Logaritme av et negativt tall. Definisjon av logaritmen og dens egenskaper: teori og problemløsning

Bruksanvisning

Skriv det gitte logaritmiske uttrykket. Hvis uttrykket bruker logaritmen til 10, blir notasjonen forkortet og ser slik ut: lg b er desimallogaritmen. Hvis logaritmen har tallet e som base, så skriv uttrykket: ln b – naturlig logaritme. Det er forstått at resultatet av en hvilken som helst er potensen som grunntallet må heves til for å oppnå tallet b.

Når du skal finne summen av to funksjoner, trenger du bare å skille dem én etter én og legge til resultatene: (u+v)" = u"+v";

Når du finner den deriverte av produktet av to funksjoner, er det nødvendig å multiplisere den deriverte av den første funksjonen med den andre og legge til den deriverte av den andre funksjonen multiplisert med den første funksjonen: (u*v)" = u"*v +v"*u;

For å finne den deriverte av kvotienten til to funksjoner, er det nødvendig å trekke fra produktet av den deriverte av utbyttet multiplisert med divisorfunksjonen produktet av den deriverte av divisoren multiplisert med funksjonen til utbyttet, og dividere alt dette med divisorfunksjonen i annen. (u/v)" = (u"*v-v"*u)/v^2;

Hvis en kompleks funksjon er gitt, er det nødvendig å multiplisere den deriverte av den interne funksjonen og den deriverte av den eksterne. La y=u(v(x)), så y"(x)=y"(u)*v"(x).

Ved å bruke resultatene ovenfor, kan du skille nesten hvilken som helst funksjon. Så la oss se på noen eksempler:

y=x^4, y"=4*x^(4-1)=4*x^3;

y=2*x^3*(e^x-x^2+6), y"=2*(3*x^2*(e^x-x^2+6)+x^3*(e^x-2 *x));
Det er også problemer med å beregne den deriverte på et punkt. La funksjonen y=e^(x^2+6x+5) gis, du må finne verdien av funksjonen i punktet x=1.
1) Finn den deriverte av funksjonen: y"=e^(x^2-6x+5)*(2*x +6).

2) Beregn verdien av funksjonen ved et gitt punkt y"(1)=8*e^0=8

Video om emnet

Nyttige råd

Lær tabellen over elementære derivater. Dette vil spare tid betydelig.

Kilder:

• derivert av en konstant

Så, hva er forskjellen mellom en irrasjonell ligning og en rasjonell? Hvis den ukjente variabelen er under kvadratrottegnet, anses ligningen som irrasjonell.

Bruksanvisning

Hovedmetoden for å løse slike ligninger er metoden for å konstruere begge sider ligninger inn i en firkant. Derimot. dette er naturlig, det første du må gjøre er å bli kvitt skiltet. Denne metoden er ikke teknisk vanskelig, men noen ganger kan den føre til problemer. For eksempel er ligningen v(2x-5)=v(4x-7). Ved å kvadrere begge sider får du 2x-5=4x-7. Å løse en slik ligning er ikke vanskelig; x=1. Men tallet 1 vil ikke bli gitt ligninger. Hvorfor? Bytt inn en i ligningen i stedet for verdien av x. Og høyre og venstre side vil inneholde uttrykk som ikke gir mening, altså. Denne verdien er ikke gyldig for en kvadratrot. Derfor er 1 en fremmed rot, og derfor har denne ligningen ingen røtter.

Så en irrasjonell ligning løses ved å bruke metoden for å kvadrere begge sidene. Og etter å ha løst ligningen, er det nødvendig å kutte av fremmede røtter. For å gjøre dette, erstatte de funnet røttene i den opprinnelige ligningen.

Vurder en annen.
2х+vх-3=0
Selvfølgelig kan denne ligningen løses ved å bruke samme ligning som den forrige. Flytt forbindelser ligninger, som ikke har en kvadratrot, til høyre og bruk deretter kvadraturmetoden. løse den resulterende rasjonelle ligningen og røttene. Men også en annen, mer elegant. Skriv inn en ny variabel; vх=y. Følgelig vil du motta en ligning på formen 2y2+y-3=0. Det vil si en vanlig andregradsligning. Finn dens røtter; y1=1 og y2=-3/2. Deretter løser du to ligninger vх=1; vх=-3/2. Den andre ligningen har ingen røtter; fra den første finner vi at x=1. Ikke glem å sjekke røttene.

Å løse identiteter er ganske enkelt. For å gjøre dette er det nødvendig å utføre identiske transformasjoner til det fastsatte målet er oppnådd. Dermed, ved hjelp av enkle aritmetiske operasjoner, vil problemet som stilles bli løst.

Du vil trenge

• - papir;
• - penn.

Bruksanvisning

Den enkleste av slike transformasjoner er algebraiske forkortede multiplikasjoner (som kvadratet av summen (differansen), forskjellen av kvadrater, sum (forskjellen), terningen av summen (forskjellen)). I tillegg er det mange trigonometriske formler, som i hovedsak er de samme identitetene.

Faktisk er kvadratet av summen av to ledd lik kvadratet av det første pluss to ganger produktet av det første med det andre og pluss kvadratet av det andre, det vil si (a+b)^2= (a+ b)(a+b)=a^2+ab +ba+b ^2=a^2+2ab+b^2.

Forenkle begge deler

Generelle prinsipper for løsningen

Variabel erstatningsmetode

Løse integraler av den andre typen

Substitusjon av integrasjonsgrenser

Å opprettholde personvernet ditt er viktig for oss. Av denne grunn har vi utviklet en personvernerklæring som beskriver hvordan vi bruker og lagrer informasjonen din. Se gjennom vår personvernpraksis og gi oss beskjed hvis du har spørsmål.

Innsamling og bruk av personopplysninger

Personopplysninger refererer til data som kan brukes til å identifisere eller kontakte en bestemt person.

Du kan bli bedt om å oppgi din personlige informasjon når som helst når du kontakter oss.

Nedenfor er noen eksempler på hvilke typer personopplysninger vi kan samle inn og hvordan vi kan bruke slik informasjon.

Hvilken personlig informasjon samler vi inn:

• Når du sender inn en søknad på nettstedet, kan vi samle inn ulike opplysninger, inkludert navn, telefonnummer, e-postadresse osv.

Hvordan vi bruker dine personopplysninger:

• Personopplysningene vi samler inn lar oss kontakte deg med unike tilbud, kampanjer og andre arrangementer og kommende arrangementer.
• Fra tid til annen kan vi bruke din personlige informasjon til å sende viktige meldinger og kommunikasjoner.
• Vi kan også bruke personopplysninger til interne formål, som å gjennomføre revisjoner, dataanalyser og ulike undersøkelser for å forbedre tjenestene vi leverer og gi deg anbefalinger angående våre tjenester.
• Hvis du deltar i en premietrekning, konkurranse eller lignende kampanje, kan vi bruke informasjonen du gir til å administrere slike programmer.

Utlevering av informasjon til tredjeparter

Vi utleverer ikke informasjonen mottatt fra deg til tredjeparter.

Unntak:

• Om nødvendig - i samsvar med loven, rettslig prosedyre, i rettslige prosesser og/eller på grunnlag av offentlige forespørsler eller forespørsler fra offentlige myndigheter på territoriet til den russiske føderasjonen - for å avsløre din personlige informasjon. Vi kan også avsløre informasjon om deg hvis vi fastslår at slik avsløring er nødvendig eller hensiktsmessig for sikkerhet, rettshåndhevelse eller andre offentlige viktige formål.
• I tilfelle en omorganisering, fusjon eller salg, kan vi overføre personopplysningene vi samler inn til gjeldende etterfølger tredjepart.

