GEBRUIK profielopties. Het behalen van het basisniveau van het Unified State Examination in wiskunde

Er zijn geen wijzigingen bij het Unified State Exam in Math op profielniveau in 2019 - het examenprogramma is, net als voorgaande jaren, samengesteld uit materiaal uit de belangrijkste wiskundige disciplines. De kaartjes bevatten wiskundige, geometrische en algebraïsche problemen.

Er zijn geen wijzigingen in het KIM Unified State Exam 2019 in wiskunde op profielniveau.

Kenmerken van Unified State Examination-taken in de wiskunde 2019

• Let bij de voorbereiding op het Unified State Exam in Math (profiel) op de basisvereisten van het examenprogramma. Het is ontworpen om de kennis van een diepgaand programma te testen: vector- en wiskundige modellen, functies en logaritmen, algebraïsche vergelijkingen en ongelijkheden.
• Oefen afzonderlijk met het oplossen van problemen in .
• Het is belangrijk om innovatief denken te tonen.

Examenstructuur

Unified State Examination-taken in gespecialiseerde wiskunde verdeeld in twee blokken.

1. Deel - korte antwoorden, omvat 8 problemen die de elementaire wiskundige voorbereiding en het vermogen om wiskundekennis in het dagelijks leven toe te passen, testen.
2. Deel - kort en gedetailleerde antwoorden. Het bestaat uit 11 taken, waarvan er 4 een kort antwoord vereisen, en 7 - een gedetailleerd antwoord met argumenten voor de uitgevoerde acties.

• Geavanceerde moeilijkheidsgraad- taken 9-17 van het tweede deel van KIM.
• Hoge moeilijkheidsgraad- taken 18-19 –. Dit deel van de examentaken test niet alleen het niveau van wiskundige kennis, maar ook de aan- of afwezigheid van een creatieve benadering voor het oplossen van droge ‘numerieke’ taken, evenals de effectiviteit van het vermogen om kennis en vaardigheden als professioneel hulpmiddel te gebruiken .

Belangrijk! Ondersteun daarom bij de voorbereiding op het Unified State Exam altijd uw wiskundetheorie door praktische problemen op te lossen.

Hoe worden de punten verdeeld?

De taken in het eerste deel van de KIM in wiskunde liggen dicht bij de Unified State Exam-toetsen op basisniveau, dus het is onmogelijk om er een hoge score op te scoren.

De punten voor elke wiskundetaak op profielniveau werden als volgt verdeeld:

• voor correcte antwoorden op problemen nr. 1-12 - 1 punt;
• Nr. 13-15 – elk 2;
• Nr. 16-17 – elk 3;
• Nr. 18-19 – elk 4.

Duur van het examen en gedragsregels voor het Unified State Exam

Om het examenpapier in te vullen -2019 de leerling wordt toegewezen 3 uur 55 minuten(235 minuten).

Gedurende deze tijd mag de student niet:

• zich luidruchtig gedragen;
• gebruik gadgets en andere technische middelen;
• afschrijven;
• probeer anderen te helpen, of vraag om hulp voor jezelf.

Bij dergelijke handelingen kan de examinandus uit de klas worden verwijderd.

Voor het staatsexamen wiskunde mogen brengen Neem alleen een liniaal mee; de ​​rest van het materiaal wordt u onmiddellijk vóór het Unified State Exam overhandigd. worden ter plekke uitgegeven.

Effectieve voorbereiding is de oplossing voor online toetsen wiskunde 2019. Kies en behaal de maximale score!

Secundair algemeen onderwijs

Lijn UMK GK Muravin. Algebra en principes van wiskundige analyse (10-11) (diepgaande)

UMK Merzlyak-lijn. Algebra en begin van analyse (10-11) (U)

Wiskunde

Voorbereiding op het Unified State Exam in wiskunde (profielniveau): opdrachten, oplossingen en uitleg

Het examen op profielniveau duurt 3 uur en 55 minuten (235 minuten).

Minimale drempel- 27 punten.

Het examenwerk bestaat uit twee delen, die verschillen qua inhoud, complexiteit en aantal taken.

Het bepalende kenmerk van elk deel van het werk is de vorm van de taken:

• deel 1 bevat 8 taken (taken 1-8) met een kort antwoord in de vorm van een geheel getal of een laatste decimale breuk;
• deel 2 bevat 4 taken (taken 9-12) met een kort antwoord in de vorm van een geheel getal of een laatste decimale breuk en 7 taken (taken 13-19) met een gedetailleerd antwoord (een volledig verslag van de oplossing met rechtvaardiging voor de Ondernomen acties).

