Alle regels met betrekking tot breuken. Regels voor rekenkundige bewerkingen op gewone breuken

Dit artikel onderzoekt bewerkingen op breuken. Er zullen regels worden gevormd en gerechtvaardigd voor het optellen, aftrekken, vermenigvuldigen, delen of machtsverheffen van breuken van de vorm AB, waarbij A en B getallen, numerieke uitdrukkingen of uitdrukkingen met variabelen kunnen zijn. Tot slot zullen voorbeelden van oplossingen met gedetailleerde beschrijvingen worden overwogen.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Regels voor het uitvoeren van bewerkingen met algemene numerieke breuken

Algemene breuken hebben een teller en een noemer die natuurlijke getallen of numerieke uitdrukkingen bevatten. Als we breuken beschouwen als 3 5, 2, 8 4, 1 + 2 3 4 (5 - 2), 3 4 + 7 8 2, 3 - 0, 8, 1 2 2, π 1 - 2 3 + π, 2 0, 5 ln 3, dan is het duidelijk dat de teller en de noemer niet alleen getallen kunnen hebben, maar ook uitdrukkingen van verschillende typen.

Definitie 1

Er zijn regels waarmee bewerkingen met gewone breuken worden uitgevoerd. Het is ook geschikt voor algemene breuken:

• Bij het aftrekken van breuken met gelijke noemers worden alleen de tellers opgeteld en blijft de noemer hetzelfde, namelijk: a d ± c d = a ± c d, de waarden a, c en d ≠ 0 zijn enkele getallen of numerieke uitdrukkingen.
• Wanneer u een breuk met verschillende noemers optelt of aftrekt, is het noodzakelijk deze terug te brengen tot een gemeenschappelijke noemer en vervolgens de resulterende breuken met dezelfde exponenten op te tellen of af te trekken. Letterlijk ziet het er zo uit: a b ± c d = a · p ± c · r s, waarbij de waarden a, b ≠ 0, c, d ≠ 0, p ≠ 0, r ≠ 0, s ≠ 0 reële getallen zijn, en b · p = d · r = s. Als p = d en r = b, dan is a b ± c d = a · d ± c · d b · d.
• Bij het vermenigvuldigen van breuken wordt de actie uitgevoerd met tellers, waarna we met noemers a b · c d = a · c b · d krijgen, waarbij a, b ≠ 0, c, d ≠ 0 fungeren als reële getallen.
• Wanneer we een breuk delen door een breuk, vermenigvuldigen we de eerste met de tweede inverse, dat wil zeggen dat we de teller en de noemer omwisselen: a b: c d = a b · d c.

Reden voor de regels

Er zijn de volgende wiskundige punten waarop u moet vertrouwen bij het berekenen:

• de schuine streep betekent het deelteken;
• deling door een getal wordt behandeld als vermenigvuldiging met de wederkerige waarde ervan;
• toepassing van de eigenschap van bewerkingen met reële getallen;
• toepassing van de basiseigenschap van breuken en numerieke ongelijkheden.

Met hun hulp kunt u transformaties van het formulier uitvoeren:

een d ± c d = een · d - 1 ± c · d - 1 = een ± c · d - 1 = een ± c d ; een b ± c d = een · p b · p ± c · r d · r = een · p s ± c · e s = een · p ± c · r s ; a b · c d = a · d b · d · b · c b · d = a · d · a · d - 1 · b · c · b · d - 1 = = a · d · b · c · b · d - 1 · b · d - 1 = a · d · b · c b · d · b · d - 1 = = (a · c) · (b · d) - 1 = a · c b · d

Voorbeelden

In de vorige paragraaf werd gesproken over bewerkingen met breuken. Hierna moet de breuk worden vereenvoudigd. Dit onderwerp werd uitgebreid besproken in de paragraaf over het omrekenen van breuken.

Laten we eerst eens kijken naar een voorbeeld van het optellen en aftrekken van breuken met dezelfde noemer.

voorbeeld 1

Gegeven de breuken 8 2, 7 en 1 2, 7, dan is het volgens de regel noodzakelijk om de teller toe te voegen en de noemer te herschrijven.

Oplossing

Dan krijgen we een breuk van de vorm 8 + 1 2, 7. Na het uitvoeren van de optelling verkrijgen we een breuk van de vorm 8 + 1 2, 7 = 9 2, 7 = 90 27 = 3 1 3. Dus 8 2, 7 + 1 2, 7 = 8 + 1 2, 7 = 9 2, 7 = 90 27 = 3 1 3.

Antwoord: 8 2 , 7 + 1 2 , 7 = 3 1 3

Er is een andere oplossing. Om te beginnen schakelen we over naar de vorm van een gewone breuk, waarna we een vereenvoudiging uitvoeren. Het ziet er zo uit:

8 2 , 7 + 1 2 , 7 = 80 27 + 10 27 = 90 27 = 3 1 3

Voorbeeld 2

Laten we van 1 - 2 3 · log 2 3 · log 2 5 + 1 een breuk aftrekken van de vorm 2 3 3 · log 2 3 · log 2 5 + 1 .

Omdat er gelijke noemers zijn gegeven, betekent dit dat we een breuk met dezelfde noemer berekenen. Dat snappen wij

1 - 2 3 log 2 3 log 2 5 + 1 - 2 3 3 log 2 3 log 2 5 + 1 = 1 - 2 - 2 3 3 log 2 3 log 2 5 + 1

Er zijn voorbeelden van het berekenen van breuken met verschillende noemers. Een belangrijk punt is de reductie tot een gemeenschappelijke noemer. Zonder dit kunnen we geen verdere bewerkingen met breuken uitvoeren.

Het proces doet vaag denken aan reductie tot een gemeenschappelijke noemer. Dat wil zeggen dat er wordt gezocht naar de kleinste gemene deler in de noemer, waarna de ontbrekende factoren aan de breuken worden toegevoegd.

Als de fracties die worden toegevoegd geen gemeenschappelijke factoren hebben, kan hun product één worden.

Voorbeeld 3

Laten we eens kijken naar het voorbeeld van het optellen van breuken 2 3 5 + 1 en 1 2.

Oplossing

In dit geval is de gemeenschappelijke noemer het product van de noemers. Dan krijgen we die 2 · 3 5 + 1. Als we vervolgens aanvullende factoren instellen, hebben we dat voor de eerste breuk gelijk is aan 2, en voor de tweede is het 3 5 + 1. Na vermenigvuldiging worden de breuken herleid tot de vorm 4 2 · 3 5 + 1. De algemene reductie van 1 2 zal 3 5 + 1 2 · 3 5 + 1 zijn. We voegen de resulterende fractionele uitdrukkingen toe en krijgen dat

2 3 5 + 1 + 1 2 = 2 2 2 3 5 + 1 + 1 3 5 + 1 2 3 5 + 1 = = 4 2 3 5 + 1 + 3 5 + 1 2 3 5 + 1 = 4 + 3 5 + 1 2 3 5 + 1 = 5 + 3 5 2 3 5 + 1

Antwoord: 2 3 5 + 1 + 1 2 = 5 + 3 5 2 3 5 + 1

Als het om algemene breuken gaat, hebben we het meestal niet over de kleinste gemene deler. Het is niet rendabel om het product van de tellers als noemer te nemen. Eerst moet je controleren of er een nummer is dat minder waard is dan hun product.

