De raaklijnvergelijking is: Raaklijn aan de grafiek van een functie in een punt

Een raaklijn is een rechte lijn , die de grafiek van de functie op één punt raakt en waarvan alle punten zich op de kortste afstand van de grafiek van de functie bevinden. Daarom raakt de raaklijn onder een bepaalde hoek de grafiek van de functie, en kunnen verschillende raaklijnen onder verschillende hoeken niet door het raakpunt gaan. Raaklijnvergelijkingen en normaalvergelijkingen aan de grafiek van een functie worden geconstrueerd met behulp van de afgeleide.

De raaklijnvergelijking is afgeleid van de lijnvergelijking .

Laten we de vergelijking van de raaklijn afleiden, en vervolgens de vergelijking van de normaal met de grafiek van de functie.

j = kx + B .

In hem k- hoekcoëfficiënt.

Vanaf hier krijgen we de volgende invoer:

j - j 0 = k(X - X 0 ) .

Afgeleide waarde F "(X 0 ) functies j = F(X) bij het punt X0 gelijk aan de helling k= tg φ raakt aan de grafiek van een functie die door een punt wordt getrokken M0 (X 0 , j 0 ) , Waar j0 = F(X 0 ) . Dit is geometrische betekenis van afgeleide .

Zo kunnen wij vervangen k op F "(X 0 ) en krijg het volgende vergelijking van de raaklijn aan de grafiek van een functie :

j - j 0 = F "(X 0 )(X - X 0 ) .

Bij problemen bij het opstellen van de vergelijking van een raaklijn aan de grafiek van een functie (en we zullen daar binnenkort op ingaan), is het nodig om de uit de bovenstaande formule verkregen vergelijking te reduceren tot vergelijking van een rechte lijn in algemene vorm. Om dit te doen, moet je alle letters en cijfers naar de linkerkant van de vergelijking verplaatsen en nul aan de rechterkant laten staan.

Nu over de normale vergelijking. Normaal - dit is een rechte lijn die door het raakpunt loopt van de grafiek van de functie loodrecht op de raaklijn. Normale vergelijking :

(X - X 0 ) + F "(X 0 )(j - j 0 ) = 0

Ter opwarming wordt u gevraagd het eerste voorbeeld zelf op te lossen en daarna naar de oplossing te kijken. Er is alle reden om te hopen dat deze taak voor onze lezers geen “koude douche” zal zijn.

Voorbeeld 0. Maak een raaklijnvergelijking en een normaalvergelijking voor de grafiek van een functie in een punt M (1, 1) .

Voorbeeld 1. Schrijf een raaklijnvergelijking en een normaalvergelijking voor de grafiek van een functie , als de abscis raakt.

Laten we de afgeleide van de functie vinden:

Nu hebben we alles wat moet worden vervangen in de invoer in de theoretische hulp om de raaklijnvergelijking te krijgen. We krijgen

In dit voorbeeld hadden we geluk: de helling bleek nul te zijn, dus het was niet nodig om de vergelijking afzonderlijk terug te brengen tot de algemene vorm. Nu kunnen we de normale vergelijking maken:

In onderstaande figuur: de grafiek van de functie is bordeauxrood, de raaklijn is groen, de normaal is oranje.

Het volgende voorbeeld is ook niet ingewikkeld: de functie is, net als in het vorige, ook een polynoom, maar de helling zal niet gelijk zijn aan nul, dus er zal nog een stap worden toegevoegd, waardoor de vergelijking een algemene vorm krijgt.

Voorbeeld 2.

Oplossing. Laten we de ordinaat van het raakpunt vinden:

Laten we de afgeleide van de functie vinden:

.

Laten we de waarde van de afgeleide op het raakpunt vinden, dat wil zeggen de helling van de raaklijn:

We vervangen alle verkregen gegevens in de “lege formule” en krijgen de raaklijnvergelijking:

We brengen de vergelijking naar zijn algemene vorm (we verzamelen alle letters en cijfers behalve nul aan de linkerkant en laten nul aan de rechterkant):

We stellen de normale vergelijking samen:

Voorbeeld 3. Schrijf de vergelijking van de raaklijn en de vergelijking van de normaal naar de grafiek van de functie als de abscis het raakpunt is.

