid van het lichaam en de kracht die op dit lichaam wordt uitgeoefend onder een bepaalde hoek ten opzichte van elkaar zijn gericht (figuur 2). In dit geval zal de snelheid van richting veranderen.

Rijst. 2. Kromlijnige beweging

Dus wanneer rechte beweging de snelheidsvector is in dezelfde richting gericht als de kracht die op het lichaam wordt uitgeoefend. A kromlijnige beweging is zo'n beweging wanneer de snelheidsvector en de kracht die op het lichaam wordt uitgeoefend zich onder een bepaalde hoek ten opzichte van elkaar bevinden.

Laten we een speciaal geval van kromlijnige beweging bekijken, waarbij een lichaam in een cirkel beweegt met een constante snelheid in absolute waarde. Wanneer een lichaam met constante snelheid in een cirkel beweegt, verandert alleen de richting van de snelheid. In absolute waarde blijft het constant, maar de richting van de snelheid verandert. Deze snelheidsverandering leidt tot de aanwezigheid van versnelling in het lichaam, wat wordt genoemd middelpuntzoekend.

Rijst. 6. Beweging langs een gebogen pad

Als het traject van de beweging van een lichaam een curve is, kan het worden weergegeven als een reeks bewegingen langs cirkelbogen, zoals weergegeven in figuur 2. 6.

In afb. Figuur 7 laat zien hoe de richting van de snelheidsvector verandert. De snelheid tijdens een dergelijke beweging is tangentieel gericht op de cirkel langs de boog waarvan het lichaam beweegt. De richting verandert dus voortdurend. Zelfs als de absolute snelheid constant blijft, leidt een snelheidsverandering tot versnelling:

In dit geval versnelling zal naar het midden van de cirkel gericht zijn. Daarom wordt het centripetaal genoemd.

Waarom is de centripetale versnelling naar het centrum gericht?

Bedenk dat als een lichaam langs een gebogen pad beweegt, de snelheid tangentiaal is gericht. Snelheid is een vectorgrootheid. Een vector heeft een numerieke waarde en een richting. De snelheid verandert voortdurend van richting terwijl het lichaam beweegt. Dat wil zeggen dat het snelheidsverschil op verschillende tijdstippen niet gelijk zal zijn aan nul (), in tegenstelling tot rechtlijnige uniforme beweging.

We hebben dus een snelheidsverandering over een bepaalde periode. De verhouding tot is versnelling. We komen tot de conclusie dat, zelfs als de snelheid in absolute waarde niet verandert, een lichaam dat een uniforme beweging in een cirkel uitvoert, versnelling heeft.

Waar is deze versnelling op gericht? Laten we eens kijken naar afb. 3. Een lichaam beweegt kromlijnig (langs een boog). De snelheid van het lichaam op de punten 1 en 2 is tangentieel gericht. Het lichaam beweegt uniform, dat wil zeggen dat de snelheidsmodules gelijk zijn: , maar de richtingen van de snelheden vallen niet samen.

Rijst. 3. Lichaamsbeweging in een cirkel

Trek de snelheid ervan af en bereken de vector. Om dit te doen, moet je het begin van beide vectoren verbinden. Verplaats de vector parallel naar het begin van de vector. We bouwen op tot een driehoek. De derde zijde van de driehoek zal de snelheidsverschilvector zijn (Fig. 4).

Rijst. 4. Snelheidsverschilvector

De vector is naar de cirkel gericht.

Laten we een driehoek bekijken die wordt gevormd door de snelheidsvectoren en de verschilvector (Fig. 5).

