Theorie van mechanische trillingen. Grondbeginselen van de theorie van trillingen van mechanische systemen

We hebben al gekeken naar de oorsprong van de klassieke mechanica, de sterkte van materialen en de elasticiteitstheorie. Het belangrijkste onderdeel van de mechanica is ook de theorie van oscillaties. Trillingen zijn de belangrijkste oorzaak van vernieling van machines en constructies. Eind jaren vijftig. 80% van de ongevallen met apparatuur vond plaats als gevolg van verhoogde trillingen. Trillingen hebben ook een schadelijk effect op mensen die betrokken zijn bij de bediening van apparatuur. Ze kunnen ook leiden tot het falen van besturingssystemen.

Ondanks dit alles kwam de oscillatietheorie pas aan het begin van de 19e eeuw als een onafhankelijke wetenschap naar voren. Echter, berekeningen van machines en mechanismen tot aan het begin XX eeuw werden uitgevoerd in een statische setting. De ontwikkeling van de machinebouw, de toename van het vermogen en de snelheid van stoommachines en tegelijkertijd de vermindering van hun gewicht, de opkomst van nieuwe typen motoren - verbrandingsmotoren en stoomturbines - leidden tot de noodzaak om sterkteberekeningen uit te voeren, rekening houdend met dynamische ladingen. In de regel ontstonden nieuwe problemen in de trillingstheorie in de technologie onder invloed van ongelukken of zelfs catastrofes als gevolg van verhoogde trillingen.

Oscillaties zijn bewegingen of toestandsveranderingen die een verschillende mate van herhaalbaarheid hebben.

De oscillatietheorie kan in vier perioden worden verdeeld.

Iperiode– de opkomst van de oscillatietheorie binnen het raamwerk van de theoretische mechanica (eind 16e eeuw – eind 18e eeuw). Deze periode wordt gekenmerkt door de opkomst en ontwikkeling van dynamiek in de werken van Galileo, Huygens, Newton, d'Alembert, Euler, D. Bernoulli en Lagrange.

De grondlegger van de oscillatietheorie was Leonhard Euler. In 1737 begon L. Euler namens de St. Petersburg Academie van Wetenschappen met onderzoek naar de balans en beweging van een schip, en in 1749 werd zijn boek "Ship Science" gepubliceerd in St. Petersburg. Het was in dit werk van Euler dat de basis werd gelegd voor de theorie van statische stabiliteit en de theorie van oscillaties.

Jean Leron d'Alembert onderzocht in zijn talrijke werken individuele problemen, zoals kleine trillingen van een lichaam rond het massamiddelpunt en rond de rotatie-as in verband met het probleem van precessie en nutatie van de aarde, trillingen van een slinger , een drijvend lichaam, een veer, enz. Maar de algemene theorie d'Alembert zorgde niet voor enige aarzeling.

De belangrijkste toepassing van de methoden uit de trillingstheorie was de experimentele bepaling van de torsiestijfheid van een draad, uitgevoerd door Charles Coulomb. Coulomb heeft ook experimenteel de eigenschap van isochronisme van kleine oscillaties in dit probleem vastgesteld. Bij het bestuderen van de demping van trillingen kwam deze grote onderzoeker tot de conclusie dat de belangrijkste oorzaak niet luchtweerstand was, maar verliezen als gevolg van interne wrijving in het draadmateriaal.

Een grote bijdrage aan de grondslagen van de theorie van trillingen werd geleverd door L. Euler, die de grondslagen legde van de theorie van statische stabiliteit en de theorie van kleine trillingen, d'Alembert, D. Bernoulli en Lagrange. concepten van de periode en frequentie van oscillaties, de vorm van oscillaties werden gevormd, en de term kleine oscillaties werd in gebruik genomen, het principe van superpositie van oplossingen werd geformuleerd en er werden pogingen ondernomen om de oplossing uit te breiden tot een trigonometrische reeks.

De eerste problemen van de oscillatietheorie waren de problemen van de oscillaties van een slinger en een snaar. We hebben het al gehad over de oscillaties van de slinger - het praktische resultaat van het oplossen van dit probleem was de uitvinding van de klok door Huygens.

Wat het probleem van de snaartrillingen betreft: dit is een van de belangrijkste problemen in de geschiedenis van de ontwikkeling van de wiskunde en de mechanica. Laten we het eens nader bekijken.

Akoestische snaar Dit is een ideale, gladde, dunne en flexibele draad met een eindige lengte, gemaakt van massief materiaal, gespannen tussen twee vaste punten. In de moderne interpretatie bestaat het probleem van transversale trillingen van een lange snaar l reduceert tot het vinden van een oplossing voor de differentiaalvergelijking (1) in partiële afgeleiden. Hier X is de coördinaat van het stringpunt langs de lengte, en j– de dwarsverplaatsing ervan; H– snaarspanning, – het lopende gewicht. A is de snelheid van de golfvoortplanting. Een soortgelijke vergelijking beschrijft ook de longitudinale trillingen van de luchtkolom in de buis.

In dit geval moeten de initiële verdeling van afwijkingen van stringpunten van een rechte lijn en hun snelheden worden gespecificeerd, d.w.z. vergelijking (1) moet voldoen aan de beginvoorwaarden (2) en randvoorwaarden (3).

De eerste fundamentele experimentele onderzoeken naar snaartrillingen werden uitgevoerd door de Nederlandse wiskundige en monteur Isaac Beckmann (1614–1618) en M. Mersenne, die een aantal regelmatigheden vaststelden en zijn resultaten in 1636 publiceerden in het ‘Book of Consonances’:

De wetten van Mersenne werden theoretisch bevestigd in 1715 door Newtons student Brooke Taylor. Hij beschouwt een snaar als een systeem van materiële punten en aanvaardt de volgende aannames: alle punten van de snaar passeren gelijktijdig hun evenwichtsposities (samenvallen met de as X) en de kracht die op elk punt inwerkt, is evenredig met de verplaatsing ervan j ten opzichte van de as X. Dit betekent dat het probleem wordt gereduceerd tot een systeem met één vrijheidsgraad: vergelijking (4). Taylor heeft correct de eerste natuurlijke frequentie (grondtoon) verkregen - (5).

