Zoek de vergelijking van de lijn. Algemene vergelijking van een rechte lijn in een vlak

Algemene vergelijking van een rechte lijn:

Speciale gevallen van de algemene vergelijking van een rechte lijn:

en als C= 0, zal vergelijking (2) de vorm hebben

Bijl + Door = 0,

en de rechte lijn gedefinieerd door deze vergelijking gaat door de oorsprong, aangezien de coördinaten van de oorsprong dat zijn X = 0, j= 0 voldoen aan deze vergelijking.

b) Als in de algemene vergelijking van de rechte lijn (2) B= 0, dan heeft de vergelijking de vorm

Bijl + MET= 0, of .

De vergelijking bevat geen variabele j, en de rechte lijn gedefinieerd door deze vergelijking is evenwijdig aan de as Oei.

c) Als in de algemene vergelijking van de rechte lijn (2) A= 0, dan zal deze vergelijking de vorm aannemen

Door + MET= 0, of ;

de vergelijking bevat geen variabele X, en de rechte lijn die het definieert, is evenwijdig aan de as Os.

Er moet aan worden herinnerd: als een rechte lijn evenwijdig is aan een bepaalde coördinatenas, dan is er in de vergelijking geen term die een coördinaat bevat met dezelfde naam als deze as.

d) Wanneer C= 0 en A= 0 vergelijking (2) heeft de vorm Door= 0, of j = 0.

Dit is de vergelijking van de as Os.

d) Wanneer C= 0 en B= 0 vergelijking (2) wordt in de vorm geschreven Bijl= 0 of X = 0.

Dit is de vergelijking van de as Oei.

De relatieve positie van lijnen in een vlak. De hoek tussen rechte lijnen in een vlak. Voorwaarde voor parallelle lijnen. De voorwaarde van loodrechtheid van lijnen.

l 1 l 2 l 1: A 1 x + B 1 y + C 1 = 0
l 2: A 2 x + B 2 y + C 2 = 0

S 2 S 1 De vectoren S 1 en S 2 worden voor hun lijnen hulplijnen genoemd.

De hoek tussen rechte lijnen l 1 en l 2 wordt bepaald door de hoek tussen de richtingsvectoren.
Stelling 1: cos van de hoek tussen l 1 en l 2 = cos(l 1 ; l 2) =

Stelling 2: Om 2 lijnen gelijk te maken is het noodzakelijk en voldoende:

Stelling 3: Om twee rechte lijnen loodrecht te laten staan, is het noodzakelijk en voldoende:

L 1 l 2 ó A 1 A 2 + B 1 B 2 = 0

Algemene vlakvergelijking en zijn speciale gevallen. Vergelijking van een vlak in segmenten.

Algemene vlakvergelijking:

Bijl + Door + Cz + D = 0

Speciale gevallen:

1. D=0 Ax+By+Cz = 0 – het vlak gaat door de oorsprong

2. С=0 Ax+By+D = 0 – vlak || OZ

3. B=0 Ax+Cz+d = 0 – vlak || OJ

4. A=0 Door+Cz+D = 0 – vlak || OS

5. A=0 en D=0 By+Cz = 0 – het vlak gaat door OX

6. B=0 en D=0 Ax+Cz = 0 – het vlak gaat door OY

7. C=0 en D=0 Ax+By = 0 – het vlak gaat door OZ

De relatieve positie van vlakken en rechte lijnen in de ruimte:

1. De hoek tussen rechte lijnen in de ruimte is de hoek tussen hun richtingsvectoren.

Cos (l 1 ; l 2) = cos(S 1 ; S 2) = =

2. De hoek tussen de vlakken wordt bepaald door de hoek tussen hun normaalvectoren.

Cos (l 1 ; l 2) = cos(N 1 ; N 2) = =

3. De cosinus van de hoek tussen de lijn en het vlak kan worden gevonden door de zonde van de hoek tussen de richtingsvector van de lijn en de normaalvector van het vlak.

