Hvordan finne det minste felles multiplum. Least Common Multiple (LCM) – Definisjon, eksempler og egenskaper

Delbarhetskriterier for naturlige tall.

Tall som er delelig med 2 uten en rest kallestil og med .

Tall som ikke er jevnt delbare med 2 kallesmerkelig .

Test for delbarhet med 2

Hvis et naturlig tall slutter med et partall, er dette tallet delelig med 2 uten en rest, og hvis et tall slutter med et oddetall, er ikke dette tallet jevnt delelig med 2.

For eksempel tallene 60 , 30 8 , 8 4 er delelig med 2 uten rest, og tallene er 51 , 8 5 , 16 7 er ikke delelig med 2 uten en rest.

Test for delbarhet med 3

Hvis summen av sifrene i et tall er delelig med 3, så er tallet delelig med 3; Hvis summen av sifrene i et tall ikke er delelig med 3, er tallet ikke delelig med 3.

La oss for eksempel finne ut om tallet 2772825 er delelig med 3. For å gjøre dette, la oss beregne summen av sifrene til dette tallet: 2+7+7+2+8+2+5 = 33 - delelig med 3. Dette betyr at tallet 2772825 er delelig med 3.

Delbarhetstest med 5

Hvis posten av et naturlig tall ender med sifferet 0 eller 5, så er dette tallet delelig med 5 uten en rest. Hvis posten av et tall ender med et annet siffer, er tallet ikke delelig med 5 uten en rest.

For eksempel tallene 15 , 3 0 , 176 5 , 47530 0 er delelig med 5 uten rest, og tallene er 17 , 37 8 , 9 1 ikke del.

Delbarhetstest med 9

Hvis summen av sifrene i et tall er delelig med 9, så er tallet delelig med 9; Hvis summen av sifrene i et tall ikke er delelig med 9, er tallet ikke delelig med 9.

La oss for eksempel finne ut om tallet 5402070 er delelig med 9. For å gjøre dette, la oss beregne summen av sifrene til dette tallet: 5+4+0+2+0+7+0 = 16 - ikke delelig med 9 . Dette betyr at tallet 5402070 ikke er delelig med 9.

Delbarhetstest med 10

Hvis et naturlig tall slutter med sifferet 0, er dette tallet delelig med 10 uten en rest. Hvis et naturlig tall slutter med et annet siffer, er det ikke jevnt delelig med 10.

For eksempel tallene 40 , 17 0 , 1409 0 er delelig med 10 uten rest, og tallene 17 , 9 3 , 1430 7 - ikke del.

Regelen for å finne den største felles divisor (GCD).

For å finne den største felles divisor av flere naturlige tall, må du:

2) fra faktorene som er inkludert i utvidelsen av et av disse tallene, kryss ut de som ikke er inkludert i utvidelsen av andre tall;

3) finn produktet av de resterende faktorene.

Eksempel. La oss finne GCD (48;36). La oss bruke regelen.

1. La oss faktorisere tallene 48 og 36 til primfaktorer.

48 = 2 · 2 · 2 · 2 · 3

36 = 2 · 2 · 3 · 3

2. Fra faktorene som inngår i utvidelsen av tallet 48, sletter vi de som ikke er inkludert i utvidelsen av tallet 36.

48 = 2 · 2 · 2 · 2 · 3

De resterende faktorene er 2, 2 og 3.

3. Multipliser de resterende faktorene og få 12. Dette tallet er den største felles divisor av tallene 48 og 36.

GCD (48;36) = 2· 2 · 3 = 12.

Regelen for å finne det minste felles multiplum (LCM).

For å finne det minste felles multiplum av flere naturlige tall, må du:

1) faktor dem inn i prime faktorer;

2) skriv ned faktorene som er inkludert i utvidelsen av ett av tallene;

3) legg til de manglende faktorene fra utvidelsene av de gjenværende tallene;

4) finn produktet av de resulterende faktorene.

Eksempel. La oss finne LOC (75;60). La oss bruke regelen.

