Harmoniske vibrasjoner. Matematisk pendel: punktum, akselerasjon og formler
(lat. amplitude- magnitude) er det største avviket til et oscillerende legeme fra dets likevektsposisjon.
For en pendel er dette den maksimale avstanden som ballen beveger seg bort fra sin likevektsposisjon (figur nedenfor). For oscillasjoner med små amplituder kan en slik avstand tas som lengden på buen 01 eller 02, og lengdene til disse segmentene.
Amplituden til svingninger måles i lengdeenheter - meter, centimeter osv. På oscillasjonsgrafen er amplituden definert som den maksimale (modulo) ordinaten til den sinusformede kurven (se figuren under).
Oscillasjonsperiode.
Oscillasjonsperiode- dette er den korteste tidsperioden som et system som svinger tilbake til samme tilstand som det var i det første øyeblikket, valgt vilkårlig.
Med andre ord, oscillasjonsperioden ( T) er tiden som en fullstendig svingning oppstår. For eksempel, i figuren nedenfor, er dette tiden det tar for pendelbobben å bevege seg fra punktet lengst til høyre gjennom likevektspunktet OM til punktet lengst til venstre og tilbake gjennom punktet OM igjen helt til høyre.
I løpet av en hel svingeperiode går kroppen dermed en bane lik fire amplituder. Svingningsperioden måles i tidsenheter - sekunder, minutter osv. Svingningsperioden kan bestemmes fra en velkjent graf over svingninger (se figur under).
Konseptet med "oscillasjonsperiode" er strengt tatt kun gyldig når verdiene til den oscillerende mengden gjentas nøyaktig etter en viss tidsperiode, det vil si for harmoniske svingninger. Dette konseptet gjelder imidlertid også for tilfeller av tilnærmet gjentatte mengder, for eksempel for dempet svingninger.
Oscillasjonsfrekvens.
Oscillasjonsfrekvens- dette er antall svingninger utført per tidsenhet, for eksempel på 1 s.
SI-enheten for frekvens er navngitt hertz(Hz) til ære for den tyske fysikeren G. Hertz (1857-1894). Hvis oscillasjonsfrekvensen ( v) er lik 1 Hz, betyr dette at hvert sekund er det én svingning. Hyppigheten og perioden av svingninger er relatert av relasjonene:
I teorien om svingninger bruker de også konseptet syklisk, eller sirkulær frekvens ω . Det er relatert til normal frekvens v og oscillasjonsperiode T forholdstall:
.
Syklisk frekvens er antall svingninger utført pr 2π sekunder
Oscillerende bevegelse- periodisk eller nesten periodisk bevegelse av et legeme, hvis koordinater, hastighet og akselerasjon ved like tidsintervaller antar omtrent samme verdier.
Mekaniske vibrasjoner oppstår når, når en kropp fjernes fra en likevektsposisjon, oppstår en kraft som har en tendens til å returnere kroppen tilbake.
Forskyvning x er kroppens avvik fra likevektsposisjonen.
Amplitude A er modulen for den maksimale forskyvningen av kroppen.
Oscillasjonsperiode T - tiden for en oscillasjon:
Oscillasjonsfrekvens
Antall svingninger utført av et legeme per tidsenhet: Under svingninger endres hastigheten og akselerasjonen periodisk. I likevektsposisjonen er hastigheten maksimal og akselerasjonen null. Ved punktene med maksimal forskyvning når akselerasjonen et maksimum og hastigheten blir null.
HARMONISK VIBRASJONSPLAN
Harmonisk vibrasjoner som oppstår i henhold til loven om sinus eller cosinus kalles:
hvor x(t) er forskyvningen av systemet på tidspunktet t, A er amplituden, ω er den sykliske frekvensen til svingninger.
Hvis du plotter avviket til kroppen fra likevektsposisjonen langs den vertikale aksen, og tiden langs den horisontale aksen, vil du få en graf av oscillasjonen x = x(t) - avhengigheten av kroppens forskyvning på tid. For frie harmoniske oscillasjoner er det en sinusbølge eller cosinusbølge. Figuren viser grafer over avhengigheten av forskyvning x, projeksjoner av hastighet V x og akselerasjon a x på tid.