Rijst. 5. Driehoek gevormd door snelheidsvectoren

Deze driehoek is gelijkbenig (de snelheidsmodules zijn gelijk). Dit betekent dat de hoeken aan de basis gelijk zijn. Laten we de gelijkheid opschrijven voor de som van de hoeken van een driehoek:

Laten we eens kijken waar de versnelling op een bepaald punt op het traject is gericht. Om dit te doen, zullen we beginnen punt 2 dichter bij punt 1 te brengen. Met zo'n onbeperkte toewijding zal de hoek naar 0 neigen, en de hoek naar . De hoek tussen de snelheidsveranderingsvector en de snelheidsvector zelf is . De snelheid is tangentieel gericht en de vector van snelheidsverandering is naar het midden van de cirkel gericht. Dit betekent dat de versnelling ook naar het middelpunt van de cirkel is gericht. Daarom wordt deze versnelling genoemd middelpuntzoekend.

Hoe centripetale versnelling te vinden?

Laten we eens kijken naar het traject waarlangs het lichaam beweegt. In dit geval is het een cirkelboog (Fig. 8).

Rijst. 8. Lichaamsbeweging in een cirkel

De figuur toont twee driehoeken: een driehoek gevormd door snelheden, en een driehoek gevormd door stralen en verplaatsingsvector. Als de punten 1 en 2 heel dichtbij liggen, zal de verplaatsingsvector samenvallen met de padvector. Beide driehoeken zijn gelijkbenig met dezelfde hoekpunten. De driehoeken zijn dus gelijkvormig. Dit betekent dat de overeenkomstige zijden van de driehoeken gelijkelijk gerelateerd zijn:

De verplaatsing is gelijk aan het product van snelheid en tijd: . Door deze formule te vervangen, kunnen we de volgende uitdrukking voor centripetale versnelling verkrijgen:

Hoeksnelheid aangegeven met de Griekse letter omega (ω), geeft het de hoek aan waarover het lichaam per tijdseenheid roteert (Fig. 9). Dit is de grootte van de boog in graden die het lichaam in de loop van de tijd passeert.

Rijst. 9. Hoeksnelheid

Laten we opmerken dat als een star lichaam roteert, de hoeksnelheid voor alle punten op dit lichaam een constante waarde zal zijn. Of het punt zich dichter bij het rotatiecentrum of verder weg bevindt, is niet belangrijk, d.w.z. het hangt niet af van de straal.

De meeteenheid is in dit geval graden per seconde () of radialen per seconde (). Vaak is het woord “radiaal” niet geschreven, maar eenvoudigweg geschreven. Laten we bijvoorbeeld eens kijken wat de hoeksnelheid van de aarde is. De aarde maakt een volledige rotatie in één uur, en in dit geval kunnen we zeggen dat de hoeksnelheid gelijk is aan:

Let ook op de relatie tussen hoek- en lineaire snelheden:

De lineaire snelheid is recht evenredig met de straal. Hoe groter de straal, hoe groter de lineaire snelheid. Door ons dus van het rotatiecentrum af te bewegen, verhogen we onze lineaire snelheid.

Opgemerkt moet worden dat cirkelvormige beweging met constante snelheid een speciaal geval van beweging is. De beweging rond de cirkel kan echter ongelijkmatig zijn. Snelheid kan niet alleen in richting veranderen en qua grootte hetzelfde blijven, maar ook in waarde veranderen, d.w.z. naast een richtingsverandering is er ook een verandering in de snelheidsgrootte. In dit geval hebben we het over de zogenaamde versnelde beweging in een cirkel.

Wat is een radiaal?

Er zijn twee eenheden voor het meten van hoeken: graden en radialen. In de natuurkunde is in de regel de radiale hoekmaat de belangrijkste.

Laten we een centrale hoek construeren die op een boog met lengte rust.

Afhankelijk van de vorm van het traject kan de beweging worden onderverdeeld in rechtlijnig en kromlijnig. Meestal kom je kromlijnige bewegingen tegen wanneer het traject wordt weergegeven als een curve. Een voorbeeld van dit soort beweging is het pad van een lichaam dat onder een hoek ten opzichte van de horizon wordt geworpen, de beweging van de aarde rond de zon, planeten, enzovoort.