Voorbeeld 4

Laten we het voorbeeld van 1 6 · 2 1 5 en 1 4 · 2 3 5 bekijken, wanneer hun product gelijk is aan 6 · 2 1 5 · 4 · 2 3 5 = 24 · 2 4 5. Dan nemen we 12 · 2 3 5 als gemene deler.

Laten we eens kijken naar voorbeelden van het vermenigvuldigen van algemene breuken.

Voorbeeld 5

Om dit te doen, moet je 2 + 1 6 en 2 · 5 3 · 2 + 1 vermenigvuldigen.

Oplossing

Volgens de regel is het noodzakelijk om het product van de tellers als noemer te herschrijven en te schrijven. We krijgen dat 2 + 1 6 2 5 3 2 + 1 2 + 1 2 5 6 3 2 + 1. Nadat een breuk is vermenigvuldigd, kunt u reducties aanbrengen om deze te vereenvoudigen. Dan 5 · 3 3 2 + 1: 10 9 3 = 5 · 3 3 2 + 1 · 9 3 10.

Door de regel te gebruiken voor de overgang van delen naar vermenigvuldigen met een omgekeerde breuk, verkrijgen we een breuk die het omgekeerde is van de gegeven breuk. Om dit te doen, worden de teller en de noemer omgewisseld. Laten we eens kijken naar een voorbeeld:

5 3 3 2 + 1: 10 9 3 = 5 3 3 2 + 1 9 3 10

Vervolgens moeten ze de resulterende breuk vermenigvuldigen en vereenvoudigen. Verwijder indien nodig de irrationaliteit in de noemer. Dat snappen wij

5 3 3 2 + 1: 10 9 3 = 5 3 3 9 3 10 2 + 1 = 5 2 10 2 + 1 = 3 2 2 + 1 = 3 2 - 1 2 2 + 1 2 - 1 = 3 2 - 1 2 2 2 - 1 2 = 3 2 - 1 2

Antwoord: 5 3 3 2 + 1: 10 9 3 = 3 2 - 1 2

Deze paragraaf is van toepassing wanneer een getal of numerieke uitdrukking kan worden weergegeven als een breuk met een noemer gelijk aan 1, dan wordt de bewerking met een dergelijke breuk als een aparte paragraaf beschouwd. De uitdrukking 1 6 · 7 4 - 1 · 3 laat bijvoorbeeld zien dat de wortel van 3 kan worden vervangen door een andere 3 1-uitdrukking. Dan ziet deze invoer eruit als het vermenigvuldigen van twee breuken van de vorm 1 6 · 7 4 - 1 · 3 = 1 6 · 7 4 - 1 · 3 1.

Bewerkingen uitvoeren op breuken die variabelen bevatten

De regels die in het eerste artikel worden besproken, zijn van toepassing op bewerkingen met breuken die variabelen bevatten. Beschouw de aftrekkingsregel als de noemers hetzelfde zijn.

Het is noodzakelijk om te bewijzen dat A, C en D (D niet gelijk aan nul) elke uitdrukking kunnen zijn, en dat de gelijkheid AD ± CD = A ± CD gelijk is aan het bereik van toegestane waarden.

Het is noodzakelijk om een ​​reeks ODZ-variabelen te nemen. Dan moeten A, C, D de overeenkomstige waarden a 0 , c 0 en aannemen d0. Vervanging van de vorm AD ± CD D resulteert in een verschil in de vorm a 0 d 0 ± c 0 d 0 , waarbij we met behulp van de optelregel een formule verkrijgen in de vorm a 0 ± c 0 d 0 . Als we de uitdrukking A ± CD D vervangen, krijgen we dezelfde fractie van de vorm a 0 ± c 0 d 0. Hieruit concluderen we dat de geselecteerde waarde die voldoet aan de ODZ, A ± CD en AD ± CD als gelijk worden beschouwd.

Voor elke waarde van de variabelen zullen deze uitdrukkingen gelijk zijn, dat wil zeggen dat ze identiek gelijk worden genoemd. Dit betekent dat deze uitdrukking wordt beschouwd als een aantoonbare gelijkheid van de vorm AD ± CD = A ± CD .

Voorbeelden van het optellen en aftrekken van breuken met variabelen

Als je dezelfde noemers hebt, hoef je alleen maar de tellers op te tellen of af te trekken. Deze breuk kan worden vereenvoudigd. Soms moet je werken met breuken die identiek gelijk zijn, maar op het eerste gezicht valt dit niet op, omdat er enkele transformaties moeten worden uitgevoerd. Bijvoorbeeld x 2 3 x 1 3 + 1 en x 1 3 + 1 2 of 1 2 sin 2 α en sin a cos a. Meestal is een vereenvoudiging van de oorspronkelijke uitdrukking vereist om dezelfde noemers te zien.

Voorbeeld 6

Bereken: 1) x 2 + 1 x + x - 2 - 5 - x x + x - 2, 2) l g 2 x + 4 x · (l g x + 2) + 4 · l g x x · (l g x + 2) , x - 1 x - 1 + x x + 1 .

Oplossing

1. Om de berekening uit te voeren, moet je breuken aftrekken die dezelfde noemer hebben. Dan krijgen we dat x 2 + 1 x + x - 2 - 5 - x x + x - 2 = x 2 + 1 - 5 - x x + x - 2 . Daarna kunt u de haakjes uitvouwen en soortgelijke termen toevoegen. We krijgen dat x 2 + 1 - 5 - x x + x - 2 = x 2 + 1 - 5 + x x + x - 2 = x 2 + x - 4 x + x - 2
2. Omdat de noemers hetzelfde zijn, hoeft u alleen nog de tellers op te tellen, zodat de noemer overblijft: l g 2 x + 4 x (l g x + 2) + 4 l g x x (l g x + 2) = l g 2 x + 4 + 4 x (l g x + 2)
   De toevoeging is voltooid. Het is duidelijk dat het mogelijk is om de fractie te verkleinen. De teller kan worden gevouwen met behulp van de formule voor het kwadraat van de som, dan krijgen we (l g x + 2) 2 uit verkorte vermenigvuldigingsformules. Dan snappen wij dat
   l g 2 x + 4 + 2 l g x x (l g x + 2) = (l g x + 2) 2 x (l g x + 2) = l g x + 2 x
3. Gegeven breuken van de vorm x - 1 x - 1 + x x + 1 met verschillende noemers. Na de transformatie kunt u doorgaan met optellen.

Laten we een tweeledige oplossing overwegen.

De eerste methode is dat de noemer van de eerste breuk wordt ontbonden met behulp van kwadraten, met de daaropvolgende reductie. We krijgen een fractie van de vorm

x - 1 x - 1 = x - 1 (x - 1) x + 1 = 1 x + 1

Dus x - 1 x - 1 + x x + 1 = 1 x + 1 + x x + 1 = 1 + x x + 1 .

