Hvordan løse eksempler med brøker. Legge til og trekke fra brøker

Multiplisere og dele brøker.

Merk følgende!
Det er flere
materialer i spesialseksjon 555.
For de som er veldig "ikke veldig..."
Og for de som "veldig mye...")

Denne operasjonen er mye bedre enn addisjon-subtraksjon! Fordi det er lettere. Som en påminnelse, for å multiplisere en brøk med en brøk, må du multiplisere tellerne (dette vil være telleren for resultatet) og nevnerne (dette vil være nevneren). Det er:

For eksempel:

Alt er ekstremt enkelt. Og vær så snill, ikke se etter en fellesnevner! Det er ikke behov for ham her...

For å dele en brøk på en brøk, må du reversere sekund(dette er viktig!) brøk og gang dem, dvs.:

For eksempel:

Hvis du kommer over multiplikasjon eller divisjon med heltall og brøker, er det greit. Som med addisjon lager vi en brøk fra et helt tall med en i nevneren - og gå videre! For eksempel:

På videregående må du ofte forholde deg til tre-etasjers (eller til og med fire-etasjers!) brøker. For eksempel:

Hvordan kan jeg få denne brøkdelen til å se anstendig ut? Ja, veldig enkelt! Bruk topunktsdeling:

Men ikke glem rekkefølgen på delingen! I motsetning til multiplikasjon er dette veldig viktig her! Selvfølgelig skal vi ikke forveksle 4:2 eller 2:4. Men det er lett å gjøre en feil i en tre-etasjers brøkdel. Vennligst merk for eksempel:

I det første tilfellet (uttrykket til venstre):

I det andre (uttrykket til høyre):

Føler du forskjellen? 4 og 1/9!

Hva bestemmer rekkefølgen på delingen? Enten med parentes, eller (som her) med lengden på horisontale linjer. Utvikle øyet ditt. Og hvis det ikke er noen parenteser eller bindestreker, som:

deretter dividere og multiplisere i rekkefølge, fra venstre til høyre!

Og en annen veldig enkel og viktig teknikk. I handlinger med grader vil det være så nyttig for deg! La oss dele en på en hvilken som helst brøk, for eksempel med 13/15:

Skuddet har snudd! Og dette skjer alltid. Når du deler 1 med en hvilken som helst brøk, blir resultatet den samme brøken, bare opp ned.

Det er det for operasjoner med brøker. Saken er ganske enkel, men den gir mer enn nok feil. Ta praktiske råd i betraktning, så blir det færre av dem (feil)!

Praktiske tips:

1. Det viktigste når du jobber med brøkuttrykk er nøyaktighet og oppmerksomhet! Dette er ikke generelle ord, ikke gode ønsker! Dette er en stor nødvendighet! Gjør alle beregninger på Unified State Exam som en fullverdig oppgave, fokusert og tydelig. Det er bedre å skrive to ekstra linjer i utkastet ditt enn å rote til når du gjør hovedberegninger.

2. I eksempler med ulike typer brøker går vi over til vanlige brøker.

3. Vi reduserer alle fraksjoner til de stopper.

4. Vi reduserer brøkuttrykk på flere nivåer til vanlige ved å bruke divisjon gjennom to punkter (vi følger divisjonsrekkefølgen!).

5. Del en enhet med en brøk i hodet, bare snu brøken.

Her er oppgavene du definitivt må fullføre. Svar gis etter alle oppgaver. Bruk materialet om dette emnet og praktiske tips. Anslå hvor mange eksempler du klarte å løse riktig. Den første gangen! Uten kalkulator! Og trekke de riktige konklusjonene...

Husk - det riktige svaret er mottatt fra andre (spesielt tredje) gang teller ikke! Slik er det harde livet.

Så, løse i eksamensmodus ! Dette er allerede forberedelse til Unified State Exam, forresten. Vi løser eksempelet, sjekk det, løser det neste. Vi bestemte alt - sjekket igjen fra første til sist. Men bare Deretter se på svarene.

Regne ut:

Har du bestemt deg?

Vi ser etter svar som matcher ditt. Jeg skrev dem med vilje ned i uorden, vekk fra fristelser, for å si det sånn... Her er de svarene skrevet med semikolon.

0; 17/22; 3/4; 2/5; 1; 25.

Nå trekker vi konklusjoner. Hvis alt ordnet seg, er jeg glad i deg! Grunnleggende beregninger med brøker er ikke ditt problem! Du kan gjøre mer alvorlige ting. Hvis ikke...

Så du har ett av to problemer. Eller begge deler på en gang.) Mangel på kunnskap og (eller) uoppmerksomhet. Men dette løselig Problemer.

Hvis du liker denne siden...

Forresten, jeg har et par flere interessante nettsteder for deg.)

Du kan trene på å løse eksempler og finne ut nivået ditt. Testing med umiddelbar verifisering. La oss lære - med interesse!)

Du kan bli kjent med funksjoner og derivater.

Brøkekspansjon. Reduserer en brøkdel. Sammenligning av brøker.
Reduksjon til en fellesnevner. Legge til og trekke fra brøker.
Multiplisere brøker. Å dele brøker.
Brøkekspansjon. Verdien av en brøk endres ikke hvis du multipliserer telleren og nevneren med samme tall bortsett fra null. Denne transformasjonen kalles brøkekspansjon. For eksempel,

Reduserer en brøkdel. Verdien av en brøk endres ikke hvis du deler telleren og nevneren med samme tall bortsett fra null. Denne transformasjonen kalles brøkreduksjon. For eksempel,

Sammenligning av brøker. Av to brøker med samme tellere, er den som har mindre nevner større:

Av to brøker med samme nevner, er den hvis teller er større større:

For å sammenligne brøker som har forskjellige tellere og nevnere, må du utvide dem for å bringe dem til en fellesnevner.
EKSEMPEL Sammenlign to brøker:

Transformasjonen som brukes her kalles å redusere brøker til en fellesnevner.
Legge til og trekke fra brøker. Hvis nevnerne til brøkene er de samme, må du legge til tellerne for å legge til brøkene, og for å trekke fra brøkene må du trekke fra tellerne deres (i samme rekkefølge). Den resulterende summen eller differansen vil være telleren for resultatet; nevneren vil forbli den samme. Hvis nevnerne til brøkene er forskjellige, må du først redusere brøkene til en fellesnevner. Når du legger til blandede tall, legges hele og brøkdeler til hver for seg. Når du trekker fra blandede tall, anbefaler vi først å konvertere dem til uekte brøker, deretter trekke det ene fra det andre, og deretter konvertere resultatet igjen, om nødvendig, til blandet tallform.
EKSEMPEL

Multiplisere brøker. Å multiplisere et tall med en brøk betyr å multiplisere det med telleren og dele produktet på nevneren. Følgelig har vi en generell regel for å multiplisere brøker: for å multiplisere brøker, er det nødvendig å multiplisere deres tellere og nevnere separat og dele det første produktet med det andre.
EKSEMPEL

Å dele brøker. For å dele et tall med en brøk, må du multiplisere dette tallet med den gjensidige brøken. Denne regelen følger av definisjonen av divisjon (se avsnittet "Aritmetiske operasjoner").
EKSEMPEL

Den store russiske kritikeren V. G. Belinsky sa at poesiens oppgave er "å trekke ut livets poesi fra livets prosa og å sjokkere sjeler med en trofast fremstilling av livet." N. V. Gogol er nettopp en slik forfatter, en forfatter som ryster sjelen med sin skildring av noen ganger de mest ubetydelige bildene av menneskelig eksistens i verden. Gogols største tjeneste for det russiske samfunnet, etter min mening.