Foto 1 . Traject en beweging in gebogen beweging

Definitie 1

Kromlijnige beweging wordt een beweging genoemd waarvan het traject een gebogen lijn is. Als een lichaam langs een gebogen pad beweegt, is de verplaatsingsvector s → langs het akkoord gericht, zoals weergegeven in figuur 1, en is l de lengte van het pad. De richting van de momentane snelheid van het lichaam beweegt langs een raaklijn op hetzelfde punt van het traject waar het bewegende object zich momenteel bevindt, zoals weergegeven in figuur 2.

Figuur 2. Momentane snelheid tijdens gebogen beweging

Definitie 2

Kromlijnige beweging van een materieel punt uniform genoemd wanneer de snelheidsmodule constant is (cirkelvormige beweging), en uniform versneld wanneer de richting en snelheidsmodule veranderen (beweging van een geworpen lichaam).

De kromlijnige beweging wordt altijd versneld. Dit wordt verklaard door het feit dat zelfs bij een onveranderde snelheidsmodule en een veranderde richting er altijd versnelling aanwezig is.

Om de kromlijnige beweging van een materieel punt te bestuderen, worden twee methoden gebruikt.

Het pad is verdeeld in afzonderlijke secties, waarbij het elk als recht kan worden beschouwd, zoals weergegeven in figuur 3.

Figuur 3. Het verdelen van kromlijnige bewegingen in translationele bewegingen

Nu kan de wet van rechtlijnige beweging op elke sectie worden toegepast. Dit principe is toegestaan.

De handigste oplossingsmethode wordt geacht het pad weer te geven als een reeks van verschillende bewegingen langs cirkelbogen, zoals weergegeven in figuur 4. Het aantal partities zal veel minder zijn dan bij de vorige methode, bovendien is de beweging langs de cirkel al kromlijnig.

Figuur 4. Het verdelen van kromlijnige beweging in beweging langs cirkelbogen

Notitie 1

Om kromlijnige bewegingen vast te leggen, moet je bewegingen in een cirkel kunnen beschrijven en willekeurige bewegingen kunnen weergeven in de vorm van reeksen bewegingen langs de bogen van deze cirkels.

De studie van kromlijnige beweging omvat de samenstelling van een kinematische vergelijking die deze beweging beschrijft en waarmee, op basis van de beschikbare beginvoorwaarden, alle kenmerken van de beweging kunnen worden bepaald.

voorbeeld 1

Gegeven een materieel punt dat langs een curve beweegt, zoals weergegeven in figuur 4. De middelpunten van cirkels O 1, O 2, O 3 bevinden zich op dezelfde rechte lijn. Er moet verplaatsing gevonden worden
s → en padlengte l tijdens het verplaatsen van punt A naar B.

Oplossing

Als voorwaarde geldt dat de middelpunten van de cirkel tot dezelfde rechte lijn behoren, vandaar:

s → = R 1 + 2 R 2 + R 3 .

Omdat het bewegingstraject de som is van halve cirkels, geldt:

ik ~ EEN B = π R 1 + R 2 + R 3 .

Antwoord: s → = R 1 + 2 R 2 + R 3, l ~ EEN B = π R 1 + R 2 + R 3.

Voorbeeld 2

De afhankelijkheid van de door het lichaam afgelegde afstand in de tijd wordt gegeven, weergegeven door de vergelijking s (t) = A + B t + C t 2 + D t 3 (C = 0,1 m / s 2, D = 0,003 m / s 3). Bereken na hoeveel tijd na het begin van de beweging de versnelling van het lichaam gelijk zal zijn aan 2 m / s 2

Oplossing

Antwoord: t = 60 s.

