Formel for det totale arealet av en avkortet pyramide. Online kalkulator for å beregne overflatearealet til en avkortet pyramide

09.10.2014
Forforsterkeren vist på figuren er designet for bruk med 4 typer lydkilder, for eksempel mikrofon, CD-spiller, radio osv. I dette tilfellet har forforsterkeren én inngang, som kan endre følsomheten fra 50 mV til 500 mV. forsterker utgangsspenning 1000mV. Ved å koble til forskjellige signalkilder når du bytter bryter SA1, vil vi alltid få...
20.09.2014
Strømforsyningen er designet for en belastning på 15…20 W. Kilden er laget i henhold til kretsen til en enkeltsyklus puls høyfrekvensomformer. En transistor brukes til å sette sammen en selvoscillator som opererer ved en frekvens på 20…40 kHz. Frekvensen justeres med kapasitans C5. Elementene VD5, VD6 og C6 danner oscillatorstartkretsen. I sekundærkretsen etter brolikeretteren er det en konvensjonell lineær stabilisator på en mikrokrets, som lar deg ha ...
28.09.2014
Figuren viser en generator basert på mikrokretsen K174XA11, hvis frekvens styres av spenning. Ved å endre kapasitansen C1 fra 560 til 4700 pF kan man få et bredt spekter av frekvenser, mens frekvensen justeres ved å endre motstand R4. Så for eksempel fant forfatteren ut at med C1 = 560pF, kan frekvensen til generatoren endres ved hjelp av R4 fra 600Hz til 200kHz, ...
03.10.2014
Enheten er designet for å drive en kraftig ULF, den er designet for en utgangsspenning på ±27V og en belastning på opptil 3A på hver arm. Strømforsyningen er bipolar, laget på komplette kompositttransistorer KT825-KT827. Begge armene til stabilisatoren er laget i henhold til samme krets, men i den andre armen (den er ikke vist) endres polariteten til kondensatorene og transistorer av en annen type brukes ...

er et polyeder som er dannet av bunnen av pyramiden og en seksjon parallelt med den. Vi kan si at en avkortet pyramide er en pyramide med toppen avskåret. Denne figuren har mange unike egenskaper:

Sideflatene til pyramiden er trapeser;
Sidekantene til en vanlig avkortet pyramide er av samme lengde og skrånende til basen i samme vinkel;
Basene er lignende polygoner;
I en vanlig avkortet pyramide er ansiktene identiske likebenede trapeser, hvis areal er likt. De er også tilbøyelige til basen i en vinkel.

Formelen for det laterale overflatearealet til en avkortet pyramide er summen av områdene på sidene:

Siden sidene av en avkortet pyramide er trapeser, må du bruke formelen for å beregne parametrene trapesformet område. For en vanlig avkortet pyramide kan du bruke en annen formel for å beregne arealet. Siden alle sidene, flatene og vinklene ved basen er like, er det mulig å bruke omkretsene til basen og apotemet, og også utlede arealet gjennom vinkelen ved basen.

Hvis, i henhold til forholdene i en vanlig avkortet pyramide, apotemet (høyden på siden) og lengdene på sidene av basen er gitt, kan arealet beregnes gjennom halvproduktet av summen av omkretsene til basene og apotemet:

La oss se på et eksempel på beregning av sideoverflatearealet til en avkortet pyramide.
Gitt en vanlig femkantet pyramide. Apotem l= 5 cm, lengden på kanten i den store basen er en= 6 cm, og kanten er ved den mindre basen b= 4 cm. Regn ut arealet av den avkortede pyramiden.

La oss først finne omkretsen til basene. Siden vi får en femkantet pyramide, forstår vi at basene er femkanter. Det betyr at basene inneholder en figur med fem like sider. La oss finne omkretsen til den større basen:

På samme måte finner vi omkretsen til den mindre basen:

Nå kan vi beregne arealet til en vanlig avkortet pyramide. Bytt dataene inn i formelen:

Dermed beregnet vi arealet til en vanlig avkortet pyramide gjennom omkretsene og apotem.

En annen måte å beregne sideoverflatearealet til en vanlig pyramide er formelen gjennom vinklene ved basen og arealet til disse selve basene.

