Oplossing van vergelijkingen voor oge. Een vergelijking oplossen betekent...

De vierde taak in de module algebra toetst kennis op het gebied van hanteringskrachten en radicale uitdrukkingen.

Bij het voltooien van taak nr. 4 van de OGE in wiskunde, worden niet alleen de vaardigheden van het uitvoeren van berekeningen en het converteren van numerieke uitdrukkingen gecontroleerd, maar ook het vermogen om algebraïsche uitdrukkingen om te zetten. Mogelijk moet u bewerkingen uitvoeren met graden met een geheeltallige exponent, met polynomen, identieke transformaties van rationele uitdrukkingen.

In overeenstemming met de materialen van het hoofdexamen, kunnen er taken zijn die de implementatie vereisen van identieke transformaties van rationele uitdrukkingen, de ontbinding van polynomen in factoren, het gebruik van percentages en verhoudingen, en tekenen van deelbaarheid.

Het antwoord in taak 4 is een van de nummers 1; 2; 3; 4 komt overeen met het nummer van het voorgestelde antwoord op de taak.

Theorie voor taak nummer 4

Van theoretisch materiaal zullen we nodig hebben regels voor het omgaan met graden:

Regels om mee te werken gewortelde uitdrukkingen:

In mijn geanalyseerde opties worden deze regels gepresenteerd - in de analyse van de eerste optie van de derde taak worden de regels voor het omgaan met graden gepresenteerd, en in de tweede en derde optie worden voorbeelden van het werken met radicale uitdrukkingen geanalyseerd.

Analyse van typische opties voor taak nr. 4 OGE in de wiskunde

De eerste versie van de opdracht

Welke van de volgende uitdrukkingen voor alle waarden van n is gelijk aan het product van 121 11 n ?

1. 121n
2. 11n+2
3. 112n
4. 11n+3

Oplossing:

Onthoud het volgende om dit probleem op te lossen graden regels :

• bij vermenigvuldiging worden de exponenten opgeteld
• delingsgraden worden afgetrokken
• bij het verheffen van een macht tot een macht worden de machten vermenigvuldigd
• bij het extraheren van de wortel worden de graden verdeeld

Daarnaast is het voor de oplossing nodig om 121 weer te geven als een macht van 11, namelijk dit is 11 2 .

121 11 n = 11 2 11 n

Rekening houdend met de vermenigvuldigingsregel tellen we de graden op:

11 2 11 n = 11 n+2

Daarom past het tweede antwoord bij ons.

De tweede versie van de opdracht

Welke van de volgende uitdrukkingen heeft de grootste waarde?

1. 2√11
2. 2√10

Oplossing:

Om deze taak op te lossen, moet je alle uitdrukkingen in een gemeenschappelijke vorm brengen - presenteer de uitdrukkingen in de vorm van radicale uitdrukkingen:

We verplaatsen 3 onder de root:

3√5 = √(3² 5) = √(9 5) = √45

We verplaatsen 2 onder de root:

2√11 = √(2² 11) = √(4 11) =√44

We verplaatsen 2 onder de root:

2√10 = √(2² 10) = √(4 10) =√40

Kwadratuur 6.5:

6,5 = √(6,5²) = √42,25

Laten we eens kijken naar alle resulterende opties:

1. 3√5 = √45
2. 2√11 = √44
3. 2√10 = √40
4. 6,5 = √42,25

Daarom is het juiste antwoord het eerste.

De derde versie van de taak

Welke van deze getallen is rationeel?

1. √810
2. √8,1
3. √0,81
4. al deze getallen zijn irrationeel

Oplossing:

Om dit probleem op te lossen, moet u als volgt handelen:

Laten we eerst eens kijken in welke mate het getal in dit voorbeeld wordt beschouwd - dit is het getal 9, aangezien het kwadraat 81 is, en dit lijkt al enigszins op de uitdrukkingen in de antwoorden. Overweeg vervolgens de vormen van het getal 9 - dit kunnen zijn:

Overweeg elk van hen:

0,9 = √(0,9)² = √0,81

90 = √(90²) = √8100

Daarom is het getal √0,81 rationaal, terwijl de andere getallen

hoewel vergelijkbaar met een 9-kwadraatvorm, zijn ze niet rationeel.

Het juiste antwoord is dus het derde.

De vierde optie

Op verzoek van een lid van mijn gemeenschap Gezakt Diana, ik geef een analyse van de volgende taak nummer 4:

Welk van de volgende getallen is de waarde van de uitdrukking?

Oplossing:

Merk op dat er een verschil (4 - √14) is in de noemer, waar we vanaf moeten. Hoe je dat doet?

Om dit te doen, herinneren we ons de formule voor verkorte vermenigvuldiging, namelijk het verschil van kwadraten! Om het correct toe te passen in deze taak, moet u de regels voor het omgaan met breuken onthouden. In dit geval herinneren we ons dat de breuk niet verandert als de teller en noemer worden vermenigvuldigd met hetzelfde getal of dezelfde uitdrukking. Voor het verschil van kwadraten missen we de uitdrukking (4 + √14), wat betekent dat we de teller en de noemer ermee vermenigvuldigen.

Daarna krijgen we in de teller 4 + √14, en in de noemer het verschil van kwadraten: 4² - (√14)². Daarna is de noemer eenvoudig te berekenen:

In totaal zien onze acties er zo uit:

Vijfde optie (demoversie van de OGE 2017)

De waarde van welke uitdrukking is een rationaal getal?

1. √6-3
2. √3 √5
3. (√5)²
4. (√6-3)²

Oplossing:

In deze taak testen we de vaardigheden van bewerkingen met irrationele getallen.

Laten we elk antwoord in de oplossing analyseren:

√6 zelf is een irrationeel getal, om dergelijke problemen op te lossen volstaat het om te onthouden dat het rationeel is om de wortel uit de kwadraten van natuurlijke getallen te halen, bijvoorbeeld 4, 9, 16, 25...

Bij het aftrekken van een irrationeel getal zal een ander dan zichzelf opnieuw leiden tot een irrationeel getal, dus in deze versie wordt een irrationeel getal verkregen.

Bij het vermenigvuldigen van wortels kunnen we de wortel extraheren uit het product van radicale uitdrukkingen, dat wil zeggen:

√3 √5 = √(3 5) = √15

Maar √15 is irrationeel, dus dit antwoord werkt niet.

Als we een vierkantswortel kwadrateren, krijgen we alleen een worteluitdrukking (om preciezer te zijn, een modulo-worteluitdrukking, maar in het geval van een getal, zoals in deze versie, doet dit er niet toe), dus:

Dit antwoord past bij ons.

Deze uitdrukking vertegenwoordigt een voortzetting van paragraaf 1, maar als √6-3 een irrationeel getal is, dan kan het niet worden omgezet in een rationaal getal door middel van bewerkingen die ons bekend zijn.

Maak de zinnen af: 1). De vergelijking is... 2). De wortel van de vergelijking is... 3). Een vergelijking oplossen betekent...

I. Los de vergelijkingen mondeling op: 1). 2). 3). 4). 5). 6). 7). 8). 9). 6 x + 18=0 2 x + 5=0 5 x – 3=0 -3 x + 9=0 -5 x + 1=0 -2 x – 10=0 6 x – 7=5 x 9 x + 6 \u003d 10 x 5 x - 12 \u003d 8 x

Welke van de volgende vergelijkingen heeft geen oplossingen: a). 2 x - 14 = x + 7 b). 2 x - 14 \u003d 2 (x - 7) c). x - 7 = 2 x + 14 g). 2 x - 14 \u003d 2 x + 7?

Welke van de vergelijkingen heeft oneindig veel oplossingen: a). 4 x - 12 = x - 12 b). 4 x - 12 = 4 x + 12 c). 4(x - 3) = 4x - 12 g). 4 (x - 3) \u003d x - 10?

VERGELIJKINGEN VAN HET AANZICHT kx + b = 0, waarbij k, b getallen zijn, WORDEN LINEAIR GENOEMD. Algoritme voor het oplossen van lineaire vergelijkingen: 1). open haakjes 2). verplaats de termen die het onbekende bevatten naar de linkerkant en de termen die het onbekende niet bevatten naar de rechterkant (het teken van het overgedragen lid is omgekeerd); 3). brengen als leden; 4). deel beide zijden van de vergelijking door de coëfficiënt van de onbekende, als deze niet gelijk is aan nul.

Oplossen in notitieboekjes Groep I: nr. 681 blz. 63 6 (4 -x) + 3 x \u003d 3 Groep III: nr. 767 blz. 67 (x + 6) 2 + (x + 3) 2 \u003d 2 x 2 vergelijkingen: II groep: nr. 697 blz. 63 x-1 + (x + 2) \u003d -4 (-5 -x) -5

Een vergelijking van de vorm ax2 + bx + c \u003d 0, waarbij a ≠ 0, b, c reële getallen zijn, wordt vierkant genoemd. Onvolledige vergelijkingen: ax2 + bx =0 (c=0), ax2 + c =0 (b=0).

II. Los verbaal kwadratische vergelijkingen op en geef aan of ze compleet of onvolledig zijn: 1). x2 + 15x=0 2). -x2 +2 x = 0 3). x2 -25=0 4). -х2 +9 =0 5). -x2 - 16 \u003d 0 6). x2 - 8x + 15=0 7). x2 + 5x + 6=0 8). x2 + x - 12 =0 9). (-x-5)(-x+ 6)=0 10). x2 -4 x +4 =0

VRAGEN: 1). Welke eigenschap van vergelijkingen werd gebruikt om onvolledige kwadratische vergelijkingen op te lossen? 2). Welke methoden voor het ontbinden in factoren van een polynoom werden gebruikt om onvolledige kwadratische vergelijkingen op te lossen? 3). Wat is het algoritme voor het oplossen van complete kwadratische vergelijkingen?

