Tabel met standaardderivaten. Wat is een derivaat

De videocursus “Get an A” omvat alle onderwerpen die nodig zijn om met succes te slagen voor het Unified State Examen in wiskunde met 60-65 punten. Volledig alle taken 1 t/m 13 van het Profiel Unified State Examen wiskunde. Ook geschikt voor het behalen van het Basic Unified State Examination in wiskunde. Als je het Unified State Exam met 90-100 punten wilt halen, moet je deel 1 in 30 minuten en zonder fouten oplossen!

Voorbereidingscursus voor het Unified State Exam voor groep 10-11, maar ook voor docenten. Alles wat je nodig hebt om deel 1 van het Unified State Exam in wiskunde (de eerste 12 problemen) en probleem 13 (trigonometrie) op te lossen. En dit zijn meer dan 70 punten op het Unified State Exam, en noch een student met 100 punten, noch een student in de geesteswetenschappen kan zonder deze punten.

Alle benodigde theorie. Snelle oplossingen, valkuilen en geheimen van het Unified State Exam. Alle huidige taken van deel 1 uit de FIPI Task Bank zijn geanalyseerd. De cursus voldoet volledig aan de eisen van het Unified State Exam 2018.

De cursus bevat 5 grote onderwerpen van elk 2,5 uur. Elk onderwerp wordt vanaf het begin gegeven, eenvoudig en duidelijk.

Honderden Unified State Exam-taken. Woordproblemen en waarschijnlijkheidstheorie. Eenvoudige en gemakkelijk te onthouden algoritmen voor het oplossen van problemen. Geometrie. Theorie, referentiemateriaal, analyse van alle soorten Unified State Examination-taken. Stereometrie. Lastige oplossingen, handige spiekbriefjes, ontwikkeling van ruimtelijke verbeelding. Trigonometrie van nul tot probleem 13. Begrijpen in plaats van proppen. Duidelijke uitleg van complexe concepten. Algebra. Wortels, machten en logaritmen, functie en afgeleide. Een basis voor het oplossen van complexe problemen van deel 2 van het Unified State Exam.

In deze les leren we formules en differentiatieregels toe te passen.

Voorbeelden. Vind afgeleiden van functies.

1. y=x 7 +x 5 -x 4 +x 3 -x 2 +x-9. De regel toepassen I, formules 4, 2 en 1. We krijgen:

y’=7x 6 +5x 4 -4x 3 +3x 2 -2x+1.

2. y=3x 6 -2x+5. We lossen het op dezelfde manier op, met behulp van dezelfde formules en formules 3.

y’=3∙6x 5 -2=18x 5 -2.

De regel toepassen I, formules 3, 5 En 6 En 1.

De regel toepassen IV, formules 5 En 1 .

In het vijfde voorbeeld, volgens de regel I de afgeleide van de som is gelijk aan de som van de afgeleiden, en we hebben zojuist de afgeleide van de eerste term gevonden (voorbeeld 4 ), daarom zullen we derivaten vinden 2e En 3e voorwaarden, en voor 1e summand kunnen we onmiddellijk het resultaat schrijven.

Laten we differentiëren 2e En 3e termen volgens de formule 4 . Om dit te doen, transformeren we de wortels van de derde en vierde macht in de noemers naar machten met negatieve exponenten, en vervolgens, volgens 4 formule vinden we afgeleiden van machten.

Kijk naar dit voorbeeld en het resultaat. Heb je het patroon opgemerkt? Prima. Dit betekent dat we een nieuwe formule hebben en deze aan onze derivatentabel kunnen toevoegen.

Laten we het zesde voorbeeld oplossen en een andere formule afleiden.

Laten we de regel gebruiken IV en formule 4 . Laten we de resulterende breuken verkleinen.

Laten we eens kijken naar deze functie en zijn afgeleide. Je begrijpt natuurlijk het patroon en bent klaar om de formule een naam te geven:

Nieuwe formules leren!

Voorbeelden.

1. Zoek de toename van het argument en de toename van de functie y= x 2, als de beginwaarde van het argument gelijk was aan 4 , en nieuw - 4,01 .

Oplossing.

Nieuwe argumentwaarde x=x 0 +Δx. Laten we de gegevens vervangen: 4.01=4+Δх, vandaar de verhoging van het argument Δх=4,01-4=0,01. De toename van een functie is per definitie gelijk aan het verschil tussen de nieuwe en vorige waarden van de functie, d.w.z. Δy=f (x 0 +Δx) - f (x 0). Omdat we een functie hebben y=x2, Dat Δу=(x 0 +Δx) 2 - (x 0) 2 =(x 0) 2 +2x 0 · Δx+(Δx) 2 - (x 0) 2 =2x 0 · Δx+(Δx) 2 =

2 · 4 · 0,01+(0,01) 2 =0,08+0,0001=0,0801.