4. 2 rechte || in de ruimte wanneer hun || vectorgidsen

5. 2 vliegtuigen || wanneer || normale vectoren

6. De concepten van loodrechtheid van lijnen en vlakken worden op soortgelijke wijze geïntroduceerd.

Vraag nr. 14

Verschillende soorten vergelijkingen van een rechte lijn op een vlak (vergelijking van een rechte lijn in segmenten, met een hoekcoëfficiënt, enz.)

Vergelijking van een rechte lijn in segmenten:
Laten we aannemen dat in de algemene vergelijking van de rechte lijn:

1. C = 0 Ах + Ву = 0 – de rechte lijn gaat door de oorsprong.

2. a = 0 Vu + C = 0 y =

3. b = 0 Bijl + C = 0 x =

4. b=C=0 Ax = 0 x = 0

5. a=C=0 Ву = 0 у = 0

Vergelijking van een rechte lijn met een helling:

Elke rechte lijn die niet gelijk is aan de op-amp-as (B niet = 0) kan op de volgende regel worden opgeschreven. formulier:

k = tanα α – hoek tussen rechte lijn en positief gerichte lijn OX

b – snijpunt van de rechte lijn met de as van de op-amp

Document:

Bijl+Door+C = 0

Wu= -Ah-S |:B

Vergelijking van een rechte lijn op basis van twee punten:

Vraag nr. 16

Eindige limiet van een functie in een punt en voor x →∞

Eindlimiet op x0:

Het getal A wordt de limiet van de functie y = f(x) voor x → x 0 genoemd als er voor elke E > 0 b > 0 bestaat zodat voor x ≠x 0 voldoet aan de ongelijkheid |x – x 0 |< б, выполняется условие |f(x) - A| < Е

De limiet wordt aangegeven door: = A

Eindlimiet op punt +∞:

Het getal A wordt de limiet van de functie y = f(x) bij x genoemd → + ∞ , als er voor elke E > 0 C > 0 bestaat, zodat voor x > C de ongelijkheid |f(x) - A|< Е

De limiet wordt aangegeven door: = A

Eindlimiet op punt -∞:

Het getal A wordt de limiet van de functie y = f(x) genoemd x →-∞, als er een E< 0 существует С < 0 такое, что при х < -С выполняется неравенство |f(x) - A| < Е

In dit artikel zullen we de algemene vergelijking van een rechte lijn in een vlak bekijken. Laten we voorbeelden geven van het construeren van een algemene vergelijking van een lijn als twee punten van deze lijn bekend zijn of als één punt en de normaalvector van deze lijn bekend zijn. Laten we methoden presenteren voor het transformeren van een vergelijking in algemene vorm in canonieke en parametrische vormen.

Laat een willekeurig Cartesisch rechthoekig coördinatensysteem gegeven worden Oxy. Beschouw een eerstegraads- of lineaire vergelijking:

Waar A, B, C− enkele constanten, en ten minste één van de elementen A En B verschillend van nul.

We zullen laten zien dat een lineaire vergelijking op een vlak een rechte lijn definieert. Laten we de volgende stelling bewijzen.

Stelling 1. In een willekeurig Cartesiaans rechthoekig coördinatensysteem op een vlak kan elke rechte lijn worden gespecificeerd door een lineaire vergelijking. Omgekeerd definieert elke lineaire vergelijking (1) in een willekeurig Cartesisch rechthoekig coördinatensysteem op een vlak een rechte lijn.

Bewijs. Het is voldoende om te bewijzen dat de rechte lijn L wordt bepaald door een lineaire vergelijking voor elk Cartesiaans rechthoekig coördinatensysteem, aangezien het dan zal worden bepaald door een lineaire vergelijking voor elke keuze van een Cartesisch rechthoekig coördinatensysteem.

Laat een rechte lijn in het vlak worden gegeven L. Laten we een coördinatensysteem kiezen zodat de as Os viel samen met een rechte lijn L en de as Oei stond er loodrecht op. Dan de vergelijking van de lijn L zal de volgende vorm aannemen:

Alle punten op een lijn L voldoen aan lineaire vergelijking (2), en alle punten buiten deze lijn voldoen niet aan vergelijking (2). Het eerste deel van de stelling is bewezen.