D'Alembert paste in 1747 voor dit probleem de methode toe om het probleem van de dynamiek te reduceren tot het probleem van de statica (het principe van d'Alembert) en verkreeg de differentiaalvergelijking van oscillaties van een homogene snaar in partiële afgeleiden (1) - de eerste vergelijking van wiskundige natuurkunde. Hij zocht een oplossing voor deze vergelijking in de vorm van een som van twee willekeurige functies (6)

Waar En – periodieke functies van periode 2 l. Bij het verduidelijken van de vraag over het type functies En d'Alembert houdt rekening met randvoorwaarden (1.2), ervan uitgaande dat wanneer
de snaar valt samen met de as X. De betekenis is
niet gespecificeerd in de probleemstelling.

Euler beschouwt het speciale geval wanneer
de snaar wordt uit zijn evenwichtspositie afgebogen en zonder beginsnelheid losgelaten. Het belangrijkste is dat Euler geen beperkingen oplegt aan de oorspronkelijke vorm van de snaar, d.w.z. vereist niet dat het analytisch kan worden gespecificeerd door een curve te beschouwen die "met de hand kan worden getekend". Het door de auteur verkregen eindresultaat: if
de vorm van de snaar wordt beschreven door de vergelijking
, dan zien de oscillaties er zo uit (7). Euler herzag zijn opvattingen over het concept van functie, in tegenstelling tot het eerdere idee dat het alleen een analytische uitdrukking was. Zo werd de klasse van functies die in de analyse moesten worden bestudeerd uitgebreid, en Euler kwam tot de conclusie dat “aangezien elke functie een bepaalde lijn zal definiëren, het omgekeerde ook waar is: gebogen lijnen kunnen worden herleid tot functies.”

De oplossingen van d'Alembert en Euler vertegenwoordigen de wet van de snaaroscillaties in de vorm van twee golven die naar elkaar toe lopen. Ze waren het echter niet eens over de vraag naar de vorm van de functie die de buiglijn definieert.

D. Bernoulli sloeg een andere weg in bij het bestuderen van snaartrillingen, waarbij hij de snaar opsplitste in materiële punten, waarvan hij het aantal als oneindig beschouwde. Hij introduceert het concept van eenvoudige harmonische oscillatie van een systeem, d.w.z. zo'n beweging waarbij alle punten van het systeem synchroon trillen met dezelfde frequentie, maar met verschillende amplitudes. Experimenten uitgevoerd met klinkende lichamen brachten D. Bernoulli op het idee dat de meest algemene beweging van een snaar bestaat uit de gelijktijdige uitvoering van alle beschikbare bewegingen. Dit is de zogenaamde superpositie van oplossingen. Zo verkreeg hij in 1753, op basis van fysieke overwegingen, een algemene oplossing voor snaartrillingen, die hij presenteerde als een som van deeloplossingen, voor elk waarvan de snaar buigt in de vorm van een karakteristieke curve (8).

In deze serie is de eerste oscillatiemodus een halve sinusgolf, de tweede een hele sinusgolf, de derde bestaat uit drie halve sinusgolven, enz. Hun amplitudes worden weergegeven als functies van de tijd en zijn in wezen gegeneraliseerde coördinaten van het beschouwde systeem. Volgens de oplossing van D. Bernoulli is de beweging van de snaar een oneindige reeks harmonische oscillaties met perioden
. In dit geval is het aantal knooppunten (vaste punten) één minder dan het aantal natuurlijke frequenties. Door reeks (8) te beperken tot een eindig aantal termen, verkrijgen we een eindig aantal vergelijkingen voor een continuümsysteem.

De oplossing van D. Bernoulli bevat echter een onnauwkeurigheid: er wordt geen rekening mee gehouden dat de faseverschuiving van elke harmonische van oscillaties anders is.

D. Bernoulli presenteerde de oplossing in de vorm van een trigonometrische reeks en gebruikte het principe van superpositie en uitbreiding van de oplossing tot een compleet systeem van functies. Hij geloofde terecht dat het met behulp van verschillende termen uit formule (8) mogelijk is om de harmonische tonen te verklaren die de snaar gelijktijdig met zijn grondtoon uitzendt. Hij beschouwde dit als een algemene wet, geldig voor elk systeem van lichamen dat kleine trillingen uitvoert. De fysieke motivatie kan echter het wiskundige bewijs, dat destijds niet werd gepresenteerd, niet vervangen. Hierdoor begrepen collega's de oplossing van D. Bernoulli niet, hoewel K.A. Clairaut in 1737 de reeksuitbreiding van functies gebruikte.

De aanwezigheid van twee verschillende manieren om het probleem van snaartrillingen op te lossen veroorzaakte opschudding onder vooraanstaande wetenschappers uit de 18e eeuw. verhit debat - "stringgeschil". Dit dispuut betrof vooral vragen over de vorm van toelaatbare oplossingen voor het probleem, over de analytische weergave van een functie en of het mogelijk is een willekeurige functie weer te geven in de vorm van een trigonometrische reeks. In het 'snaargeschil' werd een van de belangrijkste analyseconcepten ontwikkeld: het concept van functie.