Denne artikkelen er et forsøk på å sette sammen ulik informasjon om det vanligste teleskopet blant solobservasjonsentusiaster. I en eller annen grad er det samlet på russiske og utenlandske astronomiske internettfora, og alle fotografiene som er lagt ut nedenfor, er også samlet på Internett. Tekniske parametere, designfunksjoner, mulig.

Desimaltallsystem Desimaltallsystemet er et posisjoneltallsystem basert på grunntall 10. Det vanligste tallsystemet i verden. De mest brukte symbolene for å skrive tall er 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, kalt arabiske tall. Base 10 antas å være relatert til antall fingre en person har. .

Matematikk. 1. - 4. klasse I denne delen vil du bli kjent med begreper og begreper som addisjon, subtraksjon, multiplikasjon og divisjon. Du vil også bli kjent med matematiske operasjoner og rekkefølgen på deres gjennomføring, matematiske eventyr og mye, mye mer. .

for-schoolboy.ru

Å legge til vanlige brøker gjøres slik:

a) hvis nevnerne til brøkene er de samme, legg til telleren til den andre brøken til telleren til den første brøken og la den samme nevneren stå igjen, dvs.

b) hvis nevnerne til brøkene er forskjellige, reduseres først brøkene til en fellesnevner, helst til den minste, og deretter brukes regel a).

Eksempel 1. Tilsett fraksjoner og løsning. Vi har:

Subtraksjon av vanlige brøker utføres som følger:

a) hvis nevnerne til brøkene er like, da

b) hvis nevnerne er forskjellige, reduseres først brøkene til en fellesnevner, og deretter brukes regel a).

Multiplikasjon av vanlige brøker utføres som følger:

det vil si at de multipliserer tellerne separat og nevnerne separat, og gjør det første produktet til telleren, det andre til nevneren.

For eksempel,

Delingen av vanlige brøker utføres som følger:

dvs. utbyttet multipliseres med brøken som er resiprok til divisor

For eksempel, .

Eksempel 2: Finn verdien av et numerisk uttrykk

Løsning. 1) Reduserer telleren og nevneren med 3 (dette er nyttig å gjøre før du utfører multiplikasjonsoperasjoner i telleren og nevneren), får vi dvs.

3) Når du skal finne verdien av et uttrykk, kan addisjons- og subtraksjonsoperasjoner utføres samtidig. Det minste felles multiplum av tallene 15, 20, 30 er tallet 60. La oss redusere alle tre brøkene til nevneren 60 ved å bruke tilleggsfaktorer: for den første brøken 4, for den andre - 3, for den tredje - 2. Vi få:

Eksempel 3. Følg disse trinnene: a)

Løsning, a) Første metode. La oss gjøre hvert av disse blandede tallene til en uekte brøk, og deretter utføre addisjonen:

La oss nå konvertere den uekte brøken til et blandet tall:

Andre vei. Vi har

b) Når du multipliserer og deler blandede tall, gå alltid til uekte brøker:

Så klokka 7

Operasjoner med vanlige brøker

Seksjoner: Matematikk

1) kontroll og systematisering av studentenes kunnskap om emnet;

2) utvikle beregningsevner, logikk, matematisk årvåkenhet;

3) dyrke selvstendighet, interesse for faget og en pliktoppfyllende holdning til pedagogisk arbeid.

UTSTYR: dataklasse, PC - 9 stk.

1) studentsentrert læring;

2) nivådifferensiering;

3) spillteknologi;

2. STILLE FORMÅLET MED LEKSJONEN.

I dag, på tampen av testen, vil vi ha muligheten til å analysere våre pedagogiske aktiviteter og trene på beregningsferdigheter i å utføre alle operasjoner med vanlige brøker på en elektronisk simulator.

Elevene skriver ned nummer og navn på arbeidet på spesiallagde ark.

3. OPPDATERT BAKGRUNNSKUNNSKAP

For å få tilgang til individuelt arbeid må du svare muntlig på spørsmål (alle har på skrivebordet sitt didaktisk materiale av A.P. Ershov, V.V. Goloborodko “Oral Mathematics”):

1. Oppgi hovedegenskapen til en brøk.

2. Regelen for å finne laveste fellesnevner av to brøker.

3. Utfør tillegg

4. Hvilke tall kalles resiproke?

5. Hvordan deler du en brøk på en brøk?

Elevene gjentar reglene for å utføre operasjoner med vanlige brøker og fullfører oppgaven med kommentarer.

4. INSTRUKSJONER for å fullføre trinnene i leksjonen

I dag har du muligheten til å teste deg selv i 3 kategorier: informatikere, matematikere og analytikere. Elevene deles inn i 3 grupper og får selvanalysekort (vedlegg 1), som de går gjennom alle trinn etter. (Læreren registrerer karakterene for alle tre trinn og setter det aritmetiske gjennomsnittet i lagkortene vedlegg 2)

På datamaskinen, på testark, ved hjelp av korrigeringskort eller kreative oppgaver

5. 1. stadie ELEKTRONISK SIMULATOR (vedlegg 3) – informatikk

Først av alt avhenger suksessen din på dette stadiet av hvor nøye du følger reglene for skiskytingsspillet.

Opplæringen består av tre trinn, som skiller seg fra hverandre i kompleksiteten til oppgavene. Hver etappe inkluderer et "skirenn" og en "skytebane". I "skirenn"-modus må du finne ut om den foreslåtte påstanden er sann eller usann og klikke på den tilsvarende knappen på skjermen.

I modusen "på skuddlinjen" må du fullføre fire (trinn 1) eller tre (trinn 2 og 3) oppgaver for å beregne summen, differansen, produktet eller kvotienten av to brøker. Svaret ditt er et skudd mot målet. Du treffer det ypperlige hvis svaret ditt er en irreduserbar brøkdel.

Læreren registrerer karakterene gitt av datamaskinen. På lagkortet.

Muntlig selvstendig arbeidsstudium.

Elevene svarer muntlig på spørsmål, utfører handlinger og registrerer resultatene på datamaskinen. Og i selvanalysekortet registrerer de sine feil.

(hver elev i gruppen er ved en datamaskin)

På slutten av spillet evaluerer datamaskinen eleven.

6. Trinn 2 TEORI PRØVE ( A.P. Ershova “Munnelig matematikk”):- analytikere

xn--i1abbnckbmcl9fb.xn--p1ai

Vanlige brøker. Operasjoner på vanlige brøker

Signert for utskrift fra ferdige transparenter 02/12/01. Format 84x108/32. Baltika headset. Papirtype nr. 2. Offsettrykk. Betinget stekeovn l. 25.1. Opplag 5000 eksemplarer. Best.nr. 106.

Skattefordel - all-russisk produktklassifiserer OK-005-093, bind 2; 953000 - bøker, brosjyrer.

Trykt fra ferdige transparenter på GIPP “Uralsky Rabochiy”, 620219, Ekaterinburg, st. Turgeneva, 13.

Emne nr. 1.

Aritmetiske beregninger. Renter.

Vanlige brøker. Operasjoner på vanlige brøker.

1º. Heltall– Dette er tall som brukes i telling. Mengden av alle naturlige tall er betegnet med N, dvs. N= .

Brøkdel er et tall som består av flere brøkdeler av en enhet. Vanlig brøk er et tall av formen , hvor er et naturlig tall n viser hvor mange like deler en enhet er delt inn i, og et naturlig tall m viser hvor mange slike like deler som tas. Tall m Og n kalles deretter teller Og nevner brøker

Hvis telleren er mindre enn nevneren, kalles brøken riktig; hvis telleren er lik eller større enn nevneren, kalles brøken feil. Et tall som består av et heltall og en brøkdel kalles blandet tall.