Laat een Cartesisch rechthoekig coördinatensysteem gegeven worden en laat een lineaire vergelijking (1) gegeven worden, waarbij ten minste één van de elementen A En B verschillend van nul. Laten we de geometrische meetkundige plaats vinden van punten waarvan de coördinaten voldoen aan vergelijking (1). Sinds ten minste één van de coëfficiënten A En B verschillend is van nul, dan heeft vergelijking (1) minstens één oplossing M(X 0 ,j 0). (Bijvoorbeeld wanneer A≠0, punt M 0 (−C/A, 0) behoort tot de gegeven geometrische puntenverzameling). Door deze coördinaten te vervangen door (1) verkrijgen we de identiteit

Laten we identiteit (3) aftrekken van (1):

Het is duidelijk dat vergelijking (4) equivalent is aan vergelijking (1). Daarom is het voldoende om te bewijzen dat (4) een bepaalde lijn definieert.

Omdat we een cartesiaans rechthoekig coördinatensysteem overwegen, volgt uit gelijkheid (4) dat de vector met componenten ( x−x 0 , y−y 0 ) orthogonaal op de vector N met coördinaten ( A, B}.

Laten we eens een rechte lijn bekijken L, die door het punt gaat M 0 (X 0 , j 0) en loodrecht op de vector N(Figuur 1). Laat het punt M(X,y) behoort tot de lijn L. Dan de vector met coördinaten x−x 0 , y−y 0 loodrecht N en aan vergelijking (4) is voldaan (scalair product van vectoren N en gelijk aan nul). Omgekeerd, als punt M(X,y) ligt niet op een lijn L, dan de vector met coördinaten x−x 0 , y−y 0 is niet orthogonaal op de vector N en aan vergelijking (4) wordt niet voldaan. De stelling is bewezen.

Bewijs. Omdat de lijnen (5) en (6) dezelfde lijn definiëren, zijn dit de normaalvectoren N 1 ={A 1 ,B 1) en N 2 ={A 2 ,B 2) collineair. Sinds vectoren N 1 ≠0, N 2 ≠0, dan is er zo’n getal λ , Wat N 2 =N 1 λ . Vanaf hier hebben we: A 2 =A 1 λ , B 2 =B 1 λ . Laten we dat bewijzen C 2 =C 1 λ . Het is duidelijk dat samenvallende lijnen een gemeenschappelijk punt hebben M 0 (X 0 , j 0). Vermenigvuldiging van vergelijking (5) met λ en als we vergelijking (6) ervan aftrekken, krijgen we:

Omdat dus aan de eerste twee gelijkheden uit uitdrukkingen (7) is voldaan C 1 λ −C 2 =0. Die. C 2 =C 1 λ . De opmerking is bewezen.

Merk op dat vergelijking (4) de vergelijking definieert van de rechte lijn die door het punt gaat M 0 (X 0 , j 0) en een normaalvector hebben N={A, B). Als de normaalvector van een lijn en het punt dat bij deze lijn hoort bekend zijn, kan de algemene vergelijking van de lijn worden geconstrueerd met behulp van vergelijking (4).

Voorbeeld 1. Een rechte lijn gaat door een punt M=(4,−1) en heeft een normaalvector N=(3, 5). Construeer de algemene vergelijking van een lijn.

Oplossing. We hebben: X 0 =4, j 0 =−1, A=3, B=5. Om de algemene vergelijking van een rechte lijn te construeren, vervangen we deze waarden in vergelijking (4):

Antwoord:

De vector is evenwijdig aan de lijn L en daarom loodrecht op de normaalvector van de lijn L. Laten we een normale lijnvector construeren L, rekening houdend met het scalaire product van vectoren N en gelijk aan nul. We kunnen bijvoorbeeld schrijven N={1,−3}.

