Basis. Dekomponering av en vektor til vektorer

I vektorkalkulus og dens anvendelser er dekomponeringsproblemet av stor betydning, som består i å representere en gitt vektor som en sum av flere vektorer, kalt komponenter av en gitt

vektor. Dette problemet, som i det generelle tilfellet har et uendelig antall løsninger, blir ganske klart hvis noen elementer i de konstituerende vektorene er gitt.

2. Eksempler på dekomponering.

La oss vurdere flere svært vanlige tilfeller av dekomponering.

1. Dekomponer den gitte vektoren c i to komponentvektorer hvorav en, for eksempel a, er gitt i størrelse og retning.

Problemet er redusert til å bestemme forskjellen mellom to vektorer. Faktisk, hvis vektorene er komponenter av vektoren c, så er likheten

Herfra bestemmes den andre komponentvektoren

2. Dekomponer den gitte vektoren c i to komponenter, hvorav den ene må ligge i et gitt plan og den andre må ligge på en gitt linje a.

For å bestemme komponentvektorene flytter vi vektoren c slik at dens begynnelse faller sammen med skjæringspunktet for den gitte rette linjen med planet (punkt O - se fig. 18). Tegn en rett linje fra enden av vektoren c (punkt C) til

skjæringspunktet med planet (B er skjæringspunktet), og deretter fra punktet C trekker vi en rett linje parallelt

Vektorene og vil bli søkt, dvs. naturlig nok er ekspansjonen ovenfor mulig hvis den rette linjen a og planet ikke er parallelle.

3. Tre koplanare vektorer a, b og c er gitt, og vektorene er ikke kollineære. Det er nødvendig å dekomponere vektoren c til vektorer

La oss bringe alle tre gitte vektorer til ett punkt O. Da vil de, på grunn av deres koplanaritet, være plassert i samme plan. På en gitt vektor c, som på en diagonal, konstruerer vi et parallellogram hvis sider er parallelle med vektorenes handlingslinjer (fig. 19). Denne konstruksjonen er alltid mulig (med mindre vektorene er kollineære) og unik. Fra fig. 19 viser det

L. 2-1 Grunnleggende begreper i vektoralgebra. Lineære operasjoner på vektorer.

Dekomponering av en vektor i form av en basis.

Grunnleggende konsepter for vektoralgebra

En vektor er settet av alle rettede segmenter som har samme lengde og retning
.

Egenskaper:

Lineære operasjoner på vektorer

1.

Parallelogramregel:

MED ummah to vektorer Og kalt vektor , som kommer ut av deres felles opprinnelse og er diagonalen til et parallellogram bygget på vektorer Og som på sidene.

Polygonregel:

For å konstruere summen av et hvilket som helst antall vektorer, må du plassere begynnelsen av den andre vektoren på slutten av første ledd, begynnelsen av den tredje på slutten av den andre, og så videre. Vektoren som lukker den resulterende polylinjen er summen. Begynnelsen faller sammen med begynnelsen av den første, og slutten med slutten av den siste.

Egenskaper:

2.

Vektor produkt per nummer , kalles en vektor som tilfredsstiller betingelsene:
.

Egenskaper:

3.

forskjell vektorer Og kalle vektor lik summen av vektoren og en vektor motsatt vektoren , dvs.
.

- loven til det motsatte elementet (vektor).

Dekomponering av en vektor i form av en basis

Summen av vektorer bestemmes på en unik måte
(men bare ). Den omvendte operasjonen, dekomponeringen av en vektor i flere komponenter, er tvetydig: For å gjøre det entydig, er det nødvendig å indikere retningene der utvidelsen av den betraktede vektoren skjer, eller, som de sier, det er nødvendig å indikere basis.

Ved bestemmelse av grunnlaget er kravet om ikke-koplanaritet og ikke-kollinearitet av vektorer vesentlig. For å forstå betydningen av dette kravet, er det nødvendig å vurdere konseptet lineær avhengighet og lineær uavhengighet av vektorer.

Vilkårlig uttrykk for formen: , kalt lineær kombinasjon vektorer
.

En lineær kombinasjon av flere vektorer kalles triviell hvis alle koeffisientene er lik null.

Vektorer
kalt lineært avhengig, hvis det er en ikke-triviell lineær kombinasjon av disse vektorene lik null:
(1), gitt
. Hvis likhet (1) bare gjelder for alle
samtidig lik null, deretter vektorer som ikke er null
vil lineært uavhengig.

Det er lett å bevise: alle to kollineære vektorer er lineært avhengige, og to ikke-kollineære vektorer er lineært uavhengige.

Vi starter beviset med den første påstanden.

La vektorene Og kollineær. La oss vise at de er lineært avhengige. Faktisk, hvis de er kollineære, skiller de seg fra hverandre bare med en numerisk faktor, dvs.
, derfor
. Siden den resulterende lineære kombinasjonen er tydelig ikke-triviell og er lik "0", så er vektorene Og lineært avhengig.

