Hva er vinkelen mellom vektorene? Punktprodukt av vektorer

Vinkel mellom to vektorer, :

Hvis vinkelen mellom to vektorer er spiss, er deres skalarprodukt positivt; hvis vinkelen mellom vektorene er stump, så er skalarproduktet til disse vektorene negativt. Skalarproduktet av to vektorer som ikke er null er lik null hvis og bare hvis disse vektorene er ortogonale.

Trening. Finn vinkelen mellom vektorene og

Løsning. Cosinus av ønsket vinkel

16. Beregning av vinkelen mellom rette linjer, rett linje og plan

Vinkel mellom en rett linje og et plan, som skjærer denne linjen og ikke vinkelrett på den, er vinkelen mellom linjen og dens projeksjon på dette planet.

Ved å bestemme vinkelen mellom en linje og et plan kan vi konkludere med at vinkelen mellom en linje og et plan er vinkelen mellom to kryssende linjer: selve den rette linjen og dens projeksjon på planet. Derfor er vinkelen mellom en rett linje og et plan en spiss vinkel.

Vinkelen mellom en vinkelrett rett linje og et plan anses lik , og vinkelen mellom en parallell rett linje og et plan er enten ikke bestemt i det hele tatt eller anses som lik .

§ 69. Beregning av vinkelen mellom rette linjer.

Problemet med å beregne vinkelen mellom to rette linjer i rommet løses på samme måte som på et plan (§ 32). La oss angi med φ størrelsen på vinkelen mellom linjene l 1 og l 2, og gjennom ψ - størrelsen på vinkelen mellom retningsvektorene EN Og b disse rette linjene.

Så hvis

ψ 90° (fig. 206.6), så φ = 180° - ψ. Åpenbart er likheten cos φ = |cos ψ| sann i begge tilfeller. Ved formel (1) § 20 har vi

derfor,

La linjene være gitt av deres kanoniske ligninger

Deretter bestemmes vinkelen φ mellom linjene ved hjelp av formelen

Hvis en av linjene (eller begge) er gitt av ikke-kanoniske ligninger, må du finne koordinatene til retningsvektorene til disse linjene for å beregne vinkelen, og deretter bruke formel (1).

17. Parallelle linjer, teoremer om parallelle linjer

Definisjon. To linjer i et plan kalles parallell, hvis de ikke har felles punkter.

To linjer i tredimensjonalt rom kalles parallell, hvis de ligger i samme plan og ikke har felles punkter.

Vinkelen mellom to vektorer.

Fra definisjonen av punktprodukt:

Betingelse for ortogonalitet av to vektorer:

Betingelse for kollinearitet av to vektorer:

Følger av definisjon 5 - . Faktisk, fra definisjonen av produktet av en vektor og et tall, følger det. Derfor, basert på regelen om vektorlikhet, skriver vi , , , som innebærer . Men vektoren som er et resultat av å multiplisere vektoren med tallet, er kollineær med vektoren.

Projeksjon av vektor på vektor:

Eksempel 4. Gitt poeng , , , .

Finn punktproduktet.

Løsning. finner vi å bruke formelen for skalarproduktet av vektorer spesifisert av deres koordinater. Fordi det

, ,

Eksempel 5. Gitt poeng , , , .

Finn projeksjon.

Løsning. Fordi det

, ,

Basert på projeksjonsformelen har vi

Eksempel 6. Gitt poeng , , , .

Finn vinkelen mellom vektorene og .

Løsning. Merk at vektorene

, ,

er ikke kollineære fordi deres koordinater ikke er proporsjonale:

Disse vektorene er heller ikke vinkelrette, siden deres skalarprodukt er .

La oss finne

Hjørne finner vi fra formelen:

Eksempel 7. Bestem ved hvilke vektorer og collineær.

Løsning. I tilfelle av kollinearitet, de tilsvarende koordinatene til vektorene og må være proporsjonal, det vil si:

Derfor og.

Eksempel 8. Bestem hvilken verdi av vektoren Og vinkelrett.

Løsning. Vektor og er vinkelrett hvis skalarproduktet deres er null. Fra denne tilstanden får vi:. Det er, .

Eksempel 9. Finne , Hvis , , .

Løsning. På grunn av egenskapene til skalarproduktet har vi:

Eksempel 10. Finn vinkelen mellom vektorene og , hvor og - enhetsvektorer og vinkelen mellom vektorene og er lik 120°.

Løsning. Vi har: , ,

Endelig har vi: .

5 B. Vektor kunstverk.

Definisjon 21.Vektor kunstverk vektor for vektor kalles en vektor, eller, definert av følgende tre forhold:

1) Modulen til vektoren er lik , hvor er vinkelen mellom vektorene og , dvs. .

Det følger at modulen til vektorproduktet er numerisk lik arealet til et parallellogram konstruert på vektorer og begge sider.

2) Vektoren er vinkelrett på hver av vektorene og ( ; ), dvs. vinkelrett på planet til et parallellogram konstruert på vektorene og .

3) Vektoren er rettet på en slik måte at hvis den ses fra enden, vil den korteste svingen fra vektor til vektor være mot klokken (vektorer , , danner en høyrehendt trippel).

Hvordan beregne vinkler mellom vektorer?

Når du studerer geometri, oppstår det mange spørsmål om temaet vektorer. Eleven opplever særlig vanskeligheter når det er nødvendig å finne vinklene mellom vektorer.

Grunnleggende vilkår

Før du ser på vinkler mellom vektorer, er det nødvendig å bli kjent med definisjonen av en vektor og konseptet med en vinkel mellom vektorer.

En vektor er et segment som har en retning, det vil si et segment som begynnelsen og slutten er definert for.

Vinkelen mellom to vektorer på et plan som har en felles opprinnelse er den minste av vinklene med mengden som en av vektorene må flyttes rundt fellespunktet til retningene deres faller sammen.

Formel for løsning

Når du forstår hva en vektor er og hvordan dens vinkel bestemmes, kan du beregne vinkelen mellom vektorene. Løsningsformelen for dette er ganske enkel, og resultatet av dens anvendelse vil være verdien av vinkelens cosinus. I henhold til definisjonen er den lik kvotienten av skalarproduktet av vektorer og produktet av deres lengder.