1). Het product van twee factoren is gelijk aan nul als een ervan gelijk is aan nul, terwijl de tweede zijn betekenis niet verliest: ab = 0 als a = 0 of b = 0. 2). Een gemeenschappelijke factor eruit halen en a 2 - b 2 \u003d (a - b) (a + b) - de formule voor het verschil van kwadraten. 3). De complete kwadratische vergelijking ax2 + bx + c = o. D=b 2 – 4 ac, als D>0, 2 wortels; D = 0, 1 wortel; D

Stelling tegengesteld aan de stelling van Vieta: Als de getallen a, b, c, x 1 en x 2 zodanig zijn dat x 1 x 2 \u003d x 1 + x 2 \u003d, en x 2 de wortels zijn van de vergelijking a x 2 + bx + c = 0

LOS DE VERGELIJKINGEN OP: Groep I: nr. 802 blz. 71 x2 - 5 x- 36 = 0 Groep II: nr. 810 blz. 71 3 x2 - x + 21 = 5 x2 Groep III: x4 -5 x2 - 36 = 0

III. LOS DE VERGELIJKINGEN OP: Groep I en II: nr. 860 Groep III: =0 =0 Hoe worden dergelijke vergelijkingen genoemd? Welke eigenschap wordt gebruikt om ze op te lossen?

Een rationale vergelijking is een vergelijking van de vorm =0. Een breuk is nul als de teller nul is en de noemer niet nul. =0 als a = 0, b≠ 0.

In het kort uit de geschiedenis van de wiskunde Kwadratische en lineaire vergelijkingen konden zelfs de wiskundigen van het oude Egypte oplossen. De Perzische middeleeuwse wetenschapper Al-Khwarizmi (IX eeuw) introduceerde voor het eerst algebra als een onafhankelijke wetenschap over algemene methoden voor het oplossen van lineaire en kwadratische vergelijkingen, en gaf een classificatie van deze vergelijkingen. Een nieuwe grote doorbraak in de wiskunde wordt geassocieerd met de naam van de Franse wetenschapper Francois Vieta (XVI eeuw). Hij was het die letters in de algebra introduceerde. Hij bezit de bekende stelling over de wortels van een kwadratische vergelijking. En we hebben de traditie van het aanduiden van onbekende hoeveelheden met de laatste letters van het Latijnse alfabet (x, y, z) te danken aan een andere Franse wiskundige - René Descartes (XVII).

Huiswerk Werken met sites: - Open takenbank OGE (wiskunde) http: //85. 142.162.126/os/xmodules/qprint/index. php? proj=DE 0 E 276 E 49 7 AB 3784 C 3 FC 4 CC 20248 DC 0; - "Ik zal de OGE oplossen" door D. Gushchin https://oge. sdamgia. ru/ ; - Website van A. Larin (optie 119) http://alexlarin. netto/. Leermiddelen: - Yu M. Kolyagin leerboek "Algebra Grade 9", M., "Enlightenment", 2014, p. 308 -310; - "3000 taken" onder. bewerkt door I. V. Yashchenko, M., "Examen", 2017, p. 5974.

Informatie voor ouders Het voorbereidingssysteem voor de OGE in wiskunde 1). Gelijktijdige herhaling in de lessen 2). Laatste herhaling aan het einde van het jaar 3). Keuzevakken (op zaterdag) 4). Huiswerksysteem - werk met sites DECIDE OGE, OPEN BANK FIPI, A. LARIN SITE. 5). Individuele consulten (op maandag)

Toylonov Argymai en Toylonov Erkey

Wiskundeonderwijs op een school voor algemeen onderwijs is een essentieel onderdeel van het algemeen onderwijs en de algemene cultuur van een modern persoon. Bijna alles dat een moderne persoon omringt, is allemaal op de een of andere manier verbonden met wiskunde. En de nieuwste ontwikkelingen op het gebied van natuurkunde, techniek en informatietechnologie laten er geen twijfel over bestaan ​​dat de stand van zaken in de toekomst hetzelfde zal blijven. Daarom wordt de oplossing van veel praktische problemen gereduceerd tot het oplossen van verschillende soorten vergelijkingen die moeten worden geleerd om op te lossen.

En sinds 2013 wordt de certificering in wiskunde aan het einde van de basisschool uitgevoerd in de vorm van de OGE. Net als het Unified State Examination is de OGE ontworpen om niet alleen certificering in algebra uit te voeren, maar ook in de hele cursus wiskunde op de hoofdschool.

Het leeuwendeel van de taken komt op de een of andere manier neer op het opstellen van vergelijkingen en hun oplossingen. Om verder te gaan met de studie van dit onderwerp, moesten we de vragen beantwoorden: “Welke soorten vergelijkingen zijn te vinden in de taken van de OGE? ” en “Wat zijn de manieren om deze vergelijkingen op te lossen?”

Er is dus behoefte aan het bestuderen van alle soorten vergelijkingen die voorkomen in de taken van de OGE. Al het bovenstaande definieert

doel het werk is om alle soorten vergelijkingen die in de taken van de OGE worden gevonden per type te voltooien en de belangrijkste manieren te analyseren om deze vergelijkingen op te lossen.

Om dit doel te bereiken hebben we het volgende gesteld taken:

1) Leer de basisbronnen voor de voorbereiding op de belangrijkste staatsexamens.

2) Voltooi alle vergelijkingen per type.

3) Analyseer de manieren om deze vergelijkingen op te lossen.

4) Stel een verzameling samen met alle soorten vergelijkingen en manieren om ze op te lossen.

Studieobject: vergelijkingen.

Onderwerp van studie: vergelijkingen in de taken van de OGE.

Downloaden:

Voorbeeld:

Gemeentelijke budgettaire onderwijsinstelling

"Chibit middelbare school"

ONDERWIJSPROJECT:

"VERGELIJKINGEN IN OGE-TAKEN"

Toylonov Erkey

Leerlingen van groep 8

Promotor: Toylonova Nadezhda Vladimirovna, leraar wiskunde.

Tijdlijn projectimplementatie:

van 13.12.2017 tot 13.02. 2018

INVOERING

Wiskundeonderwijs op een school voor algemeen onderwijs is een essentieel onderdeel van het algemeen onderwijs en de algemene cultuur van een moderne persoon. Bijna alles dat een moderne persoon omringt, is allemaal op de een of andere manier verbonden met wiskunde. En de nieuwste ontwikkelingen op het gebied van natuurkunde, technologie en informatietechnologie laten er geen twijfel over bestaan ​​dat de stand van zaken in de toekomst hetzelfde zal blijven. Daarom wordt de oplossing van veel praktische problemen gereduceerd tot het oplossen van verschillende soorten vergelijkingen die moeten worden geleerd om op te lossen.

En sinds 2013 wordt de certificering in wiskunde aan het einde van de basisschool uitgevoerd in de vorm van de OGE. Net als het Unified State Examination is de OGE ontworpen om niet alleen certificering in algebra uit te voeren, maar ook in de hele cursus wiskunde op de hoofdschool.

Het leeuwendeel van de taken komt op de een of andere manier neer op het opstellen van vergelijkingen en hun oplossingen. Om verder te gaan met de studie van dit onderwerp, moesten we de vragen beantwoorden: “Welke soorten vergelijkingen zijn te vinden in de taken van de OGE? ” en “Wat zijn de manieren om deze vergelijkingen op te lossen?”

Er is dus behoefte aan het bestuderen van alle soorten vergelijkingen die voorkomen in de taken van de OGE. Al het bovenstaande definieertrelevantie van het probleem van het uitgevoerde werk.

doel het werk is om alle soorten vergelijkingen die in de taken van de OGE worden gevonden per type te voltooien en de belangrijkste manieren te analyseren om deze vergelijkingen op te lossen.

Om dit doel te bereiken hebben we het volgende gesteld taken:

1) Leer de basisbronnen voor de voorbereiding op de belangrijkste staatsexamens.

2) Voltooi alle vergelijkingen per type.

3) Analyseer de manieren om deze vergelijkingen op te lossen.

4) Stel een verzameling samen met alle soorten vergelijkingen en manieren om ze op te lossen.

Studieobject: vergelijkingen.

Onderwerp van studie:vergelijkingen in de taken van de OGE.

Projectwerkplan:

1. Formulering van het thema van het project.
2. Selectie van materiaal uit officiële bronnen over een bepaald onderwerp.
3. Verwerken en systematiseren van informatie.
4. Projectuitvoering.
5. Project ontwerp.
6. Project bescherming.

Probleem : verdiep uw begrip van vergelijkingen. Toon de belangrijkste methoden voor het oplossen van de vergelijkingen die worden gepresenteerd in de taken van de OGE in het eerste en tweede deel.

Dit werk is een poging om het bestudeerde materiaal te generaliseren en te systematiseren en om nieuwe te bestuderen. Het project omvat: lineaire vergelijkingen met de overdracht van termen van het ene deel van de vergelijking naar het andere en met behulp van de eigenschappen van vergelijkingen, evenals problemen die door de vergelijking worden opgelost, alle soorten kwadratische vergelijkingen en methoden voor het oplossen van rationale vergelijkingen.

Wiskunde... onthult orde, symmetrie en zekerheid,

en dit zijn de belangrijkste soorten schoonheid.

Aristoteles.