D'Alembert en Euler waren het er niet mee eens dat de door D. Bernoulli voorgestelde oplossing algemeen kon zijn. In het bijzonder was Euler het er niet mee eens dat deze reeks een “vrij getrokken curve” zou kunnen vertegenwoordigen, zoals hij nu zelf het concept van functie definieerde.

Joseph Louis Lagrange, die in controverse terechtkwam, brak de snaar in kleine bogen van gelijke lengte met de massa geconcentreerd in het midden, en onderzocht de oplossing van een systeem van gewone differentiaalvergelijkingen met een eindig aantal vrijheidsgraden. Toen hij tot het uiterste ging, verkreeg Lagrange een resultaat dat vergelijkbaar was met het resultaat van D. Bernoulli, zonder echter vooraf te postuleren dat de algemene oplossing een oneindige som van deeloplossingen moet zijn. Tegelijkertijd verfijnt hij de oplossing van D. Bernoulli, presenteert deze in de vorm (9), en leidt hij ook formules af voor het bepalen van de coëfficiënten van deze reeks. Hoewel de oplossing van de grondlegger van de analytische mechanica niet aan alle eisen van wiskundige nauwkeurigheid voldeed, was het een belangrijke stap voorwaarts.

Wat de uitbreiding van de oplossing naar een trigonometrische reeks betreft, geloofde Lagrange dat de reeks onder willekeurige beginomstandigheden uiteenloopt. Veertig jaar later, in 1807, ontdekte J. Fourier voor de derde keer de uitbreiding van een functie naar een trigonometrische reeks en liet zien hoe dit kan worden gebruikt om het probleem op te lossen, waarmee hij de juistheid van de oplossing van D. Bernoulli bevestigde. Een volledig analytisch bewijs van de stelling van Fourier over de uitbreiding van een periodieke functie met één waarde naar een trigonometrische reeks werd gegeven in de integraalrekening van Todgönther en in de Treatise on Natural Philosophy van Thomson (Lord Kelvin) en Tait.

Onderzoek naar vrije trillingen van een gespannen snaar duurde twee eeuwen, gerekend vanaf het werk van Beckmann. Dit probleem diende als een krachtige stimulans voor de ontwikkeling van de wiskunde. Gezien de oscillaties van continuümsystemen creëerden Euler, d'Alembert en D. Bernoulli een nieuwe discipline: wiskundige natuurkunde. Wiskunde van de natuurkunde, dat wil zeggen de presentatie ervan door middel van nieuwe analyse, is de grootste verdienste van Euler, waardoor nieuwe wegen in de wetenschap werden geplaveid. De logische ontwikkeling van de resultaten Euler en Fourier kwamen met de bekende definitie van een functie van Lobatsjevski en Lejeune Dirichlet, gebaseerd op het idee van een één-op-één correspondentie van twee verzamelingen. Dirichlet bewees ook de mogelijkheid van het uitbreiden van stuksgewijs continue en monotone functies tot een Fourierreeks. Er werd ook een eendimensionale golfvergelijking verkregen en de gelijkheid van de twee oplossingen werd vastgesteld, die het verband tussen trillingen en golven wiskundig bevestigde. Het feit dat een trillende snaar geluid genereert, zette wetenschappers ertoe aan om na te denken over de identiteit van het proces van geluidsvoortplanting en het proces van snaartrilling. De belangrijkste rol van grens- en beginvoorwaarden bij dergelijke problemen werd ook onthuld. Voor de ontwikkeling van de mechanica was een belangrijk resultaat het gebruik van d'Alembert's principe voor het schrijven van differentiaalvergelijkingen van beweging, en voor de theorie van oscillaties speelde dit probleem ook een zeer belangrijke rol, namelijk het principe van superpositie en uitbreiding van de oplossing in termen van natuurlijke trillingsvormen werd toegepast, de basisconcepten van de theorie van trillingen werden geformuleerd: de natuurlijke frequentie en de wijze van trillingen.

De resultaten verkregen voor vrije trillingen van een snaar dienden als basis voor het creëren van de theorie van trillingen van continuümsystemen. Verder onderzoek naar de trillingen van inhomogene snaren, membranen en staven vereiste de ontdekking van speciale methoden voor het oplossen van de eenvoudigste hyperbolische vergelijkingen van de tweede en vierde orde.

Het probleem van de vrije trillingen van een gestrekte snaar interesseerde wetenschappers natuurlijk niet vanwege de praktische toepassing ervan; de wetten van deze trillingen waren tot op zekere hoogte bekend bij ambachtslieden die muziekinstrumenten maakten. Dit blijkt uit de onovertroffen snaarinstrumenten van meesters als Amati, Stradivari, Guarneri en anderen, wier meesterwerken al in de 17e eeuw werden gemaakt. De belangen van de grootste wetenschappers die aan dit probleem hebben gewerkt, lagen hoogstwaarschijnlijk in de wens om een ​​wiskundige basis te bieden voor de reeds bestaande wetten van de snaartrilling. In deze kwestie werd het traditionele pad van elke wetenschap onthuld, te beginnen met het creëren van een theorie die reeds bekende feiten verklaart, om vervolgens onbekende verschijnselen te vinden en te bestuderen.

IIperiode – analytisch(eind 18e eeuw – eind 19e eeuw). De belangrijkste stap in de ontwikkeling van de mechanica werd bereikt door Lagrange, die een nieuwe wetenschap creëerde: analytische mechanica. Het begin van de tweede ontwikkelingsperiode van de oscillatietheorie houdt verband met het werk van Lagrange. In zijn boek Analytical Mechanics, gepubliceerd in Parijs in 1788, vatte Lagrange alles samen wat er in de 18e eeuw op het gebied van de mechanica was gedaan en formuleerde hij een nieuwe benadering om de problemen ervan op te lossen. In de evenwichtsleer verliet hij de geometrische methoden van de statica en stelde hij het principe van mogelijke verplaatsingen voor (het principe van Lagrange). Op het gebied van de dynamiek verkreeg Lagrange, nadat hij tegelijkertijd het d'Alembert-principe en het principe van mogelijke verplaatsingen had toegepast, een algemene variatievergelijking van de dynamiek, die ook het d'Alembert-Lagrange-principe wordt genoemd. Ten slotte introduceerde hij het concept van gegeneraliseerde coördinaten en verkreeg hij bewegingsvergelijkingen in de meest handige vorm: de Lagrange-vergelijkingen van de tweede soort.