Panova Svetlana Anatolevna, wiskundedocent van de hoogste schoolcategorie, werkervaring 20 jaar:

“Om een ​​schoolcertificaat te ontvangen, moet een afgestudeerde slagen voor twee verplichte examens in de vorm van het Unified State Examination, waarvan er één wiskunde is. In overeenstemming met het concept voor de ontwikkeling van wiskundig onderwijs in de Russische Federatie is het uniforme staatsexamen in de wiskunde verdeeld in twee niveaus: basis- en gespecialiseerd. Vandaag zullen we kijken naar opties op profielniveau.”

Taak nr. 1- test het vermogen van de deelnemers aan het Unified State Examen om de vaardigheden verworven in de cursus elementaire wiskunde van het 5e tot en met het 9e leerjaar toe te passen in praktische activiteiten. De deelnemer moet over rekenvaardigheden beschikken, met rationale getallen kunnen werken, decimalen kunnen afronden en de ene meeteenheid naar de andere kunnen omrekenen.

Voorbeeld 1. In het appartement waar Peter woont is een koudwaterdebietmeter (meter) geïnstalleerd. Op 1 mei gaf de meter een verbruik aan van 172 kuub. m water, en op 1 juni - 177 kubieke meter. m. Welk bedrag moet Peter in mei betalen voor koud water, als de prijs 1 kubieke meter is? m koud water is 34 roebel 17 kopeken? Geef uw antwoord in roebels.

Oplossing:

1) Vind de hoeveelheid water die per maand wordt uitgegeven:

177 - 172 = 5 (kubieke meter)

2) Laten we eens kijken hoeveel geld ze zullen betalen voor verspild water:

34,17 5 = 170,85 (wrijven)

Antwoord: 170,85.

Taak nr. 2- is een van de eenvoudigste examentaken. De meerderheid van de afgestudeerden gaat er met succes mee om, wat duidt op kennis van de definitie van het concept van functie. Type taak nr. 2 volgens de vereistencodificator is een taak over het gebruik van verworven kennis en vaardigheden in praktische activiteiten en het dagelijks leven. Taak nr. 2 bestaat uit het beschrijven, gebruiken van functies, van verschillende reële relaties tussen grootheden en het interpreteren van hun grafieken. Taak nr. 2 test het vermogen om informatie uit tabellen, diagrammen en grafieken te extraheren. Afgestudeerden moeten in staat zijn om de waarde van een functie te bepalen op basis van de waarde van het argument op verschillende manieren om de functie te specificeren en het gedrag en de eigenschappen van de functie te beschrijven op basis van de grafiek. Je moet ook in staat zijn om de grootste of kleinste waarde uit een functiegrafiek te vinden en grafieken van de bestudeerde functies samen te stellen. Fouten die worden gemaakt zijn willekeurig bij het lezen van de omstandigheden van het probleem, het lezen van het diagram.

#ADVERTISING_INSERT#

Voorbeeld 2. De figuur toont de verandering in de ruilwaarde van één aandeel van een mijnbouwbedrijf in de eerste helft van april 2017. Op 7 april kocht de zakenman 1.000 aandelen van dit bedrijf. Op 10 april verkocht hij driekwart van de aandelen die hij kocht, en op 13 april verkocht hij alle resterende aandelen. Hoeveel heeft de zakenman door deze operaties verloren?

Oplossing:

2) 1000 · 3/4 = 750 (aandelen) - vormen 3/4 van alle gekochte aandelen.

6) 247500 + 77500 = 325000 (wrijven) - de zakenman ontving na verkoop 1000 aandelen.

7) 340.000 – 325.000 = 15.000 (wrijf) - de zakenman verloor als gevolg van alle operaties.

Antwoord: 15000.

Taak nr. 3- is een taak op basisniveau van het eerste deel en test het vermogen om acties uit te voeren met geometrische figuren volgens de inhoud van de cursus Planimetrie. Taak 3 test het vermogen om de oppervlakte van een figuur op geruit papier te berekenen, het vermogen om gradenmetingen van hoeken te berekenen, omtrekken te berekenen, enz.

Voorbeeld 3. Zoek het gebied van een rechthoek getekend op geruit papier met een celgrootte van 1 cm bij 1 cm (zie afbeelding). Geef je antwoord in vierkante centimeters.