Oplossing. Laten we de ordinaat van het raakpunt vinden:

Laten we de afgeleide van de functie vinden:

.

Laten we de waarde van de afgeleide op het raakpunt vinden, dat wil zeggen de helling van de raaklijn:

.

We vinden de raaklijnvergelijking:

Voordat je de vergelijking in zijn algemene vorm brengt, moet je hem een ​​beetje ‘kammen’: vermenigvuldig term voor term met 4. We doen dit en brengen de vergelijking in zijn algemene vorm:

We stellen de normale vergelijking samen:

Voorbeeld 4. Schrijf de vergelijking van de raaklijn en de vergelijking van de normaal naar de grafiek van de functie als de abscis het raakpunt is.

Oplossing. Laten we de ordinaat van het raakpunt vinden:

.

Laten we de afgeleide van de functie vinden:

Laten we de waarde van de afgeleide op het raakpunt vinden, dat wil zeggen de helling van de raaklijn:

.

We krijgen de raaklijnvergelijking:

We brengen de vergelijking naar zijn algemene vorm:

We stellen de normale vergelijking samen:

Een veel voorkomende fout bij het schrijven van tangens- en normaalvergelijkingen is het niet opmerken dat de functie in het voorbeeld complex is en de afgeleide ervan berekenen als de afgeleide van een eenvoudige functie. De volgende voorbeelden komen al uit complexe functies(de bijbehorende les wordt in een nieuw venster geopend).

Voorbeeld 5. Schrijf de vergelijking van de raaklijn en de vergelijking van de normaal naar de grafiek van de functie als de abscis het raakpunt is.

Oplossing. Laten we de ordinaat van het raakpunt vinden:

Aandacht! Deze functie is complex, omdat het raaklijnargument (2 X) is zelf een functie. Daarom vinden we de afgeleide van een functie als de afgeleide van een complexe functie.

De videoles “Vergelijking van een raaklijn aan de grafiek van een functie” demonstreert educatief materiaal om het onderwerp onder de knie te krijgen. Tijdens de videoles wordt het theoretische materiaal beschreven dat nodig is om het concept van de vergelijking van een raaklijn aan de grafiek van een functie op een bepaald punt te formuleren, een algoritme voor het vinden van een dergelijke raaklijn en voorbeelden van het oplossen van problemen met behulp van het bestudeerde theoretische materiaal. .

De video-tutorial maakt gebruik van methoden die de duidelijkheid van het materiaal verbeteren. De presentatie bevat tekeningen, diagrammen, belangrijk gesproken commentaar, animatie, markeringen en andere hulpmiddelen.

De videoles begint met een presentatie van het onderwerp van de les en een afbeelding van een raaklijn aan de grafiek van een functie y=f(x) in het punt M(a;f(a)). Het is bekend dat de hoekcoëfficiënt van de raaklijn die op een bepaald punt aan de grafiek is uitgezet, gelijk is aan de afgeleide van de functie f΄(a) op dit punt. Ook uit de algebracursus kennen we de vergelijking van de rechte lijn y=kx+m. De oplossing voor het probleem van het vinden van de raaklijnvergelijking op een punt wordt schematisch gepresenteerd, wat neerkomt op het vinden van de coëfficiënten k, m. Als we de coördinaten kennen van een punt dat tot de grafiek van de functie behoort, kunnen we m vinden door de coördinaatwaarde te vervangen door de raaklijnvergelijking f(a)=ka+m. Hieruit vinden we m=f(a)-ka. Als we dus de waarde van de afgeleide op een bepaald punt en de coördinaten van het punt kennen, kunnen we de raaklijnvergelijking op deze manier weergeven y=f(a)+f΄(a)(x-a).