Skalarproduktet av vektorer beregnes som summen av de tilsvarende koordinatene til faktorvektorene multiplisert med hverandre. Lengden til en vektor, eller dens modul, beregnes som kvadratroten av summen av kvadratene av dens koordinater.

Etter å ha mottatt verdien av cosinus til vinkelen, kan du beregne verdien av selve vinkelen ved hjelp av en kalkulator eller ved hjelp av en trigonometrisk tabell.

Eksempel

Når du har funnet ut hvordan du beregner vinkelen mellom vektorer, blir det enkelt og tydelig å løse det tilsvarende problemet. Som et eksempel er det verdt å vurdere det enkle problemet med å finne verdien av en vinkel.

Først av alt vil det være mer praktisk å beregne verdiene til vektorlengdene og deres skalarprodukt som er nødvendig for løsningen. Ved å bruke beskrivelsen presentert ovenfor får vi:

Ved å erstatte de oppnådde verdiene i formelen, beregner vi verdien av cosinus til ønsket vinkel:

Dette tallet er ikke en av de fem vanlige cosinusverdiene, så for å få vinkelen, må du bruke en kalkulator eller Bradis trigonometriske tabell. Men før du får vinkelen mellom vektorene, kan formelen forenkles for å bli kvitt det ekstra negative tegnet:

For å opprettholde nøyaktigheten kan det endelige svaret stå som det er, eller du kan beregne verdien av vinkelen i grader. I følge Bradis-tabellen vil verdien være omtrent 116 grader og 70 minutter, og kalkulatoren vil vise en verdi på 116,57 grader.

Beregne en vinkel i n-dimensjonalt rom

Når man vurderer to vektorer i tredimensjonalt rom, er det mye vanskeligere å forstå hvilken vinkel vi snakker om hvis de ikke ligger i samme plan. For å forenkle oppfatningen kan du tegne to kryssende segmenter som danner den minste vinkelen mellom dem; dette vil være den ønskede. Selv om det er en tredje koordinat i vektoren, vil prosessen med hvordan vinkler mellom vektorer beregnes ikke endres. Beregn skalarproduktet og modulene til vektorene; buekosinus til kvotienten deres vil være svaret på dette problemet.

I geometri er det ofte problemer med rom som har mer enn tre dimensjoner. Men for dem ser algoritmen for å finne svaret lik ut.

Forskjellen mellom 0 og 180 grader

En av de vanlige feilene når du skriver et svar på et problem designet for å beregne vinkelen mellom vektorer, er beslutningen om å skrive at vektorene er parallelle, det vil si at ønsket vinkel er lik 0 eller 180 grader. Dette svaret er feil.

Etter å ha mottatt vinkelverdien på 0 grader som et resultat av løsningen, vil det riktige svaret være å utpeke vektorene som codirectional, det vil si at vektorene vil ha samme retning. Hvis 180 grader oppnås, vil vektorene være motsatt rettet.

Spesifikke vektorer

Etter å ha funnet vinklene mellom vektorene, kan du finne en av de spesielle typene, i tillegg til de med- og motsatte som er beskrevet ovenfor.

Flere vektorer parallelle med ett plan kalles coplanar.
Vektorer som er like i lengde og retning kalles like.
Vektorer som ligger på samme rette linje, uavhengig av retning, kalles kollineære.
Hvis lengden på en vektor er null, det vil si at dens begynnelse og slutt faller sammen, kalles den null, og hvis den er én, så enhet.

Hvordan finne vinkelen mellom vektorer?

hjelp meg vær så snill! Jeg kan formelen, men jeg kan ikke beregne den ((
vektor a (8; 10; 4) vektor b (5; -20; -10)

Alexander Titov

Vinkelen mellom vektorer spesifisert av deres koordinater er funnet ved hjelp av en standardalgoritme. Først må du finne skalarproduktet av vektorene a og b: (a, b) = x1x2 + y1y2 + z1z2. Vi erstatter koordinatene til disse vektorene her og beregner:
(a,b) = 8*5 + 10*(-20) = 4*(-10) = 40 - 200 - 40 = -200.
Deretter bestemmer vi lengdene til hver vektor. Lengden eller modulen til en vektor er kvadratroten av summen av kvadratene av dens koordinater:
|a| = roten av (x1^2 + y1^2 + z1^2) = roten av (8^2 + 10^2 + 4^2) = roten av (64 + 100 + 16) = roten av 180 = 6 røtter av 5
|b| = roten av (x2^2 + y2^2 + z2^2) = roten av (5^2 + (-20)^2 + (-10)^2) = roten av (25 + 400 + 100) = roten av 525 = 5 røtter av 21.
Vi multipliserer disse lengdene. Vi får 30 røtter av 105.
Og til slutt deler vi skalarproduktet av vektorer med produktet av lengdene til disse vektorene. Vi får -200/(30 røtter av 105) eller
- (4 røtter av 105) / 63. Dette er cosinus til vinkelen mellom vektorene. Og selve vinkelen er lik buekosinus til dette tallet
f = arccos(-4 røtter av 105) / 63.
Hvis jeg telte alt riktig.

Hvordan beregne sinusen til vinkelen mellom vektorer ved å bruke koordinatene til vektorene

Mikhail Tkachev

La oss multiplisere disse vektorene. Skalarproduktet deres er lik produktet av lengdene til disse vektorene og cosinus til vinkelen mellom dem.
Vinkelen er ukjent for oss, men koordinatene er kjent.
La oss skrive det ned matematisk slik.
La vektorene a(x1;y1) og b(x2;y2) være gitt
Deretter

A*b=|a|*|b|*cosA

CosA=a*b/|a|*|b|

La oss snakke.
a*b-skalarprodukt av vektorer er lik summen av produktene til de tilsvarende koordinatene til koordinatene til disse vektorene, dvs. lik x1*x2+y1*y2

|a|*|b|-produktet av vektorlengder er lik √((x1)^2+(y1)^2)*√((x2)^2+(y2)^2).

