Når den deriverte er positiv. Grafer av funksjoner, deriverte av funksjoner

Den rette linjen y=3x+2 er tangent til grafen til funksjonen y=-12x^2+bx-10. Finn b, gitt at abscissen til tangentpunktet er mindre enn null.

Løsning

La x_0 være abscissen til punktet på grafen til funksjonen y=-12x^2+bx-10 som tangenten til denne grafen går gjennom.

Verdien av den deriverte i punktet x_0 er lik stigningstallet til tangenten, det vil si y"(x_0)=-24x_0+b=3. På den annen side hører tangenspunktet samtidig til både grafen til funksjonen og tangenten, det vil si -12x_0^2+bx_0-10= 3x_0 + 2. Vi får et ligningssystem \begin(cases) -24x_0+b=3,\\-12x_0^2+bx_0-10=3x_0+2. \end(saker)

Ved å løse dette systemet får vi x_0^2=1, som betyr enten x_0=-1 eller x_0=1. I henhold til abscissebetingelsen er tangentpunktene mindre enn null, så x_0=-1, deretter b=3+24x_0=-21.

Svar

Betingelse

Figuren viser en graf av funksjonen y=f(x) (som er en brutt linje som består av tre rette segmenter). Bruk figuren til å beregne F(9)-F(5), hvor F(x) er en av antiderivertene til funksjonen f(x).

Løsning

I følge Newton-Leibniz-formelen er forskjellen F(9)-F(5), hvor F(x) er en av antiderivatene til funksjonen f(x), lik arealet til den krumlinjede trapesen begrenset ved grafen til funksjonen y=f(x), rette linjer y=0 , x=9 og x=5. Fra grafen bestemmer vi at den indikerte buede trapesen er en trapes med baser lik 4 og 3 og høyde 3.

Arealet er likt \frac(4+3)(2)\cdot 3=10.5.

Svar

Kilde: «Matematikk. Forberedelse til Unified State Exam 2017. Profilnivå." Ed. F. F. Lysenko, S. Yu. Kulabukhova.

Betingelse

Figuren viser en graf av y=f"(x) - den deriverte av funksjonen f(x), definert på intervallet (-4; 10). Finn intervallene til avtagende funksjon f(x). I svaret ditt, angi lengden på den største av dem.

Løsning

Som kjent avtar funksjonen f(x) på de intervallene ved hvert punkt hvor den deriverte f"(x) er mindre enn null. Med tanke på at det er nødvendig å finne lengden på den største av dem, er tre slike intervaller naturlig skilt fra figuren: (-4; -2); (0; 3); (5; 9).

Lengden på den største av dem - (5; 9) er 4.

Svar

Kilde: «Matematikk. Forberedelse til Unified State Exam 2017. Profilnivå." Ed. F. F. Lysenko, S. Yu. Kulabukhova.

Betingelse

Figuren viser en graf av y=f"(x) - den deriverte av funksjonen f(x), definert på intervallet (-8; 7). Finn antall maksimumspunkter til funksjonen f(x) som hører til intervallet [-6; -2].

Løsning

Grafen viser at den deriverte f"(x) av funksjonen f(x) endrer fortegn fra pluss til minus (ved slike punkter vil det være et maksimum) på nøyaktig ett punkt (mellom -5 og -4) fra intervallet [ -6; -2 ] Derfor, på intervallet [-6; -2] er det nøyaktig ett maksimumspunkt.

Svar

Kilde: «Matematikk. Forberedelse til Unified State Exam 2017. Profilnivå." Ed. F. F. Lysenko, S. Yu. Kulabukhova.

Betingelse

Figuren viser en graf av funksjonen y=f(x), definert på intervallet (-2; 8). Bestem antall punkter der den deriverte av funksjonen f(x) er lik 0.

Løsning

Likheten til den deriverte ved et punkt til null betyr at tangenten til grafen til funksjonen tegnet på dette punktet er parallell med Ox-aksen. Derfor finner vi punkter der tangenten til grafen til funksjonen er parallell med Ox-aksen. På dette diagrammet er slike punkter ekstremumpunkter (maksimums- eller minimumspoeng). Som du kan se, er det 5 ekstremumpunkter.

Svar

Kilde: «Matematikk. Forberedelse til Unified State Exam 2017. Profilnivå." Ed. F. F. Lysenko, S. Yu. Kulabukhova.

Betingelse

Den rette linjen y=-3x+4 er parallell med tangenten til grafen til funksjonen y=-x^2+5x-7. Finn abscissen til tangentpunktet.

Løsning

Vinkelkoeffisienten til den rette linjen til grafen til funksjonen y=-x^2+5x-7 i et vilkårlig punkt x_0 er lik y"(x_0). Men y"=-2x+5, som betyr y" (x_0)=-2x_0+5. Vinkelkoeffisienten til linjen y=-3x+4 spesifisert i betingelsen er lik -3. Parallelle linjer har samme helningskoeffisienter. Derfor finner vi en verdi x_0 slik at =- 2x_0 +5=-3.