Het volgende is een voorbeeld van het samenstellen van een raaklijnvergelijking volgens het diagram. Gegeven de functie y=x 2 , x=-2. Als we a=-2 nemen, vinden we de waarde van de functie op een bepaald punt f(a)= f(-2)=(-2) 2 =4. We bepalen de afgeleide van de functie f΄(x)=2x. Op dit punt is de afgeleide gelijk aan f΄(a)= f΄(-2)=2·(-2)=-4. Om de vergelijking samen te stellen zijn alle coëfficiënten a=-2, f(a)=4, f΄(a)=-4 gevonden, dus de raaklijnvergelijking is y=4+(-4)(x+2). Als we de vergelijking vereenvoudigen, krijgen we y = -4-4x.

Het volgende voorbeeld stelt voor om een ​​vergelijking te construeren voor de raaklijn aan de oorsprong van de grafiek van de functie y=tgx. Op een gegeven punt a=0, f(0)=0, f΄(x)=1/cos 2 x, f΄(0)=1. De raaklijnvergelijking ziet er dus uit als y=x.

Als generalisatie wordt het proces van het samenstellen van een vergelijking die raakt aan de grafiek van een functie op een bepaald punt geformaliseerd in de vorm van een algoritme dat uit 4 stappen bestaat:

  • Voer voor de abscis van het raakpunt de aanduiding a in;
  • f(a) wordt berekend;
  • f΄(x) wordt bepaald en f΄(a) wordt berekend. De gevonden waarden van a, f(a), f΄(a) worden gesubstitueerd in de raaklijnvergelijkingsformule y=f(a)+f΄(a)(x-a).

Voorbeeld 1 beschouwt het samenstellen van de raaklijnvergelijking aan de grafiek van de functie y=1/x op punt x=1. Om het probleem op te lossen gebruiken we een algoritme. Voor een gegeven functie op punt a=1 is de waarde van de functie f(a)=-1. Afgeleide van de functie f΄(x)=1/x 2. Op punt a=1 is de afgeleide f΄(a)= f΄(1)=1. Met behulp van de verkregen gegevens wordt de raaklijnvergelijking y=-1+(x-1), oftewel y=x-2, opgesteld.

In voorbeeld 2 is het nodig om de vergelijking te vinden van de raaklijn aan de grafiek van de functie y=x 3 +3x 2 -2x-2. De belangrijkste voorwaarde is de parallelliteit van de raaklijn en de rechte lijn y=-2x+1. Eerst vinden we de hoekcoëfficiënt van de raaklijn, gelijk aan de hoekcoëfficiënt van de rechte lijn y=-2x+1. Omdat f΄(a)=-2 voor een gegeven lijn, dan is k=-2 voor de gewenste raaklijn. We vinden de afgeleide van de functie (x 3 +3x 2 -2x-2)΄=3x 2 +6x-2. Wetende dat f΄(a)=-2, vinden we de coördinaten van punt 3a 2 +6a-2=-2. Nadat we de vergelijking hebben opgelost, krijgen we 1 = 0 en 2 = -2. Met behulp van de gevonden coördinaten kunt u de raaklijnvergelijking vinden met behulp van een bekend algoritme. We vinden de waarde van de functie op de punten f(a 1)=-2, f(a 2)=-18. De waarde van de afgeleide op het punt f΄(а 1)= f΄(а 2)=-2. Door de gevonden waarden in de raaklijnvergelijking te vervangen, verkrijgen we voor het eerste punt a 1 =0 y=-2x-2, en voor het tweede punt a 2 =-2 de raaklijnvergelijking y=-2x-22.

Voorbeeld 3 beschrijft de samenstelling van de raaklijnvergelijking om deze te tekenen op het punt (0;3) van de grafiek van de functie y=√x. De oplossing is gemaakt met behulp van een bekend algoritme. Het raakpunt heeft coördinaten x=a, waarbij a>0. De waarde van de functie op het punt f(a)=√x. De afgeleide van de functie f΄(х)=1/2√х, dus op een gegeven punt f΄(а)=1/2√а. Door alle verkregen waarden in de raaklijnvergelijking te vervangen, verkrijgen we y = √a + (x-a)/2√a. Als we de vergelijking transformeren, krijgen we y=x/2√а+√а/2. Wetende dat de raaklijn door het punt (0;3) gaat, vinden we de waarde van a. We vinden a uit 3=√a/2. Dus √a=6, a=36. We vinden de raaklijnvergelijking y=x/12+3. De figuur toont de grafiek van de betreffende functie en de geconstrueerde gewenste raaklijn.