Oplossing: Om de oppervlakte van een bepaald figuur te berekenen, kunt u de Peak-formule gebruiken:

Om de oppervlakte van een bepaalde rechthoek te berekenen, gebruiken we de formule van Peak:

Voorbeeld 4. Er zijn 5 rode en 1 blauwe stip gemarkeerd op de cirkel. Bepaal welke polygonen groter zijn: die met alle hoekpunten rood, of die met een van de hoekpunten blauw. Geef in je antwoord aan hoeveel er van sommige meer zijn dan van andere.

Oplossing: 1) Laten we de formule gebruiken voor het aantal combinaties van N elementen door k:

waarvan de hoekpunten allemaal rood zijn.

3) Eén vijfhoek met alle hoekpunten rood.

4) 10 + 5 + 1 = 16 polygonen met allemaal rode hoekpunten.

die rode topjes hebben of met één blauw topje.

die rode topjes hebben of met één blauw topje.

8) Eén zeshoek met rode hoekpunten en één blauw hoekpunt.

9) 20 + 15 + 6 + 1 = 42 polygonen met allemaal rode hoekpunten of één blauw hoekpunt.

10) 42 – 16 = 26 polygonen met behulp van de blauwe stip.

11) 26 – 16 = 10 polygonen – hoeveel polygonen waarin één van de hoekpunten een blauwe stip is, zijn er meer dan polygonen waarin alle hoekpunten alleen rood zijn.

Antwoord: 10.

Taak nr. 5- het basisniveau van het eerste deel test het vermogen om eenvoudige vergelijkingen op te lossen (irrationeel, exponentieel, trigonometrisch, logaritmisch).

Voorbeeld 5. Los vergelijking 2 3 + op X= 0,4 5 3+ X .

Oplossing. Deel beide zijden van deze vergelijking door 5 3 + X≠ 0, krijgen we

waaruit volgt dat 3 + X = 1, X = –2.

Antwoord: –2.

Taak nr. 6 in planimetrie om geometrische grootheden (lengtes, hoeken, gebieden) te vinden, reële situaties te modelleren in de taal van de geometrie. Studie van geconstrueerde modellen met behulp van geometrische concepten en stellingen. De bron van moeilijkheden is in de regel onwetendheid of onjuiste toepassing van de noodzakelijke stellingen van planimetrie.

Oppervlakte van een driehoek abc gelijk aan 129. DE– middellijn evenwijdig aan de zijkant AB. Zoek het gebied van het trapezium EEN BED.

Oplossing. Driehoek CDE vergelijkbaar met een driehoek TAXI onder twee hoeken, sinds de hoek bij het hoekpunt C algemeen, hoek СDE gelijk aan hoek TAXI als de overeenkomstige hoeken DE || AB secans A.C.. Omdat DE is de middellijn van een driehoek volgens voorwaarde, en vervolgens volgens de eigenschap van de middellijn | DE = (1/2)AB. Dit betekent dat de gelijkeniscoëfficiënt 0,5 is. De gebieden van vergelijkbare figuren zijn daarom gerelateerd als het kwadraat van de gelijkeniscoëfficiënt

Vandaar, S ABED = S Δ abc – S Δ CDE = 129 – 32,25 = 96,75.

Taak nr. 7- controleert de toepassing van de afgeleide op de studie van een functie. Succesvolle implementatie vereist zinvolle, niet-formele kennis van het concept van afgeleide.

Voorbeeld 7. Naar de grafiek van de functie j = F(X) op het abscispunt X 0 Er wordt een raaklijn getekend die loodrecht staat op de lijn die door de punten (4; 3) en (3; –1) van deze grafiek gaat. Vinden F′( X 0).

Oplossing. 1) Laten we de vergelijking gebruiken van een lijn die door twee gegeven punten gaat en de vergelijking vinden van een lijn die door de punten (4; 3) en (3; –1) gaat.

(j – j 1)(X 2 – X 1) = (X – X 1)(j 2 – j 1)

(j – 3)(3 – 4) = (X – 4)(–1 – 3)

(j – 3)(–1) = (X – 4)(–4)

–j + 3 = –4X+ 16| · (-1)

j – 3 = 4X – 16

j = 4X– 13, waar k 1 = 4.

2) Zoek de helling van de raaklijn k 2, die loodrecht op de lijn staat j = 4X– 13, waar k 1 = 4, volgens de formule:

3) De raakhoek is de afgeleide van de functie op het raakpunt. Middelen, F′( X 0) = k 2 = –0,25.