1. La oss faktorisere tallene 75 og 60 inn i primfaktorer.

75 = 3 · 5 · 5

60 = 2 · 2 · 3 · 3

2. La oss skrive ned faktorene som er inkludert i utvidelsen av tallet 75: 3, 5, 5.

LCM(75;60) = 3 · 5 · 5 · …

3. Legg til dem de manglende faktorene fra utvidelsen av tallet 60, dvs. 2, 2.

LCM(75;60) = 3 · 5 · 5 · 2 · 2

4. Finn produktet av de resulterende faktorene

LCM(75;60) = 3 · 5 · 5 · 2 · 2 = 300.

Den elektroniske kalkulatoren lar deg raskt finne den største felles divisor og minste felles multiplum for to eller et hvilket som helst annet antall tall.

Kalkulator for å finne GCD og LCM

Finn GCD og LOC

Funnet GCD og LOC: 5806

Slik bruker du kalkulatoren

• Skriv inn tall i inntastingsfeltet
• Hvis du skriver inn feil tegn, vil inntastingsfeltet bli uthevet i rødt
• klikk på "Finn GCD og LOC"-knappen

Hvordan legge inn tall

• Tall legges inn atskilt med et mellomrom, punktum eller komma
• Lengden på inntastede tall er ikke begrenset, så det er ikke vanskelig å finne GCD og LCM for lange tall

Hva er GCD og NOC?

Største felles deler flere tall er det største naturlige heltall som alle opprinnelige tall er delbare med uten en rest. Den største felles divisor er forkortet som GCD.
Minste felles multiplum flere tall er det minste tallet som er delelig med hvert av de opprinnelige tallene uten en rest. Minste felles multiplum forkortes som INGEN C.

Hvordan sjekke at et tall er delelig med et annet tall uten en rest?

For å finne ut om ett tall er delelig med et annet uten en rest, kan du bruke noen egenskaper for talls delbarhet. Deretter, ved å kombinere dem, kan du sjekke delebarheten til noen av dem og kombinasjonene deres.

Noen tegn på delbarhet av tall

1. Delbarhetstest for et tall med 2
For å finne ut om et tall er delelig med to (om det er partall), er det nok å se på det siste sifferet i dette tallet: hvis det er lik 0, 2, 4, 6 eller 8, så er tallet partall, som betyr at den er delelig med 2.
Eksempel: avgjør om tallet 34938 er delelig med 2.
Løsning: Vi ser på det siste sifferet: 8 - det betyr at tallet er delelig med to.

2. Delbarhetstest for et tall med 3
Et tall er delelig med 3 når summen av sifrene er delelig med tre. For å finne ut om et tall er delelig med 3, må du derfor beregne summen av sifrene og sjekke om det er delelig med 3. Selv om summen av sifrene er veldig stor, kan du gjenta samme prosess igjen.
Eksempel: avgjør om tallet 34938 er delelig med 3.
Løsning: Vi teller summen av tallene: 3+4+9+3+8 = 27. 27 er delelig med 3, som betyr at tallet er delelig med tre.

3. Delbarhetstest for et tall med 5
Et tall er delelig med 5 når det siste sifferet er null eller fem.
Eksempel: avgjør om tallet 34938 er delelig med 5.
Løsning: se på det siste sifferet: 8 betyr at tallet IKKE er delelig med fem.

4. Delbarhetstest for et tall med 9
Dette tegnet er veldig likt tegnet på delbarhet med tre: et tall er delelig med 9 når summen av sifrene er delelig med 9.
Eksempel: avgjør om tallet 34938 er delelig med 9.
Løsning: Vi teller summen av tallene: 3+4+9+3+8 = 27. 27 er delelig med 9, som betyr at tallet er delelig med ni.

Hvordan finne GCD og LCM med to tall

Hvordan finne gcd av to tall

Den enkleste måten å beregne den største felles divisor av to tall er å finne alle mulige divisorer av disse tallene og velge den største.

La oss vurdere denne metoden ved å bruke eksemplet for å finne GCD(28, 36):

1. Vi faktoriserer begge tallene: 28 = 1·2·2·7, 36 = 1·2·2·3·3
2. Vi finner felles faktorer, det vil si de som begge tallene har: 1, 2 og 2.
3. Vi beregner produktet av disse faktorene: 1 2 2 = 4 - dette er den største felles divisor av tallene 28 og 36.

Hvordan finne LCM for to tall

Det er to vanligste måter å finne det minste multiplum av to tall på. Den første metoden er at du kan skrive ned de første multiplene av to tall, og deretter velge blant dem et tall som vil være felles for begge tallene og samtidig det minste. Og det andre er å finne gcd for disse tallene. La oss bare vurdere det.