Som man kan se av grafene, ved maksimal forskyvning x, er hastigheten V til det oscillerende legemet null, akselerasjonen a, og derfor kraften som virker på legemet, er maksimal og rettet motsatt forskyvningen. I likevektsposisjonen blir forskyvningen og akselerasjonen null, og hastigheten er maksimal. Akselerasjonsprojeksjonen har alltid motsatt fortegn til forskyvningen.
ENERGI AV VIBRASJONSBEVEGELSE
Den totale mekaniske energien til et oscillerende legeme er lik summen av dets kinetiske og potensielle energier, og i fravær av friksjon forblir den konstant:
I det øyeblikket når forskyvningen når et maksimum x = A, går hastigheten, og med den kinetiske energien, til null.
I dette tilfellet er den totale energien lik den potensielle energien:
Den totale mekaniske energien til et oscillerende legeme er proporsjonal med kvadratet på amplituden til dets svingninger.
Når systemet passerer likevektsposisjonen, er forskyvningen og potensiell energi null: x = 0, E p = 0. Derfor er den totale energien lik den kinetiske energien:
Den totale mekaniske energien til et oscillerende legeme er proporsjonal med kvadratet på hastigheten i likevektsposisjonen. Derfor:
MATEMATISK PENDEL
1. Matematikkpendel er en materialspiss hengt opp på en vektløs ubøyelig tråd.
I likevektsposisjonen kompenseres tyngdekraften av trådens spenning. Hvis pendelen avbøyes og slippes, vil kreftene slutte å kompensere hverandre, og en resulterende kraft vil oppstå rettet mot likevektsposisjonen. Newtons andre lov:
For små oscillasjoner, når forskyvningen x er mye mindre enn l, vil materialpunktet bevege seg nesten langs den horisontale x-aksen. Så fra trekanten MAB får vi:
Fordi sin a = x/l, da er projeksjonen av den resulterende kraften R på x-aksen lik
Minustegnet viser at kraften R alltid er rettet mot forskyvningen x.
2. Så, under svingninger av en matematisk pendel, så vel som under svingninger av en fjærpendel, er gjenopprettingskraften proporsjonal med forskyvningen og er rettet i motsatt retning.
La oss sammenligne uttrykkene for gjenopprettingskraften til matematiske og fjærpendler:
Det kan sees at mg/l er en analog av k. Erstatte k med mg/l i formelen for perioden med en fjærpendel
vi får formelen for perioden til en matematisk pendel:
Perioden med små svingninger av en matematisk pendel er ikke avhengig av amplituden.
En matematisk pendel brukes til å måle tid og bestemme tyngdeakselerasjonen på et gitt sted på jordoverflaten.
Frie oscillasjoner av en matematisk pendel ved små avbøyningsvinkler er harmoniske. De oppstår på grunn av den resulterende tyngdekraften og strekkkraften til tråden, samt tregheten til lasten. Resultatet av disse kreftene er gjenopprettingskraften.
Eksempel. Bestem akselerasjonen på grunn av tyngdekraften på en planet der en pendel på 6,25 m har en periode med fri oscillasjon på 3,14 s.
Svingningsperioden til en matematisk pendel avhenger av lengden på tråden og tyngdeakselerasjonen:
Ved å kvadrere begge sider av likheten får vi:
Svar: tyngdeakselerasjonen er 25 m/s 2 .
Problemer og tester om emnet "Tema 4. "Mekanikk. Svingninger og bølger."
- Tverrgående og langsgående bølger. Bølgelengde
Leksjoner: 3 oppgaver: 9 prøver: 1
- Lydbølger. Lydhastighet - Mekaniske vibrasjoner og bølger. Lyd 9. klasse
Matematikkpendel
Introduksjon
Oscillasjonsperiode
konklusjoner
Litteratur
Introduksjon
Nå er det ikke lenger mulig å verifisere legenden om hvordan Galileo, stående i bønn i katedralen, nøye så på hvordan bronselysekronene svingte. Jeg observerte og bestemte tiden lysekronen brukte på å bevege seg frem og tilbake. Denne tiden ble senere kalt oscillasjonsperioden. Galileo hadde ikke klokke, og for å sammenligne svingningsperioden for lysekroner hengt på kjeder av forskjellige lengder, brukte han frekvensen til pulsen.