La oss se på et eksempel på beregning. Vi husker at denne formelen bare gjelder for en vanlig avkortet pyramide.

La en vanlig firkantet pyramide gis. Kanten på den nedre basen er a = 6 cm, og kanten på den øvre basen er b = 4 cm. Den dihedrale vinkelen ved basen er β = 60°. Finn det laterale overflatearealet til en vanlig avkortet pyramide.

Først, la oss beregne arealet av basene. Siden pyramiden er regelmessig, er alle kantene på basene like med hverandre. Tatt i betraktning at basen er en firkant, forstår vi at det vil være nødvendig å beregne arealet av torget. Det er produktet av bredde og lengde, men i kvadrat er disse verdiene de samme. La oss finne arealet til den større basen:

Nå bruker vi de funnet verdiene for å beregne sideoverflatearealet.

Ved å vite noen få enkle formler, beregnet vi enkelt arealet til den laterale trapesen til en avkortet pyramide ved å bruke forskjellige verdier.

Pyramide. Avkuttet pyramide

Pyramide er et polyeder, hvor en av ansiktene er en polygon ( utgangspunkt ), og alle andre flater er trekanter med et felles toppunkt ( sideflater ) (Fig. 15). Pyramiden kalles riktig , hvis basen er en vanlig polygon og toppen av pyramiden projiseres inn i midten av basen (fig. 16). En trekantet pyramide med alle kanter like kalles tetraeder .

Sideribbe av en pyramide er siden av sideflaten som ikke tilhører basen Høyde pyramiden er avstanden fra toppen til basens plan. Alle sidekanter av en vanlig pyramide er like hverandre, alle sideflater er like likebente trekanter. Høyden på sideflaten til en vanlig pyramide trukket fra toppunktet kalles apotem . Diagonalt snitt kalles en del av en pyramide av et plan som går gjennom to sidekanter som ikke tilhører samme flate.

Sideoverflateareal pyramide er summen av arealene til alle sideflater. Totalt overflateareal kalles summen av arealene til alle sideflatene og grunnflaten.

Teoremer

1. Hvis alle sidekantene i en pyramide er like skråstilt til basens plan, projiseres toppen av pyramiden inn i midten av sirkelen som er omskrevet nær basen.

2. Hvis alle sidekantene til en pyramide har like lengder, projiseres toppen av pyramiden inn i midten av en sirkel som er omskrevet nær basen.

3. Hvis alle flatene i en pyramide er like skråstilt til basens plan, så projiseres toppen av pyramiden inn i midten av en sirkel innskrevet i basen.

For å beregne volumet til en vilkårlig pyramide, er den riktige formelen:

Hvor V- volum;

S base– basisareal;

H– høyden på pyramiden.

For en vanlig pyramide er følgende formler riktige:

Hvor s– baseomkrets;

h a– apotem;

H- høyde;

S full

S-siden

S base– basisareal;

V– volum av en vanlig pyramide.

Avkuttet pyramide kalt den delen av pyramiden som er innelukket mellom bunnen og et skjæreplan parallelt med bunnen av pyramiden (fig. 17). Vanlig avkortet pyramide kalt den delen av en vanlig pyramide som er innelukket mellom bunnen og et skjæreplan parallelt med bunnen av pyramiden.

Grunner avkortet pyramide - lignende polygoner. Sideflater – trapeser. Høyde av en avkortet pyramide er avstanden mellom dens baser. Diagonal en avkortet pyramide er et segment som forbinder toppene som ikke ligger på samme side. Diagonalt snitt er en del av en avkortet pyramide av et plan som går gjennom to sidekanter som ikke tilhører samme flate.

For en avkortet pyramide er følgende formler gyldige:

(4)

Hvor S 1 , S 2 - områder av øvre og nedre baser;

S full– totalt overflateareal;

S-siden– sideoverflateareal;

H- høyde;

V– volum av en avkortet pyramide.

For en vanlig avkortet pyramide er formelen riktig:

Hvor s 1 , s 2 - omkretsene til basene;

h a– apotem av en vanlig avkortet pyramide.

Eksempel 1. I en vanlig trekantet pyramide er den dihedrale vinkelen ved basen 60º. Finn tangenten til helningsvinkelen til sidekanten til basens plan.