Antwoord: argumentverhoging Δх=0,01; functie verhoging Δу=0,0801.

De functieverhoging kan anders worden gevonden: Ay=y (x 0 +Δx) -y (x 0)=y(4,01) -y(4)=4,01 2 -4 2 =16,0801-16=0,0801.

2. Zoek de hellingshoek van de raaklijn aan de grafiek van de functie y=f(x) bij het punt x 0, Als f "(x0) = 1.

Oplossing.

De waarde van de afgeleide op het raakpunt x 0 en is de waarde van de raaklijn van de raakhoek (de geometrische betekenis van de afgeleide). We hebben: f "(x 0) = tanα = 1 → α = 45°, omdat tg45°=1.

Antwoord: de raaklijn aan de grafiek van deze functie vormt een hoek met de positieve richting van de Ox-as gelijk aan 45°.

3. Leid de formule af voor de afgeleide van de functie y=xn.

Differentiatie is de actie waarbij de afgeleide van een functie wordt gevonden.

Gebruik bij het vinden van afgeleiden formules die zijn afgeleid op basis van de definitie van een afgeleide, op dezelfde manier als we de formule voor de afgeleide graad hebben afgeleid: (x n)" = nx n-1.

Dit zijn de formules.

Tabel met derivaten Het zal gemakkelijker zijn om te onthouden door verbale formuleringen uit te spreken:

1. De afgeleide van een constante grootheid is nul.

2. X-priemgetal is gelijk aan één.

3. De constante factor kan uit het teken van de afgeleide worden gehaald.

4. De afgeleide van een graad is gelijk aan het product van de exponent van deze graad met een graad met hetzelfde grondtal, maar de exponent is één minder.

5. De afgeleide van een wortel is gelijk aan één gedeeld door twee gelijke wortels.

6. De afgeleide van één gedeeld door x is gelijk aan min één gedeeld door x in het kwadraat.

7. De afgeleide van de sinus is gelijk aan de cosinus.

8. De afgeleide van de cosinus is gelijk aan min sinus.

9. De afgeleide van de raaklijn is gelijk aan één gedeeld door het kwadraat van de cosinus.

10. De afgeleide van de cotangens is gelijk aan min één gedeeld door het kwadraat van de sinus.

Wij leren differentiatie regels.

1. De afgeleide van een algebraïsche som is gelijk aan de algebraïsche som van de afgeleiden van de termen.

2. De afgeleide van een product is gelijk aan het product van de afgeleide van de eerste factor en de tweede plus het product van de eerste factor en de afgeleide van de tweede.

3. De afgeleide van “y” gedeeld door “ve” is gelijk aan een breuk waarin de teller “y priemgetal vermenigvuldigd met “ve” minus “y vermenigvuldigd met ve priemgetal” is, en de noemer is “ve kwadraat”.

4. Een speciaal geval van de formule 3.

Laten we samen leren!

Pagina 1 van 1 1

Berekening van de afgeleide wordt vaak gevonden in Unified State Examination-taken. Deze pagina bevat een lijst met formules voor het vinden van afgeleiden.

Regels voor differentiatie

1. (k⋅f(x))′=k⋅f′(x).
2. (f(x)+g(x))′=f′(x)+g′(x).
3. (f(x)⋅ g(x))′=f′(x)⋅ g(x)+f(x)⋅ g′(x).
4. Afgeleide van een complexe functie. Als y=F(u), en u=u(x), dan wordt de functie y=f(x)=F(u(x)) een complexe functie van x genoemd. Gelijk aan y′(x)=Fu′⋅ ux′.
5. Afgeleide van een impliciete functie. De functie y=f(x) wordt een impliciete functie genoemd, gedefinieerd door de relatie F(x,y)=0 als F(x,f(x))≡0.
6. Afgeleide van de inverse functie. Als g(f(x))=x, dan wordt de functie g(x) de inverse functie van de functie y=f(x) genoemd.
7. Afgeleide van een parametrisch gedefinieerde functie. Laten x en y worden gespecificeerd als functies van de variabele t: x=x(t), y=y(t). Ze zeggen dat y=y(x) een parametrisch gedefinieerde functie is op het interval x∈ (a;b), als op dit interval de vergelijking x=x(t) kan worden uitgedrukt als t=t(x) en de functie y=y( t(x))=y(x).
8. Afgeleide van een machtsexponentiële functie. Gevonden door logaritmen naar de basis van de natuurlijke logaritme te brengen.