Tenk nå på to ikke-kollineære vektorer Og . La oss bevise at de er lineært uavhengige. Vi konstruerer beviset ved selvmotsigelse.

Vi antar at de er lineært avhengige. Da må det eksistere en ikke-triviell lineær kombinasjon
. La oss late som det
, Deretter
. Den resulterende likheten betyr at vektorene Og er kollineære, i motsetning til vår opprinnelige antagelse.

På samme måte kan man bevise: alle tre koplanare vektorer er lineært avhengige, og to ikke-koplanare vektorer er lineært uavhengige.

For å gå tilbake til begrepet et grunnlag og til problemet med å utvide en vektor i et bestemt grunnlag, kan vi si det grunnlaget på planet og i rommet er dannet av et sett med lineært uavhengige vektorer. Et slikt begrep om grunnlag er generelt, siden den gjelder for et rom med et hvilket som helst antall dimensjoner.

Uttrykk som:
, kalles dekomponering av vektoren av vektorer ,…,.

Hvis vi vurderer en basis i tredimensjonalt rom, så nedbrytningen av vektoren basis
vil
, Hvor
-vektorkoordinater.

I problemet med å utvide en vilkårlig vektor på et eller annet grunnlag, er følgende utsagn veldig viktig: hvilken som helst vektorkan dekomponeres på en unik måte i det gitte grunnlaget
. Med andre ord, koordinatene
for enhver vektor i forhold til grunnlaget
er definert entydig.

Innføringen av en basis i rommet og på et plan gjør det mulig å tilordne hver vektor ordnet trippel (par) av tall - dens koordinater. Dette svært viktige resultatet, som gjør det mulig å etablere en sammenheng mellom geometriske objekter og tall, gjør det mulig å analytisk beskrive og studere posisjonen og bevegelsen til fysiske objekter.

Kombinasjonen av et punkt og et grunnlag kalles koordinatsystem.

Hvis vektorene som danner grunnlaget er enhet og parvis perpendikulære, kalles koordinatsystemet rektangulær, og grunnlaget ortonormal.

L. 2-2 Produkt av vektorer

Dekomponering av en vektor i form av en basis

Tenk på vektoren
, gitt av koordinatene:
.

- vektorkomponenter i retninger av basisvektorer
.

Uttrykk av skjemaet
kalles dekomponering av vektoren basis
.

På lignende måte kan man dekomponere basis
vektor
:

.

Cosinus av vinklene dannet av den betraktede vektoren med basisvektorer
kalt retning cosinus

;
;
.

Skalært produkt av vektorer.

Skalarproduktet av to vektorer Og kalles tallet som er lik produktet av modulene til disse vektorene ved cosinus til vinkelen mellom dem

Skalarproduktet av to vektorer kan betraktes som produktet av modulen til en av disse vektorene og den ortogonale projeksjonen av den andre vektoren i retningen til den første
.

Egenskaper:

Hvis koordinatene til vektorene er kjent
Og
, da etter å ha utvidet vektorene når det gjelder grunnlaget
:
Og
, finne

, fordi
,
, Det

.

.

Betingelse for vinkelrett til vektorer:
.

Kolinearitetsbetingelse for rektorer:
.

Kryssprodukt av vektorer

eller

vektor kunst per vektor en slik vektor kalles
, som tilfredsstiller vilkårene:

Egenskaper:

De betraktede algebraiske egenskapene gjør det mulig å finne et analytisk uttrykk for kryssproduktet i form av koordinatene til de konstituerende vektorene på ortonormal basis.

Gitt:
Og
.

fordi ,
,
,
,
,
,
, Det

. Denne formelen kan skrives kortere, i form av en tredjeordens determinant:

.

Blandet produkt av vektorer

Blandet produkt av tre vektorer ,Og kalt et tall som er lik vektorproduktet
, multiplisert skalært med vektoren .

Følgende likhet er sann:
, så det blandede produktet er skrevet
.

Som det følger av definisjonen, er resultatet av det blandede produktet av tre vektorer et tall. Dette tallet har en klar geometrisk betydning:

Blandet produktmodul
er lik volumet til parallellepipedet bygget på vektorer redusert til et felles opphav ,Og .

Blandede produktegenskaper:

Hvis vektorene ,,er gitt i ortonormalt grunnlag
deres koordinater, blir beregningen av det blandede produktet utført i henhold til formelen

.

Faktisk, hvis
, Det

;
;
, Deretter
.

Hvis vektorene ,,er koplanære, deretter vektorproduktet
vinkelrett på vektoren . Og omvendt, hvis
, da er volumet av parallellepipedet null, og dette er bare mulig hvis vektorene er koplanære (lineært avhengige).

Dermed er tre vektorer koplanære hvis og bare hvis deres blandede produkt er null.