Løsning. La oss lage en tegning (fig. 18).

Pyramiden er regelmessig, noe som betyr at ved basen er det en likesidet trekant og alle sideflatene er like likebente trekanter. Den dihedriske vinkelen ved basen er helningsvinkelen til pyramidens sideflate til basens plan. Den lineære vinkelen er vinkelen en mellom to perpendikulære: osv. Toppen av pyramiden projiseres i midten av trekanten (senteret av den omskrevne sirkelen og den innskrevne sirkelen til trekanten ABC). Helningsvinkelen til sidekanten (for eksempel S.B.) er vinkelen mellom selve kanten og dens projeksjon på basens plan. For ribben S.B. denne vinkelen vil være vinkelen SBD. For å finne tangenten må du kjenne beina SÅ Og O.B.. La lengden på segmentet BD tilsvarer 3 EN. Punktum OM linjestykke BD er delt inn i deler: og Fra finner vi SÅ: Fra finner vi:

Svar:

Eksempel 2. Finn volumet til en vanlig avkortet firkantet pyramide hvis diagonalene til basene er lik cm og cm, og høyden er 4 cm.

Løsning. For å finne volumet til en avkortet pyramide bruker vi formel (4). For å finne arealet til basene, må du finne sidene til basefirkantene, kjenne diagonalene deres. Sidene av basene er lik henholdsvis 2 cm og 8 cm. Dette betyr arealene til basene og Ved å erstatte alle dataene i formelen, beregner vi volumet til den avkortede pyramiden:

Svar: 112 cm 3.

Eksempel 3. Finn arealet av sideflaten til en vanlig trekantet avkortet pyramide, sidene på basen er 10 cm og 4 cm, og høyden på pyramiden er 2 cm.

Løsning. La oss lage en tegning (fig. 19).

Sideflaten til denne pyramiden er en likebenet trapes. For å beregne arealet til en trapes, må du vite basen og høyden. Basene er gitt i henhold til tilstanden, bare høyden forblir ukjent. Vi finner henne hvorfra EN 1 E vinkelrett fra et punkt EN 1 på planet til den nedre basen, EN 1 D– vinkelrett fra EN 1 pr AC. EN 1 E= 2 cm, siden dette er høyden på pyramiden. Å finne DE La oss lage en ekstra tegning som viser toppvisningen (fig. 20). Punktum OM– projeksjon av sentrene til øvre og nedre baser. siden (se fig. 20) og På den annen side OK– radius innskrevet i sirkelen og OM– radius innskrevet i en sirkel:

MK = DE.

I følge Pythagoras teorem fra

Sideflateområde:

Svar:

Eksempel 4. Ved bunnen av pyramiden ligger en likebenet trapes, hvis baser EN Og b (en> b). Hver sideflate danner en vinkel lik planet til bunnen av pyramiden j. Finn det totale overflatearealet til pyramiden.

Løsning. La oss lage en tegning (fig. 21). Totalt overflateareal av pyramiden SABCD lik summen av arealene og arealet av trapesen ABCD.

La oss bruke påstanden om at hvis alle flatene til pyramiden er like tilbøyelige til basens plan, så projiseres toppunktet inn i midten av sirkelen som er innskrevet i basen. Punktum OM– toppunktprojeksjon S ved bunnen av pyramiden. Triangel SOD er den ortogonale projeksjonen av trekanten CSD til basens plan. Ved å bruke teoremet om arealet av den ortogonale projeksjonen av en plan figur, får vi:

På samme måte betyr det Dermed ble problemet redusert til å finne området til trapesen ABCD. La oss tegne en trapes ABCD separat (fig. 22). Punktum OM– midten av en sirkel innskrevet i en trapes.

Siden en sirkel kan skrives inn i en trapes, så har vi eller Fra Pythagoras teorem

I denne leksjonen skal vi se på en avkortet pyramide, bli kjent med en vanlig avkortet pyramide og studere egenskapene deres.

La oss huske konseptet med en n-gonal pyramide ved å bruke eksemplet med en trekantet pyramide. Trekant ABC er gitt. Utenfor trekantens plan tas et punkt P, koblet til trekantens hjørner. Den resulterende polyedriske overflaten kalles en pyramide (fig. 1).