For å beregne LCM, må du beregne produktet av de opprinnelige tallene og deretter dele det med den tidligere funnet GCD. La oss finne LCM for de samme tallene 28 og 36:

1. Finn produktet av tallene 28 og 36: 28·36 = 1008
2. GCD(28, 36), som allerede kjent, er lik 4
3. LCM(28; 36) = 1008 / 4 = 252 .

Finne GCD og LCM for flere tall

Den største felles divisor kan finnes for flere tall, ikke bare to. For å gjøre dette, dekomponeres tallene som skal finnes for den største felles divisor i primfaktorer, deretter blir produktet av de felles primfaktorene til disse tallene funnet. Du kan også bruke følgende relasjon for å finne gcd for flere tall: GCD(a, b, c) = GCD(GCD(a, b), c).

Et lignende forhold gjelder for det minste felles multiplum: LCM(a, b, c) = LCM(LCM(a, b), c)

Eksempel: finn GCD og LCM for nummer 12, 32 og 36.

1. La oss først faktorisere tallene: 12 = 1·2·2·3, 32 = 1·2·2·2·2·2, 36 = 1·2·2·3·3.
2. La oss finne de vanlige faktorene: 1, 2 og 2.
3. Produktet deres vil gi GCD: 1·2·2 = 4
4. La oss nå finne LCM: for å gjøre dette, la oss først finne LCM(12, 32): 12·32 / 4 = 96 .
5. For å finne LCM for alle tre tallene, må du finne GCD(96, 36): 96 = 1·2·2·2·2·2·3 , 36 = 1·2·2·3·3 , GCD = 1·2· 2 3 = 12.
6. LCM(12; 32; 36) = 96·36 / 12 = 288.

Men mange naturlige tall er også delbare med andre naturlige tall.

For eksempel:

Tallet 12 er delelig med 1, med 2, med 3, med 4, med 6, med 12;

Tallet 36 er delelig med 1, med 2, med 3, med 4, med 6, med 12, med 18, med 36.

Tallene som tallet er delelig med en hel (for 12 er disse 1, 2, 3, 4, 6 og 12) kalles deler av tall. Divisor av et naturlig tall en- er et naturlig tall som deler et gitt tall en uten et spor. Et naturlig tall som har mer enn to delere kalles sammensatte .

Vær oppmerksom på at tallene 12 og 36 har felles faktorer. Disse tallene er: 1, 2, 3, 4, 6, 12. Den største deleren av disse tallene er 12. Fellesdeleren for disse to tallene en Og b- dette er tallet som begge gitte tall deles med uten rest en Og b.

Felles multipler flere tall er et tall som er delelig med hvert av disse tallene. For eksempel, tallene 9, 18 og 45 har et felles multiplum på 180. Men 90 og 360 er også deres felles multiplum. Blant alle vanlige multipler er det alltid en minste, i dette tilfellet er det 90. Dette tallet kalles den minstefelles multiplum (CMM).

LCM er alltid et naturlig tall som må være større enn det største av tallene det er definert for.

Minste felles multiplum (LCM). Egenskaper.

Kommutativitet:

Assosiativitet:

Spesielt hvis og er coprimtall, så:

Minste felles multiplum av to heltall m Og n er en divisor av alle andre felles multipler m Og n. Dessuten settet med felles multipler m, n faller sammen med settet med multipler av LCM( m, n).

Asymptotikken for kan uttrykkes i form av noen tallteoretiske funksjoner.

Så, Chebyshev funksjon. Og:

Dette følger av definisjonen og egenskapene til Landau-funksjonen g(n).

Hva følger av loven om fordeling av primtall.

Finne det minste felles multiplum (LCM).

INGEN C( a, b) kan beregnes på flere måter:

1. Hvis den største felles divisor er kjent, kan du bruke dens forbindelse med LCM:

2. La den kanoniske dekomponeringen av begge tallene til primfaktorer være kjent:

Hvor p 1,...,p k- ulike primtall, og d 1,...,d k Og e 1,...,e k- ikke-negative heltall (de kan være null hvis den tilsvarende primtall ikke er i utvidelsen).