Grunnlaget for plass kall et slikt system av vektorer der alle andre vektorer i rommet kan representeres som en lineær kombinasjon av vektorer inkludert i basisen.
I praksis er alt dette ganske enkelt. Grunnlaget kontrolleres som regel på et plan eller i rommet, og for dette må du finne determinanten til en matrise av andre, tredje orden, sammensatt av koordinatene til vektorene. Skjematisk skrevet nedenfor forhold som vektorene danner et grunnlag under

Til utvide vektoren b i form av basisvektorer
e,e...,e[n] det er nødvendig å finne koeffisientene x, ..., x[n] som den lineære kombinasjonen av vektorene e,e...,e[n] er lik for vektoren b:
x1*e+ ... + x[n]*e[n] = b.
For å gjøre dette bør vektorligningen konverteres til et system av lineære ligninger og finne løsninger. Det er også ganske enkelt å implementere.
De funnet koeffisientene x, ..., x[n] kalles koordinatene til vektoren b i basisen e,e...,e[n].
La oss gå videre til den praktiske siden av emnet.

Dekomponering av en vektor i basisvektorer

Oppgave 1. Sjekk om vektorene a1, a2 danner et grunnlag på planet

1) a1 (3; 5), a2 (4; 2)
Løsning: Komponer determinanten fra koordinatene til vektorene og beregn den

Determinanten er ikke lik null, derfor vektorer er lineært uavhengige, noe som betyr at de danner en basis.

2) a1 (2; -3), a2 (5; -1)
Løsning: Vi beregner determinanten sammensatt av vektorer

Determinanten er lik 13 (ikke lik null) - av dette følger det at vektorene a1, a2 er en basis på planet.

---=================---

La oss vurdere typiske eksempler fra IAPM-programmet i disiplinen "Høyere matematikk".

Oppgave 2. Vis at vektorene a1, a2, a3 danner grunnlaget for et tredimensjonalt vektorrom, og utvid vektoren b i dette grunnlaget (bruk Cramers metode når du løser et system med lineære algebraiske ligninger).
1) a1 (3; 1; 5), a2 (3; 2; 8), a3 (0; 1; 2), b (−3; 1; 2).
Løsning: Vurder først systemet med vektorer a1, a2, a3 og kontroller determinanten til matrisen A

bygget på andre vektorer enn null. Matrisen inneholder ett nullelement, så det er mer hensiktsmessig å beregne determinanten som en tidsplan for den første kolonnen eller tredje raden.

Som et resultat av beregningene fant vi at determinanten er forskjellig fra null, derfor vektorene a1, a2, a3 er lineært uavhengige.
Per definisjon danner vektorer et grunnlag i R3. La oss skrive ned planen til vektoren b i form av grunnlaget

Vektorer er like når deres tilsvarende koordinater er like.
Derfor får vi fra vektorligningen et system med lineære ligninger

Løs SLAE Cramers metode. For å gjøre dette skriver vi ligningssystemet i skjemaet

Hoveddeterminanten til SLAE er alltid lik determinanten sammensatt av basisvektorer

Derfor beregnes det i praksis ikke to ganger. For å finne hjelpedeterminanter setter vi en kolonne med frie termer i stedet for hver kolonne i hoveddeterminanten. Determinantene beregnes i henhold til regelen om trekanter



Bytt de funne determinantene inn i Cramers formel



Så utvidelsen av vektoren b når det gjelder basis har formen b=-4a1+3a2-a3. Koordinatene til vektoren b i basisen a1, a2, a3 vil være (-4,3, 1).

2)a1 (1; -5; 2), a2 (2; 3; 0), a3 (1; -1; 1), b (3; 5; 1).
Løsning: Vi sjekker vektorene for grunnlaget - vi komponerer determinanten fra koordinatene til vektorene og beregner den

Determinanten er derfor ikke lik null vektorer danner et grunnlag i rommet. Det gjenstår å finne tidsplanen til vektoren b i form av det gitte grunnlaget. For å gjøre dette skriver vi vektorligningen

og transformere til et system av lineære ligninger

Skriv ned matriseligningen

Deretter finner vi hjelpedeterminanter for Cramer-formlene



Bruk av Cramers formler



Så den gitte vektoren b har et skjema gjennom to basisvektorer b=-2a1+5a3, og dens koordinater i basisen er lik b(-2,0, 5).

Lineær avhengighet og lineær uavhengighet av vektorer.
Grunnlag for vektorer. Affint koordinatsystem

Det står en vogn med sjokolade i publikum, og i dag får hver besøkende et søtt par - analytisk geometri med lineær algebra. Denne artikkelen vil berøre to seksjoner av høyere matematikk samtidig, og vi vil se hvordan de kommer overens i ett omslag. Ta en pause, spis Twix! ... pokker, vel, krangle-tull. Selv om det er greit, jeg vil ikke score, til slutt bør det være en positiv holdning til å studere.

