Exponentiële vergelijkingen oplossen. Voorbeelden

Voorbeelden:

\(4^x=32\)
\(5^(2x-1)-5^(2x-3)=4,8\)
\((\sqrt(7))^(2x+2)-50\cdot(\sqrt(7))^(x)+7=0\)

Hoe exponentiële vergelijkingen op te lossen

Bij het oplossen van een exponentiële vergelijking streven we ernaar deze in de vorm \(a^(f(x))=a^(g(x))\) te brengen, en vervolgens de overgang te maken naar de gelijkheid van exponenten, dat wil zeggen:

\(a^(f(x))=a^(g(x))\) \(⇔\) \(f(x)=g(x)\)

Bijvoorbeeld:\(2^(x+1)=2^2\) \(⇔\) \(x+1=2\)

Belangrijk! Vanuit dezelfde logica volgen twee vereisten voor een dergelijke transitie:
- nummer binnen links en rechts moeten hetzelfde zijn;
- de graden links en rechts moeten “puur” zijn, dat wil zeggen dat er geen vermenigvuldiging, deling, enz. mag plaatsvinden.

Bijvoorbeeld:

Om de vergelijking terug te brengen tot de vorm \(a^(f(x))=a^(g(x))\) en worden gebruikt.

Voorbeeld . Los de exponentiële vergelijking \(\sqrt(27)·3^(x-1)=((\frac(1)(3)))^(2x)\) op
Oplossing:

Het oplossen van de meeste wiskundige problemen op de een of andere manier impliceert het transformeren van numerieke, algebraïsche of functionele uitdrukkingen. Het voorgaande geldt in het bijzonder voor het besluit. In de versies van het Unified State Exam in Mathematics omvat dit type probleem met name taak C3. Het leren oplossen van C3-taken is niet alleen belangrijk met het oog op het succesvol behalen van het Unified State Exam, maar ook omdat deze vaardigheid nuttig zal zijn bij het studeren van een wiskundecursus op de middelbare school.

Bij het voltooien van C3-taken moet je verschillende soorten vergelijkingen en ongelijkheden oplossen. Onder hen zijn rationele, irrationele, exponentiële, logaritmische, trigonometrische, bevattende modules (absolute waarden), evenals gecombineerde. Dit artikel bespreekt de belangrijkste soorten exponentiële vergelijkingen en ongelijkheden, evenals verschillende methoden om deze op te lossen. Lees meer over het oplossen van andere soorten vergelijkingen en ongelijkheden in de sectie "" in artikelen gewijd aan methoden voor het oplossen van C3-problemen van het Unified State Examination in Mathematics.

Voordat we specifiek beginnen te analyseren exponentiële vergelijkingen en ongelijkheden Als wiskundeleraar raad ik je aan wat theoretisch materiaal op te frissen dat we nodig zullen hebben.

Exponentiële functie

Wat is een exponentiële functie?

Functie van het formulier j = een x, Waar A> 0 en A≠ 1 wordt aangeroepen exponentiële functie.

Basis eigenschappen van exponentiële functie j = een x:

Grafiek van een exponentiële functie

De grafiek van de exponentiële functie is exponent:

Grafieken van exponentiële functies (exponenten)

Exponentiële vergelijkingen oplossen

Indicatief worden vergelijkingen genoemd waarin de onbekende variabele alleen in exponenten van bepaalde machten voorkomt.

Voor oplossingen exponentiële vergelijkingen je moet de volgende eenvoudige stelling kennen en kunnen gebruiken:

Stelling 1. Exponentiële vergelijking A F(X) = A G(X) (Waar A > 0, A≠ 1) is equivalent aan de vergelijking F(X) = G(X).

Daarnaast is het handig om de basisformules en bewerkingen met graden te onthouden:

Title="Gegeven door QuickLaTeX.com">!}

Voorbeeld 1. Los De vergelijking op:

Oplossing: We gebruiken de bovenstaande formules en vervanging:

De vergelijking wordt dan:

De discriminant van de resulterende kwadratische vergelijking is positief:

Title="Gegeven door QuickLaTeX.com">!}

Dit betekent dat deze vergelijking twee wortels heeft. Wij vinden ze:

Als we verdergaan met het omkeren van substitutie, krijgen we:

De tweede vergelijking heeft geen wortels, aangezien de exponentiële functie strikt positief is over het hele definitiedomein. Laten we de tweede oplossen:

Rekening houdend met wat er in Stelling 1 is gezegd, gaan we verder met de equivalente vergelijking: X= 3. Dit is het antwoord op de taak.

Antwoord: X = 3.