For eksempel - riktige vanlige brøker, - uekte vanlige brøker, 1 - et blandet tall.

2º. Når du utfører operasjoner med vanlige brøker, bør du huske følgende regler:

1) Hovedegenskapen til en brøk. Hvis telleren og nevneren til en brøk multipliseres eller divideres med det samme naturlige tallet, får du en brøk lik den gitte.

For eksempel, a) ; b) .

Å dele telleren og nevneren til en brøk med deres felles deler andre enn én kalles redusere en brøkdel.

2) For å representere et blandet tall som en uekte brøk, må du multiplisere hele delen med nevneren til brøkdelen og legge til telleren til brøkdelen til det resulterende produktet, skriv den resulterende mengden som telleren for brøken, og la nevneren være den samme.

På samme måte kan et hvilket som helst naturlig tall skrives som en uekte brøk med en hvilken som helst nevner.

For eksempel, a) fordi ; b) osv.

3) For å skrive en uekte brøk som et blandet tall (dvs. skille en heltallsdel fra en uekte brøk), må du dele telleren med nevneren, ta kvotienten av divisjonen som en heltallsdel, resten som telleren , og la nevneren være den samme.

For eksempel, a) siden 200: 7 = 28 (resterende 4);
b) siden 20: 5 = 4 (resterende 0).

4) For å redusere brøker til laveste fellesnevner, må du finne det minste felles multiplum (LCM) av nevnerne til disse brøkene (det vil være deres laveste fellesnevner), dele den laveste fellesnevneren med nevnerne til disse brøkene ( dvs. finn tilleggsfaktorer for brøkene), multipliser telleren og nevneren for hver brøk med tilleggsfaktoren.

La oss for eksempel redusere brøker til laveste fellesnevner:

630: 18 = 35, 630: 10 = 63, 630: 21 = 30.

Midler, ; ; .

5) Regler for aritmetiske operasjoner på vanlige brøker:

a) Addisjon og subtraksjon av brøker med samme nevnere utføres i henhold til regelen:

b) Addisjon og subtraksjon av brøker med ulike nevnere utføres etter regel a), etter først å ha redusert brøkene til laveste fellesnevner.

c) Når du legger til og subtraherer blandede tall, kan du gjøre dem om til uekte brøker, og deretter følge reglene a) og b),

d) Når du multipliserer brøker, bruk følgende regel:

e) For å dele en brøk med en annen, må du multiplisere utbyttet med den gjensidige av divisoren:

f) Når man multipliserer og deler blandede tall, konverteres de først til uekte brøker, og deretter brukes reglene d) og e).

Presentasjon om emnet "Matematikk" om emnet: "Presentasjon for leksjonen "Handlinger med vanlige brøker" Utført av matematikklærer Evgenia Viktorovna Kolbina." Last ned gratis og uten registrering. - Transkripsjon:

1 Presentasjon for leksjonen "Handlinger med vanlige brøker" Utført av matematikklærer Evgenia Viktorovna Kolbina

2 Leksjonsmål. Pedagogisk: repetisjon av reglene for sammenligning, addisjon, subtraksjon, multiplikasjon og deling av vanlige brøker; generalisering og systematisering av kunnskap om vanlige brøker, konsolidering og forbedring av ferdigheter i arbeid med vanlige brøker; øve på hoderegning og evne til å anvende regler ved løsning av mer komplekse eksempler. Utviklingsmessig: utvikling av ferdigheter i pedagogiske og kognitive aktiviteter; utvikling av en kultur for muntlig og skriftlig tale; utvikling av selvkontroll og egenvurdering ferdigheter av oppnådd kunnskap og ferdigheter. Pedagogisk: fremme oppmerksomhet, aktivitet, uavhengighet, ansvar.

3 Hva kan ikke matematikere, trommeslagere og til og med jegere klare seg uten?

4 Hvilken måned er det nå? Hvilken sesong? Hva liker du med vinteren?

5 I dag i leksjonen skal du og jeg forme en snømann, men ikke fra snø, men fra vår kunnskap

6 Evalueringsark (studentens fulle navn) "Snødrift" "1 rom" "2 rom" "3 rom" "Attributter" Total vurdering

7 1. For å sammenligne (legge til, subtrahere) brøker med forskjellige, må du: 1) redusere de gitte brøkene til; 2) sammenlign (legg til, trekk fra) de resulterende brøkene. 2. For å legge til (trekke fra) blandede tall, må du: 1) bringe brøkdelene til; 2) utføre separat addisjon (subtraksjon) av deler og brøkdeler. 3. For å multiplisere en brøk med et naturlig tall, må du gange det med dette tallet og la det være uendret. nevnere LCD (laveste fellesnevner) LCD-heltall teller nevner 4. For å multiplisere en brøk med en brøk, må du finne produktet og produktet. 5. For å multiplisere blandede tall, må du skrive dem ned som brøker og deretter bruke brøkregelen. 6. For å dele en brøk med en annen, må du gange med talldeleren. tellere nevnere av feil multiplikasjon utbytte invers "DRIFTS" For hver riktig regel – 1 poeng

8 “1 com” For hvert riktig svar – 1 poeng

10 I Alternativ 635(a) II Alternativ 635(b) "2 com" For hver riktig handling - 1 poeng

12 Gresset er lite, lite. Trærne er høye, høye. Vinden ryster trærne. Den vipper til høyre, så til venstre. Nå opp, så tilbake. Den bøyer seg ned. Fugler flyr og flyr bort. Elevene sitter stille ved pultene sine. Fizminutka

13 Oppgave Turistene dro på fottur. Den første dagen gikk de km, som er km mer enn den andre dagen. Og den tredje dagen gikk de 2 ganger mindre enn den første. Hvor mange kilometer gikk turistene i løpet av disse tre dagene? "3 rom"

14 1) la oss finne hvor mye turistene gikk den andre dagen, for dette trekker vi fra 2) finn hvor mye turistene gikk den tredje dagen, for dette deler vi på 2 3) legg til resultatet av den første handlingen og resultatet av den andre handlingen og finne hvor mye de gikk på disse tre dagene. Svar: Løsningsplan For hver riktig handling - 1 poeng + 1 poeng for riktig svar

16 Test "Attributter" For hvert riktig svar 1 poeng

18 27-30 poeng – “5” poeng – “4” poeng – “3” 0-14 poeng – “2”

19 Lekser: 635 (g), 643 Lag en rapport om emnet: opprinnelsen til vanlige brøker

20 Leksjonssammendrag Jeg likte alt! Vanskelig, men interessant! Trett!

21 Den store russiske forfatteren L.N. Tolstoy mente at en person er som en brøkdel, hvis nevner er hva han tenker om seg selv, og telleren er hva de tenker om ham. Jeg ønsker deg at telleren i livet ditt er større enn nevneren.

491. 1)

· 3

- 4

· 4

: 13

+ 6

: 2

ukjent nummer.

så viser det seg å være 100. Finn tallet.

499*. Hvis du øker et ukjent tall med 2/3 av det, får du 60. Hvilket tall er dette?

Finn det ukjente nummeret.

_____________________________________________________________

501. 1) Potetavlingen med kvadratklyngeplanting er i gjennomsnitt 150 centners per hektar, og med konvensjonell planting denne mengden. Hvor mye mer poteter kan høstes fra et område på 15 hektar hvis poteter plantes etter kvadratklyngemetoden?