In dit geval is het noodzakelijk om van de irrationaliteit in de noemer af te komen.

1 + x x + 1 = 1 + x x - 1 x + 1 x - 1 = x - 1 + x x - x x - 1

De tweede methode is om de teller en de noemer van de tweede breuk te vermenigvuldigen met de uitdrukking x - 1. Zo ontdoen we ons van irrationaliteit en gaan we verder met het optellen van breuken met dezelfde noemer. Dan

x - 1 x - 1 + x x + 1 = x - 1 x - 1 + x x - 1 x + 1 x - 1 = = x - 1 x - 1 + x x - x x - 1 = x - 1 + x · x - xx-1

Antwoord: 1) x 2 + 1 x + x - 2 - 5 - x x + x - 2 = x 2 + x - 4 x + x - 2, 2) l g 2 x + 4 x · (l g x + 2) + 4 · l g x x · (l g x + 2) = l g x + 2 x, 3) x - 1 x - 1 + x x + 1 = x - 1 + x · x - x x - 1 .

In het laatste voorbeeld ontdekten we dat reductie tot een gemeenschappelijke noemer onvermijdelijk is. Om dit te doen, moet je de breuken vereenvoudigen. Bij het optellen of aftrekken moet je altijd zoeken naar een gemeenschappelijke noemer, die lijkt op het product van de noemers, waarbij extra factoren aan de tellers worden toegevoegd.

Voorbeeld 7

Bereken de waarden van de breuken: 1) x 3 + 1 x 7 + 2 2, 2) x + 1 x ln 2 (x + 1) (2 x - 4) - sin x x 5 ln (x + 1) (2 x - 4), 3) ​​1 cos 2 x - x + 1 cos 2 x + 2 cos x x + x

Oplossing

1. De noemer vereist geen complexe berekeningen, dus je moet hun product in de vorm 3 x 7 + 2 · 2 kiezen, en vervolgens x 7 + 2 · 2 kiezen voor de eerste breuk als extra factor, en 3 voor de tweede. Bij vermenigvuldiging krijgen we een breuk van de vorm x 3 + 1 x 7 + 2 2 = x x 7 + 2 2 3 x 7 + 2 2 + 3 1 3 x 7 + 2 2 = = x x 7 + 2 2 + 3 3 x 7 + 2 2 = x x 7 + 2 2 x + 3 3 x 7 + 2 2
2. Te zien is dat de noemers worden gepresenteerd in de vorm van een product, wat betekent dat aanvullende transformaties niet nodig zijn. De gemeenschappelijke noemer wordt beschouwd als een product van de vorm x 5 · ln 2 x + 1 · 2 x - 4 . Vandaar x4 is een extra factor bij de eerste breuk, en ln(x + 1) naar de tweede. Dan trekken we af en krijgen:
   x + 1 x · ln 2 (x + 1) · 2 x - 4 - sin x x 5 · ln (x + 1) · 2 x - 4 = = x + 1 · x 4 x 5 · ln 2 (x + 1 ) · 2 x - 4 - zonde x · ln x + 1 x 5 · ln 2 (x + 1) · (2 ​​x - 4) = = x + 1 · x 4 - zonde x · ln (x + 1 ) x 5 · ln 2 (x + 1) · (2 ​​x - 4) = x · x 4 + x 4 - sin x · ln (x + 1) x 5 · ln 2 (x + 1) · ( 2 x - 4 )
3. Dit voorbeeld is logisch als u met breuknoemers werkt. Het is noodzakelijk om de formules voor het verschil tussen de kwadraten en het kwadraat van de som toe te passen, omdat ze het mogelijk maken om over te gaan naar een uitdrukking van de vorm 1 cos x - x · cos x + x + 1 (cos x + x) 2. Het is duidelijk dat de breuken tot een gemeenschappelijke noemer worden herleid. We krijgen dat cos x - x · cos x + x 2 .

Dan snappen wij dat

1 cos 2 x - x + 1 cos 2 x + 2 cos x x + x = = 1 cos x - x cos x + x + 1 cos x + x 2 = = cos x + x cos x - x cos x + x 2 + cos x - x cos x - x cos x + x 2 = = cos x + x + cos x - x cos x - x cos x + x 2 = 2 cos x cos x - x cos x + x 2

Antwoord:

1) x 3 + 1 x 7 + 2 2 = x x 7 + 2 2 x + 3 3 x 7 + 2 2, 2) x + 1 x ln 2 (x + 1) 2 x - 4 - sin x x 5 · ln (x + 1) · 2 x - 4 = = x · x 4 + x 4 - sin x · ln (x + 1) x 5 · ln 2 (x + 1) · ( 2 x - 4) , 3) ​​​​1 cos 2 x - x + 1 cos 2 x + 2 · cos x · x + x = 2 · cos x cos x - x · cos x + x 2 .

Voorbeelden van het vermenigvuldigen van breuken met variabelen

Bij het vermenigvuldigen van breuken wordt de teller vermenigvuldigd met de teller en de noemer met de noemer. Dan kunt u de reductieeigenschap toepassen.

Voorbeeld 8

Vermenigvuldig de breuken x + 2 · x x 2 · ln x 2 · ln x + 1 en 3 · x 2 1 3 · x + 1 - 2 sin 2 · x - x.

Oplossing

Er moet vermenigvuldigd worden. Dat snappen wij

x + 2 x x 2 ln x 2 ln x + 1 3 x 2 1 3 x + 1 - 2 sin (2 x - x) = = x - 2 x 3 x 2 1 3 x + 1 - 2 x 2 ln x 2 ln x + 1 zonde (2 x - x)

Het getal 3 wordt voor het gemak van berekeningen naar de eerste plaats verplaatst, en je kunt de breuk met x 2 verkleinen, dan krijgen we een uitdrukking van de vorm

3 x - 2 x x 1 3 x + 1 - 2 ln x 2 ln x + 1 zonde (2 x - x)

Antwoord: x + 2 x x 2 ln x 2 ln x + 1 3 x 2 1 3 x + 1 - 2 sin (2 x - x) = 3 x - 2 x x 1 3 x + 1 - 2 ln x 2 · ln x + 1 · zonde (2 · x - x) .