Pendler brukes til å justere hastigheten på klokker, siden enhver pendel har en veldig spesifikk svingningsperiode. Pendelen finner også viktige anvendelser i geologisk utforskning. Det er kjent at på forskjellige steder rundt om i verden verdiene g er forskjellig. De er forskjellige fordi jorden ikke er en helt vanlig sfære. I tillegg i områder hvor det forekommer tette bergarter, som noen metallmalmer, er verdien g unormalt høy. Nøyaktige målinger g ved hjelp av en matematisk pendel er det noen ganger mulig å oppdage slike avsetninger.
Bevegelsesligningen til en matematisk pendel
En matematisk pendel er et tungt materialpunkt som beveger seg enten langs en vertikal sirkel (flat matematisk pendel) eller langs en kule (sfærisk pendel). Til en første tilnærming kan en matematisk pendel betraktes som en liten last hengt opp på en uutvidelig fleksibel tråd.
La oss vurdere bevegelsen til en flat matematisk pendel langs en sirkel med radius l sentrert på et punkt OM(Figur 1). Vi vil bestemme plasseringen av punktet M(pendel) avviksvinkel j radius OM fra vertikalen. Å dirigere en tangent M t mot den positive vinkelen j, vil vi komponere en naturlig bevegelsesligning. Denne ligningen er dannet fra ligningen for bevegelse
mW=F+N, (1)
Hvor F er den aktive kraften som virker på punktet, og N- kommunikasjonsreaksjon.
Bilde 1
Vi oppnådde ligning (1) i henhold til Newtons andre lov, som er dynamikkens fundamentale lov og sier at den tidsderiverte av momentumet til et materiell punkt er lik kraften som virker på det, dvs.
Forutsatt at massen er konstant, kan vi representere den forrige ligningen i formen
Hvor W er akselerasjonen til punktet.
Så ligning (1) i projeksjon på t-aksen vil gi oss en av de naturlige ligningene for bevegelsen til et punkt langs en gitt fast jevn kurve:
I vårt tilfelle får vi i projeksjon på t-aksen
,
Hvor m det er en masse av pendelen.
Siden eller , herfra finner vi
.
Reduserer med m og tro
, (3)
vi vil endelig ha:
,
,
,
. (4)
La oss først vurdere tilfellet med små svingninger. La i det første øyeblikket pendelen avbøyes fra vertikalen med en vinkel j og senket uten starthastighet. Da vil de første betingelsene være:
på t= 0, 
. (5)
Fra energiintegralet:
, (6)
Hvor V- potensiell energi, og h er integrasjonskonstanten, følger det at under disse forholdene til enhver tid vinkelen jЈj 0 . Konstant verdi h bestemt ut fra de første dataene. La oss anta at vinkelen j 0 er liten (j 0 Ј1); da blir vinkelen j også liten og vi kan omtrent sette sinj»j. I dette tilfellet vil ligning (4) ha formen
. (7)
Ligning (7) er differensialligningen til en enkel harmonisk oscillasjon. Den generelle løsningen på denne ligningen er
, (8)
Hvor EN Og B eller en og e er integrasjonskonstanter.
Herfra finner vi umiddelbart perioden ( T) små oscillasjoner av en matematisk pendel (periode - tidsperioden hvor punktet går tilbake til sin forrige posisjon med samme hastighet)
Og 
,
fordi sin har en periode lik 2p, deretter w T=2p Yu
(9)
For å finne bevegelsesloven under startbetingelser (5), beregner vi:
. (10)
Ved å erstatte verdiene (5) i ligningene (8) og (10), får vi:
j 0 = EN, 0 = w B,
de. B=0. Følgelig vil bevegelsesloven for små oscillasjoner under forhold (5) være:
j = j 0 cos wt. (elleve)
La oss nå finne den nøyaktige løsningen på problemet med en flat matematisk pendel. La oss først bestemme det første integralet til bevegelsesligningen (4). Fordi
,
da kan (4) representeres som
.
Derfor multipliserer begge sider av ligningen med d j og integrering får vi:
. (12)
La oss her betegne j 0 vinkelen for maksimal avbøyning av pendelen; så for j = j 0 vil vi ha, hvorfra C= w 2 cosj 0 . Som et resultat gir integral (12):
, (13)
hvor w er bestemt av likhet (3).