2) En erfaren arbeider produserte 18 deler på 1 time, og en uerfaren arbeider produserte 2/3 av dette beløpet. Hvor mange flere deler kan en erfaren arbeider produsere på en 7-timers dag?

502. 1) Pionerene samlet inn 56 kg forskjellige frø over tre dager. På den første dagen ble 3/14 av den totale mengden samlet inn, på den andre - en og en halv gang mer, og på den tredje dagen - resten av kornet. Hvor mange kilo frø samlet pionerene den tredje dagen?

2) Ved maling av hveten ble resultatet: mel 4/5 av den totale mengden hvete, semulegryn - 40 ganger mindre enn mel, og resten er kli. Hvor mye mel, semulegryn og kli hver for seg ble produsert ved maling av 3 tonn hvete?

503. 1) Tre garasjer har plass til 460 biler. Antall biler som får plass i den første garasjen er 3/4 av antall biler som passer i den andre, og den tredje garasjen har 1 1/2 ganger så mange biler som den første. Hvor mange biler får plass i hver garasje?

2) En fabrikk med tre verksteder sysselsetter 6000 arbeidere. I det andre verkstedet er det 1 1/2 ganger færre arbeidere enn i det første, og antall arbeidere i det tredje verkstedet er 5/6 av antall arbeidere i det andre verkstedet. Hvor mange arbeidere er det på hvert verksted?

504. 1) Først ble 2/5, deretter 1/3 av den totale parafinen helt fra en tank med parafin, og etter det var det 8 tonn parafin igjen i tanken. Hvor mye parafin var det i tanken i utgangspunktet?

2) Syklistene kjørte i tre dager. Den første dagen tilbakela de 4/15 av hele reisen, den andre 2/5, og den tredje dagen de resterende 100 km. Hvor langt reiste syklistene på tre dager?

505. 1) Isbryteren kjempet seg gjennom isfeltet i tre dager. Den første dagen tilbakela han 1/2 av hele distansen, den andre dagen 3/5 av den gjenværende distansen, og den tredje dagen de resterende 24 km. Finn lengden på stien som dekkes av isbryteren på tre dager.

2) Tre grupper skoleelever plantet trær. Den første avdelingen plantet 7/20 av alle trærne, den andre 5/8 av de gjenværende trærne, og den tredje de resterende 195 trærne. Hvor mange trær plantet de tre lagene totalt?

506 . 1) En skurtresker høstet hvete fra ett parsell på tre dager. Den første dagen høstet han fra 5/18 av hele arealet på tomten, den andre dagen fra 7/13 av det gjenværende arealet, og den tredje dagen fra det gjenværende arealet på 30 1/2 hektar. I gjennomsnitt ble det høstet 20 centners hvete fra hver hektar. Hvor mye hvete ble høstet i hele området?

2) På den første dagen dekket rallydeltakerne 3/11 av hele ruten, på den andre dagen 7/20 av den gjenværende ruten, på den tredje dagen 5/13 av den nye resten, og på den fjerde dagen de resterende 320 km. Hvor lang er ruten for rallyet?

507. 1) Den første dagen tilbakela bilen 3/8 av hele distansen, den andre dagen 15/17 av det den tilbakela den første, og den tredje dagen de resterende 200 km. Hvor mye bensin ble forbrukt hvis en bil bruker 1 3/5 kg bensin i 10 km?

2) Byen består av fire bydeler. 4/13 av alle innbyggerne i byen bor i det første distriktet, 5/6 av innbyggerne i det første distriktet bor i det andre, 4/11 av innbyggerne i de to første distriktene til sammen bor i det tredje, og 18 tusen folk bor i fjerde distrikt. Hvor mye brød trenger hele byens befolkning i 3 dager, hvis i gjennomsnitt én person bruker 500 g per dag?

508. 1) Turisten gikk på den første dagen 10/31 av hele reisen, på den andre 9/10 av det han gikk på den første dagen, og på den tredje - resten av reisen, og på den tredje dagen gikk han 12 km mer enn den andre dagen. Hvor mange kilometer gikk turisten på hver av de tre dagene?

2) Bilen dekket hele ruten fra by A til by B på tre dager. Den første dagen tilbakela bilen 7/20 av hele distansen, den andre 8/13 av den gjenværende distansen, og den tredje dagen tilbakela bilen 72 km mindre enn den første dagen. Hva er avstanden mellom byer A og B?

509 . 1) Forretningsutvalget tildelte jord til arbeiderne ved tre fabrikker for hageplasser. Det første anlegget ble tildelt 9/25 av det totale antall tomter, det andre anlegget 5/9 av antall tomter tildelt for det første, og det tredje - de resterende tomtene. Hvor mange tomter totalt ble tildelt arbeiderne ved tre fabrikker, dersom den første fabrikken ble tildelt 50 færre tomter enn den tredje?

2) Flyet leverte et skift med vinterarbeidere til polarstasjonen fra Moskva på tre dager. Den første dagen fløy han 2/5 av hele distansen, på den andre 5/6 av distansen den første dagen, og den tredje dagen fløy han 500 km mindre enn den andre dagen. Hvor langt fløy flyet på tre dager?

510 . 1) Anlegget hadde tre verksteder. Antall arbeidere i det første verkstedet er 2/5 av alle arbeidere i anlegget; i det andre verkstedet er det 1 1/2 ganger færre arbeidere enn i det første, og i det tredje verkstedet er det 100 flere arbeidere enn i det andre. Hvor mange arbeidere er det på fabrikken?

2) Kollektivbruket omfatter beboere i tre nabobygder. Antall familier i den første landsbyen er 3/10 av alle familier på kollektivbruket; i den andre landsbyen er antallet familier 1 1/2 ganger større enn i den første, og i den tredje landsbyen er antallet familier 420 færre enn i den andre. Hvor mange familier er det på kollektivgården?

511 . 1) Artelen brukte opp 1/3 av råvarelageret den første uken, og 1/3 av resten i den andre. Hvor mye råstoff er det igjen i artellen hvis forbruket av råvarer den første uken var 3/5 tonn mer enn den andre uken?

2) Av det importerte kullet ble 1/6 av det brukt til oppvarming av huset den første måneden, og 3/8 av resten i den andre måneden. Hvor mye kull er igjen til oppvarming av huset hvis det i den andre måneden ble forbrukt 1 3/4 tonn mer enn den første måneden?

512 . 3/5 av den totale jorda til kollektivbruket er avsatt til såing av korn, 13/36 av resten er okkupert av grønnsakshager og enger, resten av jorden er skog, og såarealet til kollektivbruket er 217 hektar større enn skogarealet, 1/3 av jorda som er avsatt til såing av korn er tilsådd med rug, og resten er hvete. Hvor mange hektar jord sådde kollektivbruket med hvete og hvor mange med rug?

513. 1) Trikkeveien er 14 3/8 km lang. Langs denne ruten kjører trikken 18 stopp, og bruker i gjennomsnitt opptil 1 1/6 minutt per stopp. Gjennomsnittshastigheten på trikken langs hele ruten er 12 1/2 km i timen. Hvor lang tid tar det for en trikk å fullføre én tur?

2) Bussvei 16 km. Langs denne ruten kjører bussen 36 stopp, 3/4 min hver. i gjennomsnitt hver. Gjennomsnittlig busshastighet er 30 km i timen. Hvor lang tid tar en buss for én rute?

514*. 1) Klokken er 6 om kvelden. Hvilken del av dagen er igjen og hvilken del utgjør den av den siste delen av dagen?

2) En dampbåt reiser avstanden mellom to byer med strømmen på 3 dager. og tilbake samme avstand på 4 dager. Hvor mange dager vil flåtene flyte nedstrøms fra en by til en annen?