Lineær avhengighet av vektorer, lineær uavhengighet av vektorer, vektor basis og andre termer har ikke bare en geometrisk tolkning, men fremfor alt en algebraisk betydning. Selve konseptet "vektor" sett fra lineær algebras synspunkt er langt fra alltid den "vanlige" vektoren som vi kan avbilde på et plan eller i rommet. Du trenger ikke se langt etter bevis, prøv å tegne en vektor av femdimensjonalt rom . Eller værvektoren, som jeg nettopp dro til Gismeteo for: - henholdsvis temperatur og atmosfærisk trykk. Eksemplet er selvfølgelig feil med tanke på egenskapene til vektorrommet, men likevel er det ingen som forbyr å formalisere disse parameterne som en vektor. Høstens pust...

Nei, jeg skal ikke kjede deg med teori, lineære vektorrom, oppgaven er å forstå definisjoner og teoremer. De nye begrepene (lineær avhengighet, uavhengighet, lineær kombinasjon, basis, etc.) gjelder for alle vektorer fra et algebraisk synspunkt, men eksempler vil bli gitt geometrisk. Dermed er alt enkelt, tilgjengelig og visuelt. I tillegg til problemene med analytisk geometri, vil vi også vurdere noen typiske oppgaver for algebra. For å mestre materialet, er det tilrådelig å gjøre deg kjent med leksjonene Vektorer for dummies Og Hvordan beregne determinanten?

Lineær avhengighet og uavhengighet av planvektorer.
Plangrunnlag og affint koordinatsystem

Vurder planen på datamaskinpulten din (bare et bord, nattbord, gulv, tak, hva du måtte ønske). Oppgaven vil bestå av følgende handlinger:

1) Velg flybasis. Grovt sett har bordplaten en lengde og en bredde, så det er intuitivt klart at det kreves to vektorer for å bygge grunnlaget. En vektor er tydeligvis ikke nok, tre vektorer er for mye.

2) Basert på det valgte grunnlaget sette koordinatsystem(koordinatrutenett) for å tildele koordinater til alle elementer på bordet.

Ikke bli overrasket, først vil forklaringene være på fingrene. Dessuten på din. Vennligst plasser pekefinger på venstre hånd på kanten av bordplaten slik at han ser på skjermen. Dette vil være en vektor. Plasser nå lillefinger på høyre hånd på kanten av bordet på samme måte - slik at den er rettet mot LCD-skjermen. Dette vil være en vektor. Smil, du ser bra ut! Hva kan sies om vektorer? Datavektorer kollineær, som betyr lineært uttrykt gjennom hverandre:
, vel, eller omvendt: , hvor er et tall som ikke er null.

Du kan se et bilde av denne handlingen i leksjonen. Vektorer for dummies, hvor jeg forklarte regelen for å multiplisere en vektor med et tall.

Vil fingrene sette grunnlaget på planet til databordet? Åpenbart ikke. Kollineære vektorer reiser frem og tilbake inn alene retning, mens et plan har en lengde og en bredde.

Slike vektorer kalles lineært avhengig.

Henvisning: Ordene "lineær", "lineær" betegner det faktum at det ikke finnes kvadrater, terninger, andre potenser, logaritmer, sinus osv. i matematiske ligninger, uttrykk. Det er bare lineære (1. grads) uttrykk og avhengigheter.

To planvektorer lineært avhengig hvis og bare hvis de er kollineære.

Kryss fingrene på bordet slik at det er en vinkel mellom dem bortsett fra 0 eller 180 grader. To planvektorerlineært Ikke er avhengige hvis og bare hvis de ikke er kollineære. Så grunnlaget er mottatt. Ingen grunn til å være flau over at grunnlaget viste seg å være "skrå" med ikke-vinkelrette vektorer av forskjellige lengder. Svært snart vil vi se at ikke bare en vinkel på 90 grader er egnet for konstruksjonen, og ikke bare enhetsvektorer av lik lengde

Noen plan vektor den eneste måten utvidet når det gjelder grunnlaget:
, hvor er reelle tall . Tall kalles vektorkoordinater på dette grunnlaget.

Det sier de også vektorpresentert i skjemaet lineær kombinasjon basisvektorer. Det vil si at uttrykket heter vektor nedbrytningbasis eller lineær kombinasjon basisvektorer.

For eksempel kan man si at en vektor er utvidet i en ortonormal basis av planet, eller man kan si at den er representert som en lineær kombinasjon av vektorer.

La oss formulere grunnlagsdefinisjon formelt: flybasis er et par lineært uavhengige (ikke-kollineære) vektorer, , hvori noen planvektoren er en lineær kombinasjon av basisvektorene.

Det vesentlige med definisjonen er det faktum at vektorene er tatt i en bestemt rekkefølge. baser Dette er to helt forskjellige baser! Som de sier, kan lillefingeren på venstre hånd ikke flyttes til stedet for lillefingeren på høyre hånd.