Dette betyr at cosinus til vinkelen mellom vektorene er lik:

CosA=(x1*x2+y1*y2)/√((x1)^2+(y1)^2)*√((x2)^2+(y2)^2)

Når vi kjenner cosinus til en vinkel, kan vi beregne dens sinus. La oss diskutere hvordan du gjør dette:

Hvis cosinus til en vinkel er positiv, ligger denne vinkelen i 1 eller 4 kvadranter, som betyr at sinusen er enten positiv eller negativ. Men siden vinkelen mellom vektorene er mindre enn eller lik 180 grader, er sinusen positiv. Vi resonnerer på samme måte hvis cosinus er negativ.

SinA=√(1-cos^2A)=√(1-((x1*x2+y1*y2)/√((x1)^2+(y1)^2)*√((x2)^2+( y2)^2))^2)

Det var det)))) lykke til med å finne ut av det)))

Dmitry Levishchev

Det faktum at det er umulig å direkte sinus er ikke sant.
I tillegg til formelen:
(a,b)=|a|*|b|*cos A
Det er også denne:
||=|a|*|b|*sin A
Det vil si at i stedet for skalarproduktet kan du ta modulen til vektorproduktet.

Punktprodukt av vektorer

Vi fortsetter å håndtere vektorer. Ved første leksjon Vektorer for dummies Vi så på konseptet med en vektor, handlinger med vektorer, vektorkoordinater og de enkleste problemene med vektorer. Hvis du kom til denne siden for første gang fra en søkemotor, anbefaler jeg på det sterkeste å lese introduksjonsartikkelen ovenfor, siden for å mestre materialet må du være kjent med begrepene og notasjonene jeg bruker, ha grunnleggende kunnskap om vektorer og kunne løse grunnleggende problemer. Denne leksjonen er en logisk fortsettelse av emnet, og i den vil jeg analysere i detalj typiske oppgaver som bruker skalarproduktet til vektorer. Dette er en VELDIG VIKTIG aktivitet.. Prøv å ikke hoppe over eksemplene; de kommer med en nyttig bonus - øvelse vil hjelpe deg å konsolidere materialet du har dekket og bli bedre til å løse vanlige problemer innen analytisk geometri.

Addisjon av vektorer, multiplikasjon av en vektor med et tall.... Det ville være naivt å tro at matematikere ikke har funnet på noe annet. I tillegg til handlingene som allerede er diskutert, er det en rekke andre operasjoner med vektorer, nemlig: prikkprodukt av vektorer, vektorprodukt av vektorer Og blandet produkt av vektorer. Det skalare produktet av vektorer er kjent for oss fra skolen, de to andre produktene tilhører tradisjonelt kurset i høyere matematikk. Emnene er enkle, algoritmen for å løse mange problemer er grei og forståelig. Den eneste tingen. Det er en anstendig mengde informasjon, så det er uønsket å prøve å mestre og løse ALT PÅ EN GANG. Dette gjelder spesielt for dummies; tro meg, forfatteren vil absolutt ikke føle seg som Chikatilo fra matematikk. Vel, ikke fra matematikk, selvfølgelig, heller =) Mer forberedte studenter kan bruke materialer selektivt, i en viss forstand, "få" den manglende kunnskapen; for deg vil jeg være en harmløs grev Dracula =)

La oss endelig åpne døren og se med entusiasme på hva som skjer når to vektorer møter hverandre...

Definisjon av skalarproduktet til vektorer.
Egenskaper til skalarproduktet. Typiske oppgaver

Konseptet med et prikkprodukt

Først om vinkel mellom vektorer. Jeg tror alle intuitivt forstår hva vinkelen mellom vektorer er, men for sikkerhets skyld, litt mer detaljer. La oss vurdere gratis vektorer som ikke er null og . Hvis du plotter disse vektorene fra et vilkårlig punkt, vil du få et bilde som mange allerede har forestilt seg mentalt:

Jeg innrømmer, her beskrev jeg situasjonen bare på forståelsesnivå. Hvis du trenger en streng definisjon av vinkelen mellom vektorer, vennligst se læreboken; for praktiske problemer er det i prinsippet ikke til nytte for oss. Også HER OG HERI vil jeg ignorere nullvektorer på steder på grunn av deres lave praktiske betydning. Jeg har laget en reservasjon spesielt for avanserte besøkende som kan bebreide meg for den teoretiske ufullstendigheten til noen påfølgende uttalelser.

kan ta verdier fra 0 til 180 grader (0 til radianer), inklusive. Analytisk er dette faktum skrevet i form av en dobbel ulikhet:

eller

(i radianer).

I litteraturen blir vinkelsymbolet ofte hoppet over og enkelt skrevet.

Definisjon: Skalarproduktet av to vektorer er et TALL lik produktet av lengdene til disse vektorene og cosinus til vinkelen mellom dem:

Nå er dette en ganske streng definisjon.

Vi fokuserer på viktig informasjon:

Betegnelse: skalarproduktet er betegnet med eller ganske enkelt.

Resultatet av operasjonen er et NUMMER: Vektor multipliseres med vektor, og resultatet er et tall. Faktisk, hvis lengdene på vektorer er tall, er cosinus til en vinkel et tall, så deres produkt vil også være et tall.

Bare et par eksempler på oppvarming:

Eksempel 1

Løsning: Vi bruker formelen . I dette tilfellet:

Svar:

Cosinusverdier finnes i trigonometrisk tabell. Jeg anbefaler å skrive det ut - det vil være nødvendig i nesten alle deler av tårnet og vil være nødvendig mange ganger.

Fra et rent matematisk synspunkt er det skalære produktet dimensjonsløst, det vil si at resultatet, i dette tilfellet, bare er et tall, og det er det. Fra et synspunkt av fysikkproblemer har et skalarprodukt alltid en viss fysisk betydning, det vil si at etter resultatet må en eller annen fysisk enhet angis. Et kanonisk eksempel på å beregne arbeidet til en kraft kan finnes i en hvilken som helst lærebok (formelen er nøyaktig et skalarprodukt). Arbeidet til en kraft måles i Joule, derfor vil svaret skrives ganske spesifikt, for eksempel .

Eksempel 2

Finn hvis , og vinkelen mellom vektorene er lik .

Dette er et eksempel du kan løse på egen hånd, svaret er på slutten av leksjonen.