Divisie

Het delen van breuken is vergelijkbaar met vermenigvuldigen, omdat de eerste breuk wordt vermenigvuldigd met de tweede omgekeerde breuk. Als we bijvoorbeeld de breuk x + 2 x x 2 ln x 2 ln x + 1 nemen en delen door 3 x 2 1 3 x + 1 - 2 sin 2 x - x, dan kan deze worden geschreven als

x + 2 · x x 2 · ln x 2 · ln x + 1: 3 · x 2 1 3 · x + 1 - 2 sin (2 · x - x) , vervang dan door een product van de vorm x + 2 · x x 2 · ln x 2 ln x + 1 3 x 2 1 3 x + 1 - 2 zonde (2 x - x)

Machtsverheffing

Laten we verder gaan met het overwegen van bewerkingen met algemene breuken met machtsverheffen. Als er een macht is met een natuurlijke exponent, wordt de actie beschouwd als een vermenigvuldiging van gelijke breuken. Maar het wordt aanbevolen om een ​​algemene benadering te gebruiken, gebaseerd op de eigenschappen van graden. Voor alle uitdrukkingen A en C, waarbij C niet identiek gelijk is aan nul, en voor elke reële r op de ODZ voor een uitdrukking van de vorm A C r, is de gelijkheid A C r = A r C r geldig. Het resultaat is een breuk tot een macht. Denk bijvoorbeeld aan:

x 0, 7 - π · ln 3 x - 2 - 5 x + 1 2, 5 = = x 0, 7 - π · ln 3 x - 2 - 5 2, 5 x + 1 2, 5

Procedure voor het uitvoeren van bewerkingen met breuken

Bewerkingen op breuken worden volgens bepaalde regels uitgevoerd. In de praktijk merken we dat een uitdrukking meerdere breuken of breukuitdrukkingen kan bevatten. Dan is het noodzakelijk om alle acties in strikte volgorde uit te voeren: verheffen tot een macht, vermenigvuldigen, delen, vervolgens optellen en aftrekken. Als er haakjes zijn, wordt de eerste actie daarin uitgevoerd.

Voorbeeld 9

Bereken 1 - x cos x - 1 cos x · 1 + 1 x .

Oplossing

Omdat we dezelfde noemer hebben, dan 1 - x cos x en 1 cos x, maar aftrekkingen kunnen niet volgens de regel worden uitgevoerd; eerst worden de acties tussen haakjes uitgevoerd, dan vermenigvuldigen en dan optellen. Dan krijgen we dat bij het berekenen

1 + 1 x = 1 1 + 1 x = x x + 1 x = x + 1 x

Als we de uitdrukking vervangen door de originele, krijgen we 1 - x cos x - 1 cos x · x + 1 x. Bij het vermenigvuldigen van breuken krijgen we: 1 cos x · x + 1 x = x + 1 cos x · x. Nadat we alle vervangingen hebben uitgevoerd, krijgen we 1 - x cos x - x + 1 cos x · x. Nu moet je werken met breuken die verschillende noemers hebben. We krijgen:

x · 1 - x cos x · x - x + 1 cos x · x = x · 1 - x - 1 + x cos x · x = = x - x - x - 1 cos x · x = - x + 1 cos x x

Antwoord: 1 - x cos x - 1 cos x · 1 + 1 x = - x + 1 cos x · x .

Als u een fout in de tekst opmerkt, markeer deze dan en druk op Ctrl+Enter

Rekenkundige bewerkingen met gewone breuken

1. Toevoeging.

Om breuken met dezelfde noemers op te tellen, moet je hun tellers optellen en de noemer hetzelfde laten.

Voorbeeld. .

Om breuken met verschillende noemers op te tellen, moet je ze terugbrengen tot de kleinste gemene deler, vervolgens de resulterende tellers optellen en de gemeenschappelijke noemer onder de som schrijven.

Voorbeeld.

In het kort wordt het zo geschreven:

Om gemengde getallen toe te voegen, moet je afzonderlijk de som van de gehele getallen en de som van de breuken vinden. De actie is als volgt geschreven:

2. Aftrekken.

Om breuken met gelijke noemers af te trekken, moet je de teller van de aftrekker aftrekken van de teller van de minuend en dezelfde noemer laten. De actie is als volgt geschreven:

Om breuken met verschillende noemers af te trekken, moet je ze eerst terugbrengen tot de kleinste gemene deler, vervolgens de teller van de minuend aftrekken van de teller van de minuend en de gemeenschappelijke noemer onder hun verschil ondertekenen. De actie is als volgt geschreven:

Als u een gemengd getal van een ander gemengd getal moet aftrekken, trek dan indien mogelijk een breuk van een breuk af, en een geheel van een geheel. De actie is als volgt geschreven:

Als de fractie van het afgetrokken groter is dan de fractie van de minuend, neem dan één eenheid van het gehele getal van de minuend, splits deze in de juiste delen en tel deze op bij de fractie van de minuend, waarna ze verder gaan zoals hierboven beschreven . De actie is als volgt geschreven:

Doe hetzelfde als u een breuk van een geheel getal wilt aftrekken.

Voorbeeld. .

3. Uitbreiding van de eigenschappen van optellen en aftrekken tot breuken.Alle wetten en eigenschappen van het optellen en aftrekken van natuurlijke getallen gelden ook voor breuken. Het gebruik ervan vereenvoudigt in veel gevallen het berekeningsproces aanzienlijk.

4. Vermenigvuldiging.

Om een ​​breuk met een breuk te vermenigvuldigen, moet je de teller met de teller vermenigvuldigen, en de noemer met de noemer, en van het eerste product de teller maken en van het tweede product de noemer.

Bij vermenigvuldigen moet u (indien mogelijk) verminderen.

Voorbeeld. .

Als we er rekening mee houden dat een geheel getal een breuk is met de noemer 1, dan kan het vermenigvuldigen van een breuk met een geheel getal en een geheel getal met een breuk volgens dezelfde regel worden gevolgd.

Voorbeelden.

5. Vermenigvuldiging van gemengde getallen.

Om gemengde getallen te vermenigvuldigen, moet je ze eerst omzetten in onechte breuken en vervolgens vermenigvuldigen volgens de regel voor het vermenigvuldigen van breuken.

Voorbeeld. .

6. Een breuk delen door een breuk.

Om een ​​breuk in een breuk te verdelen, moet je de teller van de eerste breuk vermenigvuldigen met de noemer van de tweede, en de noemer van de eerste met de teller van de tweede, en het eerste product schrijven als de teller, en de tweede als noemer.

Voorbeeld. .

Met dezelfde regel kun je een breuk delen door een geheel getal en een geheel getal door een breuk, als je het hele getal voorstelt als een breuk met de noemer 1.

Voorbeelden.

7. Verdeling van gemengde getallen.

Om gemengde getallen te delen, worden ze eerst omgezet in onechte breuken en vervolgens verdeeld volgens de regel voor het delen van breuken.

Voorbeeld. .

8. Delen vervangen door vermenigvuldigen.

Als je in een breuk de teller en de noemer omwisselt, krijg je een nieuwe breuk, het omgekeerde van de gegeven breuk. Bijvoorbeeld voor een fractiede wederkerige breuk zal zijn.

Het is duidelijk dat het product van twee onderling inverse breuken gelijk is aan 1.

1. Een breuk uit een getal zoeken.

Er zijn veel problemen waarbij je een deel of fractie van een bepaald getal moet vinden. Dergelijke problemen worden opgelost door vermenigvuldiging.

Taak. De gastvrouw had 20 roebel;Ze besteedde ze aan boodschappen doen. Hoeveel kosten de aankopen?

