Zoek de formule voor de hoek tussen rechte lijnen. Hoek tussen twee rechte lijnen

A. Laten we twee rechte lijnen geven: deze rechte lijnen vormen, zoals aangegeven in hoofdstuk 1, verschillende positieve en negatieve hoeken, die scherp of stomp kunnen zijn. Als we een van deze hoeken kennen, kunnen we gemakkelijk een andere vinden.

Overigens is voor al deze hoeken de numerieke waarde van de raaklijn hetzelfde, het verschil kan alleen in het teken zitten

Vergelijkingen van lijnen. De getallen zijn de projecties van de richtingsvectoren van de eerste en tweede rechte lijn, waarbij de hoek tussen deze vectoren gelijk is aan één van de hoeken gevormd door rechte lijnen. Daarom komt het probleem neer op het bepalen van de hoek tussen de vectoren

Voor de eenvoud kunnen we het erover eens zijn dat de hoek tussen twee rechte lijnen een scherpe positieve hoek is (zoals bijvoorbeeld in figuur 53).

Dan zal de raaklijn van deze hoek altijd positief zijn. Als er dus een minteken aan de rechterkant van formule (1) staat, moeten we dit weggooien, d.w.z. alleen de absolute waarde opslaan.

Voorbeeld. Bepaal de hoek tussen rechte lijnen

Volgens formule (1) hebben we dat

Met. Als wordt aangegeven welke van de zijden van de hoek het begin en welke het einde is, kunnen we, altijd tegen de klok in tellend, nog iets extraheren uit formule (1). Zoals gemakkelijk te zien is uit Fig. 53 zal het teken verkregen aan de rechterkant van formule (1) aangeven welke hoek - scherp of stomp - de tweede rechte lijn vormt met de eerste.

(In figuur 53 zien we inderdaad dat de hoek tussen de eerste en de tweede richtingsvector gelijk is aan de gewenste hoek tussen de rechte lijnen, of daar ±180° van verschilt.)

D. Als de lijnen evenwijdig zijn, dan zijn hun richtingsvectoren evenwijdig. Als we de voorwaarde van evenwijdigheid van twee vectoren toepassen, krijgen we dat!

Dit is een noodzakelijke en voldoende voorwaarde voor de parallelliteit van twee lijnen.

Voorbeeld. Direct

zijn parallel omdat

e. Als de lijnen loodrecht staan, zijn hun richtingsvectoren ook loodrecht. Door de voorwaarde van loodrechtheid van twee vectoren toe te passen, verkrijgen we de voorwaarde van loodrechtheid van twee rechte lijnen, namelijk

Voorbeeld. Direct

staan ​​loodrecht vanwege het feit dat

In verband met de voorwaarden van parallellisme en loodrechtheid zullen we de volgende twee problemen oplossen.

F. Trek een lijn door een punt evenwijdig aan de gegeven lijn

De oplossing wordt als volgt uitgevoerd. Omdat de gewenste lijn evenwijdig is aan deze, kunnen we voor de richtingsvector dezelfde nemen als die van de gegeven lijn, dat wil zeggen een vector met projecties A en B. En dan wordt de vergelijking van de gewenste lijn geschreven in het formulier (§ 1)

Voorbeeld. Vergelijking van een lijn die door het punt (1; 3) loopt, evenwijdig aan de lijn

er komt een volgende!

G. Trek een lijn door een punt loodrecht op de gegeven lijn

Hier is het niet langer geschikt om de vector met projecties A en als leidende vector te nemen, maar is het noodzakelijk om de vector loodrecht daarop te nemen. De projecties van deze vector moeten daarom worden gekozen op basis van de voorwaarde van loodrechtheid van beide vectoren, d.w.z. op basis van de voorwaarde

Aan deze voorwaarde kan op talloze manieren worden voldaan, aangezien hier één vergelijking met twee onbekenden is. Maar de eenvoudigste manier is om of te nemen. Vervolgens wordt de vergelijking van de gewenste lijn in de vorm geschreven

Voorbeeld. Vergelijking van een lijn die door het punt (-7; 2) in een loodrechte lijn gaat

er zal het volgende zijn (volgens de tweede formule)!