De leerlingen worden herinnerd aan de geschatte gelijkheden Δy=≈f΄(x)Δx en f(x+Δx)-f(x)≈f΄(x)Δx. Als we x=a, x+Δx=x, Δx=x-a nemen, krijgen we f(x)- f(a)≈f΄(a)(x-a), dus f(x)≈f(a)+ f΄( a)(x-a).

In voorbeeld 4 is het nodig om de geschatte waarde van de uitdrukking 2.003 6 te vinden. Omdat het nodig is om de waarde van de functie f(x)=x 6 te vinden op het punt x=2,003, kunnen we de bekende formule gebruiken, waarbij we f(x)=x 6 nemen, a=2, f(a )= f(2)=64, f΄(x)=6x 5. Afgeleide op het punt f΄(2)=192. Daarom 2,003 6 ≈65-192·0,003. Nadat we de uitdrukking hebben berekend, krijgen we 2,003 6 ≈64,576.

De videoles “Vergelijking van een raaklijn aan de grafiek van een functie” wordt aanbevolen voor gebruik in een traditionele wiskundeles op school. Voor een leraar die op afstand lesgeeft, kan videomateriaal het onderwerp duidelijker uitleggen. Het is aan te raden dat leerlingen de video indien nodig zelfstandig kunnen bekijken om hun begrip van het onderwerp te verdiepen.

TEKST DECODEREN:

We weten dat als een punt M (a; f(a)) (em met coördinaten a en ef uit a) behoort tot de grafiek van de functie y = f (x) en als het op dit punt mogelijk is een raaklijn te tekenen ten opzichte van de grafiek van de functie die niet loodrecht op de asabcis staat, dan is de hoekcoëfficiënt van de raaklijn gelijk aan f"(a) (eff priemgetal vanaf a).

Laat een functie y = f(x) en een punt M (a; f(a)) gegeven worden, en het is ook bekend dat f´(a) bestaat. Laten we een vergelijking maken voor de raaklijn aan de grafiek van een bepaalde functie op een bepaald punt. Deze vergelijking heeft, net als de vergelijking van elke rechte lijn die niet evenwijdig is aan de ordinaat, de vorm y = kx+m (de y is gelijk aan ka x plus em), dus de taak is om de waarden van te vinden de coëfficiënten k en m. (ka en em)

Hoekcoëfficiënt k= f"(a). Om de waarde van m te berekenen, gebruiken we het feit dat de gewenste rechte lijn door het punt M(a; f (a)) gaat. Dit betekent dat als we de coördinaten van de punt M in de vergelijking van de rechte lijn, verkrijgen we de juiste gelijkheid: f(a) = ka+m, waaruit we vinden dat m = f(a) - ka.

Het blijft nodig om de gevonden waarden van de coëfficiënten ki en m in de vergelijking van de rechte lijn te vervangen:

y = kx+(f(a) -ka);

y = f(a)+k(x-a);

j= F(A)+ F"(A) (X- A). ( y is gelijk aan ef uit a plus ef priemgetal uit a, vermenigvuldigd met x min a).

We hebben de vergelijking verkregen voor de raaklijn aan de grafiek van de functie y = f(x) in het punt x=a.

Als bijvoorbeeld y = x 2 en x = -2 (dat wil zeggen a = -2), dan f (a) = f (-2) = (-2) 2 = 4; f´(x) = 2x, wat betekent f"(a) = f´(-2) = 2·(-2) = -4. (dan is de ef van a gelijk aan vier, de ef van het priemgetal van x is gelijk aan twee x, wat betekent dat ef priemgetal van a gelijk is aan min vier)

Door de gevonden waarden a = -2, f(a) = 4, f"(a) = -4 in de vergelijking te vervangen, verkrijgen we: y = 4+(-4)(x+2), d.w.z. y = -4x -4.

