Hvordan beregne summen av en geometrisk progresjon. Aritmetiske og geometriske progresjoner
Hvis hvert naturlig tall n samsvarer med et reelt tall en n , så sier de at gitt nummerrekkefølge :
en 1 , en 2 , en 3 , . . . , en n , . . . .
Så en numerisk sekvens er en funksjon av et naturlig argument.
Antall en 1 kalt det første medlemmet av sekvensen , Antall en 2 — det andre medlemmet av sekvensen , Antall en 3 — tredje og så videre. Antall en n kalt nte medlem av sekvensen , og det naturlige tallet n — nummeret hans .
Fra to nabomedlemmer en n Og en n +1 medlemssekvenser en n +1 kalt senere (mot en n ), A en n — tidligere (mot en n +1 ).
For å spesifisere en sekvens, må du spesifisere en metode som lar deg finne et sekvensmedlem med et hvilket som helst tall.
Ofte er rekkefølgen gitt med nth term formler , det vil si en formel som lar deg bestemme et sekvensmedlem ved nummeret.
For eksempel,
sekvensen av positive oddetall kan gis av formelen
en n= 2n- 1,
og sekvensen av alternerende 1 Og -1 - formel
b n = (-1)n +1 . ◄
Rekkefølgen kan bestemmes tilbakevendende formel, det vil si en formel som uttrykker et hvilket som helst medlem av sekvensen, starter med noen, gjennom de forrige (ett eller flere) medlemmene.
For eksempel,
Hvis en 1 = 1 , A en n +1 = en n + 5
en 1 = 1,
en 2 = en 1 + 5 = 1 + 5 = 6,
en 3 = en 2 + 5 = 6 + 5 = 11,
en 4 = en 3 + 5 = 11 + 5 = 16,
en 5 = en 4 + 5 = 16 + 5 = 21.
Hvis en 1= 1, en 2 = 1, en n +2 = en n + en n +1 , deretter settes de første syv medlemmene av den numeriske sekvensen som følger:
en 1 = 1,
en 2 = 1,
en 3 = en 1 + en 2 = 1 + 1 = 2,
en 4 = en 2 + en 3 = 1 + 2 = 3,
en 5 = en 3 + en 4 = 2 + 3 = 5,
en 6 = en 4 + en 5 = 3 + 5 = 8,
en 7 = en 5 + en 6 = 5 + 8 = 13. ◄
Sekvenser kan være endelig Og endeløs .
Sekvensen kalles ultimat hvis den har et begrenset antall medlemmer. Sekvensen kalles endeløs hvis den har uendelig mange medlemmer.
For eksempel,
rekkefølge av tosifrede naturlige tall:
10, 11, 12, 13, . . . , 98, 99
endelig.
Primtallssekvens:
2, 3, 5, 7, 11, 13, . . .
endeløs. ◄
Sekvensen kalles økende , hvis hvert av medlemmene, fra det andre, er større enn det forrige.
Sekvensen kalles avtar , hvis hvert av medlemmene, fra det andre, er mindre enn det forrige.
For eksempel,
2, 4, 6, 8, . . . , 2n, . . . er en stigende sekvens;
1, 1 / 2 , 1 / 3 , 1 / 4 , . . . , 1 /n, . . . er en synkende sekvens. ◄
En sekvens hvis elementer ikke reduseres med økende antall, eller omvendt ikke øker, kalles monoton sekvens .
Monotoniske sekvenser er spesielt økende sekvenser og avtagende sekvenser.
Aritmetisk progresjon
Aritmetisk progresjon en sekvens kalles, hvor hvert medlem, fra det andre, er lik den forrige, som det samme tallet er lagt til.
en 1 , en 2 , en 3 , . . . , en n, . . .
er en aritmetisk progresjon hvis for et hvilket som helst naturlig tall n betingelsen er oppfylt:
en n +1 = en n + d,
Hvor d - et nummer.
Dermed er forskjellen mellom de neste og de forrige medlemmene av en gitt aritmetisk progresjon alltid konstant:
en 2 - en 1 = en 3 - en 2 = . . . = en n +1 - en n = d.
Antall d kalt forskjellen på en aritmetisk progresjon.
For å angi en aritmetisk progresjon, er det nok å spesifisere det første leddet og forskjellen.
For eksempel,
Hvis en 1 = 3, d = 4 , så finnes de fem første leddene i sekvensen som følger:
en 1 =3,
en 2 = en 1 + d = 3 + 4 = 7,
en 3 = en 2 + d= 7 + 4 = 11,
en 4 = en 3 + d= 11 + 4 = 15,
en 5 = en 4 + d= 15 + 4 = 19. ◄
For en aritmetisk progresjon med første ledd en 1 og forskjell d henne n
en n = en 1 + (n- 1)d.
For eksempel,
finn det trettiende leddet i en aritmetisk progresjon
1, 4, 7, 10, . . .
en 1 =1, d = 3,
en 30 = en 1 + (30 - 1)d= 1 + 29· 3 = 88. ◄
en n-1 = en 1 + (n- 2)d,
en n= en 1 + (n- 1)d,
en n +1 = en 1 + nd,
da åpenbart
| en n=
| a n-1 + a n+1
|
| 2
|
hvert medlem av den aritmetiske progresjonen, fra den andre, er lik det aritmetiske gjennomsnittet av de forrige og påfølgende medlemmene.
tallene a, b og c er påfølgende medlemmer av en eller annen aritmetisk progresjon hvis og bare hvis en av dem er lik det aritmetiske gjennomsnittet av de to andre.
For eksempel,
en n = 2n- 7 , er en aritmetisk progresjon.
La oss bruke utsagnet ovenfor. Vi har:
en n = 2n- 7,
en n-1 = 2(n- 1) - 7 = 2n- 9,
en n+1 = 2(n+ 1) - 7 = 2n- 5.
Derfor,
| a n+1 + a n-1
| =
| 2n- 5 + 2n- 9
| = 2n- 7 = en n,
|
| 2
| 2
|
◄
Noter det n -th medlem av en aritmetisk progresjon kan finnes ikke bare gjennom en 1 , men også alle tidligere en k
en n = en k + (n- k)d.
For eksempel,
Til en 5 kan skrives
en 5 = en 1 + 4d,
en 5 = en 2 + 3d,
en 5 = en 3 + 2d,
en 5 = en 4 + d. ◄
en n = en n-k + kd,
en n = a n+k - kd,
da åpenbart
| en n=
| en n-k
+ a n+k
|
| 2
|
ethvert medlem av en aritmetisk progresjon, fra den andre, er lik halvparten av summen av medlemmene av denne aritmetiske progresjonen med lik avstand fra den.
I tillegg, for enhver aritmetisk progresjon, er likheten sann:
a m + a n = a k + a l,
m + n = k + l.
For eksempel,
i aritmetisk progresjon
1) en 10 = 28 = (25 + 31)/2 = (en 9 + en 11 )/2;
2) 28 = en 10 = en 3 + 7d= 7 + 7 3 = 7 + 21 = 28;
3) en 10= 28 = (19 + 37)/2 = (en 7 + en 13)/2;
4) a 2 + a 12 = a 5 + a 9, fordi
en 2 + en 12= 4 + 34 = 38,
en 5 + en 9 = 13 + 25 = 38. ◄
S n= a 1 + a 2 + a 3 + . . .+ en n,
først n medlemmer av en aritmetisk progresjon er lik produktet av halvparten av summen av ekstremleddene med antall ledd:
Spesielt av dette følger det at dersom det er nødvendig å summere vilkårene
en k, en k +1 , . . . , en n,
da beholder den forrige formelen sin struktur:
For eksempel,
i aritmetisk progresjon 1, 4, 7, 10, 13, 16, 19, 22, 25, 28, 31, 34, 37, . . .
S 10 = 1 + 4 + . . . + 28 = (1 + 28) · 10/2 = 145;
10 + 13 + 16 + 19 + 22 + 25 + 28 = S 10 - S 3 = (10 + 28 ) · (10 - 4 + 1)/2 = 133. ◄
Hvis en aritmetisk progresjon er gitt, så mengdene en 1 , en n, d, n OgS n koblet sammen med to formler:
Derfor, hvis verdiene til tre av disse mengdene er gitt, bestemmes de tilsvarende verdiene til de to andre mengdene fra disse formlene kombinert til et system med to ligninger med to ukjente.
En aritmetisk progresjon er en monoton sekvens. Hvori:
- Hvis d > 0 , da øker det;
- Hvis d < 0 , da er det avtagende;
- Hvis d = 0 , da vil sekvensen være stasjonær.
Geometrisk progresjon
geometrisk progresjon en sekvens kalles, hvor hvert ledd, fra den andre, er lik den forrige, multiplisert med det samme tallet.
b 1 , b 2 , b 3 , . . . , b n, . . .
er en geometrisk progresjon hvis for et hvilket som helst naturlig tall n betingelsen er oppfylt:
b n +1 = b n · q,
Hvor q ≠ 0 - et nummer.