H. In het geval dat de lijnen worden gegeven door vergelijkingen van de vorm

Instructies

opmerking

De periode van de trigonometrische tangensfunctie is gelijk aan 180 graden, wat betekent dat de hellingshoeken van rechte lijnen in absolute waarde deze waarde niet kunnen overschrijden.

Behulpzaam advies

Als de hoekcoëfficiënten gelijk zijn aan elkaar, dan is de hoek tussen dergelijke lijnen 0, aangezien dergelijke lijnen samenvallen of evenwijdig zijn.

Om de waarde van de hoek tussen elkaar snijdende lijnen te bepalen, is het noodzakelijk om beide lijnen (of een ervan) naar een nieuwe positie te verplaatsen met behulp van de parallelle translatiemethode totdat ze elkaar kruisen. Hierna zou u de hoek tussen de resulterende kruisende lijnen moeten vinden.

Je zal nodig hebben

• Liniaal, rechthoekige driehoek, potlood, gradenboog.

Instructies

Laten we dus de vector V = (a, b, c) en het vlak A x + B y + C z = 0 geven, waarbij A, B en C de coördinaten zijn van de normaal N. Dan de cosinus van de hoek α tussen de vectoren V en N is gelijk aan: cos α = (a A + b B + c C)/(√(a² + b² + c²) √(A² + B² + C²)).

Om de hoek in graden of radialen te berekenen, moet u de inverse naar cosinusfunctie berekenen op basis van de resulterende uitdrukking, d.w.z. arccosinus:α = аrsсos ((a A + b B + c C)/(√(a² + b² + c²) √(A² + B² + C²))).

Voorbeeld: vinden hoek tussen vector(5, -3, 8) en vliegtuig, gegeven door de algemene vergelijking 2 x – 5 y + 3 z = 0. Oplossing: noteer de coördinaten van de normaalvector van het vlak N = (2, -5, 3). Vervang alle bekende waarden in de gegeven formule: cos α = (10 + 15 + 24)/√3724 ≈ 0,8 → α = 36,87°.

Video over het onderwerp

Een rechte lijn die één gemeenschappelijk punt heeft met een cirkel, raakt de cirkel. Een ander kenmerk van de raaklijn is dat deze altijd loodrecht staat op de straal die naar het contactpunt wordt getrokken, dat wil zeggen dat de raaklijn en de straal een rechte lijn vormen. hoek. Als twee raaklijnen aan een cirkel AB en AC vanuit één punt A worden getrokken, dan zijn ze altijd gelijk aan elkaar. De hoek tussen raaklijnen bepalen ( hoek ABC) wordt gemaakt met behulp van de stelling van Pythagoras.

Instructies

Om de hoek te bepalen, moet je de straal van de cirkel OB en OS kennen en de afstand van het startpunt van de raaklijn vanaf het middelpunt van de cirkel - O. Dus de hoeken ABO en ACO zijn gelijk, de straal OB is, bijvoorbeeld 10 cm, en de afstand tot het middelpunt van de cirkel AO is 15 cm Bepaal de lengte van de raaklijn met behulp van de formule volgens de stelling van Pythagoras: AB = vierkantswortel van AO2 – OB2 of 152 - 102 = 225 – 100 = 125;

Ik zal het kort houden. De hoek tussen twee rechte lijnen is gelijk aan de hoek tussen hun richtingsvectoren. Dus als het je lukt om de coördinaten van de richtingsvectoren a = (x 1; y 1; z 1) en b = (x 2; y 2 ​​​​; z 2) te vinden, dan kun je de hoek vinden. Nauwkeuriger gezegd, de cosinus van de hoek volgens de formule:

Laten we eens kijken hoe deze formule werkt aan de hand van specifieke voorbeelden:

Taak. In de kubus ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 zijn de punten E en F gemarkeerd - respectievelijk de middelpunten van de randen A 1 B 1 en B 1 C 1. Bereken de hoek tussen de lijnen AE en BF.

Omdat de rand van de kubus niet gespecificeerd is, stellen we AB = 1 in. We introduceren een standaard coördinatensysteem: de oorsprong ligt in punt A, de x-, y- en z-assen zijn respectievelijk gericht langs AB, AD en AA 1. Het eenheidssegment is gelijk aan AB = 1. Laten we nu de coördinaten van de richtingsvectoren voor onze lijnen vinden.