516 . Finn det aritmetiske gjennomsnittet av tall:

Hvor mange kilometer gikk han i gjennomsnitt i timen?

519. 1) Traktorføreren fullførte oppgaven med å pløye jorden på tre dager. Den første dagen han

pløyde traktorføreren jorden på en dag?

2) En gruppe skoleelever på en tredagers turisttur var på vei til den første

var skoleelever i bevegelse hver dag?

520. 1) Det bor tre familier i huset. Den første familien har 3 lyspærer for å lyse opp leiligheten, den andre har 4 og den tredje har 5 lyspærer. Hvor mye skulle hver familie betale for strøm hvis alle lampene var like, og den totale strømregningen (for hele huset) var 7 1/5 rubler?

2) En polerer holdt på å polere gulvene i et hus hvor det bodde tre familier. Den første familien hadde boareal

2 gni. 08 kop. Hvor mye betalte hver familie?

I gjennomsnitt samlet inn poteter fra hver busk?

2) Hvis du legger sammen tallene som uttrykker bredden av Tatar- og Kerchstredet

hvert sund?

2) Øyene Novaya Zemlya, Sakhalin og Severnaya Zemlya okkuperer til sammen et område

listeførte øyer?

område av den tredje. Hva er arealet til det andre rommet?

dag. Hvor mange timer reiste syklisten den andre konkurransedagen?

hvert jernstykke?

korn, så blir det like mengder korn i begge boksene. Hvor mye frokostblanding er det i hver boks?

i hver boks?

Hva er hastigheten på elvestrømmen?

529 . 1) Det er 110 biler i to garasjer, og i den ene er det 1 1/5 ganger flere enn i den andre. Hvor mange biler er det i hver garasje?

____________________________________________________________

530 . 1) En legering bestående av kobber og sølv veier 330 g. Vekten av kobber i denne legeringen

Finn disse tallene.

elever i en klasse i følge listen, hvis det er 20 flere tilstede enn fraværende?

hvor gammel er sønnen din?

535 . Nevneren til en brøk er 11 enheter større enn telleren. Hva er brøken lik hvis den

№ 536-№ 537 muntlig.

andre nummer?

Antall? Hvilken del av det andre tallet er det første?

gutt, er numerisk like - antall sopp samlet inn av den andre gutten. Hvor mange sopp samlet hver gutt?

2) Institusjonen sysselsetter 27 personer. Hvor mange menn og hvor mange kvinner jobber?

540*. Tre gutter kjøpte en volleyball. Bestem bidraget til hver gutt, vel vitende

Den tredje guttens bidrag er 64 kopek mer enn den første.

andre nummer.

_______________________________________

542 .1) Det første laget kan fullføre noe arbeid på 36 dager, og det andre på 45 dager. Om hvor mange dager vil begge lagene, som jobber sammen, fullføre denne jobben?

2) Et persontog dekker avstanden mellom to byer på 10 timer, og et godstog tilbakelegger denne avstanden på 15 timer. Begge togene forlot disse byene samtidig mot hverandre. Hvor mange timer vil de møtes?

begge byene samtidig mot hverandre? (Rund svar til nærmeste 1 time.)

2) To motorsyklister dro samtidig fra to byer mot hverandre. En motorsyklist kan reise hele avstanden mellom disse byene på 6 timer, og en annen på 5 timer. Hvor mange timer etter avgang møter motorsyklistene? (Rund svar til nærmeste 1 time.)

544 . 1) Tre biler med forskjellig bæreevne kan transportere noe last,

arbeider separat: den første - i 10 timer, den andre - i 12 timer. og den tredje - i 15 timer. Hvor mange timer kan de frakte den samme lasten sammen?

2) To tog forlater to stasjoner samtidig mot hverandre: det første toget

timer etter at toget går vil de møtes?

545 . 1) To kraner er koblet til badekaret. Gjennom en av dem kan badekaret fylles ut

åpne begge kranene samtidig?

2) To maskinskrivere må skrive manuskriptet på nytt. Den første maskinskriveren kan utføre

maskinskrivere hvis de jobber samtidig?

546. 1) Bassenget fylles med det første røret på 5 timer, og gjennom det andre røret kan det tømmes på 6 timer. Om hvor mange timer vil hele bassenget være fylt hvis begge rørene åpnes samtidig?

Indikasjon: I løpet av en time er bassenget fylt til (1/5 - 1/6) av kapasiteten.

2) To traktorer pløyde åkeren på 6 timer. Den første traktoren, som jobbet alene, kunne pløye dette feltet på 15 timer. Hvor mange timer ville det ta en ekstra traktor å pløye dette feltet, alene?

547 *. To tog forlater to stasjoner samtidig mot hverandre og møtes 18 timer etter avgang. Hvor lang tid tar det andre toget å dekke avstanden mellom stasjonene hvis det første toget dekker denne avstanden på 1 dag 21 timer?

548 *. Bassenget er fylt med to rør. Først ble det første røret åpnet, og deretter gjennom

arbeider sammen, bassenget fylt opp. Bestem kapasiteten til bassenget hvis 200 bøtter vann per time helles gjennom det andre røret.

______________________________________________________________________________

Leningrad 650 km?

2) Fra kollektivbruket til byen 24 km. En lastebil forlater kollektivbruket og kjører 1 km inn

med halve hastigheten til en lastebil. Hvor lenge etter avreise vil syklisten møte lastebilen?

Hvor mange timer etter at fotgjengeren går vil syklisten forbikjøre ham?

Hvor lang tid vil det ta for hurtigtoget å komme etter godstoget?

551 . 1) Fra de to kollektivbrukene som veien til regionsenteret går gjennom, dro vi

avstand mellom kollektivbruk.

høyere toghastighet. Hvor mange timer etter avgang vil flyet innhente toget?

552 . 1) Avstanden mellom byene langs elven er 264 km. Skipet reiste denne avstanden

var det en båt ved hvert stopp?

554 . Fra Leningrad til Kronstadt ved 12-tiden. den dagen da damperen gikk og gikk gjennom alt

først. Når møttes de to skipene?

555 . Toget måtte tilbakelegge en strekning på 630 km på 14 timer. Etter å ha tilbakelagt 2/3 av denne distansen ble han varetektsfengslet i 1 time og 10 minutter. Med hvilken hastighet bør han fortsette reisen for å nå målet uten forsinkelse?

556 . Klokken 04:20 morgen forlot et godstog fra Kiev til Odessa med et gjennomsnitt

hvis avstanden mellom Kiev og Odessa er 663 km?

557* . Klokken viser middag. Hvor lang tid vil det ta før time- og minuttviserne faller sammen?

_____________________________________

skolen har 420 færre elever enn den andre. Hvor mange elever er det på de tre skolene?

559. 1) To skurtreskere jobbet i samme område. Etter en skurtresker fjernet

hektar mer enn den andre. I gjennomsnitt ble det tresket 32 1/2 kvint korn fra hver hektar. Hvor mange sentner korn tresket hver skurtresker?

og den første hadde 2 rubler. 25 kopek mer enn den andre. Alle betalte halvparten av kostnaden for enheten. Hvor mye penger har alle igjen?

560. 1) En personbil forlater by A for by B, avstanden mellom dem er 215 km, med en hastighet på 50 km i timen. Samtidig forlot en lastebil by B til by A. Hvor mange kilometer kjørte bilen før møtet

2) Mellom byer A og B 210 km. En personbil forlot by A til by B. Samtidig forlot en lastebil by B til by A. Hvor mange kilometer kjørte lastebilen før den møtte personbilen, hvis personbilen kjørte med en hastighet på 48 km i timen, og

561. Kollektivbruket høstet hvete og rug. 20 hektar mer ble sådd med hvete enn

Han forlot brødet for å tilfredsstille sine behov. Hvor mange turer måtte de to tonn tunge lastebilene kjøre for å fjerne brødet som ble solgt til staten?