(E is gelijk aan min vier x min vier)

Laten we een vergelijking maken voor de raaklijn aan de grafiek van de functie y = tanx (de y is gelijk aan de raaklijn x) bij de oorsprong. We hebben: a = 0, f(0) = tan0=0;

f"(x)= , wat betekent f"(0) = l. Als we de gevonden waarden a=0, f(a)=0, f´(a) = 1 in de vergelijking vervangen, krijgen we: y=x.

Laten we onze stappen samenvatten bij het vinden van de vergelijking van de raaklijn aan de grafiek van een functie in punt x met behulp van een algoritme.

ALGORITME VOOR HET ONTWIKKELEN VAN EEN VERGELIJKING VOOR EEN RANGAAN AAN DE GRAFIEK VAN DE FUNCTIE y = f(x):

1) Geef de abscis van het raakpunt aan met de letter a.

2) Bereken f(a).

3) Vind f´(x) en bereken f´(a).

4) Vervang de gevonden getallen a, f(a), f´(a) in de formule j= F(A)+ F"(A) (X- A).

Voorbeeld 1. Maak een vergelijking voor de raaklijn aan de grafiek van de functie y = - in

punt x = 1.

Oplossing. Laten we het algoritme gebruiken en daar in dit voorbeeld rekening mee houden

2) f(a)=f(1)=- =-1

3) f´(x)=; f´(a)= f´(1)= =1.

4) Vervang de gevonden drie getallen: a = 1, f(a) = -1, f"(a) = 1 in de formule. We krijgen: y = -1+(x-1), y = x-2 .

Antwoord: y = x-2.

Voorbeeld 2. Gegeven de functie y = x 3 +3x 2 -2x-2. Schrijf de vergelijking op van de raaklijn aan de grafiek van de functie y = f(x), evenwijdig aan de rechte lijn y = -2x +1.

Met behulp van het algoritme voor het samenstellen van de raaklijnvergelijking houden we er rekening mee dat in dit voorbeeld f(x) = x 3 +3x 2 -2x-2, maar de abscis van het raakpunt is hier niet aangegeven.

Laten we zo beginnen te denken. De gewenste raaklijn moet evenwijdig zijn aan de rechte lijn y = -2x+1. En parallelle lijnen hebben gelijke hoekcoëfficiënten. Dit betekent dat de hoekcoëfficiënt van de raaklijn gelijk is aan de hoekcoëfficiënt van de gegeven rechte lijn: k tangens. = -2. Hok cas. = f"(a). We kunnen dus de waarde van a vinden uit de vergelijking f ´(a) = -2.

Laten we de afgeleide van de functie vinden j=F(X):

F"(X)= (x 3 +3x 2 -2x-2)´ =3x 2 +6x-2;F"(a)= 3a 2 +6a-2.

Uit de vergelijking f"(a) = -2, d.w.z. 3a 2 +6a-2=-2 vinden we een 1 =0, een 2 =-2. Dit betekent dat er twee raaklijnen zijn die aan de voorwaarden van het probleem voldoen: één op het punt met abscis 0, de andere op het punt met abscis -2.

Nu kunt u het algoritme volgen.

1) een 1 =0, en 2 =-2.

2) f(a1)= 0 3 +3·0 2 -2∙0-2=-2; f(een2)= (-2) 3 +3·(-2) 2 -2·(-2)-2=6;

3) f"(a 1) = f"(a 2) = -2.

4) Als we de waarden a 1 = 0, f(a 1) = -2, f"(a 1) = -2 in de formule vervangen, krijgen we:

y=-2-2(x-0), y=-2x-2.

Als we de waarden a 2 = -2, f(a 2) =6, f"(a 2) = -2 in de formule vervangen, krijgen we:

y=6-2(x+2), y=-2x+2.

Antwoord: y=-2x-2, y=-2x+2.