Historische referentie

In die verre tijden, toen de wijze mannen voor het eerst begonnen na te denken over gelijkheden met onbekende hoeveelheden, waren er waarschijnlijk nog geen munten of portefeuilles. Maar aan de andere kant waren er stapels, evenals potten, manden, die perfect waren voor de rol van caches-winkels met een onbekend aantal items. "We zijn op zoek naar een hoop, die samen met tweederde ervan, een half en een zevende, 37 is ...", leerde de Egyptische schrijver Ahmes in het II millennium voor Christus. In de oude wiskundige problemen van Mesopotamië, India, China, Griekenland drukten onbekende grootheden het aantal pauwen in de tuin uit, het aantal stieren in de kudde, het geheel van dingen waarmee rekening wordt gehouden bij het verdelen van eigendom. Schriftgeleerden, ambtenaren en priesters, ingewijd in geheime kennis, goed opgeleid in de wetenschap van het tellen, volbrachten dergelijke taken redelijk goed.

Bronnen die ons zijn overgeleverd, geven aan dat oude wetenschappers enkele algemene methoden bezaten om problemen met onbekende hoeveelheden op te lossen. Geen enkele papyrus, geen enkele kleitablet geeft echter een beschrijving van deze technieken. Slechts af en toe voorzagen de auteurs hun numerieke berekeningen van gemene opmerkingen als: "Kijk!", "Doe het!", "Je hebt het goed gevonden." In die zin is de uitzondering de "rekenkunde" van de Griekse wiskundige Diophantus van Alexandrië (III eeuw) - een verzameling problemen voor het samenstellen van vergelijkingen met een systematische presentatie van hun oplossingen.

Het werk van de Bagdad-geleerde uit de 9e eeuw werd echter de eerste handleiding voor het oplossen van problemen die algemeen bekend werden. Muhammad bin Musa al-Khwarizmi. Het woord "al-jabr" uit de Arabische titel van deze verhandeling - "Kitab al-jaber wal-muqabala" ("Het boek van herstel en contrast") - veranderde in de loop van de tijd in het woord "algebra", dat bij iedereen bekend is, en het werk van al-Khwarizmi zelf diende als uitgangspunt bij de ontwikkeling van de wetenschap van het oplossen van vergelijkingen.

Dus wat is een vergelijking?

Er is een gelijkstelling in rechten, een tijdsvereffening (vertaling van echte zonnetijd in gemiddelde zonnetijd, geaccepteerd in het hostel en in de wetenschap; aster), enz.

In wiskunde is een wiskundige vergelijking die een of meer onbekende grootheden bevat en alleen geldig blijft voor bepaalde waarden van deze onbekende grootheden.

In vergelijkingen met één variabele wordt de onbekende meestal aangeduid met de letter " X ". De waarde van "x , die aan deze voorwaarden voldoet, wordt de wortel van de vergelijking genoemd.

De vergelijkingen zijn anders. soort :

bijl + b = 0. - Lineaire vergelijking.
ax 2 + bx + c = 0. - Kwadratische vergelijking.
ax 4 + bx 2 + c = 0. - Bikwadratische vergelijking.

– Rationele vergelijking.

– Irrationele vergelijking.
Er zijn zulkemanieren om vergelijkingen op te lossen Hoe: algebraïsch, rekenkundig en meetkundig. Overweeg de algebraïsche manier.

los De vergelijking opis om dergelijke waarden van x te vinden die, wanneer ze in de oorspronkelijke uitdrukking worden vervangen, ons de juiste gelijkheid geven of bewijzen dat er geen oplossingen zijn. Het oplossen van vergelijkingen, hoe moeilijk ook, is spannend. Het is tenslotte echt verrassend als een hele stroom nummers afhankelijk is van één onbekend nummer.

Om in vergelijkingen het onbekende te vinden, is het noodzakelijk om de oorspronkelijke uitdrukking te transformeren en te vereenvoudigen. En zodat bij het veranderen van het uiterlijk de essentie van de uitdrukking niet verandert. Dergelijke transformaties worden identiek of equivalent genoemd.

Hoofdstuk 1 Vergelijkingen oplossen

1.1 Lineaire vergelijkingen oplossen.

Nu gaan we de oplossingen van lineaire vergelijkingen bekijken. Bedenk dat een vergelijking van de vormwordt een lineaire vergelijking of een vergelijking van de eerste graad genoemd, aangezien met de variabele " X » de hoogste graad is in de eerste graad.

De oplossing van de lineaire vergelijking is heel eenvoudig:

Voorbeeld 1: Los vergelijking 3 op x+3=5x

De lineaire vergelijking wordt opgelost door de methode van het overbrengen van termen die onbekenden bevatten naar de linkerkant van het gelijkteken, vrije coëfficiënten naar de rechterkant van het gelijkteken:

3 x – 5 x = – 3

2x=-3

x=1,5

De waarde van een variabele die een vergelijking in een echte gelijkheid verandert, wordt genoemd de wortel van de vergelijking.

Na controle krijgen we:

Dus 1,5 is de wortel van de vergelijking.

Antwoord: 1.5.

Vergelijkingen oplossen door termen van het ene deel van de vergelijking naar het andere over te brengen, terwijl het teken van de termen in het tegenovergestelde verandert en van toepassing is eigenschappen vergelijkingen - beide delen van de vergelijking kunnen worden vermenigvuldigd (gedeeld) met hetzelfde niet-nul getal of uitdrukking, kan worden overwogen bij het oplossen van de volgende vergelijkingen.

Voorbeeld 2. Los de vergelijkingen op:

a) 6 x +1=− 4 x ; b) 8 + 7 x = 9 x +4; c) 4(x − 8)=− 5.

Oplossing.

a) Door de overdrachtsmethode die we oplossen

6x + 4x = -1;

10x=─ 1;

x=─ 1:10;

x=─ 0,1.

Inspectie:

Antwoord: -0,1

b) Net als in het vorige voorbeeld lossen we op met de overdrachtsmethode:

Antwoord: 2.

c) In deze vergelijking is het nodig om de haakjes te openen en de distributieve eigenschap van vermenigvuldiging toe te passen met betrekking tot de optelbewerking.

Antwoord: 6,75.

1.2 Kwadratische vergelijkingen

Typ vergelijking wordt een kwadratische vergelijking genoemd, waarbij A - hogere coëfficiënt, B is de gemiddelde coëfficiënt, c is de vrije term.

Afhankelijk van de coëfficiënten a, b en c - de vergelijking kan volledig of onvolledig, gereduceerd of niet gereduceerd zijn.

1.2.1 Onvolledige kwadratische vergelijkingen

Overweeg manieren om onvolledige kwadratische vergelijkingen op te lossen:

1) Laten we beginnen met de oplossing van het eerste type onvolledige kwadratische vergelijkingen voor c=0 . Onvolledige kwadratische vergelijkingen van het formulier a x 2 +b x=0 stelt u in staat om op te lossenfactorisatie methode. In het bijzonder de haakjesmethode.

Uiteraard kunnen we, gelegen aan de linkerkant van de vergelijking, waarvoor het voldoende is om de gemeenschappelijke factor tussen haakjes te halen X . Hiermee kunt u van de originele onvolledige kwadratische vergelijking naar een equivalente vergelijking van de vorm gaan: x·(a·x+b)=0 .

En deze vergelijking is gelijk aan de combinatie van twee vergelijkingen x=0 of ax+b=0 , waarvan de laatste lineair is en een wortel heeft x=− .

a x 2 +b x=0 heeft twee wortels

x=0 en x=− .

2) Overweeg nu hoe onvolledige kwadratische vergelijkingen worden opgelost waarin de coëfficiënt b is nul en c≠0 , dat wil zeggen vergelijkingen van de vorm a x 2 +c=0 . We weten dat de overdracht van een term van de ene kant van de vergelijking naar de andere met het tegengestelde teken, evenals de deling van beide kanten van de vergelijking door een getal dat niet gelijk is aan nul, een equivalente vergelijking oplevert. Daarom kunnen we de volgende equivalente transformaties van de onvolledige kwadratische vergelijking uitvoeren een x 2 +c=0 :

• verplaatsen c aan de rechterkant, wat de vergelijking geeft a x 2 =−c ,
• en verdeel beide delen in een, we krijgen.

De resulterende vergelijking stelt ons in staat conclusies te trekken over de wortels ervan.

Als nummer negatief is, dan heeft de vergelijking geen wortels. Deze verklaring volgt uit het feit dat het kwadraat van elk getal een niet-negatief getal is.

Als een positief getal is, dan is de situatie met de wortels van de vergelijking anders. In dit geval moet u onthouden dat er een wortel van de vergelijking is, het is een getal. De wortel van de vergelijking wordt berekend volgens het schema:

Het is bekend dat substitutie in de vergelijking in plaats van X zijn wortels veranderen de vergelijking in een echte gelijkheid.

Laten we de informatie in deze paragraaf samenvatten. Onvolledige kwadratische vergelijking a x 2 +c=0 is gelijk aan de vergelijking, welke

3) Oplossingen van onvolledige kwadratische vergelijkingen waarin de coëfficiënten b en c gelijk zijn aan nul, dat wil zeggen, uit vergelijkingen van de vorm a x 2 = 0. De vergelijking a x 2 =0 volgt op x 2 =0 , die wordt verkregen uit het origineel door beide delen ervan te delen door een getal dat niet gelijk is aan nul A . Duidelijk de wortel van de vergelijking x2=0 is nul omdat 0 2 =0 . Deze vergelijking heeft geen andere wortels.

Dus de onvolledige kwadratische vergelijking a x 2 = 0 heeft een enkele wortel x=0 .

Voorbeeld 3 Los de vergelijkingen op: a) x 2 = 5x, als de vergelijking meerdere wortels heeft, geef dan in het antwoord de kleinste aan;

B) , als de vergelijking meerdere wortels heeft, geef dan in het antwoord de grootste aan;

c) × 2 −9=0, als de vergelijking meerdere wortels heeft, geef dan de kleinere aan in je antwoord.

Oplossing.

We hebben een onvolledige kwadratische vergelijking waarvoor geen vrije term is. We lossen op door de methode van tussen haakjes halen.