562. Rug og hvetemel ble brakt til bakeriet. Vekten av hvetemel var 3/5 av vekten av rugmel, og det ble brakt 4 tonn mer rugmel enn hvetemel. Hvor mye hvete og hvor mye rugbrød skal bakeriet bake av dette

de to første dagene sammen. Finn lengden på motorveien mellom kollektivbruk.

______________________________________________________________

564 . Fyll ut de tomme plassene i tabellen hvor S- området av rektangelet, EN- bunnen av rektangelet, a h- høyde (bredde) på rektangelet.

Finn omkretsen og området til nettstedet.

omkrets og område av stedet.

arealet av et rektangel.

567.

567. Regn ut arealene til figurene vist i figur 30 ved å dele dem inn i rektangler og finne dimensjonene til rektangelet ved måling.

bønner. Hvor mange frø var nødvendig for å så tomten hvis det ble sådd 1 centner per 1 hektar?

2) En hvetehøst på 25 kvint per hektar ble samlet inn fra en rektangulær åker. Hvor mye hvete ble høstet fra hele åkeren hvis lengden på åkeren er 800 m og bredden er 3/8 av lengden?

Området er okkupert av bygninger. Bestem arealet av land under bygningene.

Kollektivbruket planlegger å anlegge hage. Hvor mange trær vil bli plantet i denne hagen hvis et gjennomsnittlig areal på 36 kvadratmeter kreves for hvert tre? m?

571 . 1) For normal dagslysbelysning av et rom er det nødvendig at området

2) Bruk tilstanden til forrige oppgave, finn ut om det er nok lys i klasserommet ditt.

2) Vedhaugen av ved har form av et rektangulært parallellepiped, hvis dimensjoner er

i bassenget.

574 . Et gjerde må bygges rundt et rektangulært stykke land, 75 m langt og 45 m bredt. Hvor mange kubikkmeter plater skal gå inn i konstruksjonen hvis

________________________________________________________________________________

575. 1) Hvilken vinkel lager minutt- og timeviserne ved 13-tiden? klokken 15? klokken 17? klokken 21? kl 23:30?

2) Hvor mange grader vil timeviseren rotere på 2 timer? klokka 5? klokka 8? 30 min.?

sirkler?

576. 1) Bruk en gradskive, tegn: a) en rett vinkel; b) en vinkel på 30°; c) en vinkel på 60°; d) vinkel på 150°; e) en vinkel på 55°.

2) Bruk en gradskive, mål vinklene til figuren og finn summen av alle vinklene til hver figur (fig. 31).

577 . Følg disse instruksjonene:

1) 36º15"+43º30" 2) 53º29" + 20º41"

3) 16º+23º07" +33º56" 4) 36º15" – 21º11"

5) 48º-19º52" 6) 51º12"-37º45"

7) 17º12·3 8) 39º18·4

9) 13º53"5 10) 42º22":2

11)58º3":3 12) 49º24":4

578. 1) Halvsirkelen er delt inn i to buer, hvorav den ene er 100º større enn den andre. Finn størrelsen på hver bue.

2) Halvsirkelen er delt inn i to buer, hvorav den ene er 15° mindre enn den andre. Finn størrelsen på hver bue.

3) Halvsirkelen er delt i to buer, hvorav den ene er dobbelt så stor som den andre. Finn størrelsen på hver bue.

4) Halvsirkelen er delt inn i to buer, hvorav den ene er 5 ganger mindre enn den andre. Finn størrelsen på hver bue.

___________________________________________________________________________

579. 1) Diagrammet «Population Literacy in the USSR» (Fig. 32) viser antall lesekyndige per hundre mennesker av befolkningen. Basert på dataene i diagrammet og dets skala, bestemme antall lesekyndige menn og kvinner for hvert av de angitte årene.

2) Bruk dataene fra diagrammet "Sovjetiske utsendinger til verdensrommet" (fig. 33), lag oppgaver.

580. 1) I følge kakediagrammet «Daglig rutine for en elev i femte klasse» (Fig. 34), fyll ut tabellen og svar på spørsmålene: hvilken del av dagen er tildelt søvn? til lekser? til skolen?

2) Lag et kakediagram om din daglige rutine.

Brøker er vanlige og desimaler. Når en student lærer om eksistensen av sistnevnte, begynner han å konvertere alt som er mulig til desimalform ved enhver anledning, selv om dette ikke er nødvendig.

Merkelig nok endres preferanser blant elever på videregående skole og høyskoler, fordi det er lettere å utføre mange regneoperasjoner med vanlige brøker. Og noen ganger er det rett og slett umulig å konvertere verdiene som nyutdannede arbeider med til desimalform uten tap. Som et resultat viser begge typer brøker seg på en eller annen måte å være tilpasset oppgaven og har sine egne fordeler og ulemper. La oss se hvordan du jobber med dem.

Definisjon

Brøker er det samme som aksjer. Hvis det er ti segmenter i en appelsin, og du får en, så har du 1/10 av frukten i hånden. Når den skrives som i forrige setning, vil brøken kalles en vanlig brøk. Hvis du skriver det samme som 0,1 - desimal. Begge alternativene er like, men har sine fordeler. Det første alternativet er mer praktisk for multiplikasjon og divisjon, det andre for addisjon, subtraksjon og i en rekke andre tilfeller.

Hvordan konvertere en brøk til en annen form

La oss si at du har en brøk og du vil konvertere den til en desimal. Hva må jeg gjøre?

Forresten, du må bestemme på forhånd at ikke alle tall kan skrives i desimalform uten problemer. Noen ganger må du runde resultatet, miste et visst antall desimaler, og på mange områder - for eksempel i de eksakte vitenskapene - er dette en helt uoverkommelig luksus. Samtidig gjør operasjoner med desimaler og vanlige brøker i 5. klasse det mulig å gjennomføre en slik overføring fra en type til en annen uten forstyrrelser, i alle fall som en trening.

Hvis en verdi som er et multiplum av 10 kan fås fra nevneren ved å multiplisere eller dividere med et heltall, vil oversettelsen fortsette uten problemer: ¾ blir til 0,75, 13/20 til 0,65.

Den omvendte prosedyren er enda enklere, siden du alltid kan få en vanlig brøk fra en desimalbrøk uten tap av nøyaktighet. For eksempel blir 0,2 1/5, og 0,08 blir 4/25.

Interne transformasjoner

Før du utfører felles operasjoner med vanlige brøker, må du forberede tall for mulige matematiske operasjoner.

Først av alt må du bringe alle brøkene i eksemplet til en generell form. De må enten være vanlige eller desimaler. La oss umiddelbart ta forbehold om at det er mer praktisk å utføre multiplikasjon og divisjon med førstnevnte.

En regel kjent som og brukt både i de første årene av å studere faget og i høyere matematikk, som studeres ved universiteter, vil hjelpe deg med å forberede tall for videre handlinger.

Egenskaper til brøker

La oss si at du har en viss verdi. La oss si 2/3. Hva endres hvis du multipliserer telleren og nevneren med 3? Det blir 6/9. Hva om det er en million? 2000000/3000000. Men vent, tallet endres ikke kvalitativt i det hele tatt - 2/3 forblir lik 2000000/3000000. Bare formen endres, men ikke innholdet. Det samme skjer når begge sider er delt med samme verdi. Dette er hovedegenskapen til brøker, som gjentatte ganger vil hjelpe deg med å utføre operasjoner med desimaler og vanlige brøker på tester og eksamener.