Dermed er forholdet mellom neste ledd i denne geometriske progresjonen og den forrige et konstant tall:
b 2 / b 1 = b 3 / b 2 = . . . = b n +1 / b n = q.
Antall q kalt nevner for en geometrisk progresjon.
For å angi en geometrisk progresjon er det nok å spesifisere dens første ledd og nevner.
For eksempel,
Hvis b 1 = 1, q = -3 , så finnes de fem første leddene i sekvensen som følger:
b 1 = 1,
b 2 = b 1 · q = 1 · (-3) = -3,
b 3 = b 2 · q= -3 · (-3) = 9,
b 4 = b 3 · q= 9 · (-3) = -27,
b 5 = b 4 · q= -27 · (-3) = 81. ◄
b 1 og nevner q henne n -te ledd kan finnes ved formelen:
b n = b 1 · q n -1 .
For eksempel,
finn det syvende leddet i en geometrisk progresjon 1, 2, 4, . . .
b 1 = 1, q = 2,
b 7 = b 1 · q 6 = 1 2 6 = 64. ◄
bn-1 = b 1 · q n -2 ,
b n = b 1 · q n -1 ,
b n +1 = b 1 · q n,
da åpenbart
b n 2 = b n -1 · b n +1 ,
hvert medlem av den geometriske progresjonen, fra den andre, er lik det geometriske gjennomsnittet (proporsjonal) av de forrige og påfølgende elementene.
Siden det motsatte også er sant, gjelder følgende påstand:
tallene a, b og c er påfølgende medlemmer av en eller annen geometrisk progresjon hvis og bare hvis kvadratet til en av dem er lik produktet av de to andre, det vil si at ett av tallene er det geometriske gjennomsnittet av de to andre.
For eksempel,
la oss bevise at sekvensen gitt av formelen b n= -3 2 n , er en geometrisk progresjon. La oss bruke utsagnet ovenfor. Vi har:
b n= -3 2 n,
b n -1 = -3 2 n -1 ,
b n +1 = -3 2 n +1 .
Derfor,
b n 2 = (-3 2 n) 2 = (-3 2 n -1 ) (-3 2 n +1 ) = b n -1 · b n +1 ,
som beviser den nødvendige påstanden. ◄
Noter det n leddet i en geometrisk progresjon kan ikke bare finnes gjennom b 1 , men også en hvilken som helst tidligere periode b k , som det er tilstrekkelig å bruke formelen for
b n = b k · q n - k.
For eksempel,
Til b 5 kan skrives
b 5 = b 1 · q 4 ,
b 5 = b 2 · q 3,
b 5 = b 3 · q2,
b 5 = b 4 · q. ◄
b n = b k · q n - k,
b n = b n - k · q k,
da åpenbart
b n 2 = b n - k· b n + k
kvadratet til ethvert medlem av en geometrisk progresjon, fra den andre, er lik produktet av medlemmene av denne progresjonen like langt fra den.
I tillegg, for enhver geometrisk progresjon, er likheten sann:
b m· b n= b k· b l,
m+ n= k+ l.
For eksempel,
eksponensielt
1) b 6 2 = 32 2 = 1024 = 16 · 64 = b 5 · b 7 ;
2) 1024 = b 11 = b 6 · q 5 = 32 · 2 5 = 1024;
3) b 6 2 = 32 2 = 1024 = 8 · 128 = b 4 · b 8 ;
4) b 2 · b 7 = b 4 · b 5 , fordi
b 2 · b 7 = 2 · 64 = 128,
b 4 · b 5 = 8 · 16 = 128. ◄
S n= b 1 + b 2 + b 3 + . . . + b n
først n termer av en geometrisk progresjon med en nevner q ≠ 0 beregnet med formelen:
Og når q = 1 - i henhold til formelen
S n= n.b. 1
Merk at hvis vi trenger å summere vilkårene
b k, b k +1 , . . . , b n,
så brukes formelen:
| S n- Sk -1 = b k + b k +1 + . . . + b n = b k · | 1 - q n -
k +1
| . |
| 1 - q
|
For eksempel,
eksponensielt 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, 512, 1024, . . .
S 10 = 1 + 2 + . . . + 512 = 1 · (1 - 2 10) / (1 - 2) = 1023;
64 + 128 + 256 + 512 = S 10 - S 6 = 64 · (1 - 2 10-7+1) / (1 - 2) = 960. ◄
Hvis en geometrisk progresjon er gitt, så mengdene b 1 , b n, q, n Og S n koblet sammen med to formler:
Derfor, hvis verdiene til tre av disse mengdene er gitt, blir de tilsvarende verdiene til de to andre mengdene bestemt fra disse formlene kombinert til et system med to ligninger med to ukjente.
For en geometrisk progresjon med første ledd b 1 og nevner q følgende finner sted monotoniske egenskaper :
- progresjonen øker hvis en av følgende betingelser er oppfylt:
b 1 > 0 Og q> 1;
b 1 < 0 Og 0 < q< 1;
- En progresjon avtar hvis en av følgende betingelser er oppfylt:
b 1 > 0 Og 0 < q< 1;
b 1 < 0 Og q> 1.
Hvis q< 0 , da er den geometriske progresjonen fortegnsvekslende: dens oddetallsledd har samme fortegn som dens første ledd, og partallsleddene har motsatt fortegn. Det er klart at en vekslende geometrisk progresjon ikke er monoton.
Produktet av den første n termer for en geometrisk progresjon kan beregnes ved formelen:
P n= b 1 · b 2 · b 3 · . . . · b n = (b 1 · b n) n / 2 .
For eksempel,
1 · 2 · 4 · 8 · 16 · 32 · 64 · 128 = (1 · 128) 8/2 = 128 4 = 268 435 456;
3 · 6 · 12 · 24 · 48 = (3 · 48) 5/2 = (144 1/2) 5 = 12 5 = 248 832.◄
Uendelig avtagende geometrisk progresjon
Uendelig avtagende geometrisk progresjon kalles en uendelig geometrisk progresjon hvis nevnermodul er mindre enn 1 , det er
|q| < 1 .
Merk at en uendelig avtagende geometrisk progresjon kanskje ikke er en avtagende sekvens. Dette passer til saken
1 < q< 0 .
Med en slik nevner er sekvensen fortegnsvekslende. For eksempel,
1, - 1 / 2 , 1 / 4 , - 1 / 8 , . . . .
Summen av en uendelig avtagende geometrisk progresjon navngi tallet som summen av den første n vilkår for progresjonen med en ubegrenset økning i antallet n . Dette tallet er alltid endelig og uttrykkes med formelen
| S= b 1 + b 2 + b 3 + . . . = | b 1
| . |
| 1 - q
|
For eksempel,
10 + 1 + 0,1 + 0,01 + . . . = 10 / (1 - 0,1) = 11 1 / 9 ,
10 - 1 + 0,1 - 0,01 + . . . = 10 / (1 + 0,1) = 9 1 / 11 . ◄
Sammenheng mellom aritmetiske og geometriske progresjoner
Aritmetiske og geometriske progresjoner er nært beslektet. La oss vurdere bare to eksempler.
en 1 , en 2 , en 3 , . . . d , Det
b a 1 , b a 2 , b a 3 , . . . b d .
For eksempel,
1, 3, 5, . . . — aritmetisk progresjon med forskjell 2 Og
7 1 , 7 3 , 7 5 , . . . er en geometrisk progresjon med en nevner 7 2 . ◄
b 1 , b 2 , b 3 , . . . er en geometrisk progresjon med en nevner q , Det
logg a b 1, logg a b 2, logg a b 3, . . . — aritmetisk progresjon med forskjell logg aq .
For eksempel,
2, 12, 72, . . . er en geometrisk progresjon med en nevner 6 Og
lg 2, lg 12, lg 72, . . . — aritmetisk progresjon med forskjell lg 6 . ◄
En geometrisk progresjon er en ny type tallrekke som vi må bli kjent med. For et vellykket bekjentskap skader det ikke å i det minste vite og forstå. Da vil det ikke være noe problem med geometrisk progresjon.)
Hva er en geometrisk progresjon? Konseptet med geometrisk progresjon.
Vi starter turen, som vanlig, med det elementære. Jeg skriver en uferdig rekkefølge av tall:
1, 10, 100, 1000, 10000, …
Kan du fange et mønster og fortelle hvilke tall som vil gå videre? Pepperen er klar, tallene 100000, 1000000 og så videre vil gå lenger. Selv uten mye psykisk stress er alt klart, ikke sant?)
OK. Et annet eksempel. Jeg skriver følgende sekvens:
1, 2, 4, 8, 16, …
Kan du fortelle hvilke tall som kommer neste, etter tallet 16 og navn åttende sekvensmedlem? Hvis du fant ut at det ville være tallet 128, så veldig bra. Så, halve kampen er i forståelse betydning Og viktige punkter geometrisk progresjon allerede utført. Du kan vokse videre.)