Wat is een derivaat?

Tabel met derivaten.

Afgeleide is een van de belangrijkste concepten van de hogere wiskunde. In deze les introduceren we dit concept. Laten we elkaar leren kennen, zonder strikte wiskundige formuleringen en bewijzen.

Met deze kennismaking kunt u:

Begrijp de essentie van eenvoudige taken met afgeleiden;

Los deze eenvoudigste taken met succes op;

Bereid je voor op serieuzere lessen over derivaten.

Ten eerste - een aangename verrassing.)

De strikte definitie van de afgeleide is gebaseerd op de theorie van limieten en de zaak is behoorlijk ingewikkeld. Dit is verontrustend. Maar de praktische toepassing van derivaten vereist in de regel niet zo'n uitgebreide en diepgaande kennis!

Om de meeste taken op school en universiteit succesvol te voltooien, is het voldoende om te weten slechts een paar termen- de taak begrijpen, en slechts een paar regels- om het op te lossen. Dat is alles. Dit maakt me blij.

Laten we beginnen kennis te maken?)

Termen en benamingen.

Er zijn veel verschillende wiskundige bewerkingen in de elementaire wiskunde. Optellen, aftrekken, vermenigvuldigen, machtsverheffen, logaritme, enz. Als je nog een bewerking aan deze bewerkingen toevoegt, wordt de elementaire wiskunde hoger. Deze nieuwe bewerking wordt genoemd differentiatie. De definitie en betekenis van deze operatie zullen in aparte lessen worden besproken.

Het is belangrijk om hier te begrijpen dat differentiatie eenvoudigweg een wiskundige bewerking is functie. We nemen elke functie en transformeren deze volgens bepaalde regels. Het resultaat zal een nieuwe functie zijn. Deze nieuwe functie heet: derivaat.

Differentiatie- actie op een functie.

Derivaat- het resultaat van deze actie.

Net zoals bijvoorbeeld som- het resultaat van de optelling. Of privaat- het resultaat van deling.

Als u de termen kent, kunt u in ieder geval de taken begrijpen.) De formuleringen zijn als volgt: vind de afgeleide van een functie; neem de afgeleide; differentieer de functie; afgeleide berekenen enzovoort. Dit is alles dezelfde. Natuurlijk zijn er ook complexere taken, waarbij het vinden van de afgeleide (differentiatie) slechts een van de stappen is bij het oplossen van het probleem.

De afgeleide wordt rechtsboven in de functie aangegeven met een streepje. Soortgelijk: jij" of f"(x) of S"(t) enzovoort.

Lezing igrek beroerte, ef beroerte van x, es beroerte van te, nou ja, je begrijpt het...)

Een priemgetal kan ook de afgeleide van een bepaalde functie aangeven, bijvoorbeeld: (2x+3)", (X 3 )" , (sinx)" enz. Vaak worden afgeleiden aangegeven met differentiëlen, maar in deze les zullen we deze notatie niet behandelen.

Laten we aannemen dat we de taken hebben leren begrijpen. Het enige dat je nog moet leren is hoe je ze kunt oplossen.) Laat me je er nogmaals aan herinneren: het vinden van de afgeleide is transformatie van een functie volgens bepaalde regels. Verrassend genoeg zijn er maar heel weinig van deze regels.

Om de afgeleide van een functie te vinden, hoef je slechts drie dingen te weten. Drie pijlers waarop alle differentiatie steunt. Hier zijn het deze drie pijlers:

1. Tabel met derivaten (differentiatieformules).

3. Afgeleide van een complexe functie.

Laten we op volgorde beginnen. In deze les zullen we de tabel met derivaten bekijken.

Tabel met derivaten.

Er zijn oneindig veel functies in de wereld. Onder deze set bevinden zich functies die het belangrijkst zijn voor praktisch gebruik. Deze functies zijn terug te vinden in alle natuurwetten. Met deze functies kun je, net als met stenen, alle andere bouwen. Deze klasse van functies wordt genoemd elementaire functies. Het zijn deze functies die op school worden bestudeerd: lineair, kwadratisch, hyperbool, enz.