Voorbeeld 3. Teken vanuit het punt (0; 3) een raaklijn aan de grafiek van de functie y = . Oplossing. Laten we het algoritme gebruiken voor het samenstellen van de raaklijnvergelijking, rekening houdend met het feit dat in dit voorbeeld f(x) = . Merk op dat hier, net als in voorbeeld 2, de abscis van het raakpunt niet expliciet is aangegeven. Niettemin volgen we het algoritme.

1) Zij x = a de abscis van het raakpunt; het is duidelijk dat a >0.

3) f´(x)=()´=; f´(a) =.

4) Vervanging van de waarden van a, f(a) = , f"(a) = in de formule

y=f (a) +f "(a) (x-a), we krijgen:

Per voorwaarde gaat de raaklijn door het punt (0; 3). Als we de waarden x = 0, y = 3 in de vergelijking vervangen, krijgen we: 3 = en dan =6, a =36.

Zoals je kunt zien, zijn we er in dit voorbeeld pas in de vierde stap van het algoritme in geslaagd de abscis van het raakpunt te vinden. Als we de waarde a =36 in de vergelijking invullen, krijgen we: y=+3

In afb. Figuur 1 toont een geometrische illustratie van het beschouwde voorbeeld: er wordt een grafiek van de functie y = geconstrueerd, er wordt een rechte lijn getekend y = +3.

Antwoord: y = +3.

We weten dat voor een functie y = f(x), die een afgeleide heeft in punt x, de geschatte gelijkheid geldig is: Δyf´(x)Δx (delta y is ongeveer gelijk aan het eff-priemgetal van x vermenigvuldigd met delta x)

of, meer gedetailleerd, f(x+Δx)-f(x) f´(x) Δx (eff uit x plus delta x min ef uit x is ongeveer gelijk aan ef prime uit x door delta x).

Laten we voor het gemak van verdere discussie de notatie wijzigen:

in plaats van x zullen we schrijven A,

in plaats van x+Δx schrijven we x

In plaats van Δx schrijven we x-a.

Dan zal de hierboven geschreven geschatte gelijkheid de vorm aannemen:

f(x)-f(a)f´(a)(x-a)

f(x)f(a)+f´(a)(x-a). (eff uit x is ongeveer gelijk aan ef uit a plus ef priemgetal uit a, vermenigvuldigd met het verschil tussen x en a).

Voorbeeld 4. Zoek de geschatte waarde van de numerieke uitdrukking 2,003 6.

Oplossing. We hebben het over het vinden van de waarde van de functie y = x 6 op het punt x = 2,003. Laten we de formule f(x)f(a)+f´(a)(x-a) gebruiken, rekening houdend met het feit dat in dit voorbeeld f(x)=x 6, a = 2,f(a) = f(2) = 2 6 =64; x = 2,003, f"(x) = 6x 5 en dus f"(a) = f"(2) = 6 2 5 =192.

Als resultaat krijgen we:

2,003 6 64+192· 0,003, d.w.z. 2,0036=64,576.

Als we een rekenmachine gebruiken, krijgen we:

2,003 6 = 64,5781643...

Zoals u kunt zien, is de nauwkeurigheid van de benadering zeer acceptabel.

Raaklijn is een rechte lijn die door een punt op de curve loopt en daarmee samenvalt op dit punt tot aan de eerste orde (Fig. 1).

Een andere definitie: dit is de grenspositie van de secans bij Δ X→0.

Uitleg: Neem een ​​rechte lijn die de curve op twee punten snijdt: A En B(zie foto). Dit is een secans. We zullen het met de klok mee draaien totdat het slechts één gemeenschappelijk punt met de curve vindt. Dit zal ons een raaklijn geven.

Strikte definitie van raaklijn:

Raaklijn aan de grafiek van een functie F, differentieerbaar op het punt XO, is een rechte lijn die door het punt ( XO; F(XO)) en een helling hebben F′( XO).

De helling heeft een rechte lijn van de vorm j=kx +B. Coëfficiënt k en is helling deze rechte lijn.