Beskyttelse av personopplysninger

Vi tar forholdsregler - inkludert administrative, tekniske og fysiske - for å beskytte din personlige informasjon mot tap, tyveri og misbruk, samt uautorisert tilgang, avsløring, endring og ødeleggelse.

Respekter ditt privatliv på bedriftsnivå

For å sikre at din personlige informasjon er sikker, kommuniserer vi personvern- og sikkerhetsstandarder til våre ansatte og håndhever strengt personvernpraksis.

Etter hvert som samfunnet utviklet seg og produksjonen ble mer kompleks, utviklet også matematikken seg. Bevegelse fra enkelt til komplekst. Fra vanlig regnskap ved bruk av addisjons- og subtraksjonsmetoden, med deres gjentatte repetisjon, kom vi til begrepet multiplikasjon og divisjon. Å redusere den gjentatte operasjonen av multiplikasjon ble begrepet eksponentiering. De første tabellene over talls avhengighet av basen og antall eksponentiering ble kompilert tilbake på 800-tallet av den indiske matematikeren Varasena. Fra dem kan du telle tidspunktet for forekomsten av logaritmer.

Historisk skisse

Gjenopplivingen av Europa på 1500-tallet stimulerte også utviklingen av mekanikk. T krevde mye beregning knyttet til multiplikasjon og divisjon av flersifrede tall. De gamle bordene var til god service. De gjorde det mulig å erstatte komplekse operasjoner med enklere - addisjon og subtraksjon. Et stort skritt fremover var arbeidet til matematikeren Michael Stiefel, publisert i 1544, der han realiserte ideen til mange matematikere. Dette gjorde det mulig å bruke tabeller ikke bare for potenser i form av primtall, men også for vilkårlige rasjonelle.

I 1614 introduserte skotten John Napier, som utviklet disse ideene, det nye begrepet «logaritme av et tall». Nye komplekse tabeller ble satt sammen for å beregne logaritmene til sinus og cosinus, samt tangenter. Dette reduserte astronomenes arbeid kraftig.

Nye tabeller begynte å dukke opp, som ble brukt av forskere i tre århundrer. Det gikk mye tid før den nye operasjonen i algebra fikk sin ferdige form. Definisjonen av logaritmen ble gitt og dens egenskaper ble studert.

Først på 1900-tallet, med fremkomsten av kalkulatoren og datamaskinen, forlot menneskeheten de eldgamle tabellene som hadde fungert vellykket gjennom det 13. århundre.

I dag kaller vi logaritmen til b for å basere a tallet x som er potensen til a for å lage b. Dette skrives som en formel: x = log a(b).

For eksempel vil log 3(9) være lik 2. Dette er åpenbart hvis du følger definisjonen. Hvis vi hever 3 i potensen 2, får vi 9.

Dermed setter den formulerte definisjonen kun én begrensning: tallene a og b må være reelle.

Typer logaritmer

Den klassiske definisjonen kalles den reelle logaritmen og er egentlig løsningen på ligningen a x = b. Alternativ a = 1 er borderline og er ikke av interesse. Oppmerksomhet: 1 til enhver potens er lik 1.

Virkelig verdi av logaritmen definert bare når grunntallet og argumentet er større enn 0, og grunntallet ikke må være lik 1.

Spesiell plass innen matematikk spill logaritmer, som vil bli navngitt avhengig av størrelsen på basen deres:

Regler og begrensninger

Den grunnleggende egenskapen til logaritmer er regelen: logaritmen til et produkt er lik den logaritmiske summen. log abp = log a(b) + log a(p).

Som en variant av denne setningen vil det være: log c(b/p) = log c(b) - log c(p), kvotientfunksjonen er lik forskjellen mellom funksjonene.

Fra de to foregående reglene er det lett å se at: log a(b p) = p * log a(b).

Andre eiendommer inkluderer:

Kommentar. Det er ikke nødvendig å gjøre en vanlig feil - logaritmen til en sum er ikke lik summen av logaritmene.

I mange århundrer var operasjonen med å finne en logaritme en ganske tidkrevende oppgave. Matematikere brukte den velkjente formelen til den logaritmiske teorien om polynomutvidelse:

ln (1 + x) = x — (x^2)/2 + (x^3)/3 — (x^4)/4 + … + ((-1)^(n + 1))*(( x^n)/n), hvor n er et naturlig tall større enn 1, som bestemmer nøyaktigheten av beregningen.

Logaritmer med andre baser ble beregnet ved å bruke teoremet om overgangen fra en base til en annen og egenskapen til logaritmen til produktet.

Siden denne metoden er svært arbeidskrevende og når man løser praktiske problemer vanskelig å implementere brukte vi forhåndskompilerte tabeller med logaritmer, noe som gjorde alt arbeidet betydelig raskere.

I noen tilfeller ble det brukt spesialdesignede grafer av logaritmer, som ga mindre nøyaktighet, men satte betydelig fart på søket etter ønsket verdi. Kurven til funksjonen y = log a(x), konstruert over flere punkter, lar deg bruke en vanlig linjal for å finne verdien av funksjonen på et hvilket som helst annet punkt. I lang tid brukte ingeniører såkalt millimeterpapir til disse formålene.

På 1600-tallet dukket de første analoge databehandlingsforholdene opp, som på 1800-tallet fikk en fullstendig form. Den mest vellykkede enheten ble kalt lysbilderegelen. Til tross for enkelheten til enheten, akselererte utseendet betydelig prosessen med alle tekniske beregninger, og dette er vanskelig å overvurdere. For øyeblikket er det få som er kjent med denne enheten.

Fremkomsten av kalkulatorer og datamaskiner gjorde bruken av andre enheter meningsløs.

Ligninger og ulikheter

For å løse ulike ligninger og ulikheter ved hjelp av logaritmer, brukes følgende formler:

• Flytte fra en base til en annen: log a(b) = log c(b) / log c(a);
• Som en konsekvens av det forrige alternativet: log a(b) = 1 / log b(a).

For å løse ulikheter er det nyttig å vite:

• Verdien av logaritmen vil bare være positiv hvis basen og argumentet begge er større eller mindre enn én; hvis minst én betingelse brytes, vil logaritmeverdien være negativ.
• Hvis logaritmefunksjonen brukes på høyre og venstre side av en ulikhet, og basen til logaritmen er større enn én, så beholdes tegnet på ulikheten; ellers endres det.

Prøveproblemer

La oss vurdere flere alternativer for bruk av logaritmer og deres egenskaper. Eksempler på å løse ligninger:

Vurder muligheten for å plassere logaritmen i en potens:

• Oppgave 3. Regn ut 25^log 5(3). Løsning: under betingelsene for problemet ligner oppføringen på følgende (5^2)^log5(3) eller 5^(2 * log 5(3)). La oss skrive det annerledes: 5^log 5(3*2), eller kvadratet av et tall som funksjonsargument kan skrives som kvadratet til selve funksjonen (5^log 5(3))^2. Ved å bruke egenskapene til logaritmer er dette uttrykket lik 3^2. Svar: Som et resultat av beregningen får vi 9.

Praktisk bruk

Som et rent matematisk verktøy, virker det langt fra det virkelige liv at logaritmen plutselig fikk stor betydning for å beskrive objekter i den virkelige verden. Det er vanskelig å finne en vitenskap der den ikke brukes. Dette gjelder fullt ut ikke bare naturlige, men også humanitære kunnskapsfelt.

Logaritmiske avhengigheter

Her er noen eksempler på numeriske avhengigheter:

Mekanikk og fysikk

Historisk sett har mekanikk og fysikk alltid utviklet seg ved hjelp av matematiske forskningsmetoder og samtidig fungert som et insentiv for utvikling av matematikk, inkludert logaritmer. Teorien om de fleste fysikkens lover er skrevet på matematikkspråket. La oss gi bare to eksempler på å beskrive fysiske lover ved bruk av logaritmen.