Laten we de coördinaten van vector AE vinden. Hiervoor hebben we de punten A = (0; 0; 0) en E = (0,5; 0; 1) nodig. Omdat punt E het midden is van het segment A 1 B 1, zijn de coördinaten ervan gelijk aan het rekenkundig gemiddelde van de coördinaten van de uiteinden. Merk op dat de oorsprong van de vector AE samenvalt met de oorsprong van de coördinaten, dus AE = (0,5; 0; 1).

Laten we nu naar de BF-vector kijken. Op dezelfde manier analyseren we de punten B = (1; 0; 0) en F = (1; 0,5; 1), omdat F is het midden van het segment B 1 C 1. We hebben:
BF = (1 − 1; 0,5 − 0; 1 − 0) = (0; 0,5; 1).

De richtingsvectoren zijn dus klaar. De cosinus van de hoek tussen rechte lijnen is de cosinus van de hoek tussen de richtingsvectoren, dus we hebben:

Taak. In een regulier driehoekig prisma ABCA 1 B 1 C 1, waarvan alle randen gelijk zijn aan 1, zijn de punten D en E gemarkeerd - respectievelijk de middelpunten van de randen A 1 B 1 en B 1 C 1. Bereken de hoek tussen de lijnen AD en BE.

Laten we een standaard coördinatensysteem introduceren: de oorsprong ligt op punt A, de x-as is gericht langs AB, z - langs AA 1. Laten we de y-as zo richten dat het OXY-vlak samenvalt met het ABC-vlak. Het eenheidssegment is gelijk aan AB = 1. Laten we de coördinaten van de richtingsvectoren voor de vereiste lijnen vinden.

Laten we eerst de coördinaten van de vector AD vinden. Beschouw de punten: A = (0; 0; 0) en D = (0,5; 0; 1), omdat D - het midden van het segment A 1 B 1. Omdat het begin van de vector AD samenvalt met de oorsprong van de coördinaten, verkrijgen we AD = (0,5; 0; 1).

Laten we nu de coördinaten van vector BE vinden. Punt B = (1; 0; 0) is eenvoudig te berekenen. Bij punt E – het midden van het segment C 1 B 1 – ligt het iets ingewikkelder. We hebben:

Rest ons nog de cosinus van de hoek te vinden:

Taak. In een regelmatig zeshoekig prisma ABCDEFA 1 B 1 C 1 D 1 E 1 F 1 , waarvan alle randen gelijk zijn aan 1, zijn de punten K en L gemarkeerd - respectievelijk de middelpunten van de randen A 1 B 1 en B 1 C 1 . Bereken de hoek tussen de lijnen AK en BL.

Laten we een standaard coördinatensysteem voor een prisma introduceren: we plaatsen de oorsprong van de coördinaten in het midden van de onderste basis, de x-as is gericht langs FC, de y-as is gericht door de middelpunten van segmenten AB en DE, en de z as verticaal naar boven gericht. Het eenheidssegment is opnieuw gelijk aan AB = 1. Laten we de coördinaten van de voor ons interessante punten opschrijven:

De punten K en L zijn respectievelijk de middelpunten van de segmenten A 1 B 1 en B 1 C 1, dus hun coördinaten worden gevonden via het rekenkundig gemiddelde. Als we de punten kennen, vinden we de coördinaten van de richtingsvectoren AK en BL:

Laten we nu de cosinus van de hoek vinden:

Taak. In een regelmatige vierhoekige piramide SABCD, waarvan alle randen gelijk zijn aan 1, zijn de punten E en F gemarkeerd - respectievelijk de middelpunten van de zijden SB en SC. Bereken de hoek tussen de lijnen AE en BF.

Laten we een standaard coördinatensysteem introduceren: de oorsprong ligt op punt A, de x- en y-assen zijn respectievelijk langs AB en AD gericht, en de z-as is verticaal naar boven gericht. Het eenheidssegment is gelijk aan AB = 1.