Antwoord: –0,25.

Taak nr. 8- test de kennis van de examendeelnemer over elementaire stereometrie, het vermogen om formules toe te passen voor het vinden van oppervlakken en volumes van figuren, tweevlakshoeken, het vergelijken van de volumes van gelijksoortige figuren, het kunnen uitvoeren van acties met geometrische figuren, coördinaten en vectoren, enz.

Het volume van een kubus omcirkeld rond een bol is 216. Bereken de straal van de bol.

Oplossing. 1) V kubus = A 3 (waar A– lengte van de rand van de kubus), dus

A 3 = 216

A = 3 √216

2) Omdat de bol in een kubus is ingeschreven, betekent dit dat de lengte van de diameter van de bol gelijk is aan de lengte van de rand van de kubus. D = A, D = 6, D = 2R, R = 6: 2 = 3.

Taak nr. 9- vereist dat de afgestudeerde over de vaardigheden beschikt om algebraïsche uitdrukkingen te transformeren en te vereenvoudigen. Taak nr. 9 van een hogere moeilijkheidsgraad met een kort antwoord. De taken uit de sectie 'Berekeningen en transformaties' in het Unified State Exam zijn onderverdeeld in verschillende typen:

transformatie van numerieke rationale uitdrukkingen;

het omzetten van algebraïsche uitdrukkingen en breuken;

conversie van irrationele numerieke/letteruitdrukkingen;

acties met graden;

logaritmische uitdrukkingen converteren;

1. het converteren van numerieke/letter goniometrische uitdrukkingen.

Voorbeeld 9. Bereken tanα als bekend is dat cos2α = 0,6 en

Oplossing. 1) Laten we de formule met dubbele argumenten gebruiken: cos2α = 2 cos 2 α – 1 en vinden

Dit betekent tan 2 α = ± 0,5.

3) Op voorwaarde

dit betekent dat α de hoek is van het tweede kwart en tgα< 0, поэтому tgα = –0,5.

Antwoord: –0,5.

#ADVERTISING_INSERT# Taak nr. 10- test het vermogen van studenten om verworven vroege kennis en vaardigheden te gebruiken in praktische activiteiten en het dagelijks leven. We kunnen zeggen dat dit problemen zijn in de natuurkunde, en niet in de wiskunde, maar alle noodzakelijke formules en hoeveelheden worden in de voorwaarde gegeven. De problemen komen neer op het oplossen van een lineaire of kwadratische vergelijking, of een lineaire of kwadratische ongelijkheid. Daarom is het noodzakelijk om dergelijke vergelijkingen en ongelijkheden op te lossen en het antwoord te bepalen. Het antwoord moet worden gegeven als een geheel getal of als een eindige decimale breuk.

Twee massalichamen M= 2 kg per stuk, bewegend met dezelfde snelheid v= 10 m/s onder een hoek van 2α ten opzichte van elkaar. De energie (in joule) die vrijkomt tijdens hun absoluut inelastische botsing wordt bepaald door de uitdrukking Q = mv 2 zonde 2 α. Onder welke kleinste hoek 2α (in graden) moeten de lichamen bewegen zodat er bij de botsing minimaal 50 joule vrijkomt?
Oplossing. Om het probleem op te lossen, moeten we de ongelijkheid Q ≥ 50 oplossen, op het interval 2α ∈ (0°; 180°).

mv 2 zonde 2 α ≥ 50

2 10 2 zonde 2 α ≥ 50

200 zonde 2 α ≥ 50

Omdat α ∈ (0°; 90°), zullen we alleen oplossen

Laten we de oplossing voor de ongelijkheid grafisch weergeven:

Omdat dit onder voorwaarde α ∈ (0°; 90°) betekent dat 30° ≤ α< 90°. Получили, что наименьший угол α равен 30°, тогда наименьший угол 2α = 60°.

Taak nr. 11- is typisch, maar blijkt lastig voor studenten. De belangrijkste bron van moeilijkheden is de constructie van een wiskundig model (het opstellen van een vergelijking). Taak nr. 11 test het vermogen om woordproblemen op te lossen.

Voorbeeld 11. Tijdens de voorjaarsvakantie moest Vasya uit groep 11 560 oefenproblemen oplossen ter voorbereiding op het Unified State Exam. Op 18 maart, op de laatste schooldag, loste Vasya 5 problemen op. Vervolgens loste hij elke dag hetzelfde aantal problemen meer op dan de dag ervoor. Bepaal hoeveel problemen Vasya heeft opgelost op 2 april, de laatste dag van de vakantie.

