Zoek de totale oppervlakte van het prisma. Stelling over het gebied van het manteloppervlak van een recht prisma
Prisma. Parallellepipedum
prisma wordt een veelvlak genoemd waarvan de twee vlakken gelijke n-hoeken zijn (terrein) , liggend in evenwijdige vlakken, en de overige n vlakken zijn parallellogrammen (zijkanten) . Zijrib prisma is de zijde van het zijvlak die niet tot de basis behoort.
Een prisma waarvan de zijranden loodrecht op de vlakken van de basissen staan, wordt genoemd direct prisma (afb. 1). Als de zijranden niet loodrecht op de vlakken van de bases staan, wordt het prisma genoemd schuin . juist Een prisma is een recht prisma waarvan de basis regelmatige veelhoeken zijn.
Hoogte prisma wordt de afstand tussen de vlakken van de basissen genoemd. Diagonaal Een prisma is een segment dat twee hoekpunten verbindt die niet tot hetzelfde vlak behoren. diagonaal gedeelte Een sectie van een prisma door een vlak dat door twee zijranden gaat die niet tot hetzelfde vlak behoren, wordt genoemd. Loodrechte sectie de doorsnede van het prisma genoemd door een vlak loodrecht op de zijrand van het prisma.
Zijoppervlak prisma is de som van de oppervlakten van alle zijvlakken. Volledige oppervlakte de som van de oppervlakten van alle vlakken van het prisma wordt genoemd (d.w.z. de som van de oppervlakten van de zijvlakken en de oppervlakten van de basissen).
Voor een willekeurig prisma zijn de formules waar:
Waar ik is de lengte van de zijrib;
H- hoogte;
P
Q
S-kant
S vol
S belangrijkste is het gebied van de bases;
V is het volume van het prisma.
Voor een recht prisma gelden de volgende formules:
Waar P- de omtrek van de basis;
ik is de lengte van de zijrib;
H- hoogte.
Parallellepipedum Een prisma waarvan de basis een parallellogram is, wordt genoemd. Een parallellepipedum waarvan de zijranden loodrecht op de basis staan, wordt genoemd direct (Fig. 2). Als de zijranden niet loodrecht op de basis staan, wordt de parallellepipedum genoemd schuin . Een rechter parallellepipedum waarvan de basis een rechthoek is, wordt genoemd rechthoekig. Een rechthoekig parallellepipedum waarin alle randen gelijk zijn, wordt genoemd kubus.
De vlakken van een parallellepipedum die geen gemeenschappelijke hoekpunten hebben, worden genoemd tegenovergestelde . De lengtes van randen die uit één hoekpunt komen, worden genoemd afmetingen parallellepipedum. Aangezien de doos een prisma is, worden de hoofdelementen ervan op dezelfde manier gedefinieerd als voor prisma's.
stellingen.
1. De diagonalen van het parallellepipedum snijden elkaar op één punt en halveren het.
2. In een rechthoekig parallellepipedum is het kwadraat van de lengte van de diagonaal gelijk aan de som van de kwadraten van de drie dimensies: 
3. 
Alle vier de diagonalen van een rechthoekig parallellepipedum zijn gelijk aan elkaar.
Voor een willekeurig parallellepipedum zijn de volgende formules waar:
Waar ik is de lengte van de zijrib;
H- hoogte;
P is de omtrek van de loodrechte sectie;
Q– Gebied van loodrechte doorsnede;
S-kant is het laterale oppervlak;
S vol is de totale oppervlakte;
S belangrijkste is het gebied van de bases;
V is het volume van het prisma.
Voor een rechter parallellepipedum zijn de volgende formules waar:
Waar P- de omtrek van de basis;
ik is de lengte van de zijrib;
H is de hoogte van de rechter parallellepipedum.
Voor een rechthoekig parallellepipedum zijn de volgende formules waar:
(3)
Waar P- de omtrek van de basis;
H- hoogte;
D- diagonaal;
abc– afmetingen van een parallellepipedum.
De juiste formules voor een kubus zijn:
Waar A is de lengte van de rib;
D is de diagonaal van de kubus.
voorbeeld 1 De diagonaal van een rechthoekige kubus is 33 dm, en de afmetingen zijn gerelateerd als 2:6:9 Zoek de afmetingen van de kubus.
Oplossing. Om de afmetingen van het parallellepipedum te vinden, gebruiken we formule (3), d.w.z. het feit dat het kwadraat van de schuine zijde van een kubus gelijk is aan de som van de kwadraten van zijn dimensies. Aanduiden door k coëfficiënt van evenredigheid. Dan zijn de afmetingen van het parallellepipedum gelijk aan 2 k, 6k en 9 k. We schrijven formule (3) voor de probleemgegevens:
Het oplossen van deze vergelijking voor k, we krijgen:
De afmetingen van het parallellepipedum zijn dus 6 dm, 18 dm en 27 dm.