Om de algemene vergelijking van een rechte lijn te construeren, gebruiken we formule (4). Laten we de coördinaten van het punt vervangen door (4) M 1 (we kunnen ook de coördinaten van het punt nemen M 2) en normaalvector N:

Vervanging van de coördinaten van de punten M 1 en M 2 in (9) kunnen we ervoor zorgen dat de rechte lijn gegeven door vergelijking (9) door deze punten gaat.

Antwoord:

Trek (10) af van (1):

We hebben de canonieke vergelijking van de lijn verkregen. Vector Q={−B, A) is de richtingsvector van lijn (12).

Zie omgekeerde conversie.

Voorbeeld 3. Een rechte lijn in een vlak wordt weergegeven door de volgende algemene vergelijking:

Laten we de tweede term naar rechts verplaatsen en beide zijden van de vergelijking delen door 2,5.

Les uit de serie “Geometrische algoritmen”

Hallo lieve lezer!

Vandaag beginnen we met het leren van algoritmen die verband houden met geometrie. Feit is dat er in de informatica nogal wat Olympiade-problemen zijn die verband houden met computationele meetkunde, en het oplossen van dergelijke problemen veroorzaakt vaak problemen.

In de loop van verschillende lessen zullen we een aantal elementaire deeltaken beschouwen waarop de oplossing van de meeste problemen in de computationele meetkunde is gebaseerd.

In deze les gaan we een programma maken voor het vinden van de vergelijking van een lijn, passeren gegeven twee punten. Om geometrische problemen op te lossen, hebben we enige kennis van computationele meetkunde nodig. We zullen een deel van de les besteden aan het leren kennen ervan.

Inzichten uit computationele geometrie

Computationele meetkunde is een tak van de informatica die algoritmen bestudeert voor het oplossen van geometrische problemen.

De initiële gegevens voor dergelijke problemen kunnen een reeks punten op een vlak zijn, een reeks segmenten, een veelhoek (bijvoorbeeld gespecificeerd door een lijst van de hoekpunten in klokwijzerzin), enz.

Het resultaat kan een antwoord zijn op een vraag (zoals: behoort een punt tot een segment, snijden twee segmenten elkaar, ...), of een geometrisch object (bijvoorbeeld de kleinste convexe veelhoek die bepaalde punten verbindt, de oppervlakte van een veelhoek, enz.).

We zullen problemen van computationele meetkunde alleen in het vlak beschouwen en alleen in het cartesiaanse coördinatensysteem.

Vectoren en coördinaten

Om de methoden van computationele meetkunde toe te passen, is het noodzakelijk om geometrische afbeeldingen te vertalen naar de taal van getallen. We gaan ervan uit dat het vlak een cartesiaans coördinatensysteem krijgt, waarbij de draairichting tegen de klok in positief wordt genoemd.

Nu krijgen geometrische objecten een analytische uitdrukking. Om een ​​punt te specificeren volstaat het dus om de coördinaten aan te geven: een paar cijfers (x; y). Een lijnstuk kan worden gespecificeerd door de coördinaten van zijn uiteinden te specificeren; een rechte lijn kan worden gespecificeerd door de coördinaten van een paar punten te specificeren.

Maar ons belangrijkste instrument voor het oplossen van problemen zullen vectoren zijn. Ik wil daarom enkele informatie over hen in herinnering brengen.

Lijnstuk AB, wat een punt heeft A wordt beschouwd als het begin (punt van toepassing) en het punt IN– einde, een vector genoemd AB en wordt bijvoorbeeld aangegeven met een van beide of met een vetgedrukte kleine letter A .

Om de lengte van een vector aan te geven (dat wil zeggen, de lengte van het overeenkomstige segment), zullen we het modulussymbool gebruiken (bijvoorbeeld ).

Een willekeurige vector heeft coördinaten die gelijk zijn aan het verschil tussen de overeenkomstige coördinaten van het einde en het begin:

,

hier zijn de punten A En B coördinaten hebben respectievelijk.