Og nå vender vi igjen fra sensasjoner til streng matematikk.
Nøkkelmomenter i en geometrisk progresjon.
Nøkkeløyeblikk #1
Den geometriske progresjonen er rekkefølge av tall. Det samme er progresjon. Ikke noe vanskelig. Har akkurat ordnet denne sekvensen annerledes. Derfor har den selvfølgelig et annet navn, ja ...
Nøkkeløyeblikk #2
Med det andre nøkkelpunktet vil spørsmålet være vanskeligere. La oss gå litt tilbake og huske nøkkelegenskapen til en aritmetisk progresjon. Her er det: hvert medlem er forskjellig fra det forrige med samme beløp.
Er det mulig å formulere en lignende nøkkelegenskap for en geometrisk progresjon? Tenk litt... Ta en titt på eksemplene gitt. gjettet? Ja! I en geometrisk progresjon (hvilken som helst!) skiller hvert av medlemmene seg fra det forrige i samme antall ganger. Alltid!
I det første eksemplet er dette tallet ti. Uansett hvilken term av sekvensen du tar, er den større enn den forrige ti ganger.
I det andre eksemplet er dette en to: hvert medlem er større enn det forrige. to ganger.
Det er i dette nøkkelpunktet at den geometriske progresjonen er forskjellig fra den aritmetiske. I en aritmetisk progresjon oppnås hvert neste ledd legger til av samme verdi som forrige termin. Og her - multiplikasjon forrige termin med samme beløp. Det er forskjellen.)
Nøkkeløyeblikk #3
Dette nøkkelpunktet er helt identisk med det for en aritmetisk progresjon. Nemlig: hvert medlem av den geometriske progresjonen er på sin plass. Alt er akkurat det samme som i aritmetisk progresjon og kommentarer synes jeg er unødvendige. Det er første termin, det er hundre og første, og så videre. La oss omorganisere minst to medlemmer - mønsteret (og med det den geometriske progresjonen) vil forsvinne. Det som gjenstår er bare en tallsekvens uten noen logikk.
Det er alt. Det er hele poenget med geometrisk progresjon.
Vilkår og betegnelser.
Og nå, etter å ha behandlet betydningen og nøkkelpunktene i den geometriske progresjonen, kan vi gå videre til teorien. Ellers, hva er en teori uten å forstå meningen, ikke sant?
Hva er en geometrisk progresjon?
Hvordan skrives en geometrisk progresjon generelt? Ikke noe problem! Hvert medlem av progresjonen er også skrevet som et brev. Kun for aritmetisk progresjon brukes vanligvis bokstaven "EN", for geometrisk - bokstav "b". Medlemsnummer, som vanlig, er indikert nedre høyre indeks. Medlemmene av selve progresjonen er ganske enkelt oppført atskilt med komma eller semikolon.
Som dette:
b1,b 2 , b 3 , b 4 , b 5 , b 6 , …
Kort fortalt er en slik progresjon skrevet som følger: (b n) .
Eller som dette, for endelige progresjoner:
b 1, b 2, b 3, b 4, b 5, b 6.
b 1, b 2, ..., b 29, b 30.
Eller kort sagt:
(b n), n=30 .
Det er faktisk alle betegnelsene. Alt er likt, bare bokstaven er annerledes, ja.) Og nå går vi direkte til definisjonen.
Definisjon av en geometrisk progresjon.
En geometrisk progresjon er en numerisk sekvens, hvis første ledd er ikke-null, og hvert påfølgende ledd er lik det forrige leddet multiplisert med det samme ikke-null-tallet.
Det er hele definisjonen. De fleste ordene og uttrykkene er klare og kjente for deg. Med mindre du selvfølgelig forstår betydningen av en geometrisk progresjon "på fingrene" og generelt. Men det er også noen nye fraser som jeg vil trekke spesiell oppmerksomhet til.
Først ordene: "hvorav den første perioden forskjellig fra null".
Denne begrensningen på den første perioden ble ikke innført ved en tilfeldighet. Hva tror du vil skje hvis første termin b 1 viser seg å være null? Hva blir den andre terminen hvis hver termin er større enn den forrige like mange ganger? La oss si tre ganger? La oss se... Multipliser det første leddet (dvs. 0) med 3 og få... null! Og det tredje medlemmet? Null også! Og fjerde termin er også null! Og så videre…
Vi får bare en pose bagels en sekvens med nuller:
0, 0, 0, 0, …
Selvfølgelig har en slik sekvens livets rett, men den har ingen praktisk interesse. Alt er så klart. Noen av medlemmene er null. Summen av et hvilket som helst antall medlemmer er også null ... Hvilke interessante ting kan du gjøre med det? Ingenting…
Følgende nøkkelord: "multiplisert med samme tall som ikke er null".
Det samme nummeret har også sitt eget spesielle navn - nevner for en geometrisk progresjon. La oss begynne å date.)
Nevneren for en geometrisk progresjon.
Alt er enkelt.
Nevneren for en geometrisk progresjon er et tall som ikke er null (eller verdi) som indikerer hvor mange gangerhvert medlem av progresjonen mer enn den forrige.
Igjen, analogt med den aritmetiske progresjonen, er nøkkelordet å ta hensyn til i denne definisjonen ordet "mer". Det betyr at hvert ledd i en geometrisk progresjon oppnås multiplikasjon til nettopp denne nevneren tidligere medlem.
Jeg forklarer.
For å beregne, la oss si sekund medlem å ta først medlem og multiplisere det til nevneren. For beregning tiende medlem å ta niende medlem og multiplisere det til nevneren.
Selve nevneren for den geometriske progresjonen kan være hva som helst. Absolutt hvem som helst! Heltall, brøk, positiv, negativ, irrasjonell - alle. Bortsett fra null. Dette er hva ordet "ikke-null" i definisjonen forteller oss om. Hvorfor dette ordet trengs her - mer om det senere.
Nevner for en geometrisk progresjon vanligvis betegnet med en bokstav q.
Hvordan finne denne q? Ikke noe problem! Vi må ta hvilken som helst termin av progresjonen og del på forrige termin. Divisjon er brøkdel. Derav navnet - "nevneren for progresjon." Nevneren, den sitter vanligvis i en brøk, ja ...) Selv om, logisk sett, verdien q bør kalles privat geometrisk progresjon, lik forskjell for en aritmetisk progresjon. Men gikk med på å ringe nevner. Og vi vil heller ikke finne opp hjulet på nytt.)
La oss definere for eksempel verdien q for denne geometriske progresjonen:
2, 6, 18, 54, …
Alt er elementært. Vi tar noen sekvensnummer. Det vi ønsker er det vi tar. Bortsett fra den aller første. For eksempel 18. Og del med forrige nummer. Det vil si klokken 6.
Vi får:
q = 18/6 = 3
Det er alt. Dette er det riktige svaret. For en gitt geometrisk progresjon er nevneren tre.
La oss finne nevneren q for en annen geometrisk progresjon. For eksempel slik:
1, -2, 4, -8, 16, …
Alt det samme. Uansett hvilke tegn medlemmene selv har, tar vi likevel noen sekvensnummer (for eksempel 16) og del med forrige nummer(dvs. -8).
Vi får:
d = 16/(-8) = -2
Og det var det.) Denne gangen viste progresjonens nevner seg å være negativ. Minus to. Skjer.)
La oss ta denne progresjonen:
1, 1/3, 1/9, 1/27, …
Og igjen, uavhengig av typen tall i sekvensen (like heltall, til og med brøk, til og med negative, til og med irrasjonelle), tar vi et hvilket som helst tall (for eksempel 1/9) og deler med forrige tall (1/3). Etter reglene for operasjoner med brøker, selvfølgelig.
Vi får:
Det er alt.) Her viste nevneren seg å være brøk: q = 1/3.
Men en slik "progresjon" som deg?
3, 3, 3, 3, 3, …
Tydeligvis her q = 1 . Formelt sett er dette også en geometrisk progresjon, kun med samme medlemmer.) Men slike progresjoner er ikke interessante for studier og praktisk anvendelse. Akkurat som progresjoner med solide nuller. Derfor vil vi ikke vurdere dem.
Som du kan se, kan nevneren for progresjonen være hva som helst - heltall, brøk, positiv, negativ - hva som helst! Det kan ikke bare være null. Gjettet ikke hvorfor?
Vel, la oss se på et spesifikt eksempel, hva vil skje hvis vi tar som en nevner q null.) La oss for eksempel ha b 1 = 2 , A q = 0 . Hva blir andre periode da?
Vi tror:
b 2 = b 1 · q= 2 0 = 0
Og det tredje medlemmet?
b 3 = b 2 · q= 0 0 = 0
Typer og oppførsel av geometriske progresjoner.