560 = (5 + A 16) 8,

5 + A 16 = 560: 8,

5 + A 16 = 70,

A 16 = 70 – 5

A 16 = 65.

Antwoord: 65.

Taak nr. 12- ze testen het vermogen van studenten om bewerkingen met functies uit te voeren, en om de afgeleide ervan toe te passen op de studie van een functie.

Zoek het maximumpunt van de functie j= 10ln( X + 9) – 10X + 1.

Oplossing: 1) Zoek het domein van de definitie van de functie: X + 9 > 0, X> –9, dat wil zeggen x ∈ (–9; ∞).

2) Zoek de afgeleide van de functie:

4) Het gevonden punt behoort tot het interval (–9; ∞). Laten we de tekens van de afgeleide van de functie bepalen en het gedrag van de functie in de figuur weergeven:

Het gewenste maximale punt X = –8.

a) Los de vergelijking 2log 3 2 (2cos X) – 5log 3 (2cos X) + 2 = 0

b) Vind alle wortels van deze vergelijking die bij het segment horen.

Oplossing: a) Laat log 3 (2cos X) = T, dan 2 T 2 – 5T + 2 = 0,

b) Zoek de wortels die op het segment liggen.

De figuur laat zien waartoe de wortels van het gegeven segment behoren

De diameter van de cirkel van de basis van de cilinder is 20, de beschrijvende lijn van de cilinder is 28. Het vlak snijdt zijn basis langs akkoorden met een lengte van 12 en 16. De afstand tussen de koorden is 2√197.

a) Bewijs dat de middelpunten van de basis van de cilinder aan één kant van dit vlak liggen.

b) Bereken de hoek tussen dit vlak en het vlak van de basis van de cilinder.

Oplossing: a) Een akkoord met lengte 12 bevindt zich op een afstand = 8 van het middelpunt van de basiscirkel, en een akkoord met lengte 16 bevindt zich op soortgelijke wijze op een afstand van 6. Daarom is de afstand tussen hun projecties op een vlak evenwijdig aan de basiscirkel basis van de cilinders is ofwel 8 + 6 = 14, of 8 − 6 = 2.

Dan is de afstand tussen de akkoorden ofwel

= = √980 = = 2√245

= = √788 = = 2√197.

Volgens de voorwaarde werd het tweede geval gerealiseerd, waarbij de uitsteeksels van de akkoorden aan één kant van de cilinderas liggen. Dit betekent dat de as dit vlak binnen de cilinder niet snijdt, dat wil zeggen dat de basissen aan één kant ervan liggen. Wat moest bewezen worden.

b) Laten we de middelpunten van de bases aanduiden als O 1 en O 2. Laten we vanuit het midden van de basis met een akkoord met lengte 12 een middelloodlijn op dit akkoord tekenen (deze heeft lengte 8, zoals al opgemerkt) en vanuit het midden van de andere basis naar het andere akkoord. Ze liggen in hetzelfde vlak β, loodrecht op deze akkoorden. Laten we het middelpunt van het kleinere akkoord B noemen, het grotere akkoord A en de projectie van A op de tweede basis - H (H ∈ β). Dan staan ​​AB,AH ∈ β en dus AB,AH loodrecht op het akkoord, dat wil zeggen de rechte snijlijn van de basis met het gegeven vlak.

Dit betekent dat de vereiste hoek gelijk is aan

Taak nr. 15- verhoogd niveau van complexiteit met een gedetailleerd antwoord, test het vermogen om ongelijkheden op te lossen, wat het meest succesvol wordt opgelost tussen taken met een gedetailleerd antwoord van een verhoogd niveau van complexiteit.

Voorbeeld 15. Ongelijkheid oplossen | X 2 – 3X| logboek 2 ( X + 1) ≤ 3X – X 2 .

Oplossing: Het definitiedomein van deze ongelijkheid is het interval (–1; +∞). Beschouw drie gevallen afzonderlijk:

1) Laat X 2 – 3X= 0, d.w.z. X= 0 of X= 3. In dit geval wordt deze ongelijkheid waar, daarom zijn deze waarden opgenomen in de oplossing.