Deze vergelijkingen werden de basis voor het creëren van de theorie van kleine oscillaties, beschreven door lineaire differentiaalvergelijkingen met constante coëfficiënten. Lineariteit is zelden inherent aan een mechanisch systeem, en is in de meeste gevallen het resultaat van de vereenvoudiging ervan. Rekening houdend met kleine oscillaties nabij de evenwichtspositie, die optreden bij lage snelheden, is het mogelijk termen van de tweede en hogere orde in de bewegingsvergelijkingen met betrekking tot gegeneraliseerde coördinaten en snelheden te verwerpen.

Toepassing van Lagrange-vergelijkingen van de tweede soort voor conservatieve systemen

wij zullen het systeem krijgen S lineaire differentiaalvergelijkingen van de tweede orde met constante coëfficiënten

, (11)

Waar I En C– respectievelijk matrices van traagheid en stijfheid, waarvan de componenten traagheids- en elastische coëfficiënten zullen zijn.

Een bijzondere oplossing (11) wordt gezocht in de vorm

en beschrijft een monoharmonische oscillerende modus met een frequentie k, hetzelfde voor alle gegeneraliseerde coördinaten. Twee keer differentiëren (12) met betrekking tot T en door het resultaat in vergelijkingen (11) te vervangen, verkrijgen we een systeem van lineaire homogene vergelijkingen voor het vinden van amplitudes in matrixvorm

. (13)

Omdat wanneer het systeem oscilleert, niet alle amplitudes gelijk kunnen zijn aan nul, is de determinant gelijk aan nul

. (14)

De frequentievergelijking (14) werd de seculiere vergelijking genoemd, omdat deze voor het eerst werd overwogen door Lagrange en Laplace in de theorie van seculiere verstoringen van elementen van planeetbanen. Het is een vergelijking S-graden relatief , is het aantal wortels gelijk aan het aantal vrijheidsgraden van het systeem. Deze wortels zijn meestal in oplopende volgorde gerangschikt en vormen een spectrum van hun eigen frequenties. Voor elke wortel komt overeen met een bepaalde oplossing van de vorm (12), de verzameling S amplitudes vertegenwoordigen de vorm van de trillingen, en de algehele oplossing is de som van deze oplossingen.

Lagrange gaf de verklaring van D. Bernoulli dat de algemene oscillerende beweging van een systeem van discrete punten bestaat uit de gelijktijdige uitvoering van al zijn harmonische oscillaties, de vorm van een wiskundige stelling, gebruikmakend van de theorie van integratie van differentiaalvergelijkingen met constante coëfficiënten, gecreëerd door Euler in de jaren 40 van de 18e eeuw. en de prestaties van d'Alembert, die liet zien hoe systemen van dergelijke vergelijkingen worden geïntegreerd.Tegelijkertijd was het nodig om te bewijzen dat de wortels van de eeuwenoude vergelijking reëel, positief en ongelijk aan elkaar zijn.

Zo verkreeg Lagrange in Analytical Mechanics de frequentievergelijking in algemene vorm. Tegelijkertijd herhaalt hij de fout die d'Alembert in 1761 maakte, dat de meervoudige wortels van de seculiere vergelijking overeenkomen met een onstabiele oplossing, aangezien in dit geval vermoedelijk seculiere of seculiere termen zouden voorkomen die T niet onder het sinus- of cosinusteken. In dit opzicht geloofden zowel d'Alembert als Lagrange dat de frequentievergelijking niet meerdere wortels kan hebben (d'Alembert-Lagrange-paradox). Het was voor Lagrange voldoende om op zijn minst een bolvormige slinger of de trillingen van een staaf waarvan de doorsnede bijvoorbeeld rond of vierkant is te beschouwen, om ervan overtuigd te raken dat meerdere frequenties mogelijk zijn in conservatieve mechanische systemen. De fout gemaakt in de eerste editie van Analytical Mechanics werd herhaald in de tweede editie (1812), gepubliceerd tijdens het leven van Lagrange, en in de derde (1853). De wetenschappelijke autoriteit van d'Alembert en Lagrange was zo hoog dat deze fout werd herhaald door zowel Laplace als Poisson, en pas bijna 100 jaar later onafhankelijk van elkaar werd gecorrigeerd in 1858 door K. Weierstrass en in 1859 door Osip Ivanovich Somov. die een grote bijdrage heeft geleverd aan de ontwikkeling van de theorie van oscillaties van discrete systemen.

Om de frequenties en vormen van vrije oscillaties van een lineair systeem zonder weerstand te bepalen, is het dus noodzakelijk om de seculiere vergelijking (13) op te lossen. Vergelijkingen met een hogere graad dan de vijfde hebben echter geen analytische oplossing.

Het probleem was niet alleen het oplossen van de seculiere vergelijking, maar ook, in grotere mate, het samenstellen ervan, aangezien de uitgebreide determinant (13)
termen, voor een systeem met 20 vrijheidsgraden is het aantal termen bijvoorbeeld 2,4 10 18, en de tijd voor het onthullen van een dergelijke determinant voor de krachtigste computer van de jaren zeventig, die 1 miljoen bewerkingen per seconde uitvoert, is ongeveer 1,5 miljoen jaar, en voor een moderne computer is hij ‘slechts’ een paar honderd jaar oud.