Med alt var mer eller mindre klart: hvis forskjellen i progresjonen d er positiv, øker progresjonen. Hvis forskjellen er negativ, avtar progresjonen. Det er bare to alternativer. Det er ingen tredje.)
Men med oppførselen til en geometrisk progresjon, vil alt være mye mer interessant og mangfoldig!)
Så snart medlemmene oppfører seg her: de øker og minker, og nærmer seg null i det uendelige, og endrer til og med tegn, vekselvis haster de enten til "pluss" eller til "minus"! Og i alt dette mangfoldet må man kunne forstå godt, ja ...
Vi forstår?) La oss starte med den enkleste saken.
Nevneren er positiv ( q >0)
Med en positiv nevner kan for det første medlemmene av en geometrisk progresjon gå inn pluss uendelig(dvs. øke på ubestemt tid) og kan gå inn minus uendelig(dvs. reduseres på ubestemt tid). Vi har allerede blitt vant til slik oppførsel av progresjoner.
For eksempel:
(b n): 1, 2, 4, 8, 16, …
Alt er enkelt her. Hvert medlem av progresjonen er mer enn forrige. Og hvert medlem får multiplikasjon forrige medlem på positivt nummer +2 (dvs. q = 2 ). Oppførselen til en slik progresjon er åpenbar: alle medlemmer av progresjonen vokser i det uendelige og går ut i verdensrommet. Pluss uendelig...
Nå her er progresjonen:
(b n): -1, -2, -4, -8, -16, …
Også her innhentes hvert ledd av progresjonen multiplikasjon forrige medlem på positivt nummer +2. Men oppførselen til en slik progresjon er allerede direkte motsatt: hvert medlem av progresjonen oppnås mindre enn tidligere, og alle dens termer reduseres i det uendelige, og går til minus uendelig.
La oss nå tenke: hva har disse to progresjonene til felles? Det stemmer, nevner! Her og der q = +2 . Positivt tall. Deuce. Og her oppførsel Disse to progresjonene er fundamentalt forskjellige! Gjettet ikke hvorfor? Ja! Alt handler om første medlem! Det er han, som de sier, som bestiller musikken.) Se selv.
I det første tilfellet, den første perioden av progresjonen positivt(+1) og derfor alle påfølgende ledd oppnådd ved å multiplisere med positivt nevner q = +2 , vil også positivt.
Men i det andre tilfellet, første termin negativ(-1). Derfor oppnås alle påfølgende medlemmer av progresjonen ved å multiplisere med positivt q = +2 , vil også bli innhentet negativ. For "minus" til "pluss" gir alltid "minus", ja.)
Som du kan se, i motsetning til en aritmetisk progresjon, kan en geometrisk progresjon oppføre seg på helt forskjellige måter, ikke bare avhengig av fra nevnerenq, men også avhengig fra det første medlemmet, Ja.)
Husk: oppførselen til en geometrisk progresjon er unikt bestemt av dets første medlem b 1 og nevnerq .
Og nå begynner vi analysen av mindre kjente, men mye mer interessante tilfeller!
Ta for eksempel følgende sekvens:
(b n): 1, 1/2, 1/4, 1/8, 1/16, …
Denne sekvensen er også en geometrisk progresjon! Hvert medlem av denne progresjonen oppnås også multiplikasjon forrige termin, med samme antall. Bare nummeret er brøk: q = +1/2 . Eller +0,5 . Og (viktig!) nummer, mindre:q = 1/2<1.
Hva er interessant med denne geometriske progresjonen? Hvor går medlemmene? La oss ta en titt:
1/2 = 0,5;
1/4 = 0,25;
1/8 = 0,125;
1/16 = 0,0625;
…….
Hva er interessant her? For det første er nedgangen i medlemmene av progresjonen umiddelbart slående: hvert av medlemmene mindre den forrige nøyaktig 2 ganger. Eller, i henhold til definisjonen av en geometrisk progresjon, hvert begrep mer tidligere 1/2 ganger, fordi progresjonsnevner q = 1/2 . Og fra å multiplisere med et positivt tall mindre enn én, reduseres vanligvis resultatet, ja ...
Hva mer kan sees i oppførselen til denne progresjonen? Forsvinner medlemmene? ubegrenset, går til minus uendelig? Nei! De forsvinner på en spesiell måte. Først avtar de ganske raskt, og deretter mer og saktere. Og hele tiden man blir positivt. Om enn veldig, veldig liten. Og hva streber de etter? Ikke gjettet? Ja! De har en tendens til null!) Og vær oppmerksom på medlemmene i vår progresjon aldri nå! Bare uendelig nær ham. Det er veldig viktig.)
En lignende situasjon vil være i en slik progresjon:
(b n): -1, -1/2, -1/4, -1/8, -1/16, …
Her b 1 = -1 , A q = 1/2 . Alt er det samme, bare nå vil medlemmene nærme seg null fra den andre siden, nedenfra. Blir hele tiden negativ.)
En slik geometrisk progresjon, medlemmene som nærmer seg null på ubestemt tid.(det spiller ingen rolle, på den positive eller negative siden), i matematikk har det et spesielt navn - uendelig avtagende geometrisk progresjon. Denne progresjonen er så interessant og uvanlig at den til og med blir det egen leksjon .)
Så vi har vurdert alt mulig positivt nevnerne er både store og mindre. Vi anser ikke selve den som en nevner av grunnene nevnt ovenfor (husk eksemplet med sekvensen av trippel ...)
Å oppsummere:
positivtOg mer enn en (q>1), deretter medlemmene av progresjonen:
en) øke på ubestemt tid (hvisb 1 >0);
b) reduseres på ubestemt tid (hvisb 1 <0).
Hvis nevneren for en geometrisk progresjon positivt Og mindre enn én (0< q<1), то члены прогрессии:
a) uendelig nær null ovenfor(Hvisb 1 >0);
b) uendelig nær null nedenfra(Hvisb 1 <0).
Det gjenstår nå å vurdere saken negativ nevner.
Nevneren er negativ ( q <0)
Vi vil ikke gå langt for et eksempel. Hvorfor, egentlig, raggete bestemor?!) La for eksempel det første medlemmet av progresjonen være b 1 = 1 , og ta nevneren q = -2.
Vi får følgende sekvens:
(b n): 1, -2, 4, -8, 16, …
Og så videre.) Hvert ledd i progresjonen oppnås multiplikasjon forrige medlem på et negativt tall-2. I dette tilfellet vil alle medlemmer på oddeplasser (første, tredje, femte, osv.) være positivt, og på jevne steder (andre, fjerde osv.) - negativ. Skiltene er strengt sammenflettet. Pluss-minus-pluss-minus ... En slik geometrisk progresjon kalles - økende tegn vekslende.
Hvor går medlemmene? Og ingen steder.) Ja, i absolutt verdi (dvs. modulo) betingelsene for vår progresjon øker i det uendelige (derav navnet "økende"). Men samtidig kaster hvert medlem av progresjonen det vekselvis inn i varmen, deretter i kulden. Enten pluss eller minus. Progresjonen vår svinger... Dessuten vokser spekteret av svingninger raskt for hvert trinn, ja.) Derfor er ambisjonene til medlemmene i progresjonen om å gå et sted nærmere bestemt Her Nei. Verken til pluss uendelig, eller til minus uendelig, eller til null – ingen steder.
Tenk nå på en brøknevner mellom null og minus én.
For eksempel, la det være b 1 = 1 , A q = -1/2.
Så får vi progresjonen:
(b n): 1, -1/2, 1/4, -1/8, 1/16, …
Og igjen har vi en veksling av tegn! Men, i motsetning til det forrige eksemplet, er det allerede her en klar tendens til at termer nærmer seg null.) Bare denne gangen nærmer våre termer seg null, ikke strengt tatt ovenfra eller nedenfra, men igjen nøler. Ta vekselvis enten positive eller negative verdier. Men samtidig de moduler kommer nærmere og nærmere det kjære nullpunktet.)
Denne geometriske progresjonen kalles uendelig avtagende vekseltegn.
Hvorfor er disse to eksemplene interessante? Og det faktum at i begge tilfeller finner sted vekslende karakterer! En slik brikke er typisk bare for progresjoner med en negativ nevner, ja.) Derfor, hvis du i en oppgave ser en geometrisk progresjon med vekslende ledd, vil du allerede godt vite at nevneren er 100 % negativ, og du vil ikke ta feil i skiltet.)
Forresten, i tilfelle av en negativ nevner, påvirker ikke tegnet til det første leddet oppførselen til selve progresjonen i det hele tatt. Uansett hva tegnet til det første medlemmet av progresjonen er, vil i alle fall tegnet på vekslingen av medlemmer bli observert. Hele spørsmålet er bare på hvilke steder(partall eller oddetall) vil det være medlemmer med spesifikke tegn.
Huske:
Hvis nevneren for en geometrisk progresjon negativ , så er tegnene på vilkårene for progresjonen alltid alternere.