Vinkel mellom vektorer og punktproduktverdi

I eksempel 1 viste det seg at skalarproduktet var positivt, og i eksempel 2 viste det seg å være negativt. La oss finne ut hva tegnet til skalarproduktet avhenger av. La oss se på formelen vår: . Lengdene til vektorer som ikke er null er alltid positive: , så tegnet kan bare avhenge av verdien av cosinus.

Merk: For bedre å forstå informasjonen nedenfor, er det bedre å studere cosinusgrafen i manualen Funksjonsgrafer og egenskaper. Se hvordan cosinus oppfører seg på segmentet.

Som allerede nevnt, kan vinkelen mellom vektorene variere innenfor , og følgende tilfeller er mulige:

1) Hvis hjørne mellom vektorer krydret: (fra 0 til 90 grader), deretter , Og punktproduktet vil være positivt co-regissert, da regnes vinkelen mellom dem som null, og skalarproduktet vil også være positivt. Siden , forenkler formelen: .

2) Hvis hjørne mellom vektorer sløv: (fra 90 til 180 grader), da , og tilsvarende, prikkproduktet er negativt: . Spesialtilfelle: hvis vektorene motsatte retninger, så vurderes vinkelen mellom dem utvidet: (180 grader). Det skalære produktet er også negativt, siden

De omvendte utsagnene er også sanne:

1) Hvis , så er vinkelen mellom disse vektorene spiss. Alternativt er vektorene co-directional.

2) Hvis , så er vinkelen mellom disse vektorene stump. Alternativt er vektorene i motsatte retninger.

Men det tredje tilfellet er av spesiell interesse:

3) Hvis hjørne mellom vektorer rett: (90 grader), da skalarproduktet er null: . Det motsatte er også sant: hvis , da . Utsagnet kan formuleres kompakt som følger: Skalarproduktet av to vektorer er null hvis og bare hvis vektorene er ortogonale. Kort matematisk notasjon:

! Merk : La oss gjenta grunnleggende matematisk logikk: Et tosidig logisk konsekvensikon leses vanligvis "hvis og bare hvis", "hvis og bare hvis". Som du kan se, er pilene rettet i begge retninger - "fra dette følger dette, og omvendt - fra det følger dette." Hva er forresten forskjellen fra enveisfølge-ikonet? Ikonet sier bare det, at «av dette følger dette», og det er ikke et faktum at det motsatte er sant. For eksempel: , men ikke alle dyr er pantere, så i dette tilfellet kan du ikke bruke ikonet. Samtidig, i stedet for ikonet Kan bruk ensidig ikon. For eksempel, mens vi løste problemet, fant vi ut at vi konkluderte med at vektorene er ortogonale: - en slik oppføring vil være riktig, og enda mer passende enn .

Det tredje tilfellet har stor praktisk betydning, siden det lar deg sjekke om vektorer er ortogonale eller ikke. Vi vil løse dette problemet i den andre delen av leksjonen.

Egenskaper til dot-produktet

La oss gå tilbake til situasjonen når to vektorer co-regissert. I dette tilfellet er vinkelen mellom dem null, , og skalarproduktformelen har formen: .

Hva skjer hvis en vektor multipliseres med seg selv? Det er klart at vektoren er på linje med seg selv, så vi bruker den forenklede formelen ovenfor:

Nummeret ringes opp skalar firkant vektor, og er betegnet som .

Dermed, skalarkvadraten til en vektor er lik kvadratet på lengden til den gitte vektoren:

Fra denne likheten kan vi få en formel for å beregne lengden på vektoren:

Så langt virker det uklart, men målene for leksjonen vil sette alt på plass. For å løse problemene trenger vi også egenskapene til punktproduktet.

For vilkårlige vektorer og et hvilket som helst tall, er følgende egenskaper sanne:

1) – kommutativ eller kommutativ skalær produktlov.

2) – distribusjon eller distributive skalær produktlov. Du kan ganske enkelt åpne brakettene.

3) – assosiativ eller assosiativ skalær produktlov. Konstanten kan utledes fra skalarproduktet.

Ofte blir alle slags egenskaper (som også må bevises!) av studentene oppfattet som unødvendig søppel, som bare må memoreres og trygt glemmes umiddelbart etter eksamen. Det ser ut til at det som er viktig her, alle vet allerede fra første klasse at omorganisering av faktorene ikke endrer produktet: . Jeg må advare deg om at i høyere matematikk er det lett å rote til ting med en slik tilnærming. Så for eksempel er den kommutative egenskapen ikke sann for algebraiske matriser. Det er heller ikke sant for vektorprodukt av vektorer. Derfor er det som et minimum bedre å fordype seg i egenskaper du kommer over i et høyere matematikkkurs for å forstå hva du kan og ikke kan gjøre.

Eksempel 3

Løsning: Først, la oss avklare situasjonen med vektoren. Hva er dette for noe? Summen av vektorer er en veldefinert vektor, som er betegnet med . En geometrisk tolkning av handlinger med vektorer finner du i artikkelen Vektorer for dummies. Den samme persillen med en vektor er summen av vektorene og .

Så, i henhold til tilstanden, er det nødvendig å finne det skalære produktet. I teorien må du bruke arbeidsformelen , men problemet er at vi ikke kjenner lengdene på vektorene og vinkelen mellom dem. Men tilstanden gir lignende parametere for vektorer, så vi tar en annen rute:

(1) Bytt ut uttrykkene til vektorene.

(2) Vi åpner parentesene i henhold til regelen for å multiplisere polynomer; en vulgær tungetråder finner du i artikkelen Komplekse tall eller Integrering av en brøk-rasjonell funksjon. Jeg vil ikke gjenta meg selv =) Forresten, den distributive egenskapen til skalarproduktet lar oss åpne parentesene. Vi har rett.

(3) I de første og siste leddene skriver vi kompakt skalarkvadrene til vektorene: . I det andre leddet bruker vi commuterbarheten til skalarproduktet: .

(4) Vi presenterer lignende termer: .

(5) I det første leddet bruker vi skalarkvadratformelen, som ble nevnt for ikke så lenge siden. I siste termin fungerer følgelig det samme: . Vi utvider det andre leddet i henhold til standardformelen .