Het probleem van het bepalen van de frequenties en vormen van vrije trillingen kan ook worden beschouwd als een probleem van lineaire algebra en numeriek worden opgelost. Gelijkheid (13) in het formulier herschrijven

, (14)

Merk op dat de kolommatrix is een eigenvector van de matrix

, (15)

A zijn eigen betekenis.

Het oplossen van het probleem van eigenwaarden en vectoren is een van de meest aantrekkelijke problemen in de numerieke analyse. Tegelijkertijd is het onmogelijk om één enkel algoritme voor te stellen dat alle problemen in de praktijk kan oplossen. De keuze van het algoritme hangt af van het type matrix, en ook van de vraag of het nodig is om alle eigenwaarden te bepalen of alleen de kleinste (grootste) of dichtbij een bepaald getal. In 1846 stelde Carl Gustav Jacob Jacobi een iteratieve rotatiemethode voor om het volledige eigenwaardeprobleem op te lossen. De methode is gebaseerd op een oneindige reeks elementaire rotaties, die in de limiet matrix (15) omzet in een diagonale. De diagonale elementen van de resulterende matrix zullen de gewenste eigenwaarden zijn. In dit geval is het nodig om de eigenwaarden te bepalen
rekenkundige bewerkingen, en ook voor eigenvectoren
activiteiten. In dit opzicht is de methode in de 19e eeuw. vond geen toepassing en werd meer dan honderd jaar vergeten.

De volgende belangrijke stap in de ontwikkeling van de oscillatietheorie was het werk van Rayleigh, vooral zijn fundamentele werk “The Theory of Sound”. In dit boek onderzoekt Rayleigh oscillerende verschijnselen in mechanica, akoestiek en elektrische systemen vanuit een verenigd gezichtspunt. Rayleigh bezit een aantal fundamentele stellingen van de lineaire oscillatietheorie (stellingen over stationariteit en eigenschappen van natuurlijke frequenties). Rayleigh formuleerde ook het principe van wederkerigheid. Naar analogie met kinetische en potentiële energie introduceerde hij de dissipatieve functie, die Rayleigh werd genoemd en de helft van de snelheid van energiedissipatie vertegenwoordigt.

In The Theory of Sound stelt Rayleigh ook een benaderende methode voor om de eerste natuurlijke frequentie van een conservatief systeem te bepalen

, (16)

Waar
. In dit geval wordt een bepaalde vorm van trillingen gebruikt om de maximale waarden van potentiële en kinetische energieën te berekenen. Als het samenvalt met de eerste oscillatiemodus van het systeem, krijgen we de exacte waarde van de eerste natuurlijke frequentie, maar anders wordt deze waarde altijd overschat. De methode levert een nauwkeurigheid op die voor de praktijk zeer acceptabel is als de statische vervorming van het systeem als eerste trillingsvorm wordt genomen.

Zo werd in de 19e eeuw in de werken van Somov en Rayleigh een methodologie gevormd voor het construeren van differentiaalvergelijkingen die kleine oscillerende bewegingen van discrete mechanische systemen beschrijven met behulp van Lagrange-vergelijkingen van de tweede soort.

waar in algemene kracht
alle krachtfactoren moeten worden meegenomen, met uitzondering van de elastische en dissipatieve factoren, die onder de functies vallen R en P.

Lagrange-vergelijkingen (17) in matrixvorm, die geforceerde oscillaties van een mechanisch systeem beschrijven, na vervanging van alle functies, zien er als volgt uit

. (18)

Hier is de dempingsmatrix, en
– kolomvectoren van respectievelijk gegeneraliseerde coördinaten, snelheden en versnellingen. De algemene oplossing van deze vergelijking bestaat uit vrije en begeleidende trillingen, die altijd gedempt zijn, en gedwongen trillingen die optreden met de frequentie van de verstorende kracht. Laten we ons beperken tot het beschouwen van slechts een bepaalde oplossing die overeenkomt met gedwongen oscillaties. Als opwinding beschouwde Rayleigh algemene krachten die varieerden volgens een harmonische wet. Velen schreven deze keuze toe aan de eenvoud van het onderhavige geval, maar Rayleigh geeft een overtuigender verklaring: de uitbreiding van de Fourier-serie.

Voor een mechanisch systeem met meer dan twee vrijheidsgraden levert het oplossen van een stelsel vergelijkingen dus bepaalde problemen op, die exponentieel toenemen naarmate de orde van het systeem toeneemt. Zelfs met vijf tot zes vrijheidsgraden kan het probleem van gedwongen oscillaties niet handmatig worden opgelost met behulp van de klassieke methode.

In de trillingstheorie van mechanische systemen speelden kleine (lineaire) trillingen van discrete systemen een bijzondere rol. De spectraaltheorie die voor lineaire systemen is ontwikkeld, vereist niet eens de constructie van differentiaalvergelijkingen, en om een ​​oplossing te verkrijgen kan men onmiddellijk systemen van lineaire algebraïsche vergelijkingen opschrijven. Hoewel in het midden van de 19e eeuw methoden werden ontwikkeld voor het bepalen van eigenvectoren en eigenwaarden (Jacobi), en voor het oplossen van systemen van lineaire algebraïsche vergelijkingen (Gauss), was hun praktische toepassing zelfs voor systemen met een klein aantal vrijheidsgraden buiten de vraag. Daarom werden vóór de komst van voldoende krachtige computers veel verschillende methoden ontwikkeld om het probleem van vrije en geforceerde oscillaties van lineaire mechanische systemen op te lossen. Veel vooraanstaande wetenschappers – wiskundigen en mechanica – hebben zich met deze problemen beziggehouden; ze zullen hieronder worden besproken. De komst van krachtige computertechnologie heeft het niet alleen mogelijk gemaakt om grootschalige lineaire problemen in een fractie van een seconde op te lossen, maar ook om het proces van het samenstellen van stelsels vergelijkingen te automatiseren.