Ris. 1. Trekantet pyramide

La oss kutte pyramiden med et plan parallelt med planet til bunnen av pyramiden. Figuren som er oppnådd mellom disse planene kalles en avkortet pyramide (fig. 2).

Ris. 2. Avkuttet pyramide

Essensielle elementer:

øvre base;

ABC nedre base;

Side ansikt;

Hvis PH er høyden på den opprinnelige pyramiden, så er det høyden på den avkortede pyramiden.

Egenskapene til en avkortet pyramide oppstår fra metoden for dens konstruksjon, nemlig fra parallelliteten til planene til basene:

Alle sideflater av en avkortet pyramide er trapeser. Tenk for eksempel på kanten. Den har egenskapen til parallelle plan (siden planene er parallelle, kutter de sideflaten til den originale AVR-pyramiden langs parallelle rette linjer), men samtidig er de ikke parallelle. Åpenbart er firkanten en trapes, som alle sideflatene til den avkortede pyramiden.

Forholdet mellom basene er det samme for alle trapeser:

Vi har flere par like trekanter med samme likhetskoeffisient. For eksempel er trekanter og RAB like på grunn av parallelliteten til planene og likhetskoeffisient:

Samtidig er trekanter og RVS like med likhetskoeffisienten:

Åpenbart er likhetskoeffisientene for alle tre par like trekanter like, så forholdet mellom basene er det samme for alle trapeser.

En vanlig avkortet pyramide er en avkortet pyramide som oppnås ved å kutte en vanlig pyramide med et plan parallelt med basen (fig. 3).

Ris. 3. Vanlig avkortet pyramide

Definisjon.

En pyramide kalles regulær hvis basen er en regulær n-gon, og toppunktet projiseres inn i midten av denne n-gonen (senteret av den innskrevne og omskrevne sirkelen).

I dette tilfellet er det en firkant ved bunnen av pyramiden, og toppen projiseres ved skjæringspunktet mellom diagonalene. Den resulterende vanlige firkantede avkortede pyramiden ABCD har en nedre base og en øvre base. Høyden på den opprinnelige pyramiden er RO, den avkortede pyramiden er (fig. 4).

Ris. 4. Vanlig firkantet avkortet pyramide

Definisjon.

Høyden på en avkortet pyramide er en vinkelrett trukket fra et hvilket som helst punkt på en base til planet til den andre basen.

Apotemet til den opprinnelige pyramiden er RM (M er midten av AB), apotemet til den avkortede pyramiden er (fig. 4).

Definisjon.

Apotemet til en avkortet pyramide er høyden på en hvilken som helst sideflate.

Det er klart at alle sidekantene til den avkortede pyramiden er like med hverandre, det vil si at sideflatene er like likebenede trapeser.

Arealet av sideoverflaten til en vanlig avkortet pyramide er lik produktet av halvparten av summen av omkretsene til basene og apotemet.

Bevis (for en vanlig firkantet avkortet pyramide - Fig. 4):

Så vi må bevise:

Arealet av sideflaten her vil bestå av summen av arealene til sideflatene - trapeser. Siden trapesene er de samme, har vi:

Arealet til en likebenet trapes er produktet av halvparten av summen av basene og høyden; apotem er høyden til trapesen. Vi har:

Q.E.D.

For en n-gonal pyramide:

Der n er antall sideflater til pyramiden, a og b er basene til trapesen, og er apotem.

Sider av bunnen av en vanlig avkortet firkantet pyramide lik 3 cm og 9 cm, høyde - 4 cm. Finn arealet av sideflaten.

Ris. 5. Illustrasjon for oppgave 1

Løsning. La oss illustrere tilstanden:

Spurt av: , ,

Gjennom punktet O trekker vi en rett linje MN parallelt med de to sidene av den nedre basen, og på samme måte gjennom punktet trekker vi en rett linje (fig. 6). Siden firkantene og konstruksjonene ved bunnen av den avkortede pyramiden er parallelle, får vi en trapes lik sideflatene. Dessuten vil dens side passere gjennom midtpunktene på de øvre og nedre kantene av sideflatene og vil være apotem for den avkortede pyramiden.