Bij De vergelijking kan twee wortels hebben, waarvan de kleinste 0 is.

Antwoord: 0.

B) . Net als in het vorige voorbeeld passen we de bracketingmethode toe

In het antwoord moet u de grootste van de wortels aangeven. Dat is het nummer 2.

Antwoord: 2.

V) . Deze vergelijking is een onvolledige kwadratische vergelijking die geen gemiddelde coëfficiënt heeft.

De kleinste van deze wortels is het nummer - 3.

Antwoord: -3.

1.2.2 Volledige kwadratische vergelijkingen.

1. Discriminant, de basisformule voor de wortels van een kwadratische vergelijking

Er is een wortelformule.

Laten we opschrijven de formule van de wortels van de kwadratische vergelijking stap voor stap:

1) D=b 2 −4 een c - zogenaamd.

a) als D

b) als D>0, dan de vergelijkingheeft niet één wortel:

c) als D heeft geen twee wortels:

Algoritme voor het oplossen van kwadratische vergelijkingen met wortelformules

In de praktijk kunt u bij het oplossen van een kwadratische vergelijking onmiddellijk de wortelformule gebruiken om hun waarden te berekenen. Maar dit gaat meer over het vinden van complexe wortels.

In een cursus algebra op school praten we echter meestal niet over complexe, maar over echte wortels van een kwadratische vergelijking. In dit geval is het raadzaam om eerst de discriminant te vinden voordat u de formules voor de wortels van de kwadratische vergelijking gebruikt, ervoor te zorgen dat deze niet-negatief is (anders kunnen we concluderen dat de vergelijking geen echte wortels heeft), en daarna bereken de waarden van de wortels.

De bovenstaande redenering stelt ons in staat om te schrijvenalgoritme voor het oplossen van een kwadratische vergelijking. Een kwadratische vergelijking oplossen a x 2 +b x+c=0 , je hebt nodig:

• door de discriminantformule D=b 2 −4 een c bereken de waarde ervan;
• concluderen dat de kwadratische vergelijking geen echte wortels heeft als de discriminant negatief is;
• bereken de enige wortel van de vergelijking met de formule als D=0 ;
• vind twee echte wortels van een kwadratische vergelijking met behulp van de wortelformule als de discriminant positief is.

2. Discriminant, de tweede formule van de wortels van de kwadratische vergelijking (voor een even tweede coëfficiënt).

Kwadratische vergelijkingen van de vorm oplossen, met een even coëfficiënt b=2k er is nog een formule.

Laten we een nieuwe schrijven de formule voor de wortels van de kwadratische vergelijking voor:

1) D’=k 2 −a c - zogenaamddiscriminant van een kwadratische vergelijking.

a) als D' heeft geen echte wortels;

b) als D'>0, dan de vergelijkingheeft niet één wortel:

c) als D' heeft geen twee wortels:

Voorbeeld 4 Los de vergelijking 2x op 2 −3x+1=0.. Als de vergelijking meer dan één wortel heeft, noteer dan de grootste van de wortels als antwoord.

Oplossing. In het eerste geval hebben we de volgende coëfficiënten van de kwadratische vergelijking: a=2 , b=-3 en c=1 D=b 2 −4 a c=(-3) 2 −4 2 1=9-8=1 . Sinds 1>0

We hebben heeft twee wortels, waarvan de grootste nummer 1 is.

Antwoord 1.

Voorbeeld 5 Los vergelijking x op 2 −21=4x.

Als de vergelijking meer dan één wortel heeft, noteer dan de grootste van de wortels als antwoord.

Oplossing. Naar analogie met het vorige voorbeeld gaan we 4h naar links van het gelijkteken en krijgen:

In dit geval hebben we de volgende coëfficiënten van de kwadratische vergelijking: a=1 , k=-2 en c=−21 . Volgens het algoritme moet je eerst de discriminant berekenen D'=k 2 −a c=(-2) 2 −1 (−21)=4+21=25 . Nummer 25>0 , dat wil zeggen, de discriminant is groter dan nul, dan heeft de kwadratische vergelijking twee echte wortels. Laten we ze zoeken aan de hand van de wortelformule

Antwoord: 7.

1.2.3 Bijzondere methoden voor het oplossen van kwadratische vergelijkingen.

1) Relatie tussen wortels en coëfficiënten van een kwadratische vergelijking. Vieta's stelling.

De formule voor de wortels van een kwadratische vergelijking drukt de wortels van een vergelijking uit in termen van de coëfficiënten. Op basis van de formule van de wortels kun je andere relaties krijgen tussen de wortels en coëfficiënten.

De meest bekende en toepasselijke formule is de Stelling van Vieta.

Stelling: Laat - wortels van de gereduceerde kwadratische vergelijking. Dan is het product van de wortels gelijk aan de vrije term, en de som van de wortels is gelijk aan de tegengestelde waarde van de tweede coëfficiënt:

Met behulp van de reeds geschreven formules kunt u een aantal andere relaties krijgen tussen de wortels en coëfficiënten van de kwadratische vergelijking. U kunt bijvoorbeeld de som van de kwadraten van de wortels van een kwadratische vergelijking uitdrukken in termen van de coëfficiënten.

Voorbeeld 6 a) Los de vergelijking x op 2

b) Los de vergelijking x op 2

c) Los de vergelijking x op 2

Oplossing.

a) Los de vergelijking x op 2 −6x+5=0. Als de vergelijking meer dan één wortel heeft, noteer dan de kleinste van de wortels als antwoord.

Kies de kleinste van de wortels

Antwoord 1

b) Los de vergelijking x op 2 +7x+10=0. Als de vergelijking meer dan één wortel heeft, noteer dan de grootste van de wortels als antwoord.

Door de stelling van Vieta toe te passen, schrijven we formules voor de wortels

Logischerwijs concluderen we dat. Kies de grootste van de wortels

Antwoord: ─2.

c) Los de vergelijking x op 2 ─5x─14=0. Als de vergelijking meer dan één wortel heeft, noteer dan de grootste van de wortels als antwoord.

Door de stelling van Vieta toe te passen, schrijven we formules voor de wortels

Logischerwijs concluderen we dat. Kies de kleinste van de wortels

Antwoord: ─2.

1.3 Rationele vergelijkingen

Als je een vergelijking krijgt met breuken van de vormmet een variabele in de teller of noemer, dan wordt zo'n uitdrukking een rationele vergelijking genoemd. Een rationele vergelijking is elke vergelijking die ten minste één rationele uitdrukking bevat. Rationale vergelijkingen worden op dezelfde manier opgelost als andere vergelijkingen: dezelfde bewerkingen worden aan beide kanten van de vergelijking uitgevoerd totdat de variabele aan één kant van de vergelijking wordt geïsoleerd. Er zijn echter 2 methoden voor het oplossen van rationale vergelijkingen.

1) Kruislings vermenigvuldigen.Herschrijf indien nodig de vergelijking die u is gegeven, zodat er aan elke kant één breuk is (één rationele uitdrukking); alleen dan kunt u de kruisvermenigvuldigingsmethode gebruiken.

Vermenigvuldig de teller van de linker breuk met de noemer van de rechter. Herhaal dit met de teller van de rechter breuk en de noemer van de linker.

• Kruiselingse vermenigvuldiging is gebaseerd op elementaire algebraïsche principes. In rationele uitdrukkingen en andere breuken kun je de teller verwijderen door de tellers en noemers van de twee breuken dienovereenkomstig te vermenigvuldigen.
• Vergelijk de resulterende uitdrukkingen en vereenvoudig ze.
• Los de resulterende vergelijking op, dat wil zeggen, zoek "x". Als "x" aan beide kanten van de vergelijking staat, isoleer het dan aan één kant van de vergelijking.

2) De kleinste gemene deler (LCD) wordt gebruikt om deze vergelijking te vereenvoudigen.Deze methode wordt gebruikt wanneer u de gegeven vergelijking niet met één rationele uitdrukking aan elke kant van de vergelijking kunt schrijven (en de kruisvermenigvuldigingsmethode gebruikt). Deze methode wordt gebruikt wanneer u een rationele vergelijking krijgt met 3 of meer breuken (in het geval van twee breuken is kruislingse vermenigvuldiging beter).

• Vind de kleinste gemene deler van breuken (of kleinste gemene veelvoud).NOZ is het kleinste getal dat deelbaar is door elke noemer.
• Vermenigvuldig zowel de teller als de noemer van elke breuk met een getal dat gelijk is aan het resultaat van het delen van de NOZ door de overeenkomstige noemer van elke breuk.
• Zoek x. Nu je de breuken hebt teruggebracht tot een gemeenschappelijke noemer, kun je de noemer verwijderen. Om dit te doen, vermenigvuldigt u elke kant van de vergelijking met een gemeenschappelijke noemer. Los vervolgens de resulterende vergelijking op, dat wil zeggen, zoek "x". Isoleer hiervoor de variabele aan één kant van de vergelijking.

Voorbeeld 7 Los de vergelijkingen op: a); b) c).

Oplossing.

A) . We gebruiken de kruisvermenigvuldigingsmethode.

Open de haakjes en voeg soortgelijke termen toe.

heb een lineaire vergelijking met een onbekende

Antwoord: ─10.

B) , net als in het vorige voorbeeld, passen we kruis voor kruis de vermenigvuldigingsmethode toe.

Antwoord: ─1.9.

V) , gebruiken we de methode van de kleinste gemene deler (LCD).

In dit voorbeeld zou de gemene deler 12 zijn.

Antwoord: 5.

Hoofdstuk 2 Complexe vergelijkingen

Vergelijkingen die tot de categorie complexe vergelijkingen behoren, kunnen verschillende methoden en technieken voor het oplossen combineren. Maar op de een of andere manier leiden alle vergelijkingen door de methode van logisch redeneren en equivalente acties tot vergelijkingen die eerder zijn bestudeerd.