Hier moet je vindennummer 20. Je kunt het zo doen:

Antwoord. De gastvrouw heeft 8 roebel uitgegeven.

Voorbeelden. Zoek vanaf 30. Oplossing. .

Vind vanaf . Oplossing. .

1. Een getal vinden op basis van de bekende grootte van de breuk.

Soms is het nodig om het hele getal te bepalen met behulp van een bekend deel van een getal en een breuk die dit deel uitdrukt. Dergelijke problemen worden opgelost door verdeeldheid.

Taak. Er zitten twaalf Komsomol-leden in de klasdelen van alle leerlingen in de klas. Hoeveel leerlingen zitten er in de klas?

Oplossing. .

Antwoord. 20 studenten.

Voorbeeld. Zoek het nummerdat is 34.

Oplossing. .

Antwoord. Het vereiste aantal is.

1. De verhouding van twee getallen vinden.

Denk eens aan het probleem: een arbeider produceerde 40 onderdelen per dag. Welk deel van de maandelijkse taak heeft de werknemer voltooid als het maandplan 400 delen omvat?

Oplossing. .

Antwoord. De arbeider heeft voltooidonderdeel van het maandabonnement.

In dit geval wordt een deel (40 delen) uitgedrukt als een fractie van het geheel (400 delen). Ze zeggen ook dat de verhouding tussen het aantal per dag vervaardigde onderdelen en het maandplan is gevonden.

1. Een decimale breuk omzetten in een gewone breuk.

Om een ​​decimale breuk om te zetten in een gewone breuk, schrijft u deze met de noemer en kortt u deze indien mogelijk af:

Voorbeelden.

1. Een breuk omzetten naar een decimaal.

Er zijn verschillende manieren om een ​​breuk naar een decimaal getal om te zetten.

Eerste manier. Om een ​​breuk om te rekenen naar een decimaal getal, deel je de teller door de noemer.

Voorbeelden. .

Tweede manier. Om van een breuk een decimaal getal te maken, moet je de teller en de noemer van de breuk vermenigvuldigen met een zodanig getal dat de noemer uiteindelijk één wordt met nullen (indien mogelijk).

Voorbeeld.

1. Decimalen vergelijken op grootte. Om erachter te komen welke van twee decimale breuken groter is, moet je hun hele delen, tienden, honderdsten, enz. Vergelijken. Als de hele delen gelijk zijn, is de breuk met meer tiende delen groter; als gehele getallen en decimalen gelijk zijn, is degene met meer honderdsten groter, enz.

Voorbeeld. Van de drie fracties 2.432; 2,41 en 2,4098 zijn eerst de grootste, omdat deze de meeste honderdsten hebben, en het geheel en de tienden in alle breuken hetzelfde zijn.

Bewerkingen met decimalen

1. Decimalen vermenigvuldigen en delen door 10, 100, 1000, enz.

Om een ​​decimaal getal te vermenigvuldigen met 10, 100, 1000, enz. je moet de komma respectievelijk naar één, twee, drie, enz. verplaatsen. teken naar rechts. Als er niet genoeg tekens in het nummer staan, worden er nullen toegewezen.

Voorbeeld. 15,45 10 = 154,5; 32,3 · 100 = 3230.

Om een ​​decimale breuk te delen door 10, 100, 1000, enz., moet u de komma respectievelijk naar één, twee, drie, enz. verplaatsen. teken naar links. Als er niet genoeg tekens zijn om de komma te verplaatsen, wordt hun aantal aangevuld met het overeenkomstige aantal nullen aan de linkerkant.

Voorbeelden. 184,35: 100 = 1,8435; 3,5: 100 = 0,035.

1. Decimalen optellen en aftrekken.

Decimalen worden op vrijwel dezelfde manier opgeteld en afgetrokken als natuurlijke getallen. Het cijfer wordt onder het cijfer geschreven, de komma wordt onder de komma geschreven.

Voorbeelden.

1. Decimalen vermenigvuldigen.

Om twee decimale breuken te vermenigvuldigen, volstaat het om, zonder op komma's te letten, ze als gehele getallen te vermenigvuldigen en in het product net zoveel decimalen met een komma aan de rechterkant te scheiden als er in het vermenigvuldigtal en de vermenigvuldiger samen waren.

Voorbeeld 1. 2,064 · 0,05.

We vermenigvuldigen de gehele getallen 2064 · 5 = 10320. De eerste factor had drie decimalen, de tweede twee. Het product moet vijf decimalen hebben. We scheiden ze aan de rechterkant en krijgen 0,10320. De nul aan het einde kan worden weggegooid: 2,064 · 0,05 = 0,1032.

Voorbeeld 2. 1,125 · 0,08; 1125 · 8 = 9000.

Het aantal decimalen moet 3 + 2 = 5 zijn. We voegen nullen toe aan 9000 aan de linkerkant (009000) en scheiden vijf decimalen aan de rechterkant. We krijgen 1,125 · 0,08 = 0,09000 = 0,09.

1. Decimalen delen.

Er worden twee gevallen beschouwd waarin decimale breuken zonder rest worden gedeeld: 1) het delen van een decimale breuk door een geheel getal; 2) een getal (geheel getal of breuk) delen door een decimale breuk.

Het delen van een decimaal door een geheel getal gebeurt op dezelfde manier als het delen van gehele getallen; de resulterende residuen worden opeenvolgend gesplitst in kleinere decimale delen en de deling gaat door totdat de rest nul is.

Voorbeelden.

Het delen van een getal (geheel getal of breuk) door een decimale breuk resulteert in alle gevallen in een deling door een geheel getal. Om dit te doen, verhoogt u de deler met 10, 100, 1000, enz. keer, en zodat het quotiënt niet verandert, wordt het deeltal hetzelfde aantal keren verhoogd en vervolgens gedeeld door een geheel getal (zoals in het eerste geval).

Voorbeeld. 47,04: 0,0084 = 470400: 84 = 5600;

1. Voorbeelden van gezamenlijke acties met gewone en decimale breuken.

Laten we eerst een voorbeeld bekijken van alle bewerkingen met decimale breuken.

Voorbeeld 1. Bereken:

Hier gebruiken ze de reductie van het deeltal en de deler tot een geheel getal, rekening houdend met het feit dat het quotiënt niet verandert. Dan hebben we:

Bij het oplossen van voorbeelden van gezamenlijke acties met gewone en decimale breuken, kunnen sommige acties worden uitgevoerd in decimale breuken, en andere in gewone breuken. Houd er rekening mee dat een gewone breuk niet altijd kan worden omgezet in een definitieve decimale breuk. Daarom kan het schrijven als decimale breuk alleen worden gedaan als is geverifieerd dat een dergelijke conversie mogelijk is.

Voorbeeld 2. Bereken:

Interesse

Het concept van percentage.Een percentage van een getal is een honderdste deel van dat getal. In plaats van bijvoorbeeld te zeggen ‘54 honderdste van alle inwoners van ons land zijn vrouwen’, zou je kunnen zeggen: ‘54 procent van alle inwoners van ons land is vrouw’. In plaats van het woord ‘percentage’ schrijven ze ook het %-teken, bijvoorbeeld 35% betekent 35 procent.