Vi fant ut grunnlaget, men det er ikke nok å sette koordinatrutenettet og tildele koordinater til hvert element på datamaskinens skrivebord. Hvorfor ikke nok? Vektorene er frie og vandrer over hele flyet. Så hvordan tildeler du koordinater til de små skitne bordprikkene som er igjen fra en vill helg? Det trengs et utgangspunkt. Og et slikt referansepunkt er et punkt kjent for alle - opprinnelsen til koordinatene. Forstå koordinatsystemet:

Jeg begynner med "skole"-systemet. Allerede i introduksjonstimen Vektorer for dummies Jeg fremhevet noen av forskjellene mellom et rektangulært koordinatsystem og en ortonormal basis. Her er standardbildet:

Når man snakker om rektangulært koordinatsystem, da mener de oftest origo, koordinatakser og skala langs aksene. Prøv å skrive "rektangulært koordinatsystem" i søkemotoren, og du vil se at mange kilder vil fortelle deg om koordinataksene som er kjent fra 5.-6. klasse og hvordan du plotter punkter på et fly.

På den annen side får man inntrykk av at et rektangulært koordinatsystem kan være godt definert ut fra et ortonormalt grunnlag. Og det er det nesten. Ordlyden lyder slik:

opprinnelse, Og ortonormal basis sett Kartesisk koordinatsystem til flyet . Det vil si et rektangulært koordinatsystem helt sikkert er definert av et enkelt punkt og to enheter ortogonale vektorer. Det er derfor du ser tegningen som jeg ga ovenfor - i geometriske oppgaver er både vektorer og koordinatakser ofte (men langt fra alltid) tegnet.

Det tror jeg alle forstår ved hjelp av et punkt (opprinnelse) og et ortonormalt grunnlag HVER PUNKT på flyet og ENHVER VEKTOR på flyet koordinater kan tildeles. Billedlig talt, "alt på flyet kan nummereres."

Må koordinatvektorer være enhet? Nei, de kan ha en vilkårlig lengde som ikke er null. Tenk på et punkt og to ortogonale vektorer med vilkårlig lengde som ikke er null:

Et slikt grunnlag kalles ortogonal. Opprinnelsen til koordinater med vektorer definerer koordinatgitteret, og ethvert punkt på planet, enhver vektor har sine egne koordinater i det gitte grunnlaget. For eksempel eller. Den åpenbare ulempen er at koordinatvektorene generelt har andre lengder enn enhet. Hvis lengdene er lik en, oppnås det vanlige ortonormale grunnlaget.

! Merk : i den ortogonale basis, så vel som under i de affine basene til planet og rommet, anses enheter langs aksene BETINGET. For eksempel inneholder en enhet langs abscissen 4 cm, en enhet langs ordinaten inneholder 2 cm. Denne informasjonen er nok til å konvertere "ikke-standard" koordinater til "våre vanlige centimeter" om nødvendig.

Og det andre spørsmålet, som faktisk allerede er besvart - er det nødvendig at vinkelen mellom basisvektorene er lik 90 grader? Nei! Som definisjonen sier, må basisvektorer være bare ikke-kollineær. Følgelig kan vinkelen være alt unntatt 0 og 180 grader.

Et punkt på flyet ringte opprinnelse, Og ikke-kollineær vektorer, , sett affint koordinatsystem til planet :

Noen ganger kalles dette koordinatsystemet skrå system. Punkter og vektorer er vist som eksempler på tegningen:

Som du forstår, er det affine koordinatsystemet enda mindre praktisk, formlene for lengdene til vektorer og segmenter, som vi vurderte i den andre delen av leksjonen, fungerer ikke i det. Vektorer for dummies, mange deilige formler relatert til skalært produkt av vektorer. Men reglene for å legge til vektorer og multiplisere en vektor med et tall er gyldige, formlene for å dele et segment i denne forbindelse, så vel som noen andre typer problemer som vi snart vil vurdere.

Og konklusjonen er at det mest praktiske spesielle tilfellet av et affint koordinatsystem er det kartesiske rektangulære systemet. Derfor må hun, hennes egen, oftest sees. ... Men alt i dette livet er relativt - det er mange situasjoner der det er hensiktsmessig å ha en skrå (eller en annen, for eksempel, polar) koordinatsystem. Ja, og humanoider kan slike systemer komme til å smake =)

La oss gå videre til den praktiske delen. Alle problemer i denne leksjonen er gyldige både for et rektangulært koordinatsystem og for det generelle affine tilfellet. Det er ikke noe komplisert her, alt materialet er tilgjengelig selv for en skolegutt.

Hvordan bestemme kollineariteten til planvektorer?

Typisk ting. For to plan vektorer er kollineære, er det nødvendig og tilstrekkelig at deres respektive koordinater er proporsjonale.I hovedsak er dette en koordinat-for-koordinat-avgrensning av det åpenbare forholdet.

Eksempel 1

a) Sjekk om vektorene er kollineære .
b) Danner vektorer et grunnlag? ?