(6) Erstatter disse betingelsene , og utfør NØYE de endelige beregningene.

Svar:

En negativ verdi av skalarproduktet angir det faktum at vinkelen mellom vektorene er stump.

Problemet er typisk, her er et eksempel for å løse det selv:

Eksempel 4

Finn skalarproduktet av vektorer og hvis det er kjent det .

Nå en annen vanlig oppgave, bare for den nye formelen for lengden til en vektor. Notasjonen her vil være litt overlappende, så for klarhetens skyld vil jeg skrive den om med en annen bokstav:

Eksempel 5

Finn lengden på vektoren if .

Løsning vil være som følger:

(1) Vi leverer uttrykket for vektoren.

(2) Vi bruker lengdeformelen: , og hele uttrykket ve fungerer som vektoren "ve".

(3) Vi bruker skoleformelen for kvadratet av summen. Legg merke til hvordan det fungerer her på en merkelig måte: – faktisk er det kvadratet av forskjellen, og faktisk er det slik det er. De som ønsker kan omorganisere vektorene: - det samme skjer, opp til omorganiseringen av begrepene.

(4) Det som følger er allerede kjent fra de to foregående problemene.

Svar:

Siden vi snakker om lengde, ikke glem å angi dimensjonen - "enheter".

Eksempel 6

Finn lengden på vektoren if .

Dette er et eksempel du kan løse på egen hånd. Full løsning og svar på slutten av timen.

Vi fortsetter å presse nyttige ting ut av prikkproduktet. La oss se på formelen vår igjen . Ved å bruke proporsjonsregelen tilbakestiller vi lengdene på vektorene til nevneren på venstre side:

La oss bytte ut delene:

Hva er meningen med denne formelen? Hvis lengden av to vektorer og deres skalarprodukt er kjent, kan vi beregne cosinus til vinkelen mellom disse vektorene, og følgelig selve vinkelen.

Er et punktprodukt et tall? Antall. Er vektorlengder tall? Tall. Dette betyr at en brøk også er et tall. Og hvis cosinus til vinkelen er kjent: , så ved å bruke den inverse funksjonen er det enkelt å finne selve vinkelen: .

Eksempel 7

Finn vinkelen mellom vektorene og hvis det er kjent at .

Løsning: Vi bruker formelen:

På sluttfasen av beregningene ble en teknisk teknikk brukt - eliminering av irrasjonalitet i nevneren. For å eliminere irrasjonalitet multipliserte jeg telleren og nevneren med .

Så hvis , Det:

Verdiene til inverse trigonometriske funksjoner kan finnes av trigonometrisk tabell. Selv om dette skjer sjelden. I problemer med analytisk geometri, mye oftere noen klønete bjørn som , og verdien av vinkelen må finnes omtrentlig ved hjelp av en kalkulator. Faktisk vil vi se et slikt bilde mer enn en gang.

Svar:

Igjen, ikke glem å angi dimensjonene - radianer og grader. Personlig, for å åpenbart "løse alle spørsmål", foretrekker jeg å indikere begge (med mindre betingelsen, selvfølgelig, krever at svaret bare presenteres i radianer eller bare i grader).

Nå kan du selvstendig takle en mer kompleks oppgave:

Eksempel 7*

Det er gitt lengdene til vektorene og vinkelen mellom dem. Finn vinkelen mellom vektorene , .

Oppgaven er ikke så vanskelig som den er i flere trinn.
La oss se på løsningsalgoritmen:

1) I henhold til betingelsen må du finne vinkelen mellom vektorene og , så du må bruke formelen .

2) Finn skalarproduktet (se eksempel nr. 3, 4).

3) Finn lengden på vektoren og lengden på vektoren (se eksempel nr. 5, 6).

4) Slutten på løsningen faller sammen med eksempel nr. 7 - vi kjenner tallet , noe som betyr at det er enkelt å finne selve vinkelen:

En kort løsning og svar på slutten av timen.

Den andre delen av leksjonen er viet det samme skalarproduktet. Koordinater. Det blir enda enklere enn i første del.

Punktprodukt av vektorer,
gitt av koordinater på ortonormal basis

Svar:

Unødvendig å si er det mye hyggeligere å håndtere koordinater.

Eksempel 14

Finn skalarproduktet av vektorer og hvis

Dette er et eksempel du kan løse på egen hånd. Her kan du bruke assosiativiteten til operasjonen, det vil si ikke telle , men umiddelbart ta trippelen utenfor skalarproduktet og gange den med sist. Løsningen og svaret er på slutten av leksjonen.

På slutten av avsnittet, et provoserende eksempel på beregning av lengden på en vektor:

Eksempel 15

Finn lengdene på vektorer , Hvis

Løsning: Metoden i forrige seksjon foreslår seg selv igjen: men det er en annen måte:

La oss finne vektoren:

Og lengden i henhold til den trivielle formelen :

Punktproduktet er ikke aktuelt her i det hele tatt!

Det er heller ikke nyttig når du beregner lengden på en vektor:
Stoppe. Bør vi ikke dra nytte av den åpenbare egenskapen til vektorlengde? Hva kan du si om lengden på vektoren? Denne vektoren er 5 ganger lengre enn vektoren. Retningen er motsatt, men dette spiller ingen rolle, for vi snakker om lengde. Det er klart at lengden på vektoren er lik produktet modul tall per vektorlengde:
– modultegnet «spiser» tallets mulige minus.

Dermed:

Svar:

Formel for cosinus til vinkelen mellom vektorer som er spesifisert av koordinater

Nå har vi fullstendig informasjon for å bruke den tidligere utledede formelen for cosinus til vinkelen mellom vektorer uttrykk gjennom vektorkoordinater:

Cosinus til vinkelen mellom planvektorer og spesifisert på ortonormal basis, uttrykt med formelen:
.

Cosinus av vinkelen mellom romvektorer, spesifisert på ortonormal basis, uttrykt med formelen:

Eksempel 16

Gitt tre hjørner av en trekant. Finn (topvinkel).