Dus in de 18e eeuw. in de theorie van kleine oscillaties van systemen met een eindig aantal vrijheidsgraden en oscillaties van continuüm-elastische systemen werden de fysische basisschema's ontwikkeld en werden de principes die essentieel zijn voor de wiskundige analyse van problemen uitgelegd. Om de theorie van mechanische trillingen als een onafhankelijke wetenschap te creëren, ontbrak er echter een uniforme aanpak voor het oplossen van dynamische problemen, en waren er geen verzoeken van de technologie voor een snellere ontwikkeling ervan.

De groei van de grootschalige industrie aan het einde van de 18e en het begin van de 19e eeuw, veroorzaakt door de wijdverbreide introductie van de stoommachine, leidde tot de scheiding van de toegepaste mechanica in een aparte discipline. Maar tot het einde van de 19e eeuw werden sterkteberekeningen uitgevoerd in een statische formulering, omdat de machines nog steeds een laag vermogen hadden en langzaam bewogen.

Tegen het einde van de 19e eeuw, met toenemende snelheden en afnemende afmetingen van machines, werd het onmogelijk om fluctuaties te verwaarlozen. Talrijke ongelukken die plaatsvonden als gevolg van het optreden van resonantie of vermoeidheidsfalen tijdens trillingen dwongen ingenieurs om aandacht te besteden aan oscillerende processen. Onder de problemen die zich in deze periode voordeden, moet het volgende worden opgemerkt: het instorten van bruggen door passerende treinen, torsietrillingen van schachten en trillingen van scheepsrompen die worden opgewekt door de traagheidskrachten van bewegende delen van ongebalanceerde machines.

IIIperiode– vorming en ontwikkeling van de toegepaste theorie van oscillaties (1900–1960). Ontwikkeling van de machinebouw, verbetering van locomotieven en schepen, de opkomst van stoom- en gasturbines,, auto's, vliegtuigen, enz. eiste een nauwkeurigere analyse van spanningen in machineonderdelen. Dit werd ingegeven door de eisen voor een zuiniger gebruik van metaal. Het lichter maken van constructies heeft aanleiding gegeven tot trillingsproblemen, die steeds belangrijker worden op het gebied van machinesterkte. Aan het begin van de 20e eeuw hebben talloze ongelukken op overtuigende wijze aangetoond welke catastrofale gevolgen het gevolg kunnen zijn van het verwaarlozen van trillingen of het negeren ervan.

De opkomst van nieuwe technologie stelt in de regel nieuwe uitdagingen voor de theorie van oscillaties. Dus in de jaren dertig en veertig. Er deden zich nieuwe problemen voor, zoals overtrekfladderen en slingeren in de luchtvaart, buig- en buig-torsietrillingen van roterende assen, enz., waardoor de ontwikkeling van nieuwe methoden voor het berekenen van trillingen nodig was. Aan het eind van de jaren twintig begon de studie van niet-lineaire oscillaties, eerst in de natuurkunde en daarna in de mechanica. In verband met de ontwikkeling van automatische besturingssystemen en andere technische behoeften, vanaf de jaren dertig, werd de theorie van bewegingsstabiliteit op grote schaal ontwikkeld en toegepast, waarvan de basis het proefschrift van A. M. Lyapunov 'The General Problem of Motion Stability' was.

Het ontbreken van een analytische oplossing voor problemen in de oscillatietheorie, zelfs in een lineaire formulering enerzijds, en computertechnologie anderzijds, leidde tot de ontwikkeling van een groot aantal verschillende numerieke methoden om deze op te lossen.

De noodzaak om berekeningen van trillingen uit te voeren voor verschillende soorten apparatuur leidde in de jaren dertig tot het verschijnen van de eerste trainingen in de theorie van trillingen.

Overgang naar IVperiode(begin jaren zestig – heden) wordt geassocieerd met het tijdperk van wetenschappelijke en technologische revolutie en wordt gekenmerkt door de opkomst van nieuwe technologie, voornamelijk luchtvaart en ruimtevaart, en robotsystemen. Bovendien heeft de ontwikkeling van energietechniek, transport, enz. de problemen van dynamische sterkte en betrouwbaarheid op de voorgrond gebracht. Dit wordt verklaard door een toename van de bedrijfssnelheden en een afname van het materiaalverbruik met een gelijktijdige wens om de levensduur van machines te verlengen. In de oscillatietheorie worden steeds meer problemen opgelost in een niet-lineaire formulering. Op het gebied van trillingen van continuümsystemen ontstaan ​​onder invloed van verzoeken uit de luchtvaart- en ruimtetechnologie problemen in de dynamiek van platen en granaten.

De grootste invloed op de ontwikkeling van de oscillatietheorie in deze periode werd uitgeoefend door de opkomst en snelle ontwikkeling van elektronische computertechnologie, wat leidde tot de ontwikkeling van numerieke methoden voor het berekenen van oscillaties.

Oscillerende beweging Elke beweging of verandering van toestand wordt genoemd, gekenmerkt door een of andere mate van herhaalbaarheid in de tijd van de waarden van de fysieke grootheden die deze beweging of toestand bepalen. Trillingen zijn kenmerkend voor alle natuurverschijnselen: de straling van sterren pulseert; de planeten van het zonnestelsel roteren met een hoge mate van periodiciteit; wind veroorzaakt trillingen en golven op het wateroppervlak; In elk levend organisme vinden voortdurend verschillende, ritmisch herhalende processen plaats. Het menselijk hart klopt bijvoorbeeld met verbazingwekkende betrouwbaarheid.