Løsning:
a) Finn ut om det finnes for vektorer proporsjonalitetskoeffisient, slik at likheter oppfylles:

Jeg vil definitivt fortelle deg om den "foppish" versjonen av anvendelsen av denne regelen, som fungerer ganske bra i praksis. Tanken er å umiddelbart tegne en proporsjon og se om den er riktig:

La oss lage en proporsjon fra forholdet mellom de tilsvarende koordinatene til vektorene:

Vi forkorter:
, dermed er de tilsvarende koordinatene proporsjonale, derfor,

Forholdet kan opprettes og omvendt, dette er et tilsvarende alternativ:

For selvtesting kan man bruke det faktum at kollineære vektorer er lineært uttrykt gjennom hverandre. I dette tilfellet er det likheter . Gyldigheten deres kan enkelt sjekkes gjennom elementære operasjoner med vektorer:

b) To plane vektorer danner grunnlag hvis de ikke er kollineære (lineært uavhengige). Vi undersøker vektorer for kollinearitet . La oss lage et system:

Fra den første ligningen følger det at , fra den andre ligningen følger det at , som betyr, systemet er inkonsekvent(ingen løsninger). Dermed er de tilsvarende koordinatene til vektorene ikke proporsjonale.

Konklusjon: vektorene er lineært uavhengige og danner en basis.

En forenklet versjon av løsningen ser slik ut:

Komponer proporsjonen fra de tilsvarende koordinatene til vektorene :
, derfor er disse vektorene lineært uavhengige og danner en basis.

Vanligvis avviser ikke anmeldere dette alternativet, men det oppstår et problem i tilfeller der noen koordinater er lik null. Som dette: . Eller slik: . Eller slik: . Hvordan jobbe gjennom andelen her? (Virkelig, du kan ikke dele på null). Det er av denne grunn at jeg kalte den forenklede løsningen "foppish".

Svar: a), b) form.

Et lite kreativt eksempel på en uavhengig løsning:

Eksempel 2

Ved hvilken verdi av parametervektorene vil være collineær?

I prøveløsningen finnes parameteren gjennom proporsjonen.

Det er en elegant algebraisk måte å sjekke vektorer for kollinearitet. La oss systematisere kunnskapen vår og bare legge den til som det femte punktet:

For to plane vektorer er følgende utsagn ekvivalente:

2) vektorer danner en basis;
3) vektorene er ikke kollineære;

+ 5) determinanten, sammensatt av koordinatene til disse vektorene, er ikke null.

Henholdsvis følgende motsatte utsagn er likeverdige:
1) vektorer er lineært avhengige;
2) vektorer danner ikke grunnlag;
3) vektorene er kollineære;
4) vektorer kan uttrykkes lineært gjennom hverandre;
+ 5) determinanten, sammensatt av koordinatene til disse vektorene, er lik null.

Jeg håper veldig, veldig at du for øyeblikket allerede forstår alle begrepene og uttalelsene som har kommet over.

La oss se nærmere på det nye, femte punktet: to plane vektorer er kollineære hvis og bare hvis determinanten sammensatt av koordinatene til de gitte vektorene er lik null:. For å bruke denne funksjonen må du selvfølgelig kunne finne determinanter.

Vi bestemmer Eksempel 1 på den andre måten:

a) Regn ut determinanten, sammensatt av koordinatene til vektorene :
, så disse vektorene er kollineære.

b) To plane vektorer danner grunnlag hvis de ikke er kollineære (lineært uavhengige). La oss beregne determinanten sammensatt av koordinatene til vektorene :
, derfor er vektorene lineært uavhengige og danner en basis.

Svar: a), b) form.

Det ser mye mer kompakt og penere ut enn løsningen med proporsjoner.

Ved hjelp av det betraktede materialet er det mulig å etablere ikke bare kollineariteten til vektorer, men også å bevise parallelliteten til segmenter, rette linjer. Tenk på et par problemer med spesifikke geometriske former.

Eksempel 3

Toppunktene til en firkant er gitt. Bevis at firkanten er et parallellogram.

Bevis: Det er ikke nødvendig å bygge en tegning i oppgaven, siden løsningen vil være rent analytisk. Husk definisjonen av et parallellogram:
Parallelogram En firkant kalles, der motsatte sider er parvis parallelle.

Derfor er det nødvendig å bevise:
1) parallellitet av motsatte sider og;
2) parallellitet av motsatte sider og .

Vi beviser:

1) Finn vektorene:

2) Finn vektorene:

Resultatet er den samme vektoren ("i henhold til skolen" - like vektorer). Kolinearitet er ganske åpenbart, men det er bedre å ta avgjørelsen riktig, med ordningen. Regn ut determinanten, sammensatt av koordinatene til vektorene:
, så disse vektorene er kollineære, og .

Konklusjon: Motstående sider av en firkant er parvis parallelle, så det er et parallellogram per definisjon. Q.E.D.

Flere gode og annerledes figurer:

Eksempel 4

Toppunktene til en firkant er gitt. Bevis at firkanten er en trapes.

For en mer streng formulering av beviset er det selvfølgelig bedre å få definisjonen av en trapes, men det er nok bare å huske hvordan det ser ut.

