Hvordan løse invers matrise. invers matrise

Vi fortsetter å snakke om handlinger med matriser. I løpet av å studere denne forelesningen vil du nemlig lære hvordan du finner den inverse matrisen. Lære. Selv om regnestykket er stramt.

Hva er en invers matrise? Her kan vi trekke en analogi med resiproke: tenk for eksempel på det optimistiske tallet 5 og dets gjensidige. Produktet av disse tallene er lik én: . Det er det samme med matriser! Produktet av en matrise og dens inverse er - identitetsmatrise, som er matriseanalogen til den numeriske enheten. Men først og fremst vil vi løse et viktig praktisk problem, nemlig vi vil lære hvordan vi finner denne svært omvendte matrisen.

Hva trenger du å vite og kunne finne den inverse matrisen? Du må kunne bestemme determinanter. Du må forstå hva som er matrise og kunne utføre noen handlinger med dem.

Det er to hovedmetoder for å finne den inverse matrisen:
ved bruk av algebraiske tillegg Og ved hjelp av elementære transformasjoner.

I dag skal vi studere den første, enklere måten.

La oss starte med det mest forferdelige og uforståelige. Ta i betraktning torget matrise . Den inverse matrisen kan bli funnet ved å bruke følgende formel:

Hvor er determinanten for matrisen, er den transponerte matrisen av algebraiske komplementer til de tilsvarende elementene i matrisen.

Konseptet med en invers matrise eksisterer bare for kvadratiske matriser, matriser "to og to", "tre og tre" osv.

Notasjon: Som du sikkert allerede har lagt merke til, er inversen av en matrise merket med et hevet skrift

La oss starte med det enkleste tilfellet - en to-og-to-matrise. Oftest kreves selvfølgelig "tre og tre", men likevel anbefaler jeg på det sterkeste å studere en enklere oppgave for å lære det generelle prinsippet for løsningen.

Eksempel:

Finn inversen til en matrise

Vi bestemmer. Rekkefølgen av handlinger er praktisk dekomponert i punkter.

1) Først finner vi determinanten til matrisen.

Hvis forståelsen av denne handlingen ikke er god, les materialet Hvordan beregne determinanten?

Viktig! Hvis determinanten for matrisen er NULL– invers matrise EKSISTERER IKKE.

I eksemplet under vurdering, som det viste seg, betyr det at alt er i orden.

2) Finn matrisen av mindreårige.

For å løse problemet vårt er det ikke nødvendig å vite hva en mindreårig er, men det anbefales å lese artikkelen Hvordan beregne determinanten.

Matrisen av mindreårige har samme dimensjoner som matrisen , det vil si i dette tilfellet .
Saken er liten, det gjenstår å finne fire tall og sette dem i stedet for stjerner.

Tilbake til matrisen vår
La oss først se på elementet øverst til venstre:

Hvordan finne den liten?
Og dette gjøres slik: MENTALT kryss ut raden og kolonnen der dette elementet er plassert:

Det resterende tallet er mindre av det gitte elementet, som vi skriver i vår matrise over mindreårige:

Tenk på følgende matriseelement:

Kryss mentalt ut raden og kolonnen der dette elementet er plassert:

Det som gjenstår er minor av dette elementet, som vi skriver inn i matrisen vår:

På samme måte vurderer vi elementene i den andre raden og finner deres mindreårige:

Klar.

Det er enkelt. I matrisen av mindreårige, trenger du ENDRE TEGN for to tall:

Det er disse tallene jeg har satt ring rundt!

er matrisen av algebraiske komplementer til de tilsvarende elementene i matrisen.

Og bare noe...

4) Finn den transponerte matrisen av algebraiske addisjoner.

er den transponerte matrisen av algebraiske komplementer til de tilsvarende elementene i matrisen.

5) Svar.

Husk formelen vår
Alle funnet!

Så den inverse matrisen er:

Det er best å la svaret være som det er. INGEN BEHOV del hvert element i matrisen med 2, ettersom brøktall vil bli oppnådd. Denne nyansen diskuteres mer detaljert i samme artikkel. Handlinger med matriser.

Hvordan sjekke løsningen?

Matrisemultiplikasjon må heller utføres

Undersøkelse:

allerede nevnt identitetsmatrise er en matrise med enheter på hoveddiagonal og nuller andre steder.

Dermed blir den inverse matrisen funnet riktig.

Hvis du utfører en handling, vil resultatet også være en identitetsmatrise. Dette er et av få tilfeller der matrisemultiplikasjon er permuterbar, mer informasjon finner du i artikkelen Egenskaper for operasjoner på matriser. Matriseuttrykk. Legg også merke til at under kontrollen blir konstanten (brøken) trukket frem og behandlet helt på slutten - etter matrisemultiplikasjonen. Dette er en standardinnstilling.

La oss gå videre til en mer vanlig sak i praksis - tre-av-tre-matrisen:

Eksempel:

Finn inversen til en matrise

Algoritmen er nøyaktig den samme som for to-og-to-tilfellet.

Vi finner den inverse matrisen ved formelen: , hvor er den transponerte matrisen av algebraiske komplementer til de tilsvarende elementene i matrisen .

1) Finn matrisedeterminanten.

Her avsløres determinanten på første linje.

Ikke glem det, noe som betyr at alt er bra - invers matrise eksisterer.

2) Finn matrisen av mindreårige.

Matrisen av mindreårige har dimensjonen "tre ganger tre" , og vi må finne ni tall.

Jeg skal se nærmere på et par mindreårige:

Tenk på følgende matriseelement:

MENTALT kryss ut raden og kolonnen der dette elementet er plassert:

De resterende fire tallene er skrevet i determinanten "to og to"

Denne to-og-to determinanten og er en moll av det gitte elementet. Det må beregnes:

Det er det, den mindreårige er funnet, vi skriver den inn i matrisen vår av mindreårige:

Som du kanskje har gjettet, er det ni to-og-to determinanter å beregne. Prosessen er selvfølgelig kjedelig, men saken er ikke den vanskeligste, den kan bli verre.

Vel, for å konsolidere - finne en annen mindreårig på bildene:

Prøv å beregne resten av de mindreårige selv.

Endelig resultat:
er matrisen av mindreårige av de tilsvarende elementene i matrisen.

At alle de mindreårige viste seg å være negative er en ren tilfeldighet.

3) Finn matrisen av algebraiske addisjoner.

I matrisen av mindreårige er det nødvendig ENDRE TEGN strengt tatt for følgende elementer:

I dette tilfellet:

Å finne den inverse matrisen for "fire ganger fire" matrisen vurderes ikke, siden bare en sadistisk lærer kan gi en slik oppgave (for studenten å beregne en "fire ganger fire" determinant og 16 "tre ganger tre" determinanter) . I min praksis var det bare ett slikt tilfelle, og kunden av testen betalte for min plage ganske dyrt =).

I en rekke lærebøker, manualer kan du finne en litt annen tilnærming til å finne den inverse matrisen, men jeg anbefaler å bruke løsningsalgoritmen ovenfor. Hvorfor? Fordi sannsynligheten for å bli forvirret i beregninger og tegn er mye mindre.

Metoder for å finne den inverse matrisen, . Tenk på en kvadratisk matrise

Angi Δ = det A.