Als u een fout in de tekst opmerkt, markeer deze dan en druk op Ctrl+Enter

Tijdens kromlijnige beweging verandert de richting van de snelheidsvector. Tegelijkertijd kan de module, dat wil zeggen de lengte, ook veranderen. In dit geval wordt de versnellingsvector opgesplitst in twee componenten: rakend aan het traject en loodrecht op het traject (Fig. 10). Het onderdeel wordt genoemd tangentieel(tangentiële) versnelling, component – normaal(middelpuntzoekende) versnelling.

Versnelling tijdens gebogen beweging

Tangentiële versnelling karakteriseert de snelheid van verandering in lineaire snelheid, en normale versnelling karakteriseert de snelheid van verandering in bewegingsrichting.

De totale versnelling is gelijk aan de vectorsom van de tangentiële en normale versnellingen:

(15)

De totale versnellingsmodule is gelijk aan:

Laten we eens kijken naar de uniforme beweging van een punt rond een cirkel. Waarin En . Stel dat op het beschouwde tijdstip t het punt zich in positie 1 bevindt (Fig. 11). Na tijd Δt bevindt het punt zich in positie 2, nadat het het pad is gepasseerd Δs, gelijk aan boog 1-2. In dit geval neemt de snelheid van punt v toe AV, waardoor de snelheidsvector, die in grootte onveranderd blijft, over een hoek roteert Δφ , qua grootte samenvallend met de centrale hoek op basis van een lengteboog Δs:

(16)

waarbij R de straal is van de cirkel waarlangs het punt beweegt. Laten we de toename van de snelheidsvector vinden. Om dit te doen, verplaatsen we de vector zodat het begin ervan samenvalt met het begin van de vector. Vervolgens wordt de vector weergegeven door een segment dat van het einde van de vector naar het einde van de vector wordt getrokken . Dit segment dient als basis van een gelijkbenige driehoek met zijden en en hoek Δφ aan de top. Als de hoek Δφ klein is (wat geldt voor de kleine Δt), kunnen we voor de zijden van deze driehoek ongeveer schrijven:

Door Δφ hier uit (16) te vervangen, verkrijgen we een uitdrukking voor de modulus van de vector:

Door beide zijden van de vergelijking te delen door Δt en tot de limiet door te gaan, verkrijgen we de waarde van de centripetale versnelling:

Hier de hoeveelheden v En R zijn constant, zodat ze voorbij het limietteken kunnen worden genomen. De verhoudingslimiet is de snelheidsmodulus Het wordt ook wel lineaire snelheid genoemd.

Straal van kromming

De straal van de cirkel R wordt genoemd kromtestraal trajecten. Het omgekeerde van R wordt de kromming van het traject genoemd:

waarbij R de straal van de betreffende cirkel is. Als α de centrale hoek is die overeenkomt met de boog van een cirkel s, dan geldt, zoals bekend, de relatie tussen R, α en s:

s = Ra. (18)

Het concept van de kromtestraal is niet alleen van toepassing op een cirkel, maar ook op elke gebogen lijn. De kromtestraal (of de omgekeerde waarde ervan - kromming) karakteriseert de mate van kromming van de lijn. Hoe kleiner de kromtestraal (respectievelijk hoe groter de kromming), hoe sterker de lijn gebogen is. Laten we dit concept eens nader bekijken.

De krommingscirkel van een platte lijn op een bepaald punt A is de grenspositie van een cirkel die door punt A en twee andere punten B 1 en B 2 gaat terwijl ze punt A oneindig naderen (in figuur 12 wordt de curve getekend door een ononderbroken lijn en de krommingscirkel met een stippellijn). De straal van de kromtecirkel geeft de kromtestraal van de betreffende kromme in punt A, en het middelpunt van deze cirkel geeft het kromtepunt van de kromme voor hetzelfde punt A.