Problemet med å beregne en så kompleks mengde som hastigheten til en rakett kan løses ved å bruke Tsiolkovsky-formelen, som la grunnlaget for teorien om romutforskning:

V = I * ln (M1/M2), hvor

• V er den endelige hastigheten til flyet.
• I – spesifikk impuls av motoren.
• M 1 – startmassen til raketten.
• M 2 – sluttmasse.

Et annet viktig eksempel- Dette brukes i formelen til en annen stor vitenskapsmann Max Planck, som tjener til å evaluere likevektstilstanden i termodynamikk.

S = k * ln (Ω), hvor

• S – termodynamisk egenskap.
• k – Boltzmann konstant.
• Ω er den statistiske vekten av forskjellige tilstander.

Kjemi

Mindre åpenbart er bruken av formler i kjemi som inneholder forholdet mellom logaritmer. La oss bare gi to eksempler:

• Nernst-ligning, tilstanden til redokspotensialet til mediet i forhold til aktiviteten til stoffer og likevektskonstanten.
• Beregningen av slike konstanter som autolyseindeksen og surheten til løsningen kan heller ikke gjøres uten vår funksjon.

Psykologi og biologi

Og det er slett ikke klart hva psykologi har med det å gjøre. Det viser seg at sansestyrken er godt beskrevet av denne funksjonen som det omvendte forholdet mellom stimulusintensitetsverdien og den lavere intensitetsverdien.

Etter eksemplene ovenfor er det ikke lenger overraskende at temaet logaritmer er mye brukt i biologi. Hele bind kunne skrives om biologiske former som tilsvarer logaritmiske spiraler.

Andre områder

Det ser ut til at verdens eksistens er umulig uten forbindelse med denne funksjonen, og den styrer alle lover. Spesielt når naturlovene er forbundet med geometrisk progresjon. Det er verdt å gå til MatProfi-nettstedet, og det er mange slike eksempler på følgende aktivitetsområder:

Listen kan være uendelig. Etter å ha mestret de grunnleggende prinsippene for denne funksjonen, kan du stupe inn i en verden av uendelig visdom.

274. Merknader.

EN) Hvis uttrykket du ønsker å evaluere inneholder sum eller forskjell tall, så må de finnes uten hjelp av tabeller ved vanlig addisjon eller subtraksjon. For eksempel:

log (35 +7,24) 5 = 5 log (35 + 7,24) = 5 log 42,24.

b) Når vi vet hvordan vi logaritmer uttrykk, kan vi omvendt, ved å bruke et gitt logaritmeresultat, finne uttrykket som dette resultatet ble oppnådd fra; så hvis

Logg X=logg en+ logg b- 3 stokker Med,

da er det lett å forstå det

V) Før vi går videre til å vurdere strukturen til logaritmiske tabeller, vil vi indikere noen egenskaper ved desimallogaritmer, dvs. de der tallet 10 er tatt som basis (kun slike logaritmer brukes til beregninger).

Kapittel to.

Egenskaper til desimallogaritmer.

275 . EN) Siden 10 1 = 10, 10 2 = 100, 10 3 = 1000, 10 4 = 10000 osv., så log 10 = 1, log 100 = 2, log 1000 = 3, log 10000 = 4, og etc.

Midler, Logaritmen til et heltall representert med én og nuller er et positivt heltall som inneholder like mange enere som det er nuller i representasjonen av tallet.

Dermed: log 100 000 = 5, Logg 1000 000 = 6 , etc.

b) Fordi

log 0,1 = -l; log 0,01 = - 2; log 0,001 == -3; log 0,0001 = - 4, etc.

Midler, Logaritmen til en desimalbrøk, representert av en enhet med foranstående nuller, er et negativt heltall som inneholder like mange negative enheter som det er null i representasjonen av brøken, inkludert 0 heltall.

Dermed: log 0,00001= - 5, log 0,000001 = -6, etc.

V) La oss ta et heltall som ikke er representert med én og nuller, for eksempel. 35, eller et helt tall med en brøk, for eksempel. 10.7. Logaritmen til et slikt tall kan ikke være et heltall, siden hvis vi hever 10 til en potens med en heltallseksponent (positiv eller negativ), får vi 1 med nuller (etter 1, eller foran den). La oss nå anta at logaritmen til et slikt tall er en brøkdel en / b . Da ville vi hatt likestilling

Men disse likhetene er umulige, som 10EN det er 1-ere med null, mens grader 35b Og 10,7b uansett mål b kan ikke gi 1 etterfulgt av nuller. Det betyr at vi ikke kan tillate logg 35 Og logg 10.7 var lik brøker. Men fra egenskapene til den logaritmiske funksjonen vet vi () at hvert positivt tall har en logaritme; følgelig har hvert av tallene 35 og 10.7 sin egen logaritme, og siden det hverken kan være et heltall eller et brøktall, er det et irrasjonelt tall og kan derfor ikke uttrykkes nøyaktig ved hjelp av tall. Irrasjonelle logaritmer uttrykkes vanligvis omtrent som en desimalbrøk med flere desimaler. Heltallet til denne brøken (selv om det var "0 heltall") kalles karakteristisk, og brøkdelen er mantissen til logaritmen. Hvis det for eksempel er en logaritme 1,5441 , da er dens karakteristikk lik 1 , og mantissen er 0,5441 .

G) La oss ta et heltall eller blandet tall, for eksempel. 623 eller 623,57 . Logaritmen til et slikt tall består av en karakteristikk og en mantisse. Det viser seg at desimallogaritmer har den bekvemmeligheten at vi kan alltid finne deres egenskaper ved én type tall . For å gjøre dette, la oss telle hvor mange sifre som er i et gitt heltall, eller i en heltallsdel av et blandet tall. I våre eksempler på disse sifrene 3 . Derfor, hvert av tallene 623 Og 623,57 mer enn 100 men mindre enn 1000; dette betyr at logaritmen til hver av dem er større logg 100, dvs. mer 2 , men mindre logg 1000, dvs. mindre 3 (husk at et større tall også har en større logaritme). Derfor, log 623 = 2,..., Og log 623.57 = 2,... (prikker erstatter ukjente mantisser).

Slik finner vi:

La generelt et gitt heltall, eller en heltallsdel av et gitt blandet tall, inneholde m tall Siden det minste heltall inneholder m tall, ja 1 Med m - 1 nuller på slutten, deretter (angir dette tallet N) vi kan skrive ulikhetene:

og derfor,

m - 1 < log N < m ,

log N = ( m- 1) + positiv brøk.

Så karakteristikken logN = m - 1 .

Det ser vi på denne måten karakteristikken til logaritmen til et heltall eller blandet tall inneholder like mange positive enheter som det er sifre i heltallsdelen av tallet minus én.

Etter å ha lagt merke til dette, kan vi direkte skrive:

log 7,205 = 0,...; log 83 = 1,...; log 720.4 = 2,... og så videre.

d) La oss ta flere desimalbrøker mindre 1 (dvs. å ha 0 hel): 0,35; 0,07; 0,0056; 0,0008, og så videre.

Dermed er hver av disse logaritmene inneholdt mellom to negative heltall som avviker med én enhet; derfor er hver av dem lik det minste av disse negative tallene økt med en positiv brøkdel. For eksempel, log0.0056= -3 + positiv brøk. La oss anta at denne brøken er 0,7482. Da betyr det:

log 0,0056 = - 3 + 0,7482 (= - 2,2518).

Beløp som f.eks - 3 + 0,7482 , bestående av et negativt heltall og en positiv desimalbrøk, ble vi enige om å skrive forkortet som følger i logaritmiske beregninger: 3 ,7482 (Dette tallet lyder: 3 minus, 7482 ti tusendeler.), dvs. de setter et minustegn over karakteristikken for å vise at den kun gjelder denne karakteristikken, og ikke til mantissen, som forblir positiv. Derfor, fra tabellen ovenfor er det klart at

log 0,35 == 1 ,....; log 0,07 = 2,....; log 0,0008 = 4,....