Voor berekeningen zullen we het concept gebruiken georiënteerde hoek, dat wil zeggen een hoek die rekening houdt met de relatieve positie van de vectoren.

Georiënteerde hoek tussen vectoren A En B positief als de rotatie afkomstig is van de vector A naar vector B wordt uitgevoerd in een positieve richting (tegen de klok in) en negatief in het andere geval. Zie Afb.1a, Afb.1b. Er wordt ook gezegd dat een paar vectoren A En B positief (negatief) georiënteerd.

De waarde van de georiënteerde hoek hangt dus af van de volgorde waarin de vectoren worden vermeld en kan waarden in het interval aannemen.

Veel problemen in de computationele meetkunde maken gebruik van het concept van vectorproducten (skew of pseudoscalaire) producten van vectoren.

Het vectorproduct van vectoren a en b is het product van de lengtes van deze vectoren en de sinus van de hoek daartussen:

.

Kruisproduct van vectoren in coördinaten:

De uitdrukking aan de rechterkant is een determinant van de tweede orde:

In tegenstelling tot de definitie die in de analytische meetkunde wordt gegeven, is het een scalair.

Het teken van het vectorproduct bepaalt de positie van de vectoren ten opzichte van elkaar:

A En B positief georiënteerd.

Als de waarde is, dan is er sprake van een paar vectoren A En B negatief georiënteerd.

Het kruisproduct van vectoren die niet nul zijn, is nul als en slechts als ze collineair zijn ( ). Dit betekent dat ze op dezelfde lijn of op parallelle lijnen liggen.

Laten we eens kijken naar een paar eenvoudige problemen die nodig zijn bij het oplossen van complexere problemen.

Laten we de vergelijking van een rechte lijn bepalen op basis van de coördinaten van twee punten.

Vergelijking van een lijn die door twee verschillende punten gaat, gespecificeerd door hun coördinaten.

Geef op een rechte lijn twee niet-samenvallende punten: met coördinaten (x1; y1) en met coördinaten (x2; y2). Dienovereenkomstig heeft een vector met een begin op een punt en een einde op een punt coördinaten (x2-x1, y2-y1). Als P(x, y) een willekeurig punt op onze lijn is, dan zijn de coördinaten van de vector gelijk aan (x-x1, y – y1).

Met behulp van het vectorproduct kan de voorwaarde voor collineariteit van vectoren als volgt worden geschreven:

Die. (x-x1)(y2-y1)-(y-y1)(x2-x1)=0

(y2-y1)x + (x1-x2)y + x1(y1-y2) + y1(x2-x1) = 0

We herschrijven de laatste vergelijking als volgt:

bijl + bij + c = 0, (1)

c = x1(y1-y2) + y1(x2-x1)

De rechte lijn kan dus worden gespecificeerd door een vergelijking van de vorm (1).

Probleem 1. De coördinaten van twee punten zijn gegeven. Vind de representatie ervan in de vorm ax + by + c = 0.

In deze les hebben we wat informatie geleerd over computationele meetkunde. We hebben het probleem opgelost van het vinden van de vergelijking van een lijn op basis van de coördinaten van twee punten.

In de volgende les gaan we een programma maken om het snijpunt te vinden van twee lijnen, gegeven door onze vergelijkingen.

Eigenschappen van een rechte lijn in de Euclidische meetkunde.

Door elk punt kunnen oneindig veel rechte lijnen worden getrokken.

Door twee niet-samenvallende punten kan één enkele rechte lijn worden getrokken.

Twee divergerende lijnen in een vlak snijden elkaar in één punt of zijn elkaar

parallel (volgt uit de vorige).

In de driedimensionale ruimte zijn er drie opties voor de relatieve positie van twee lijnen:

• lijnen kruisen elkaar;

• lijnen zijn parallel;

• rechte lijnen snijden elkaar.

Direct lijn— algebraïsche curve van de eerste orde: een rechte lijn in het cartesiaanse coördinatensysteem

wordt op het vlak gegeven door een vergelijking van de eerste graad (lineaire vergelijking).