Teken op de punten B 1 en B 2 de raaklijnen B 1 D en B 2 E aan een cirkel die door de punten B 1, A en B 2 gaat. De normalen van deze raaklijnen B 1 C en B 2 C vertegenwoordigen de stralen R van de cirkel en zullen elkaar snijden in het middelpunt C. Laten we de hoek Δα introduceren tussen de normalen B1 C en B 2 C; uiteraard is deze gelijk aan de hoek tussen de raaklijnen B 1 D en B 2 E. Laten we het gedeelte van de curve tussen de punten B 1 en B 2 aanduiden als Δs. Dan volgens formule (18):

Krommingscirkel van een platte gebogen lijn

Bepalen van de kromming van een vlakke kromme op verschillende punten

In afb. Figuur 13 toont krommingscirkels van een vlakke lijn op verschillende punten. Op punt A 1, waar de curve vlakker is, is de kromtestraal groter dan op punt A 2, respectievelijk zal de kromming van de lijn op punt A 1 kleiner zijn dan op punt A 2. Op punt A 3 is de curve nog vlakker dan op punten A 1 en A 2, dus de kromtestraal op dit punt zal groter zijn en de kromming kleiner. Bovendien ligt de krommingscirkel in punt A3 aan de andere kant van de curve. Daarom krijgt de waarde van de kromming op dit punt een teken toegewezen dat tegengesteld is aan het teken van de kromming op de punten A 1 en A 2: als de kromming op de punten A 1 en A 2 als positief wordt beschouwd, dan zal de kromming op punt A 3 zijn negatief.

6. Kromlijnige beweging. Hoekverplaatsing, hoeksnelheid en versnelling van een lichaam. Pad en verplaatsing tijdens kromlijnige beweging van een lichaam.

Kromlijnige beweging– dit is een beweging waarvan het traject een gebogen lijn is (bijvoorbeeld een cirkel, ellips, hyperbool, parabool). Een voorbeeld van kromlijnige beweging is de beweging van planeten, het uiteinde van een wijzer langs een wijzerplaat, enz. In het algemeen kromlijnige snelheid veranderingen in omvang en richting.

Kromlijnige beweging van een materieel punt wordt als een uniforme beweging beschouwd als de module snelheid constant (bijvoorbeeld uniforme beweging in een cirkel), en uniform versneld als de module en richting snelheid veranderingen (bijvoorbeeld de beweging van een lichaam dat onder een hoek ten opzichte van de horizontaal wordt geworpen).

Rijst. 1.19. Traject en bewegingsvector tijdens kromlijnige beweging.

Bij het verplaatsen langs een gebogen pad verplaatsingsvector gericht langs het akkoord (Fig. 1.19), en l- lengte trajecten . De momentane snelheid van het lichaam (dat wil zeggen de snelheid van het lichaam op een bepaald punt van het traject) is tangentiaal gericht op het punt van het traject waar het bewegende lichaam zich momenteel bevindt (Fig. 1.20).

Rijst. 1.20. Momentane snelheid tijdens gebogen beweging.

Een kromlijnige beweging is altijd een versnelde beweging. Dat is versnelling tijdens gebogen beweging is altijd aanwezig, zelfs als de snelheidsmodule niet verandert, maar alleen de richting van de snelheid verandert. De verandering in snelheid per tijdseenheid is tangentiële versnelling :

Waar v τ , v 0 – snelheidswaarden op het moment van de tijd T 0 +Δt En T 0 respectievelijk.

Tangentiële versnelling op een bepaald punt van het traject valt de richting samen met de richting van de bewegingssnelheid van het lichaam of is daar tegengesteld aan.

Normale acceleratie is de verandering in snelheid in richting per tijdseenheid:

Normale acceleratie gericht langs de kromtestraal van het traject (in de richting van de rotatieas). Normale versnelling staat loodrecht op de richting van de snelheid.

Centripetale versnelling is de normale versnelling tijdens een uniforme cirkelvormige beweging.

Totale versnelling tijdens uniforme kromlijnige beweging van een lichaam gelijk aan:

De beweging van een lichaam langs een gebogen pad kan bij benadering worden weergegeven als beweging langs de bogen van bepaalde cirkels (Fig. 1.21).