Antwoord: 6 dm, 18 dm, 27 dm.
Voorbeeld 2 Zoek het volume van een hellend driehoekig prisma waarvan de basis een gelijkzijdige driehoek is met een zijde van 8 cm, als de zijrand gelijk is aan de zijkant van de basis en onder een hoek van 60º ten opzichte van de basis staat.
Oplossing
.
Laten we een tekening maken (Fig. 3).
Om het volume van een hellend prisma te vinden, moet u de oppervlakte van de basis en de hoogte kennen. Het gebied van de basis van dit prisma is het gebied van een gelijkzijdige driehoek met een zijde van 8 cm Laten we het berekenen:
De hoogte van een prisma is de afstand tussen de basissen. Vanaf het begin A 1 van de bovenste basis laten we de loodlijn op het vlak van de onderste basis zakken A 1 D. De lengte is de hoogte van het prisma. Overweeg D A 1 ADVERTENTIE: aangezien dit de hellingshoek is van de zijrib A 1 A naar het basisvlak A 1 A= 8 cm Van deze driehoek vinden we A 1 D:
Nu berekenen we het volume met formule (1):
Antwoord: 192 cm3.
Voorbeeld 3 De zijrand van een regelmatig zeshoekig prisma is 14 cm Het gebied van de grootste diagonale sectie is 168 cm 2. Zoek de totale oppervlakte van het prisma.
Oplossing. Laten we een tekening maken (Fig. 4)
Het grootste diagonale gedeelte is een rechthoek AA 1 dd 1 , sinds de diagonaal ADVERTENTIE regelmatige zeshoek ABCDEF is de grootste. Om het laterale oppervlak van een prisma te berekenen, is het noodzakelijk om de zijkant van de basis en de lengte van de laterale ribbe te kennen.
Als we het gebied van de diagonale sectie (rechthoek) kennen, vinden we de diagonaal van de basis.
Sindsdien 
Sindsdien AB= 6cm.
Dan is de omtrek van de basis:
Zoek het gebied van het manteloppervlak van het prisma:
De oppervlakte van een regelmatige zeshoek met een zijde van 6 cm is:
Zoek de totale oppervlakte van het prisma:
Antwoord: 
Voorbeeld 4 De basis van een rechter parallellepipedum is een ruit. De oppervlakten van diagonale secties zijn 300 cm 2 en 875 cm 2. Zoek het gebied van het zijoppervlak van de parallellepipedum.
Oplossing. Laten we een tekening maken (Fig. 5).
Geef de zijkant van de ruit aan met A, de diagonalen van de ruit D 1 en D 2, de hoogte van de doos H. Om het laterale oppervlak van een rechte parallellepipedum te vinden, is het noodzakelijk om de omtrek van de basis te vermenigvuldigen met de hoogte: (formule (2)). Basisomtrek p = AB + BC + CD + DA = 4AB = 4a, omdat ABCD- ruit. H = AA 1 = H. Dat. Moet vinden A En H.
Overweeg diagonale secties. AA 1 SS 1 - een rechthoek waarvan één zijde de diagonaal is van een ruit AC = D 1, tweede - zijrand AA 1 = H, Dan
Zo ook voor de afdeling BB 1 dd 1 krijgen we:
Door de eigenschap van een parallellogram te gebruiken zodat de som van de kwadraten van de diagonalen gelijk is aan de som van de kwadraten van al zijn zijden, krijgen we de gelijkheid. We krijgen het volgende.
De videocursus "Krijg een A" bevat alle onderwerpen die nodig zijn voor het succesvol behalen van het wiskunde-examen met 60-65 punten. Voltooi alle taken 1-13 van het profiel USE in wiskunde. Ook geschikt voor het behalen van de Basic USE in wiskunde. Als je het examen met 90-100 punten wilt halen, moet je deel 1 in 30 minuten en foutloos oplossen!
Voorbereidingscursus voor het examen voor de rangen 10-11, evenals voor docenten. Alles wat je nodig hebt om deel 1 van het examen wiskunde (de eerste 12 opgaven) en opgave 13 (driehoeksmeetkunde) op te lossen. En dit zijn meer dan 70 punten op het Unified State Examination, en noch een student met honderd punten, noch een humanist kan zonder hen.
Alle nodige theorie. Snelle oplossingen, valkuilen en geheimen van het examen. Alle relevante taken van deel 1 van de Bank of FIPI taken zijn geanalyseerd. De cursus voldoet volledig aan de eisen van de USE-2018.