Voorbeeld 7 Los De vergelijking op ( x +3) 2 =(x +8) 2 .

Oplossing. Volgens de formules voor verkorte vermenigvuldiging zullen we de haakjes openen:

We verplaatsen alle termen voorbij het gelijkteken en geven vergelijkbare,

Antwoord: 5.5.

Voorbeeld 8 Los de vergelijkingen op: a)(− 5 x +3)(− x +6)=0, b) (x +2)(− x +6)=0.

Oplossing.

a)(− 5 x +3)(− x +6)=0; open de haakjes en geef soortgelijke termen

verkregen een volledige kwadratische vergelijking, die we zullen oplossen door middel van de eerste formule van de discriminant

de vergelijking heeft twee wortels

Antwoord: 0,6 en 6.

b) (x +2)(− x +6)=0, voor deze vergelijking gaan we logisch redeneren (het product is gelijk aan nul als een van de factoren gelijk is aan nul). Middelen

Antwoord: ─2 en 6.

Voorbeeld 9 Los de vergelijkingen op:, B).

Oplossing. Het vinden van de kleinste gemene deler

We schrijven in aflopende volgorde van de machten van de variabele

; verkregen een volledige kwadratische vergelijking met een even tweede coëfficiënt

De vergelijking heeft twee reële wortels

Antwoord: .

B) . De redenering is vergelijkbaar a). NOZ vinden

Open de haakjes en geef soortgelijke termen

we lossen de volledige kwadratische vergelijking op via de algemene formule

Antwoord: .

Voorbeeld 10 Los de vergelijkingen op:

Oplossing.

A) , We zien dat aan de linkerkant de uitdrukking tussen de haakjes een gereduceerde vermenigvuldigingsformule is, meer bepaald het kwadraat van de som van twee uitdrukkingen. Laten we het transformeren

; verplaats de termen van deze vergelijking in één richting

haal het uit de haakjes

Het product is nul als een van de factoren nul is. Middelen,

Antwoord: ─2, ─1 en 1.

B) We argumenteren op dezelfde manier als bijvoorbeeld a)

, volgens de stelling van Vieta

Antwoord:

Voorbeeld 11. Los de vergelijkingen op a)

Oplossing.

A) ; [aan de linker- en rechterkant van de vergelijking kunnen we de bracketingmethode toepassen en aan de linkerkant zullen we, en aan de rechterkant halen we het nummer 16 eruit.]

[Laten we alles opzij schuiven en opnieuw de bracketingmethode toepassen. We halen de gemeenschappelijke factor eruit]

[het product is nul als een van de factoren nul is.]

Antwoord:

B) . [Deze vergelijking is vergelijkbaar met vergelijking a). Daarom is in dit geval de groeperingsmethode van toepassing]

Antwoord:

Voorbeeld 12. Los De vergelijking op=0.

Oplossing.

0 [bikwadratische vergelijking. Opgelost door de verandering van variabele methode].

0; [Door de stelling van Vieta toe te passen krijgen we de wortels]

. [terug naar vorige variabelen]

Antwoord:

Voorbeeld 13 Los De vergelijking op

Oplossing. [bikwadratische vergelijking, verwijder de even graad door modulo-tekens toe te passen.]

[we hebben twee kwadratische vergelijkingen, die we oplossen met de basisformule van de wortels van de kwadratische vergelijking]

er zijn geen echte wortels de vergelijking heeft twee wortels

Antwoord:

Voorbeeld 14 Los De vergelijking op

Oplossing.

ODZ:

[we verplaatsen alle termen van de vergelijking naar de linkerkant en brengen soortgelijke termen]

[we hebben de gereduceerde kwadratische vergelijking, die gemakkelijk kan worden opgelost met de stelling van Vieta]

Het getal - 1 voldoet niet aan de ODZ van de gegeven vergelijking, daarom kan het niet de wortel van deze vergelijking zijn. Dus de wortel is alleen het getal 7.

Antwoord: 7.

Voorbeeld 15 Los De vergelijking op

Oplossing.

De som van de kwadraten van twee uitdrukkingen kan alleen gelijk zijn aan nul als de uitdrukkingen tegelijkertijd gelijk zijn aan nul. Namelijk

[Los elke vergelijking afzonderlijk op]

Volgens de stelling van Vieta

Het samenvallen van de wortels gelijk aan -5 zal de wortel van de vergelijking zijn.

Antwoord: - 5.

CONCLUSIE

Als we de resultaten van het verrichte werk samenvatten, kunnen we concluderen dat vergelijkingen een grote rol spelen in de ontwikkeling van de wiskunde. We hebben de opgedane kennis gesystematiseerd, het behandelde materiaal samengevat. Deze kennis kan ons voorbereiden op de komende examens.

Ons werk maakt het mogelijk om anders te kijken naar de problemen die de wiskunde ons stelt.

• aan het einde van het project hebben we de eerder bestudeerde methoden voor het oplossen van vergelijkingen gesystematiseerd en gegeneraliseerd;
• kennis gemaakt met nieuwe manieren om vergelijkingen en eigenschappen van vergelijkingen op te lossen;

• beschouwde alle soorten vergelijkingen die in de taken van de OGE zowel in het eerste deel als in het tweede deel voorkomen.
• Creëerde een methodische verzameling "Vergelijkingen in de taken van de OGE".

We zijn van mening dat we het voor ons gestelde doel hebben bereikt - om alle soorten vergelijkingen in overweging te nemen bij de taken van het hoofdstaatsexamen wiskunde.

Lijst met gebruikte literatuur:

1. B.V. Gnedenko "Wiskunde in de moderne wereld". Moskou "Verlichting" 1980

2. Ya.I. Perelman "Vermakelijke algebra". Moskou "Wetenschap" 1978

6. http://tutorial.math.lamar.edu

7. http://www.regentsprep.org

8. http://www.fipi.ru

bijlage 1

Lineaire vergelijkingen

1. Zoek de wortel van de vergelijking

2. Zoek de wortel van de vergelijking

3. Zoek de wortel van de vergelijking

Bijlage 2

Onvolledige kwadratische vergelijkingen

1. Los de vergelijking x op 2 =5x. Als de vergelijking meer dan één wortel heeft, noteer dan de kleinste van de wortels als antwoord.

2. Los de vergelijking 2x op 2 =8x. Als de vergelijking meer dan één wortel heeft, noteer dan de kleinste van de wortels als antwoord.

3. Los de vergelijking 3x op 2 =9x. Als de vergelijking meer dan één wortel heeft, noteer dan de kleinste van de wortels als antwoord.

4. Los de vergelijking 4x op 2 =20x. Als de vergelijking meer dan één wortel heeft, noteer dan de kleinste van de wortels als antwoord.

5. Los de vergelijking 5x op 2 =35x. Als de vergelijking meer dan één wortel heeft, noteer dan de kleinste van de wortels als antwoord.

6. Los de vergelijking 6x op 2 =36x. Als de vergelijking meer dan één wortel heeft, noteer dan de kleinste van de wortels als antwoord.

7. Los de vergelijking 7x op 2 =42x. Als de vergelijking meer dan één wortel heeft, noteer dan de kleinste van de wortels als antwoord.

8. Los de vergelijking 8x op 2 =72x. Als de vergelijking meer dan één wortel heeft, noteer dan de kleinste van de wortels als antwoord.

9. Los de vergelijking 9x op 2 =54x. Als de vergelijking meer dan één wortel heeft, noteer dan de kleinste van de wortels als antwoord.

10. Los de vergelijking 10x op2 =80x. Als de vergelijking meer dan één wortel heeft, noteer dan de kleinste van de wortels als antwoord.

11. Los de vergelijking 5x op2 −10x=0. Als de vergelijking meer dan één wortel heeft, noteer dan de grootste van de wortels als antwoord.

12. Los de vergelijking 3x op2 −9x=0. Als de vergelijking meer dan één wortel heeft, noteer dan de grootste van de wortels als antwoord.

13. Los de vergelijking 4x op2 −16x=0. Als de vergelijking meer dan één wortel heeft, noteer dan de grootste van de wortels als antwoord.

14. Los de vergelijking 5x op2 +15x=0. Als de vergelijking meer dan één wortel heeft, noteer dan de kleinste van de wortels als antwoord.

15. Los de vergelijking 3x op2 +18x=0. Als de vergelijking meer dan één wortel heeft, noteer dan de kleinste van de wortels als antwoord.

16. Los de vergelijking 6x op2 +24x=0. Als de vergelijking meer dan één wortel heeft, noteer dan de kleinste van de wortels als antwoord.

17. Los de vergelijking 4x op2 −20x=0. Als de vergelijking meer dan één wortel heeft, noteer dan de grootste van de wortels als antwoord.

18. Los de vergelijking 5x op2 +20x=0. Als de vergelijking meer dan één wortel heeft, noteer dan de kleinste van de wortels als antwoord.

19. Los de vergelijking 7x op2 −14x=0. Als de vergelijking meer dan één wortel heeft, noteer dan de grootste van de wortels als antwoord.

20. Los de vergelijking 3x op2 +12x=0. Als de vergelijking meer dan één wortel heeft, noteer dan de kleinste van de wortels als antwoord.

21. Los de vergelijking x op2 −9=0. Als de vergelijking meer dan één wortel heeft, noteer dan de kleinste van de wortels als antwoord.

22. Los de vergelijking x op2 −121=0. Als de vergelijking meer dan één wortel heeft, noteer dan de kleinste van de wortels als antwoord.

23. Los de vergelijking x op2 −16=0. Als de vergelijking meer dan één wortel heeft, noteer dan de kleinste van de wortels als antwoord.