Rijst. 1.21. Beweging van een lichaam tijdens kromlijnige beweging.

Kromlijnige beweging

Kromlijnige bewegingen– bewegingen waarvan de trajecten geen rechte, maar gebogen lijnen zijn. Planeten en rivierwateren bewegen zich langs kromlijnige trajecten.

Kromlijnige beweging is altijd beweging met versnelling, zelfs als de absolute waarde van de snelheid constant is. Kromlijnige beweging met constante versnelling vindt altijd plaats in het vlak waarin de versnellingsvectoren en beginsnelheden van het punt zich bevinden. In het geval van kromlijnige beweging met constante versnelling in het vlak xOj projecties v X En v j zijn snelheid op de as Os En Oei en coördinaten X En j punten op elk moment T bepaald door formules

Een speciaal geval van kromlijnige beweging is cirkelvormige beweging. Cirkelvormige beweging, zelfs uniform, is altijd versnelde beweging: de snelheidsmodule is altijd tangentieel op het traject gericht en verandert voortdurend van richting, dus cirkelvormige beweging vindt altijd plaats met centripetale versnelling waarbij R– straal van de cirkel.

De versnellingsvector bij het bewegen in een cirkel is gericht naar het midden van de cirkel en loodrecht op de snelheidsvector.

Bij kromlijnige beweging kan de versnelling worden weergegeven als de som van normale en tangentiële componenten:

Normale (middelpuntzoekende) versnelling is gericht naar het krommingsmiddelpunt van het traject en karakteriseert de verandering in snelheid in de richting:

v – momentane snelheidswaarde, R– kromtestraal van het traject op een bepaald punt.

Tangentiële (tangentiële) versnelling is tangentieel op het traject gericht en karakteriseert de verandering in snelheidsmodulo.

De totale versnelling waarmee een materieel punt beweegt is gelijk aan:

Naast de centripetale versnelling zijn de belangrijkste kenmerken van een uniforme cirkelvormige beweging de periode en frequentie van de omwenteling.

Circulatieperiode- dit is de tijd waarin het lichaam één omwenteling voltooit .

De periode wordt aangegeven door de letter T(c) en wordt bepaald door de formule:

Waar T- circulatietijd, P- het aantal omwentelingen dat gedurende deze tijd is voltooid.

Frequentie- dit is een hoeveelheid die numeriek gelijk is aan het aantal voltooide omwentelingen per tijdseenheid.

De frequentie wordt aangegeven met een Griekse letter (nu) en wordt gevonden met behulp van de formule:

De frequentie wordt gemeten in 1/s.

Periode en frequentie zijn onderling inverse grootheden:

Als een lichaam met snelheid in een cirkel beweegt v,één omwenteling maakt, kan de door dit lichaam afgelegde afstand worden gevonden door de snelheid te vermenigvuldigen v voor de tijd van één revolutie:

l = vT. Aan de andere kant is dit pad gelijk aan de omtrek van cirkel 2π R. Daarom

vT = 2π R,

Waar w(s-1) - hoeksnelheid.

Bij een constante rotatiefrequentie is de centripetale versnelling recht evenredig met de afstand van het bewegende deeltje tot het rotatiecentrum.

Hoeksnelheid (w) – een waarde gelijk aan de verhouding van de rotatiehoek van de straal waarop het rotatiepunt zich bevindt en de tijdsperiode waarin deze rotatie plaatsvond:

Verband tussen lineaire en hoeksnelheden:

De beweging van een lichaam kan alleen als bekend worden beschouwd als bekend is hoe elk punt beweegt. De eenvoudigste beweging van vaste lichamen is translationeel. Progressief is de beweging van een stijf lichaam waarbij elke rechte lijn die in dit lichaam wordt getrokken evenwijdig aan zichzelf beweegt.