Løsning: I henhold til forholdene er tegningen ikke nødvendig, men likevel:

Den nødvendige vinkelen er markert med en grønn bue. La oss umiddelbart huske skolebetegnelsen på en vinkel: – spesiell oppmerksomhet til gjennomsnitt bokstav - dette er toppunktet til vinkelen vi trenger. For korthets skyld kan du også skrive ganske enkelt .

Fra tegningen er det ganske tydelig at trekantens vinkel sammenfaller med vinkelen mellom vektorene og med andre ord: .

Det er tilrådelig å lære hvordan man utfører analysen mentalt.

La oss finne vektorene:

La oss beregne skalarproduktet:

Og lengdene på vektorene:

Cosinus av vinkel:

Dette er nøyaktig rekkefølgen for å fullføre oppgaven som jeg anbefaler for dummies. Mer avanserte lesere kan skrive beregningene "på én linje":

Her er et eksempel på en "dårlig" cosinusverdi. Den resulterende verdien er ikke endelig, så det er liten vits i å kvitte seg med irrasjonalitet i nevneren.

La oss finne selve vinkelen:

Hvis du ser på tegningen, er resultatet ganske plausibelt. For å sjekke kan vinkelen også måles med vinkelmåler. Ikke skade skjermdekselet =)

Svar:

I svaret glemmer vi ikke det spurte om vinkelen til en trekant(og ikke om vinkelen mellom vektorene), ikke glem å angi det nøyaktige svaret: og den omtrentlige verdien av vinkelen: , funnet ved hjelp av en kalkulator.

De som har hatt glede av prosessen kan beregne vinklene og verifisere gyldigheten av den kanoniske likheten

Eksempel 17

En trekant er definert i rommet av koordinatene til toppene. Finn vinkelen mellom sidene og

Dette er et eksempel du kan løse på egen hånd. Full løsning og svar på slutten av timen

En kort siste del vil bli viet til anslag, som også involverer et skalært produkt:

Projeksjon av en vektor på en vektor. Projeksjon av en vektor på koordinatakser.
Retningskosinus til en vektor

Tenk på vektorene og:

La oss projisere vektoren på vektoren; for å gjøre dette utelater vi fra begynnelsen og slutten av vektoren perpendikulære til vektor (grønne stiplede linjer). Tenk deg at lysstråler faller vinkelrett på vektoren. Da vil segmentet (rød linje) være "skyggen" til vektoren. I dette tilfellet er projeksjonen av vektoren på vektoren LENGDEN til segmentet. Det vil si at PROJEKSJON ER ET TALL.

Dette NUMMERET er angitt som følger: , "stor vektor" angir vektoren HVILKEN prosjekt, "liten underskriftsvektor" angir vektoren PÅ som er projisert.

Selve oppføringen lyder slik: "projeksjon av vektor "a" på vektor "være".

Hva skjer hvis vektoren "be" er "for kort"? Vi tegner en rett linje som inneholder vektoren "være". Og vektor "a" vil allerede bli projisert til retningen til vektoren "være", ganske enkelt - til den rette linjen som inneholder vektoren "være". Det samme vil skje hvis vektoren "a" blir utsatt i det trettiende riket - den vil fortsatt lett projiseres på den rette linjen som inneholder vektoren "be".

Hvis vinkelen mellom vektorer krydret(som på bildet), da

Hvis vektorene ortogonal, da (projeksjonen er et punkt hvis dimensjoner anses som null).

Hvis vinkelen mellom vektorer sløv(i figuren, omorganiser vektorpilen mentalt), deretter (samme lengde, men tatt med et minustegn).

La oss plotte disse vektorene fra ett punkt:

Det er klart at når en vektor beveger seg, endres ikke projeksjonen

Bruksanvisning

La to ikke-null vektorer gis på planet, plottet fra ett punkt: vektor A med koordinater (x1, y1) B med koordinater (x2, y2). Hjørne mellom dem er betegnet som θ. For å finne gradmålet for vinkelen θ må du bruke definisjonen av skalarproduktet.

Skalarproduktet av to vektorer som ikke er null er et tall som er lik produktet av lengdene til disse vektorene og cosinus til vinkelen mellom dem, det vil si (A,B)=|A|*|B|*cos( θ). Nå må du uttrykke cosinus til vinkelen fra dette: cos(θ)=(A,B)/(|A|*|B|).

Skalarproduktet kan også finnes ved å bruke formelen (A,B)=x1*x2+y1*y2, siden produktet av to ikke-null-vektorer er lik summen av produktene til deres tilsvarende vektorer. Hvis skalarproduktet av vektorer som ikke er null er lik null, er vektorene vinkelrette (vinkelen mellom dem er 90 grader) og ytterligere beregninger kan utelates. Hvis skalarproduktet til to vektorer er positivt, så er vinkelen mellom disse vektorer akutt, og hvis negativ, så er vinkelen stump.

Beregn nå lengdene til vektorene A og B ved å bruke formlene: |A|=√(x1²+y1²), |B|=√(x2²+y2²). Lengden til en vektor beregnes som kvadratroten av summen av kvadratene av dens koordinater.

Erstatt de funnet verdiene for skalarproduktet og vektorlengdene i formelen for vinkelen oppnådd i trinn 2, det vil si cos(θ)=(x1*x2+y1*y2)/(√(x1²+y1²)+ √(x2²+y2²)). Nå, å vite verdien av , for å finne gradmålet for vinkelen mellom vektorer du må bruke Bradis-tabellen eller ta fra denne: θ=arccos(cos(θ)).

Hvis vektorene A og B er gitt i tredimensjonalt rom og har henholdsvis koordinater (x1, y1, z1) og (x2, y2, z2), så legges det til en koordinat til når man finner cosinus til vinkelen. I dette tilfellet, cosinus: cos(θ)=(x1*x2+y1*y2+z1*z2)/(√(x1²+y1²+z1²)+√(x2²+y2²+z2²)).

Nyttige råd

Hvis to vektorer ikke er plottet fra samme punkt, må du kombinere opprinnelsen til disse vektorene for å finne vinkelen mellom dem ved parallell oversettelse.
Vinkelen mellom to vektorer kan ikke være mer enn 180 grader.