Omdat een percentage een honderdste deel is, volgt hieruit dat een percentage een breuk is met de noemer 100. Daarom is de breuk 0,49, of, kan worden gelezen als 49 procent en zonder noemer worden geschreven als 49%. Als u eenmaal hebt bepaald hoeveel honderdsten er in een bepaalde decimale breuk zitten, kunt u deze over het algemeen gemakkelijk als een percentage schrijven. Gebruik hiervoor de regel: om een ​​decimale breuk als percentage te schrijven, moet je de komma in deze breuk twee plaatsen naar rechts verplaatsen.

Voorbeelden. 0,33 = 33%; 1,25 = 125%; 0,002 = 0,2%; 21 = 2100%.

En omgekeerd: 7% = 0,07; 24,5% = 0,245; 0,1% = 0,001; 200% = 2.

1. Het percentage van een bepaald getal vinden

Taak. Volgens het plan moet een team tractorchauffeurs 9 ton brandstof verbruiken. Tractorchauffeurs hebben zich maatschappelijk geëngageerd om 20% brandstof te besparen. Bepaal de brandstofbesparing in tonnen.

Als we in dit probleem, in plaats van 20%, het getal 0,2 gelijk schrijven, krijgen we een probleem om de fractie van een getal te vinden. En dergelijke problemen worden opgelost door vermenigvuldiging. Dit is de oplossing:

20% = 0,2; 9 · 0,2 = 1,8 (m).

De berekeningen kunnen als volgt worden geschreven:

(M)

Om meerdere procenten van een bepaald getal te vinden, volstaat het om het gegeven getal door 100 te delen en het resultaat met het aantal procenten te vermenigvuldigen.

Taak. Een arbeider ontving in 1963 90 roebel per maand, en in 1964 begon hij 30% meer te ontvangen. Hoeveel verdiende hij in 1964?

Oplossing (eerste methode).

1) Hoeveel roebel heeft de arbeider nog meer ontvangen?

(wrijven.)

90 + 27 = 117 (wrijven).

Tweede manier.

1) Welk percentage van het vroegere inkomen begon de werknemer in 1964 te ontvangen?

100% + 30% = 130%.

2) Wat was het maandsalaris van een werknemer in 1964?

(wrijven.)

2. Een getal vinden op basis van een gegeven waarde van het percentage.

Taak. De collectieve boerderij plantte maïs op een oppervlakte van 280 hectare, wat 14% is van het totaal ingezaaide areaal. Bepaal het ingezaaide oppervlak van de collectieve boerderij.

Als we in dit probleem in plaats van 14% 0,14 of schrijven, dan krijgen we de taak om een ​​getal te vinden uit de bekende waarde van de breuk. En dergelijke problemen worden opgelost door verdeeldheid.

Oplossing. 14% = 0,14; 280: 0,14 = 2000 (ha). Deze oplossing kan ook als volgt worden geformuleerd:

(ha)

Om een ​​getal te vinden op basis van een gegeven waarde van enkele procenten, volstaat het om deze waarde te delen door het aantal procenten en het resultaat met 100 te vermenigvuldigen.

Taak. In maart smolt de fabriek 125,4 T metaal, waarmee het plan met 4,5% wordt overschreden. Hoeveel ton metaal zou de fabriek in maart volgens plan moeten smelten?

Oplossing.

1) Met hoeveel procent voldeed de centrale in maart aan het plan?

100% + 4,5% = 104,5%.

2) Hoeveel ton metaal moet de fabriek ruiken?

(ha)

1. De procentuele relatie tussen twee getallen vinden.

Taak. We moeten 300 hectare land ploegen. Op de eerste dag werd 120 hectare geploegd. Welk percentage van de taak werd op de eerste dag geploegd?

Oplossing.

Eerste manier. 300 hectare is 100%, wat betekent dat 1% goed is voor 3 hectare. Door te bepalen hoe vaak 3 hectare, oftewel 1%, in 120 hectare zit, komen we erachter welk percentage van de taak het land op de eerste dag werd geploegd.

120: 3 = 40(%).

Tweede manier. Nadat we hebben bepaald welk deel van het land op de eerste dag is geploegd, drukken we deze fractie uit als een percentage.

Laten we de berekening opschrijven:

Om het percentage van een getal te berekenen a naar nummer b , je moet een relatie vinden A tot B en vermenigvuldig dit met 100.

Acties met breuken.

Aandacht!
Er zijn extra
materialen in speciale sectie 555.
Voor degenen die heel "niet erg..." zijn
En voor degenen die “heel graag...”)

Dus wat zijn breuken, soorten breuken, transformaties - we herinnerden het ons. Laten we naar het hoofdprobleem gaan.

Wat kun je met breuken? Ja, alles is hetzelfde als bij gewone cijfers. Optellen, aftrekken, vermenigvuldigen, delen.

Al deze acties met decimale Werken met breuken verschilt niet van werken met hele getallen. Dat is eigenlijk het goede aan hen, decimale. Het enige is dat je de komma correct moet plaatsen.

Gemengde cijfers, zoals ik al zei, zijn voor de meeste acties van weinig nut. Ze moeten nog omgezet worden naar gewone breuken.

Maar de acties met gewone breuken ze zullen sluwer zijn. En nog veel belangrijker! Laat me je herinneren: alle acties met breukuitdrukkingen met letters, sinussen, onbekenden, enzovoort, verschillen niet van acties met gewone breuken! Bewerkingen met gewone breuken vormen de basis voor alle algebra. Het is om deze reden dat we al deze rekenkunde hier gedetailleerd zullen analyseren.

Breuken optellen en aftrekken.

Iedereen kan breuken met dezelfde noemers optellen (aftrekken) (hoop ik echt!). Welnu, laat me degenen die volledig vergeetachtig zijn eraan herinneren: bij het optellen (aftrekken) verandert de noemer niet. De tellers worden opgeteld (afgetrokken) om de teller van het resultaat te verkrijgen. Type:

Kortom, in algemene termen:

Wat als de noemers verschillend zijn? Vervolgens maken we, met behulp van de basiseigenschap van een breuk (hier komt het weer van pas!), de noemers hetzelfde! Bijvoorbeeld:

Hier moesten we van de breuk 2/5 de breuk 4/10 maken. Met als enig doel de noemers hetzelfde te maken. Ik wil er voor de zekerheid op wijzen dat 2/5 en 4/10 dat ook zijn dezelfde fractie! Slechts 2/5 vindt ons ongemakkelijk, en 4/10 is echt oké.

Dit is trouwens de essentie van het oplossen van wiskundige problemen. Toen wij van ongemakkelijk wij doen uitdrukkingen hetzelfde, maar handiger om op te lossen.