De cursus bevat 5 grote onderwerpen van elk 2,5 uur. Elk onderwerp wordt vanuit het niets, eenvoudig en duidelijk gegeven.
Honderden examentaken. Tekstproblemen en kansrekening. Eenvoudige en gemakkelijk te onthouden probleemoplossende algoritmen. Geometrie. Theorie, referentiemateriaal, analyse van alle soorten USE-taken. Stereometrie. Sluwe trucs om op te lossen, handige spiekbriefjes, ontwikkeling van ruimtelijke verbeeldingskracht. Trigonometrie vanaf nul - naar taak 13. Begrijpen in plaats van proppen. Visuele uitleg van complexe concepten. Algebra. Wortels, machten en logaritmen, functie en afgeleide. Basis voor het oplossen van complexe problemen van het 2e deel van het examen.
Verschillende prisma's verschillen van elkaar. Tegelijkertijd hebben ze veel gemeen. Om het gebied van de basis van een prisma te vinden, moet je uitzoeken hoe het eruit ziet.
Algemene theorie
Een prisma is een veelvlak waarvan de zijden de vorm hebben van een parallellogram. Bovendien kan elk veelvlak aan de basis liggen - van een driehoek tot een n-hoek. Bovendien zijn de basissen van het prisma altijd gelijk aan elkaar. Wat niet van toepassing is op de zijvlakken - ze kunnen aanzienlijk in grootte variëren.
Bij het oplossen van problemen wordt niet alleen het gebied van de basis van het prisma aangetroffen. Het kan nodig zijn om het laterale oppervlak te kennen, dat wil zeggen alle vlakken die geen bases zijn. Het volledige oppervlak zal al de vereniging zijn van alle vlakken waaruit het prisma bestaat.
Soms verschijnen hoogtes in taken. Het staat loodrecht op de bases. De diagonaal van een veelvlak is een segment dat in paren twee hoekpunten verbindt die niet tot hetzelfde vlak behoren.
Opgemerkt moet worden dat het oppervlak van de basis van een recht of hellend prisma niet afhangt van de hoek tussen hen en de zijvlakken. Als ze dezelfde figuren hebben in het boven- en ondervlak, dan zijn hun oppervlakten gelijk.
driehoekig Prisma
Het heeft aan de basis een figuur met drie hoekpunten, dat wil zeggen een driehoek. Het is bekend dat het anders is. Als het dan voldoende is om eraan te herinneren dat het gebied wordt bepaald door de helft van het product van de benen.
Wiskundige notatie ziet er als volgt uit: S = ½ av.
Om het gebied van de basis in een algemene vorm te achterhalen, zijn de formules handig: reiger en degene waarin de helft van de zijkant naar de hoogte wordt gebracht die ernaartoe wordt getrokken.
De eerste formule moet als volgt worden geschreven: S \u003d √ (p (p-a) (p-in) (p-s)). Dit item bevat een halve omtrek (p), dat wil zeggen de som van drie zijden gedeeld door twee.
Tweede: S = ½ n a * a.
Als je de oppervlakte van de basis van een driehoekig prisma wilt weten, die regelmatig is, dan blijkt de driehoek gelijkzijdig te zijn. Het heeft zijn eigen formule: S = ¼ a 2 * √3.
vierhoekig prisma
De basis is een van de bekende vierhoeken. Het kan een rechthoek of een vierkant zijn, een parallellepipedum of een ruit. In elk geval heeft u uw eigen formule nodig om de oppervlakte van de basis van het prisma te berekenen.
Als de basis een rechthoek is, wordt de oppervlakte als volgt bepaald: S = av, waarbij a, b de zijden van de rechthoek zijn.
Als het gaat om een vierhoekig prisma, wordt het basisoppervlak van een gewoon prisma berekend met behulp van de formule voor een vierkant. Want hij is het die aan de basis ligt. S \u003d een 2.
In het geval dat de basis een parallellepipedum is, is de volgende gelijkheid nodig: S \u003d a * n a. Het komt voor dat een zijde van een parallellepipedum en een van de hoeken worden gegeven. Om vervolgens de hoogte te berekenen, moet u een aanvullende formule gebruiken: na \u003d b * sin A. Bovendien grenst hoek A aan zijde "b", en de hoogte is n tegengesteld aan deze hoek.
Als een ruit aan de basis van het prisma ligt, is dezelfde formule nodig om de oppervlakte te bepalen als voor een parallellogram (aangezien dit een speciaal geval is). Maar je kunt ook deze gebruiken: S = ½ d 1 d 2. Hier zijn d 1 en d 2 twee diagonalen van de ruit.