La i det hele tatt . det er en desimalbrøk der før det første signifikante sifferet α kostnader m nuller, inkludert 0 heltall. Da er det åpenbart at

- m < log A < - (m- 1).

Siden fra to heltall:- m Og - (m- 1) det er mindre - m , Det

log A = - m+ positiv brøk,

og derfor karakteristikken log A = - m (med en positiv mantisse).

Dermed, karakteristikken til logaritmen til en desimalbrøk mindre enn 1 inneholder like mange negative som det er nuller i bildet av desimalbrøken før det første signifikante sifferet, inkludert null heltall; Mantissen til en slik logaritme er positiv.

e) La oss multiplisere et tall N(heltall eller brøk - det spiller ingen rolle) med 10, med 100 med 1000..., generelt med 1 med nuller. La oss se hvordan dette endres logg N. Siden logaritmen til produktet er lik summen av logaritmene til faktorene, da

log(N 10) = log N + log 10 = log N + 1;

log(N 100) = log N + log 100 = log N + 2;

log(N 1000) = log N + log 1000 = log N + 3; etc.

Når til logg N vi legger til et heltall, så kan vi alltid legge dette tallet til karakteristikken, og ikke til mantissen.

Så hvis log N = 2,7804, så 2,7804 + 1 = 3,7804; 2,7804 + 2 = 4,7801, etc.;

eller hvis log N = 3,5649, så 3,5649 + 1 = 2,5649; 3,5649 + 2 = 1,5649, osv.

Når et tall multipliseres med 10, 100, 1000,..., vanligvis med 1 med nuller, endres ikke mantissen til logaritmen, og karakteristikken øker med like mange enheter som det er nuller i faktoren .

På samme måte, med tanke på at logaritmen til kvotienten er lik logaritmen til utbyttet uten logaritmen til divisoren, får vi:

log N / 10 = log N- log 10 = log N -1;

log N / 100 = log N- log 100 = log N -2;

log N / 1000 = log N- log 1000 = log N -3; og så videre.

Hvis vi er enige om, når vi trekker et heltall fra en logaritme, å alltid trekke dette heltallet fra karakteristikken og la mantissen være uendret, så kan vi si:

Å dele et tall med 1 med nuller endrer ikke mantissen til logaritmen, men karakteristikken reduseres med like mange enheter som det er null i divisoren.

276. Konsekvenser. Fra eiendom ( e) følgende to konsekvenser kan utledes:

EN) Mantissen til logaritmen til et desimaltall endres ikke når den flyttes til et desimaltall , fordi å flytte et desimaltegn tilsvarer å multiplisere eller dividere med 10, 100, 1000 osv. Dermed logaritmer av tall:

0,00423, 0,0423, 4,23, 423

skiller seg bare i egenskaper, men ikke i mantisser (forutsatt at alle mantisser er positive).

b) Mantissene til tall som har samme betydelige del, men som bare skiller seg ved å avslutte nuller, er de samme: Dermed er logaritmene til tall: 23, 230, 2300, 23 000 bare forskjellige i egenskaper.

Kommentar. Fra de indikerte egenskapene til desimallogaritmer er det klart at vi kan finne egenskapene til logaritmen til et heltall og en desimalbrøk uten hjelp av tabeller (dette er den store bekvemmeligheten med desimallogaritmer); som et resultat er bare én mantisse plassert i logaritmiske tabeller; i tillegg, siden å finne logaritmene til brøker reduseres til å finne logaritmene til heltall (logaritmen til en brøk = logaritmen til telleren uten logaritmen til nevneren), er mantissene til logaritmene av bare heltall plassert i tabellene.

Kapittel tre.

Design og bruk av firesifrede tabeller.

277. Systemer av logaritmer. Et system av logaritmer er et sett med logaritmer beregnet for et antall påfølgende heltall ved bruk av samme grunntall. To systemer brukes: systemet med vanlige eller desimale logaritmer, der tallet tas som basis 10 , og et system med såkalte naturlige logaritmer, der et irrasjonelt tall tas som basis (av noen grunner som er klare i andre grener av matematikken) 2,7182818 ... For beregninger brukes desimallogaritmer, på grunn av bekvemmeligheten som vi indikerte da vi listet opp egenskapene til slike logaritmer.

Naturlige logaritmer kalles også Neperov, oppkalt etter oppfinneren av logaritmene, en skotsk matematiker Nepera(1550-1617), og desimallogaritmer - Briggs oppkalt etter professoren Brigga(en samtidige og venn av Napier), som først kompilerte tabeller over disse logaritmene.

278. Konvertering av en negativ logaritme til en hvis mantisse er positiv, og den inverse transformasjonen. Vi har sett at logaritmene til tall mindre enn 1 er negative. Dette betyr at de består av en negativ egenskap og en negativ mantisse. Slike logaritmer kan alltid transformeres slik at mantissen deres er positiv, men karakteristikken forblir negativ. For å gjøre dette er det nok å legge til en positiv til mantissen, og en negativ til karakteristikken (som selvfølgelig ikke endrer verdien av logaritmen).

Hvis vi for eksempel har en logaritme - 2,0873 , så kan du skrive:

- 2,0873 = - 2 - 1 + 1 - 0,0873 = - (2 + 1) + (1 - 0,0873) = - 3 + 0,9127,

eller forkortet:

Motsatt kan enhver logaritme med en negativ karakteristikk og en positiv mantisse gjøres om til en negativ. For å gjøre dette er det nok å legge til en negativ til den positive mantissen, og en positiv til den negative egenskapen: så du kan skrive:

279. Beskrivelse av firesifrede tabeller. For å løse de fleste praktiske problemer er firesifrede tabeller ganske tilstrekkelige, og håndteringen er veldig enkel. Disse tabellene (med inskripsjonen "logaritmer" øverst) er plassert på slutten av denne boken, og en liten del av dem (for å forklare arrangementet) er trykt på denne siden. De inneholder mantisser

Logaritmer.

logaritmer av alle heltall fra 1 før 9999 inklusive, regnet med fire desimaler, med den siste av disse plassene økt med 1 i alle de tilfellene der 5. desimal vil være 5 eller mer enn 5; derfor gir 4-sifrede tabeller omtrentlige mantisser opp til 1 / 2 ti tusendel (med en mangel eller overskudd).

Siden vi direkte kan karakterisere logaritmen til et heltall eller en desimalbrøk, basert på egenskapene til desimallogaritmer, må vi bare ta mantissene fra tabellene; Samtidig må vi huske at plasseringen av desimaltegnet i et desimaltall, så vel som antallet nuller på slutten av tallet, ikke påvirker verdien av mantissen. Derfor, når vi finner mantissen for et gitt tall, forkaster vi kommaet i dette tallet, så vel som nullene på slutten av det, hvis det er noen, og finner mantissen til heltallet dannet etter dette. Følgende tilfeller kan oppstå.

1) Et heltall består av 3 sifre. La oss for eksempel si at vi må finne mantissen til logaritmen til tallet 536. De to første sifrene i dette tallet, dvs. 53, finnes i tabellene i den første vertikale kolonnen til venstre (se tabell). Etter å ha funnet tallet 53, beveger vi oss fra det langs en horisontal linje til høyre til denne linjen skjærer en vertikal kolonne som går gjennom et av tallene 0, 1, 2, 3, ... 9, plassert øverst (og nederst) i tabellen, som er 3. siffer i et gitt tall, dvs. i vårt eksempel, tallet 6. I skjæringspunktet får vi mantissen 7292 (dvs. 0,7292), som tilhører logaritmen til tallet 536. På samme måte , for tallet 508 finner vi mantissen 0,7059, for tallet 500 finner vi 0,6990 osv.