2) Laat het nu gebeuren X 2 – 3X> 0, d.w.z. X∈ (–1; 0) ∪ (3; +∞). Bovendien kan deze ongelijkheid worden herschreven als ( X 2 – 3X) logboek 2 ( X + 1) ≤ 3X – X 2 en deel door een positieve uitdrukking X 2 – 3X. We krijgen log 2 ( X + 1) ≤ –1, X + 1 ≤ 2 –1 , X≤ 0,5 –1 of X≤ –0,5. Rekening houdend met het domein van de definitie, hebben we dat gedaan X ∈ (–1; –0,5].

3) Denk ten slotte na X 2 – 3X < 0, при этом X∈ (0; 3). In dit geval wordt de oorspronkelijke ongelijkheid herschreven in de vorm (3 X – X 2) logboek 2 ( X + 1) ≤ 3X – X 2. Na delen door positief 3 X – X 2, we krijgen log 2 ( X + 1) ≤ 1, X + 1 ≤ 2, X≤ 1. Rekening houdend met de regio hebben we dat gedaan X ∈ (0; 1].

Door de verkregen oplossingen te combineren, verkrijgen we X ∈ (–1; –0.5] ∪ ∪ {3}.

Antwoord: (–1; –0.5] ∪ ∪ {3}.

Taak nr. 16- gevorderd niveau verwijst naar taken in het tweede deel met een gedetailleerd antwoord. De taak test het vermogen om acties uit te voeren met geometrische vormen, coördinaten en vectoren. De taak bevat twee punten. In het eerste punt moet de taak worden bewezen en in het tweede punt worden berekend.

In een gelijkbenige driehoek ABC met een hoek van 120° wordt de bissectrice BD getekend bij hoekpunt A. Rechthoek DEFH is ingeschreven in driehoek ABC, zodat zijde FH op segment BC ligt en hoekpunt E op segment AB. a) Bewijs dat FH = 2DH. b) Zoek de oppervlakte van rechthoek DEFH als AB = 4.

Oplossing: A)

1) ΔBEF – rechthoekig, EF⊥BC, ∠B = (180° – 120°): 2 = 30°, dan EF = BE door de eigenschap van het been dat tegenover de hoek van 30° ligt.

2) Zij EF = DH = X, dan BE = 2 X, BF = X√3 volgens de stelling van Pythagoras.

3) Omdat ΔABC gelijkbenig is, betekent dit ∠B = ∠C = 30˚.

BD is de bissectrice van ∠B, wat betekent dat ∠ABD = ∠DBC = 15˚.

4) Beschouw ΔDBH – rechthoekig, omdat DH⊥BC.

√3 – 1 = 2 – X

X = 3 – √3

EF = 3 – √3

2) S DEFH = ED EF = (3 – √3 ) 2(3 – √3 )

S DEFH = 24 – 12√3.

Antwoord: 24 – 12√3.

Voorbeeld 17. Het is de bedoeling dat er gedurende vier jaar een deposito van 20 miljoen roebel wordt geopend. Aan het einde van elk jaar verhoogt de bank het deposito met 10% in vergelijking met de omvang aan het begin van het jaar. Bovendien vult de belegger aan het begin van het derde en vierde jaar jaarlijks de aanbetaling aan X miljoen roebel, waar X - geheel nummer. Vind de grootste waarde X, waarbij de bank in vier jaar tijd minder dan 17 miljoen roebel aan de deposito zal toevoegen.

Oplossing: Aan het einde van het eerste jaar bedraagt ​​de bijdrage 20 + 20 · 0,1 = 22 miljoen roebel, en aan het einde van het tweede jaar - 22 + 22 · 0,1 = 24,2 miljoen roebel. Aan het begin van het derde jaar zal de bijdrage (in miljoen roebel) (24,2 + X), en aan het einde - (24.2 + X) + (24,2 + X)· 0,1 = (26,62 + 1,1 X). Aan het begin van het vierde jaar bedraagt ​​de contributie (26,62 + 2,1). X), en aan het einde - (26.62 + 2.1 X) + (26,62 + 2,1X) · 0,1 = (29,282 + 2,31 X). Per voorwaarde moet je het grootste gehele getal x vinden waarvoor de ongelijkheid geldt

(29,282 + 2,31X) – 20 – 2X < 17

29,282 + 2,31X – 20 – 2X < 17

0,31X < 17 + 20 – 29,282

0,31X < 7,718

De grootste gehele oplossing voor deze ongelijkheid is het getal 24.

Antwoord: 24.