Dette er en oppgave for selvstendig beslutning. Komplett løsning på slutten av timen.

Og nå er det på tide å sakte bevege seg fra flyet til verdensrommet:

Hvordan bestemme kollineariteten til romvektorer?

Regelen er veldig lik. For at to romvektorer skal være kollineære, er det nødvendig og tilstrekkelig at deres tilsvarende koordinater er proporsjonale med.

Eksempel 5

Finn ut om følgende romvektorer er kollineære:

A) ;
b)
V)

Løsning:
a) Sjekk om det er en proporsjonalitetskoeffisient for de tilsvarende koordinatene til vektorene:

Systemet har ingen løsning, noe som betyr at vektorene ikke er kollineære.

"Forenklet" lages ved å sjekke andelen. I dette tilfellet:
– de tilsvarende koordinatene er ikke proporsjonale, noe som betyr at vektorene ikke er kollineære.

Svar: vektorene er ikke kollineære.

b-c) Dette er punkter for selvstendig avgjørelse. Prøv det på to måter.

Det er en metode for å sjekke romlige vektorer for kollinearitet og gjennom en tredjeordens determinant, er denne metoden dekket i artikkelen Kryssprodukt av vektorer.

I likhet med plantilfellet kan de betraktede verktøyene brukes til å studere parallelliteten til romlige segmenter og linjer.

Velkommen til den andre delen:

Lineær avhengighet og uavhengighet av tredimensjonale romvektorer.
Romlig basis og affint koordinatsystem

Mange av regelmessighetene som vi har vurdert på flyet vil også være gyldige for plass. Jeg prøvde å minimere sammendraget av teorien, siden brorparten av informasjonen allerede er tygget. Jeg anbefaler likevel at du leser den innledende delen nøye, da nye termer og begreper vil dukke opp.

Nå, i stedet for planet til datamaskinbordet, la oss undersøke det tredimensjonale rommet. Først, la oss lage grunnlaget. Noen er nå innendørs, noen er utendørs, men i alle fall kan vi ikke komme unna tre dimensjoner: bredde, lengde og høyde. Derfor kreves det tre romlige vektorer for å konstruere grunnlaget. En eller to vektorer er ikke nok, den fjerde er overflødig.

Og igjen varmer vi opp på fingrene. Vennligst løft hånden opp og spre ut i forskjellige retninger tommel, peker og langfinger. Dette vil være vektorer, de ser i forskjellige retninger, har forskjellig lengde og har forskjellige vinkler seg imellom. Gratulerer, grunnlaget for det tredimensjonale rommet er klart! Du trenger forresten ikke demonstrere dette for lærere, uansett hvordan du vrir på fingrene, men du kommer ikke unna definisjoner =)

Deretter stiller vi et viktig spørsmål, om noen tre vektorer danner grunnlaget for et tredimensjonalt rom? Trykk tre fingre godt på datamaskinens bordplate. Hva skjedde? Tre vektorer er plassert i samme plan, og grovt sett har vi mistet en av målingene - høyden. Slike vektorer er koplanar og ganske åpenbart at grunnlaget for tredimensjonalt rom ikke er skapt.

Det skal bemerkes at koplanare vektorer ikke trenger å ligge i samme plan, de kan være i parallelle plan (bare ikke gjør dette med fingrene, bare Salvador Dali kom av sånn =)).

Definisjon: vektorer kalles koplanar hvis det finnes et plan som de er parallelle med. Her er det logisk å legge til at dersom et slikt plan ikke eksisterer, så vil ikke vektorene være koplanære.

Tre koplanare vektorer er alltid lineært avhengige, det vil si at de uttrykkes lineært gjennom hverandre. For enkelhets skyld, forestill deg igjen at de ligger i samme plan. For det første er vektorer ikke bare koplanære, men kan også være kollineære, deretter kan enhver vektor uttrykkes gjennom hvilken som helst vektor. I det andre tilfellet, hvis for eksempel vektorene ikke er kollineære, blir den tredje vektoren uttrykt gjennom dem på en unik måte: (og hvorfor er lett å gjette fra materialene i forrige seksjon).

Det motsatte er også sant: tre ikke-koplanare vektorer er alltid lineært uavhengige, det vil si at de på ingen måte kommer til uttrykk gjennom hverandre. Og åpenbart er det bare slike vektorer som kan danne grunnlaget for et tredimensjonalt rom.

Definisjon: Grunnlaget for tredimensjonalt rom kalles en trippel av lineært uavhengige (ikke-koplanare) vektorer, tatt i en bestemt rekkefølge, mens en hvilken som helst vektor av rommet den eneste måten ekspanderer i gitt grunnlag , hvor er koordinatene til vektoren i gitt grunnlag

Som en påminnelse kan du også si at en vektor er representert som lineær kombinasjon basisvektorer.