Een ander voorbeeld:

De situatie is vergelijkbaar. Hier maken we 48 van 16. Door eenvoudig te vermenigvuldigen met 3. Dit is allemaal duidelijk. Maar we kwamen zoiets tegen:

Hoe te zijn?! Het is moeilijk om een ​​negen uit een zeven te maken! Maar we zijn slim, we kennen de regels! Laten we transformeren elk breuk zodat de noemers hetzelfde zijn. Dit heet “reduceren tot een gemeenschappelijke noemer”:

Wauw! Hoe wist ik van 63? Erg makkelijk! 63 is een getal dat tegelijkertijd deelbaar is door 7 en 9. Een dergelijk getal kan altijd worden verkregen door de noemers te vermenigvuldigen. Als we bijvoorbeeld een getal met 7 vermenigvuldigen, dan is de uitkomst zeker deelbaar door 7!

Als u meerdere breuken moet optellen (aftrekken), hoeft u dit niet stap voor stap in paren te doen. Je hoeft alleen maar de noemer te vinden die alle breuken gemeen hebben en elke breuk tot dezelfde noemer te herleiden. Bijvoorbeeld:

En wat zal de gemeenschappelijke noemer zijn? Je kunt natuurlijk 2, 4, 8 en 16 vermenigvuldigen. We krijgen 1024. Nachtmerrie. Het is gemakkelijker om in te schatten dat het getal 16 perfect deelbaar is door 2, 4 en 8. Daarom is het gemakkelijk om uit deze getallen 16 te halen. Dit getal zal de gemene deler zijn. Laten we 1/2 veranderen in 8/16, 3/4 in 12/16, enzovoort.

Trouwens, als je 1024 als gemene deler neemt, komt alles goed, uiteindelijk zal alles worden verminderd. Maar niet iedereen zal dit doel bereiken, vanwege de berekeningen...

Vul het voorbeeld zelf in. Niet een soort logaritme... Het zou 29/16 moeten zijn.

Dus het optellen (aftrekken) van breuken is duidelijk, hoop ik? Het is natuurlijk gemakkelijker om in een verkorte versie te werken, met extra vermenigvuldigers. Maar dit plezier is beschikbaar voor degenen die eerlijk in de lagere klassen hebben gewerkt... En niets zijn vergeten.

En nu zullen we dezelfde acties uitvoeren, maar niet met breuken, maar met fractionele uitdrukkingen. Hier wordt nieuwe hark ontdekt, ja...

We moeten dus twee fractionele expressies toevoegen:

We moeten de noemers hetzelfde maken. En alleen met de hulp vermenigvuldiging! Dit is wat de hoofdeigenschap van een breuk dicteert. Daarom kan ik geen één optellen bij X in de eerste breuk in de noemer. (dat zou fijn zijn!). Maar als je de noemers vermenigvuldigt, zie je dat alles samengroeit! Dus we schrijven de lijn van de breuk op, laten bovenaan een lege ruimte open, voegen deze toe en schrijven het product van de noemers hieronder, om niet te vergeten:

En natuurlijk vermenigvuldigen we niets aan de rechterkant, we openen de haakjes niet! En nu we naar de gemeenschappelijke noemer aan de rechterkant kijken, realiseren we ons: om de noemer x(x+1) in de eerste breuk te krijgen, moet je de teller en de noemer van deze breuk vermenigvuldigen met (x+1) . En in de tweede breuk - tot x. Dit is wat je krijgt:

Opmerking! Hier zijn de haakjes! Dit is de hark waar veel mensen op stappen. Geen haakjes natuurlijk, maar de afwezigheid ervan. De haakjes verschijnen omdat we vermenigvuldigen alle teller en alle noemer! En niet hun individuele stukken...

In de teller van de rechterkant schrijven we de som van de tellers, alles is zoals in numerieke breuken, daarna openen we de haakjes in de teller van de rechterkant, d.w.z. We vermenigvuldigen alles en geven soortgelijke. Het is niet nodig om de haakjes in de noemers te openen of iets te vermenigvuldigen! Over het algemeen is het product in noemers (welke) dan ook altijd prettiger! We krijgen:

Dus we hebben het antwoord. Het proces lijkt lang en moeilijk, maar het hangt af van de praktijk. Als je de voorbeelden eenmaal hebt opgelost, wen er dan aan, alles wordt eenvoudig. Degenen die breuken op tijd onder de knie hebben, doen al deze bewerkingen automatisch met één linkerhand!

En nog een opmerking. Velen gaan slim om met breuken, maar blijven steken bij voorbeelden geheel cijfers. Zoals: 2 + 1/2 + 3/4= ? Waar het tweedelig bevestigen? Je hoeft het nergens vast te maken, je moet een fractie van twee maken. Het is niet gemakkelijk, maar heel eenvoudig! 2=2/1. Soortgelijk. Elk geheel getal kan als breuk worden geschreven. De teller is het getal zelf, de noemer is één. 7 is 7/1, 3 is 3/1 enzovoort. Hetzelfde geldt voor brieven. (a+b) = (a+b)/1, x=x/1, enz. En dan werken we met deze breuken volgens alle regels.

Welnu, de kennis van het optellen en aftrekken van breuken werd opgefrist. Het omzetten van breuken van het ene type naar het andere werd herhaald. Je kunt je ook laten controleren. Zullen we het een beetje regelen?)

Berekenen:

Antwoorden (in wanorde):

71/20; 3/5; 17/12; -5/4; 11/6

Vermenigvuldigen/delen van breuken - in de volgende les. Er zijn ook taken voor alle bewerkingen met breuken.

Als je deze site leuk vindt...

Ik heb trouwens nog een paar interessante sites voor je.)

U kunt oefenen met het oplossen van voorbeelden en uw niveau ontdekken. Testen met onmiddellijke verificatie. Laten we leren - met interesse!)

Je kunt kennis maken met functies en afgeleiden.

Nu we hebben geleerd hoe we afzonderlijke breuken kunnen optellen en vermenigvuldigen, kunnen we naar complexere structuren kijken. Wat moet er bijvoorbeeld gebeuren als hetzelfde probleem betrekking heeft op het optellen, aftrekken en vermenigvuldigen van breuken?

Allereerst moet je alle breuken omzetten in onechte breuken. Vervolgens voeren we de vereiste acties opeenvolgend uit - in dezelfde volgorde als voor gewone getallen. Namelijk:

1. Machtsverheffen wordt eerst gedaan - verwijder alle uitdrukkingen die exponenten bevatten;
2. Dan - delen en vermenigvuldigen;
3. De laatste stap is optellen en aftrekken.

Als er haakjes in de uitdrukking staan, verandert de volgorde van de bewerkingen natuurlijk: alles wat tussen haakjes staat, moet eerst worden geteld. En onthoud over onechte breuken: u hoeft het hele deel alleen te markeren als alle andere acties al zijn voltooid.

Laten we alle breuken van de eerste uitdrukking naar onjuiste breuken converteren en vervolgens de volgende stappen uitvoeren:

Laten we nu de waarde van de tweede uitdrukking vinden. Er zijn geen breuken met een geheel getal, maar er zijn haakjes, dus we voeren eerst de optelling uit en pas daarna deling. Merk op dat 14 = 7 · 2. Dan:

Beschouw ten slotte het derde voorbeeld. Er zijn hier haakjes en een graad - het is beter om ze afzonderlijk te tellen. Gezien het feit dat 9 = 3 3, hebben we:

Let op het laatste voorbeeld. Om een ​​breuk tot een macht te verheffen, moet je afzonderlijk de teller tot deze macht verheffen, en afzonderlijk de noemer.