2) Et heltall består av 2 eller 1 siffer. Så tildeler vi mentalt en eller to nuller til dette tallet og finner mantissen for det tresifrede tallet som dannes på denne måten. For eksempel legger vi en null til tallet 51, hvorfra vi får 510 og finner mantissen 7070; til tallet 5 tildeler vi 2 nuller og finner mantissen 6990 osv.

3) Et heltall uttrykkes med 4 sifre. For eksempel må du finne mantissen til log 5436. Så finner vi først i tabellene, som nettopp angitt, mantissen for tallet representert av de første 3 sifrene i dette tallet, dvs. for 543 (denne mantissen vil være 7348) ; så beveger vi oss fra den funnet mantissen langs den horisontale linjen til høyre (til høyre side av bordet, plassert bak den tykke vertikale linjen) til den skjærer den vertikale kolonnen som går gjennom et av tallene: 1, 2 3,. .. 9, plassert på toppen (og nederst ) av denne delen av tabellen, som representerer det fjerde sifferet i et gitt tall, dvs. i vårt eksempel, tallet 6. I skjæringspunktet finner vi korreksjonen (tall). 5), som må påføres mentalt på mantissen til 7348 for å oppnå mantissen til tallet 5436; På denne måten får vi mantissen 0,7353.

4) Et heltall uttrykkes med 5 eller flere sifre. Så forkaster vi alle sifrene bortsett fra de første 4, og tar et omtrentlig firesifret tall, og øker det siste sifferet i dette tallet med 1 i det tallet. tilfelle når det forkastede 5. sifferet i tallet er 5 eller mer enn 5. Så i stedet for 57842 tar vi 5784, i stedet for 30257 tar vi 3026, i stedet for 583263 tar vi 5833 osv. For dette avrundede firesifrede tallet finner vi mantissen som nettopp forklart.

Veiledet av disse instruksjonene, la oss for eksempel finne logaritmene til følgende tall:

36,5; 804,7; 0,26; 0,00345; 7,2634; 3456,06.

Først av alt, uten å gå til tabellene for nå, vil vi bare legge ned egenskapene, og gi plass til mantissene, som vi vil skrive ut etter:

log 36,5 = 1,.... log 0,00345 = 3,....

log 804.7 = 2,.... log 7.2634 = 0,....

log 0,26 = 1,.... log 3456,86 = 3,....

log 36,5 = 1,5623; log 0,00345 = 3,5378;

log 804,7 = 2,9057; log 7,2634 = 0,8611;

log 0,26 = 1,4150; log 3456.86 = 3.5387.

280. Merk. I noen firesifrede tabeller (for eksempel i tabeller V. Lorchenko og N. Ogloblina, S. Glazenap, N. Kamenshchikova) rettelser for det fjerde sifferet i dette nummeret plasseres ikke. Når man arbeider med slike tabeller, må man finne disse korreksjonene ved å bruke en enkel beregning, som kan utføres på grunnlag av følgende sannhet: hvis tallene overstiger 100 og forskjellene mellom dem er mindre enn 1, så uten en sensitiv feil kan antas at forskjeller mellom logaritmer er proporsjonale med forskjeller mellom tilsvarende tall . La oss for eksempel finne mantissen som tilsvarer tallet 5367. Denne mantissen er selvfølgelig den samme som for tallet 536,7. Vi finner i tabellene for tallet 536 mantissen 7292. Ved å sammenligne denne mantissen med mantissen 7300 ved siden av høyre, tilsvarende tallet 537, legger vi merke til at hvis tallet 536 øker med 1, så vil mantissen øke med 8 ti -tusendeler (8 er den såkalte bordforskjell mellom to tilstøtende mantisser); hvis tallet 536 øker med 0,7, vil mantissen øke ikke med 8 ti tusendeler, men med et mindre tall X ti tusendeler, som i henhold til den antatte proporsjonaliteten må tilfredsstille proporsjonene:

X :8 = 0,7:1; hvor X = 8 07 = 5,6,

som er avrundet til 6 ti tusendeler. Dette betyr at mantissen for tallet 536,7 (og derfor for tallet 5367) vil være: 7292 + 6 = 7298.

Merk at å finne et mellomtall ved å bruke to tilstøtende tall i tabeller kalles interpolasjon. Interpolasjonen beskrevet her kalles proporsjonal, siden det er basert på antakelsen om at endringen i logaritmen er proporsjonal med endringen i tallet. Det kalles også lineært, siden det antar at grafisk er endringen i en logaritmisk funksjon uttrykt med en rett linje.

281. Feilgrense for den omtrentlige logaritmen. Hvis tallet hvis logaritme søkes etter er et eksakt tall, kan grensen for feil for logaritmen funnet i 4-sifrede tabeller tas, som vi sa i 1 / 2 ti tusendel. Hvis dette tallet ikke er nøyaktig, må vi til denne feilgrensen også legge til grensen for en annen feil som skyldes unøyaktigheten til selve tallet. Det er bevist (vi utelater dette beviset) at en slik grense kan anses å være produktet

en(d +1) ti tusendeler.,

i hvilken EN er feilmarginen for det mest upresise tallet, forutsatt at dens heltallsdel inneholder 3 sifre, a d tabellforskjell av mantisser som tilsvarer to påfølgende tresifrede tall som det gitte upresise tallet ligger mellom. Dermed vil grensen for den endelige feilen til logaritmen bli uttrykt med formelen:

1 / 2 + en(d +1) ti tusendeler

Eksempel. Finn logg π , tar for π omtrentlig antall 3,14, nøyaktig til 1 / 2 hundredel.

Ved å flytte kommaet etter det 3. sifferet i tallet 3.14, tellende fra venstre, får vi det tresifrede tallet 314, nøyaktig til 1 / 2 enheter; Dette betyr at feilmarginen for et unøyaktig tall, dvs. det vi angir med bokstaven EN , det er 1 / 2 Fra tabellene finner vi:

log 3,14 = 0,4969.

Tabellforskjell d mellom mantissene til tallene 314 og 315 er lik 14, så feilen til den funnet logaritmen vil være mindre

1 / 2 + 1 / 2 (14 +1) = 8 ti tusendeler.

Siden vi ikke vet om logaritmen 0,4969 om den er mangelfull eller overdreven, kan vi bare garantere at den eksakte logaritmen π ligger mellom 0,4969 - 0,0008 og 0,4969 + 0,0008, dvs. 0,4961< log π < 0,4977.

282. Finn et tall ved å bruke en gitt logaritme. For å finne et tall ved hjelp av en gitt logaritme, kan de samme tabellene brukes til å finne mantissene til gitte tall; men det er mer praktisk å bruke andre tabeller som inneholder de såkalte antilogaritmene, dvs. tall som tilsvarer disse mantissene. Disse tabellene, angitt med inskripsjonen øverst "antilogaritmer", er plassert på slutten av denne boken etter tabellene over logaritmer; en liten del av dem er plassert på denne siden (for forklaring).

Anta at du får en 4-sifret mantisse 2863 (vi tar ikke hensyn til karakteristikken) og du må finne det tilsvarende heltall. Deretter, med tabeller med antilogaritmer, må du bruke dem på nøyaktig samme måte som tidligere forklart for å finne mantissen for et gitt tall, nemlig: vi finner de to første sifrene i mantissen i den første kolonnen til venstre. Deretter beveger vi oss fra disse tallene langs den horisontale linjen til høyre til den skjærer den vertikale kolonnen som kommer fra 3. siffer i mantissen, som må ses etter i den øverste linjen (eller bunnen). I skjæringspunktet finner vi det firesifrede tallet 1932, tilsvarende mantissen 286. Så fra dette tallet beveger vi oss videre langs den horisontale linjen til høyre til skjæringspunktet med den vertikale kolonnen som kommer fra det 4. sifferet i mantissen, som skal finnes øverst (eller nederst) blant tallene 1, 2 plassert der , 3,... 9. I skjæringspunktet finner vi korreksjon 1, som må brukes (i tankene) på tallet 1032 funnet tidligere for å for å få tallet som tilsvarer mantissen 2863.