Dette integralet er energiintegralet og kan hentes direkte fra ligningen
, (14)
hvor er arbeidet med å flytte M 0 M aktiv kraft F, hvis vi tar hensyn til det i vårt tilfelle v 0 = 0, og (se figur).
Fra ligning (13) er det klart at når pendelen beveger seg, vil vinkel j endres mellom verdiene +j 0 og -j 0 (|j|Јj 0, siden), dvs. pendelen vil utføre en oscillerende bevegelse. La oss bli enige om å telle ned tiden t fra det øyeblikket pendelen passerer gjennom vertikalen O.A. når den beveger seg til høyre (se figur). Da vil vi ha startbetingelsen:
på t=0, j=0. (15)
I tillegg når du beveger deg fra et punkt EN vil ; tar vi kvadratroten fra begge sider av likhet (13), får vi:
.
Når vi skiller variablene her, har vi:
. (16)
, 
,
At
.
Ved å erstatte dette resultatet i ligning (16), får vi.
Svingningsperioden til en matematisk pendel avhenger av lengden på tråden: når lengden på tråden avtar, avtar svingeperioden
For en matematisk pendel er noen lover oppfylt:
1 lov. Hvis vi, mens vi opprettholder samme lengde på pendelen, suspenderer forskjellige belastninger (for eksempel 5 kg og 100 kg), vil svingeperioden være den samme, selv om massene til belastningene er svært forskjellige. Perioden til en matematisk pendel avhenger ikke av lastens masse.
2. lov. Hvis pendelen avbøyes av forskjellige, men små vinkler, vil den svinge med samme periode, men med forskjellige amplituder. Så lenge amplituden til pendelen er liten, vil svingningene i deres form være lik harmoniske, og da avhenger ikke perioden til den matematiske pendelen av svingningenes amplitude. Denne egenskapen kalles isokronisme.
La oss utlede formelen for perioden til en matematisk pendel.
Lasten m til en matematisk pendel påvirkes av tyngdekraften mg og den elastiske kraften til tråden Fynp. La oss rette 0X-aksen langs tangenten til den oppadgående bevegelsesbanen. La oss skrive ned Newtons andre lov for dette tilfellet:
Vi projiserer alt på OX-aksen:
I små vinkler
Etter å ha gjort substitusjoner og små transformasjoner, får vi at ligningen ser slik ut:
Ved å sammenligne det resulterende uttrykket med ligningen for harmoniske vibrasjoner, får vi:
Fra ligningen kan det sees at den sykliske frekvensen til fjærpendelen vil ha formen:
Da vil perioden til den matematiske pendelen være lik:
Perioden til en matematisk pendel avhenger bare av tyngdeakselerasjonen g og lengden på pendelen l. Fra den resulterende formelen følger det at pendelens periode ikke avhenger av dens masse og amplitude (forutsatt at den er liten nok). Vi etablerte også et kvantitativt forhold mellom pendelens periode, lengden og tyngdeakselerasjonen. Perioden til en matematisk pendel er proporsjonal med kvadratroten av forholdet mellom lengden på pendelen og tyngdeakselerasjonen. Proporsjonalitetsfaktoren er 2p
Det er også:
Periode med en fjærpendel
Periode med en fysisk pendel 
Periode for en torsjonspendel
Som et konkret eksempel på en kropp som roterer rundt en akse, tenk på bevegelsen til pendler.
En fysisk pendel er et stivt legeme som har en horisontal rotasjonsakse som den utfører oscillerende bevegelser rundt under påvirkning av sin vekt (fig. 119).
Posisjonen til pendelen bestemmes fullstendig av vinkelen på dens avvik fra likevektsposisjonen, og derfor, for å bestemme pendelens bevegelseslov, er det nok å finne avhengigheten til denne vinkelen på tid.
Formens ligning:
kalles ligningen (loven) for bevegelse av en pendel. Det avhenger av startforholdene, dvs. av vinkelen og vinkelhastigheten.
Det begrensende tilfellet for en fysisk pendel er en matematisk pendel, som representerer (som tidligere nevnt - kapittel 2, § 3) et materialpunkt forbundet med den horisontale aksen som den roterer rundt med en stiv vektløs stang (fig. 120). Avstanden til et materialpunkt fra rotasjonsaksen kalles lengden på en matematisk pendel.