Samtidig har medlemmene selv:
a) øke på ubestemt tidmodulo, Hvisq<-1;
b) nærme deg null uendelig hvis -1< q<0 (прогрессия бесконечно убывающая).
Det er alt. Alle typiske tilfeller blir analysert.)
I prosessen med å analysere en rekke eksempler på geometriske progresjoner, brukte jeg med jevne mellomrom ordene: "tender til null", "pleier å pluss uendelig", har en tendens til minus uendelig... Det er greit.) Disse talevendingene (og spesifikke eksempler) er bare et første bekjentskap med oppførsel ulike nummersekvenser. Et eksempel på en geometrisk progresjon.
Hvorfor trenger vi i det hele tatt å vite progresjonsatferden? Hvilken forskjell gjør det hvor hun går? Til null, til pluss uendelig, til minus uendelig ... Hva bryr vi oss om dette?
Saken er at allerede ved universitetet, i løpet av høyere matematikk, vil du trenge evnen til å jobbe med en rekke numeriske sekvenser (med alle, ikke bare progresjoner!) Og evnen til å forestille deg nøyaktig hvordan denne eller den sekvensen oppfører seg - om det øker ubegrenset, om det minker, om det har en tendens til et spesifikt tall (og ikke nødvendigvis til null), eller til og med ikke har en tendens til noe i det hele tatt ... En hel del er viet til dette emnet i løpet av matematisk analyse - grense teori. Litt mer spesifikt, konseptet grensen for nummersekvensen. Veldig interessant tema! Det er fornuftig å gå på college og finne ut av det.)
Noen eksempler fra denne delen (sekvenser som har en grense) og spesielt, uendelig avtagende geometrisk progresjon begynne å lære på skolen. Blir brukt.)
Dessuten vil evnen til å studere oppførselen til sekvenser godt i fremtiden spille i stor grad i hendene og vil være svært nyttig i funksjonsforskning. Den mest varierte. Men evnen til å jobbe kompetent med funksjoner (beregne derivater, utforske dem i sin helhet, bygge grafene deres) øker allerede det matematiske nivået ditt dramatisk! Tvil? Ikke nødvendig. Husk også ordene mine.)
La oss se på en geometrisk progresjon i livet?
I livet rundt oss møter vi eksponentiell progresjon veldig, veldig ofte. Uten engang å vite det.)
For eksempel multipliserer ulike mikroorganismer som omgir oss overalt i enorme mengder og som vi ikke en gang ser uten mikroskop nøyaktig i geometrisk progresjon.
La oss si at en bakterie formerer seg ved å dele seg i to, og gi avkom i 2 bakterier. På sin side deler hver av dem, multipliserer, seg også i to, noe som gir et felles avkom av 4 bakterier. Neste generasjon vil gi 8 bakterier, deretter 16 bakterier, 32, 64 og så videre. For hver påfølgende generasjon dobles antallet bakterier. Et typisk eksempel på en geometrisk progresjon.)
Også noen insekter - bladlus, fluer - formerer seg eksponentielt. Og kaniner noen ganger, forresten også.)
Et annet eksempel på en geometrisk progresjon, nærmere hverdagen, er den såkalte renters rente. Et slikt interessant fenomen finnes ofte i bankinnskudd og kalles rentekapitalisering. Hva det er?
Du selv er selvfølgelig fortsatt ung. Du studerer på skolen, du søker ikke til banker. Men foreldrene dine er voksne og selvstendige mennesker. De går på jobb, tjener penger til sitt daglige brød, og legger noen av pengene i banken og sparer.)
La oss si at faren din vil spare opp en viss sum penger til en familieferie i Tyrkia og sette 50 000 rubler i banken til 10 % per år i en periode på tre år med årlig rentekapitalisering. Dessuten kan ingenting gjøres med depositumet i hele denne perioden. Du kan verken fylle på innskuddet eller ta ut penger fra kontoen. Hvilket overskudd vil han tjene på disse tre årene?
Vel, først må du finne ut hva 10% per år er. Det betyr at på et år 10 % vil bli lagt til det første innskuddsbeløpet av banken. Fra hva? Selvfølgelig fra første innskuddsbeløp.
Beregn beløpet på kontoen i løpet av et år. Hvis det opprinnelige beløpet på innskuddet var 50 000 rubler (dvs. 100%), hvor mye vil renten være på kontoen om et år? Det stemmer, 110%! Fra 50 000 rubler.
Så vi vurderer 110% av 50 000 rubler:
50 000 1,1 \u003d 55 000 rubler.
Jeg håper du forstår at å finne 110 % av verdien betyr å multiplisere denne verdien med tallet 1,1? Hvis du ikke forstår hvorfor det er slik, husk femte og sjette klasse. Nemlig - forholdet mellom prosenter og brøker og deler.)
Dermed vil økningen for det første året være 5000 rubler.
Hvor mye penger er det på kontoen etter to år? 60 000 rubler? Dessverre (eller rettere sagt, heldigvis) er det ikke så enkelt. Hele trikset med rentekapitalisering er at med hver nye renteopptjening, vil de samme rentene bli vurdert allerede fra det nye beløpet! Fra den som allerede er på konto For øyeblikket. Og påløpte renter for forrige periode legges til det opprinnelige beløpet på innskuddet, og dermed deltar de selv i beregningen av ny rente! Det vil si at de blir en full del av totalkontoen. eller generelt hovedstad. Derav navnet - rentekapitalisering.
Det ligger i økonomien. Og i matematikk kalles slike prosenter renters rente. Eller prosent av prosent.) Trikset deres er at i sekvensiell beregning beregnes prosentene hver gang fra den nye verdien. Ikke fra originalen...
Derfor, for å beregne summen gjennom to år, må vi beregne 110 % av beløpet som vil stå på kontoen på et år. Det vil si allerede fra 55 000 rubler.
Vi vurderer 110% av 55 000 rubler:
55000 1,1 \u003d 60500 rubler.
Dette betyr at den prosentvise økningen for det andre året allerede vil være 5 500 rubler, og i to år - 10 500 rubler.
Nå kan du allerede gjette at om tre år vil beløpet på kontoen være 110% av 60 500 rubler. Det er igjen 110% fra forrige (i fjor) beløp.
Her vurderer vi:
60500 1,1 \u003d 66550 rubler.
Og nå bygger vi våre pengebeløp etter år i rekkefølge:
50000;
55000 = 50000 1.1;
60500 = 55000 1,1 = (50000 1,1) 1,1;
66550 = 60500 1,1 = ((50000 1,1) 1,1) 1,1
Så hvordan er det? Hvorfor ikke en geometrisk progresjon? Første medlem b 1 = 50000 , og nevneren q = 1,1 . Hver term er strengt tatt 1,1 ganger større enn den forrige. Alt er i strengt samsvar med definisjonen.)
Og hvor mange ekstra prosentbonuser vil faren din "falle inn" mens hans 50 000 rubler var på bankkontoen i tre år?
Vi tror:
66550 - 50000 = 16550 rubler
Det er ille, selvfølgelig. Men dette er hvis det opprinnelige beløpet for bidraget er lite. Hva om det er mer? Si, ikke 50, men 200 tusen rubler? Da vil økningen i tre år allerede være 66 200 rubler (hvis du teller). Som allerede er veldig bra.) Og hvis bidraget er enda større? Det er det det er...
Konklusjon: jo høyere innledende bidrag, jo mer lønnsomt blir rentekapitaliseringen. Det er grunnen til at innskudd med rentekapitalisering leveres av bankene i lange perioder. La oss si fem år.
Dessuten sprer alle slags dårlige sykdommer som influensa, meslinger og enda mer forferdelige sykdommer (den samme SARS på begynnelsen av 2000-tallet eller pesten i middelalderen) seg eksponentielt. Derav omfanget av epidemier, ja ...) Og alt på grunn av det faktum at en geometrisk progresjon med hele positiv nevner (q>1) – en ting som vokser veldig fort! Husk reproduksjonen av bakterier: fra en bakterie oppnås to, fra to - fire, fra fire - åtte, og så videre ... Med spredning av enhver infeksjon er alt det samme.)
De enkleste problemene i geometrisk progresjon.
La oss starte, som alltid, med et enkelt problem. Rent for å forstå meningen.
1. Det er kjent at andre ledd i en geometrisk progresjon er 6, og nevneren er -0,5. Finn første, tredje og fjerde ledd.
Så vi er gitt endeløs geometrisk progresjon, velkjent andre medlem denne progresjonen:
b2 = 6
I tillegg vet vi også progresjonsnevner:
q = -0,5
Og du må finne første, tredje Og fjerde medlemmer av denne progresjonen.
Her handler vi. Vi skriver ned sekvensen i henhold til tilstanden til problemet. Direkte generelt, der det andre medlemmet er de seks:
b1,6,b 3 , b 4 , …
La oss nå begynne å søke. Vi starter som alltid med det enkleste. Du kan for eksempel beregne tredje ledd b 3? Kan! Vi vet allerede (direkte i betydningen en geometrisk progresjon) at det tredje leddet (b 3) mer enn et sekund (b 2 ) V "q" en gang!