Voorbeeld 2. Los De vergelijking op:

Oplossing: De vergelijking kent geen beperkingen op het bereik van toegestane waarden, aangezien de radicale uitdrukking voor elke waarde zinvol is X(exponentiële functie j = 9 4 -X positief en niet gelijk aan nul).

We lossen de vergelijking op door equivalente transformaties met behulp van de regels van vermenigvuldiging en machtsdeling:

De laatste transitie werd uitgevoerd in overeenstemming met Stelling 1.

Antwoord:X= 6.

Voorbeeld 3. Los De vergelijking op:

Oplossing: beide zijden van de oorspronkelijke vergelijking kunnen worden gedeeld door 0,2 X. Deze overgang zal gelijkwaardig zijn, aangezien deze uitdrukking voor elke waarde groter is dan nul X(de exponentiële functie is strikt positief in zijn definitiedomein). Dan heeft de vergelijking de vorm:

Antwoord: X = 0.

Voorbeeld 4. Los De vergelijking op:

Oplossing: we vereenvoudigen de vergelijking tot een elementaire vergelijking door middel van gelijkwaardige transformaties met behulp van de regels voor het delen en vermenigvuldigen van machten die aan het begin van het artikel zijn gegeven:

Beide zijden van de vergelijking delen door 4 X, zoals in het vorige voorbeeld, is een equivalente transformatie, aangezien deze uitdrukking voor geen enkele waarde gelijk is aan nul X.

Antwoord: X = 0.

Voorbeeld 5. Los De vergelijking op:

Oplossing: functie j = 3X, staande aan de linkerkant van de vergelijking, neemt toe. Functie j = —X De -2/3 aan de rechterkant van de vergelijking neemt af. Dit betekent dat als de grafieken van deze functies elkaar kruisen, er hoogstens één punt is. In dit geval is het gemakkelijk te raden dat de grafieken elkaar op dat punt snijden X= -1. Er zullen geen andere wortels zijn.

Antwoord: X = -1.

Voorbeeld 6. Los De vergelijking op:

Oplossing: we vereenvoudigen de vergelijking door middel van equivalente transformaties, waarbij we overal in gedachten houden dat de exponentiële functie voor elke waarde strikt groter is dan nul X en het gebruik van de regels voor het berekenen van het product en het quotiënt van machten die aan het begin van het artikel zijn gegeven:

Antwoord: X = 2.

Exponentiële ongelijkheden oplossen

Indicatief worden ongelijkheden genoemd waarin de onbekende variabele alleen in exponenten van bepaalde machten voorkomt.

Voor oplossingen exponentiële ongelijkheden kennis van de volgende stelling is vereist:

Stelling 2. Als A> 1, dan de ongelijkheid A F(X) > A G(X) is gelijk aan een ongelijkheid met dezelfde betekenis: F(X) > G(X). Als 0< A < 1, то показательное неравенство A F(X) > A G(X) is gelijk aan een ongelijkheid met de tegenovergestelde betekenis: F(X) < G(X).

Voorbeeld 7. Los de ongelijkheid op:

Oplossing: Laten we de oorspronkelijke ongelijkheid in de vorm weergeven:

Laten we beide kanten van deze ongelijkheid delen door 3 2 X, in dit geval (vanwege de positiviteit van de functie j= 3 2X) het ongelijkheidsteken zal niet veranderen:

Laten we de vervanging gebruiken:

Dan zal de ongelijkheid de vorm aannemen:

De oplossing voor de ongelijkheid is dus het interval:

Als we naar de omgekeerde substitutie gaan, krijgen we:

Vanwege de positiviteit van de exponentiële functie wordt automatisch aan de linkerongelijkheid voldaan. Met behulp van de bekende eigenschap van de logaritme gaan we verder met de equivalente ongelijkheid:

Aangezien de basis van de graad een getal groter dan één is, is equivalent (volgens Stelling 2) de overgang naar de volgende ongelijkheid:

Dus eindelijk snappen we het antwoord:

Voorbeeld 8. Los de ongelijkheid op:

Oplossing: Met behulp van de eigenschappen van vermenigvuldiging en machtsdeling herschrijven we de ongelijkheid in de vorm:

Laten we een nieuwe variabele introduceren:

Rekening houdend met deze vervanging, neemt de ongelijkheid de vorm aan:

Door de teller en de noemer van de breuk met 7 te vermenigvuldigen, verkrijgen we de volgende equivalente ongelijkheid:

De volgende waarden van de variabele voldoen dus aan de ongelijkheid T:

Als we vervolgens naar de omgekeerde substitutie gaan, krijgen we:

Omdat de basis van de graad hier groter is dan één, zal de overgang naar de ongelijkheid gelijkwaardig zijn (volgens Stelling 2):

Eindelijk krijgen we antwoord:

Voorbeeld 9. Los de ongelijkheid op:

Oplossing:

We delen beide zijden van de ongelijkheid door de uitdrukking:

Het is altijd groter dan nul (vanwege de positiviteit van de exponentiële functie), dus het is niet nodig om het ongelijkheidsteken te veranderen. We krijgen:

t gelegen in het interval:

Als we verdergaan met de omgekeerde substitutie, zien we dat de oorspronkelijke ongelijkheid zich in twee gevallen opsplitst:

De eerste ongelijkheid heeft geen oplossingen vanwege de positiviteit van de exponentiële functie. Laten we de tweede oplossen:

Voorbeeld 10. Los de ongelijkheid op:

Oplossing:

Parabool takken j = 2X+2-X 2 zijn naar beneden gericht, daarom wordt het van bovenaf beperkt door de waarde die het bereikt bij het hoekpunt:

Parabool takken j = X 2 -2X De +2 in de indicator zijn naar boven gericht, wat betekent dat deze van onderaf wordt beperkt door de waarde die hij bereikt bij het hoekpunt:

Tegelijkertijd blijkt de functie ook van onderaf begrensd te zijn j = 3 X 2 -2X+2, wat zich aan de rechterkant van de vergelijking bevindt. Het bereikt zijn kleinste waarde op hetzelfde punt als de parabool in de exponent, en deze waarde is 3 1 = 3. De oorspronkelijke ongelijkheid kan dus alleen waar zijn als de functie aan de linkerkant en de functie aan de rechterkant de waarde aannemen , gelijk aan 3 (het snijpunt van de waardenbereiken van deze functies is alleen dit getal). Aan deze voorwaarde is op één punt voldaan X = 1.

Antwoord: X= 1.

Om te leren beslissen exponentiële vergelijkingen en ongelijkheden, het is noodzakelijk om voortdurend te trainen in het oplossen ervan. Verschillende leermiddelen, probleemboeken in de elementaire wiskunde, verzamelingen van competitieve problemen, wiskundelessen op school en individuele lessen met een professionele leraar kunnen u helpen bij deze moeilijke taak. Ik wens u oprecht veel succes bij uw voorbereiding en uitstekende resultaten bij het examen.

Sergej Valerievitsj

P.S. Beste gasten! Schrijf alstublieft geen verzoeken om uw vergelijkingen op te lossen in de opmerkingen. Helaas heb ik hier absoluut geen tijd voor. Dergelijke berichten worden verwijderd. Lees het artikel. Misschien vindt u daarin antwoorden op vragen waardoor u uw taak niet zelf kon oplossen.

Exponentiële functie is een generalisatie van het product van n getallen gelijk aan a:
j (n) = een n = a·a·a···a,
aan de reeks reële getallen x:
j (x) = bijl.
Hier is a een vast reëel getal, dat wordt aangeroepen basis van de exponentiële functie.
Een exponentiële functie met grondtal a wordt ook wel genoemd exponent met grondtal a.

De generalisatie wordt als volgt uitgevoerd.
Voor natuurlijke x = 1, 2, 3,... , de exponentiële functie is het product van x-factoren:
.
Bovendien heeft het eigenschappen (1.5-8) (), die volgen uit de regels voor het vermenigvuldigen van getallen. Voor nul- en negatieve waarden van gehele getallen wordt de exponentiële functie bepaald met behulp van formules (1.9-10). Voor fractionele waarden x = m/n rationale getallen wordt dit bepaald met formule (1.11). Voor real wordt de exponentiële functie gedefinieerd als de limiet van de reeks:
,
waar is een willekeurige reeks rationale getallen die convergeren naar x: .
Met deze definitie wordt de exponentiële functie voor alle gedefinieerd en voldoet aan eigenschappen (1,5-8), zoals voor natuurlijke x.

Een rigoureuze wiskundige formulering van de definitie van een exponentiële functie en het bewijs van zijn eigenschappen wordt gegeven op de pagina “Definitie en bewijs van de eigenschappen van een exponentiële functie”.

Eigenschappen van de exponentiële functie

De exponentiële functie y = a x heeft de volgende eigenschappen op de set reële getallen ():
(1.1) gedefinieerd en continu, voor, voor iedereen;
(1.2) voor een ≠ 1 heeft veel betekenissen;
(1.3) neemt strikt toe bij , neemt strikt af bij ,
is constant op ;
(1.4) bij ;
bij ;
(1.5) ;
(1.6) ;
(1.7) ;
(1.8) ;
(1.9) ;
(1.10) ;
(1.11) , .