Vi får: x_0 = 4.

Svar

Kilde: «Matematikk. Forberedelse til Unified State Exam 2017. Profilnivå." Ed. F. F. Lysenko, S. Yu. Kulabukhova.

Betingelse

Figuren viser en graf av funksjonen y=f(x) og punktene -6, -1, 1, 4 er markert på abscissen. På hvilket av disse punktene er den deriverte den minste? Vennligst angi dette punktet i svaret ditt.

(Figur 1)

Figur 1. Deriverte graf

Egenskaper for avledede grafer

1. Med økende intervaller er den deriverte positiv. Hvis den deriverte på et bestemt punkt fra et bestemt intervall har en positiv verdi, så øker grafen til funksjonen på dette intervallet.
2. Ved avtagende intervaller er den deriverte negativ (med et minustegn). Hvis den deriverte på et bestemt punkt fra et bestemt intervall har en negativ verdi, så synker grafen til funksjonen på dette intervallet.
3. Den deriverte i punkt x er lik helningen til tangenten tegnet til grafen til funksjonen i samme punkt.
4. Ved maksimums- og minimumspunktene til funksjonen er den deriverte lik null. Tangenten til grafen til funksjonen på dette punktet er parallell med OX-aksen.

Eksempel 1

Ved hjelp av grafen (fig. 2) av den deriverte, bestemmer du på hvilket punkt på segmentet [-3; 5] funksjonen er maksimal.

Figur 2. Deriverte graf

Løsning: På dette segmentet er den deriverte negativ, noe som betyr at funksjonen avtar fra venstre til høyre, og den største verdien er på venstre side ved punkt -3.

Eksempel 2

Ved hjelp av grafen (fig. 3) av den deriverte, bestemmer du antall maksimale punkter på segmentet [-11; 3].

Figur 3. Deriverte graf

Løsning: Maksimumspoengene tilsvarer punktene der fortegnet til den deriverte endres fra positivt til negativt. På dette intervallet endrer funksjonen fortegn fra pluss til minus to ganger - ved punkt -10 og ved punkt -1. Dette betyr at antall maksimale poeng er to.

Eksempel 3

Ved å bruke grafen (fig. 3) til den deriverte, bestemmer du antall minimumspunkter i segmentet [-11; -1].

Løsning: Minimumspoengene tilsvarer punktene der fortegnet til den deriverte endres fra negativ til positiv. På dette segmentet er et slikt punkt bare -7. Dette betyr at antall minimumspoeng på et gitt segment er ett.

Eksempel 4

Ved hjelp av grafen (fig. 3) av den deriverte, bestemmer du antall ekstremumpunkter.

Løsning: Ekstrempunktene er både minimums- og maksimumspoengene. La oss finne antall punkter der den deriverte endrer fortegn.

Deretter, i klassen, er det tilrådelig å vurdere en nøkkeloppgave: ved å bruke den gitte grafen til den deriverte, må elevene komme med (selvfølgelig, med hjelp av læreren) forskjellige spørsmål knyttet til egenskapene til selve funksjonen. Naturligvis blir disse problemene diskutert, korrigert om nødvendig, oppsummert, registrert i en notatbok, hvoretter stadiet for å løse disse oppgavene begynner. Her er det nødvendig å sikre at elevene ikke bare gir det riktige svaret, men er i stand til å argumentere (bevise) det ved å bruke de riktige definisjonene, egenskapene og reglene.
La oss gi et eksempel på en slik oppgave: på tavlen (for eksempel ved å bruke en projektor) blir elevene presentert for en graf av den deriverte; 10 oppgaver ble formulert basert på den (ikke helt korrekte eller dupliserte spørsmål ble avvist).
Funksjonen y = f(x) er definert og kontinuerlig på intervallet [–6; 6].
Bruk grafen til den deriverte y = f"(x), bestem:

1) antall intervaller med økende funksjon y = f(x);
2) lengden på intervallet av avtagende funksjon y = f(x);
3) antall ekstremumpunkter for funksjonen y = f(x);
4) maksimumspunktet for funksjonen y = f(x);
5) kritisk (stasjonært) punkt for funksjonen y = f(x), som ikke er et ekstremumpunkt;
6) abscissen til grafpunktet hvor funksjonen y = f(x) får den største verdien på segmentet;
7) abscissen til grafpunktet der funksjonen y = f(x) får den minste verdien på segmentet [–2; 2];
8) antall punkter i grafen til funksjonen y = f(x), hvor tangenten er vinkelrett på Oy-aksen;
9) antall punkter på grafen til funksjonen y = f(x), hvor tangenten danner en vinkel på 60° med den positive retningen til Ox-aksen;
10) abscissen til grafpunktet til funksjonen y = f(x), der stigningstallet til tangenten har den minste verdien.
Svar: 1) 2; 2) 2; 3) 2; 4) –3; 5) –5; 6) 4; 7) –1; 8) 3; 9) 4; 10) –2.
For å styrke ferdighetene til å studere egenskapene til en funksjon, kan elevene ta med seg en oppgave knyttet til å lese den samme grafen hjem, men i ett tilfelle er det en graf av en funksjon, og i det andre en graf av dens deriverte.