Deretter NOC ( en,b) beregnes med formelen:

Med andre ord inneholder LCM-dekomponeringen alle primfaktorer inkludert i minst én av dekomponeringene av tall a, b, og den største av de to eksponentene til denne multiplikatoren tas.

Eksempel:

Å beregne det minste felles multiplum av flere tall kan reduseres til flere sekvensielle beregninger av LCM for to tall:

Regel. For å finne LCM for en tallserie trenger du:

- dekomponere tall til primfaktorer;

- overføre den største dekomponeringen (produktet av faktorene til det største antallet av de gitte) til faktorene til det ønskede produktet, og legg deretter til faktorer fra dekomponeringen av andre tall som ikke vises i det første tallet eller vises i det færre ganger;

— det resulterende produktet av primfaktorer vil være LCM for de gitte tallene.

To eller flere naturlige tall har sin egen LCM. Hvis tallene ikke er multipler av hverandre eller ikke har de samme faktorene i utvidelsen, er deres LCM lik produktet av disse tallene.

Primfaktorene til tallet 28 (2, 2, 7) er supplert med en faktor 3 (tallet 21), det resulterende produktet (84) vil være det minste tallet som er delelig med 21 og 28.

Primfaktorene til det største tallet 30 er supplert med faktoren 5 av tallet 25, det resulterende produktet 150 er større enn det største tallet 30 og er delelig med alle gitte tall uten en rest. Dette er det minste mulige produktet (150, 250, 300...) som er et multiplum av alle gitte tall.

Tallene 2,3,11,37 er primtall, så deres LCM er lik produktet av de gitte tallene.

Regel. For å beregne LCM for primtall, må du multiplisere alle disse tallene sammen.

Et annet alternativ:

For å finne det minste felles multiplum (LCM) av flere tall trenger du:

1) representere hvert tall som et produkt av dets primfaktorer, for eksempel:

504 = 2 2 2 3 3 7,

2) skriv ned potensene til alle primfaktorer:

504 = 2 2 2 3 3 7 = 2 3 3 2 7 1,

3) skriv ned alle primtallene (multiplikatorene) for hvert av disse tallene;

4) velg den største graden av hver av dem, funnet i alle utvidelser av disse tallene;

5) multipliser disse potensene.

Eksempel. Finn LCM for tallene: 168, 180 og 3024.

Løsning. 168 = 2 2 2 3 7 = 2 3 3 1 7 1,

180 = 2 2 3 3 5 = 2 2 3 2 5 1,

3024 = 2 2 2 2 3 3 3 7 = 2 4 3 3 7 1.

Vi skriver ned de største potensene av alle primdelere og multipliserer dem:

NOC = 2 4 3 3 5 1 7 1 = 15120.

Mange delere

La oss vurdere følgende problem: finn deleren til tallet 140. Tydeligvis har tallet 140 ikke én divisor, men flere. I slike tilfeller sies det at problemet har en haug med beslutninger. La oss finne dem alle. Først av alt, la oss faktorere dette tallet inn i enkle faktorer:

140 = 2 ∙ 2 ∙ 5 ∙ 7.

Nå kan vi enkelt skrive ned alle divisorene. La oss starte med hovedfaktorer, det vil si de som er til stede i utvidelsen gitt ovenfor:

Deretter skriver vi ned de som oppnås ved parvis multiplikasjon av primtallsdelere:

2∙2 = 4, 2∙5 = 10, 2∙7 = 14, 5∙7 = 35.

Deretter - de som inneholder tre primtallsdelere:

2∙2∙5 = 20, 2∙2∙7 = 28, 2∙5∙7 = 70.

Til slutt, la oss ikke glemme enheten og selve det dekomponerte tallet:

Alle divisorene vi fant danner en haug med divisorer av tallet 140, som er skrevet med krøllete klammeparenteser:

Sett med divisorer av tallet 140 =

{1, 2, 4, 5, 7, 10, 14, 20, 28, 35, 70, 140}.

For å lette oppfatningen har vi skrevet ned divisorene her ( elementer i settet) i stigende rekkefølge, men generelt sett er dette ikke nødvendig. I tillegg introduserer vi en notasjonsforkortelse. I stedet for "Sett med divisorer av tallet 140" vil vi skrive "D(140)". Dermed,

På samme måte kan du finne settet med divisorer for et hvilket som helst annet naturlig tall. For eksempel fra nedbrytningen

105 = 3 ∙ 5 ∙ 7

vi får:

D(105) = (1, 3, 5, 7, 15, 21, 35, 105).