Andere handige formules.
.
Formule voor het converteren naar een exponentiële functie met een andere exponentbasis:

Wanneer b = e, verkrijgen we de uitdrukking van de exponentiële functie via de exponentiële functie:

Privé waarden

, , , , .

De figuur toont grafieken van de exponentiële functie
j (x) = bijl
voor vier waarden graden basis: een = 2 , een = 8 , een = 1/2 en een = 1/8 . Het is duidelijk dat voor een > 1 de exponentiële functie neemt monotoon toe. Hoe groter de basis van graad a, hoe sterker de groei. Bij 0 < a < 1 de exponentiële functie neemt monotoon af. Hoe kleiner de exponent a, hoe sterker de afname.

Stijgend dalend

De exponentiële functie voor is strikt monotoon en heeft daarom geen extrema. De belangrijkste eigenschappen worden weergegeven in de tabel.

Omgekeerde functie

De inverse van een exponentiële functie met grondtal a is de logaritme met grondtal a.

Als dan
.
Als dan
.

Differentiatie van een exponentiële functie

Om een ​​exponentiële functie te differentiëren, moet de basis ervan worden teruggebracht tot het getal e, de tabel met afgeleiden en de regel voor het differentiëren van een complexe functie toepassen.

Om dit te doen, moet u de eigenschap van logaritmen gebruiken
en de formule uit de derivatentabel:
.

Laat een exponentiële functie gegeven worden:
.
We brengen het naar de basis e:

Laten we de regel van differentiatie van complexe functies toepassen. Om dit te doen, introduceert u de variabele

Dan

Uit de tabel met afgeleiden hebben we (vervang de variabele x door z):
.
Omdat het een constante is, is de afgeleide van z naar x gelijk aan
.
Volgens de regel van differentiatie van een complexe functie:
.

Afgeleide van een exponentiële functie

.
Afgeleide van de n-de orde:
.
Formules afleiden > > >

Een voorbeeld van het differentiëren van een exponentiële functie

Zoek de afgeleide van een functie
j = 3 5x

Oplossing

Laten we de basis van de exponentiële functie uitdrukken via het getal e.
3 = e ln 3
Dan
.
Voer een variabele in
.
Dan

Uit de tabel met derivaten vinden we:
.
Omdat de 5ln 3 een constante is, dan is de afgeleide van z naar x gelijk aan:
.
Volgens de differentiatieregel van een complexe functie hebben we:
.

Antwoord

Integraal

Uitdrukkingen waarbij gebruik wordt gemaakt van complexe getallen

Beschouw de complexe getalfunctie z:
F (z) = een z
waarbij z = x + iy; i 2 = - 1 .
Laten we de complexe constante a uitdrukken in termen van modulus r en argument φ:
een = r e ik φ
Dan


.
Het argument φ is niet uniek gedefinieerd. In het algemeen
φ = φ 0 + 2 πn,
waarbij n een geheel getal is. Daarom is de functie f (z) is ook niet duidelijk. De belangrijkste betekenis ervan wordt vaak overwogen
.

Serie-uitbreiding

.

Referenties:
IN. Bronstein, K.A. Semendyaev, Handboek wiskunde voor ingenieurs en studenten, “Lan”, 2009.

Het waarborgen van uw privacy is belangrijk voor ons. Om deze reden hebben wij een privacybeleid ontwikkeld waarin wordt beschreven hoe wij uw gegevens gebruiken en opslaan. Bekijk onze privacypraktijken en laat het ons weten als u vragen heeft.

Verzameling en gebruik van persoonlijke informatie

Persoonlijke informatie verwijst naar gegevens die kunnen worden gebruikt om een ​​specifieke persoon te identificeren of ermee contact op te nemen.

U kunt op elk moment worden gevraagd om uw persoonlijke gegevens te verstrekken wanneer u contact met ons opneemt.

Hieronder vindt u enkele voorbeelden van de soorten persoonlijke informatie die we kunnen verzamelen en hoe we dergelijke informatie kunnen gebruiken.

Welke persoonlijke informatie verzamelen wij:

• Wanneer u een aanvraag indient op de site, kunnen wij verschillende informatie verzamelen, waaronder uw naam, telefoonnummer, e-mailadres, enz.