Artikkelen ble publisert med støtte fra forumet for systemadministratorer og programmerere. På "CyberForum.ru" finner du fora om emner som programmering, datamaskiner, programvarediskusjon, webprogrammering, vitenskap, elektronikk og husholdningsapparater, karriere og næringsliv, rekreasjon, mennesker og samfunn, kultur og kunst, hjem og økonomi, biler , motorsykler og mye mer. På forumet kan du få gratis hjelp. Du kan finne ut mer på nettstedet, som ligger på: http://www.cyberforum.ru/differential-equations/.

Funksjonen y = f(x) er definert og kontinuerlig på intervallet [–6; 5]. Bildet viser:
a) graf for funksjonen y = f(x);
b) graf av den deriverte y = f"(x).
Bestem ut fra timeplanen:
1) minimumspunkter for funksjonen y = f(x);
2) antall intervaller med avtagende funksjon y = f(x);
3) abscissen til grafpunktet til funksjonen y = f(x), der den tar den største verdien på segmentet;
4) antall punkter i grafen til funksjonen y = f(x), hvor tangenten er parallell med Ox-aksen (eller sammenfaller med den).
Svar:
a) 1) –3; 2; 4; 2) 3; 3) 3; 4) 4;
b) 1) -2; 4,6;2) 2; 3) 2; 4) 5.
For å utføre kontroll kan du organisere arbeidet i par: hver student utarbeider en derivatgraf på et kort for partneren sin på forhånd, og nedenfor tilbyr 4-5 spørsmål for å bestemme egenskapene til funksjonen. Under leksjonene utveksler de kort, fullfører de foreslåtte oppgavene, hvoretter alle sjekker og evaluerer partnerens arbeid.

Det endelige arbeidet i form av Unified State Exam for 11.-klassinger inneholder nødvendigvis oppgaver om å beregne grenser, intervaller for minkende og økende deriverte av en funksjon, søke etter ekstremumpunkter og konstruere grafer. God kunnskap om dette emnet lar deg svare riktig på flere eksamensspørsmål og ikke oppleve vanskeligheter med videre faglig opplæring.

Grunnleggende om differensialregning er et av hovedemnene i moderne skolematematikk. Hun studerer bruken av den deriverte for å studere avhengighetene til variabler – det er gjennom den deriverte man kan analysere økning og reduksjon av en funksjon uten å ty til en tegning.

Omfattende forberedelse av nyutdannede for å bestå Unified State Exam på Shkolkovo utdanningsportal vil hjelpe deg med å forstå prinsippene for differensiering dypt - forstå teorien i detalj, studere eksempler på å løse typiske problemer og prøve deg på selvstendig arbeid. Vi vil hjelpe deg med å lukke hull i kunnskap - klargjøre din forståelse av de leksikalske begrepene til emnet og avhengighetene til mengder. Studentene vil kunne gjennomgå hvordan man finner intervaller med monotonisitet, som betyr at den deriverte av en funksjon stiger eller minker på et bestemt segment når grensepunkter er og ikke er inkludert i intervallene som er funnet.

Før du begynner å løse tematiske problemer direkte, anbefaler vi at du først går til delen "Teoretisk bakgrunn" og gjentar definisjonene av begreper, regler og tabellformler. Her kan du lese hvordan du finner og skriver ned hvert intervall med økende og minkende funksjon på den deriverte grafen.

All informasjon som tilbys presenteres i den mest tilgjengelige formen for forståelse, praktisk talt fra bunnen av. Siden gir materiell for persepsjon og assimilering i flere ulike former – lesing, videovisning og direkte opplæring under veiledning av erfarne lærere. Profesjonelle lærere vil fortelle deg i detalj hvordan du finner intervallene for økende og minkende derivater av en funksjon ved hjelp av analytiske og grafiske metoder. Under webinarene vil du kunne stille spørsmål du er interessert i, både om teori og om å løse spesifikke problemer.

Etter å ha husket hovedpunktene i emnet, se på eksempler på å øke den deriverte av en funksjon, som ligner på oppgavene i eksamensalternativene. For å konsolidere det du har lært, ta en titt på "Katalogen" - her finner du praktiske øvelser for selvstendig arbeid. Oppgavene i seksjonen er valgt på ulike vanskelighetsgrader, med hensyn til utvikling av ferdigheter. For eksempel er hver av dem ledsaget av løsningsalgoritmer og riktige svar.

Ved å velge "Konstruktør"-delen, vil studentene kunne øve på å studere økningen og reduksjonen av derivatet av en funksjon på ekte versjoner av Unified State Examination, konstant oppdatert for å ta hensyn til de siste endringene og innovasjonene.