Kvadratmatrisen A kalles ikke-degenerert, eller ikke-spesiell hvis determinanten er ikke-null, og degenerert, eller spesiell, HvisΔ = 0.

En kvadratisk matrise B eksisterer for en kvadratisk matrise A av samme rekkefølge hvis produktet deres A B = B A = E, der E er identitetsmatrisen av samme rekkefølge som matrisene A og B.

Teorem . For at matrisen A skal ha en invers matrise, er det nødvendig og tilstrekkelig at dens determinant ikke er null.

Invers matrise til matrise A, betegnet med A- 1 så B = A - 1 og beregnes med formelen

, (1)

hvor А i j - algebraiske komplementer av elementer a i j av matrise A..

Å beregne A -1 ved formel (1) for matriser av høy orden er svært arbeidskrevende, så i praksis er det praktisk å finne A -1 ved å bruke metoden for elementære transformasjoner (EP). Enhver ikke-singular matrise A kan reduseres med EP av bare kolonner (eller bare rader) til identitetsmatrisen E. Hvis EP-ene utført på matrisen A brukes i samme rekkefølge på identitetsmatrisen E, blir resultatet en invers matrise. Det er praktisk å utføre en EP på matrisene A og E samtidig, og skrive begge matrisene side om side gjennom linjen. Vi bemerker nok en gang at når man søker etter den kanoniske formen til en matrise, for å finne den, kan man bruke transformasjoner av rader og kolonner. Hvis du trenger å finne den inverse matrisen, bør du bare bruke rader eller bare kolonner i transformasjonsprosessen.

Eksempel 2.10. For matrise finn A -1.

Løsning.Vi finner først determinanten til matrisen A
så den inverse matrisen eksisterer, og vi kan finne den ved formelen: , hvor A i j (i,j=1,2,3) - algebraiske komplementer av elementene a i j av den opprinnelige matrisen.

Hvor .

Eksempel 2.11. Bruk metoden for elementære transformasjoner, finn A -1 for matrisen: A=.

Løsning.Vi tildeler en identitetsmatrise av samme rekkefølge til den opprinnelige matrisen til høyre: . Ved hjelp av elementære kolonnetransformasjoner reduserer vi venstre "halvdel" til identiteten, og utfører samtidig nøyaktig slike transformasjoner på høyre matrise.
For å gjøre dette, bytt den første og andre kolonnen: ~ . Vi legger den første til den tredje kolonnen, og den første multiplisert med -2 til den andre: . Fra den første kolonnen trekker vi den doble andre, og fra den tredje - den andre multiplisert med 6; . La oss legge til den tredje kolonnen til den første og andre: . Multipliser den siste kolonnen med -1: . Den kvadratiske matrisen til høyre for den vertikale stolpen er den inverse matrisen til den gitte matrisen A. Så,
.

Dette emnet er et av de mest hatede blant studenter. Verre, sannsynligvis, bare determinanter.

Trikset er at selve konseptet med det inverse elementet (og jeg snakker ikke bare om matriser nå) refererer oss til operasjonen av multiplikasjon. Selv i skolens læreplan betraktes multiplikasjon som en kompleks operasjon, og matrisemultiplikasjon er generelt et eget emne, som jeg har et helt avsnitt og en videoleksjon viet til det.

I dag vil vi ikke gå inn på detaljene i matriseberegninger. Bare husk: hvordan matriser betegnes, hvordan de multipliseres og hva som følger av dette.

Gjennomgang: Matrisemultiplikasjon

Først av alt, la oss bli enige om notasjon. En matrise $A$ av størrelsen $\left[ m\times n \right]$ er ganske enkelt en talltabell med nøyaktig $m$ rader og $n$ kolonner:

\=\underbrace(\venstre[ \begin(matrise) ((a)_(11)) & ((a)_(12)) & ... & ((a)_(1n)) \\ (( a)_(21)) & ((a)_(22)) & ... & ((a)_(2n)) \\ ... & ... & ... & ... \\ ((a)_(m1)) & ((a)_(m2)) & ... & ((a)_(mn)) \\\end(matrise) \right])_(n)\]

For ikke å forveksle rader og kolonner ved et uhell på steder (tro meg, i eksamen kan du forveksle en med en toer - hva kan vi si om noen linjer der), bare ta en titt på bildet:

Bestemmelse av indekser for matriseceller

Hva skjer? Hvis vi plasserer standardkoordinatsystemet $OXY$ i øvre venstre hjørne og dirigerer aksene slik at de dekker hele matrisen, så kan hver celle i denne matrisen assosieres unikt med koordinatene $\left(x;y \right) $ - dette vil være radnummeret og kolonnenummeret.

Hvorfor er koordinatsystemet plassert nøyaktig i øvre venstre hjørne? Ja, for det er derfra vi begynner å lese tekster. Det er veldig lett å huske.

Hvorfor peker $x$-aksen ned og ikke til høyre? Igjen, det er enkelt: ta standard koordinatsystemet ($x$-aksen går til høyre, $y$-aksen går opp) og roter den slik at den omslutter matrisen. Dette er en 90 graders rotasjon med klokken - vi ser resultatet på bildet.

Generelt fant vi ut hvordan vi skulle bestemme indeksene til matriseelementene. La oss nå ta for oss multiplikasjon.

Definisjon. Matrisene $A=\venstre[ m\ ganger n \right]$ og $B=\left[ n\ ganger k \right]$, når antall kolonner i den første samsvarer med antall rader i den andre, er kalt konsekvent.

Det er i den rekkefølgen. Man kan være tvetydig og si at matrisene $A$ og $B$ danner et ordnet par $\left(A;B \right)$: hvis de er konsistente i denne rekkefølgen, så er det slett ikke nødvendig at $B $ og $A$, de. paret $\left(B;A \right)$ er også konsistent.

Bare konsistente matriser kan multipliseres.

Definisjon. Produktet av konsistente matriser $A=\venstre[ m\ ganger n \høyre]$ og $B=\venstre[ n\ ganger k \høyre]$ er den nye matrisen $C=\venstre[ m\ ganger k \høyre ]$ , hvis elementer $((c)_(ij))$ beregnes med formelen:

\[((c)_(ij))=\sum\limits_(k=1)^(n)(((a)_(ik)))\cdot ((b)_(kj))\]

Med andre ord: for å få elementet $((c)_(ij))$ i matrisen $C=A\cdot B$, må du ta $i$-raden til den første matrisen, $j$ -th kolonne i den andre matrisen, og multipliser deretter i par elementer fra denne raden og kolonnen. Legg sammen resultatene.

Ja, det er en hard definisjon. Flere fakta følger umiddelbart av det:

Matrisemultiplikasjon er generelt sett ikke-kommutativ: $A\cdot B\ne B\cdot A$;
Imidlertid er multiplikasjon assosiativ: $\left(A\cdot B \right)\cdot C=A\cdot \left(B\cdot C \right)$;
Og til og med distributiv: $\left(A+B \right)\cdot C=A\cdot C+B\cdot C$;
Og distributivt igjen: $A\cdot \left(B+C \right)=A\cdot B+A\cdot C$.

Distributiviteten til multiplikasjon måtte beskrives separat for venstre og høyre multiplikasjonssum bare på grunn av ikke-kommutativiteten til multiplikasjonsoperasjonen.

Hvis det likevel viser seg at $A\cdot B=B\cdot A$, kalles slike matriser permutable.