Regelmatig vijfhoekig prisma
In dit geval wordt de veelhoek in driehoeken gesplitst, waarvan de oppervlakten gemakkelijker te achterhalen zijn. Hoewel het gebeurt dat de figuren een ander aantal hoekpunten kunnen hebben.
Aangezien de basis van het prisma een regelmatige vijfhoek is, kan het worden verdeeld in vijf gelijkzijdige driehoeken. Dan is de oppervlakte van de basis van het prisma gelijk aan de oppervlakte van zo'n driehoek (de formule is hierboven te zien), vermenigvuldigd met vijf.
Regelmatig zeshoekig prisma
Volgens het beschreven principe voor een vijfhoekig prisma is het mogelijk om de basiszeshoek in 6 gelijkzijdige driehoeken te verdelen. De formule voor de oppervlakte van de basis van zo'n prisma is vergelijkbaar met de vorige. Alleen daarin moet worden vermenigvuldigd met zes.
De formule ziet er als volgt uit: S = 3/2 en 2 * √3.
Taken
Nr. 1. Er wordt een regelmatige rechte lijn gegeven. De diagonaal is 22 cm, de hoogte van het veelvlak is 14 cm. Bereken de oppervlakte van de basis van het prisma en het gehele oppervlak.
Oplossing. De basis van een prisma is een vierkant, maar de zijde is niet bekend. Je kunt de waarde vinden van de diagonaal van het vierkant (x), die gerelateerd is aan de diagonaal van het prisma (d) en de hoogte (n). x 2 \u003d d 2 - n 2. Aan de andere kant is dit segment "x" de hypotenusa in een driehoek waarvan de benen gelijk zijn aan de zijkant van het vierkant. Dat wil zeggen, x 2 = een 2 + een 2. Het blijkt dus dat een 2 \u003d (d 2 - n 2) / 2.
Vervang het getal 22 in plaats van d en vervang "n" door zijn waarde - 14, het blijkt dat de zijkant van het vierkant 12 cm is.Nu is het gemakkelijk om het basisgebied te achterhalen: 12 * 12 \u003d 144 cm 2.
Om de oppervlakte van het hele oppervlak te bepalen, moet u tweemaal de waarde van de basisoppervlakte optellen en de zijde verviervoudigen. Dit laatste is gemakkelijk te vinden door de formule voor een rechthoek: vermenigvuldig de hoogte van het veelvlak en de zijkant van de basis. Dat wil zeggen, 14 en 12, dit aantal is gelijk aan 168 cm 2. Het totale oppervlak van het prisma blijkt 960 cm2 te zijn.
Antwoord. Het basisoppervlak van het prisma is 144 cm2. Het gehele oppervlak - 960 cm 2 .
nr. 2. Dana Aan de basis ligt een driehoek met een zijde van 6 cm.In dit geval is de diagonaal van het zijvlak 10 cm.Bereken de oppervlakten: de basis en het zijvlak.
Oplossing. Omdat het prisma regelmatig is, is de basis een gelijkzijdige driehoek. Daarom blijkt de oppervlakte gelijk te zijn aan 6 kwadraat maal ¼ en de vierkantswortel van 3. Een simpele rekensom leidt tot het resultaat: 9√3 cm 2. Dit is het gebied van één basis van het prisma.
Alle zijvlakken zijn hetzelfde en zijn rechthoeken met zijden van 6 en 10 cm.Om hun oppervlakte te berekenen, volstaat het om deze getallen te vermenigvuldigen. Vermenigvuldig ze dan met drie, want het prisma heeft precies zoveel zijvlakken. Vervolgens wordt het oppervlak van het zijoppervlak 180 cm 2 gewikkeld.
Antwoord. Gebieden: basis - 9√3 cm 2, zijoppervlak van het prisma - 180 cm 2.
Elke veelhoek kan aan de basis van het prisma liggen - een driehoek, een vierhoek, enz. Beide bases zijn exact hetzelfde, en dienovereenkomstig, waardoor de hoeken van evenwijdige vlakken met elkaar zijn verbonden, zijn ze altijd evenwijdig. Aan de basis van een regelmatig prisma ligt een regelmatige veelhoek, dat wil zeggen een waarin alle zijden gelijk zijn. In een recht prisma staan de randen tussen de zijvlakken loodrecht op de basis. In dit geval kan een veelhoek met een willekeurig aantal hoeken aan de basis van een recht prisma liggen. Een prisma waarvan de basis een parallellogram is, wordt een parallellepipedum genoemd. Een rechthoek is een speciaal geval van een parallellogram. Als deze figuur aan de basis ligt en de zijvlakken loodrecht op de basis staan, wordt het parallellepipedum rechthoekig genoemd. De tweede naam van dit geometrische lichaam is rechthoekig.