Algemene vergelijking van een rechte lijn.

Definitie. Elke rechte lijn in het vlak kan worden gespecificeerd door een vergelijking van de eerste orde

Bijl + Wu + C = 0,

en constant A, B zijn niet tegelijkertijd gelijk aan nul. Deze vergelijking van de eerste orde wordt genoemd algemeen

vergelijking van een rechte lijn. Afhankelijk van de waarden van de constanten A, B En MET De volgende bijzondere gevallen zijn mogelijk:

. C = 0, A ≠0, B ≠ 0- er gaat een rechte lijn door de oorsprong

. A = 0, B ≠0, C ≠0 (door + C = 0)- rechte lijn evenwijdig aan de as Oh

. B = 0, A ≠0, C ≠ 0 (Ax + C = 0)- rechte lijn evenwijdig aan de as OU

. B = C = 0, EEN ≠0- de rechte lijn valt samen met de as OU

. A = C = 0, B ≠0- de rechte lijn valt samen met de as Oh

De vergelijking van een rechte lijn kan in verschillende vormen worden weergegeven, afhankelijk van een bepaald gegeven

begincondities.

Vergelijking van een rechte lijn vanuit een punt en een normaalvector.

Definitie. In een cartesiaans rechthoekig coördinatensysteem is een vector met componenten (A, B)

loodrecht op de lijn gegeven door de vergelijking

Bijl + Wu + C = 0.

Voorbeeld. Zoek de vergelijking van een lijn die door een punt gaat EEN(1, 2) loodrecht op de vector (3, -1).

Oplossing. Laten we, met A = 3 en B = -1, de vergelijking van de rechte lijn opstellen: 3x - y + C = 0. Om de coëfficiënt C te vinden

Laten we de coördinaten van het gegeven punt A vervangen door de resulterende uitdrukking. We krijgen dus: 3 - 2 + C = 0, dus

C = -1. Totaal: de vereiste vergelijking: 3x - y - 1 = 0.

Vergelijking van een lijn die door twee punten gaat.

Laat twee punten in de ruimte gegeven worden M 1 (x 1, y 1, z 1) En M2 (x 2, y 2, z 2), Dan vergelijking van een lijn,

langs deze punten:

Als een van de noemers nul is, moet de overeenkomstige teller gelijk aan nul worden gesteld. Op

vlak, is de vergelijking van de hierboven geschreven rechte lijn vereenvoudigd:

Als x 1 ≠ x 2 En x = x1, Als x1 = x2 .

Fractie = k genaamd helling direct.

Voorbeeld. Bereken de vergelijking van de lijn die door de punten A(1, 2) en B(3, 4) gaat.

Oplossing. Als we de hierboven geschreven formule toepassen, krijgen we:

Vergelijking van een rechte lijn met behulp van een punt en een helling.

Als de algemene vergelijking van de lijn Bijl + Wu + C = 0 leiden tot:

en aanwijzen , dan wordt de resulterende vergelijking aangeroepen

vergelijking van een rechte lijn met helling k.

Vergelijking van een rechte lijn vanuit een punt en een richtingsvector.

Naar analogie met het punt waarbij de vergelijking van een rechte lijn door de normaalvector wordt overwogen, kunt u de taak invoeren

een rechte lijn door een punt en een richtvector van een rechte lijn.

Definitie. Elke vector die niet nul is (α 1, α 2), waarvan de componenten aan de voorwaarde voldoen

Aα 1 + Ba 2 = 0 genaamd richtvector van een rechte lijn.

Bijl + Wu + C = 0.

Voorbeeld. Zoek de vergelijking van een rechte lijn met een richtingsvector (1, -1) en die door het punt A(1, 2) gaat.

Oplossing. We zoeken naar de vergelijking van de gewenste lijn in de vorm: Bijl + Door + C = 0. Volgens de definitie,

coëfficiënten moeten aan de volgende voorwaarden voldoen:

1 * A + (-1) * B = 0, d.w.z. EEN = B.