Differentiatie van functies "vanaf nul", d.w.z. Gebaseerd op de definitie van afgeleide en de theorie van limieten, is dit nogal arbeidsintensief. En wiskundigen zijn ook mensen, ja, ja!) Dus vereenvoudigden ze hun (en ons) leven. Vóór ons berekenden ze de afgeleiden van elementaire functies. Het resultaat is een tabel met derivaten, waarin alles klaar is.)

Hier is hij dan, deze plaat voor de meest populaire functies. Links staat een elementaire functie, rechts de afgeleide ervan.

	Functie j	Afgeleide van functie y jij"
1	C (constante waarde)	C" = 0
2	X	x" = 1
3	x n (n - elk getal)	(x n)" = nx n-1
	x 2 (n = 2)	(x2)" = 2x
4	zonde x	(zonde x)" = cosx
	omdat x	(cos x)" = - zonde x
	tg x
	ctg x
5	arcsin x
	arccos x
	arctan x
	arcctg x
4	A X
	e X
5	loggen A X
	ln x ( een = e)

Ik raad aan om aandacht te besteden aan de derde groep functies in deze tabel met afgeleiden. De afgeleide van een machtsfunctie is een van de meest voorkomende formules, zo niet de meest voorkomende! Begrijp je de hint?) Ja, het is raadzaam om de tabel met derivaten uit je hoofd te kennen. Overigens is dit niet zo moeilijk als het lijkt. Probeer meer voorbeelden op te lossen, de tabel zelf wordt onthouden!)

Het vinden van de tabelwaarde van de afgeleide is, zoals u begrijpt, niet de moeilijkste taak. Daarom zijn er bij dergelijke taken heel vaak extra chips. Ofwel in de bewoording van de taak, ofwel in de oorspronkelijke functie, die niet in de tabel lijkt te staan...

Laten we een paar voorbeelden bekijken:

1. Bereken de afgeleide van de functie y = x 3

Een dergelijke functie bestaat niet in de tabel. Maar er is een afgeleide van een machtsfunctie in algemene vorm (derde groep). In ons geval n=3. Dus vervangen we drie in plaats van n en noteren we zorgvuldig het resultaat:

(X 3) " = 3x 3-1 = 3x 2

Dat is het.

Antwoord: j" = 3x 2

2. Zoek de waarde van de afgeleide van de functie y = sinx op het punt x = 0.

Deze taak houdt in dat je eerst de afgeleide van de sinus moet vinden en vervolgens de waarde moet vervangen x = 0 in deze afgeleide. Precies in die volgorde! Anders gebeurt het dat ze onmiddellijk nul vervangen door de originele functie... We worden gevraagd om niet de waarde van de originele functie te vinden, maar de waarde zijn afgeleide. Ik wil u eraan herinneren dat de afgeleide een nieuwe functie is.

Met behulp van de tablet vinden we de sinus en de bijbehorende afgeleide:

y" = (zonde x)" = cosx

We substitueren nul in de afgeleide:

y"(0) = cos0 = 1

Dit zal het antwoord zijn.

3. Differentieer de functie:

Wat, inspireert het?) Een dergelijke functie bestaat niet in de tabel met derivaten.

Laat me je eraan herinneren dat het differentiëren van een functie simpelweg het vinden van de afgeleide van deze functie is. Als je de elementaire trigonometrie vergeet, is het zoeken naar de afgeleide van onze functie behoorlijk lastig. De tabel helpt niet...

Maar als we zien dat het onze functie is dubbele hoekcosinus, dan wordt alles meteen beter!

Ja Ja! Onthoud dat het transformeren van de oorspronkelijke functie vóór differentiatie heel acceptabel! En het maakt het leven een stuk gemakkelijker. Met behulp van de dubbele-hoekcosinusformule:

Die. onze lastige functie is niets meer dan y = cosx. En dit is een tabelfunctie. Wij krijgen onmiddellijk:

Antwoord: y" = - zonde x.

Voorbeeld voor gevorderde afgestudeerden en studenten:

4. Zoek de afgeleide van de functie:

Een dergelijke functie bestaat uiteraard niet in de derivatentabel. Maar als je je de elementaire wiskunde herinnert, bewerkingen met machten... Dan is het heel goed mogelijk om deze functie te vereenvoudigen. Soortgelijk:

En x tot de macht van een tiende is al een tabelfunctie! Derde groep, n=1/10. We schrijven rechtstreeks volgens de formule:

Dat is alles. Dit zal het antwoord zijn.

Ik hoop dat alles duidelijk is met de eerste pijler van differentiatie: de tabel met derivaten. Het blijft de taak om met de twee overgebleven walvissen om te gaan. IN volgende les Laten we de regels van differentiatie onder de knie krijgen.