Bevegelsesligninger av fysiske og matematiske pendler
La oss velge et system med koordinatakser slik at xy-planet går gjennom tyngdepunktet til kroppen C og faller sammen med pendelens svingplan, som vist på tegningen (fig. 119). La oss rette aksen vinkelrett på tegneplanet mot oss. Deretter, basert på resultatene fra forrige avsnitt, skriver vi bevegelsesligningen til en fysisk pendel i formen:
hvor gjennom betegner pendelens treghetsmoment i forhold til dens rotasjonsakse og
Derfor kan du skrive:
Den aktive kraften som virker på pendelen er dens vekt, hvis moment i forhold til vektaksen vil være:
hvor er avstanden fra pendelens rotasjonsakse til massesenteret C.
Følgelig kommer vi til følgende bevegelsesligning for en fysisk pendel:
Siden en matematisk pendel er et spesielt tilfelle av en fysisk, er differensialligningen skrevet ovenfor også gyldig for en matematisk pendel. Hvis lengden på en matematisk pendel er lik og dens vekt, er treghetsmomentet i forhold til rotasjonsaksen lik
Siden avstanden til tyngdepunktet til en matematisk pendel fra aksen er lik, kan den endelige differensialligningen for bevegelse av en matematisk pendel skrives i formen:
Redusert lengde på en fysisk pendel
Ved å sammenligne ligningene (16.8) og (16.9), kan vi konkludere med at hvis parameterne til de fysiske og matematiske pendelene er relatert av relasjonen
da er bevegelseslovene til fysiske og matematiske pendler de samme (under de samme startbetingelsene).
Den siste relasjonen angir lengden som en matematisk pendel må ha for å bevege seg på samme måte som den tilsvarende fysiske pendelen. Denne lengden kalles den reduserte lengden på den fysiske pendelen. Betydningen av dette konseptet er at studiet av bevegelsen til en fysisk pendel kan erstattes av studiet av bevegelsen til en matematisk pendel, som er en enkel mekanisk krets.
Første integral av bevegelsesligningen til en pendel
Bevegelsesligningene til fysiske og matematiske pendler har samme form, derfor vil ligningen for deres bevegelse være
Siden den eneste kraften som tas i betraktning i denne ligningen er tyngdekraften som tilhører det potensielle kraftfeltet, gjelder loven om bevaring av mekanisk energi.
Sistnevnte kan oppnås på en enkel måte, nemlig at vi multipliserer ligningen (16.10) med da
Ved å integrere denne ligningen får vi
Å bestemme konstanten for integrasjon Cu fra startbetingelsene, finner vi
Å løse den siste ligningen for relativ får vi
Denne relasjonen representerer det første integralet av differensialligningen (16.10).
Bestemmelse av støttereaksjoner av fysiske og matematiske pendler
Det første integralet av bevegelsesligningene lar oss bestemme støttereaksjonene til pendler. Som indikert i forrige avsnitt, bestemmes støttereaksjonene fra ligninger (16.5). Når det gjelder en fysisk pendel, vil komponentene til den aktive kraften langs koordinataksene og dens momenter i forhold til aksene være:
Koordinatene til massesenteret bestemmes av formlene:
Deretter har ligningene for å bestemme støttereaksjonene formen:
De sentrifugale treghetsmomentene til kroppen og avstandene mellom støttene må være kjent i henhold til forholdene for problemet. Vinkelakselerasjon b og vinkelhastighet с bestemmes fra ligningene (16.9) og (16.4) i formen:
Således bestemmer ligningene (16.12) fullstendig komponentene i støttereaksjonene til en fysisk pendel.