Kilder:

hvordan beregne vinkelen mellom vektorer
Vinkel mellom en rett linje og et plan

For å løse mange problemer, både anvendte og teoretiske, i fysikk og lineær algebra er det nødvendig å beregne vinkelen mellom vektorer. Denne tilsynelatende enkle oppgaven kan forårsake mange vanskeligheter hvis du ikke tydelig forstår essensen av skalarproduktet og hvilken verdi som vises som et resultat av dette produktet.

Bruksanvisning

Vinkelen mellom vektorer i et vektor lineært rom er minimumsvinkelen som samretning av vektorene oppnås ved. Tegner en av vektorene rundt startpunktet. Fra definisjonen blir det åpenbart at vinkelverdien ikke kan overstige 180 grader (se trinn).

I dette tilfellet antas det ganske riktig at i lineært rom, når du utfører parallell overføring av vektorer, endres ikke vinkelen mellom dem. Derfor, for den analytiske beregningen av vinkelen, spiller den romlige orienteringen til vektorene ingen rolle.

Resultatet av et punktprodukt er et tall, ellers en skalar. Husk (dette er viktig å vite) å unngå feil i videre beregninger. Formelen for skalarproduktet som ligger på planet eller i vektorrommet har formen (se figuren for trinnet).

Hvis vektorene er plassert i rommet, utfør beregningen på lignende måte. Det eneste uttrykket for en termin i utbyttet vil være begrepet for søknaden, dvs. den tredje komponenten av vektoren. Følgelig, når du beregner modulen til vektorer, må z-komponenten også tas i betraktning, og for vektorer lokalisert i rommet transformeres det siste uttrykket som følger (se figur 6 for trinn).

En vektor er et segment med en gitt retning. Vinkelen mellom vektorene har en fysisk betydning, for eksempel når man skal finne lengden på projeksjonen av vektoren på aksen.

Bruksanvisning

Vinkelen mellom to vektorer som ikke er null ved å beregne punktproduktet. Per definisjon er produktet lik produktet av lengdene og vinkelen mellom dem. På den annen side beregnes skalarproduktet for to vektorer a med koordinater (x1; y1) og b med koordinater (x2; y2): ab = x1x2 + y1y2. Av disse to metodene er punktproduktet lett vinkelen mellom vektorene.

Finn lengdene eller størrelsen på vektorene. For våre vektorer a og b: |a| = (x1² + y1²)^1/2, |b| = (x2² + y2²)^1/2.

Finn skalarproduktet til vektorene ved å multiplisere deres koordinater i par: ab = x1x2 + y1y2. Fra definisjonen av skalarproduktet ab = |a|*|b|*cos α, hvor α er vinkelen mellom vektorene. Da får vi at x1x2 + y1y2 = |a|*|b|*cos α. Deretter cos α = (x1x2 + y1y2)/(|a|*|b|) = (x1x2 + y1y2)/((x1² + y1²)(x2² + y2²))^1/2.

Finn vinkel α ved hjelp av Bradis-tabeller.

Video om emnet

Merk

Det skalare produktet er en skalar karakteristikk av lengdene til vektorer og vinkelen mellom dem.

Plan er et av de grunnleggende konseptene innen geometri. Et plan er en overflate der følgende utsagn er sann: Enhver rett linje som forbinder to av punktene tilhører denne overflaten. Fly er vanligvis betegnet med de greske bokstavene α, β, γ, etc. To plan krysser alltid langs en rett linje som hører til begge planene.

Bruksanvisning

La oss vurdere halvplanene α og β dannet av skjæringspunktet mellom . Vinkelen dannet av en rett linje a og to halvplan α og β av en dihedral vinkel. I dette tilfellet, halvplanene som danner en dihedral vinkel med ansiktene deres, den rette linjen a langs hvilken planene krysser kalles kanten av dihedral vinkelen.

Dihedral vinkel, som plan vinkel, er i grader. For å lage en dihedral vinkel må du velge et vilkårlig punkt O på overflaten. I begge trekkes to stråler a gjennom punkt O. Vinkelen AOB som dannes kalles den lineære dihedriske vinkelen a.

Så la vektoren V = (a, b, c) og planet A x + B y + C z = 0 gis, hvor A, B og C er koordinatene til normalen N. Deretter cosinus til vinkelen α mellom vektorene V og N er lik: cos α = (a A + b B + c C)/(√(a² + b² + c²) √(A² + B² + C²)).

For å beregne vinkelen i grader eller radianer, må du beregne invers til cosinus-funksjonen fra det resulterende uttrykket, dvs. arccosine:α = аrsсos ((a A + b B + c C)/(√(a² + b² + c²) √(A² + B² + C²))).

Eksempel: finn hjørne mellom vektor(5, -3, 8) og flyet, gitt ved den generelle ligningen 2 x – 5 y + 3 z = 0. Løsning: skriv ned koordinatene til normalvektoren til planet N = (2, -5, 3). Bytt alle kjente verdier inn i den gitte formelen: cos α = (10 + 15 + 24)/√3724 ≈ 0,8 → α = 36,87°.

Video om emnet

Lag en likhet og isoler cosinus fra den. I følge en formel er skalarproduktet av vektorer lik lengdene deres multiplisert med hverandre og med cosinus vinkel, og på den andre - summen av produktene av koordinater langs hver av aksene. Ved å sette likhetstegn mellom begge formlene kan vi konkludere med at cosinus vinkel må være lik forholdet mellom summen av produktene av koordinater og produktet av lengdene til vektorer.

Skriv ned den resulterende likheten. For å gjøre dette må du angi begge vektorene. Anta at de er gitt i et tredimensjonalt kartesisk system og startpunktene deres er i et koordinatrutenett. Retningen og størrelsen på den første vektoren vil bli gitt av punktet (X1,Y₁,Z1), den andre - (X₂,Y₂,Z₂), og vinkelen vil bli betegnet med bokstaven γ. Da kan lengdene til hver av vektorene for eksempel være ved å bruke Pythagoras teorem for , dannet av deres projeksjoner på hver av koordinataksene: √(X₁² + Y₁² + Z₁²) og √(X₂² + Y₂² + Z₂²). Erstatt disse uttrykkene i formelen formulert i forrige trinn, og du vil få likheten: cos(γ) = (X₁*X₂ + Y₁*Y₂ + Z₁*Z₂) / (√(X₁² + Y₁² + Z₁²) * √(X₂²) + Y22 + Z22 )).