Dermed vil tallet være 1933. Etter dette, med oppmerksomhet til karakteristikken, må du sette okkupert på riktig sted i tallet 1933. For eksempel:

Hvis Logg x = 3,2863, da X = 1933,

„ Logg x = 1,2863, „ X = 19,33,

, Logg x = 0,2&63, „ X = 1,933,

„ Logg x = 2 ,2863, „ X = 0,01933

Her er flere eksempler:

Logg x = 0,2287, X = 1,693,

Logg x = 1 ,7635, X = 0,5801,

Logg x = 3,5029, X = 3184,

Logg x = 2 ,0436, X = 0,01106.

Hvis mantissen inneholder 5 eller flere sifre, tar vi bare de første 4 sifrene, og forkaster resten (og øker det 4. sifferet med 1 hvis det 5. sifferet har fem eller flere). For eksempel, i stedet for mantissen 35478 tar vi 3548, i stedet for 47562 tar vi 4756.

283. Merk. Korreksjonen for det fjerde og påfølgende sifrene i mantissen kan også bli funnet gjennom interpolasjon. Så hvis mantissen er 84357, kan vi, etter å ha funnet tallet 6966, som tilsvarer mantissen 843, videre resonnere som følger: hvis mantissen øker med 1 (tusendel), dvs. den blir 844, så tallet, som kan sees fra tabellene, vil øke med 16 enheter; hvis mantissen ikke øker med 1 (tusendel), men med 0,57 (tusendel), vil tallet øke med X enheter, og X må tilfredsstille proporsjonene:

X : 16 = 0,57: 1, hvorfra x = 16 0,57 = 9,12.

Dette betyr at det nødvendige tallet vil være 6966+ 9.12 = 6975.12 eller (begrenset til bare fire sifre) 6975.

284. Feilgrense for funnet nummer. Det er bevist at i tilfellet når i det funnet nummeret kommaet er etter det tredje sifferet fra venstre, dvs. når karakteristikken til logaritmen er 2, kan summen tas som feilgrense

Hvor EN er feilgrensen for logaritmen (uttrykt i ti tusendeler) som tallet ble funnet med, og d - forskjellen mellom mantissene til to tresifrede påfølgende tall som det funnet nummeret ligger mellom (med komma etter det tredje sifferet fra venstre). Når karakteristikken ikke er 2, men en annen, må kommaet i det funnet tallet flyttes til venstre eller høyre, dvs. dividere eller multiplisere tallet med en potens av 10. I dette tilfellet er feilen av resultatet vil også bli delt eller multiplisert med samme potens av 10.

La oss for eksempel lete etter et tall ved å bruke logaritmen 1,5950 , som er kjent for å være nøyaktig til 3 ti tusendeler; det betyr da EN = 3 . Tallet som tilsvarer denne logaritmen, funnet fra tabellen over antilogaritmer, er 39,36 . Hvis du flytter kommaet etter det tredje sifferet fra venstre, har vi nummeret 393,6 , bestående mellom 393 Og 394 . Fra logaritmetabellene ser vi at forskjellen mellom mantissene som tilsvarer disse to tallene er 11 ti tusendeler; Midler d = 11 . Feilen til tallet 393.6 vil være mindre

Dette betyr at feilen i tallet 39,36 det blir mindre 0,05 .

285. Operasjoner på logaritmer med negative egenskaper.Å legge til og subtrahere logaritmer byr ikke på noen vanskeligheter, som man kan se av følgende eksempler:

Det er heller ingen problemer med å multiplisere logaritmen med et positivt tall, for eksempel:

I det siste eksemplet multipliseres den positive mantissen separat med 34, deretter multipliseres den negative karakteristikken med 34.

Hvis logaritmen til en negativ karakteristikk og en positiv mantisse multipliseres med et negativt tall, fortsett på to måter: enten blir den gitte logaritmen først blitt negativ, eller mantissen og karakteristikken multipliseres separat og resultatene kombineres sammen, for eksempel :

3 ,5632 (- 4) = - 2,4368 (- 4) = 9,7472;

3 ,5632 (- 4) = + 12 - 2,2528 = 9,7472.

Ved deling kan to tilfeller oppstå: 1) den negative egenskapen er delt og 2) er ikke delelig med en divisor. I det første tilfellet skilles karakteristikken og mantissen separat:

10 ,3784: 5 = 2 ,0757.

I det andre tilfellet legges så mange negative enheter til karakteristikken slik at det resulterende tallet deles med divisoren; samme antall positive enheter legges til mantissen:

3 ,7608: 8 = (- 8 + 5,7608) : 8 = 1 ,7201.

Denne transformasjonen må gjøres i sinnet, så handlingen går slik:

286. Erstatte subtraherte logaritmer med termer. Når du beregner komplekse uttrykk ved hjelp av logaritmer, må du legge til noen logaritmer og trekke fra andre; i dette tilfellet, på den vanlige måten å utføre handlinger på, finner de hver for seg summen av de adderte logaritmene, deretter summen av de subtraherte, og trekker den andre fra den første summen. For eksempel, hvis vi har:

Logg X = 2,7305 - 2 ,0740 + 3 ,5464 - 8,3589 ,

da vil den vanlige utførelsen av handlinger se slik ut:

Det er imidlertid mulig å erstatte subtraksjon med addisjon. Så:

Nå kan du ordne beregningen slik:

287. Eksempler på beregninger.

Eksempel 1. Vurder uttrykk:

Hvis A = 0,8216, B = 0,04826, C = 0,005127 Og D = 7,246.

La oss ta en logaritme av dette uttrykket:

Logg X= 1/3 log A + 4 log B - 3 log C - 1/3 log D

Nå, for å unngå unødvendig tap av tid og for å redusere muligheten for feil, vil vi først og fremst ordne alle beregningene uten å utføre dem for nå, og derfor uten å referere til tabellene:

Etter dette tar vi tabellene og legger logaritmer i de resterende ledige plassene:

Feilgrense. La oss først finne feilgrensen for nummeret x 1 = 194,5 , lik:

Så først og fremst må du finne EN , dvs. feilgrensen for den omtrentlige logaritmen, uttrykt i ti tusendeler. La oss anta at disse tallene A, B, C Og D alle er nøyaktige. Da vil feilene i individuelle logaritmer være som følger (i ti tusendeler):

V logA.......... 1 / 2

V 1/3 log A......... 1 / 6 + 1 / 2 = 2 / 3

( 1 / 2 lagt til fordi når vi delte med 3 logaritmer av 1,9146, rundet vi kvotienten ved å forkaste dets femte siffer, og derfor gjorde vi en enda mindre feil 1 / 2 ti tusendel).

Nå finner vi feilgrensen til logaritmen:

EN = 2 / 3 + 2 + 3 / 2 + 1 / 6 = 4 1 / 3 (ti tusendeler).

La oss definere nærmere d . Fordi x 1 = 194,5 , deretter 2 påfølgende heltall mellom som ligger x 1 vil 194 Og 195 . Tabellforskjell d mellom mantissene som tilsvarer disse tallene er lik 22 . Dette betyr at feilgrensen for tallet er x 1 Det er:

Fordi x = x 1 : 10, deretter feilgrensen i antallet x er lik 0,3:10 = 0,03 . Dermed tallet vi fant 19,45 avviker fra det eksakte antallet med mindre enn 0,03 . Siden vi ikke vet om vår tilnærming ble funnet med en mangel eller med et overskudd, kan vi bare garantere at

19,45 + 0,03 > X > 19,45 - 0,03 , dvs.