Ris. 6. Tilleggskonstruksjoner

La oss vurdere den resulterende trapesen (fig. 6). I denne trapesen er den øvre basen, den nedre basen og høyden kjent. Du må finne siden som er apotemet til en gitt avkortet pyramide. La oss tegne vinkelrett på MN. Fra punktet senker vi den perpendikulære NQ. Vi finner at den større basen er delt inn i segmenter på tre centimeter (). Tenk på en rettvinklet trekant, bena i den er kjent, dette er en egyptisk trekant, ved å bruke Pythagoras teorem bestemmer vi lengden på hypotenusen: 5 cm.

Nå er det alle elementene for å bestemme arealet av sideoverflaten til pyramiden:

Pyramiden er krysset av et plan parallelt med basen. Bruk eksemplet med en trekantet pyramide, bevis at sidekantene og høyden til pyramiden er delt av dette planet i proporsjonale deler.

Bevis. La oss illustrere:

Ris. 7. Illustrasjon for oppgave 2

RABC-pyramiden er gitt. PO - høyden på pyramiden. Pyramiden er kuttet av et fly, en avkortet pyramide oppnås, og. Punkt - skjæringspunktet for høyden til RO med planet til bunnen av den avkortede pyramiden. Det er nødvendig å bevise:

Nøkkelen til løsningen er egenskapen til parallelle plan. To parallelle plan skjærer et hvilket som helst tredje plan slik at skjæringslinjene er parallelle. Herfra: . Parallellen til de tilsvarende linjene innebærer tilstedeværelsen av fire par like trekanter:

Fra likheten til trekanter følger proporsjonaliteten til de tilsvarende sidene. En viktig funksjon er at likhetskoeffisientene til disse trekantene er de samme:

Q.E.D.

En vanlig trekantet pyramide RABC med høyde og side av basen dissekeres av et plan som går gjennom midten av høyden PH parallelt med basen ABC. Finn det laterale overflatearealet til den resulterende avkortede pyramiden.

Løsning. La oss illustrere:

Ris. 8. Illustrasjon for oppgave 3

ACB er en vanlig trekant, H er sentrum av denne trekanten (senteret av de innskrevne og omskrevne sirklene). RM er apotemet til en gitt pyramide. - apotem av en avkortet pyramide. I henhold til egenskapen til parallelle plan (to parallelle plan skjærer et hvilket som helst tredje plan slik at skjæringslinjene er parallelle), har vi flere par like trekanter med lik likhetskoeffisient. Spesielt er vi interessert i forholdet:

La oss finne NM. Dette er radiusen til en sirkel innskrevet i basen; vi kjenner den tilsvarende formelen:

Nå fra den høyre trekanten PHM, ved å bruke Pythagoras teorem, finner vi RM - apotemet til den opprinnelige pyramiden:

Fra det opprinnelige forholdet:

Nå kjenner vi alle elementene for å finne arealet av sideoverflaten til en avkortet pyramide:

Så vi ble kjent med begrepene en avkortet pyramide og en vanlig avkortet pyramide, ga grunnleggende definisjoner, undersøkte egenskapene og beviste teoremet på området til sideoverflaten. Den neste leksjonen vil fokusere på problemløsning.

Bibliografi

I. M. Smirnova, V. A. Smirnov. Geometri. Karakterer 10-11: lærebok for studenter ved generelle utdanningsinstitusjoner (grunnleggende og spesialiserte nivåer) / I. M. Smirnova, V. A. Smirnov. - 5. utgave, rev. og tillegg - M.: Mnemosyne, 2008. - 288 s.: ill.
Sharygin I. F. Geometri. 10-11 klassetrinn: Lærebok for allmenne utdanningsinstitusjoner / Sharygin I.F. - M.: Bustard, 1999. - 208 s.: ill.
E.V. Potoskuev, L.I. Zvalich. Geometri. Karakter 10: Lærebok for allmenne utdanningsinstitusjoner med fordypning og spesialisering i matematikk /E. V. Potoskuev, L. I. Zvalich. - 6. utgave, stereotypi. - M.: Bustard, 2008. - 233 s.: ill.

Uztest.ru ().
Fmclass.ru ().
Webmath.exponenta.ru ().

Hjemmelekser