De hoekcoëfficiënt is gelijk aan de raaklijn van de scherpe hoek gevormd door deze rechte lijn met de abscis-as:


k = bruin α

Hier is hoek α de hoek tussen de rechte lijn j=kx +B en positieve (dat wil zeggen, tegen de klok in) richting van de x-as. Het heet hellingshoek van een rechte lijn(Fig. 1 en 2).

Als de hellingshoek recht is j=kx +B acuut, dan is de helling een positief getal. De grafiek neemt toe (Fig. 1).

Als de hellingshoek recht is j=kx +B stomp is, dan is de helling een negatief getal. De grafiek neemt af (Fig. 2).

Als de rechte lijn evenwijdig is aan de x-as, dan is de hellingshoek van de rechte lijn nul. In dit geval is de helling van de lijn ook nul (aangezien de raaklijn van nul nul is). De vergelijking van de rechte lijn ziet er als volgt uit: y = b (Fig. 3).

Als de hellingshoek van een rechte lijn 90º (π/2) is, dat wil zeggen loodrecht op de abscis-as, dan wordt de rechte lijn gegeven door de gelijkheid x =C, Waar C– een reëel getal (Fig. 4).

Vergelijking van de raaklijn aan de grafiek van een functiej = F(X) op punt XO:


Voorbeeld: Zoek de vergelijking van de raaklijn aan de grafiek van de functie F(X) = X 3 – 2X 2 + 1 op het punt met abscis 2.

Oplossing .

Wij volgen het algoritme.

1) Aanraakpunt XO is gelijk aan 2. Bereken F(XO):

F(XO) = F(2) = 2 3 – 2 ∙ 2 2 + 1 = 8 – 8 + 1 = 1

2) Vind F′( X). Om dit te doen, passen we de differentiatieformules toe die in de vorige sectie zijn beschreven. Volgens deze formules, X 2 = 2X, A X 3 = 3X 2. Middelen:

F′( X) = 3X 2 – 2 ∙ 2X = 3X 2 – 4X.

Gebruik nu de resulterende waarde F′( X), berekenen F′( XO):

F′( XO) = F′(2) = 3 ∙ 2 2 – 4 ∙ 2 = 12 – 8 = 4.

3) We hebben dus alle benodigde gegevens: XO = 2, F(XO) = 1, F ′( XO) = 4. Vervang deze getallen in de raaklijnvergelijking en vind de uiteindelijke oplossing:

j = F(XO) + F′( XO) (x – x o) = 1 + 4 ∙ (x – 2) = 1 + 4x – 8 = –7 + 4x = 4x – 7.

Antwoord: y = 4x – 7.

Instructies

We bepalen de hoekcoëfficiënt van de raaklijn aan de curve in punt M.
De curve die de grafiek van de functie y = f(x) voorstelt, is continu in een bepaalde omgeving van het punt M (inclusief het punt M zelf).

Als de waarde f‘(x0) niet bestaat, is er ofwel geen raaklijn, ofwel loopt deze verticaal. Met het oog hierop is de aanwezigheid van een afgeleide van de functie op het punt x0 te wijten aan het bestaan ​​van een niet-verticale raaklijn die raakt aan de grafiek van de functie op het punt (x0, f(x0)). In dit geval zal de hoekcoëfficiënt van de raaklijn gelijk zijn aan f "(x0). Zo wordt de geometrische betekenis van de afgeleide duidelijk: de berekening van de hoekcoëfficiënt van de raaklijn.

Zoek de absciswaarde van het raakpunt, aangegeven met de letter "a". Als het samenvalt met een bepaald raakpunt, dan zal "a" de x-coördinaat zijn. Bepaal de waarde functies f(a) door te substitueren in de vergelijking functies abscis waarde.

Bepaal de eerste afgeleide van de vergelijking functies f’(x) en vervang de waarde van punt “a” daarin.

Neem de algemene raaklijnvergelijking, die is gedefinieerd als y = f(a) = f (a)(x – a), en vervang daarin de gevonden waarden van a, f(a), f "(a). Als gevolg hiervan wordt de oplossing van de grafiek gevonden en raakt deze.