De punten E en F zijn respectievelijk de middelpunten van de segmenten SB en SC, dus hun coördinaten worden gevonden als het rekenkundig gemiddelde van de uiteinden. Laten we de coördinaten van de voor ons interessante punten opschrijven:
EEN = (0; 0; 0); B = (1; 0; 0)

Als we de punten kennen, vinden we de coördinaten van de richtingsvectoren AE en BF:

De coördinaten van vector AE vallen samen met de coördinaten van punt E, aangezien punt A de oorsprong is. Rest ons nog de cosinus van de hoek te vinden:

Definitie. Als twee lijnen gegeven zijn y = k 1 x + b 1, y = k 2 x + b 2, dan wordt de scherpe hoek tussen deze lijnen gedefinieerd als

Twee lijnen zijn evenwijdig als k 1 = k 2. Twee lijnen staan ​​loodrecht als k 1 = -1/ k 2.

Stelling. De lijnen Ax + Bу + C = 0 en A 1 x + B 1 y + C 1 = 0 zijn evenwijdig als de coëfficiënten A 1 = λA, B 1 = λB proportioneel zijn. Als ook C 1 = λC, dan vallen de lijnen samen. De coördinaten van het snijpunt van twee lijnen worden gevonden als een oplossing voor het stelsel vergelijkingen van deze lijnen.

Vergelijking van een lijn die door een bepaald punt gaat

Loodrecht op een gegeven lijn

Definitie. Een rechte lijn die door het punt M 1 (x 1, y 1) gaat en loodrecht op de rechte lijn y = kx + b staat, wordt weergegeven door de vergelijking:

Afstand van punt tot lijn

Stelling. Als een punt M(x 0, y 0) gegeven is, dan wordt de afstand tot de lijn Ax + Bу + C = 0 bepaald als

.

Bewijs. Laat punt M 1 (x 1, y 1) de basis zijn van de loodlijn die valt van punt M naar een gegeven rechte lijn. Dan is de afstand tussen de punten M en M 1:

(1)

De coördinaten x 1 en y 1 kunnen worden gevonden door het stelsel vergelijkingen op te lossen:

De tweede vergelijking van het systeem is de vergelijking van een lijn die door een gegeven punt Mo loodrecht op een gegeven lijn gaat. Als we de eerste vergelijking van het systeem transformeren naar de vorm:

A(x – x 0) + B(y – y 0) + Ax 0 + Door 0 + C = 0,

dan, oplossend, krijgen we:

Als we deze uitdrukkingen in vergelijking (1) vervangen, vinden we:

De stelling is bewezen.

Voorbeeld. Bepaal de hoek tussen de lijnen: y = -3 x + 7; y = 2 x + 1.

k1 = -3; k2 = 2; tgφ = ; φ=p/4.

Voorbeeld. Laat zien dat de lijnen 3x – 5y + 7 = 0 en 10x + 6y – 3 = 0 loodrecht staan.

Oplossing. We vinden: k 1 = 3/5, k 2 = -5/3, k 1* k 2 = -1, dus de lijnen staan ​​loodrecht.

Voorbeeld. Gegeven zijn de hoekpunten van de driehoek A(0; 1), B (6; 5), C (12; -1). Zoek de vergelijking van de hoogte getrokken vanaf hoekpunt C.

Oplossing. We vinden de vergelijking van zijde AB: ; 4 x = 6 j – 6;

2 x – 3 j + 3 = 0;

De vereiste hoogtevergelijking heeft de vorm: Ax + By + C = 0 of y = kx + b. k = . Dan y = . Omdat de hoogte gaat door punt C, dan voldoen de coördinaten ervan aan deze vergelijking: vanaf waar b = 17. Totaal: .

Antwoord: 3 x + 2 y – 34 = 0.

De vergelijking van een lijn die door een bepaald punt in een bepaalde richting gaat. Vergelijking van een lijn die door twee gegeven punten gaat. De hoek tussen twee rechte lijnen. De toestand van evenwijdigheid en loodrechtheid van twee rechte lijnen. Het snijpunt van twee lijnen bepalen

1. Vergelijking van een lijn die door een bepaald punt gaat A(X 1 , j 1) in een bepaalde richting, bepaald door de helling k,

j - j 1 = k(X - X 1). (1)

Deze vergelijking definieert een potlood van lijnen die door een punt gaan A(X 1 , j 1), dat het straalcentrum wordt genoemd.