Så vi skriver:
b 3 =b 2 · q
Vi erstatter de seks i dette uttrykket i stedet for b 2 og -0,5 i stedet q og vi tenker. Og minus blir heller ikke ignorert, selvfølgelig ...
b 3 \u003d 6 (-0,5) \u003d -3
Som dette. Tredje termin viste seg å være negativ. Ikke rart: vår nevner q- negativ. Og pluss multiplisert med minus, vil det selvfølgelig være minus.)
Vi tar nå for oss neste, fjerde termin av progresjonen:
b 4 =b 3 · q
b 4 \u003d -3 (-0,5) \u003d 1,5
Det fjerde medlemmet er igjen med pluss. Den femte terminen blir igjen med minus, den sjette med pluss, og så videre. Skilt - vekselvis!
Så det tredje og fjerde medlemmet ble funnet. Resultatet er følgende sekvens:
b1; 6; -3; 1,5; …
Det gjenstår nå å finne den første termen b 1 ifølge den velkjente andre. For å gjøre dette, går vi i den andre retningen, til venstre. Dette betyr at i dette tilfellet trenger vi ikke å multiplisere andre ledd av progresjonen med nevneren, men dele.
Vi deler og får:
Det er alt.) Svaret på problemet vil være som følger:
-12; 6; -3; 1,5; …
Som du kan se, er løsningsprinsippet det samme som i . Vi vet noen medlem og nevner geometrisk progresjon - vi kan finne et hvilket som helst annet begrep. Uansett hva vi vil, finner vi en.) Den eneste forskjellen er at addisjon / subtraksjon erstattes av multiplikasjon / divisjon.
Husk: hvis vi kjenner minst ett medlem og nevner for en geometrisk progresjon, kan vi alltid finne et hvilket som helst annet medlem av denne progresjonen.
Følgende oppgave er ifølge tradisjonen fra den virkelige versjonen av OGE:
2.
…; 150; X; 6; 1,2; …
Så hvordan er det? Denne gangen er det ingen første term, ingen nevner q, bare en rekke tall er gitt ... Noe kjent allerede, ikke sant? Ja! Et lignende problem har allerede blitt behandlet i aritmetisk progresjon!
Her er vi ikke redde. Alt det samme. Snu på hodet og husk den grunnleggende betydningen av en geometrisk progresjon. Vi ser nøye på sekvensen vår og finner ut hvilke parametere for den geometriske progresjonen til de tre viktigste (første medlem, nevner, medlemsnummer) som er skjult i den.
Medlemsnummer? Det er ingen medlemsnummer, ja ... Men det er fire suksessiv tall. Hva dette ordet betyr, ser jeg ikke poenget med å forklare på dette stadiet.) Er det to nærliggende kjente tall? Spise! Disse er 6 og 1.2. Så vi kan finne progresjonsnevner. Så vi tar tallet 1,2 og deler til forrige nummer. For seks.
Vi får:
Vi får:
x= 150 0,2 = 30
Svar: x = 30 .
Som du kan se, er alt ganske enkelt. Den største vanskeligheten ligger bare i beregningene. Spesielt vanskelig er det når det gjelder negative og brøknevnere. Så de som har problemer, gjenta regnestykket! Hvordan jobbe med brøker, hvordan jobbe med negative tall, og så videre... Ellers vil du bremse nådeløst ned her.
La oss nå endre problemet litt. Nå blir det interessant! La oss fjerne det siste tallet 1.2 i den. La oss løse dette problemet nå:
3. Flere påfølgende ledd i en geometrisk progresjon er skrevet ut:
…; 150; X; 6; …
Finn leddet for progresjonen, angitt med bokstaven x.
Alt er det samme, bare to naboer berømt vi har ikke lenger medlemmer av progresjonen. Dette er hovedproblemet. Fordi størrelsen q gjennom to naboterminer, kan vi allerede enkelt fastslå vi kan ikke. Har vi en sjanse til å møte utfordringen? Sikkert!
La oss skrive det ukjente uttrykket " x"Direkte i betydningen en geometrisk progresjon! Generelt sett.
Ja Ja! Direkte med en ukjent nevner!
På den ene siden, for x kan vi skrive følgende forhold:
x= 150q
På den annen side har vi all rett til å male den samme X-en gjennom neste medlem, gjennom de seks! Del seks med nevneren.
Som dette:
x = 6/ q
Nå kan vi selvsagt sette likhetstegn mellom begge disse forholdene. Siden vi uttrykker det samme verdi (x), men to forskjellige måter.
Vi får ligningen:
Multiplisere alt med q, forenkle, redusere, får vi ligningen:
q 2 \u003d 1/25
Vi løser og får:
q = ±1/5 = ±0,2
Oops! Nevneren er dobbel! +0,2 og -0,2. Og hvilken å velge? Blindvei?
Rolig! Ja, problemet har virkelig to løsninger! Ikke noe galt med det. Det skjer.) Du blir ikke overrasket når du for eksempel får to røtter ved å løse det vanlige? Det er den samme historien her.)
Til q = +0,2 vi vil få:
X \u003d 150 0,2 \u003d 30
Og for q = -0,2 vil:
X = 150 (-0,2) = -30
Vi får dobbelt svar: x = 30; x = -30.
Hva betyr dette interessante faktum? Og hva som finnes to progresjoner, som tilfredsstiller problemets tilstand!
Som disse:
…; 150; 30; 6; …
…; 150; -30; 6; …
Begge er egnet.) Hva tror du er årsaken til todelingen av svar? Bare på grunn av eliminering av et spesifikt medlem av progresjonen (1,2), som kommer etter de seks. Og når vi bare kjenner de forrige (n-1)-th og påfølgende (n+1)-th medlemmene av den geometriske progresjonen, kan vi ikke lenger utvetydig si noe om det n-te elementet som står mellom dem. Det er to alternativer - pluss og minus.
Men det spiller ingen rolle. Som regel er det i oppgaver for en geometrisk progresjon tilleggsinformasjon som gir et entydig svar. La oss si ordene: "tegn-vekslende progresjon" eller "progresjon med en positiv nevner" og så videre... Det er disse ordene som skal tjene som en ledetråd, hvilket tegn, pluss eller minus, som skal velges når det endelige svaret. Hvis det ikke er slik informasjon, så - ja, oppgaven vil ha to løsninger.)
Og nå bestemmer vi selv.
4. Bestem om tallet 20 vil være medlem av en geometrisk progresjon:
4 ; 6; 9; …
5. En vekslende geometrisk progresjon er gitt:
…; 5; x ; 45; …
Finn termen for progresjonen angitt med bokstaven x .
6. Finn det fjerde positive leddet i den geometriske progresjonen:
625; -250; 100; …
7. Det andre leddet i den geometriske progresjonen er -360, og dets femte ledd er 23.04. Finn første ledd i denne progresjonen.
Svar (i uorden): -15; 900; Nei; 2,56.
Gratulerer hvis alt ordnet seg!
Er det noe som ikke passer? Finnes det dobbeltsvar et sted? Vi leser vilkårene for oppdraget nøye!
Det siste puslespillet fungerer ikke? Ikke noe komplisert der.) Vi jobber direkte etter betydningen av en geometrisk progresjon. Vel, du kan tegne et bilde. Det hjelper.)
Som du kan se, er alt elementært. Hvis progresjonen er kort. Hva om den er lang? Eller er antallet på ønsket medlem veldig stort? Jeg vil, analogt med en aritmetisk progresjon, på en eller annen måte få en praktisk formel som gjør det enkelt å finne noen medlem av enhver geometrisk progresjon etter nummeret hans. Uten å gange mange, mange ganger med q. Og det er en slik formel!) Detaljer - i neste leksjon.
La oss vurdere en serie.
7 28 112 448 1792...
Det er helt klart at verdien av noen av elementene er nøyaktig fire ganger større enn den forrige. Så denne serien er en progresjon.
En geometrisk progresjon er en uendelig rekkefølge av tall, hvor hovedtrekket er at det neste tallet er hentet fra det forrige ved å multiplisere med et bestemt tall. Dette uttrykkes med følgende formel.
a z +1 =a z q, hvor z er tallet på det valgte elementet.
Følgelig er z ∈ N.
Perioden når en geometrisk progresjon studeres på skolen er klasse 9. Eksempler vil hjelpe deg å forstå konseptet:
0.25 0.125 0.0625...
Basert på denne formelen kan nevneren for progresjonen bli funnet som følger:
Verken q eller b z kan være null. Hvert av elementene i progresjonen skal heller ikke være lik null.
Følgelig, for å finne ut det neste tallet i serien, må du multiplisere det siste med q.
For å spesifisere denne progresjonen, må du spesifisere dets første element og nevner. Etter det er det mulig å finne noen av de påfølgende vilkårene og summen deres.