Å multiplisere telleren og nevneren med samme tall kalles utvidelse av en brøk, og divisjon kalles reduksjon. Det skal sies at det å krysse ut identiske tall øverst og nederst når man multipliserer og deler brøker er en overraskende hyggelig prosedyre (innenfor en mattetime, selvfølgelig). Det ser ut til at svaret allerede er nært, og eksemplet er praktisk talt løst.

Uekte brøker

En uekte brøk er en der telleren er større enn eller lik nevneren. Med andre ord, hvis en hel del kan isoleres fra den, faller den inn under denne definisjonen.

Hvis et slikt tall (større enn eller lik én) presenteres som en vanlig brøk, vil det bli kalt en uekte brøk. Og hvis telleren er mindre enn nevneren - riktig. Begge typer er like praktiske når du utfører mulige operasjoner med vanlige brøker. De kan enkelt multipliseres og divideres, adderes og trekkes fra.

Hvis hele delen er valgt samtidig og det er en rest i form av en brøk, vil det resulterende tallet bli kalt blandet. I fremtiden vil du møte ulike måter å kombinere slike strukturer med variabler på, samt løse ligninger som krever denne kunnskapen.

Aritmetiske operasjoner

Hvis alt er klart med den grunnleggende egenskapen til en brøk, hvordan skal man da oppføre seg når man multipliserer brøker? Operasjoner med vanlige brøker i grad 5 innebærer alle typer regneoperasjoner, som utføres på to forskjellige måter.

Multiplikasjon og divisjon er veldig enkelt. I det første tilfellet multipliseres tellerne og nevnerne til to brøker ganske enkelt. I den andre - det samme, bare på tvers. Dermed multipliseres telleren til den første brøken med nevneren til den andre, og omvendt.

For å utføre addisjon og subtraksjon, må du utføre en ekstra handling - bringe alle komponentene i uttrykket til en fellesnevner. Dette betyr at de nederste delene av brøkene må endres til samme verdi - et tall som er et multiplum av begge eksisterende nevnere. For eksempel, for 2 og 5 vil det være 10. For 3 og 6 - 6. Men hva skal jeg gjøre med den øverste delen? Vi kan ikke la det være det samme hvis vi har endret den nederste. I henhold til grunnegenskapen til en brøk vil vi multiplisere telleren med samme tall som nevneren. Denne operasjonen må utføres med hvert av tallene som vi skal legge til eller trekke fra. Imidlertid utføres slike operasjoner med vanlige brøker i 6. klasse allerede "automatisk", og vanskeligheter oppstår bare i den innledende fasen av å studere emnet.

Sammenligning

Hvis to brøker har samme nevner, er den med den største telleren større. Hvis de øvre delene er like, vil den med den minste nevneren være større. Det er verdt å huske på at slike vellykkede situasjoner for sammenligning sjelden oppstår. Mest sannsynlig vil både øvre og nedre del av uttrykkene ikke samsvare. Da må du huske på mulige handlinger med vanlige brøker og bruke teknikken som brukes i addisjon og subtraksjon. Husk i tillegg at hvis vi snakker om negative tall, vil den største brøkdelen vise seg å være mindre.

Fordeler med vanlige brøker

Det hender at lærere forteller barn en setning, hvis innhold kan uttrykkes som følger: jo mer informasjon som gis når du formulerer oppgaven, jo lettere blir løsningen. Synes du det høres rart ut? Men egentlig: med et stort antall kjente mengder kan du bruke nesten alle formler, men hvis bare et par tall er oppgitt, kan det være nødvendig med flere tanker, du må huske og bevise teoremer, gi argumenter for at du er riktig ...

Hvorfor gjør vi dette? Dessuten kan vanlige brøker, for all deres tungroddhet, forenkle livet til en student i stor grad, slik at de kan forkorte hele rader med verdier når de multipliserer og deler, og når de beregner summer og forskjeller, kommer med generelle argumenter og igjen, forkorte dem.

Når det er nødvendig å utføre felles handlinger med ordinære og desimalbrøker, utføres transformasjoner til fordel for førstnevnte: hvordan konverterer du 3/17 til desimalform? Kun med tap av informasjon, ikke ellers. Men 0,1 kan representeres som 1/10, og deretter som 17/170. Og så kan de to resulterende tallene legges til eller trekkes fra: 30/170 + 17/170 = 47/170.

Hvorfor er desimaler nyttige?

Mens operasjoner med vanlige brøker er mer praktisk, er det ekstremt upraktisk å skrive ned alt ved å bruke dem; desimaler har en betydelig fordel her. Sammenlign: 1748/10000 og 0,1748. Det er den samme verdien presentert på to forskjellige måter. Selvfølgelig er den andre metoden enklere!

I tillegg er desimaler lettere å representere fordi alle data har en felles base som bare skiller seg med størrelsesordener. La oss si at vi lett forstår en rabatt på 30 % og til og med vurderer den som betydelig. Vil du umiddelbart forstå hva som er mer - 30% eller 137/379? Dermed gir desimalbrøker standardisering for beregninger.

På videregående løser elevene andregradsligninger. Å utføre operasjoner med vanlige brøker her er allerede ekstremt problematisk, siden formelen for å beregne verdiene til en variabel inneholder kvadratroten av summen. Hvis det er en brøk som ikke kan reduseres til en desimal, blir løsningen så komplisert at det blir nesten umulig å regne ut det eksakte svaret uten kalkulator.

Så hver måte å representere brøker på har sine egne fordeler i den aktuelle konteksten.

Registrering av skjemaer

Det er to måter å skrive handlinger med vanlige brøker: gjennom en horisontal linje, i to "lag" og gjennom en skråstrek (aka "skråstrek") - til en linje. Når en student skriver i en notatbok, er det første alternativet vanligvis mer praktisk og derfor mer vanlig. Å distribuere tall på tvers av celler på rad bidrar til å utvikle oppmerksomhet når du gjør beregninger og utfører transformasjoner. Når du skriver til en streng, kan du utilsiktet forvirre rekkefølgen av handlinger, miste noen data - det vil si gjøre en feil.

Ganske ofte i disse dager er det behov for å skrive ut tall på en datamaskin. Du kan skille brøker ved å bruke en tradisjonell horisontal linje ved å bruke funksjonen i Microsoft Word 2010 og nyere. Faktum er at i disse versjonene av programvaren er det et alternativ kalt "formel". Den viser et rektangulært transformerbart felt på skjermen, der du kan kombinere alle matematiske symboler og lage både to- og "firetasjers" brøker. Du kan bruke parenteser og operasjonstegn i nevneren og telleren. Som et resultat vil du være i stand til å skrive ned eventuelle fellesoperasjoner med ordinære og desimalbrøker i tradisjonell form, det vil si slik de lærer deg å gjøre det på skolen.

Hvis du bruker standard tekstredigering Notisblokk, må alle brøkuttrykk skrives med en skråstrek. Dessverre er det ingen annen vei her.

Konklusjon

Så vi så på alle de grunnleggende handlingene med vanlige brøker, som det viser seg at det ikke er så mange av.

Hvis det først kan virke som om dette er en vanskelig del av matematikken, så er dette bare et midlertidig inntrykk - husk at du en gang tenkte på denne måten om multiplikasjonstabellen, og enda tidligere - om vanlige kopibøker og å telle fra en til ti.