24. Los de vergelijking x op2 −25=0. Als de vergelijking meer dan één wortel heeft, noteer dan de kleinste van de wortels als antwoord.

25. Los vergelijking x op2 −49=0. Als de vergelijking meer dan één wortel heeft, noteer dan de kleinste van de wortels als antwoord.

26. Los de vergelijking x op2 −81=0. Als de vergelijking meer dan één wortel heeft, noteer dan de kleinste van de wortels als antwoord.

27. Los de vergelijking x op2 −4=0. Als de vergelijking meer dan één wortel heeft, noteer dan de kleinste van de wortels als antwoord.

28. Los vergelijking x op2 −64=0. Als de vergelijking meer dan één wortel heeft, noteer dan de kleinste van de wortels als antwoord.

29. Los de vergelijking x op2 −36=0. Als de vergelijking meer dan één wortel heeft, noteer dan de kleinste van de wortels als antwoord.

30. Los vergelijking x op2 −144=0. Als de vergelijking meer dan één wortel heeft, noteer dan de kleinste van de wortels als antwoord.

31. Los de vergelijking x op2 −9=0. Als de vergelijking meer dan één wortel heeft, noteer dan de grootste van de wortels als antwoord.

32. Los de vergelijking x op2 −121=0. Als de vergelijking meer dan één wortel heeft, noteer dan de grootste van de wortels als antwoord.

33. Los de vergelijking x op2 −16=0. Als de vergelijking meer dan één wortel heeft, noteer dan de grootste van de wortels als antwoord.

34. Los de vergelijking x op2 −25=0. Als de vergelijking meer dan één wortel heeft, noteer dan de grootste van de wortels als antwoord.

35. Los vergelijking x op2 −49=0. Als de vergelijking meer dan één wortel heeft, noteer dan de grootste van de wortels als antwoord.

36. Los vergelijking x op2 −81=0. Als de vergelijking meer dan één wortel heeft, noteer dan de grootste van de wortels als antwoord.

37. Los de vergelijking x op2 −4=0. Als de vergelijking meer dan één wortel heeft, noteer dan de grootste van de wortels als antwoord.

38. Los de vergelijking x op2 −64=0. Als de vergelijking meer dan één wortel heeft, noteer dan de grootste van de wortels als antwoord.

39. Los de vergelijking x op2 −36=0. Als de vergelijking meer dan één wortel heeft, noteer dan de grootste van de wortels als antwoord.

40. Los vergelijking x op2 −144=0. Als de vergelijking meer dan één wortel heeft, noteer dan de grootste van de wortels als antwoord.

Bijlage 3

Voltooi kwadratische vergelijkingen

1. Los de vergelijking x op2 +3x=10. Als de vergelijking meer dan één wortel heeft, noteer dan de grootste van de wortels als antwoord.

2. Los vergelijking x op2 +7x=18. Als de vergelijking meer dan één wortel heeft, noteer dan de grootste van de wortels als antwoord.

3. Los vergelijking x op2 +2x=15. Als de vergelijking meer dan één wortel heeft, noteer dan de kleinste van de wortels als antwoord.

4. Los vergelijking x op2 −6x=16. Als de vergelijking meer dan één wortel heeft, noteer dan de kleinste van de wortels als antwoord.

5. Los vergelijking x op2 −3x=18. Als de vergelijking meer dan één wortel heeft, noteer dan de grootste van de wortels als antwoord.

6. Los vergelijking x op2 −18=7x. Als de vergelijking meer dan één wortel heeft, noteer dan de grootste van de wortels als antwoord.

7. Los vergelijking x op2 +4x=21. Als de vergelijking meer dan één wortel heeft, noteer dan de kleinste van de wortels als antwoord.

8. Los vergelijking x op2 −21=4x. Als de vergelijking meer dan één wortel heeft, noteer dan de grootste van de wortels als antwoord.

9. Los vergelijking x op2 −15=2x. Als de vergelijking meer dan één wortel heeft, noteer dan de kleinste van de wortels als antwoord.

10. Los vergelijking x op2 −5x=14. Als de vergelijking meer dan één wortel heeft, noteer dan de grootste van de wortels als antwoord.

11. Los vergelijking x op2 +6=5x. Als de vergelijking meer dan één wortel heeft, noteer dan de kleinste van de wortels als antwoord.

12. Los vergelijking x op2 +4=5x. Als de vergelijking meer dan één wortel heeft, noteer dan de grootste van de wortels als antwoord.

13. Los vergelijking x op2 −x=12. Als de vergelijking meer dan één wortel heeft, noteer dan de grootste van de wortels als antwoord.

14. Los vergelijking x op2 +4x=5. Als de vergelijking meer dan één wortel heeft, noteer dan de kleinste van de wortels als antwoord.

15. Los vergelijking x op2 −7x=8. Als de vergelijking meer dan één wortel heeft, noteer dan de grootste van de wortels als antwoord.

16. Los vergelijking x op2 +7=8x. Als de vergelijking meer dan één wortel heeft, noteer dan de kleinste van de wortels als antwoord.

17. Los vergelijking x op2 +18=9x. Als de vergelijking meer dan één wortel heeft, noteer dan de kleinste van de wortels als antwoord.

18. Los vergelijking x op2 +10=7x. Als de vergelijking meer dan één wortel heeft, noteer dan de grootste van de wortels als antwoord.

19. Los de vergelijking x op2 −20=x. Als de vergelijking meer dan één wortel heeft, noteer dan de grootste van de wortels als antwoord.

20. Los de vergelijking x op2 −35=2x. Als de vergelijking meer dan één wortel heeft, noteer dan de kleinste van de wortels als antwoord.

21. Los de vergelijking 2x op2 −3x+1=0. Als de vergelijking meer dan één wortel heeft, noteer dan de kleinste van de wortels als antwoord.

22. Los de vergelijking 5x op2 +4x−1=0. Als de vergelijking meer dan één wortel heeft, noteer dan de grootste van de wortels als antwoord.

23. Los de vergelijking 2x op2 +5x−7=0. Als de vergelijking meer dan één wortel heeft, noteer dan de kleinste van de wortels als antwoord.

24. Los de vergelijking 5x op2 −12x+7=0. Als de vergelijking meer dan één wortel heeft, noteer dan de grootste van de wortels als antwoord.

25. Los de vergelijking 5x op2 −9x+4=0. Als de vergelijking meer dan één wortel heeft, noteer dan de kleinste van de wortels als antwoord.

26. Los de vergelijking 8x op2 −12x+4=0. Als de vergelijking meer dan één wortel heeft, noteer dan de kleinste van de wortels als antwoord.

27. Los de vergelijking 8x op2 −10x+2=0. Als de vergelijking meer dan één wortel heeft, noteer dan de kleinste van de wortels als antwoord.

28. Los de vergelijking 6x op2 −9x+3=0. Als de vergelijking meer dan één wortel heeft, noteer dan de kleinste van de wortels als antwoord.

29. Los de vergelijking 5x op2 +9x+4=0. Als de vergelijking meer dan één wortel heeft, noteer dan de grootste van de wortels als antwoord.

30. Los de vergelijking 5x op2 +8x+3=0. Als de vergelijking meer dan één wortel heeft, noteer dan de grootste van de wortels als antwoord.

31. Los de vergelijking x op2 −6x+5=0. Als de vergelijking meer dan één wortel heeft, noteer dan de kleinste van de wortels als antwoord.

32. Los de vergelijking x op2 −7x+10=0. Als de vergelijking meer dan één wortel heeft, noteer dan de kleinste van de wortels als antwoord.

33. Los de vergelijking x op2 −9x+18=0. Als de vergelijking meer dan één wortel heeft, noteer dan de kleinste van de wortels als antwoord.

34. Los de vergelijking x op2 −10x+24=0. Als de vergelijking meer dan één wortel heeft, noteer dan de kleinste van de wortels als antwoord.

35. Los vergelijking x op2 −11x+30=0. Als de vergelijking meer dan één wortel heeft, noteer dan de kleinste van de wortels als antwoord.

36. Los vergelijking x op2 −8x+12=0. Als de vergelijking meer dan één wortel heeft, noteer dan de grootste van de wortels als antwoord.

37. Los de vergelijking x op2 −10x+21=0. Als de vergelijking meer dan één wortel heeft, noteer dan de grootste van de wortels als antwoord.

38. Los de vergelijking x op2 −9x+8=0. Als de vergelijking meer dan één wortel heeft, noteer dan de grootste van de wortels als antwoord.

39. Los de vergelijking x op2 −11x+18=0. Als de vergelijking meer dan één wortel heeft, noteer dan de grootste van de wortels als antwoord.

40. Los vergelijking x op2 −12x+20=0. Als de vergelijking meer dan één wortel heeft, noteer dan de grootste van de wortels als antwoord.

Bijlage 4

Rationele vergelijkingen.

1. Zoek de wortel van de vergelijking

2. Zoek de wortel van de vergelijking

3. Zoek de wortel van de vergelijking

4. Zoek de wortel van de vergelijking

5. Zoek de wortel van de vergelijking

6. Zoek de wortel van de vergelijking.

7. Zoek de wortel van de vergelijking

8. Zoek de wortel van de vergelijking

9. Zoek de wortel van de vergelijking.

10. Zoek de wortel van de vergelijking

11. Zoek de wortel van de vergelijking.

12. Zoek de wortel van de vergelijking

13. Zoek de wortel van de vergelijking

14. Zoek de wortel van de vergelijking

15. Zoek de wortel van de vergelijking

16. Zoek de wortel van de vergelijking

17. Zoek de wortel van de vergelijking

18. Zoek de wortel van de vergelijking

19. Zoek de wortel van de vergelijking

20. Zoek de wortel van de vergelijking

21. Zoek de wortel van de vergelijking

22. Zoek de wortel van de vergelijking

23. Zoek de wortel van de vergelijking

Bijlage 5

Complexe vergelijkingen.