Varianter
Avhengig av q og a 1 er denne progresjonen delt inn i flere typer:
- Hvis både a 1 og q er større enn én, så er en slik sekvens en geometrisk progresjon som øker med hvert neste element. Et eksempel på slikt er presentert nedenfor.
Eksempel: a 1 =3, q=2 - begge parameterne er større enn én.
Deretter kan den numeriske sekvensen skrives slik:
3 6 12 24 48 ...
- Hvis |q| mindre enn én, det vil si at multiplikasjon med det tilsvarer divisjon, så er en progresjon med lignende forhold en avtagende geometrisk progresjon. Et eksempel på slikt er presentert nedenfor.
Eksempel: a 1 =6, q=1/3 - a 1 er større enn én, q er mindre.
Deretter kan den numeriske sekvensen skrives som følger:
6 2 2/3 ... - ethvert element er 3 ganger større enn elementet etter det.
- Tegn-variabel. Hvis q<0, то знаки у чисел последовательности постоянно чередуются вне зависимости от a 1 , а элементы ни возрастают, ни убывают.
Eksempel: a 1 = -3 , q = -2 - begge parameterne er mindre enn null.
Deretter kan sekvensen skrives slik:
3, 6, -12, 24,...
Formler
For praktisk bruk av geometriske progresjoner er det mange formler:
- Formel for z-te medlem. Lar deg beregne elementet under et spesifikt tall uten å beregne de forrige tallene.
Eksempel:q = 3, en 1 = 4. Det kreves å beregne det fjerde elementet i progresjonen.
Løsning:en 4 = 4 · 3 4-1 = 4 · 3 3 = 4 · 27 = 108.
- Summen av de første elementene hvis antall er z. Lar deg beregne summen av alle elementene i en sekvens opp tila zinklusive.
Siden (1-q) er i nevneren, så (1 - q)≠ 0, derfor er q ikke lik 1.
Merk: hvis q=1, vil progresjonen være en serie av et uendelig repeterende tall.
Summen av en geometrisk progresjon, eksempler:en 1 = 2, q= -2. Regn ut S 5 .
Løsning:S 5 = 22 - beregning etter formel.
- Beløp hvis |q| < 1 и если z стремится к бесконечности.
Eksempel:en 1 = 2 , q= 0,5. Finn beløpet.
Løsning:Sz = 2 · = 4
Sz = 2 + 1 + 0.5 + 0.25 + 0.125 + 0.0625 = 3.9375 4
Noen egenskaper:
- karakteristisk egenskap. Hvis følgende tilstand utført for evtz, da er den gitte tallserien en geometrisk progresjon:
a z 2 = a z -1 · enz+1
- Dessuten finner man kvadratet til et hvilket som helst tall i en geometrisk progresjon ved å legge til kvadratene til to andre tall i en gitt serie, hvis de er like langt fra dette elementet.
a z 2 = a z - t 2 + a z + t 2 , Hvorter avstanden mellom disse tallene.
- Elementeravvike i qen gang.
- Logaritmene til progresjonselementene danner også en progresjon, men allerede aritmetikk, det vil si at hver av dem er større enn den forrige med et visst antall.
Eksempler på noen klassiske problemer
For bedre å forstå hva en geometrisk progresjon er, kan eksempler med en løsning for karakter 9 hjelpe.
- Betingelser:en 1 = 3, en 3 = 48. Finnq.
Løsning: hvert påfølgende element er større enn det forrige iq en gang.Det er nødvendig å uttrykke noen elementer gjennom andre ved å bruke en nevner.
Derfor,en 3 = q 2 · en 1
Ved erstatningq= 4
- Betingelser:en 2 = 6, en 3 = 12. Regn ut S 6 .
Løsning:For å gjøre dette er det nok å finne q, det første elementet og erstatte det med formelen.
en 3 = q· en 2 , derfor,q= 2
a 2 = q en 1,Derfor a 1 = 3
S 6 = 189
- · en 1 = 10, q= -2. Finn det fjerde elementet i progresjonen.
Løsning: for å gjøre dette er det nok å uttrykke det fjerde elementet gjennom det første og gjennom nevneren.
a 4 = q 3· a 1 = -80
Applikasjonseksempel:
- Bankens klient foretok et innskudd på 10 000 rubler, under vilkårene som klienten hvert år vil legge til 6% av det til hovedbeløpet. Hvor mye penger er det på kontoen etter 4 år?
Løsning: Det opprinnelige beløpet er 10 tusen rubler. Så et år etter investeringen vil kontoen ha et beløp som tilsvarer 10 000 + 10 000 · 0,06 = 10000 1,06
Følgelig vil beløpet på kontoen etter et år bli uttrykt som følger:
(10000 1,06) 0,06 + 10000 1,06 = 1,06 1,06 10000
Det vil si at hvert år øker beløpet med 1,06 ganger. Dette betyr at for å finne beløpet på kontoen etter 4 år, er det nok å finne det fjerde elementet i progresjonen, som er gitt av det første elementet lik 10 tusen, og nevneren lik 1,06.
S = 1,06 1,06 1,06 1,06 10000 = 12625
Eksempler på oppgaver for å beregne summen:
I ulike oppgaver brukes en geometrisk progresjon. Et eksempel for å finne summen kan gis som følger:
en 1 = 4, q= 2, beregnS5.
Løsning: alle dataene som er nødvendige for beregningen er kjent, du trenger bare å erstatte dem med formelen.
S 5 = 124
- en 2 = 6, en 3 = 18. Regn ut summen av de seks første elementene.
Løsning:
Geom. progresjon, hvert neste element er q ganger større enn det forrige, det vil si at for å beregne summen, må du kjenne elementeten 1 og nevnerq.
en 2 · q = en 3
q = 3
På samme måte må vi finneen 1 , viteen 2 Ogq.
en 1 · q = en 2
a 1 =2
S 6 = 728.
Geometrisk progresjon er sammen med aritmetikk en viktig tallserie som studeres i skolealgebrakurset i 9. klasse. I denne artikkelen vil vi vurdere nevneren til en geometrisk progresjon, og hvordan verdien påvirker dens egenskaper.
Definisjon av geometrisk progresjon
Til å begynne med gir vi definisjonen av denne tallserien. En geometrisk progresjon er en serie med rasjonelle tall som dannes ved suksessivt å multiplisere det første elementet med et konstant tall kalt nevneren.
For eksempel er tallene i rekkene 3, 6, 12, 24, ... en geometrisk progresjon, for hvis vi ganger 3 (det første elementet) med 2, får vi 6. Hvis vi ganger 6 med 2, får vi 12, og så videre.
Medlemmene av sekvensen som vurderes er vanligvis betegnet med symbolet ai, hvor i er et heltall som indikerer nummeret til elementet i serien.
Ovennevnte definisjon av en progresjon kan skrives på matematikkspråket som følger: an = bn-1 * a1, hvor b er nevneren. Det er lett å sjekke denne formelen: hvis n = 1, så er b1-1 = 1, og vi får a1 = a1. Hvis n = 2, så er an = b * a1, og vi kommer igjen til definisjonen av tallserien som vurderes. Lignende resonnement kan fortsettes for store verdier av n.
Nevneren for en geometrisk progresjon
Tallet b bestemmer helt hvilket tegn hele tallserien skal ha. Nevneren b kan være positiv, negativ og også ha en verdi større enn én eller mindre. Alle de ovennevnte alternativene fører til forskjellige sekvenser:
- b > 1. Det er en økende rekke av rasjonelle tall. For eksempel, 1, 2, 4, 8, ... Hvis elementet a1 er negativt, vil hele sekvensen kun øke modulo, men reduseres under hensyntagen til tallenes fortegn.
- b = 1. Ofte kalles ikke et slikt tilfelle en progresjon, siden det er en vanlig serie med identiske rasjonelle tall. For eksempel -4, -4, -4.
Formel for sum
Før du går videre til vurderingen av spesifikke problemer ved å bruke nevneren for typen progresjon som vurderes, bør det gis en viktig formel for summen av de første n elementene. Formelen er: Sn = (bn - 1) * a1 / (b - 1).
Du kan få dette uttrykket selv hvis du vurderer en rekursiv sekvens av medlemmer av progresjonen. Merk også at i formelen ovenfor er det nok å bare kjenne det første elementet og nevneren for å finne summen av et vilkårlig antall ledd.
Uendelig avtagende sekvens
Ovenfor var en forklaring på hva det er. Når vi nå kjenner formelen for Sn, la oss bruke den på denne tallserien. Siden ethvert tall hvis modul ikke overstiger 1 har en tendens til null når det heves til store potenser, det vil si b∞ => 0 hvis -1
Siden forskjellen (1 - b) alltid vil være positiv, uavhengig av verdien av nevneren, er tegnet på summen av en uendelig avtagende geometrisk progresjon S∞ unikt bestemt av tegnet til dets første element a1.