Hoe wij uw persoonlijke gegevens gebruiken:

• Met de persoonlijke informatie die we verzamelen, kunnen we contact met u opnemen over unieke aanbiedingen, promoties en andere evenementen en aankomende evenementen.
• Van tijd tot tijd kunnen we uw persoonlijke gegevens gebruiken om belangrijke mededelingen en mededelingen te verzenden.
• We kunnen persoonlijke informatie ook gebruiken voor interne doeleinden, zoals het uitvoeren van audits, data-analyse en diverse onderzoeken om de diensten die wij leveren te verbeteren en u aanbevelingen te doen met betrekking tot onze diensten.
• Als u deelneemt aan een prijstrekking, wedstrijd of soortgelijke promotie, kunnen wij de door u verstrekte informatie gebruiken om dergelijke programma's te beheren.

Openbaarmaking van informatie aan derden

Wij maken de van u ontvangen gegevens niet bekend aan derden.

Uitzonderingen:

• Indien nodig - in overeenstemming met de wet, gerechtelijke procedure, in gerechtelijke procedures en/of op basis van publieke verzoeken of verzoeken van overheidsinstanties op het grondgebied van de Russische Federatie - om uw persoonlijke gegevens openbaar te maken. We kunnen ook informatie over u vrijgeven als we vaststellen dat een dergelijke openbaarmaking noodzakelijk of gepast is voor veiligheids-, wetshandhavings- of andere doeleinden van openbaar belang.
• In het geval van een reorganisatie, fusie of verkoop kunnen we de persoonlijke informatie die we verzamelen overdragen aan de toepasselijke opvolger van een derde partij.

Bescherming van persoonlijke informatie

We nemen voorzorgsmaatregelen - inclusief administratieve, technische en fysieke - om uw persoonlijke gegevens te beschermen tegen verlies, diefstal en misbruik, evenals tegen ongeoorloofde toegang, openbaarmaking, wijziging en vernietiging.

Het respecteren van uw privacy op bedrijfsniveau

Om ervoor te zorgen dat uw persoonlijke gegevens veilig zijn, communiceren we privacy- en beveiligingsnormen met onze medewerkers en handhaven we de privacypraktijken strikt.

In de voorbereidingsfase voor de eindtoets moeten middelbare scholieren hun kennis over het onderwerp ‘Exponentiële vergelijkingen’ verbeteren. De ervaring van de afgelopen jaren geeft aan dat dergelijke taken bepaalde problemen voor schoolkinderen veroorzaken. Daarom moeten middelbare scholieren, ongeacht hun voorbereidingsniveau, de theorie grondig beheersen, de formules onthouden en het principe van het oplossen van dergelijke vergelijkingen begrijpen. Nu afgestudeerden hebben geleerd met dit soort problemen om te gaan, kunnen ze rekenen op hoge scores bij het behalen van het Unified State Examen in de wiskunde.

Maak je klaar voor examentesten met Shkolkovo!

Bij het doornemen van de behandelde materialen worden veel leerlingen geconfronteerd met het probleem van het vinden van de formules die nodig zijn om vergelijkingen op te lossen. Een schoolboek is niet altijd bij de hand en het selecteren van de benodigde informatie over een onderwerp op internet duurt lang.

Het onderwijsportaal Shkolkovo nodigt studenten uit om onze kennisbank te gebruiken. We implementeren een geheel nieuwe manier van voorbereiden op de eindtoets. Door op onze website te studeren, kunt u lacunes in de kennis identificeren en aandacht besteden aan de taken die de meeste problemen veroorzaken.

Shkolkovo-leraren verzamelden, systematiseerden en presenteerden al het materiaal dat nodig was om met succes het Unified State Exam te behalen in de eenvoudigste en meest toegankelijke vorm.

Basisdefinities en formules worden gepresenteerd in het gedeelte “Theoretische achtergrond”.

Om de stof beter te begrijpen raden wij u aan om te oefenen met het maken van de opdrachten. Bekijk zorgvuldig de voorbeelden van exponentiële vergelijkingen met oplossingen op deze pagina om het berekeningsalgoritme te begrijpen. Ga daarna verder met het uitvoeren van taken in het gedeelte "Mappen". U kunt beginnen met de eenvoudigste taken of direct doorgaan met het oplossen van complexe exponentiële vergelijkingen met verschillende onbekenden of . De database met oefeningen op onze website wordt voortdurend aangevuld en bijgewerkt.

De voorbeelden met indicatoren die u problemen hebben bezorgd, kunnen worden toegevoegd aan “Favorieten”. Zo kun je ze snel vinden en de oplossing bespreken met je docent.

Om het Unified State Exam met succes te behalen, studeer je elke dag op het Shkolkovo-portaal!