Je kunt anders beslissen. Als we ons de definitie van een graad herinneren, zal het probleem worden teruggebracht tot de gebruikelijke vermenigvuldiging van breuken:

Breuken met meerdere verdiepingen

Tot nu toe hebben we alleen gekeken naar ‘zuivere’ breuken, waarbij de teller en de noemer gewone getallen zijn. Dit komt redelijk overeen met de definitie van een getalsfractie die in de allereerste les werd gegeven.

Maar wat als je een complexer object in de teller of noemer plaatst? Een andere numerieke breuk bijvoorbeeld? Dergelijke constructies komen vrij vaak voor, vooral bij het werken met lange uitdrukkingen. Hier zijn een paar voorbeelden:

Er is maar één regel voor het werken met breuken met meerdere niveaus: je moet ze onmiddellijk verwijderen. Het verwijderen van “extra” verdiepingen is vrij eenvoudig, als je bedenkt dat de schuine streep de standaard verdelingsoperatie betekent. Daarom kan elke breuk als volgt worden herschreven:

Met behulp van dit feit en door de procedure te volgen, kunnen we elke breuk met meerdere verdiepingen gemakkelijk terugbrengen tot een gewone breuk. Bekijk de voorbeelden:

Taak. Converteer breuken met meerdere verdiepingen naar gewone breuken:

In elk geval herschrijven we de hoofdbreuk en vervangen we de scheidingslijn door een deelteken. Bedenk ook dat elk geheel getal kan worden weergegeven als een breuk met de noemer 1. Dat wil zeggen 12 = 12/1; 3 = 3/1. We krijgen:

In het laatste voorbeeld werden de breuken geannuleerd vóór de laatste vermenigvuldiging.

Bijzonderheden over het werken met breuken op meerdere niveaus

Er is één subtiliteit in breuken met meerdere niveaus die altijd moet worden onthouden, anders kun je het verkeerde antwoord krijgen, zelfs als alle berekeningen correct waren. Kijk eens:

1. De teller bevat het enkele getal 7 en de noemer bevat de breuk 12/5;
2. De teller bevat de breuk 7/12 en de noemer bevat het afzonderlijke getal 5.

Voor één opname kregen we dus twee totaal verschillende interpretaties. Als je telt, zullen de antwoorden ook anders zijn:

Om ervoor te zorgen dat het record altijd eenduidig ​​wordt gelezen, hanteert u een eenvoudige regel: de scheidslijn van de hoofdbreuk moet langer zijn dan de lijn van de geneste breuk. Het liefst meerdere keren.

Als u deze regel volgt, moeten de bovenstaande breuken als volgt worden geschreven:

Ja, het is waarschijnlijk lelijk en neemt te veel ruimte in beslag. Maar je zult correct tellen. Tenslotte nog een paar voorbeelden waarbij breuken met meerdere verdiepingen daadwerkelijk ontstaan:

Taak. Zoek de betekenis van de uitdrukkingen:

Laten we dus met het eerste voorbeeld werken. Laten we alle breuken omzetten in onjuiste breuken en vervolgens de optel- en delingsbewerkingen uitvoeren:

Laten we hetzelfde doen met het tweede voorbeeld. Laten we alle breuken omzetten in onjuiste breuken en de vereiste bewerkingen uitvoeren. Om de lezer niet te vervelen, laat ik enkele voor de hand liggende berekeningen achterwege. We hebben:

Vanwege het feit dat de teller en de noemer van de basisbreuken sommen bevatten, wordt de regel voor het schrijven van breuken met meerdere verdiepingen automatisch in acht genomen. Ook hebben we in het laatste voorbeeld opzettelijk 46/1 in breukvorm gelaten om deling uit te voeren.

Ik zal ook opmerken dat in beide voorbeelden de breukstreep feitelijk de haakjes vervangt: eerst en vooral vonden we de som, en pas daarna het quotiënt.

Sommigen zullen zeggen dat de overgang naar onechte breuken in het tweede voorbeeld duidelijk overbodig was. Misschien is dit waar. Maar door dit te doen verzekeren we ons tegen fouten, want de volgende keer kan het voorbeeld veel ingewikkelder blijken te zijn. Kies zelf wat belangrijker is: snelheid of betrouwbaarheid.

Handige en eenvoudige online breukcalculator met gedetailleerde oplossingen Misschien:

• Online breuken optellen, aftrekken, vermenigvuldigen en delen,
• Ontvang een kant-en-klare oplossing voor breuken met een foto en breng deze gemakkelijk over.

Het resultaat van het oplossen van breuken zal hier zijn...

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
Breukteken "/" + - * :
_wissen Wissen
Onze online breukcalculator heeft snelle invoer. Om bijvoorbeeld breuken op te lossen, schrijft u gewoon 1/2+2/7 in de rekenmachine en druk op de " Breuken oplossen". De rekenmachine zal u schrijven gedetailleerde oplossing van breuken en zal uitgeven een gemakkelijk te kopiëren afbeelding.

Tekens die worden gebruikt om in een rekenmachine te schrijven

Kenmerken van de online breukcalculator

Als je negatieve breuken moet oplossen, gebruik dan gewoon de eigenschappen van min. Bij het vermenigvuldigen en delen van negatieve breuken geeft min door min plus. Dat wil zeggen, het product en de deling van negatieve breuken is gelijk aan het product en de deling van dezelfde positieve breuken. Als één breuk negatief is bij vermenigvuldigen of delen, verwijder dan eenvoudigweg de min en voeg deze toe aan het antwoord. Wanneer u negatieve breuken optelt, is het resultaat hetzelfde als wanneer u dezelfde positieve breuken optelt. Als je één negatieve breuk optelt, is dit hetzelfde als dezelfde positieve breuk aftrekken.
Bij het aftrekken van negatieve breuken is het resultaat hetzelfde alsof ze zijn omgewisseld en positief zijn gemaakt. Dat wil zeggen, min voor min geeft in dit geval een plus, maar het herschikken van de termen verandert de som niet. We gebruiken dezelfde regels bij het aftrekken van breuken, waarvan er één negatief is.

Om gemengde breuken (breuken waarin het hele deel geïsoleerd is) op te lossen, past u eenvoudigweg het hele deel in de breuk. Om dit te doen, vermenigvuldigt u het hele deel met de noemer en voegt u het toe aan de teller.

Als je 3 of meer breuken online moet oplossen, moet je ze één voor één oplossen. Tel eerst de eerste twee breuken, los vervolgens de volgende breuk op met het antwoord dat je krijgt, enzovoort. Voer de bewerkingen één voor één uit, met twee breuken tegelijk, en uiteindelijk krijgt u het juiste antwoord.