Dan heeft de vergelijking van de rechte lijn de vorm: Bijl + Ay + C = 0, of x+y+C/A=0.

bij x = 1, y = 2 we krijgen K/A = -3, d.w.z. vereiste vergelijking:

x + y - 3 = 0

Vergelijking van een rechte lijn in segmenten.

Als in de algemene vergelijking van de rechte lijn Ах + Ву + С = 0 С≠0, dan krijgen we, gedeeld door -С:

of waar

De geometrische betekenis van de coëfficiënten is dat de coëfficiënt a de coördinaat is van het snijpunt

recht met as Oh, A B- coördinaat van het snijpunt van de lijn met de as OU.

Voorbeeld. De algemene vergelijking van een rechte lijn wordt gegeven x - y + 1 = 0. Zoek de vergelijking van deze lijn in segmenten.

C = 1, , a = -1, b = 1.

Normaalvergelijking van een lijn.

Als beide kanten van de vergelijking Bijl + Wu + C = 0 delen door getal Wat genoemd wordt als

normaliserende factor, dan krijgen wij

xcosφ + ysinφ - p = 0 -normale vergelijking van een lijn.

Het teken ± van de normaliserende factor moet zo worden gekozen dat μ*C< 0.

R- de lengte van de loodlijn die valt van de oorsprong naar de rechte lijn,

A φ - de hoek die deze loodlijn vormt met de positieve richting van de as Oh.

Voorbeeld. De algemene vergelijking van de lijn wordt gegeven 12x - 5j - 65 = 0. Vereist om verschillende soorten vergelijkingen te schrijven

deze rechte lijn.

De vergelijking van deze lijn in segmenten:

De vergelijking van deze lijn met de helling: (delen door 5)

Vergelijking van een lijn:

cos φ = 12/13; zonde φ= -5/13; p=5.

Opgemerkt moet worden dat niet elke rechte lijn kan worden weergegeven door een vergelijking in segmenten, bijvoorbeeld rechte lijnen,

evenwijdig aan de assen of door de oorsprong.

De hoek tussen rechte lijnen in een vlak.

Definitie. Als er twee regels zijn gegeven y = k 1 X + b 1 , y = k 2 X + b 2, dan de scherpe hoek tussen deze lijnen

zal worden gedefinieerd als

Twee lijnen zijn evenwijdig als k1 = k2. Twee lijnen staan ​​loodrecht

Als k1 = -1/ k2 .

Stelling.

Direct Bijl + Wu + C = 0 En A 1 x + B 1 y + C 1 = 0 parallel als de coëfficiënten proportioneel zijn

A 1 = λA, B 1 = λB. Als ook С 1 = λС, dan vallen de lijnen samen. Coördinaten van het snijpunt van twee lijnen

worden gevonden als een oplossing voor het systeem van vergelijkingen van deze lijnen.

De vergelijking van een lijn die door een bepaald punt loodrecht op een gegeven lijn gaat.

Definitie. Lijn die door een punt gaat M 1 (x 1, y 1) en loodrecht op de lijn y = kx + b

weergegeven door de vergelijking:

Afstand van een punt tot een lijn.

Stelling. Als er een punt wordt gegeven M(x 0, y 0), dan de afstand tot de rechte lijn Bijl + Wu + C = 0 gedefinieerd als:

Bewijs. Laat het punt M 1 (x 1, y 1)- de basis van een loodlijn die uit een punt valt M voor een gegeven

direct. Dan de afstand tussen de punten M En M 1:

(1)

Coördinaten x 1 En bij 1 kan worden gevonden als een oplossing voor het stelsel vergelijkingen:

De tweede vergelijking van het systeem is de vergelijking van een rechte lijn die loodrecht door een gegeven punt Mo gaat

gegeven rechte lijn. Als we de eerste vergelijking van het systeem transformeren naar de vorm:

A(x - x 0) + B(y - y 0) + Ax 0 + Door 0 + C = 0,

dan, oplossend, krijgen we:

Als we deze uitdrukkingen in vergelijking (1) vervangen, vinden we:

De stelling is bewezen.