Nå skal vi vurdere flere problemer, der vi vil vise hvordan du kan bruke den ervervede kunnskapen til spesifikke tall.
Oppgave nummer 1. Beregning av ukjente elementer av progresjonen og summen
Gitt en geometrisk progresjon, er nevneren for progresjonen 2, og dens første element er 3. Hva blir dens 7. og 10. ledd, og hva er summen av de syv initiale elementene?
Tilstanden til problemet er ganske enkel og innebærer direkte bruk av formlene ovenfor. Så, for å beregne elementet med nummer n, bruker vi uttrykket an = bn-1 * a1. For det 7. elementet har vi: a7 = b6 * a1, og erstatter de kjente dataene, får vi: a7 = 26 * 3 = 192. Vi gjør det samme for det 10. medlemmet: a10 = 29 * 3 = 1536.
Vi bruker den velkjente formelen for summen og bestemmer denne verdien for de første 7 elementene i serien. Vi har: S7 = (27 - 1) * 3 / (2 - 1) = 381.
Oppgave nummer 2. Bestemme summen av vilkårlige elementer i progresjonen
La -2 være nevneren for den eksponentielle progresjonen bn-1 * 4, der n er et heltall. Det er nødvendig å bestemme summen fra det 5. til det 10. elementet i denne serien, inklusive.
Problemet som stilles kan ikke løses direkte ved hjelp av kjente formler. Det kan løses på 2 forskjellige måter. For fullstendighetens skyld presenterer vi begge deler.
Metode 1. Ideen er enkel: du må beregne de to tilsvarende summene av de første leddene, og deretter trekke den andre fra den ene. Regn ut den minste summen: S10 = ((-2)10 - 1) * 4 / (-2 - 1) = -1364. Nå regner vi ut den store summen: S4 = ((-2)4 - 1) * 4 / (-2 - 1) = -20. Merk at i det siste uttrykket ble bare 4 ledd summert, siden den 5. allerede er inkludert i summen som må beregnes i henhold til problemets tilstand. Til slutt tar vi forskjellen: S510 = S10 - S4 = -1364 - (-20) = -1344.
Metode 2. Før du bytter ut tall og teller, kan du få en formel for summen mellom leddene m og n i den aktuelle rekken. Vi handler på nøyaktig samme måte som i metode 1, bare vi jobber først med den symbolske representasjonen av summen. Vi har: Snm = (bn - 1) * a1 / (b - 1) - (bm-1 - 1) * a1 / (b - 1) = a1 * (bn - bm-1) / (b - 1) . Du kan erstatte kjente tall i det resulterende uttrykket og beregne det endelige resultatet: S105 = 4 * ((-2)10 - (-2)4) / (-2 - 1) = -1344.
Oppgave nummer 3. Hva er nevneren?
La a1 = 2, finn nevneren for den geometriske progresjonen, forutsatt at dens uendelige sum er 3, og det er kjent at dette er en avtagende tallrekke.
I henhold til tilstanden til problemet er det ikke vanskelig å gjette hvilken formel som skal brukes for å løse det. Selvfølgelig for summen av en uendelig avtagende progresjon. Vi har: S∞ = a1 / (1 - b). Fra hvor vi uttrykker nevneren: b = 1 - a1 / S∞. Det gjenstår å erstatte de kjente verdiene og få det nødvendige tallet: b \u003d 1 - 2 / 3 \u003d -1 / 3 eller -0,333 (3). Vi kan sjekke dette resultatet kvalitativt hvis vi husker at for denne typen sekvenser må ikke modulen b gå utover 1. Som du kan se, |-1 / 3|
Oppgave nummer 4. Gjenopprette en serie med tall
La 2 elementer i en tallserie gis, for eksempel er den 5. lik 30 og den 10. er lik 60. Det er nødvendig å gjenopprette hele serien fra disse dataene, vel vitende om at den tilfredsstiller egenskapene til en geometrisk progresjon.
For å løse problemet må du først skrive ned det tilsvarende uttrykket for hvert kjent medlem. Vi har: a5 = b4 * a1 og a10 = b9 * a1. Nå deler vi det andre uttrykket med det første, vi får: a10 / a5 = b9 * a1 / (b4 * a1) = b5. Herfra bestemmer vi nevneren ved å ta femtegradsroten av forholdet mellom medlemmene kjent fra tilstanden til problemet, b = 1,148698. Vi erstatter det resulterende tallet i et av uttrykkene for et kjent element, vi får: a1 = a5 / b4 = 30 / (1.148698)4 = 17.2304966.
Dermed har vi funnet hva nevneren til progresjonen bn er, og den geometriske progresjonen bn-1 * 17,2304966 = an, hvor b = 1,148698.
Hvor brukes geometriske progresjoner?
Hvis det ikke var noen anvendelse av denne numeriske serien i praksis, ville dens studie bli redusert til en rent teoretisk interesse. Men det finnes en slik søknad.
De 3 mest kjente eksemplene er listet opp nedenfor:
- Zenos paradoks, der den smidige Akilles ikke kan hamle opp med den langsomme skilpadden, løses ved å bruke konseptet med en uendelig minkende tallrekke.
- Hvis hvetekorn plasseres på hver celle på sjakkbrettet slik at 1 korn plasseres på 1. celle, 2 - på 2. celle, 3 - på 3. og så videre, vil det være nødvendig med 18446744073709551615 korn for å fylle alle cellene i styret!
- I spillet "Tower of Hanoi", for å omorganisere disker fra en stang til en annen, er det nødvendig å utføre 2n - 1 operasjoner, det vil si at antallet vokser eksponentielt fra antall disker n som brukes.
Vurder nå spørsmålet om summeringen av en uendelig geometrisk progresjon. La oss kalle delsummen av en gitt uendelig progresjon summen av de første leddene. Angi delsummen med symbolet
For hver uendelig progresjon
man kan komponere en (også uendelig) sekvens av dens delsummer
La en sekvens med ubegrenset økning ha en grense
I dette tilfellet kalles tallet S, dvs. grensen for delsummer av progresjonen, summen av en uendelig progresjon. Vi vil bevise at en uendelig avtagende geometrisk progresjon alltid har en sum, og vi vil utlede en formel for denne summen (vi kan også vise at for en uendelig progresjon har ingen sum, ikke eksisterer).
Vi skriver uttrykket for delsummen som summen av medlemmene av progresjonen i henhold til formel (91.1) og tar for oss grensen for delsummen kl.
Fra teoremet til punkt 89 er det kjent at for en avtagende progresjon ; Derfor finner vi ved å bruke differansegrensesetningen
(regelen brukes også her: konstantfaktoren tas ut av grensens fortegn). Eksistensen er bevist, og samtidig oppnås formelen for summen av en uendelig avtagende geometrisk progresjon:
Likhet (92,1) kan også skrives som
Her kan det virke paradoksalt at en veldefinert endelig verdi tildeles summen av et uendelig sett med termer.
En klar illustrasjon kan gis for å forklare denne situasjonen. Tenk på en firkant med en side lik én (fig. 72). La oss dele denne firkanten med en horisontal linje i to like deler og bruke den øvre delen til den nedre slik at det dannes et rektangel med sidene 2 og . Etter det deler vi igjen høyre halvdel av dette rektangelet i to med en horisontal linje og fester den øvre delen til den nedre (som vist i fig. 72). Ved å fortsette denne prosessen forvandler vi hele tiden den opprinnelige firkanten med et areal lik 1 til like store figurer (som tar form av en trapp med tynningstrinn).
Med en uendelig fortsettelse av denne prosessen dekomponerer hele arealet av kvadratet til et uendelig antall ledd - arealene av rektangler med base lik 1 og høyder. Arealene av rektanglene danner bare en uendelig avtagende progresjon, summen sin
dvs., som forventet, er lik arealet av torget.
Eksempel. Finn summene av følgende uendelige progresjoner:
Løsning, a) Vi legger merke til at denne progresjonen Derfor finner vi ved formelen (92.2).
b) Her betyr det at ved samme formel (92.2) har vi
c) Vi finner at denne progresjonen Derfor har denne progresjonen ingen sum.
I seksjon 5 ble anvendelsen av formelen for summen av ledd av en uendelig avtagende progresjon til konvertering av en periodisk desimalbrøk til en vanlig brøk vist.
Øvelser
1. Summen av en uendelig avtagende geometrisk progresjon er 3/5, og summen av de fire første leddene er 13/27. Finn det første leddet og nevneren for progresjonen.
2. Finn fire tall som danner en vekslende geometrisk progresjon, der det andre leddet er mindre enn det første med 35, og det tredje er 560 større enn det fjerde.
3. Vis hva hvis sekvens
danner en uendelig avtagende geometrisk progresjon, deretter sekvensen
for enhver form for en uendelig avtagende geometrisk progresjon. Holder denne påstanden for
Utled en formel for produktet av vilkårene for en geometrisk progresjon.