2. Vergelijking van een lijn die door twee punten gaat: A(X 1 , j 1) en B(X 2 , j 2), zo geschreven:

De hoekcoëfficiënt van een rechte lijn die door twee gegeven punten gaat, wordt bepaald door de formule

3. Hoek tussen rechte lijnen A En B is de hoek waarover de eerste rechte lijn moet worden geroteerd A rond het snijpunt van deze lijnen tegen de klok in totdat dit samenvalt met de tweede lijn B. Als twee rechte lijnen worden gegeven door vergelijkingen met een helling

j = k 1 X + B 1 ,

j = k 2 X + B 2 , (4)

dan wordt de hoek ertussen bepaald door de formule

Opgemerkt moet worden dat in de teller van de breuk de helling van de eerste lijn wordt afgetrokken van de helling van de tweede lijn.

Als de vergelijkingen van een lijn in algemene vorm worden gegeven

A 1 X + B 1 j + C 1 = 0,

A 2 X + B 2 j + C 2 = 0, (6)

de hoek daartussen wordt bepaald door de formule

4. Voorwaarden voor parallelliteit van twee lijnen:

a) Als de lijnen worden gegeven door vergelijkingen (4) met een hoekcoëfficiënt, dan is de noodzakelijke en voldoende voorwaarde voor hun parallelliteit de gelijkheid van hun hoekcoëfficiënten:

k 1 = k 2 . (8)

b) Voor het geval dat de lijnen worden gegeven door vergelijkingen in algemene vorm (6), is een noodzakelijke en voldoende voorwaarde voor hun parallelliteit dat de coëfficiënten voor de overeenkomstige huidige coördinaten in hun vergelijkingen proportioneel zijn, d.w.z.

5. Voorwaarden voor loodrechtheid van twee rechte lijnen:

a) In het geval dat de lijnen worden gegeven door vergelijkingen (4) met een hoekcoëfficiënt, is een noodzakelijke en voldoende voorwaarde voor hun loodrechtheid dat hun hoekcoëfficiënten omgekeerd in grootte en tegengesteld van teken zijn, d.w.z.

Deze voorwaarde kan ook in het formulier worden geschreven

k 1 k 2 = -1. (11)

b) Als de vergelijkingen van lijnen in algemene vorm (6) worden gegeven, dan is de voorwaarde voor hun loodrechtheid (noodzakelijk en voldoende) het voldoen aan de gelijkheid

A 1 A 2 + B 1 B 2 = 0. (12)

6. De coördinaten van het snijpunt van twee lijnen worden gevonden door het stelsel vergelijkingen (6) op te lossen. Lijnen (6) snijden elkaar dan en slechts dan als

1. Schrijf de vergelijkingen van de lijnen die door het punt M gaan, waarvan er één evenwijdig is en de andere loodrecht op de gegeven lijn l.

Hoek tussen rechte lijnen in de ruimte noemen we elk van de aangrenzende hoeken gevormd door twee rechte lijnen getrokken door een willekeurig punt evenwijdig aan de gegevens.

Laten we twee regels in de ruimte geven:

Uiteraard kan de hoek φ tussen rechte lijnen worden genomen als de hoek tussen hun richtingsvectoren en . Sinds , krijgen we dan de formule voor de cosinus van de hoek tussen vectoren

De voorwaarden van parallellisme en loodrechtheid van twee rechte lijnen zijn gelijkwaardig aan de voorwaarden van parallellisme en loodrechtheid van hun richtingsvectoren en:

Twee recht parallel dan en slechts dan als hun overeenkomstige coëfficiënten proportioneel zijn, d.w.z. l 1 parallel l 2 dan en slechts dan als parallel .

Twee recht loodrecht dan en slechts dan als de som van de producten van de overeenkomstige coëfficiënten gelijk is aan nul: .

U doel tussen lijn en vlak

Laat het recht zijn D- niet loodrecht op het θ-vlak;
D′− projectie van een lijn D naar het θ-vlak;
De kleinste hoek tussen rechte lijnen D En D'zullen we bellen hoek tussen een rechte lijn en een vlak.
Laten we het aanduiden als φ=( D,θ)
Als D⊥θ, dan ( D,θ)=π/2

Oi→J→k→− rechthoekig coördinatensysteem.
Vliegtuigvergelijking:

θ: Bijl+Door+Cz+D=0

We nemen aan dat de rechte lijn wordt gedefinieerd door een punt en een richtingsvector: D[M 0,P→]
Vector N→(A,B,C)⊥θ
Dan rest het nog om de hoek tussen de vectoren te achterhalen N→ en P→, laten we het aanduiden als γ=( N→,P→).