Konseptet med et koordinatsystem er introdusert på nøyaktig samme måte som for plantilfellet, ett punkt og eventuelle tre lineært uavhengige vektorer er tilstrekkelig:

opprinnelse, Og ikke-coplanar vektorer, tatt i en bestemt rekkefølge, sett affint koordinatsystem av tredimensjonalt rom :

Selvfølgelig er koordinatnettet "skrå" og upraktisk, men likevel lar det konstruerte koordinatsystemet oss helt sikkert Bestem koordinatene til enhver vektor og koordinatene til ethvert punkt i rommet. I likhet med flyet, i det affine koordinatsystemet i rommet, vil noen formler som jeg allerede har nevnt, ikke fungere.

Det mest kjente og praktiske spesialtilfellet av et affint koordinatsystem, som alle kan gjette, er rektangulært romkoordinatsystem:

punkt i rommet kalt opprinnelse, Og ortonormal basis sett Kartesisk koordinatsystem for rom . kjent bilde:

Før vi går videre til praktiske oppgaver, systematiserer vi informasjonen igjen:

For tre romvektorer er følgende utsagn ekvivalente:
1) vektorene er lineært uavhengige;
2) vektorer danner en basis;
3) vektorene er ikke koplanære;
4) vektorer kan ikke uttrykkes lineært gjennom hverandre;
5) determinanten, sammensatt av koordinatene til disse vektorene, er forskjellig fra null.

Motsatte utsagn synes jeg er forståelig.

Lineær avhengighet / uavhengighet av romvektorer kontrolleres tradisjonelt ved å bruke determinanten (punkt 5). De resterende praktiske oppgavene vil være av utpreget algebraisk karakter. Det er på tide å henge en geometrisk pinne på en spiker og bruke en lineær algebra baseballballtre:

Tre romvektorer er koplanære hvis og bare hvis determinanten sammensatt av koordinatene til de gitte vektorene er lik null: .

Jeg gjør oppmerksom på en liten teknisk nyanse: koordinatene til vektorer kan skrives ikke bare i kolonner, men også i rader (verdien av determinanten vil ikke endre seg fra dette - se egenskapene til determinantene). Men det er mye bedre i kolonner, siden det er mer fordelaktig for å løse noen praktiske problemer.

For de lesere som har glemt metodene for å beregne determinanter litt, eller kanskje de i det hele tatt er dårlig orientert, anbefaler jeg en av mine eldste leksjoner: Hvordan beregne determinanten?

Eksempel 6

Sjekk om følgende vektorer danner grunnlaget for et tredimensjonalt rom:

Løsning: Faktisk handler hele løsningen om å beregne determinanten.

a) Regn ut determinanten, sammensatt av koordinatene til vektorene (determinanten utvides på den første linjen):

, som betyr at vektorene er lineært uavhengige (ikke koplanære) og danner grunnlaget for et tredimensjonalt rom.

Svar: disse vektorene danner grunnlaget

b) Dette er et punkt for selvstendig beslutning. Full løsning og svar på slutten av timen.

Det er også kreative oppgaver:

Eksempel 7

Ved hvilken verdi av parameteren vil vektorene være koplanære?

Løsning: Vektorer er koplanære hvis og bare hvis determinanten sammensatt av koordinatene til de gitte vektorene er lik null:

I hovedsak er det nødvendig å løse en ligning med en determinant. Vi flyr inn i nuller som drager til jerboas - det er mest lønnsomt å åpne determinanten i den andre linjen og umiddelbart bli kvitt minusene:

Vi utfører ytterligere forenklinger og reduserer saken til den enkleste lineære ligningen:

Svar: kl

Det er enkelt å sjekke her, for dette må du erstatte den resulterende verdien i den opprinnelige determinanten og sørge for at ved å åpne den igjen.

Avslutningsvis, la oss vurdere et annet typisk problem, som er mer av algebraisk natur og som tradisjonelt er inkludert i løpet av lineær algebra. Det er så vanlig at det fortjener et eget emne:

Bevis at 3 vektorer danner grunnlaget for et tredimensjonalt rom
og finn koordinatene til den 4. vektoren i gitt grunnlag

Eksempel 8

Vektorer er gitt. Vis at vektorene danner grunnlag for tredimensjonalt rom og finn koordinatene til vektoren i dette grunnlaget.

Løsning: La oss ta for oss tilstanden først. Ved betingelse er fire vektorer gitt, og som du kan se, har de allerede koordinater på et eller annet grunnlag. Hva er grunnlaget - vi er ikke interessert. Og følgende ting er av interesse: tre vektorer kan godt danne et nytt grunnlag. Og det første trinnet er helt det samme som løsningen i eksempel 6, det er nødvendig å sjekke om vektorene virkelig er lineært uavhengige:

Regn ut determinanten, sammensatt av koordinatene til vektorene:

, derfor er vektorene lineært uavhengige og danner grunnlaget for et tredimensjonalt rom.

! Viktig : vektorkoordinater Nødvendigvis skrive ned inn i kolonner determinant, ikke strenger. Ellers vil det oppstå forvirring i den videre løsningsalgoritmen.