Bruk det faktum at summen av kvadrat sinus og co sinus fra vinkel av samme mengde gir alltid en. Dette betyr at ved å heve det som ble oppnådd på forrige trinn for sinus kvadratisk og trukket fra en og deretter kvadratroten, vil du løse oppgaven. Skriv den nødvendige formelen i generell form: sin(γ) = √(1-cos(γ)²) = √(1 - ((X₁*X₂ + Y₁*Y₂ + Z₁*Z₂) / (√(X₁² + Y₁² + Z₁² )*√ (x₂² + y₂² + z₂²)) = ² (1 - (x₁*x₂ + y₁*y₂ + z₁*z₂) ² / ((x₁² + y₁² + z₁₂²)² + z₁₂²)² + z₁₂²)²)* .

Når du studerer geometri, oppstår det mange spørsmål om temaet vektorer. Eleven opplever særlig vanskeligheter når det er nødvendig å finne vinklene mellom vektorer.

Grunnleggende vilkår

Før du ser på vinkler mellom vektorer, er det nødvendig å bli kjent med definisjonen av en vektor og konseptet med en vinkel mellom vektorer.

En vektor er et segment som har en retning, det vil si et segment som begynnelsen og slutten er definert for.

Vinkelen mellom to vektorer på et plan som har en felles opprinnelse er den minste av vinklene med mengden som en av vektorene må flyttes rundt fellespunktet til retningene deres faller sammen.

Formel for løsning

Etter å ha mottatt verdien av cosinus til vinkelen, kan du beregne verdien av selve vinkelen ved hjelp av en kalkulator eller ved hjelp av en trigonometrisk tabell.

Eksempel

Først av alt vil det være mer praktisk å beregne verdiene til vektorlengdene og deres skalarprodukt som er nødvendig for løsningen. Ved å bruke beskrivelsen presentert ovenfor får vi:

Ved å erstatte de oppnådde verdiene i formelen, beregner vi verdien av cosinus til ønsket vinkel:

Beregne en vinkel i n-dimensjonalt rom

I geometri er det ofte problemer med rom som har mer enn tre dimensjoner. Men for dem ser algoritmen for å finne svaret lik ut.

Forskjellen mellom 0 og 180 grader

Spesifikke vektorer

Etter å ha funnet vinklene mellom vektorene, kan du finne en av de spesielle typene, i tillegg til de med- og motsatte som er beskrevet ovenfor.

Flere vektorer parallelle med ett plan kalles coplanar.
Vektorer som er like i lengde og retning kalles like.
Vektorer som ligger på samme rette linje, uavhengig av retning, kalles kollineære.
Hvis lengden på en vektor er null, det vil si at dens begynnelse og slutt faller sammen, kalles den null, og hvis den er én, så enhet.

Skalært produkt av vektorer (heretter referert til som SP). Kjære venner! Matematikkeksamenen inkluderer en gruppe oppgaver om å løse vektorer. Vi har allerede vurdert noen problemer. Du kan se dem i kategorien "Vektorer". Generelt er teorien om vektorer ikke komplisert, det viktigste er å studere den konsekvent. Beregninger og operasjoner med vektorer i skolematematikkkurset er enkle, formlene er ikke kompliserte. Se på. I denne artikkelen vil vi analysere problemer på SP av vektorer (inkludert i Unified State Examination). Nå "nedsenking" i teorien:

H For å finne koordinatene til en vektor, må du trekke fra koordinatene til dens endede tilsvarende koordinatene for opprinnelsen

Og videre:

*Vektorlengde (modul) bestemmes som følger:

Disse formlene må huskes!!!

La oss vise vinkelen mellom vektorene:

Det er klart at det kan variere fra 0 til 180 0(eller i radianer fra 0 til Pi).

Vi kan trekke noen konklusjoner om tegnet til skalarproduktet. Lengdene på vektorer har en positiv verdi, dette er åpenbart. Dette betyr at tegnet til skalarproduktet avhenger av verdien av cosinus til vinkelen mellom vektorene.

Mulige tilfeller:

1. Hvis vinkelen mellom vektorene er spiss (fra 0 0 til 90 0), vil cosinus til vinkelen ha en positiv verdi.

2. Hvis vinkelen mellom vektorene er stump (fra 90 0 til 180 0), vil cosinus til vinkelen ha en negativ verdi.

*Ved null grader, det vil si når vektorene har samme retning, er cosinus lik én, og følgelig vil resultatet være positivt.

Ved 180 o, det vil si når vektorene har motsatte retninger, er cosinus lik minus én,og følgelig vil resultatet være negativt.

Nå er det VIKTIGE POENGET!

Ved 90 o, det vil si når vektorene er vinkelrett på hverandre, er cosinus lik null, og derfor er SP lik null. Dette faktum (konsekvens, konklusjon) brukes til å løse mange problemer der vi snakker om den relative plasseringen av vektorer, inkludert i problemer inkludert i den åpne banken av matematikkoppgaver.

La oss formulere påstanden: skalarproduktet er lik null hvis og bare hvis disse vektorene ligger på vinkelrette linjer.

Så, formlene for SP-vektorer:

Hvis koordinatene til vektorene eller koordinatene til punktene for deres begynnelse og slutt er kjent, kan vi alltid finne vinkelen mellom vektorene:

La oss vurdere oppgavene:

27724 Finn skalarproduktet av vektorene a og b.

Vi kan finne skalarproduktet av vektorer ved å bruke en av to formler:

Vinkelen mellom vektorene er ukjent, men vi kan enkelt finne koordinatene til vektorene og deretter bruke den første formelen. Siden opprinnelsen til begge vektorene faller sammen med opprinnelsen til koordinatene, er koordinatene til disse vektorene lik koordinatene til endene deres, dvs.

Hvordan finne koordinatene til en vektor er beskrevet i.

Vi beregner:

Svar: 40

La oss finne koordinatene til vektorene og bruke formelen:

For å finne koordinatene til en vektor, er det nødvendig å trekke de tilsvarende koordinatene til begynnelsen fra koordinatene til slutten av vektoren, som betyr