Waarbij A systeem van ongelijkheid

heeft precies twee oplossingen?

Oplossing: Dit systeem kan in de vorm worden herschreven

Als we op het vlak de reeks oplossingen voor de eerste ongelijkheid tekenen, krijgen we het interieur van een cirkel (met een grens) met straal 1 met het middelpunt op punt (0, A). De reeks oplossingen voor de tweede ongelijkheid is het deel van het vlak dat onder de grafiek van de functie ligt j = | X| – A, en de laatste is de grafiek van de functie
j = | X| , naar beneden verschoven A. De oplossing voor dit systeem is het snijpunt van de sets oplossingen voor elk van de ongelijkheden.

Bijgevolg zal dit systeem slechts twee oplossingen hebben in het geval getoond in Fig. 1.

De contactpunten van de cirkel met de lijnen zullen de twee oplossingen van het systeem zijn. Elk van de rechte lijnen helt ten opzichte van de assen onder een hoek van 45°. Het is dus een driehoek PQR– rechthoekige gelijkbenen. Punt Q heeft coördinaten (0, A), en het punt R– coördinaten (0, – A). Daarnaast de segmenten PR En PQ gelijk aan de straal van de cirkel gelijk aan 1. Dit betekent

Laten sn som P termen van een rekenkundige progressie ( een p). Het is bekend dat Sn + 1 = 2N 2 – 21N – 23.

a) Geef de formule op P e termijn van deze progressie.

b) Vind de kleinste absolute som Sn.

c) Zoek de kleinste P, waarbij Sn zal het kwadraat zijn van een geheel getal.

Oplossing: a) Dat is duidelijk een = Sn – Sn- 1 . Met behulp van deze formule krijgen we:

Sn = S (N – 1) + 1 = 2(N – 1) 2 – 21(N – 1) – 23 = 2N 2 – 25N,

Sn – 1 = S (N – 2) + 1 = 2(N – 1) 2 – 21(N – 2) – 23 = 2N 2 – 25N+ 27

Middelen, een = 2N 2 – 25N – (2N 2 – 29N + 27) = 4N – 27.

B) Sinds Sn = 2N 2 – 25N, overweeg dan de functie S(X) = | 2X 2 – 25x|. De grafiek is te zien in de figuur.

Het is duidelijk dat de kleinste waarde wordt bereikt op de gehele punten die het dichtst bij de nulpunten van de functie liggen. Uiteraard zijn dit punten X= 1, X= 12 en X= 13. Sinds, S(1) = |S 1 | = |2 – 25| = 23, S(12) = |S 12 | = |2 · 144 – 25 · 12| = 12, S(13) = |S 13 | = |2 · 169 – 25 · 13| = 13, dan is de kleinste waarde 12.

c) Uit de vorige paragraaf volgt dat sn positief, vanaf N= 13. Sinds Sn = 2N 2 – 25N = N(2N– 25), dan wordt het voor de hand liggende geval, wanneer deze uitdrukking een perfect vierkant is, gerealiseerd wanneer N = 2N– 25, dat wil zeggen op P= 25.

Het blijft om de waarden van 13 tot 25 te controleren:

S 13 = 13 1, S 14 = 14 3, S 15 = 15 5, S 16 = 16 7, S 17 = 17 9, S 18 = 18 11, S 19 = 19 13, S 20 = 20 13, S 21 = 21 17, S 22 = 22 19, S 23 = 23 21, S 24 = 24 23.

Het blijkt dat voor kleinere waarden P een volledig vierkant wordt niet bereikt.

Antwoord: A) een = 4N– 27; b) 12; c) 25.

________________

*Sinds mei 2017 maakt de verenigde uitgeversgroep "DROFA-VENTANA" deel uit van het Russische Textbook Corporation. Tot het bedrijf behoren ook uitgeverij Astrel en het digitale onderwijsplatform LECTA. Alexander Brychkin, afgestudeerd aan de Financiële Academie onder de regering van de Russische Federatie, kandidaat voor economische wetenschappen, hoofd van innovatieve projecten van de uitgeverij DROFA op het gebied van digitaal onderwijs (elektronische vormen van leerboeken, Russian Electronic School, digitaal onderwijsplatform LECTA) werd benoemd tot algemeen directeur. Voordat hij bij uitgeverij DROFA kwam, bekleedde hij de functie van vice-president voor strategische ontwikkeling en investeringen van de uitgeverijholding EKSMO-AST. Tegenwoordig heeft de uitgeverij "Russisch leerboek" de grootste portefeuille met leerboeken op de Federale Lijst: 485 titels (ongeveer 40%, exclusief leerboeken voor speciale scholen). De uitgeverijen van het bedrijf bezitten de meest populaire sets leerboeken op Russische scholen op het gebied van natuurkunde, tekenen, biologie, scheikunde, technologie, aardrijkskunde en astronomie - kennisgebieden die nodig zijn voor de ontwikkeling van het productieve potentieel van het land. De portefeuille van het bedrijf omvat leerboeken en leermiddelen voor basisscholen, die de Presidential Award op het gebied van onderwijs hebben ontvangen. Dit zijn leerboeken en handleidingen op vakgebieden die nodig zijn voor de ontwikkeling van het wetenschappelijke, technische en productiepotentieel van Rusland.