Det er viktig å forstå at brøker brukes overalt i hverdagen. Du vil håndtere penger og ingeniørberegninger, informasjonsteknologi og musikalsk kompetanse, og overalt - overalt! - brøktall vises. Vær derfor ikke lat og studer dette emnet grundig - spesielt siden det ikke er så komplisert.

Handlinger med brøker.

Merk følgende!
Det er flere
materialer i spesialseksjon 555.
For de som er veldig "ikke veldig..."
Og for de som "veldig mye...")

Så, hva er brøker, typer brøker, transformasjoner - vi husket. La oss komme til hovedspørsmålet.

Hva kan du gjøre med brøker? Ja, alt er det samme som med vanlige tall. Addere, subtrahere, multiplisere, dele.

Alle disse handlingene med desimalå jobbe med brøker er ikke forskjellig fra å jobbe med hele tall. Det er faktisk det som er bra med dem, desimaler. Det eneste er at du må sette kommaet riktig.

Blandede tall, som jeg allerede sa, er til liten nytte for de fleste handlinger. De må fortsatt konverteres til vanlige brøker.

Men handlingene med vanlige brøker de vil være mer utspekulerte. Og mye viktigere! La meg minne deg på: alle handlinger med brøkuttrykk med bokstaver, sinus, ukjente og så videre og så videre er ikke forskjellige fra handlinger med vanlige brøker! Operasjoner med vanlige brøker er grunnlaget for all algebra. Det er av denne grunn at vi vil analysere all denne aritmetikken i detalj her.

Legge til og trekke fra brøker.

Alle kan legge til (trekke fra) brøker med de samme nevnerne (håper jeg virkelig!). Vel, la meg minne de som er helt glemsomme: når man legger til (trekker fra), endres ikke nevneren. Tellerne legges til (trekkes fra) for å gi telleren for resultatet. Type:

Kort sagt, i generelle termer:

Hva om nevnerne er forskjellige? Så, ved å bruke den grunnleggende egenskapen til en brøk (her kommer den godt med igjen!), gjør vi nevnerne like! For eksempel:

Her måtte vi lage brøken 4/10 av brøken 2/5. For det eneste formål å gjøre nevnerne like. La meg merke, for sikkerhets skyld, at 2/5 og 4/10 er det samme brøkdel! Bare 2/5 er ubehagelig for oss, og 4/10 er egentlig ok.

Forresten, dette er essensen av å løse eventuelle matematiske problemer. Når vi fra ubehagelig vi gjør uttrykk det samme, men mer praktisk å løse.

Et annet eksempel:

Situasjonen er lik. Her lager vi 48 fra 16. Ved enkel multiplikasjon med 3. Alt dette er klart. Men vi kom over noe sånt som:

Hvordan være?! Det er vanskelig å lage en ni av syv! Men vi er smarte, vi kjenner reglene! La oss transformere hver brøk slik at nevnerne er like. Dette kalles "redusere til en fellesnevner":

Wow! Hvordan visste jeg om 63? Veldig enkelt! 63 er et tall som er delelig med 7 og 9 samtidig. Et slikt tall kan alltid oppnås ved å multiplisere nevnerne. Hvis vi for eksempel multipliserer et tall med 7, vil resultatet absolutt være delelig med 7!

Hvis du trenger å legge til (trekke fra) flere brøker, er det ikke nødvendig å gjøre det i par, trinn for trinn. Du trenger bare å finne nevneren som er felles for alle brøkene og redusere hver brøk til den samme nevneren. For eksempel:

Og hva blir fellesnevneren? Du kan selvfølgelig gange 2, 4, 8 og 16. Vi får 1024. Nightmare. Det er lettere å anslå at tallet 16 er perfekt delelig med 2, 4 og 8. Derfor er det lett å få 16 fra disse tallene. Dette tallet vil være fellesnevneren. La oss gjøre 1/2 til 16/8, 3/4 til 16/12, og så videre.

Tar du forresten 1024 som fellesnevner så ordner alt seg, til slutt blir alt redusert. Men ikke alle vil komme til dette, på grunn av beregningene...

Fullfør eksemplet selv. Ikke en slags logaritme... Det burde være 29/16.

Så, addisjonen (subtraksjonen) av brøker er klar, håper jeg? Selvfølgelig er det lettere å jobbe i en forkortet versjon, med ekstra multiplikatorer. Men denne gleden er tilgjengelig for de som jobbet ærlig i de lavere klassene... Og ikke glemte noe.

Og nå skal vi gjøre de samme handlingene, men ikke med brøker, men med brøkuttrykk. Ny rake vil bli oppdaget her, ja...

Så vi må legge til to brøkuttrykk:

Vi må gjøre nevnerne like. Og bare med hjelp multiplikasjon! Dette er hva hovedegenskapen til en brøk tilsier. Derfor kan jeg ikke legge en til X i den første brøken i nevneren. (det ville vært fint!). Men hvis du multipliserer nevnerne, ser du, alt vokser sammen! Så vi skriver ned linjen til brøken, la et tomt rom øverst, legg det til, og skriver produktet av nevnerne nedenfor, for ikke å glemme:

Og selvfølgelig multipliserer vi ikke noe på høyre side, vi åpner ikke parentesen! Og nå, når vi ser på fellesnevneren på høyre side, skjønner vi: for å få nevneren x(x+1) i den første brøken, må du multiplisere telleren og nevneren til denne brøken med (x+1) . Og i den andre brøken - til x. Dette er hva du får:

Merk! Her er parentesene! Dette er raken som mange tråkker på. Ikke parenteser, selvfølgelig, men deres fravær. Parentesen vises fordi vi multipliserer alle teller og alle nevner! Og ikke deres individuelle stykker...

I telleren på høyre side skriver vi summen av tellerne, alt er som i numeriske brøker, så åpner vi parentesene i telleren på høyre side, dvs. Vi multipliserer alt og gir lignende. Det er ikke nødvendig å åpne parentesene i nevnerne eller multiplisere noe! Generelt, i nevnere (hvilken som helst) er produktet alltid mer behagelig! Vi får:

Så vi fikk svaret. Prosessen virker lang og vanskelig, men det avhenger av praksis. Når du har løst eksemplene, blir vant til det, alt blir enkelt. De som har mestret brøker i god tid, gjør alle disse operasjonene med én venstre hånd, automatisk!

Og en merknad til. Mange håndterer brøker smart, men setter seg fast på eksempler med hel tall. Liker: 2 + 1/2 + 3/4= ? Hvor festes den todelte? Du trenger ikke feste den hvor som helst, du må lage en brøkdel av to. Det er ikke lett, men veldig enkelt! 2=2/1. Som dette. Ethvert heltall kan skrives som en brøk. Telleren er selve tallet, nevneren er én. 7 er 7/1, 3 er 3/1 og så videre. Det er det samme med bokstaver. (a+b) = (a+b)/1, x=x/1, osv. Og så jobber vi med disse brøkene etter alle reglene.

Vel, kunnskapen om addisjon og subtraksjon av brøker ble frisket opp. Konvertering av brøker fra en type til en annen ble gjentatt. Du kan også bli sjekket. Skal vi ordne det litt?)

Regne ut:

Svar (i uorden):

71/20; 3/5; 17/12; -5/4; 11/6

Multiplikasjon/deling av brøker - i neste leksjon. Det er også oppgaver for alle operasjoner med brøk.

Hvis du liker denne siden...

Forresten, jeg har et par flere interessante nettsteder for deg.)

Du kan trene på å løse eksempler og finne ut nivået ditt. Testing med umiddelbar verifisering. La oss lære - med interesse!)

Du kan bli kjent med funksjoner og derivater.