1. Zoek de wortel van de vergelijking (x+3)2 =(x+8)2 .

2. Zoek de wortel van de vergelijking (x−5)2 =(x+10)2 .

3. Zoek de wortel van de vergelijking (x+9)2 =(x+6)2 .

4. Zoek de wortel van de vergelijking (x+10)2 =(x−9)2 .

5. Zoek de wortel van de vergelijking (x−5)2 =(x−8)2 .

6. Zoek de wortel van de vergelijking.

7. Zoek de wortel van de vergelijking.

8. Zoek de wortel van de vergelijking.

9. Zoek de wortel van de vergelijking.

10. Zoek de wortel van de vergelijking.

11. Los de vergelijking (x+2)(− x+6)=0 op. Als de vergelijking meer dan één wortel heeft, noteer dan de kleinste van de wortels als antwoord.

12. Los de vergelijking (x+3)(− x−2)=0 op. Als de vergelijking meer dan één wortel heeft, noteer dan de kleinste van de wortels als antwoord.

13. Los de vergelijking op (x−11)(− x+9)=0. Als de vergelijking meer dan één wortel heeft, noteer dan de kleinste van de wortels als antwoord.

14. Los de vergelijking op (x−1)(− x−4)=0. Als de vergelijking meer dan één wortel heeft, noteer dan de kleinste van de wortels als antwoord.

15. Los de vergelijking op (x−2)(− x−1)=0. Als de vergelijking meer dan één wortel heeft, noteer dan de kleinste van de wortels als antwoord.

16. Los de vergelijking (x+20)(− x+10)=0 op. Als de vergelijking meer dan één wortel heeft, noteer dan de grootste van de wortels als antwoord.

17. Los de vergelijking op (x−2)(− x−3)=0. Als de vergelijking meer dan één wortel heeft, noteer dan de grootste van de wortels als antwoord.

18. Los de vergelijking op (x−7)(− x+2)=0. Als de vergelijking meer dan één wortel heeft, noteer dan de grootste van de wortels als antwoord.

19. Los de vergelijking op (x−5)(− x−10)=0. Als de vergelijking meer dan één wortel heeft, noteer dan de grootste van de wortels als antwoord.

20. Los de vergelijking op (x+10)(− x−8)=0. Als de vergelijking meer dan één wortel heeft, noteer dan de grootste van de wortels als antwoord.

21. Los de vergelijking op (− 5x+3)(− x+6)=0. Als de vergelijking meer dan één wortel heeft, noteer dan de kleinste van de wortels als antwoord.

22. Los de vergelijking op (− 2x+1)(− 2x−7)=0. Als de vergelijking meer dan één wortel heeft, noteer dan de kleinste van de wortels als antwoord.

23. Los de vergelijking op (− x−4)(3x+3)=0. Als de vergelijking meer dan één wortel heeft, noteer dan de grootste van de wortels als antwoord.

24. Los de vergelijking (x−6)(4x−6)=0 op. Als de vergelijking meer dan één wortel heeft, noteer dan de kleinste van de wortels als antwoord.

25. Los de vergelijking op (− 5x−3)(2x−1)=0. Als de vergelijking meer dan één wortel heeft, noteer dan de kleinste van de wortels als antwoord.

26. Los de vergelijking op (x−2)(− 2x−3)=0. Als de vergelijking meer dan één wortel heeft, noteer dan de kleinste van de wortels als antwoord.

27. Los de vergelijking (5x+2)(− x−4)=0 op. Als de vergelijking meer dan één wortel heeft, noteer dan de grootste van de wortels als antwoord.

28. Los de vergelijking op (x−6)(− 5x−9)=0. Als de vergelijking meer dan één wortel heeft, noteer dan de kleinste van de wortels als antwoord.

29. Los de vergelijking op (6x−3)(− x+3)=0. Als de vergelijking meer dan één wortel heeft, noteer dan de grootste van de wortels als antwoord.

30. Los de vergelijking op (5x−2)(− x+3)=0. Als de vergelijking meer dan één wortel heeft, noteer dan de kleinste van de wortels als antwoord.

31. Los de vergelijking op

32. Los de vergelijking op

33. Los de vergelijking op

34. Los de vergelijking op

35. Los de vergelijking op

36. Los de vergelijking op

37. Los de vergelijking op

38. Los de vergelijking op

39. Los de vergelijking op

40 Los de vergelijking op

41. Los de vergelijking x(x2 +2x+1)=2(x+1).

42. Los de vergelijking (x−1)(x2 +4x+4)=4(x+2).

43. Los de vergelijking x(x2 +6x+9)=4(x+3).

44. Los de vergelijking (x−1)(x2 +8x+16)=6(x+4).

45. Los de vergelijking x(x2 +2x+1)=6(x+1).

46. ​​​​Los de vergelijking (x−1)(x2 +6x+9)=5(x+3).

47. Los de vergelijking (x−2)(x2 +8x+16)=7(x+4).

48. Los de vergelijking x(x2 +4x+4)=3(x+2).

49. Los de vergelijking (x−2)(x2 +2x+1)=4(x+1).

50. Los de vergelijking (x−2)(x2 +6x+9)=6(x+3).

51. Los de vergelijking op (x+2)4 −4(x+2)2 −5=0.

52. Los de vergelijking op (x+1)4 +(x+1)2 −6=0.

53. Los de vergelijking op (x+3)4 +2(x+3)2 −8=0.

54. Los de vergelijking op (x−1)4 −2(x−1)2 −3=0.

55. Los de vergelijking op (x−2)4 −(x−2)2 −6=0.

56. Los vergelijking op (x−3)4 −3(x−3)2 −10=0.

57. Los de vergelijking op (x+4)4 −6(x+4)2 −7=0.
58. Los de vergelijking op (x−4)4 −4(x−4)2 −21=0.

59. Los de vergelijking op (x+2)4 +(x+2)2 −12=0.

60. Los de vergelijking op (x−2)4 +3(x−2)2 −10=0.

61. Los vergelijking x op3 +3x2 =16x+48.

62. Los vergelijking x op3 +4x2 =4x+16.

63. Los vergelijking x op3 +6x2 =4x+24.

64. Los vergelijking x op3 +6x2 =9x+54.

65. Los vergelijking x op3 +3x2 =4x+12.

66. Los vergelijking x op3 +2x2 =9x+18.

67. Los vergelijking x op3 +7x2 =4x+28.

68. Los vergelijking x op3 +4x2 =9x+36.

69. Los vergelijking x op3 +5x2 =4x+20.

70. Los vergelijking x op3 +5x2 =9x+45.

71. Los vergelijking x op3 +3x2 −x−3=0.

72. Los vergelijking x op3 +4x2 −4x−16=0.

73. Los vergelijking x op3 +5x2 −x−5=0.

74. Los vergelijking x op3 +2x2 −x−2=0.

75. Los vergelijking x op3 +3x2 −4x−12=0.

76. Los vergelijking x op3 +2x2 −9x−18=0.

77. Los vergelijking x op3 +4x2 −x−4=0.

78. Los vergelijking x op3 +4x2 −9x−36=0.

79. Los vergelijking x op3 +5x2 −4x−20=0.
80. Los vergelijking x op3 +5x2 −9x−45=0.

81. Los vergelijking x op4 =(x−20)2 .

82. Los vergelijking x op4 =(2x−15)2 .

83. Los vergelijking x op4 =(3x−10)2 .

84. Los vergelijking x op4 =(4x−5)2 .

85. Los vergelijking x op4 =(x−12)2 .

86. Los vergelijking x op4 =(2x−8)2 .

87. Los vergelijking x op4 =(3x−4)2 .

88. Los vergelijking x op4 =(x−6)2 .

89. Los vergelijking x op4 =(2x−3)2 .

90. Los vergelijking x op4 =(x−2)2 .

91. Los de vergelijking op

92. Los de vergelijking op

93. Los de vergelijking op

94. Los de vergelijking op

95. Los de vergelijking op

96. Los de vergelijking op

97. Los de vergelijking op

98. Los de vergelijking op

99. Los de vergelijking op

100. Los de vergelijking op

101. Los de vergelijking op.

102. Los de vergelijking op

103. Los de vergelijking op

104. Los de vergelijking op

105. Los de vergelijking op

106. Los de vergelijking op

107. Los de vergelijking op

108. Los de vergelijking op

109. Los de vergelijking op

110. Los de vergelijking op

OPLOSSING VAN VERGELIJKINGEN

voorbereiding op de OG

Groep 9

opgesteld door een leraar wiskunde aan de GBOU-school nr. 14 van het Nevsky-district van St. Petersburg Putrova Marina Nikolaevna

Maak de zinnen af:

1). De vergelijking is...

2). De wortel van de vergelijking is...

3). Een vergelijking oplossen betekent...

I. Los de vergelijkingen mondeling op:

• 1). 6x + 18=0
• 2). 2x + 5=0
• 3). 5x - 3=0
• 4). -3x + 9=0
• 5). -5x + 1=0
• 6). -2x - 10=0
• 7). 6x - 7=5x
• 8). 9x + 6=10x
• 9). 5x - 12=8x

Welke van de volgende vergelijkingen heeft geen oplossingen:

A). 2x - 14 = x + 7

B). 2x - 14 = 2(x - 7)

V). x - 7 = 2x + 14

G). 2x-14 = 2x + 7?

Welke vergelijking heeft oneindig veel oplossingen?

A). 4x - 12 = x - 12

B). 4x - 12 = 4x + 12

V). 4(x - 3) = 4x - 12

G). 4 (x - 3) \u003d x - 10?

VERGELIJKINGEN VAN HET UITZICHT

k x + b = 0

LINEAIR GENOEMD.