Oscillaties vallen op in de natuurkunde mechanisch En elektromagnetisch. Door het voortplanten van mechanische fluctuaties in de luchtdichtheid en -druk, die we als geluid waarnemen, en door zeer snelle fluctuaties in elektrische en magnetische velden, die we als licht waarnemen, ontvangen we een grote hoeveelheid directe informatie over de wereld om ons heen. Voorbeelden van oscillerende bewegingen in de mechanica zijn trillingen van slingers, snaren, bruggen, enz.

Oscillaties worden genoemd periodiek, als de waarden van fysieke grootheden die tijdens oscillaties veranderen, met regelmatige tussenpozen worden herhaald. Het eenvoudigste type periodieke oscillaties zijn harmonische oscillaties. Harmonische oscillaties zijn die waarbij de fluctuerende hoeveelheid in de loop van de tijd verandert volgens de sinus- (of cosinus-) wet:

waarbij x de verplaatsing vanuit de evenwichtspositie is;

A – amplitude van de oscillatie – maximale verplaatsing vanuit de evenwichtspositie;

- cyclische frequentie;

- initiële fase van oscillatie;

- oscillatiefase; het bepaalt de verplaatsing op elk moment, d.w.z. bepaalt de toestand van het oscillerende systeem.

In het geval van strikt harmonische oscillaties van grootte A, En ben niet afhankelijk van de tijd.

Cyclische frequentie geassocieerd met de periode T van oscillaties en frequentie verhouding:

(2)

Periode T oscillaties is de kortste tijdsperiode waarna de waarden van alle fysieke grootheden die oscillaties kenmerken, worden herhaald.

Frequentie oscillaties is het aantal volledige oscillaties dat per tijdseenheid wordt uitgevoerd, gemeten in hertz (1 Hz = 1
).

Cyclische frequentie numeriek gelijk aan het aantal oscillaties voltooid in 2 seconden

Oscillaties die optreden in een systeem dat niet onderhevig is aan de werking van variabele externe krachten, als resultaat van een initiële afwijking van dit systeem van een toestand van stabiel evenwicht, worden genoemd vrij(of die van jezelf).

Als het systeem conservatief is, vindt er geen energiedissipatie plaats tijdens oscillaties. In dit geval worden vrije trillingen genoemd ongedempt.

Snelheid We definiëren de oscillaties van een punt als de afgeleide van de verplaatsing in de tijd:

(3)

Versnelling oscillerende punt is gelijk aan de afgeleide van de snelheid ten opzichte van de tijd:

(4)

Vergelijking (4) laat zien dat de versnelling tijdens harmonische oscillaties variabel is, en daarom wordt de oscillatie veroorzaakt door de werking van een variabele kracht.

De tweede wet van Newton stelt ons in staat om in algemene termen de relatie tussen kracht F en versnelling te beschrijven voor rechtlijnige harmonische oscillaties van een materieel punt met massa
:

Waar
, (6)

k – elasticiteitscoëfficiënt.

De kracht die harmonische trillingen veroorzaakt, is dus evenredig met de verplaatsing en gericht tegen de verplaatsing. In dit opzicht kunnen we een dynamische definitie geven van een harmonische oscillatie: harmonisch is een oscillatie die wordt veroorzaakt door een kracht die direct evenredig is met de verplaatsing x en die tegen de verplaatsing in is gericht.

De herstelkracht kan bijvoorbeeld een elastische kracht zijn. Krachten die een ander karakter hebben dan elastische krachten, maar ook aan voorwaarde (5) voldoen, worden genoemd quasi-elastisch.

In het geval van rechtlijnige oscillaties langs de x-as, de versnelling gelijk aan:

.

Deze uitdrukking vervangen door versnelling en de betekenis van kracht
in de tweede wet van Newton, krijgen we basisvergelijking van rechtlijnige harmonische oscillaties:


 of
(7)

De oplossing voor deze vergelijking is vergelijking (1).

Cursusprogramma theorie van oscillaties voor studenten 4 FACI-cursus


De discipline is gebaseerd op de resultaten van disciplines als de klassieke algemene algebra, de theorie van gewone differentiaalvergelijkingen, theoretische mechanica en de theorie van functies van een complexe variabele. Een kenmerk van de studie van het vakgebied is het frequente gebruik van het apparaat van wiskundige analyse en andere gerelateerde wiskundige disciplines, het gebruik van praktisch belangrijke voorbeelden uit het vakgebied van de theoretische mechanica, natuurkunde, elektrotechniek en akoestiek.


1. Kwalitatieve bewegingsanalyse in een conservatief systeem met één vrijheidsgraad

  • Fasevlakmethode
  • Afhankelijkheid van de oscillatieperiode van de amplitude. Zachte en harde systemen

2. Duffing-vergelijking

  • Uitdrukking voor de algemene oplossing van de Duffing-vergelijking in elliptische functies

3. Quasilineaire systemen

  • Van der Pol-variabelen
  • Middelingsmethode

4. Ontspanningsoscillaties

  • Van der Pol-vergelijking
  • Bijzonder verstoorde systemen van differentiaalvergelijkingen

5. Dynamiek van niet-lineaire autonome systemen van algemene vorm met één vrijheidsgraad

  • Het concept van “ruwheid” van een dynamisch systeem
  • Vertakkingen van dynamische systemen

6. Elementen van de theorie van Floquet

  • Normale oplossingen en vermenigvuldigers van lineaire systemen van differentiaalvergelijkingen met periodieke coëfficiënten
  • Parametrische resonantie