Los het probleem op een andere manier op als het gegeven raakpunt niet samenvalt met het raakpunt. In dit geval is het noodzakelijk om “a” te vervangen in plaats van getallen in de raaklijnvergelijking. Vervang hierna, in plaats van de letters “x” en “y”, de waarde van de coördinaten van het gegeven punt. Los de resulterende vergelijking op waarin “a” de onbekende is. Voer de resulterende waarde in de raaklijnvergelijking in.

Schrijf een vergelijking voor een raaklijn met de letter “a” als de probleemstelling de vergelijking specificeert functies en de vergelijking van een evenwijdige lijn ten opzichte van de gewenste raaklijn. Hierna hebben we de afgeleide nodig functies

Laat een functie f gegeven worden, die op een gegeven moment x 0 een eindige afgeleide f (x 0) heeft. Vervolgens wordt de rechte lijn die door het punt (x 0 ; f (x 0)) gaat en een hoekcoëfficiënt f ’(x 0) heeft, een raaklijn genoemd.

Wat gebeurt er als de afgeleide niet bestaat in het punt x 0? Er zijn twee opties:

  1. Er is ook geen raaklijn aan de grafiek. Een klassiek voorbeeld is de functie y = |x | op punt (0; 0).
  2. De raaklijn wordt verticaal. Dit geldt bijvoorbeeld voor de functie y = boogsin x op het punt (1; π /2).

Tangensvergelijking

Elke niet-verticale rechte lijn wordt gegeven door een vergelijking van de vorm y = kx + b, waarbij k de helling is. De raaklijn is hierop geen uitzondering, en om de vergelijking op een bepaald punt x 0 te maken, is het voldoende om de waarde van de functie en de afgeleide op dit punt te kennen.

Laten we dus een functie y = f (x) geven, die een afgeleide y = f ’(x) heeft op het segment. Dan kan op elk punt x 0 ∈ (a; b) een raaklijn worden getrokken aan de grafiek van deze functie, die wordt gegeven door de vergelijking:

y = f ’(x 0) (x − x 0) + f (x 0)

Hier is f ’(x 0) de waarde van de afgeleide op punt x 0, en f (x 0) is de waarde van de functie zelf.

Taak. Gegeven de functie y = x 3 . Schrijf een vergelijking voor de raaklijn aan de grafiek van deze functie op het punt x 0 = 2.

Raaklijnvergelijking: y = f ’(x 0) · (x − x 0) + f (x 0). Het punt x 0 = 2 wordt ons gegeven, maar de waarden f (x 0) en f ’(x 0) zullen moeten worden berekend.

Laten we eerst de waarde van de functie vinden. Alles is hier eenvoudig: f (x 0) = f (2) = 2 3 = 8;
Laten we nu de afgeleide vinden: f ’(x) = (x 3)’ = 3x 2;
We vervangen x 0 = 2 in de afgeleide: f ’(x 0) = f ’(2) = 3 2 2 = 12;
In totaal krijgen we: y = 12 · (x − 2) + 8 = 12x − 24 + 8 = 12x − 16.
Dit is de raaklijnvergelijking.

Taak. Schrijf een vergelijking voor de raaklijn aan de grafiek van de functie f (x) = 2sin x + 5 in punt x 0 = π /2.

Deze keer zullen we niet elke actie in detail beschrijven; we zullen alleen de belangrijkste stappen aangeven. We hebben:

f (x 0) = f (π /2) = 2sin (π /2) + 5 = 2 + 5 = 7;
f ’(x) = (2sin x + 5)’ = 2cos x;
f ’(x 0) = f ’(π /2) = 2cos (π /2) = 0;

Tangensvergelijking:

y = 0 · (x − π /2) + 7 ⇒ y = 7

In het laatste geval bleek de rechte lijn horizontaal te zijn, omdat de hoekcoëfficiënt k = 0. Daar is niets mis mee - we kwamen zojuist een extreem punt tegen.