Fra settet med alle divisorer bør man skille settet med enkle divisorer, som for tallene 140 og 105 er like, henholdsvis:

PD(140) = (2, 5, 7).

PD(105) = (3, 5, 7).

Det bør spesielt understrekes at i dekomponeringen av tallet 140 til primfaktorer, dukker de to opp to ganger, mens det i settet PD(140) bare er én. Settet med PD(140) er i hovedsak alle svarene på problemet: "Finn primfaktoren til tallet 140." Det er klart at det samme svaret ikke bør gjentas mer enn én gang.

Redusere fraksjoner. Største felles deler

Tenk på brøken

Vi vet at denne brøken kan reduseres med et tall som både er en divisor av telleren (105) og en divisor av nevneren (140). La oss ta en titt på settene D(105) og D(140) og skrive ned deres felles elementer.

D(105) = (1, 3, 5, 7, 15, 21, 35, 105);

D(140) = (1, 2, 4, 5, 7, 10, 14, 20, 28, 35, 70, 140).

Vanlige elementer i settene D(105) og D(140) =

Den siste likheten kan skrives mer kort, nemlig:

D(105) ∩ D(140) = (1, 5, 7, 35).

Her indikerer spesialikonet “∩” (“pose med hullet nede”) at fra de to settene som er skrevet på motsatte sider av den, må kun vanlige elementer velges. Oppføringen "D(105) ∩ D(140)" lyder " kryss sett med De fra 105 og De fra 140."

[Merk underveis at du kan utføre ulike binære operasjoner med sett, nesten som med tall. En annen vanlig binær operasjon er Union, som er indikert med "∪"-ikonet ("pose med hullet vendt opp"). Foreningen av to sett inkluderer alle elementene i begge settene:

PD(105) = (3, 5, 7);

PD(140) = (2, 5, 7);

PD(105) ∪ PD(140) = (2, 3, 5, 7). ]

Så vi fant ut at brøken

kan reduseres med hvilket som helst av tallene som tilhører settet

D(105) ∩ D(140) = (1, 5, 7, 35)

og kan ikke reduseres med noe annet naturlig tall. Her er alle mulige snarveier (bortsett fra den uinteressante forkortingen med én):

Det er åpenbart mest praktisk å redusere brøken med et tall som er så stort som mulig. I dette tilfellet er dette tallet 35, som sies å være største felles deler (GCD) nummer 105 og 140. Dette skrives som

GCD(105; 140) = 35.

Men i praksis, hvis vi får to tall og trenger å finne deres største felles divisor, bør vi ikke konstruere noen sett i det hele tatt. Det er nok å ganske enkelt dekomponere begge tallene til primfaktorer og fremheve de av disse faktorene som er felles for begge dekomponeringene, for eksempel:

105 = 3 ∙ 5 ∙ 7 ;

140 = 2 ∙ 2 ∙ 5 ∙ 7 .

Ved å multiplisere de understrekede tallene (i hvilken som helst av utvidelsene), får vi:

gcd(105, 140) = 5 ∙ 7 = 35.

Selvfølgelig er det mulig at det vil være mer enn to understrekede faktorer:

168 = 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 3 ∙ 7;

396 = 2 ∙ 2 ∙ 3 ∙ 3 ∙ 11.

Av dette er det klart at

gcd(168, 396) = 2 ∙ 2 ∙ 3 = 12.

Situasjonen fortjener spesiell omtale når det ikke er noen felles faktorer i det hele tatt og det ikke er noe å understreke, for eksempel:

42 = 2 ∙ 3 ∙ 7;

I dette tilfellet,

GCD(42; 55) = 1.

To naturlige tall der GCD er lik én kalles gjensidig prime. Hvis du lager en brøk fra slike tall, for eksempel,

da er en slik brøk irreduserbar.

Generelt sett kan regelen for å redusere brøker skrives som følger:

Her er det antatt at en Og b er naturlige tall, og hele brøken er positiv. Hvis vi nå legger til et minustegn på begge sider av denne likheten, får vi den tilsvarende regelen for negative brøker.