Laat de lijn door de punten M 1 (x 1; y 1) en M 2 (x 2; y 2) gaan. De vergelijking van een rechte lijn die door punt M 1 gaat, heeft de vorm y-y 1 = k (x - x 1), (10,6)

Waar k - nog onbekende coëfficiënt.

Omdat de rechte lijn door het punt M 2 (x 2 y 2) gaat, moeten de coördinaten van dit punt voldoen aan vergelijking (10.6): y 2 -y 1 = k (x 2 - x 1).

Vanaf hier vinden we Vervanging van de gevonden waarde k in vergelijking (10.6) verkrijgen we de vergelijking van een rechte lijn die door de punten M 1 en M 2 gaat:

Er wordt aangenomen dat in deze vergelijking x 1 ≠ x 2, y 1 ≠ y 2

Als x 1 = x 2, dan is de rechte lijn die door de punten M 1 (x 1,y I) en M 2 (x 2,y 2) loopt evenwijdig aan de ordinaat. De vergelijking is x = x 1 .

Als y 2 = y I, dan kan de vergelijking van de lijn worden geschreven als y = y 1, de rechte lijn M 1 M 2 is evenwijdig aan de abscis-as.

Vergelijking van een lijn in segmenten

Laat de rechte lijn de Ox-as snijden in punt M 1 (a;0), en de Oy-as in punt M 2 (0;b). De vergelijking zal de vorm aannemen:
die.
. Deze vergelijking wordt genoemd vergelijking van een rechte lijn in segmenten, omdat De cijfers a en b geven aan welke segmenten de lijn afsnijdt op de coördinaatassen.

Vergelijking van een lijn die door een bepaald punt loodrecht op een gegeven vector gaat

Laten we de vergelijking vinden van een rechte lijn die door een gegeven punt Mo (x O; y o) gaat, loodrecht op een gegeven niet-nulvector n = (A; B).

Laten we een willekeurig punt M(x; y) op de lijn nemen en de vector M 0 M (x - x 0; y - y o) bekijken (zie figuur 1). Omdat de vectoren n en M o M loodrecht staan, is hun scalaire product gelijk aan nul: dat wil zeggen

A(x - xo) + B(y - yo) = 0. (10.8)

Vergelijking (10.8) wordt genoemd vergelijking van een rechte lijn die door een bepaald punt loodrecht op een gegeven vector gaat .

Vector n= (A; B), loodrecht op de lijn, wordt normaal genoemd normaalvector van deze lijn .

Vergelijking (10.8) kan worden herschreven als Ah + Wu + C = 0 , (10.9)

waar A en B de coördinaten zijn van de normaalvector, is C = -Ax o - Vu o de vrije term. Vergelijking (10.9) is de algemene vergelijking van de lijn(zie afbeelding 2).

Afb.1 Afb.2

Canonieke vergelijkingen van de lijn

,

Waar
- coördinaten van het punt waar de lijn doorheen gaat, en
- richtingsvector.

Curven van de tweede orde Cirkel

Een cirkel is de verzameling van alle punten van het vlak die op gelijke afstand liggen van een bepaald punt, dat het middelpunt wordt genoemd.

Canonieke vergelijking van een cirkel met straal R gecentreerd op een punt
:

In het bijzonder, als het midden van de inzet samenvalt met de oorsprong van de coördinaten, zal de vergelijking er als volgt uitzien:

Ovaal

Een ellips is een reeks punten op een vlak, de som van de afstanden van elk daarvan tot twee gegeven punten En , die brandpunten worden genoemd, is een constante grootheid
, groter dan de afstand tussen de brandpunten
.

De canonieke vergelijking van een ellips waarvan de brandpunten op de Ox-as liggen, en de oorsprong van de coördinaten in het midden tussen de brandpunten heeft de vorm
G de A lengte van de halve hoofdas; B – lengte van de halve korte as (Fig. 2).