Als de hoek γ<π/2 , то искомый угол φ=π/2−γ .

Als de hoek γ>π/2 is, dan is de gewenste hoek φ=γ−π/2

sinφ=sin(2π−γ)=cosγ

sinφ=sin(γ−2π)=−cosγ

Dan, hoek tussen rechte lijn en vlak kan worden berekend met de formule:

sinφ=∣cosγ∣=∣ ∣ Ap 1+Bp 2+CP 3∣ ∣ √A 2+B 2+C 2√P 21+P 22+P 23

Vraag 29. Het concept van kwadratische vorm. Teken de definitiefheid van kwadratische vormen.

Kwadratische vorm j (x 1, x 2, …, x n) n reële variabelen x 1, x 2, …, x n wordt een som van de vorm genoemd
, (1)

Waar een IJ – sommige getallen die coëfficiënten worden genoemd. Zonder verlies van algemeenheid kunnen we dat aannemen een IJ = een ji.

De kwadratische vorm wordt genoemd geldig, Als een IJ Î GR. Matrix van kwadratische vorm wordt een matrix genoemd die bestaat uit zijn coëfficiënten. De kwadratische vorm (1) komt overeen met de enige symmetrische matrix
Dat is EEN T = EEN. Bijgevolg kan kwadratische vorm (1) worden geschreven in matrixvorm j ( X) = x T Ah, Waar x T = (X 1 X 2 … x n). (2)

En omgekeerd komt elke symmetrische matrix (2) overeen met een unieke kwadratische vorm, tot aan de notatie van variabelen toe.

Rang van kwadratische vorm wordt de rangorde van zijn matrix genoemd. De kwadratische vorm wordt genoemd niet-gedegenereerd, als de matrix niet-singulier is A. (Bedenk dat de matrix A wordt niet-gedegenereerd genoemd als de determinant niet gelijk is aan nul). Anders is de kwadratische vorm gedegenereerd.

positief gedefineerd(of strikt positief) als

J ( X) > 0 , voor iedereen X = (X 1 , X 2 , …, x n), behalve X = (0, 0, …, 0).

Matrix A positieve definitieve kwadratische vorm j ( X) wordt ook wel positief definitief genoemd. Daarom komt een positief bepaalde kwadratische vorm overeen met een unieke positief bepaalde matrix en omgekeerd.

De kwadratische vorm (1) wordt genoemd negatief gedefinieerd(of strikt negatief) als

J ( X) < 0, для любого X = (X 1 , X 2 , …, x n), behalve X = (0, 0, …, 0).

Op dezelfde manier als hierboven wordt een matrix met een negatief bepaalde kwadratische vorm ook wel negatief definitief genoemd.

Bijgevolg is de positieve (negatieve) definitieve kwadratische vorm j ( X) bereikt de minimale (maximale) waarde j ( X*) = 0 bij X* = (0, 0, …, 0).

Merk op dat de meeste kwadratische vormen niet tekendefinitief zijn, dat wil zeggen dat ze noch positief noch negatief zijn. Dergelijke kwadratische vormen verdwijnen niet alleen aan de oorsprong van het coördinatensysteem, maar ook op andere punten.

Wanneer N> 2 zijn er speciale criteria vereist om het teken van een kwadratische vorm te controleren. Laten we ze eens bekijken.

Grote minderjarigen kwadratische vorm worden minors genoemd:

dat wil zeggen, dit zijn minderjarigen in de orde van 1, 2, ..., N matrices A, gelegen in de linkerbovenhoek, valt de laatste samen met de determinant van de matrix A.

Positief definitiefheidscriterium (Sylvester-criterium)

X) = x T Ah positief definitief was, is het noodzakelijk en voldoende dat alle grote minoren van de matrix zijn A waren positief, dat wil zeggen: M 1 > 0, M 2 > 0, …, Mn > 0. Negatief zekerheidscriterium Om de kwadratische vorm j ( X) = x T Ah negatief definitief was, is het noodzakelijk en voldoende dat de belangrijkste minderjarigen van even orde positief zijn, en van oneven orde - negatief, dat wil zeggen: M 1 < 0, M 2 > 0, M 3 < 0, …, (–1)N