Blant alle matrisene som multipliseres med noe der, er det spesielle - de som, når de multipliseres med en hvilken som helst matrise $A$, igjen gir $A$:

Definisjon. En matrise $E$ kalles identitet hvis $A\cdot E=A$ eller $E\cdot A=A$. I tilfellet med en kvadratisk matrise $A$ kan vi skrive:

Identitetsmatrisen er en hyppig gjest i å løse matriseligninger. Og generelt, en hyppig gjest i matrisens verden. :)

Og på grunn av denne $E$, kom noen opp med alt spillet som skal skrives neste gang.

Hva er en invers matrise

Siden matrisemultiplikasjon er en veldig tidkrevende operasjon (du må multiplisere en haug med rader og kolonner), er konseptet med en invers matrise heller ikke det mest trivielle. Og det trenger litt forklaring.

Nøkkeldefinisjon

Vel, det er på tide å vite sannheten.

Definisjon. Matrisen $B$ kalles den inverse av matrisen $A$ if

Den inverse matrisen er betegnet med $((A)^(-1))$ (ikke å forveksle med graden!), så definisjonen kan skrives om slik:

Det ser ut til at alt er ekstremt enkelt og klart. Men når man analyserer en slik definisjon, oppstår det umiddelbart flere spørsmål:

Finnes det alltid en invers matrise? Og hvis ikke alltid, hvordan bestemme: når det eksisterer og når det ikke finnes?
Og hvem sa at en slik matrise er nøyaktig en? Hva om det for en original matrise $A$ er en hel mengde inverser?
Hvordan ser alle disse "reversene" ut? Og hvordan teller du dem egentlig?

Når det gjelder beregningsalgoritmene - vi vil snakke om dette litt senere. Men vi vil svare på resten av spørsmålene nå. La oss ordne dem i form av separate påstandslemmaer.

Grunnleggende egenskaper

La oss starte med hvordan matrisen $A$ skal se ut for at den skal ha $((A)^(-1))$. Nå skal vi sørge for at begge disse matrisene må være kvadratiske og av samme størrelse: $\left[ n\ ganger n \right]$.

Lemma 1. Gitt en matrise $A$ og dens inverse $((A)^(-1))$. Da er begge disse matrisene kvadratiske og har samme rekkefølge $n$.

Bevis. Alt er enkelt. La matrisen $A=\venstre[ m\ ganger n \høyre]$, $((A)^(-1))=\venstre[ a\ ganger b \høyre]$. Siden produktet $A\cdot ((A)^(-1))=E$ eksisterer per definisjon, er matrisene $A$ og $((A)^(-1))$ konsistente i den rekkefølgen:

\[\begin(align) & \left[ m\times n \right]\cdot \left[ a\times b \right]=\left[ m\times b \right] \\ & n=a \end( tilpasse)\]

Dette er en direkte konsekvens av: koeffisientene $n$ og $a$ er "transit" og må være like.

Samtidig er den inverse multiplikasjonen også definert: $((A)^(-1))\cdot A=E$, så matrisene $((A)^(-1))$ og $A$ er også konsekvent i denne rekkefølgen:

\[\begin(align) & \venstre[ a\ ganger b \høyre]\cdot \venstre[ m\ ganger n \høyre]=\venstre[ a\ganger n \høyre] \\ & b=m \end( tilpasse)\]

Dermed, uten tap av generalitet, kan vi anta at $A=\venstre[ m\ ganger n \høyre]$, $((A)^(-1))=\venstre[ n\ ganger m \høyre]$. Imidlertid, i henhold til definisjonen av $A\cdot ((A)^(-1))=((A)^(-1))\cdot A$, så er dimensjonene til matrisene nøyaktig de samme:

\[\begin(align) & \venstre[ m\ ganger n \høyre]=\venstre[ n\ ganger m \høyre] \\ & m=n \end(align)\]

Så det viser seg at alle tre matrisene - $A$, $((A)^(-1))$ og $E$ - er kvadratiske i størrelse $\venstre[ n\ ganger n \høyre]$. Lemmaet er bevist.

Vel, det er allerede bra. Vi ser at bare kvadratiske matriser er inverterbare. La oss nå sørge for at den inverse matrisen alltid er den samme.

Lemma 2. Gitt en matrise $A$ og dens inverse $((A)^(-1))$. Da er denne inverse matrisen unik.

Bevis. La oss starte fra det motsatte: la matrisen $A$ ha minst to forekomster av inverser - $B$ og $C$. Da, i henhold til definisjonen, er følgende likheter sanne:

\[\begin(align) & A\cdot B=B\cdot A=E; \\ & A\cdot C=C\cdot A=E. \\ \end(align)\]

Fra Lemma 1 konkluderer vi med at alle fire matrisene $A$, $B$, $C$ og $E$ er kvadratiske av samme rekkefølge: $\venstre[ n\ ganger n \right]$. Derfor er produktet definert:

Siden matrisemultiplikasjon er assosiativ (men ikke kommutativ!), kan vi skrive:

\[\begin(align) & B\cdot A\cdot C=\venstre(B\cdot A \right)\cdot C=E\cdot C=C; \\ & B\cdot A\cdot C=B\cdot \venstre(A\cdot C \right)=B\cdot E=B; \\ & B\cdot A\cdot C=C=B\Høyrepil B=C. \\ \end(align)\]

Vi har det eneste mulige alternativet: to kopier av den inverse matrisen er like. Lemmaet er bevist.

Resonnementet ovenfor gjentar nesten ordrett beviset på det unike til det inverse elementet for alle reelle tall $b\ne 0$. Det eneste signifikante tillegget er å ta hensyn til dimensjonen til matriser.

Imidlertid vet vi fortsatt ikke noe om hvorvidt en kvadratisk matrise er inverterbar. Her kommer determinanten til hjelp - dette er en nøkkelegenskap for alle kvadratiske matriser.

Lemma 3. Gitt en matrise $A$. Hvis matrisen $((A)^(-1))$ invers til den eksisterer, så er determinanten til den opprinnelige matrisen ikke null:

\[\venstre| En \right|\ne 0\]

Bevis. Vi vet allerede at $A$ og $((A)^(-1))$ er kvadratiske matriser av størrelsen $\left[ n\ ganger n \right]$. Derfor er det mulig for hver av dem å beregne determinanten: $\left| A \right|$ og $\left| ((A)^(-1)) \right|$. Imidlertid er determinanten til produktet lik produktet av determinantene:

\[\venstre| A\cdot B \right|=\venstre| En \høyre|\cdot \venstre| B \høyre|\Høyrepil \venstre| A\cdot ((A)^(-1)) \right|=\venstre| En \høyre|\cdot \venstre| ((A)^(-1)) \right|\]

Men i henhold til definisjonen av $A\cdot ((A)^(-1))=E$, og determinanten til $E$ er alltid lik 1, så

\[\begin(align) & A\cdot ((A)^(-1))=E; \\ & \venstre| A\cdot ((A)^(-1)) \right|=\venstre| E\høyre|; \\ & \venstre| En \høyre|\cdot \venstre| ((A)^(-1)) \right|=1. \\ \end(align)\]

Produktet av to tall er lik én bare hvis hvert av disse tallene er forskjellig fra null:

\[\venstre| En \right|\ne 0;\quad \left| ((A)^(-1)) \right|\ne 0.\]

Så det viser seg at $\venstre| En \right|\ne 0$. Lemmaet er bevist.

Faktisk er dette kravet ganske logisk. Nå skal vi analysere algoritmen for å finne den inverse matrisen - og det vil bli helt klart hvorfor det i prinsippet ikke kan eksistere noen invers matrise med null determinant.

Men først, la oss formulere en "hjelpe" definisjon:

Definisjon. En degenerert matrise er en kvadratisk matrise med størrelsen $\venstre[ n\ ganger n \høyre]$ hvis determinant er null.

Dermed kan vi hevde at enhver inverterbar matrise er ikke degenerert.

Hvordan finne den inverse matrisen

Nå skal vi vurdere en universell algoritme for å finne inverse matriser. Generelt er det to allment aksepterte algoritmer, og vi vil også vurdere den andre i dag.

Den som vil bli vurdert nå er svært effektiv for matriser med størrelse $\venstre[ 2\ ganger 2 \høyre]$ og - delvis - av størrelse $\venstre[ 3\ ganger 3 \høyre]$. Men fra størrelsen $\left[ 4\times 4 \right]$ er det bedre å ikke bruke det. Hvorfor - nå vil du forstå alt.

Algebraiske tillegg

Gjør deg klar. Nå blir det smerte. Nei, ikke bekymre deg: en vakker sykepleier i et skjørt, strømper med blonder kommer ikke til deg og vil ikke gi deg en injeksjon i baken. Alt er mye mer prosaisk: algebraiske tillegg og Hennes Majestet "Union Matrix" kommer til deg.

La oss starte med den viktigste. La det være en kvadratisk matrise med størrelsen $A=\venstre[ n\ ganger n \høyre]$ hvis elementer heter $((a)_(ij))$. Så, for hvert slikt element, kan man definere et algebraisk komplement:

Definisjon. Algebraisk komplement $((A)_(ij))$ til elementet $((a)_(ij))$ i $i$-th rad og $j$-th kolonne i matrisen $A=\venstre [ n \times n \right]$ er en konstruksjon av formen

\[((A)_(ij))=((\venstre(-1 \høyre))^(i+j))\cdot M_(ij)^(*)\]

Hvor $M_(ij)^(*)$ er determinanten for matrisen hentet fra den opprinnelige $A$ ved å slette den samme $i$-th rad og $j$-th kolonne.

En gang til. Det algebraiske komplementet til matriseelementet med koordinatene $\left(i;j \right)$ er betegnet som $((A)_(ij))$ og beregnes i henhold til skjemaet:

Først sletter vi $i$-raden og $j$-th-kolonnen fra den opprinnelige matrisen. Vi får en ny kvadratisk matrise, og vi betegner dens determinant som $M_(ij)^(*)$.
Så multipliserer vi denne determinanten med $((\left(-1 \right))^(i+j))$ - til å begynne med kan dette uttrykket virke overveldende, men faktisk finner vi bare ut tegnet foran $ M_(ij)^(*) $.
Vi teller – vi får et bestemt tall. De. det algebraiske tillegget er bare et tall, ikke en ny matrise, og så videre.

Selve matrisen $M_(ij)^(*)$ kalles den komplementære moll til elementet $((a)_(ij))$. Og i denne forstand er definisjonen ovenfor av et algebraisk komplement et spesielt tilfelle av en mer kompleks definisjon - den vi vurderte i leksjonen om determinanten.

Viktig notat. Faktisk, i "voksen" matematikk, er algebraiske tillegg definert som følger:

Vi tar $k$ rader og $k$ kolonner i en kvadratisk matrise. I skjæringspunktet deres får vi en matrise med størrelse $\venstre[ k\ ganger k \right]$ — dens determinant kalles en minor av orden $k$ og er betegnet med $((M)_(k))$.

Så krysser vi ut disse "utvalgte" $k$-radene og $k$-kolonnene. Igjen får vi en kvadratisk matrise - dens determinant kalles den komplementære moll og er betegnet med $M_(k)^(*)$.

Multipliser $M_(k)^(*)$ med $((\left(-1 \right))^(t))$, der $t$ er (merk nå!) summen av tallene for alle valgte rader og kolonner. Dette vil være det algebraiske tillegget.

Ta en titt på det tredje trinnet: det er faktisk en sum på $2k$ vilkår! En annen ting er at for $k=1$ får vi bare 2 ledd - disse vil være de samme $i+j$ - "koordinatene" til elementet $((a)_(ij))$, som vi er for ser etter et algebraisk komplement.

Så i dag bruker vi en litt forenklet definisjon. Men som vi skal se senere, blir det mer enn nok. Mye viktigere er følgende:

Definisjon. Unionsmatrisen $S$ til kvadratmatrisen $A=\venstre[ n\ ganger n \right]$ er en ny matrise med størrelsen $\left[ n\ ganger n \right]$, som er hentet fra $A$ ved å erstatte $(( a)_(ij))$ med algebraiske komplementer $((A)_(ij))$:

\\Høyrepil S=\venstre[ \begin(matrise) ((A)_(11)) & ((A)_(12)) & ... & ((A)_(1n)) \\ (( A)_(21)) & ((A)_(22)) & ... & ((A)_(2n)) \\ ... & ... & ... & ... \\ ((A)_(n1)) & ((A)_(n2)) & ... & ((A)_(nn)) \\\end(matrise) \right]\]

Den første tanken som dukker opp i øyeblikket av å realisere denne definisjonen er "dette er hvor mye du må telle totalt!" Slapp av: du må telle, men ikke så mye. :)

Vel, alt dette er veldig hyggelig, men hvorfor er det nødvendig? Men hvorfor.

Hovedteorem

La oss gå litt tilbake. Husk, Lemma 3 uttalte at en inverterbar matrise $A$ alltid er ikke-singular (det vil si at dens determinant er ikke-null: $\left| A \right|\ne 0$).

Så det motsatte er også sant: hvis matrisen $A$ ikke er degenerert, så er den alltid inverterbar. Og det er til og med et søkeskjema $((A)^(-1))$. Sjekk det ut:

Invers matriseteorem. La en kvadratisk matrise $A=\venstre[ n\ ganger n \right]$ gis, og dens determinant er ikke null: $\left| En \right|\ne 0$. Da eksisterer den inverse matrisen $((A)^(-1))$ og beregnes med formelen:

\[((A)^(-1))=\frac(1)(\venstre| A \høyre|)\cdot ((S)^(T))\]

Og nå - likevel, men med lesbar håndskrift. For å finne den inverse matrisen trenger du:

Beregn determinanten $\left| A \right|$ og sørg for at den ikke er null.
Kompiler unionsmatrisen $S$, dvs. tell 100500 algebraiske tillegg $((A)_(ij))$ og sett dem på plass $((a)_(ij))$.
Transponer denne matrisen $S$ og multipliser den med et tall $q=(1)/(\left| A \right|)\;$.

Og det er det! Den inverse matrisen $((A)^(-1))$ er funnet. La oss se på eksempler:

\[\venstre[ \begin(matrise) 3 & 1 \\ 5 & 2 \\\end(matrise) \right]\]

Løsning. La oss sjekke reversibiliteten. La oss beregne determinanten:

\[\venstre| En \høyre|=\venstre| \begin(matrise) 3 & 1 \\ 5 & 2 \\\end(matrise) \right|=3\cdot 2-1\cdot 5=6-5=1\]

Determinanten er forskjellig fra null. Så matrisen er inverterbar. La oss lage en fagforeningsmatrise:

La oss beregne de algebraiske addisjonene:

\[\begin(align) & ((A)_(11))=((\left(-1 \right))^(1+1))\cdot \left| 2\høyre|=2; \\ & ((A)_(12))=((\venstre(-1 \høyre))^(1+2))\cdot \venstre| 5\høyre|=-5; \\ & ((A)_(21))=((\venstre(-1 \høyre))^(2+1))\cdot \venstre| 1 \right|=-1; \\ & ((A)_(22))=((\venstre(-1 \høyre))^(2+2))\cdot \venstre| 3\høyre|=3. \\ \end(align)\]

Vær oppmerksom: determinanter |2|, |5|, |1| og |3| er determinantene for matriser med størrelse $\venstre[ 1\ ganger 1 \høyre]$, ikke moduler. De. hvis det var negative tall i determinantene, er det ikke nødvendig å fjerne "minus".

Totalt ser fagforeningsmatrisen vår slik ut:

\[((A)^(-1))=\frac(1)(\venstre| A \right|)\cdot ((S)^(T))=\frac(1)(1)\cdot ( (\venstre[ \begin(array)(*(35)(r)) 2 & -5 \\ -1 & 3 \\\end(array) \right])^(T))=\venstre[ \begin (matrise)(*(35)(r)) 2 & -1 \\ -5 & 3 \\\end(matrise) \right]\]

OK, det er over nå. Problem løst.

Svar. $\left[ \begin(array)(*(35)(r)) 2 & -1 \\ -5 & 3 \\\end(array) \right]$

Oppgave. Finn den inverse matrisen:

\[\left[ \begin(array)(*(35)(r)) 1 & -1 & 2 \\ 0 & 2 & -1 \\ 1 & 0 & 1 \\\end(array) \right] \]

Løsning. Igjen tar vi for oss determinanten:

\[\begin(align) & \left| \begin(array)(*(35)(r)) 1 & -1 & 2 \\ 0 & 2 & -1 \\ 1 & 0 & 1 \\\end(array) \right|=\begin(matrise) ) \venstre(1\cdot 2\cdot 1+\left(-1 \right)\cdot \left(-1 \right)\cdot 1+2\cdot 0\cdot 0 \right)- \\ -\venstre (2\cdot 2\cdot 1+\left(-1 \right)\cdot 0\cdot 1+1\cdot \left(-1 \right)\cdot 0 \right) \\\end(matrise)= \ \ & =\left(2+1+0 \right)-\left(4+0+0 \right)=-1\ne 0. \\ \end(align)\]

Determinanten er forskjellig fra null - matrisen er inverterbar. Men nå blir det mest blikk: du må telle så mange som 9 (ni, for helvete!) algebraiske tillegg. Og hver av dem vil inneholde $\left[ 2\times 2 \right]$-kvalifiseringen. Fløy:

\[\begin(matrise) ((A)_(11))=((\venstre(-1 \høyre))^(1+1))\cdot \venstre| \begin(matrise) 2 & -1 \\ 0 & 1 \\\end(matrise) \right|=2; \\ ((A)_(12))=((\venstre(-1 \høyre))^(1+2))\cdot \venstre| \begin(matrise) 0 & -1 \\ 1 & 1 \\\end(matrise) \right|=-1; \\ ((A)_(13))=((\venstre(-1 \høyre))^(1+3))\cdot \venstre| \begin(matrise) 0 & 2 \\ 1 & 0 \\\end(matrise) \right|=-2; \\ ... \\ ((A)_(33))=((\venstre(-1 \høyre))^(3+3))\cdot \venstre| \begin(matrise) 1 & -1 \\ 0 & 2 \\\end(matrise) \right|=2; \\ \end(matrise)\]

Kort fortalt vil fagforeningsmatrisen se slik ut:

Derfor vil den inverse matrisen være:

\[((A)^(-1))=\frac(1)(-1)\cdot \venstre[ \begin(matrise) 2 & -1 & -2 \\ 1 & -1 & -1 \\ -3 & 1 & 2 \\\end(matrise) \right]=\venstre[ \begin(array)(*(35)(r))-2 & -1 & 3 \\ 1 & 1 & -1 \ \ 2 & 1 & -2 \\\end(array) \right]\]

Vel, det er alt. Her er svaret.

Svar. $\left[ \begin(array)(*(35)(r)) -2 & -1 & 3 \\ 1 & 1 & -1 \\ 2 & 1 & -2 \\\end(array) \right ]$

Som du kan se, utførte vi en sjekk på slutten av hvert eksempel. I denne forbindelse, en viktig merknad:

Ikke vær lat med å sjekke. Multipliser den opprinnelige matrisen med den funnet inverse - du bør få $E$.

Det er mye enklere og raskere å utføre denne kontrollen enn å se etter en feil i videre beregninger, når du for eksempel løser en matriseligning.

Alternativ måte

Som sagt fungerer invers matriseteoremet fint for størrelsene $\venstre[ 2\ ganger 2 \høyre]$ og $\venstre[ 3\ ganger 3 \høyre]$ (i sistnevnte tilfelle er det ikke så "vakkert" lenger). ”), men for store matriser begynner tristhet.

Men ikke bekymre deg: det finnes en alternativ algoritme som kan brukes til å finne inversen rolig selv for $\venstre[ 10\ ganger 10 \right]$ matrisen. Men som ofte er tilfellet, for å vurdere denne algoritmen, trenger vi litt teoretisk bakgrunn.

Elementære transformasjoner

Blant de forskjellige transformasjonene av matrisen er det flere spesielle - de kalles elementære. Det er nøyaktig tre slike transformasjoner:

Multiplikasjon. Du kan ta $i$-th rad (kolonne) og multiplisere den med et hvilket som helst tall $k\ne 0$;
Addisjon. Legg til $i$-th rad (kolonne) en hvilken som helst annen $j$-th rad (kolonne) multiplisert med et hvilket som helst tall $k\ne 0$ (selvfølgelig er $k=0$ også mulig, men hva er vitsen av det? Ingenting vil imidlertid endre seg).
Permutasjon. Ta $i$-th og $j$-th radene (kolonner) og bytt dem.

Hvorfor disse transformasjonene kalles elementære (for store matriser ser de ikke så elementære ut) og hvorfor det bare er tre av dem - disse spørsmålene er utenfor rammen av dagens leksjon. Derfor vil vi ikke gå i detaljer.

En annen ting er viktig: vi må utføre alle disse perversjonene på den tilhørende matrisen. Ja, ja, du hørte riktig. Nå blir det en definisjon til - den siste i dagens leksjon.

Vedlagt matrise

Sikkert på skolen løste du likningssystemer ved hjelp av addisjonsmetoden. Vel, der, trekk en annen fra en linje, multipliser en linje med et tall - det er alt.

Så: nå vil alt være det samme, men allerede "på en voksen måte". Klar?

Definisjon. La matrisen $A=\venstre[ n\ ganger n \right]$ og identitetsmatrisen $E$ av samme størrelse $n$ gis. Deretter den tilknyttede matrisen $\left[ A\left| E\rett. \right]$ er en ny $\left[ n\ ganger 2n \right]$ matrise som ser slik ut:

\[\venstre[ A\venstre| E\rett. \right]=\venstre[ \begin(array)(rrrr|rrrr)((a)_(11)) & ((a)_(12)) & ... & ((a)_(1n)) & 1 & 0 & ... & 0 \\((a)_(21)) & ((a)_(22)) & ... & ((a)_(2n)) & 0 & 1 & ... & 0 \\... & ... & ... & ... & ... & ... & ... & ... \\((a)_(n1)) & ((a)_(n2)) & ... & ((a)_(nn)) & 0 & 0 & ... & 1 \\\end(array) \right]\]

Kort sagt, vi tar matrisen $A$, til høyre tilordner vi den identitetsmatrisen $E$ av ønsket størrelse, vi skiller dem med en vertikal strek for skjønnhet - her er den vedlagte. :)

Hva er fangsten? Og her er hva:

Teorem. La matrisen $A$ være inverterbar. Tenk på den tilstøtende matrisen $\left[ A\left| E\rett. \right]$. Hvis du bruker elementære strengtransformasjoner ta den til formen $\left[ E\left| Lys. \right]$, dvs. ved å multiplisere, subtrahere og omorganisere rader for å få fra $A$ matrisen $E$ til høyre, så er matrisen $B$ oppnådd til venstre den inverse av $A$:

\[\venstre[ A\venstre| E\rett. \høyre]\til \venstre[ E\venstre| Lys. \right]\Høyrepil B=((A)^(-1))\]

Så enkelt er det! Kort sagt, algoritmen for å finne den inverse matrisen ser slik ut:

Skriv den tilknyttede matrisen $\left[ A\left| E\rett. \right]$;
Utfør elementære strengkonverteringer til høyre i stedet for $A$ vises $E$;
Selvfølgelig vil det også dukke opp noe til venstre - en viss matrise $B$. Dette vil være omvendt;
FORTJENESTE! :)

Selvfølgelig mye lettere sagt enn gjort. Så la oss se på et par eksempler: for størrelsene $\venstre[ 3\ ganger 3 \høyre]$ og $\venstre[ 4\ ganger 4 \høyre]$.

Oppgave. Finn den inverse matrisen:

\[\left[ \begin(array)(*(35)(r)) 1 & 5 & 1 \\ 3 & 2 & 1 \\ 6 & -2 & 1 \\\end(array) \right]\ ]

Løsning. Vi komponerer den vedlagte matrisen:

\[\venstre[ \begin(matrise)(rrr|rrr) 1 & 5 & 1 & 1 & 0 & 0 \\ 3 & 2 & 1 & 0 & 1 & 0 \\ 6 & -2 & 1 & 0 & 0 & 1 \\\end(array) \right]\]

Siden den siste kolonnen i den opprinnelige matrisen er fylt med enere, trekker du den første raden fra resten:

\[\begin(align) & \left[ \begin(array)(rrr|rrr) 1 & 5 & 1 & 1 & 0 & 0 \\ 3 & 2 & 1 & 0 & 1 & 0 \\ 6 & - 2 & 1 & 0 & 0 & 1 \\\end(array) \right]\begin(matrise) \downarrow \\ -1 \\ -1 \\\end(matrise)\to \\ & \to \venstre [ \begin(array)(rrr|rrr) 1 & 5 & 1 & 1 & 0 & 0 \\ 2 & -3 & 0 & -1 & 1 & 0 \\ 5 & -7 & 0 & -1 & 0 & 1 \\\end(array) \right] \\ \end(align)\]

Det er ingen flere enheter, bortsett fra den første linjen. Men vi rører den ikke, ellers vil de nylig fjernede enhetene begynne å "multipiseres" i den tredje kolonnen.

Men vi kan trekke den andre linjen to ganger fra den siste - vi får en enhet i nedre venstre hjørne:

\[\begin(align) & \left[ \begin(array)(rrr|rrr) 1 & 5 & 1 & 1 & 0 & 0 \\ 2 & -3 & 0 & -1 & 1 & 0 \\ 5 & -7 & 0 & -1 & 0 & 1 \\\end(array) \right]\begin(matrise) \ \\ \nedoverpil \\ -2 \\\end(matrise)\to \\ & \venstre [ \begin(array)(rrr|rrr) 1 & 5 & 1 & 1 & 0 & 0 \\ 2 & -3 & 0 & -1 & 1 & 0 \\ 1 & -1 & 0 & 1 & -2 & 1 \\\end(array) \right] \\ \end(align)\]

Nå kan vi trekke den siste raden fra den første og to ganger fra den andre - på denne måten vil vi "nulle ut" den første kolonnen:

\[\begin(align) & \left[ \begin(array)(rrr|rrr) 1 & 5 & 1 & 1 & 0 & 0 \\ 2 & -3 & 0 & -1 & 1 & 0 \\ 1 & -1 & 0 & 1 & -2 & 1 \\\end(array) \right]\begin(matrise) -1 \\ -2 \\ \uparrow \\\end(matrise)\to \\ & \ til \venstre[ \begin(matrise)(rrr|rrr) 0 & 6 & 1 & 0 & 2 & -1 \\ 0 & -1 & 0 & -3 & 5 & -2 \\ 1 & -1 & 0 & 1 & -2 & 1 \\\end(array) \right] \\ \end(align)\]

Multipliser den andre raden med −1 og trekk den 6 ganger fra den første og legg til 1 gang til den siste:

\[\begin(align) & \left[ \begin(array)(rrr|rrr) 0 & 6 & 1 & 0 & 2 & -1 \\ 0 & -1 & 0 & -3 & 5 & -2 \ \ 1 & -1 & 0 & 1 & -2 & 1 \\\end(array) \right]\begin(matrise) \ \\ \venstre| \cdot \left(-1 \right) \right. \\ \ \\\end(matrise)\to \\ & \to \venstre[ \begin(array)(rrr|rrr) 0 & 6 & 1 & 0 & 2 & -1 \\ 0 & 1 & 0 & 3 & -5 & 2 \\ 1 & -1 & 0 & 1 & -2 & 1 \\\end(array) \right]\begin(matrise) -6 \\ \updownarrow \\ +1 \\\end (matrise)\to \\ & \to \venstre[ \begin(array)(rrr|rrr) 0 & 0 & 1 & -18 & 32 & -13 \\ 0 & 1 & 0 & 3 & -5 & 2 \\ 1 & 0 & 0 & 4 & -7 & 3 \\\end(array) \right] \\ \end(align)\]

Det gjenstår bare å bytte linje 1 og 3:

\[\venstre[ \begin(matrise)(rrr|rrr) 1 & 0 & 0 & 4 & -7 & 3 \\ 0 & 1 & 0 & 3 & -5 & 2 \\ 0 & 0 & 1 & - 18 & 32 & -13 \\\end(array) \right]\]

Klar! Til høyre er den nødvendige inverse matrisen.

Svar. $\left[ \begin(array)(*(35)(r))4 & -7 & 3 \\ 3 & -5 & 2 \\ -18 & 32 & -13 \\\end(array) \right ]$

Oppgave. Finn den inverse matrisen:

\[\venstre[ \begin(matrise) 1 & 4 & 2 & 3 \\ 1 & -2 & 1 & -2 \\ 1 & -1 & 1 & 1 \\ 0 & -10 & -2 & -5 \\\end(matrise) \right]\]

Løsning. Igjen komponerer vi den vedlagte:

\[\left[ \begin(array)(rrrr|rrrr) 1 & 4 & 2 & 3 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & -2 & 1 & -2 & 0 & 1 & 0 & 0 \ \ 1 & -1 & 1 & 1 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & -10 & -2 & -5 & 0 & 0 & 0 & 1 \\\end(array) \right]\]

La oss låne litt, bekymre oss for hvor mye vi må telle nå ... og begynne å telle. Til å begynne med "nuller" vi den første kolonnen ved å trekke rad 1 fra rad 2 og 3:

\[\begin(align) & \left[ \begin(array)(rrrr|rrrr) 1 & 4 & 2 & 3 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & -2 & 1 & -2 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & -1 & 1 & 1 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & -10 & -2 & -5 & 0 & 0 & 0 & 1 \\\end(array) \right]\begin(matrise) \downarrow \\ -1 \\ -1 \\ \ \\\end(matrise)\to \\ & \to \left[ \begin(array)(rrrr|rrrr) 1 & 4 & 2 & 3 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & -6 & -1 & -5 & -1 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & -5 & -1 & -2 & -1 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & -10 & -2 & -5 & 0 & 0 & 0 & 1 \\\end(array) \right] \\ \end(align)\]

Vi observerer for mange "minus" i linje 2-4. Multipliser alle tre radene med −1, og brenn deretter ut den tredje kolonnen ved å trekke rad 3 fra resten:

\[\begin(align) & \left[ \begin(array)(rrrr|rrrr) 1 & 4 & 2 & 3 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & -6 & -1 & -5 & - 1 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & -5 & -1 & -2 & -1 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & -10 & -2 & -5 & 0 & 0 & 0 & 1 \\ \end(matrise) \right]\begin(matrise) \ \\ \venstre| \cdot \left(-1 \right) \right. \\ \venstre| \cdot \left(-1 \right) \right. \\ \venstre| \cdot \left(-1 \right) \right. \\\end(matrise)\to \\ & \to \left[ \begin(array)(rrrr|rrrr) 1 & 4 & 2 & 3 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 6 & 1 & 5 & 1 & -1 & 0 & 0 \\ 0 & 5 & 1 & 2 & 1 & 0 & -1 & 0 \\ 0 & 10 & 2 & 5 & 0 & 0 & 0 & -1 \\ \end (matrise) \right]\begin(matrise) -2 \\ -1 \\ \updownarrow \\ -2 \\\end(matrise)\to \\ & \to \left[ \begin(array)( rrrr| rrrr) 1 & -6 & 0 & -1 & -1 & 0 & 2 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 3 & 0 & -1 & 1 & 0 \\ 0 & 5 & 1 & 2 & 1 & 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & -2 & 0 & 2 & -1 \\\end(array) \right] \\ \end(align)\]

Nå er det på tide å "steke" den siste kolonnen i den opprinnelige matrisen: trekk rad 4 fra resten:

\[\begin(align) & \left[ \begin(array)(rrrr|rrrr) 1 & -6 & 0 & -1 & -1 & 0 & 2 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 3 & 0 & -1 & 1 & 0 \\ 0 & 5 & 1 & 2 & 1 & 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & -2 & 0 & 2 & -1 \\\end(array ) \right]\begin(matrise) +1 \\ -3 \\ -2 \\ \uparrow \\\end(matrise)\to \\ & \to \left[ \begin(array)(rrrr|rrrr) 1 & -6 & 0 & 0 & -3 & 0 & 4 & -1 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & 6 & -1 & -5 & 3 \\ 0 & 5 & 1 & 0 & 5 & 0 & -5 & 2 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & -2 & 0 & 2 & -1 \\\end(array) \right] \\ \end(align)\]

Siste kast: "brenn ut" den andre kolonnen ved å trekke fra rad 2 fra rad 1 og 3:

\[\begin(align) & \left[ \begin(array)(rrrr|rrrr) 1 & -6 & 0 & 0 & -3 & 0 & 4 & -1 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & 6 & -1 & -5 & 3 \\ 0 & 5 & 1 & 0 & 5 & 0 & -5 & 2 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & -2 & 0 & 2 & -1 \\\end( array) \right]\begin(matrise) 6 \\ \updownarrow \\ -5 \\ \ \\\end(matrise)\to \\ & \to \venstre[ \begin(array)(rrrr|rrrr) 1 & 0 & 0 & 0 & 33 & -6 & -26 & -17 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & 6 & -1 & -5 & 3 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & -25 & 5 & 20 & -13 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & -2 & 0 & 2 & -1 \\\end(array) \right] \\ \end(align)\]

Og igjen, identitetsmatrisen til venstre, så den omvendte til høyre. :)

Svar. $\left[ \begin(matrise) 33 & -6 & -26 & 17 \\ 6 & -1 & -5 & 3 \\ -25 & 5 & 20 & -13 \\ -2 & 0 & 2 & - 1 \\\end(matrise) \right]$

Finne den inverse matrisen- et problem som oftest løses på to måter:

metoden for algebraiske tillegg, der det er nødvendig å finne determinanter og transponere matriser;
den Gaussiske elimineringsmetoden, som krever elementære transformasjoner av matriser (legg til rader, multipliser rader med samme tall, etc.).

For de som er spesielt nysgjerrige, finnes det andre metoder, for eksempel metoden for lineære transformasjoner. I denne leksjonen vil vi analysere de tre nevnte metodene og algoritmer for å finne den inverse matrisen ved hjelp av disse metodene.

invers matrise EN, en slik matrise kalles

EN
. (1)

invers matrise , som kreves for å bli funnet for en gitt kvadratisk matrise EN, en slik matrise kalles

produktet som matrisene bygger på EN til høyre er identitetsmatrisen, dvs.
. (1)

En identitetsmatrise er en diagonal matrise der alle diagonale oppføringer er lik én.

Teorem.For hver ikke-entall (ikke-entall, ikke-entall) kvadratisk matrise kan man finne en invers matrise, og dessuten bare en. For en spesiell (degenerert, entall) kvadratisk matrise eksisterer ikke den inverse matrisen.

Den kvadratiske matrisen kalles ikke-spesiell(eller ikke-degenerert, ikke-entall) hvis determinanten ikke er lik null, og spesiell(eller degenerert, entall) hvis determinanten er null.

Den inverse matrisen kan bare finnes for en kvadratisk matrise. Naturligvis vil den inverse matrisen også være kvadratisk og av samme rekkefølge som den gitte matrisen. En matrise som en invers matrise kan bli funnet for, kalles en inverterbar matrise.

Til invers matrise det er en passende analogi med det gjensidige til et tall. For hvert tall en, som ikke er lik null, finnes det et tall b at arbeidet en Og b lik en: ab= 1 . Antall b kalles den gjensidige av et tall b. For eksempel, for tallet 7, er det inverse tallet 1/7, siden 7*1/7=1.

Finne den inverse matrisen ved hjelp av metoden for algebraiske addisjoner (unionsmatrise)

For en ikke-entall kvadratisk matrise EN den inverse er matrisen

hvor er matrisedeterminanten EN, а er matrisen assosiert med matrisen EN.

Alliert med en kvadratisk matrise EN er en matrise av samme orden hvis elementer er de algebraiske komplementene til de korresponderende elementene til determinanten til matrisen transponert med hensyn til matrisen A. Således, hvis

Algoritme for å finne den inverse matrisen ved hjelp av metoden for algebraiske addisjoner

1. Finn determinanten til denne matrisen EN. Hvis determinanten er lik null, stopper det å finne den inverse matrisen, siden matrisen er degenerert og det ikke er invers for den.

2. Finn en matrise transponert mht EN.

3. Beregn elementene i unionsmatrisen som de algebraiske komplementene til maritaen funnet i trinn 2.

4. Bruk formel (2): multipliser det resiproke av determinanten til matrisen EN, til unionsmatrisen funnet i trinn 4.

5. Sjekk resultatet oppnådd i trinn 4 ved å multiplisere denne matrisen EN til den inverse matrisen. Hvis produktet av disse matrisene er lik identitetsmatrisen, ble den inverse matrisen funnet riktig. Start ellers løsningsprosessen på nytt.

Eksempel 1 For matrise

finn den inverse matrisen.

Løsning. For å finne den inverse matrisen er det nødvendig å finne determinanten til matrisen EN. Vi finner etter regelen for trekanter:

Derfor matrisen EN er ikke-entall (ikke-degenerert, ikke-entall) og det er en invers for det.

La oss finne matrisen knyttet til den gitte matrisen EN.

La oss finne matrisen transponert i forhold til matrisen EN:

Vi beregner elementene i unionsmatrisen som algebraiske komplementer til matrisen transponert i forhold til matrisen EN:

Derfor ble matrisen konjugert med matrisen EN, har formen

Kommentar. Rekkefølgen for beregning av elementer og transponering av matrisen kan være forskjellig. Man kan først beregne de algebraiske komplementene til matrisen EN, og transponer deretter matrisen av algebraiske komplementer. Resultatet bør være de samme elementene i fagforeningsmatrisen.

Ved å bruke formel (2), finner vi matrisen invers til matrisen EN:

Finne den inverse matrisen ved Gaussisk eliminering av ukjente

Det første trinnet for å finne den inverse matrisen ved gaussisk eliminering er å tilordne til matrisen EN identitetsmatrise av samme rekkefølge, som skiller dem med en vertikal strek. Vi får en dobbel matrise. Multipliser begge deler av denne matrisen med , så får vi

Algoritme for å finne den inverse matrisen ved gaussisk eliminering av ukjente

1. Til matrisen EN tilordne en identitetsmatrise av samme rekkefølge.

2. Transformer den resulterende doble matrisen slik at identitetsmatrisen oppnås i dens venstre del, så vil den inverse matrisen automatisk fås i den høyre delen i stedet for identitetsmatrisen. Matrise EN på venstre side konverteres til identitetsmatrisen ved elementære transformasjoner av matrisen.

2. Hvis i ferd med matrisetransformasjon EN inn i identitetsmatrisen i en hvilken som helst rad eller i hvilken som helst kolonne vil det bare være nuller, da er determinanten til matrisen lik null, og derfor matrisen EN vil være degenerert, og den har ingen invers matrise. I dette tilfellet stopper videre funn av den inverse matrisen.

Eksempel 2 For matrise

finn den inverse matrisen.

og vi vil transformere den slik at identitetsmatrisen oppnås på venstre side. La oss starte transformasjonen.

Multipliser den første raden i venstre og høyre matrise med (-3) og legg den til den andre raden, og multipliser deretter den første raden med (-4) og legg den til den tredje raden, så får vi

For at det om mulig ikke er noen brøktall under påfølgende transformasjoner, vil vi først lage en enhet i den andre raden på venstre side av den doble matrisen. For å gjøre dette, multipliser den andre raden med 2 og trekk den tredje raden fra den, så får vi

La oss legge den første raden til den andre, og deretter multiplisere den andre raden med (-9) og legge den til den tredje raden. Så får vi

Del den tredje raden med 8, da

Multipliser den tredje raden med 2 og legg den til i den andre raden. Det viser seg:

Ved å bytte plass på andre og tredje linje, så får vi endelig:

Vi ser at identitetsmatrisen er oppnådd på venstre side, derfor er den inverse matrisen oppnådd på høyre side. Dermed:

Du kan kontrollere riktigheten av beregningene ved å multiplisere den opprinnelige matrisen med den funnet inverse matrisen:

Resultatet skal være en invers matrise.

Eksempel 3 For matrise

finn den inverse matrisen.

Løsning. Kompilere en dobbel matrise

og vi vil forvandle det.

Vi multipliserer den første raden med 3, og den andre med 2, og trekker fra den andre, og deretter multipliserer vi den første raden med 5, og den tredje med 2 og trekker fra den tredje raden, så får vi

Vi multipliserer den første raden med 2 og legger den til den andre, og trekker deretter den andre fra den tredje raden, så får vi

Vi ser at i den tredje linjen på venstre side viste alle elementene seg å være lik null. Derfor er matrisen degenerert og har ingen invers matrise. Vi stopper ytterligere funn av omvendt maria.

Matrix Algebra - Invers Matrix

invers matrise

invers matrise En matrise kalles som, multiplisert både til høyre og til venstre med en gitt matrise, gir identitetsmatrisen.
Angi matrisen invers til matrisen EN gjennom , så får vi i henhold til definisjonen:

Hvor E er identitetsmatrisen.
kvadratisk matrise kalt ikke-spesiell (ikke-degenerert) hvis determinanten ikke er lik null. Ellers heter det spesiell (degenerert) eller entall.

Det er et teorem: hver ikke-singular matrise har en invers matrise.

Operasjonen med å finne den inverse matrisen kalles anke matriser. Tenk på matriseinversjonsalgoritmen. La en ikke-singular matrise gis n-te rekkefølge:

hvor Δ = det EN ≠ 0.

Algebraisk elementkomplement matriser n-te orden EN determinanten til matrisen ( n–1)-te rekkefølge oppnådd ved sletting Jeg-te linje og j-th kolonne av matrisen EN:

La oss lage en såkalt vedlagte matrise:

hvor er de algebraiske komplementene til de tilsvarende elementene i matrisen EN.
Legg merke til at de algebraiske komplementene til radelementene i matrisen EN er plassert i de tilsvarende kolonnene i matrisen Ã , det vil si at matrisen transponeres samtidig.
Deling av alle matriseelementer Ã på Δ - verdien av determinanten til matrisen EN, får vi den inverse matrisen som et resultat:

Vi legger merke til en rekke spesielle egenskaper til den inverse matrisen:
1) for en gitt matrise EN dens inverse matrise er den eneste;
2) hvis det er en invers matrise, da høyre revers Og venstre revers matriser faller sammen med den;
3) en spesiell (degenerert) kvadratisk matrise har ikke en invers matrise.

Hovedegenskapene til den inverse matrisen:
1) determinanten til den inverse matrisen og determinanten til den opprinnelige matrisen er resiproke;
2) den inverse matrisen til produktet av kvadratiske matriser er lik produktet av de inverse matrisene av faktorer, tatt i omvendt rekkefølge:

3) den transponerte inverse matrisen er lik den inverse matrisen fra den gitte transponerte matrisen:

EKSEMPEL Beregn matrisen invers av den gitte.