19,48 > X > 19,42 ,

og derfor, hvis vi godtar X =19,4 , så vil vi ha en tilnærming med en ulempe med en nøyaktighet på opptil 0,1.

Eksempel 2. Regne ut:

X = (- 2,31) 3 5 √72 = - (2,31) 3 5 √72 .

Siden negative tall ikke har logaritmer, finner vi først:

X" = (2,31) 3 5 √72

ved nedbrytning:

Logg X"= 3 log 2,31 + 1 / 5 log72.

Etter beregning viser det seg:

X" = 28,99 ;

derfor,

x = - 28,99 .

Eksempel 3. Regne ut:

Kontinuerlig logaritmisering kan ikke brukes her, siden fortegnet til roten er c u m m a. I slike tilfeller beregner du formelen etter deler.

Først finner vi N = 5 √8 , Deretter N 1 = 4 √3 ; så bestemmer vi ved enkel addisjon N+ N 1 , og til slutt regner vi 3 √N+ N 1 ; det viser seg:

N=1,514, N 1 = 1,316 ; N+ N 1 = 2,830 .

Logg x= log 3 √ 2,830 = 1 / 3 log 2.830 = 0,1506 ;

x = 1,415 .

Kapittel fire.

Eksponentielle og logaritmiske ligninger.

288. Eksponentialligninger er de der det ukjente er inkludert i eksponenten, og logaritmisk- de der det ukjente kommer inn under skiltet Logg. Slike ligninger kan bare løses i spesielle tilfeller, og man må stole på egenskapene til logaritmene og på prinsippet om at hvis tallene er like, så er logaritmene deres like, og omvendt, hvis logaritmene er like, så de tilsvarende tallene er like.

Eksempel 1. Løs ligningen: 2 x = 1024 .

La oss logaritme begge sider av ligningen:

Eksempel 2. Løs ligningen: en 2x - en x = 1 . Sette en x = på , får vi en andregradsligning:

y 2 - på - 1 = 0 ,

Fordi 1-√5 < 0 , da er den siste ligningen umulig (funksjon en x det er alltid et positivt tall), og det første gir:

Eksempel 3. Løs ligningen:

Logg( a + x) + logg ( b + x) = logg ( c + x) .

Ligningen kan skrives slik:

Logg [( a + x) (b + x)] = logg ( c + x) .

Fra likheten til logaritmer konkluderer vi med at tallene er like:

(a + x) (b + x) = c + x .

Dette er en kvadratisk ligning, hvis løsning ikke er vanskelig.

Kapittel fem.

Rentesammensatte, terminbetalinger og terminbetalinger.

289. Grunnleggende problem om renters rente. Hvor mye blir kapitalen til? EN rubler, gitt i vekst kl R renters rente, etter t år ( t - heltall)?

De sier at kapital betales med renters rente dersom det tas hensyn til den såkalte «renten på renter», det vil si dersom rentepengene på kapitalen legges til kapitalen ved utgangen av hvert år for å øke. det med interesse i de påfølgende årene.

Hver rubel av kapital gitt bort R %, vil gi overskudd innen ett år s / 100 rubel, og derfor vil hver rubel av kapital i løpet av 1 år bli til 1 + s / 100 rubel (for eksempel hvis kapital er gitt til 5 %, så vil hver rubel av det i løpet av et år bli til 1 + 5 / 100 , dvs. i 1,05 rubel).

For korthets skyld, angir brøken s / 100 med én bokstav, for eksempel, r , kan vi si at hver rubel av kapital i løpet av et år vil bli til 1 + r rubler; derfor, EN rubler vil bli returnert om 1 år til EN (1 + r ) gni. Etter et år, det vil si 2 år fra starten av veksten, hver rubel av disse EN (1 + r ) gni. vil kontakte igjen 1 + r gni.; Det betyr at all kapital blir til EN (1 + r ) 2 gni. På samme måte finner vi at etter tre år vil hovedstaden være EN (1 + r ) 3 , om fire år vil det være det EN (1 + r ) 4 ,... generelt gjennom t år hvis t er et heltall, vil det vende seg til EN (1 + r ) t gni. Altså betegner med EN sluttkapital, vil vi ha følgende sammensatte renteformel:

EN = EN (1 + r ) t Hvor r = s / 100 .

Eksempel. La en =2300 rubler, s = 4, t=20 år; så gir formelen:

r = 4 / 100 = 0,04 ; A = 2300 (1,04) 20.

Å beregne EN, vi bruker logaritmer:

Logg en = log 2 300 + 20 log 1,04 = 3,3617 + 20 0,0170 = 3,3617+0,3400 = 3,7017.

A = 5031 rubel.

Kommentar. I dette eksemplet måtte vi logg 1.04 multiplisere med 20 . Siden nummeret 0,0170 det er en omtrentlig verdi logg 1.04 opp til 1 / 2 ti tusendel, deretter produktet av dette tallet med 20 det blir definitivt bare til 1 / 2 20, dvs. opptil 10 titusendeler = 1 tusendel. Derfor totalt sett 3,7017 Vi kan ikke stå inne ikke bare for antall ti tusendeler, men også for antall tusendeler. For å oppnå større nøyaktighet i slike tilfeller er det bedre for antallet 1 + r ta logaritmer ikke med 4 sifre, men med et stort antall sifre, for eksempel. 7-sifret. For dette formålet presenterer vi her en liten tabell der 7-sifrede logaritmer er skrevet ut for de vanligste verdiene R .

290. Hovedoppgaven er hasteutbetalinger. Noen tok EN rubler pr R % med betingelsen om å tilbakebetale gjelden, sammen med skyldige renter på den, i t år, og betaler samme beløp ved utgangen av hvert år. Hva skal dette beløpet være?

Sum x , som betales årlig under slike forhold, kalles hastebetaling. La oss igjen markere med bokstaven r årlig rentepenger fra 1 rub., dvs. tallet s / 100 . Så innen utgangen av det første året gjelden EN øker til EN (1 + r ), grunnbetaling X det vil koste rubler EN (1 + r )-X .

Ved slutten av det andre året vil hver rubel av dette beløpet igjen bli til 1 + r rubler, og derfor vil gjelden være [ EN (1 + r )-X ](1 + r ) = EN (1 + r ) 2 - x (1 + r ), og for betaling x rubler vil være: EN (1 + r ) 2 - x (1 + r ) - X . På samme måte vil vi sørge for at ved utgangen av 3. år vil gjelden være

EN (1 + r ) 3 - x (1 + r ) 2 - x (1 + r ) - x ,

og generelt og slutten t år blir det:

EN (1 + r ) t - x (1 + r ) t -1 - x (1 + r ) t -2 ... - x (1 + r ) - x , eller

EN (1 + r ) t - x [ 1 + (1 + r ) + (1 + r ) 2 + ...+ (1 + r ) t -2 + (1 + r ) t -1 ]

Polynomet innenfor parentesen representerer summen av leddene til en geometrisk progresjon; som har det første medlemmet 1 , siste ( 1 + r ) t -1, og nevneren ( 1 + r ). Ved å bruke formelen for summen av ledd i en geometrisk progresjon (§ 10 kapittel 3 § 249) finner vi:

og gjeldsbeløpet etter t -th betaling vil være:

I henhold til betingelsene for problemet, er gjelden på slutten t -th år må være lik 0 ; Derfor:

hvor

Ved beregning av dette hastebetalingsformler ved hjelp av logaritmer må vi først finne hjelpetallet N = (1 + r ) t ved logaritme: log N= t log(1+ r) ; har funnet N, trekk 1 fra den, så får vi nevneren til formelen for X, hvoretter vi finner ved sekundær logaritme:

Logg X=logg en+ log N + log r - log (N - 1).