7. Hill's vergelijking

  • Analyse van het gedrag van oplossingen voor een vergelijking van het Hill-type als illustratie van de toepassing van de Floquet-theorie op lineaire Hamiltoniaanse systemen met periodieke coëfficiënten
  • De vergelijking van Mathieu als een speciaal geval van een vergelijking van het Hill-type. Ines-Strett-diagram

8. Geforceerde oscillaties in een systeem met een niet-lineaire herstelkracht

  • Verband tussen de amplitude van trillingen en de grootte van de drijvende kracht die op het systeem wordt uitgeoefend
  • Veranderen van de rijmodus bij het veranderen van de frequentie van de aandrijfkracht. Het concept van "dynamische" hysteresis

9. Adiabatische invarianten

  • Actiehoekvariabelen
  • Behoud van adiabatische invarianten met een kwalitatieve verandering in de aard van beweging

10. Dynamiek van multidimensionale dynamische systemen

  • Het concept van ergodiciteit en menging in dynamische systemen
  • Poincaré-kaart

11. Lorentz-vergelijkingen. Vreemde aantrekker

  • Lorentzvergelijkingen als model van thermoconvectie
  • Vertakkingen van oplossingen voor Lorentz-vergelijkingen. Overgang naar chaos
  • Fractale structuur van een vreemde aantrekker

12. Eendimensionale weergaven. De veelzijdigheid van Feigenbaum

  • Kwadratische mapping - de eenvoudigste niet-lineaire mapping
  • Periodieke banen van mappings. Vertakkingen van periodieke banen

Literatuur (hoofd)

1. Moiseev N.N. Asymptotische methoden van niet-lineaire mechanica. – M.: Nauka, 1981.

2. Rabinovich M.I., Trubetskov D.I. Inleiding tot de theorie van trillingen en golven. Ed. 2e. Onderzoekscentrum “Regelmatige en chaotische dynamiek”, 2000.

3. Bogolyubov N.N., Mitropolsky Yu.A. Asymptotische methoden in de theorie van niet-lineaire oscillaties. – M.: Nauka, 1974.

4. Butenin N.V., Neimark Yu.I., Fufaev N.A. Inleiding tot de theorie van niet-lineaire oscillaties. – M.: Nauka, 1987.

5. Loskutov A.Yu., Mikhailov A.S. Inleiding tot synergetica. – M.: Nauka, 1990.

6. Karlov N.V., Kirichenko N.A. Oscillaties, golven, structuren.. - M.: Fizmatlit, 2003.

Literatuur (aanvullend)

7. Zhuravlev VF, Klimov D.M. Toegepaste methoden in de trillingstheorie. Uitgeverij "Wetenschap", 1988.

8. Stocker J. Niet-lineaire oscillaties in mechanische en elektrische systemen. – M.: Buitenlandse literatuur, 1952.

9. Starzhinsky V.M., Toegepaste methoden van niet-lineaire oscillaties. – M.: Nauka, 1977.

10. Hayashi T. Niet-lineaire oscillaties in fysieke systemen. – M.: Mir, 1968.

11. Andronov AA, Witt AA, Khaikin SE Oscillatie theorie. – M.: Fizmatgiz, 1959.

Het boek laat de lezer kennismaken met de algemene eigenschappen van oscillerende processen die plaatsvinden in radiotechniek, optische en andere systemen, evenals verschillende kwalitatieve en kwantitatieve methoden om deze te bestuderen. Er wordt veel aandacht besteed aan de beschouwing van parametrische, zelf-oscillerende en andere niet-lineaire oscillerende systemen.
De studie van de oscillerende systemen en processen daarin, beschreven in het boek, wordt gepresenteerd met behulp van bekende methoden uit de oscillatietheorie zonder een gedetailleerde presentatie en rechtvaardiging van de methoden zelf. De belangrijkste aandacht wordt besteed aan het ophelderen van de fundamentele kenmerken van de bestudeerde oscillerende modellen van echte systemen met behulp van de meest adequate analysemethoden.

Vrije oscillaties in een circuit met niet-lineaire inductie.
Laten we nu een ander voorbeeld bekijken van een elektrisch niet-lineair conservatief systeem, namelijk een circuit met inductantie afhankelijk van de stroom die er doorheen vloeit. Dit geval heeft geen duidelijke en eenvoudige, niet-relativistische mechanische analogie, aangezien de afhankelijkheid van zelfinductie van stroom voor de mechanica gelijkwaardig is aan het geval van afhankelijkheid van massa van snelheid.

Elektrische systemen van dit type komen we tegen wanneer kernen van ferromagnetisch materiaal worden gebruikt in inductanties. In dergelijke gevallen is het voor elke gegeven kern mogelijk om de relatie tussen het magnetiserende veld en de magnetische inductieflux te verkrijgen. De curve die deze afhankelijkheid weergeeft, wordt de magnetisatiecurve genoemd. Als we het fenomeen hysteresis verwaarlozen, kan het geschatte verloop ervan worden weergegeven door de grafiek in figuur 2. 1.13. Omdat de grootte van het veld H evenredig is met de stroom die door de spoel vloeit, kan de stroom direct op de juiste schaal langs de abscis-as worden uitgezet.

Download het e-book gratis in een handig formaat, bekijk en lees:
Download het boek Fundamentals of the Theory of Oscillations, Migulin V.V., Medvedev V.I., Mustel E.R., Parygin V.N., 1978 - fileskachat.com, snelle en gratis download.

  • Principes van de theoretische natuurkunde, mechanica, veldtheorie, elementen van de kwantummechanica, Medvedev B.V., 2007
  • Natuurkundecursus, Ershov A.P., Fedotovich G.V., Kharitonov V.G., Pruuel E.R., Medvedev D.A.
  • Technische thermodynamica met de grondbeginselen van warmteoverdracht en hydraulica, Lashutina NG, Makashova OV, Medvedev RM, 1988