Legge til og trekke fra brøker. Minste felles multiplum

Anta at du må beregne summen av to brøker:

Vi vet allerede hvordan nevnere blir delt inn i primfaktorer:

105 = 3 ∙ 5 ∙ 7 ;

140 = 2 ∙ 2 ∙ 5 ∙ 7 .

Fra denne dekomponeringen følger det umiddelbart at for å bringe brøker til en fellesnevner, er det nok å multiplisere telleren og nevneren til den første brøken med 2 ∙ 2 (produktet av de ubetonte primfaktorene til den andre nevneren), og telleren og nevneren for den andre brøken med 3 («produkt» ubetonede primfaktorer for den første nevneren). Som et resultat vil nevnerne til begge brøkene bli lik tallet, som kan representeres som følger:

2 ∙ 2 ∙ 3 ∙ 5 ∙ 7 = 105 ∙ 2 ∙ 2 = 140 ∙ 3 = 420.

Det er lett å se at begge de opprinnelige nevnerne (både 105 og 140) er divisorer av tallet 420, og tallet 420 er på sin side et multiplum av begge nevnerne - og ikke bare et multiplum, det er minste felles multiplum (INGEN C) nummer 105 og 140. Det er skrevet slik:

LCM(105; 140) = 420.

Ved å se nærmere på dekomponeringen av tallene 105 og 140, ser vi at

105 ∙ 140 = GCD(105, 140) ∙ GCD(105, 140).

Tilsvarende for vilkårlige naturlige tall b Og d:

b ∙ d= LOC( b, d) ∙ GCD( b, d).

La oss nå fullføre summeringen av brøkene våre:

Det minste felles multiplum av to tall er direkte relatert til den største felles divisor av disse tallene. Dette forbindelse mellom GCD og NOC bestemmes av følgende teorem.

Teorem.

Det minste felles multiplum av to positive heltall a og b er lik produktet av a og b delt på den største felles divisor av a og b, dvs. LCM(a, b)=a b:GCD(a, b).

Bevis.

La M er et multiplum av tallene a og b. Det vil si at M er delelig med a, og ved definisjonen av delbarhet er det et heltall k slik at likheten M=a·k er sann. Men M er også delelig med b, da er a·k delelig med b.

La oss betegne gcd(a, b) som d. Da kan vi skrive likhetene a=a 1 ·d og b=b 1 ·d, og a 1 =a:d og b 1 =b:d vil være relativt primtall. Følgelig kan betingelsen oppnådd i forrige avsnitt om at a · k er delelig med b omformuleres som følger: a 1 · d · k er delt med b 1 · d , og dette, på grunn av delebarhetsegenskaper, er ekvivalent med betingelsen at a 1 · k er delelig med b 1 .

Du må også skrive ned to viktige konsekvenser fra teoremet som vurderes.

Fellesmultiplene til to tall er de samme som multiplene av deres minste felles multiplum.

Dette er faktisk tilfelle, siden ethvert felles multiplum av M av tallene a og b bestemmes av likheten M=LMK(a, b)·t for en heltallsverdi t.

Det minste felles multiplum av positive primtall a og b er lik deres produkt.

Begrunnelsen for dette faktum er ganske åpenbar. Siden a og b er relativt primtall, så er gcd(a, b)=1, derfor, GCD(a, b)=a b: GCD(a, b)=a b:1=a b.

Minste felles multiplum av tre eller flere tall

Å finne det minste felles multiplumet av tre eller flere tall kan reduseres til sekvensielt å finne LCM for to tall. Hvordan dette gjøres er angitt i følgende teorem: a 1 , a 2 , …, a k faller sammen med fellesmultiplene til tallene m k-1 og a k , derfor sammenfaller med fellesmultiplene til tallet m k . Og siden det minste positive multiplum av tallet m k er tallet m k selv, så er det minste felles multiplum av tallene a 1, a 2, ..., a k m k.

Bibliografi.

• Vilenkin N.Ya. og andre Matematikk. 6. klasse: lærebok for allmennutdanningsinstitusjoner.
• Vinogradov I.M. Grunnleggende om tallteori.
• Mikhelovich Sh.H. Tallteori.
• Kulikov L.Ya. m.fl. Oppgavesamling i algebra og tallteori: Lærebok for elever i fysikk og matematikk. spesialiteter ved pedagogiske institutter.