Onderzoek

twee delen, inbegrepen 19 taken. Deel 1 Deel 2

3 uur 55 minuten(235 minuten).

Antwoorden

Maar je kan maak een kompas Rekenmachines op het examen niet gebruikt.

paspoort), doorgang en capillair of! Toegestaan ​​om te nemen met mezelf water(in een doorzichtig flesje) en ik ga

Het examenpapier bestaat uit twee delen, inbegrepen 19 taken. Deel 1 bevat 8 taken van een basismoeilijkheidsgraad met een kort antwoord. Deel 2 bevat 4 taken met een verhoogd complexiteitsniveau met een kort antwoord en 7 taken met een hoog complexiteitsniveau met een gedetailleerd antwoord.

Het examenwerk wiskunde wordt toegekend 3 uur 55 minuten(235 minuten).

Antwoorden voor taken 1–12 zijn opgeschreven als een geheel getal of een eindige decimale breuk. Schrijf de cijfers in de antwoordvelden in de tekst van het werk en breng ze over naar antwoordformulier nr. 1, uitgegeven tijdens het examen!

Bij het uitvoeren van werkzaamheden kunt u gebruik maken van de bij de werkzaamheden afgegeven exemplaren. Alleen een liniaal is toegestaan, maar het is mogelijk maak een kompas met je eigen handen. Gebruik geen instrumenten waarop referentiemateriaal is gedrukt. Rekenmachines op het examen niet gebruikt.

Tijdens het examen dient u een legitimatiebewijs bij u te hebben ( paspoort), doorgang en capillair of gelpen met zwarte inkt! Toegestaan ​​om te nemen met mezelf water(in een doorzichtig flesje) en ik ga(fruit, chocolade, broodjes, sandwiches), maar het kan zijn dat ze u vragen deze op de gang achter te laten.

Onderzoek

twee delen, inbegrepen 19 taken. Deel 1 Deel 2

3 uur 55 minuten(235 minuten).

Antwoorden

Maar je kan maak een kompas Rekenmachines op het examen niet gebruikt.

paspoort), doorgang en capillair of! Toegestaan ​​om te nemen met mezelf water(in een doorzichtig flesje) en ik ga

Het examenpapier bestaat uit twee delen, inbegrepen 19 taken. Deel 1 bevat 8 taken van een basismoeilijkheidsgraad met een kort antwoord. Deel 2 bevat 4 taken met een verhoogd complexiteitsniveau met een kort antwoord en 7 taken met een hoog complexiteitsniveau met een gedetailleerd antwoord.

Het examenwerk wiskunde wordt toegekend 3 uur 55 minuten(235 minuten).

Antwoorden voor taken 1–12 zijn opgeschreven als een geheel getal of een eindige decimale breuk. Schrijf de cijfers in de antwoordvelden in de tekst van het werk en breng ze over naar antwoordformulier nr. 1, uitgegeven tijdens het examen!

Bij het uitvoeren van werkzaamheden kunt u gebruik maken van de bij de werkzaamheden afgegeven exemplaren. Alleen een liniaal is toegestaan, maar het is mogelijk maak een kompas met je eigen handen. Gebruik geen instrumenten waarop referentiemateriaal is gedrukt. Rekenmachines op het examen niet gebruikt.

Tijdens het examen dient u een legitimatiebewijs bij u te hebben ( paspoort), doorgang en capillair of gelpen met zwarte inkt! Toegestaan ​​om te nemen met mezelf water(in een doorzichtig flesje) en ik ga(fruit, chocolade, broodjes, sandwiches), maar het kan zijn dat ze u vragen deze op de gang achter te laten.