Ligninger (16.12) forenkles ytterligere hvis vi tar for oss en matematisk pendel. Faktisk, siden det materielle punktet til en matematisk pendel er lokalisert i planet, vil I tillegg, siden ett punkt er fast, blir ligninger (16.12) til ligninger av formen:
Fra ligning (16.13) ved bruk av ligning (16.9) følger det at støttereaksjonen er rettet langs tråden I (fig. 120). Det siste er et åpenbart resultat. Følgelig, ved å projisere komponentene av likheter (16.13) på trådretningen, finner vi en ligning for å bestemme reaksjonen til støtten til formen (fig. 120):
Erstatter verdien her og tar i betraktning at vi skriver:
Den siste relasjonen bestemmer den dynamiske responsen til en matematisk pendel. Merk at dens statiske reaksjon vil være
Kvalitativ studie av arten av bevegelsen til en pendel
Det første integralet av bevegelsesligningen til en pendel lar oss gjennomføre en kvalitativ studie av arten av dens bevegelse. Vi skriver nemlig dette integralet (16.11) i formen:
Under bevegelsen må det radikale uttrykket enten være positivt eller forsvinne på noen punkter. La oss anta at startforholdene er slik at
I dette tilfellet forsvinner ikke det radikale uttrykket noe sted. Følgelig, når pendelen beveger seg, vil pendelen gå gjennom alle verdiene til vinkelen og vinkelhastigheten fra pendelen har samme fortegn, som bestemmes av retningen til den opprinnelige vinkelhastigheten, eller vinkelen vil enten øke alle tid eller minke hele tiden, dvs. pendelen vil rotere i den ene siden.
Bevegelsesretningene vil tilsvare et eller annet tegn i uttrykket (16.11). En nødvendig betingelse for implementering av en slik bevegelse er tilstedeværelsen av en innledende vinkelhastighet, siden det er klart fra ulikhet (16.14) at det ved enhver innledende avbøyningsvinkel er umulig å oppnå en slik bevegelse av pendelen.
La nå startforholdene være slik at
I dette tilfellet er det to slike vinkelverdier der det radikale uttrykket blir null. La dem tilsvare vinklene definert av likheten
Dessuten vil det være et sted i området fra 0 til . Videre er det åpenbart at når
det radikale uttrykket (16.11) vil være positivt og for vilkårlig lite overskridelse vil det være negativt.
Følgelig, når pendelen beveger seg, endres vinkelen i området:
Når vinkelhastigheten til pendelen går til null og vinkelen begynner å synke til verdien . I dette tilfellet vil tegnet på vinkelhastigheten eller tegnet foran radikalet i uttrykk (16.11) endres. Når vinkelhastigheten til pendelen når null igjen og vinkelen igjen begynner å øke til verdien
Dermed vil pendelen gjøre oscillerende bevegelser
Amplitude av pendelsvingninger
Når pendelen svinger, kalles den maksimale verdien av dens avvik fra vertikalen oscillasjonsamplituden. Det er lik som bestemmes ut fra likheten
Som følger av den siste formelen, avhenger amplituden til oscillasjonen av de innledende dataene til hovedkarakteristikkene til pendelen eller dens reduserte lengde.
I det spesielle tilfellet, når pendelen avbøyes fra likevektsposisjonen og frigjøres uten en starthastighet, vil den være lik , derfor er amplituden ikke avhengig av den reduserte lengden.
Bevegelsesligning for en pendel i endelig form
La starthastigheten til pendelen være null, så vil det første integralet av bevegelsesligningen være:
Ved å integrere denne ligningen finner vi
Vi vil telle tid fra posisjonen til pendelen, tilsvarende da
La oss transformere integranden ved å bruke formelen:
Da får vi:
Det resulterende integralet kalles et elliptisk integral av den første typen. Det kan ikke uttrykkes ved hjelp av et begrenset antall elementære funksjoner.
Inversjonen av det elliptiske integralet (16.15) i forhold til dets øvre grense representerer bevegelsesligningen til pendelen:
Dette vil være den godt studerte Jacobi elliptiske funksjonen.
Periode med pendelsvingninger
Tiden det tar for en fullstendig oscillasjon av en pendel kalles dens svingeperiode. La oss betegne det T. Siden pendelens bevegelsestid fra posisjon til posisjon er den samme som bevegelsestidspunktet fra da vil T bli bestemt av formelen:
La oss gjøre en endring av variabler ved å putte
Når du varierer fra 0 til vil endres fra 0 til . Lengre,
og derfor
Det siste integralet kalles et komplett elliptisk integral av den første typen (verdiene er gitt i spesielle tabeller).
Når integranden har en tendens til enhet og .
Omtrentlig formler for små oscillasjoner av en pendel
I tilfellet når pendelsvingningene har en liten amplitude (bør praktisk talt ikke overstige 20°), kan du sette
Da har differensialligningen for bevegelse av pendelen formen:
