Hvordan løse vanlige brøker. Hvordan løse eksempler med brøker


Denne artikkelen er en generell titt på drift med brøker. Her skal vi formulere og begrunne reglene for addisjon, subtraksjon, multiplikasjon, divisjon og eksponentiering av brøker av den generelle formen A/B, der A og B er noen tall, numeriske uttrykk eller uttrykk med variable. Som vanlig vil vi gi materialet forklarende eksempler med detaljerte beskrivelser av løsninger.

Sidenavigering.

Regler for å utføre operasjoner med generelle numeriske brøker

La oss bli enige om at vi med generelle numeriske brøker mener brøker der telleren og/eller nevneren ikke bare kan representeres av naturlige tall, men også med andre tall eller numeriske uttrykk. For klarhets skyld, her er noen eksempler på slike brøker: , .

Vi kjenner reglene som de utføres etter. Ved å bruke de samme reglene kan du utføre operasjoner med generelle brøker:

Begrunnelse for reglene

For å rettferdiggjøre gyldigheten av reglene for å utføre operasjoner med numeriske brøker av en generell form, kan du starte fra følgende punkter:

  • Skråstreken er egentlig et divisjonstegn,
  • divisjon med et tall som ikke er null kan betraktes som multiplikasjon med inversen av divisoren (dette forklarer umiddelbart regelen for å dele brøker),
  • egenskaper ved operasjoner med reelle tall,
  • og dens generelle forståelse,

De lar deg utføre følgende transformasjoner som rettferdiggjør reglene for addisjon, subtraksjon av brøker med like og ulikt nevnere, samt regelen for multiplikasjon av brøker:

Eksempler

La oss gi eksempler på å utføre operasjoner med generelle brøker i henhold til reglene lært i forrige avsnitt. La oss si med en gang at vanligvis etter å ha utført operasjoner med brøker, krever den resulterende brøken forenkling, og prosessen med å forenkle en brøk er ofte mer komplisert enn å utføre tidligere handlinger. Vi vil ikke dvele i detalj ved å forenkle brøker (de tilsvarende transformasjonene er diskutert i artikkelen transformere brøker), for ikke å bli distrahert fra emnet som interesserer oss.

La oss starte med eksempler på å legge til og trekke fra brøker med like nevnere. La oss først legge til brøkene og . Det er klart at nevnerne er like. I henhold til den tilsvarende regelen skriver vi ned en brøk hvis teller er lik summen av tellerne til de opprinnelige brøkene, og lar nevneren være den samme, vi har. Tilsetningen er gjort, alt som gjenstår er å forenkle den resulterende fraksjonen: . Så, .

Løsningen kunne vært håndtert annerledes: Gjør først overgangen til vanlige fraksjoner, og utfør deretter tilsetningen. Med denne tilnærmingen har vi .

La oss nå trekke fra brøken brøkdel . Nevnerne til brøkene er like, derfor følger vi regelen for å trekke fra brøker med de samme nevnerne:

La oss gå videre til eksempler på å addere og subtrahere brøker med forskjellige nevnere. Den største vanskeligheten her er å bringe brøker til en fellesnevner. For generelle brøker er dette et ganske omfattende emne; vi vil undersøke det i detalj i en egen artikkel. bringe brøker til en fellesnevner. For nå vil vi begrense oss til et par generelle anbefalinger, siden vi for øyeblikket er mer interessert i teknikken for å utføre operasjoner med fraksjoner.

Generelt ligner prosessen på å redusere vanlige brøker til en fellesnevner. Det vil si at nevnerne presenteres i form av produkter, deretter tas alle faktorene fra nevneren til den første brøken og de manglende faktorene fra nevneren til den andre brøken legges til dem.

Når nevnerne til brøkene som legges til eller trekkes fra ikke har felles faktorer, er det logisk å ta deres produkt som fellesnevner. La oss gi et eksempel.

La oss si at vi må utføre addisjon av brøker og 1/2. Her er det som en fellesnevner logisk å ta produktet av nevnerne til de opprinnelige brøkene, det vil si . I dette tilfellet vil tilleggsfaktoren for den første brøken være 2. Etter å ha multiplisert telleren og nevneren med det, vil brøken ha formen . Og for den andre brøken er tilleggsfaktoren uttrykket. Med dens hjelp reduseres brøkdelen 1/2 til formen . Alt som gjenstår er å legge til de resulterende brøkene med de samme nevnerne. Her er et sammendrag av hele løsningen:

Når det gjelder generelle brøker, snakker vi ikke lenger om den laveste fellesnevneren, som vanlige brøker vanligvis reduseres til. Selv om det i denne saken fortsatt er tilrådelig å strebe etter litt minimalisme. Med dette vil vi si at du ikke umiddelbart skal ta produktet av nevnerne til de opprinnelige brøkene som en fellesnevner. For eksempel er det slett ikke nødvendig å ta fellesnevneren for brøker og produktet . Her kan vi ta.

La oss gå videre til eksempler på å multiplisere generelle brøker. La oss multiplisere brøker og . Regelen for å utføre denne handlingen instruerer oss om å skrive ned en brøk, hvis teller er produktet av tellerne til de opprinnelige brøkene, og nevneren er produktet av nevnerne. Vi har . Her, som i mange andre tilfeller når du multipliserer brøker, kan du redusere brøken: .

Regelen for å dele brøker lar deg gå fra divisjon til multiplikasjon med den resiproke brøken. Her må du huske at for å få inversen til en gitt brøk, må du bytte om på telleren og nevneren til den gitte brøken. Her er et eksempel på overgangen fra divisjon av generelle numeriske brøker til multiplikasjon: . Alt som gjenstår er å utføre multiplikasjonen og forenkle den resulterende brøken (om nødvendig, se transformasjonen av irrasjonelle uttrykk):

Avslutt informasjonen i dette avsnittet, husk at ethvert tall eller numerisk uttrykk kan representeres som en brøk med en nevner 1, derfor kan addisjon, subtraksjon, multiplikasjon og divisjon av tall og brøker betraktes som å utføre den tilsvarende operasjonen med brøker, en hvorav har en i nevneren . For eksempel å erstatte i uttrykket roten av tre med en brøk, går vi fra å multiplisere en brøk med et tall til å multiplisere to brøker: .

Å gjøre ting med brøker som inneholder variabler

Reglene fra første del av denne artikkelen gjelder også for å utføre operasjoner med brøker som inneholder variabler. La oss rettferdiggjøre den første av dem - regelen for å legge til og subtrahere brøker med identiske nevnere, resten er bevist på absolutt samme måte.

La oss bevise at for alle uttrykk A, C og D (D er ikke identisk lik null) gjelder likheten på rekkevidden av tillatte verdier av variabler.

La oss ta et visst sett med variabler fra ODZ. La uttrykkene A, C og D ta verdiene a 0, c 0 og d 0 for disse verdiene til variablene. Deretter erstatter du verdiene til variabler fra det valgte settet med uttrykket, blir det til en sum (forskjell) av numeriske brøker med like nevnere av formen , som i henhold til regelen for addisjon (subtraksjon) av numeriske brøker med like nevnere , er lik . Men å erstatte verdiene til variabler fra det valgte settet med uttrykket gjør det til samme brøk. Dette betyr at for det valgte settet med variabelverdier fra ODZ, er verdiene til uttrykkene og like. Det er klart at verdiene til de indikerte uttrykkene vil være like for ethvert annet sett med verdier av variabler fra ODZ, noe som betyr at uttrykkene og er identisk like, det vil si at likheten som bevises er sann .

Eksempler på å legge til og trekke fra brøker med variabler

Når nevnerne til brøkene som legges til eller trekkes fra er de samme, så er alt ganske enkelt - tellerne legges til eller trekkes fra, men nevneren forblir den samme. Det er klart at fraksjonen som oppnås etter dette forenkles om nødvendig og mulig.

Merk at noen ganger skiller nevnerne til brøker seg bare ved første øyekast, men faktisk er de identiske like uttrykk, for eksempel, og , eller og . Og noen ganger er det nok å forenkle de opprinnelige brøkene slik at deres identiske nevner "vises".

Eksempel.

, b) , V) .

Løsning.

a) Vi må trekke fra brøker med like nevnere. I henhold til den tilsvarende regelen lar vi nevneren være den samme og trekker fra tellerne, vi har . Handlingen er fullført. Men du kan også åpne parentesene i telleren og presentere lignende termer: .

b) Det er klart at nevnerne til brøkene som legges til er de samme. Derfor legger vi sammen tellerne og lar nevneren være den samme: . Tillegg fullført. Men det er lett å se at den resulterende fraksjonen kan reduseres. Faktisk kan telleren for den resulterende brøken kollapses ved å bruke formelkvadraten til summen som (lgx+2) 2 (se formler for forkortet multiplikasjon), og dermed finner følgende transformasjoner sted: .

c) Brøker i sum har ulike nevnere. Men etter å ha transformert en av brøkene, kan du gå videre til å legge til brøker med de samme nevnerne. Vi viser to løsninger.

Første vei. Nevneren til den første brøken kan faktoriseres ved å bruke formelen for forskjellen på kvadrater, og deretter redusere denne brøken: . Dermed, . Det skader fortsatt ikke å frigjøre seg fra irrasjonalitet i nevneren til brøken: .

Andre vei. Å multiplisere telleren og nevneren til den andre brøken med (dette uttrykket går ikke til null for noen verdi av variabelen x fra ODZ for det opprinnelige uttrykket) lar deg oppnå to mål samtidig: fri deg fra irrasjonalitet og gå videre til legge til brøker med de samme nevnerne. Vi har

Svar:

EN) , b) , V) .

Det siste eksemplet brakte oss til spørsmålet om å redusere brøker til en fellesnevner. Der kom vi nesten tilfeldigvis frem til de samme nevnerne ved å forenkle en av de adderte brøkene. Men i de fleste tilfeller, når du legger til og trekker fra brøker med forskjellige nevnere, må du målrettet bringe brøkene til en fellesnevner. For å gjøre dette presenteres vanligvis nevnerne til brøkene i form av produkter, alle faktorene fra nevneren til den første brøken tas og de manglende faktorene fra nevneren til den andre brøken legges til dem.

Eksempel.

Utfør operasjoner med brøker: a) , b) , c) .

Løsning.

a) Det er ikke nødvendig å gjøre noe med nevnerne til brøkene. Som en fellesnevner tar vi produktet . I dette tilfellet er tilleggsfaktoren for den første brøken uttrykket, og for den andre brøken - tallet 3. Disse tilleggsfaktorene bringer brøkene til en fellesnevner, som senere lar oss utføre handlingen vi trenger, vi har

b) I dette eksemplet er nevnerne allerede representert som produkter og krever ingen ekstra transformasjoner. Det er klart at faktorene i nevnerne bare er forskjellige i eksponenter, derfor tar vi som en fellesnevner produktet av faktorene med de høyeste eksponentene, det vil si, . Da vil tilleggsfaktoren for den første brøken være x 4, og for den andre – ln(x+1) . Nå er vi klare til å trekke fra brøker:

c) Og i dette tilfellet skal vi først jobbe med nevnerne til brøker. Formlene for forskjellen av kvadrater og kvadratet av summen lar deg flytte fra den opprinnelige summen til uttrykket . Nå er det klart at disse brøkene kan reduseres til en fellesnevner . Med denne tilnærmingen vil løsningen se slik ut:

Svar:

EN)

b)

V)

Eksempler på å multiplisere brøker med variabler

Multiplisering av brøker gir en brøk hvis teller er produktet av tellerne til de opprinnelige brøkene, og nevneren er produktet av nevnerne. Her, som du kan se, er alt kjent og enkelt, og vi kan bare legge til at brøken oppnådd som et resultat av denne handlingen ofte viser seg å være reduserbar. I disse tilfellene reduseres det, med mindre det selvfølgelig er nødvendig og berettiget.

Brøker

Merk følgende!
Det er flere
materialer i spesialseksjon 555.
For de som er veldig "ikke veldig..."
Og for de som "veldig mye...")

Brøker er ikke mye til sjenanse på videregående. Foreløpig. Helt til du kommer over potenser med rasjonelle eksponenter og logaritmer. Og der... Du trykker og trykker på kalkulatoren, og den viser full visning av noen tall. Du må tenke med hodet som i tredje klasse.

La oss endelig finne ut brøker! Vel, hvor mye kan du bli forvirret i dem!? Dessuten er det hele enkelt og logisk. Så, hva er typene brøker?

Typer av brøker. Transformasjoner.

Det er tre typer brøker.

1. Vanlige brøker , For eksempel:

Noen ganger setter de en skråstrek i stedet for en horisontal linje: 1/2, 3/4, 19/5, vel, og så videre. Her vil vi ofte bruke denne skrivemåten. Det øverste nummeret kalles teller, Nedre - nevner. Hvis du stadig forveksler disse navnene (det skjer...), si til deg selv setningen: " Zzzzz huske! Zzzzz nevner - se zzzzz eh!" Se, alt vil bli husket zzzz.)

Bindestreken, enten horisontal eller skråstilt, betyr inndeling topptallet (teller) til bunnen (nevneren). Det er alt! I stedet for en strek er det fullt mulig å sette et divisjonstegn - to prikker.

Når fullstendig deling er mulig, må dette gjøres. Så i stedet for brøken "32/8" er det mye mer behagelig å skrive tallet "4". De. 32 er ganske enkelt delt på 8.

32/8 = 32: 8 = 4

Jeg snakker ikke engang om brøkdelen "4/1". Som også bare er "4". Og hvis det ikke er helt delbart, lar vi det være en brøkdel. Noen ganger må du gjøre den motsatte operasjonen. Gjør om et helt tall til en brøk. Men mer om det senere.

2. Desimaler , For eksempel:

Det er i dette skjemaet du må skrive ned svarene på oppgavene "B".

3. Blandede tall , For eksempel:

Blandede tall brukes praktisk talt ikke på videregående skole. For å kunne jobbe med dem må de gjøres om til vanlige brøker. Men du må definitivt klare dette! Ellers vil du komme over et slikt tall i et problem og fryse... Ut av ingenting. Men vi vil huske denne prosedyren! Litt lavere.

Mest allsidig vanlige brøker. La oss begynne med dem. Forresten, hvis en brøk inneholder alle slags logaritmer, sinus og andre bokstaver, endrer ikke dette noe. I den forstand at alt handlinger med brøkuttrykk er ikke forskjellig fra handlinger med vanlige brøker!

Hovedegenskapen til en brøk.

Så la oss gå! Til å begynne med vil jeg overraske deg. Hele utvalget av brøktransformasjoner leveres av én enkelt egenskap! Det er det den heter hovedegenskapen til en brøk. Huske: Hvis telleren og nevneren til en brøk multipliseres (deltes) med samme tall, endres ikke brøken. De:

Det er klart at du kan fortsette å skrive til du er blå i ansiktet. Ikke la sinus og logaritmer forvirre deg, vi vil håndtere dem videre. Det viktigste er å forstå at alle disse forskjellige uttrykkene er samme brøkdel . 2/3.

Trenger vi det, alle disse transformasjonene? Og hvordan! Nå vil du se selv. Til å begynne med, la oss bruke den grunnleggende egenskapen til en brøk for reduserende fraksjoner. Det virker som en elementær ting. Del teller og nevner med samme tall og det er det! Det er umulig å gjøre feil! Men... mennesket er et kreativt vesen. Du kan gjøre en feil hvor som helst! Spesielt hvis du ikke må redusere en brøk som 5/10, men et brøkuttrykk med alle slags bokstaver.

Hvordan man korrekt og raskt reduserer brøker uten å gjøre ekstra arbeid kan leses i den spesielle seksjon 555.

En vanlig elev gidder ikke å dele teller og nevner med samme tall (eller uttrykk)! Han stryker rett og slett over alt som er likt over og under! Det er her en typisk feil, en tabbe, om du vil, lurer.

For eksempel må du forenkle uttrykket:

Det er ingenting å tenke på her, kryss ut bokstaven "a" øverst og "2" nederst! Vi får:

Alt er riktig. Men egentlig delte du deg alle teller og alle nevneren er "a". Hvis du er vant til å bare krysse av, kan du i en hast krysse ut "a" i uttrykket

og få det igjen

Noe som ville være kategorisk usant. Fordi her alle telleren på "a" er allerede ikke delt! Denne brøkdelen kan ikke reduseres. En slik reduksjon er forresten, um... en alvorlig utfordring for læreren. Dette er ikke tilgitt! Husker du? Når du reduserer, må du dele alle teller og alle nevner!

Å redusere brøker gjør livet mye enklere. Du vil få en brøk et sted, for eksempel 375/1000. Hvordan kan jeg fortsette å jobbe med henne nå? Uten kalkulator? Multipliser, si, legg til, firkant!? Og hvis du ikke er for lat, og kutt den forsiktig ned med fem, og med ytterligere fem, og til og med... mens den blir forkortet, kort sagt. La oss få 3/8! Mye finere, ikke sant?

Hovedegenskapen til en brøk lar deg konvertere vanlige brøker til desimaler og omvendt uten kalkulator! Dette er viktig for Unified State-eksamenen, ikke sant?

Hvordan konvertere brøker fra en type til en annen.

Med desimalbrøker er alt enkelt. Som det er hørt, slik er det skrevet! La oss si 0,25. Dette er null komma tjuefem hundredeler. Så vi skriver: 25/100. Vi reduserer (vi deler telleren og nevneren med 25), vi får den vanlige brøken: 1/4. Alle. Det skjer, og ingenting reduseres. Som 0,3. Dette er tre tideler, dvs. 3/10.

Hva om heltallene ikke er null? Det er greit. Vi skriver ned hele brøken uten komma i telleren, og i nevneren - det som høres. For eksempel: 3.17. Dette er tre komma sytten hundredeler. Vi skriver 317 i telleren og 100 i nevneren.Vi får 317/100. Ingenting er redusert, det betyr alt. Dette er svaret. Elementær Watson! Av alt som er sagt, en nyttig konklusjon: enhver desimalbrøk kan konverteres til en vanlig brøk .

Men noen mennesker kan ikke gjøre omvendt konvertering fra vanlig til desimal uten kalkulator. Og det er nødvendig! Hvordan vil du skrive ned svaret på Unified State Exam!? Les nøye og mestr denne prosessen.

Hva kjennetegner en desimalbrøk? Hennes nevner er Alltid koster 10, eller 100, eller 1000, eller 10 000 og så videre. Hvis fellesbrøken din har en nevner som denne, er det ikke noe problem. For eksempel, 4/10 = 0,4. Eller 7/100 = 0,07. Eller 12/10 = 1,2. Hva om svaret på oppgaven i avsnitt "B" viste seg å være 1/2? Hva vil vi skrive som svar? Desimaler kreves...

La oss huske hovedegenskapen til en brøk ! Matematikk lar deg fordelaktig gange telleren og nevneren med samme tall. Hva som helst, forresten! Bortsett fra null, selvfølgelig. Så la oss bruke denne eiendommen til vår fordel! Hva kan nevneren ganges med, dvs. 2 slik at det blir 10, eller 100, eller 1000 (mindre er bedre, selvfølgelig...)? Klokken 5, så klart. Multipliser gjerne nevneren (dette er oss nødvendig) med 5. Men da må telleren også multipliseres med 5. Dette er allerede matematikk krav! Vi får 1/2 = 1x5/2x5 = 5/10 = 0,5. Det er alt.

Men alle slags nevnere kommer over. Du vil for eksempel komme over brøken 3/16. Prøv å finne ut hva du skal gange 16 med for å få 100 eller 1000... Fungerer det ikke? Da kan du ganske enkelt dele 3 med 16. I mangel av kalkulator må du dele med et hjørne, på et stykke papir, slik de lærte på barneskolen. Vi får 0,1875.

Og det er også veldig dårlige nevnere. For eksempel er det ingen måte å gjøre brøken 1/3 om til en god desimal. Både på kalkulatoren og på et stykke papir får vi 0,3333333... Dette betyr at 1/3 er en eksakt desimalbrøk oversetter ikke. Samme som 1/7, 5/6 og så videre. Det er mange av dem, uoversettelige. Dette bringer oss til en annen nyttig konklusjon. Ikke hver brøk kan konverteres til en desimal !

Dette er forresten nyttig informasjon for selvtesting. I avsnitt "B" må du skrive ned en desimalbrøk i svaret ditt. Og du fikk for eksempel 4/3. Denne brøken konverteres ikke til en desimal. Dette betyr at du har gjort en feil et sted underveis! Gå tilbake og sjekk løsningen.

Så vi fant ut vanlige og desimalbrøker. Alt som gjenstår er å forholde seg til blandede tall. For å jobbe med dem må de gjøres om til vanlige brøker. Hvordan gjøre det? Du kan ta en sjetteklassing og spørre ham. Men en sjetteklassing vil ikke alltid være tilgjengelig... Du må gjøre det selv. Det er ikke vanskelig. Du må multiplisere nevneren til brøkdelen med hele delen og legge til telleren til brøkdelen. Dette vil være telleren for fellesbrøken. Hva med nevneren? Nevneren vil forbli den samme. Det høres komplisert ut, men i virkeligheten er alt enkelt. La oss se på et eksempel.

Anta at du ble forferdet over å se nummeret i problemet:

Rolig, uten panikk, tenker vi. Hele delen er 1. Enhet. Brøkdelen er 3/7. Derfor er nevneren til brøkdelen 7. Denne nevneren vil være nevneren til ordinær brøk. Vi teller telleren. Vi multipliserer 7 med 1 (heltallsdelen) og legger til 3 (telleren til brøkdelen). Vi får 10. Dette vil være telleren for en vanlig brøk. Det er alt. Det ser enda enklere ut i matematisk notasjon:

Det er klart? Da sikrer du suksess! Gjør om til vanlige brøker. Du bør få 10/7, 7/2, 23/10 og 21/4.

Den omvendte operasjonen - å konvertere en uekte brøk til et blandet tall - er sjelden nødvendig på videregående skole. Vel, i så fall... Og hvis du ikke går på videregående, kan du se nærmere på den spesielle seksjon 555. Der vil du forresten også lære om uekte brøker.

Vel, det er praktisk talt alt. Du husket brøktyper og forsto Hvordan overføre dem fra en type til en annen. Spørsmålet gjenstår: For hva gjør det? Hvor og når skal man bruke denne dype kunnskapen?

Jeg svarer. Ethvert eksempel i seg selv antyder de nødvendige handlingene. Hvis i eksempelet vanlige brøker, desimaler og til og med blandede tall blandes sammen, konverterer vi alt til vanlige brøker. Det kan alltid gjøres. Vel, hvis det står noe sånt som 0,8 + 0,3, så teller vi det på den måten, uten noen oversettelse. Hvorfor trenger vi ekstraarbeid? Vi velger den løsningen som er praktisk oss !

Hvis oppgaven bare er desimalbrøker, men um... noen slags onde, gå til vanlige og prøv det! Se, alt ordner seg. For eksempel må du kvadrere tallet 0,125. Det er ikke så lett hvis du ikke har blitt vant til å bruke en kalkulator! Ikke bare må du gange tall i en kolonne, du må også tenke på hvor du skal sette inn komma! Det vil definitivt ikke fungere i hodet ditt! Hva om vi går videre til en vanlig brøk?

0,125 = 125/1000. Vi reduserer den med 5 (dette er for det første). Vi får 25/200. Nok en gang innen 5. Vi får 5/40. Å, den krymper fortsatt! Tilbake til 5! Vi får 1/8. Vi kvadrerer det lett (i tankene våre!) og får 1/64. Alle!

La oss oppsummere denne leksjonen.

1. Det er tre typer brøker. Vanlige, desimale og blandede tall.

2. Desimaler og blandede tall Alltid kan konverteres til vanlige brøker. Omvendt overføring ikke alltid tilgjengelig.

3. Valget av type brøker som skal jobbes med en oppgave avhenger av selve oppgaven. Hvis det er forskjellige typer brøker i en oppgave, er det mest pålitelige å bytte til vanlige brøker.

Nå kan du øve. Konverter først disse desimalbrøkene til vanlige brøker:

3,8; 0,75; 0,15; 1,4; 0,725; 0,012

Du bør få svar som dette (i et rot!):

La oss avslutte dette. I denne leksjonen frisket vi opp hukommelsen på nøkkelpunkter om brøker. Det hender imidlertid at det ikke er noe spesielt å oppdatere...) Hvis noen har glemt det helt, eller ennå ikke har mestret det... Da kan du gå til en spesiell Seksjon 555. Alt det grunnleggende er dekket i detalj der. Mange plutselig forstå alt starter. Og de løser brøker i farten).

Hvis du liker denne siden...

Forresten, jeg har et par flere interessante nettsteder for deg.)

Du kan trene på å løse eksempler og finne ut nivået ditt. Testing med umiddelbar verifisering. La oss lære - med interesse!)

Du kan bli kjent med funksjoner og derivater.

For å uttrykke en del som en brøkdel av helheten, må du dele delen inn i helheten.

Oppgave 1. Det er 30 elever i klassen, fire er fraværende. Hvor stor andel av elevene er fraværende?

Løsning:

Svar: Det er ingen elever i klassen.

Finne en brøk fra et tall

For å løse problemer der du trenger å finne en del av en helhet, gjelder følgende regel:

Hvis en del av en helhet uttrykkes som en brøk, så for å finne denne delen, kan du dele hele med nevneren til brøken og multiplisere resultatet med telleren.

Oppgave 1. Det var 600 rubler, dette beløpet ble brukt. Hvor mye penger brukte du?

Løsning: for å finne 600 rubler eller mer, må vi dele dette beløpet i 4 deler, og dermed vil vi finne ut hvor mye penger en fjerdedel er:

600: 4 = 150 (r.)

Svar: brukte 150 rubler.

Oppgave 2. Det var 1000 rubler, dette beløpet ble brukt. Hvor mye penger ble brukt?

Løsning: fra problemformuleringen vet vi at 1000 rubler består av fem like deler. Først, la oss finne hvor mange rubler som er en femtedel av 1000, og så finner vi ut hvor mange rubler som er to femtedeler:

1) 1000: 5 = 200 (r.) - en femtedel.

2) 200 · 2 = 400 (r.) - to femtedeler.

Disse to handlingene kan kombineres: 1000: 5 · 2 = 400 (r.).

Svar: 400 rubler ble brukt.

Den andre måten å finne en del av en helhet på:

For å finne en del av en helhet, kan du multiplisere helheten med brøken som uttrykker den delen av helheten.

Oppgave 3. For at rapporteringsmøtet skal være gyldig, i henhold til vedtektene til samvirkelaget, må minst medlemmer av organisasjonen være til stede. Samvirkelaget har 120 medlemmer. Hvilken sammensetning kan et rapporteringsmøte finne sted?

Løsning:

Svar: rapporteringsmøtet kan finne sted dersom det er 80 medlemmer i organisasjonen.

Finne et tall ved brøk

For å løse problemer der du trenger å finne en helhet fra sin del, gjelder følgende regel:

Hvis en del av den ønskede helheten er uttrykt som en brøk, så for å finne denne helheten, kan du dele denne delen med telleren til brøken og multiplisere resultatet med nevneren.

Oppgave 1. Vi brukte 50 rubler, som var mindre enn det opprinnelige beløpet. Finn det opprinnelige beløpet.

Løsning: fra beskrivelsen av problemet ser vi at 50 rubler er 6 ganger mindre enn det opprinnelige beløpet, det vil si at det opprinnelige beløpet er 6 ganger mer enn 50 rubler. For å finne dette beløpet må du gange 50 med 6:

50 · 6 = 300 (r.)

Svar: det opprinnelige beløpet er 300 rubler.

Oppgave 2. Vi brukte 600 rubler, som var mindre enn det opprinnelige beløpet. Finn det opprinnelige beløpet.

Løsning: Vi vil anta at det nødvendige antallet består av tre tredjedeler. I henhold til betingelsen tilsvarer to tredjedeler av antallet 600 rubler. Først, la oss finne en tredjedel av det opprinnelige beløpet, og deretter hvor mange rubler er tre tredjedeler (det opprinnelige beløpet):

1) 600: 2 3 = 900 (r.)

Svar: det opprinnelige beløpet er 900 rubler.

Den andre måten å finne en helhet fra sin del:

For å finne en helhet ved verdien som uttrykker dens del, kan du dele denne verdien med brøken som uttrykker denne delen.

Oppgave 3. Linjestykke AB, lik 42 cm, er lengden på segmentet CD. Finn lengden på segmentet CD.

Løsning:

Svar: segmentlengde CD 70 cm.

Oppgave 4. Vannmeloner ble brakt til butikken. Før lunsj solgte butikken vannmelonene den kom med, og etter lunsj var det 80 vannmeloner igjen å selge. Hvor mange vannmeloner tok du med deg til butikken?

Løsning: Først, la oss finne ut hvilken del av de medbrakte vannmelonene som er tallet 80. For å gjøre dette, la oss ta det totale antallet vannmeloner som ble tatt med som én og trekke fra det antallet vannmeloner som ble solgt (solgt):

Og så lærte vi at 80 vannmeloner utgjør det totale antallet vannmeloner som ble tatt med. Nå finner vi ut hvor mange vannmeloner fra den totale mengden utgjør, og deretter hvor mange vannmeloner som utgjør (antallet medbrakte vannmeloner):

2) 80: 4 15 = 300 (vannmeloner)

Svar: Totalt ble det brakt 300 vannmeloner til butikken.

Denne delen dekker operasjoner med vanlige brøker. Hvis det er nødvendig å utføre en matematisk operasjon med blandede tall, er det nok å konvertere den blandede brøken til en ekstraordinær brøk, utføre de nødvendige operasjonene og om nødvendig presentere det endelige resultatet igjen i form av et blandet tall . Denne operasjonen vil bli beskrevet nedenfor.

Reduserer en brøkdel

Matematisk operasjon. Reduserer en brøkdel

For å redusere brøken \frac(m)(n) må du finne den største felles divisor for telleren og nevneren: gcd(m,n), og deretter dele telleren og nevneren til brøken med dette tallet. Hvis GCD(m,n)=1, kan ikke brøken reduseres. Eksempel: \frac(20)(80)=\frac(20:20)(80:20)=\frac(1)(4)

Vanligvis ser det ut til å umiddelbart finne den største felles divisoren å være en vanskelig oppgave, og i praksis reduseres en brøk i flere trinn, trinn for trinn isolere åpenbare felles faktorer fra telleren og nevneren. \frac(140)(315)=\frac(28\cdot5)(63\cdot5)=\frac(4\cdot7\cdot5)(9\cdot7\cdot5)=\frac(4)(9)

Redusere brøker til en fellesnevner

Matematisk operasjon. Redusere brøker til en fellesnevner

For å bringe to brøker \frac(a)(b) og \frac(c)(d) til en fellesnevner trenger du:

  • finn det minste felles multiplum av nevnerne: M=LMK(b,d);
  • multipliser telleren og nevneren til den første brøken med M/b (hvoretter nevneren til brøken blir lik tallet M);
  • multipliser telleren og nevneren til den andre brøken med M/d (hvoretter nevneren til brøken blir lik tallet M).

Dermed transformerer vi de opprinnelige brøkene til brøker med de samme nevnerne (som vil være lik tallet M).

For eksempel har brøkene \frac(5)(6) og \frac(4)(9) LCM(6,9) = 18. Da: \frac(5)(6)=\frac(5\cdot3) (6 \cdot3)=\frac(15)(18);\quad\frac(4)(9)=\frac(4\cdot2)(9\cdot2)=\frac(8)(18) . Dermed har de resulterende brøkene en fellesnevner.

I praksis er det ikke alltid en enkel oppgave å finne det minste felles multiplum (LCM) av nevnere. Derfor velges et tall som er lik produktet av nevnerne til de opprinnelige brøkene som fellesnevner. For eksempel reduseres brøkene \frac(5)(6) og \frac(4)(9) til en fellesnevner N=6\cdot9:

\frac(5)(6)=\frac(5\cdot9)(6\cdot9)=\frac(45)(54);\quad\frac(4)(9)=\frac(4\cdot6)( 9\cdot6)=\frac(24)(54)

Sammenligning av brøker

Matematisk operasjon. Sammenligning av brøker

For å sammenligne to vanlige brøker trenger du:

  • sammenligne tellerne til de resulterende brøkene; en brøkdel med en større teller vil være større.
For eksempel, \frac(9)(14)

Når du sammenligner brøker, er det flere spesielle tilfeller:

  1. Fra to brøker med de samme nevnerne Brøken hvis teller er større, er større. For eksempel, \frac(3)(15)
  2. Fra to brøker med de samme tellerne Jo større er brøken hvis nevner er mindre. For eksempel, \frac(4)(11)>\frac(4)(13)
  3. Den brøken som samtidig større teller og mindre nevner, mer. For eksempel, \frac(11)(3)>\frac(10)(8)

Merk følgende! Regel 1 gjelder for alle brøker hvis fellesnevneren er et positivt tall. Regel 2 og 3 gjelder for positive brøker (de med både teller og nevner større enn null).

Legge til og trekke fra brøker

Matematisk operasjon. Legge til og trekke fra brøker

For å legge til to brøker trenger du:

  • bringe dem til en fellesnevner;
  • legg til tellerne og la nevneren være uendret.

Eksempel: \frac(7)(9)+\frac(4)(7)=\frac(7\cdot7)(9\cdot7)+\frac(4\cdot9)(7\cdot9)=\frac(49) )(63)+\frac(36)(63)=\frac(49+36)(63)=\frac(85)(63)

For å trekke en annen fra en brøk, trenger du:

  • redusere brøker til en fellesnevner;
  • Trekk telleren til den andre brøken fra telleren til den første brøken og la nevneren stå uendret.

Eksempel: \frac(4)(15)-\frac(3)(5)=\frac(4)(15)-\frac(3\cdot3)(5\cdot3)=\frac(4)(15) -\frac(9)(15)=\frac(4-9)(15)=\frac(-5)(15)=-\frac(5)(3\cdot5)=-\frac(1)( 3)

Hvis de opprinnelige brøkene i utgangspunktet har en fellesnevner, hoppes trinn 1 (reduksjon til en fellesnevner) over.

Konvertering av et blandet tall til en uekte brøk og omvendt

Matematisk operasjon. Konvertering av et blandet tall til en uekte brøk og omvendt

For å konvertere en blandet brøk til en uekte brøk, summerer du ganske enkelt hele delen av den blandede brøken med brøkdelen. Resultatet av en slik sum vil være en uekte brøk, hvis teller er lik summen av produktet av hele delen med nevneren til brøken med telleren til den blandede brøken, og nevneren vil forbli den samme. For eksempel, 2\frac(6)(11)=2+\frac(6)(11)=\frac(2\cdot11)(11)+\frac(6)(11)=\frac(2\cdot11+ 6)(11)=\frac(28)(11)

Slik konverterer du en uekte brøk til et blandet tall:

  • del telleren til en brøk med nevneren;
  • skriv resten av inndelingen i telleren og la nevneren være den samme;
  • skriv resultatet av divisjonen som en heltallsdel.

For eksempel, brøken \frac(23)(4) . Når du deler 23:4=5,75, det vil si at hele delen er 5, er resten av divisjonen 23-5*4=3. Deretter vil det blandede tallet skrives: 5\frac(3)(4) . \frac(23)(4)=\frac(5\cdot4+3)(4)=5\frac(3)(4)

Konvertering av en desimal til en brøk

Matematisk operasjon. Konvertering av en desimal til en brøk

For å konvertere en desimalbrøk til en vanlig brøk, må du:

  1. ta n-te potens av ti som nevner (her er n antall desimaler);
  2. som teller, ta tallet etter desimaltegnet (hvis heltallsdelen av det opprinnelige tallet ikke er lik null, ta alle de innledende nullene også);
  3. Heltallsdelen som ikke er null er skrevet i telleren helt i begynnelsen; null heltallsdelen er utelatt.

Eksempel 1: 0.0089=\frac(89)(10000) (det er 4 desimaler, så nevneren har 10 4 =10000, siden heltallsdelen er 0, inneholder telleren tallet etter desimaltegnet uten innledende nuller)

Eksempel 2: 31.0109=\frac(310109)(10000) (i telleren skriver vi tallet etter desimaltegnet med alle nuller: "0109", og før det legger vi til hele delen av det opprinnelige tallet "31")

Hvis hele delen av en desimalbrøk ikke er null, kan den konverteres til en blandet brøk. For å gjøre dette, konverterer vi tallet til en vanlig brøk som om hele delen var lik null (punkt 1 og 2), og bare omskriver hele delen foran brøken - dette vil være hele delen av det blandede tallet . Eksempel:

3.014=3\frac(14)(100)

For å konvertere en brøk til en desimal deler du bare telleren på nevneren. Noen ganger ender du opp med en uendelig desimal. I dette tilfellet er det nødvendig å avrunde til ønsket desimal. Eksempler:

\frac(401)(5)=80.2;\quad \frac(2)(3)\approx0.6667

Multiplisere og dele brøker

Matematisk operasjon. Multiplisere og dele brøker

For å multiplisere to vanlige brøker, må du multiplisere tellerne og nevnerne til brøkene.

\frac(5)(9)\cdot\frac(7)(2)=\frac(5\cdot7)(9\cdot2)=\frac(35)(18)

For å dele en vanlig brøk med en annen, må du multiplisere den første brøken med den gjensidige av den andre ( gjensidig brøk- en brøk der teller og nevner er byttet om.

\frac(5)(9):\frac(7)(2)=\frac(5)(9)\cdot\frac(2)(7)=\frac(5\cdot2)(9\cdot7)= \frac(10)(63)

Hvis en av brøkene er et naturlig tall, forblir reglene ovenfor for multiplikasjon og divisjon gjeldende. Du trenger bare å ta hensyn til at et heltall er den samme brøken, hvis nevner er lik en. For eksempel: 3:\frac(3)(7)=\frac(3)(1):\frac(3)(7)=\frac(3)(1)\cdot\frac(7)(3) = \frac(3\cdot7)(1\cdot3)=\frac(7)(1)=7

Leksjonens innhold

Legge til brøker med like nevnere

Det er to typer addisjon av brøker:

  1. Legge til brøker med like nevnere
  2. Legge til brøker med forskjellige nevnere

La oss først lære å legge til brøker med like nevnere. Alt er enkelt her. For å legge til brøker med de samme nevnerne, må du legge til deres tellere og la nevneren være uendret. La oss for eksempel legge til brøkene og . Legg til tellerne og la nevneren være uendret:

Dette eksemplet kan lett forstås hvis vi husker pizzaen, som er delt inn i fire deler. Legger du pizza til pizza, får du pizza:

Eksempel 2. Legg til brøker og .

Svaret viste seg å være en upassende brøkdel. Når slutten av oppgaven kommer, er det vanlig å kvitte seg med upassende brøker. For å bli kvitt en upassende brøkdel, må du velge hele delen av den. I vårt tilfelle er hele delen lett isolert - to delt på to er lik en:

Dette eksemplet kan lett forstås hvis vi husker om en pizza som er delt i to deler. Legger du til mer pizza i pizzaen, får du en hel pizza:

Eksempel 3. Legg til brøker og .

Igjen legger vi sammen tellerne og lar nevneren være uendret:

Dette eksemplet kan lett forstås hvis vi husker pizzaen, som er delt inn i tre deler. Legger du til mer pizza i pizzaen får du pizza:

Eksempel 4. Finn verdien av et uttrykk

Dette eksemplet er løst på nøyaktig samme måte som de forrige. Tellerne må legges til og nevneren holdes uendret:

La oss prøve å skildre løsningen vår ved hjelp av en tegning. Legger du pizza til en pizza og legger til flere pizzaer, får du 1 hel pizza og flere pizzaer.

Som du kan se, er det ikke noe komplisert ved å legge til brøker med samme nevnere. Det er nok å forstå følgende regler:

  1. For å legge til brøker med samme nevner, må du legge til deres tellere og la nevneren være uendret;

Legge til brøker med forskjellige nevnere

La oss nå lære hvordan du legger til brøker med forskjellige nevnere. Når du legger til brøker, må nevnerne til brøkene være de samme. Men de er ikke alltid like.

For eksempel kan brøker legges til fordi de har de samme nevnerne.

Men brøker kan ikke legges til med en gang, siden disse brøkene har forskjellige nevnere. I slike tilfeller må brøker reduseres til samme (felles)nevner.

Det er flere måter å redusere brøker til samme nevner. I dag skal vi se på bare en av dem, siden de andre metodene kan virke kompliserte for en nybegynner.

Essensen av denne metoden er at først LCM for nevnerne til begge brøkene søkes. LCM deles deretter med nevneren til den første brøken for å oppnå den første tilleggsfaktoren. De gjør det samme med den andre brøken - LCM deles på nevneren til den andre brøken og en andre tilleggsfaktor oppnås.

Tellerne og nevnerne til brøkene multipliseres deretter med tilleggsfaktorene deres. Som et resultat av disse handlingene blir brøker som hadde forskjellige nevnere til brøker som har samme nevner. Og vi vet allerede hvordan vi legger til slike brøker.

Eksempel 1. La oss legge til brøkene og

Først og fremst finner vi det minste felles multiplum av nevnerne til begge brøkene. Nevneren til den første brøken er tallet 3, og nevneren til den andre brøken er tallet 2. Minste felles multiplum av disse tallene er 6

LCM (2 og 3) = 6

La oss nå gå tilbake til brøker og . Del først LCM med nevneren til den første brøken og få den første tilleggsfaktoren. LCM er tallet 6, og nevneren til den første brøken er tallet 3. Del 6 med 3, vi får 2.

Det resulterende tallet 2 er den første tilleggsmultiplikatoren. Vi skriver det ned til den første brøken. For å gjøre dette, lag en liten skrå linje over brøken og skriv ned tilleggsfaktoren som finnes over den:

Vi gjør det samme med den andre brøken. Vi deler LCM med nevneren til den andre brøken og får den andre tilleggsfaktoren. LCM er tallet 6, og nevneren til den andre brøken er tallet 2. Del 6 med 2, vi får 3.

Det resulterende tallet 3 er den andre tilleggsmultiplikatoren. Vi skriver det ned til den andre brøken. Igjen lager vi en liten skrå linje over den andre brøken og skriver ned tilleggsfaktoren som finnes over den:

Nå har vi alt klart for tillegg. Det gjenstår å multiplisere tellerne og nevnerne til brøkene med deres tilleggsfaktorer:

Se nøye på hva vi har kommet til. Vi kom frem til at brøker som hadde forskjellige nevner ble til brøker som hadde samme nevner. Og vi vet allerede hvordan vi legger til slike brøker. La oss ta dette eksemplet til slutten:

Dette fullfører eksemplet. Det viser seg å legge til.

La oss prøve å skildre løsningen vår ved hjelp av en tegning. Legger du pizza til en pizza, får du en hel pizza og en annen sjettedel av en pizza:

Å redusere brøker til samme (felles)nevner kan også avbildes ved hjelp av et bilde. Ved å redusere brøkene og til en fellesnevner, fikk vi brøkene og . Disse to brøkene vil bli representert av de samme pizzastykkene. Den eneste forskjellen vil være at de denne gangen deles i like deler (redusert til samme nevner).

Den første tegningen representerer en brøk (fire stykker av seks), og den andre tegningen representerer en brøk (tre stykker av seks). Ved å legge til disse bitene får vi (syv av seks). Denne brøkdelen er upassende, så vi fremhevet hele delen av den. Som et resultat fikk vi (en hel pizza og en annen sjette pizza).

Vær oppmerksom på at vi har beskrevet dette eksemplet for mye detaljert. I utdanningsinstitusjoner er det ikke vanlig å skrive så detaljert. Du må raskt kunne finne LCM for både nevnerne og tilleggsfaktorene til dem, samt raskt multiplisere de funnet tilleggsfaktorene med tellerne og nevnerne dine. Hvis vi var på skolen, ville vi måtte skrive dette eksemplet som følger:

Men det er også en annen side ved mynten. Hvis du ikke tar detaljerte notater i de første stadiene av å studere matematikk, begynner slike spørsmål å dukke opp. "Hvor kommer det tallet fra?", "Hvorfor blir brøker plutselig til helt andre brøker? «.

For å gjøre det enklere å legge til brøker med forskjellige nevnere, kan du bruke følgende trinnvise instruksjoner:

  1. Finn LCM for nevnerne til brøker;
  2. Del LCM med nevneren for hver brøk og få en ekstra faktor for hver brøk;
  3. Multipliser tellerne og nevnerne til brøker med tilleggsfaktorene deres;
  4. Legg til brøker som har samme nevnere;
  5. Hvis svaret viser seg å være en uekte brøk, velg hele delen;

Eksempel 2. Finn verdien av et uttrykk .

La oss bruke instruksjonene ovenfor.

Trinn 1. Finn LCM for nevnerne til brøkene

Finn LCM for nevnerne til begge brøkene. Nevnerne for brøker er tallene 2, 3 og 4

Trinn 2. Del LCM med nevneren for hver brøk og få en tilleggsfaktor for hver brøk

Del LCM med nevneren til den første brøken. LCM er tallet 12, og nevneren til den første brøken er tallet 2. Del 12 med 2, vi får 6. Vi fikk den første tilleggsfaktoren 6. Vi skriver den over den første brøken:

Nå deler vi LCM med nevneren til den andre brøken. LCM er tallet 12, og nevneren til den andre brøken er tallet 3. Del 12 med 3, vi får 4. Vi får den andre tilleggsfaktoren 4. Vi skriver den over den andre brøken:

Nå deler vi LCM med nevneren til den tredje brøken. LCM er tallet 12, og nevneren til den tredje brøken er tallet 4. Del 12 med 4, vi får 3. Vi får den tredje tilleggsfaktoren 3. Vi skriver den over den tredje brøken:

Trinn 3. Multipliser tellerne og nevnerne til brøkene med tilleggsfaktorene deres

Vi multipliserer tellerne og nevnerne med tilleggsfaktorene deres:

Trinn 4. Legg til brøker med samme nevnere

Vi kom frem til at brøker som hadde ulike nevnere ble til brøker som hadde samme (felles)nevnere. Alt som gjenstår er å legge til disse brøkene. Legg det til:

Addisjonen passet ikke på én linje, så vi flyttet det gjenværende uttrykket til neste linje. Dette er tillatt i matematikk. Når et uttrykk ikke passer på en linje, flyttes det til neste linje, og det er nødvendig å sette et likhetstegn (=) på slutten av den første linjen og i begynnelsen av den nye linjen. Likhetstegnet på den andre linjen indikerer at dette er en fortsettelse av uttrykket som var på den første linjen.

Trinn 5. Hvis svaret viser seg å være en uekte brøkdel, velg hele delen av det

Svaret vårt viste seg å være en upassende brøkdel. Vi må fremheve en hel del av det. Vi fremhever:

Vi fikk svar

Å trekke fra brøker med like nevnere

Det er to typer subtraksjon av brøker:

  1. Å trekke fra brøker med like nevnere
  2. Å trekke fra brøker med forskjellige nevnere

Først, la oss lære hvordan du trekker fra brøker med like nevnere. Alt er enkelt her. For å trekke en annen fra en brøk, må du trekke telleren til den andre brøken fra telleren til den første brøken, men la nevneren være den samme.

La oss for eksempel finne verdien av uttrykket . For å løse dette eksemplet må du trekke fra telleren til den andre brøken fra telleren til den første brøken, og la nevneren være uendret. La oss gjøre dette:

Dette eksemplet kan lett forstås hvis vi husker pizzaen, som er delt inn i fire deler. Hvis du kutter pizza fra en pizza, får du pizza:

Eksempel 2. Finn verdien av uttrykket.

Igjen, fra telleren til den første brøken, trekk fra telleren til den andre brøken, og la nevneren være uendret:

Dette eksemplet kan lett forstås hvis vi husker pizzaen, som er delt inn i tre deler. Hvis du kutter pizza fra en pizza, får du pizza:

Eksempel 3. Finn verdien av et uttrykk

Dette eksemplet er løst på nøyaktig samme måte som de forrige. Fra telleren til den første brøken må du trekke fra tellerne til de gjenværende brøkene:

Som du kan se, er det ikke noe komplisert ved å trekke fra brøker med de samme nevnerne. Det er nok å forstå følgende regler:

  1. For å subtrahere en annen fra en brøk, må du trekke fra telleren til den andre brøken fra telleren til den første brøken, og la nevneren være uendret;
  2. Hvis svaret viser seg å være en upassende brøkdel, må du markere hele delen av det.

Å trekke fra brøker med forskjellige nevnere

For eksempel kan du trekke en brøk fra en brøk fordi brøkene har samme nevnere. Men du kan ikke trekke en brøk fra en brøk, siden disse brøkene har forskjellige nevnere. I slike tilfeller må brøker reduseres til samme (felles)nevner.

Fellesnevneren er funnet ved å bruke samme prinsipp som vi brukte når vi adderte brøker med forskjellige nevnere. Først av alt, finn LCM for nevnerne til begge brøkene. Deretter divideres LCM med nevneren til den første brøken og den første tilleggsfaktoren oppnås, som er skrevet over den første brøken. På samme måte deles LCM med nevneren til den andre brøken og en andre tilleggsfaktor oppnås, som er skrevet over den andre brøken.

Brøkene multipliseres deretter med tilleggsfaktorene. Som et resultat av disse operasjonene konverteres brøker som hadde forskjellige nevnere til brøker som har samme nevner. Og vi vet allerede hvordan vi trekker fra slike brøker.

Eksempel 1. Finn betydningen av uttrykket:

Disse brøkene har forskjellige nevnere, så du må redusere dem til samme (felles) nevner.

Først finner vi LCM for nevnerne til begge brøkene. Nevneren til den første brøken er tallet 3, og nevneren til den andre brøken er tallet 4. Minste felles multiplum av disse tallene er 12

LCM (3 og 4) = 12

La oss nå gå tilbake til brøker og

La oss finne en tilleggsfaktor for den første brøken. For å gjøre dette, del LCM med nevneren til den første brøken. LCM er tallet 12, og nevneren til den første brøken er tallet 3. Del 12 med 3, vi får 4. Skriv en firer over den første brøken:

Vi gjør det samme med den andre brøken. Del LCM med nevneren til den andre brøken. LCM er tallet 12, og nevneren til den andre brøken er tallet 4. Del 12 med 4, vi får 3. Skriv en treer over den andre brøken:

Nå er vi klare for subtraksjon. Det gjenstår å multiplisere brøkene med deres tilleggsfaktorer:

Vi kom frem til at brøker som hadde forskjellige nevner ble til brøker som hadde samme nevner. Og vi vet allerede hvordan vi trekker fra slike brøker. La oss ta dette eksemplet til slutten:

Vi fikk svar

La oss prøve å skildre løsningen vår ved hjelp av en tegning. Hvis du kutter pizza fra en pizza, får du pizza

Dette er den detaljerte versjonen av løsningen. Hvis vi var på skolen, måtte vi løse dette eksempelet kortere. En slik løsning vil se slik ut:

Å redusere brøker til en fellesnevner kan også avbildes ved hjelp av et bilde. Ved å redusere disse brøkene til en fellesnevner, fikk vi brøkene og . Disse brøkene vil være representert av de samme pizzaskivene, men denne gangen deles de i like deler (redusert til samme nevner):

Det første bildet viser en brøk (åtte stykker av tolv), og det andre bildet viser en brøk (tre stykker av tolv). Ved å kutte tre stykker fra åtte stykker får vi fem stykker av tolv. Brøken beskriver disse fem stykkene.

Eksempel 2. Finn verdien av et uttrykk

Disse brøkene har forskjellige nevnere, så først må du redusere dem til samme (felles) nevner.

La oss finne LCM for nevnerne til disse brøkene.

Nevnerne til brøkene er tallene 10, 3 og 5. Minste felles multiplum av disse tallene er 30

LCM(10; 3; 5) = 30

Nå finner vi tilleggsfaktorer for hver brøk. For å gjøre dette, del LCM med nevneren for hver brøk.

La oss finne en tilleggsfaktor for den første brøken. LCM er tallet 30, og nevneren til den første brøken er tallet 10. Del 30 med 10, vi får den første tilleggsfaktoren 3. Vi skriver den over den første brøken:

Nå finner vi en tilleggsfaktor for den andre brøken. Del LCM med nevneren til den andre brøken. LCM er tallet 30, og nevneren til den andre brøken er tallet 3. Del 30 med 3, vi får den andre tilleggsfaktoren 10. Vi skriver den over den andre brøken:

Nå finner vi en tilleggsfaktor for den tredje brøken. Del LCM med nevneren til den tredje brøken. LCM er tallet 30, og nevneren til den tredje brøken er tallet 5. Del 30 med 5, vi får den tredje tilleggsfaktoren 6. Vi skriver den over den tredje brøken:

Nå er alt klart for subtraksjon. Det gjenstår å multiplisere brøkene med deres tilleggsfaktorer:

Vi kom frem til at brøker som hadde ulike nevnere ble til brøker som hadde samme (felles)nevnere. Og vi vet allerede hvordan vi trekker fra slike brøker. La oss avslutte dette eksemplet.

Fortsettelsen av eksemplet vil ikke passe på én linje, så vi flytter fortsettelsen til neste linje. Ikke glem likhetstegnet (=) på den nye linjen:

Svaret viste seg å være en vanlig brøk, og alt ser ut til å passe oss, men det er for tungvint og stygt. Vi bør gjøre det enklere. Hva kan bli gjort? Du kan forkorte denne brøken.

For å redusere en brøk, må du dele telleren og nevneren med (GCD) av tallene 20 og 30.

Så vi finner gcd av tallene 20 og 30:

Nå går vi tilbake til eksemplet vårt og deler telleren og nevneren av brøken med den funnet gcd, det vil si med 10

Vi fikk svar

Multiplisere en brøk med et tall

For å multiplisere en brøk med et tall, må du multiplisere telleren til den gitte brøken med det tallet og la nevneren være den samme.

Eksempel 1. Multipliser en brøk med tallet 1.

Multipliser telleren av brøken med tallet 1

Opptaket kan forstås som å ta halv 1 gang. For eksempel, hvis du tar pizza en gang, får du pizza

Fra multiplikasjonslovene vet vi at hvis multiplikaden og faktoren byttes, vil ikke produktet endres. Hvis uttrykket skrives som , vil produktet fortsatt være lik . Igjen fungerer regelen for å multiplisere et helt tall og en brøk:

Denne notasjonen kan forstås som å ta halvparten av en. For eksempel, hvis det er 1 hel pizza og vi tar halvparten av den, vil vi ha pizza:

Eksempel 2. Finn verdien av et uttrykk

Multipliser telleren av brøken med 4

Svaret var en uekte brøk. La oss fremheve hele delen av det:

Uttrykket kan forstås som å ta to kvarter 4 ganger. Tar du for eksempel 4 pizzaer, får du to hele pizzaer

Og hvis vi bytter ut multiplikanten og multiplikatoren, får vi uttrykket . Det vil også være lik 2. Dette uttrykket kan forstås som å ta to pizzaer fra fire hele pizzaer:

Multiplisere brøker

For å multiplisere brøker, må du multiplisere deres tellere og nevnere. Hvis svaret viser seg å være en upassende brøkdel, må du fremheve hele delen av det.

Eksempel 1. Finn verdien av uttrykket.

Vi fikk svar. Det er tilrådelig å redusere denne brøkdelen. Fraksjonen kan reduseres med 2. Da vil den endelige løsningen ha følgende form:

Uttrykket kan forstås som å ta en pizza fra en halv pizza. La oss si at vi har en halv pizza:

Hvordan ta to tredjedeler fra denne halvdelen? Først må du dele denne halvdelen i tre like deler:

Og ta to fra disse tre delene:

Vi lager pizza. Husk hvordan pizza ser ut når den er delt i tre deler:

Ett stykke av denne pizzaen og de to stykkene vi tok vil ha samme dimensjoner:

Vi snakker med andre ord om samme størrelse pizza. Derfor er verdien av uttrykket

Eksempel 2. Finn verdien av et uttrykk

Multipliser telleren til den første brøken med telleren til den andre brøken, og nevneren til den første brøken med nevneren til den andre brøken:

Svaret var en uekte brøk. La oss fremheve hele delen av det:

Eksempel 3. Finn verdien av et uttrykk

Multipliser telleren til den første brøken med telleren til den andre brøken, og nevneren til den første brøken med nevneren til den andre brøken:

Svaret viste seg å være en vanlig brøk, men det ville vært bra om det ble forkortet. For å redusere denne brøken, må du dele telleren og nevneren til denne brøken med den største felles divisor (GCD) av tallene 105 og 450.

Så la oss finne gcd-en til tallene 105 og 450:

Nå deler vi telleren og nevneren for svaret vårt med gcd som vi nå har funnet, det vil si med 15

Representerer et helt tall som en brøk

Ethvert heltall kan representeres som en brøk. For eksempel kan tallet 5 representeres som . Dette vil ikke endre betydningen av fem, siden uttrykket betyr "tallet fem delt på en", og dette er, som vi vet, lik fem:

Gjensidige tall

Nå skal vi bli kjent med et veldig interessant tema i matematikk. Det kalles "omvendte tall".

Definisjon. Tilbake til nummeren er et tall som multiplisert meden gir en.

La oss erstatte i denne definisjonen i stedet for variabelen en nummer 5 og prøv å lese definisjonen:

Tilbake til nummer 5 er et tall som multiplisert med 5 gir en.

Er det mulig å finne et tall som, multiplisert med 5, gir ett? Det viser seg at det er mulig. La oss forestille oss fem som en brøk:

Multipliser deretter denne brøken med seg selv, bare bytt om teller og nevner. Med andre ord, la oss multiplisere brøken med seg selv, bare opp ned:

Hva vil skje som følge av dette? Hvis vi fortsetter å løse dette eksemplet, får vi ett:

Dette betyr at inversen av tallet 5 er tallet , siden når du ganger 5 med får du en.

Den gjensidige av et tall kan også finnes for et hvilket som helst annet heltall.

Du kan også finne den gjensidige av en hvilken som helst annen brøk. For å gjøre dette, bare snu den.

Å dele en brøk på et tall

La oss si at vi har en halv pizza:

La oss dele det likt mellom to. Hvor mye pizza får hver person?

Det kan sees at etter å ha delt halvparten av pizzaen, ble det oppnådd to like stykker, som hver utgjør en pizza. Så alle får en pizza.

Deling av brøker gjøres ved å bruke resiproke. Gjensidige tall lar deg erstatte divisjon med multiplikasjon.

For å dele en brøk med et tall, må du multiplisere brøken med inversen av divisor.

Ved å bruke denne regelen vil vi skrive ned delingen av vår halvdel av pizzaen i to deler.

Så du må dele brøken med tallet 2. Her er utbyttet brøken og divisoren er tallet 2.

For å dele en brøk med tallet 2, må du multiplisere denne brøken med den resiproke av divisor 2. Den resiproke av divisor 2 er brøken. Så du må gange med