Algoritme voor het oplossen van lineaire vergelijkingen :

1). verplaats de termen die het onbekende bevatten naar de linkerkant en de termen die het onbekende niet bevatten naar de rechterkant (het teken van het overgedragen lid is omgekeerd);

2). brengen als leden;

3) Deel beide zijden van de vergelijking door de coëfficiënt van de onbekende, als deze niet gelijk is aan nul.

Los vergelijkingen op in notitieboekjes :

II groep: nr. 697 p.63

x-1 +(x+2) = -4(-5-x)-5

ik groepeer:

№ 681 blz.63

6(4x)+3x=3

Groep III: nr. 767 blz. 67

(x + 6) 2 + (x + 3) 2 = 2 x 2

Typ vergelijking

Ah 2 + bx + c = 0,

waarbij a≠0, b, c – elk reëel getal wordt vierkant genoemd.

Onvolledige vergelijkingen:

Ah 2 + bх =0 (c=0),

Ah 2 + c=0 (b=0).

II. Kwadratische vergelijkingen mondeling oplossen en aangeven of ze compleet of onvolledig zijn:

1). 5x 2 + 15x=0

2). -X 2 +2x = 0

3). X 2 -25=0

4). -X 2 +9 =0

5). -X 2 - 16 =0

6). X 2 - 8x + 15=0

7 ) . X 2 + 5x + 6=0

8). X 2 + x - 12 = 0

9).(-x-5)(-x+ 6)=0

VRAGEN:

1). Welke eigenschap van vergelijkingen werd gebruikt om onvolledige kwadratische vergelijkingen op te lossen?

2). Welke methoden voor het ontbinden in factoren van een polynoom werden gebruikt om onvolledige kwadratische vergelijkingen op te lossen?

3). Wat is het algoritme voor het oplossen van volledige kwadratische vergelijkingen ?

1). Het product van twee factoren is gelijk aan nul als een van hen gelijk is aan nul, terwijl de tweede zijn betekenis niet verliest: Ab = 0 , Als een = 0 of b = 0 .

2). De gemene deler eruit halen en

A 2 -B 2 =(a - b)(a + b) - de formule voor het verschil van kwadraten.

3). Volledige kwadratische vergelijking ah 2 + bx + c = o.

D=b 2 – 4ac als D0, 2 wortels;

D = 0, 1 wortel;

X 1,2 =

LOS VERGELIJKINGEN OP :

Groep I: nr. 802 blz. 71 X 2 - 5x- 36 = 0

II groep: nr. 810 blz. 71 3x 2 -x + 21=5x 2

III groep: X 4 -5x 2 - 36 =0

III. LOS VERGELIJKINGEN OP :

Groep I en II: nr. 860 = 0

III groep: =0

Hoe worden zulke vergelijkingen genoemd? Welke eigenschap wordt gebruikt om ze op te lossen?

Een rationale vergelijking is een vergelijking van de vorm

Een breuk is nul als de teller nul is en de noemer niet nul. =0 als a = 0, b≠0.

Korte geschiedenis van de wiskunde

• De wiskundigen van het oude Egypte wisten hoe ze kwadratische en lineaire vergelijkingen moesten oplossen.

• De Perzische middeleeuwse wetenschapper Al-Khwarizmi (IX eeuw) introduceerde voor het eerst algebra als een onafhankelijke wetenschap over algemene methoden voor het oplossen van lineaire en kwadratische vergelijkingen, en gaf een classificatie van deze vergelijkingen.

• Een nieuwe grote doorbraak in de wiskunde wordt geassocieerd met de naam van de Franse wetenschapper Francois Vieta (XVI eeuw). Hij was het die letters in de algebra introduceerde. Hij bezit de bekende stelling over de wortels van een kwadratische vergelijking.

• En we hebben de traditie van het aanduiden van onbekende hoeveelheden met de laatste letters van het Latijnse alfabet (x, y, z) te danken aan een andere Franse wiskundige - René Descartes (XVII).

Al-Khwarizmi

François Viet

Rene Descartes

Huiswerk

Werken met websites :

- Open takenbank OGE (wiskunde) http://85.142.162.126/os/xmodules/qprint/index.php?proj=DE0E276E497AB3784C3FC4CC20248DC0 ;

- "Ik zal de OGE oplossen" door D. Gushchin https://oge.sdamgia.ru/ ;

- Website van A. Larin (optie 119) http://alexlarin.net/ .

Tutorials:

- Yu.M. Kolyagin-leerboek "Algebra Grade 9", M., "Verlichting", 2014, p. 308-310;

- "3000 taken" onder. bewerkt door I.V. Yashchenko, M., "Examen", 2017, pp.59-74.

! Van theorie naar praktijk;

! Van eenvoudig tot complex

MAOU "Platoshinskaja middelbare school",

wiskundeleraar, Melekhina G.V.

Algemeen beeld van de lineaire vergelijking: bijl + B = 0 ,

Waar A En B– getallen (coëfficiënten).

• Als een = 0 En b = 0, Dat 0x+ 0 = 0 - oneindig veel wortels;
• Als een = 0 En b ≠ 0, Dat 0x+ b = 0- geen oplossingen
• Als een ≠ 0 En B = 0 , Dat bijl + 0 = 0 – één wortel, x = 0;
• Als een ≠ 0 En B ≠ 0 , Dat bijl + B = 0 - één wortel

! Als X tot de eerste macht is en niet in de noemer zit, dan is dit een lineaire vergelijking

! Wat als de lineaire vergelijking is ingewikkeld :

! Termen met X naar links, zonder X naar rechts.

! Deze vergelijkingen zijn ook lineair .

! De hoofdeigenschap van proportie (dwars).

! Open haakjes, met X naar links, zonder X naar rechts.

• als de coëfficiënt een = 1, dan wordt de vergelijking aangeroepen gegeven :

• als de coëfficiënt B = 0 of en) k = 0, dan wordt de vergelijking aangeroepen incompleet :

! Basis formules

! Meer formules

Bikwadratische vergelijking wordt een vergelijking van de vorm genoemd bijl 4 +bx 2 + k = 0 .

De bikwadratische vergelijking wordt gereduceerd tot kwadratische vergelijking door vervanging dan

We krijgen een kwadratische vergelijking:

Laten we de wortels zoeken en terugkeren naar de vervanging:

Voorbeeld 1:

Los vergelijking x op 4 + 5x 2 – 36 = 0.

Oplossing:

Substitutie: x 2 = t.

t 2 + 5t - 36 = 0. De wortels van de vergelijking t 1 = -9 en t 2 = 4.

x 2 \u003d -9 of x 2 \u003d 4.

Antwoord: Er zijn geen wortels in de eerste vergelijking, vanaf de tweede: x \u003d ± 2.

Voorbeeld 2:

los De vergelijking op (2x - 1) 4 - 25 (2x - 1) 2 + 144 = 0.

Oplossing:

Vervanging: (2x - 1) 2 = t.

t 2 - 25t + 144 = 0. De wortels van de vergelijking t 1 = 9 en t 2 = 16.

(2x - 1) 2 = 9 of (2x - 1) 2 = 16.

2x - 1 = ±3 of 2x - 1 = ±4.

Van de eerste vergelijking zijn er twee wortels: x \u003d 2 en x \u003d -1, van de tweede zijn er ook twee wortels: x \u003d 2,5 en x \u003d -1,5.

Antwoord: -1,5; -1; 2; 2.5.

1) X 4 - 9 X 2 = 0; 2) 4 X 4 - x 2 \u003d 0;

1) X 4 +x 2 - 2 = 0;

2) X 4 - 3 X 2 - 4 = 0; 3) 9 X 4 + 8 X 2 - 1 = 0; 4) 20 X 4 - X 2 - 1 = 0.

Los vergelijkingen op door aan de linkerkant te extraheren vol plein :

1) X 4 - 20 X 2 + 64 = 0; 2) X 4 - 13 X 2 + 36 = 0; 3) X 4 - 4 X 2 + 1 = 0; 4) X 4 + 2 X 2 +1 = 0.

! Denk aan het kwadraat van de som en het kwadraat van het verschil

rationele uitdrukking is een algebraïsche uitdrukking die bestaat uit getallen en een variabele X de bewerkingen van optellen, aftrekken, vermenigvuldigen, delen en machtsverheffen gebruiken met een natuurlijke exponent.

Als r(x) een rationele uitdrukking is, dan de vergelijking r(x)=0 rationele vergelijking genoemd.

Algoritme voor het oplossen van een rationele vergelijking:

1. Breng alle termen van de vergelijking over naar één deel.

2. Zet dit deel van de vergelijking om in de vorm van een algebraïsche breuk p(x)/q(x)

3. los De vergelijking op p(x)=0

4. Voor elke wortel van de vergelijking p(x)=0 controleer of het aan de voorwaarde voldoet q(x)≠0 of niet. Zo ja, dan is dit de wortel van de gegeven vergelijking; zo niet, dan is het een externe root en mag het niet in het antwoord worden opgenomen.

! Denk aan de oplossing van de fractionele rationale vergelijking:

! Om vergelijkingen op te lossen, is het handig om de formules voor verkorte vermenigvuldiging op te roepen:

Als de vergelijking een variabele bevat onder het vierkantswortelteken, wordt de vergelijking aangeroepen irrationeel .

Methode voor het kwadrateren van beide zijden van een vergelijking- de belangrijkste methode voor het oplossen van irrationele vergelijkingen.

Nadat de resulterende rationele vergelijking is opgelost, is het noodzakelijk om doe een cheque , uitzeven van mogelijke vreemde wortels.

Antwoord: 5; 4

Een ander voorbeeld:

Inspectie:

De uitdrukking slaat nergens op.

Antwoord: er zijn geen oplossingen.