291. Hovedoppgaven for terminbidrag. Noen setter inn samme beløp i banken i begynnelsen av hvert år. EN gni. Bestem hvilken kapital som skal dannes fra disse bidragene etter t år hvis banken betaler R renters rente.

Utpekt av r årlige rentepenger fra 1 rubel, dvs. s / 100 , resonnerer vi slik: ved utgangen av det første året vil hovedstaden være EN (1 + r );

ved inngangen til 2. år legges til dette beløpet EN rubler; dette betyr at på dette tidspunktet kapital vil være EN (1 + r ) + en . Ved slutten av 2. året vil han være det EN (1 + r ) 2 + a (1 + r );

i begynnelsen av 3. år legges det inn igjen EN rubler; dette betyr at det på dette tidspunktet vil være kapital EN (1 + r ) 2 + a (1 + r ) + EN ; mot slutten av den tredje vil han være det EN (1 + r ) 3 + a (1 + r ) 2 + a (1 + r ) Fortsetter vi disse argumentene videre, finner vi det mot slutten t år nødvendig kapital EN vil:

Dette er formelen for terminbidrag som gis ved begynnelsen av hvert år.

Den samme formelen kan oppnås ved følgende resonnement: forskuddsbetaling til EN rubler mens du er i banken t år, vil bli, i henhold til rentesammensetningsformelen, til EN (1 + r ) t gni. Det andre avdraget, å være i banken i ett år mindre, dvs. t - 1 år gammel, kontakt EN (1 + r ) t- 1 gni. På samme måte vil det tredje avdraget gi EN (1 + r ) t-2 osv., og til slutt vil siste termin, etter å ha vært i banken i kun 1 år, gå til EN (1 + r ) gni. Dette betyr den endelige kapitalen EN gni. vil:

EN= EN (1 + r ) t + EN (1 + r ) t- 1 + EN (1 + r ) t-2 + . . . + EN (1 + r ),

som etter forenkling gir formelen ovenfor.

Når du regner med logaritmer av denne formelen, må du gå frem på samme måte som når du beregner formelen for hastebetalinger, dvs. først finne tallet N = ( 1 + r ) t ved sin logaritme: log N= t Logg(1 + r ), deretter nummeret N- 1 og ta deretter en logaritme av formelen:

logg A = logg en+log(1+ r) + log (N - 1) - 1 gr

Kommentar. Hvis et presserende bidrag til EN gni. ble ikke gjort i begynnelsen, men ved slutten av hvert år (som for eksempel en hastebetaling er gjort X for å betale ned gjelden), så når vi resonnerer på samme måte som den forrige, finner vi det til slutt t år nødvendig kapital EN" gni. vil være (inkludert siste avdrag EN rub., uten rente):

EN"= EN (1 + r ) t- 1 + EN (1 + r ) t-2 + . . . + EN (1 + r ) + EN

som er lik:

dvs. EN" havner i ( 1 + r ) ganger mindre EN, som var å forvente, siden hver rubel av kapital EN" ligger i banken i et år mindre enn den tilsvarende rubelen av kapital EN.

Vi fortsetter å studere logaritmer. I denne artikkelen vil vi snakke om beregne logaritmer, kalles denne prosessen logaritme. Først vil vi forstå beregningen av logaritmer per definisjon. Deretter, la oss se på hvordan verdiene til logaritmer blir funnet ved å bruke egenskapene deres. Etter dette vil vi fokusere på å beregne logaritmer gjennom de opprinnelig spesifiserte verdiene til andre logaritmer. Til slutt, la oss lære hvordan du bruker logaritmetabeller. Hele teorien er forsynt med eksempler med detaljerte løsninger.

Sidenavigering.

Beregning av logaritmer per definisjon

I de enkleste tilfellene er det mulig å utføre ganske raskt og enkelt finne logaritmen per definisjon. La oss se nærmere på hvordan denne prosessen skjer.

Dens essens er å representere tallet b i formen a c, hvorfra, ved definisjonen av en logaritme, tallet c er verdien av logaritmen. Det vil si, per definisjon, tilsvarer følgende kjede av likheter å finne logaritmen: log a b=log a a c =c.

Så, å beregne en logaritme per definisjon kommer ned til å finne et tall c slik at a c = b, og tallet c i seg selv er den ønskede verdien av logaritmen.

Når du tar i betraktning informasjonen i de foregående avsnittene, når tallet under logaritmetegnet er gitt av en viss potens av logaritmebasen, kan du umiddelbart indikere hva logaritmen er lik - den er lik eksponenten. La oss vise løsninger på eksempler.

Eksempel.

Finn log 2 2 −3, og beregn også den naturlige logaritmen til tallet e 5,3.

Løsning.

Definisjonen av logaritmen lar oss umiddelbart si at log 2 2 −3 =−3. Faktisk er tallet under logaritmetegnet lik base 2 til −3 potens.

På samme måte finner vi den andre logaritmen: lne 5.3 =5.3.

Svar:

log 2 2 −3 =−3 og lne 5,3 =5,3.

Hvis tallet b under logaritmetegnet ikke er spesifisert som en potens av basen til logaritmen, må du se nøye etter om det er mulig å komme opp med en representasjon av tallet b i formen a c . Ofte er denne representasjonen ganske åpenbar, spesielt når tallet under logaritmetegnet er lik basen i potensen 1, eller 2, eller 3, ...

Eksempel.

Beregn logaritmene log 5 25 , og .

Løsning.

Det er lett å se at 25=5 2, dette lar deg beregne den første logaritmen: log 5 25=log 5 5 2 =2.

La oss gå videre til å beregne den andre logaritmen. Tallet kan representeres som en potens av 7: (se om nødvendig). Derfor, .

La oss omskrive den tredje logaritmen i følgende form. Nå kan du se det , hvorfra vi konkluderer med at . Derfor, ved definisjonen av logaritme .

Kort fortalt kan løsningen skrives slik: .

Svar:

log 5 25=2 , Og .

Når det er et tilstrekkelig stort naturlig tall under logaritmetegnet, skader det ikke å innregne det i primfaktorer. Det hjelper ofte å representere et slikt tall som en potens av basen til logaritmen, og derfor beregne denne logaritmen per definisjon.

Eksempel.

Finn verdien av logaritmen.

Løsning.

Noen egenskaper til logaritmer lar deg spesifisere verdien av logaritmer umiddelbart. Disse egenskapene inkluderer egenskapen til logaritmen til en og egenskapen til logaritmen til et tall som er lik grunntallet: log 1 1=log a a 0 =0 og log a a=log a a 1 =1. Det vil si at når det under fortegnet til logaritmen er et tall 1 eller et tall a lik basen til logaritmen, så er i disse tilfellene logaritmene lik henholdsvis 0 og 1.

Eksempel.

Hva er logaritmer og log10 lik?

Løsning.

Siden , så følger det fra definisjonen av logaritme .

I det andre eksemplet faller tallet 10 under logaritmetegnet sammen med grunntallet, så desimallogaritmen på ti er lik én, det vil si lg10=lg10 1 =1.

Svar:

OG lg10=1 .

Merk at beregningen av logaritmer per definisjon (som vi diskuterte i forrige avsnitt) innebærer bruk av likhetsloggen a a p =p, som er en av egenskapene til logaritmer.

I praksis, når et tall under logaritmetegnet og basen av logaritmen lett kan representeres som en potens av et bestemt tall, er det veldig praktisk å bruke formelen , som tilsvarer en av egenskapene til logaritmer. La oss se på et eksempel på å finne en logaritme som illustrerer bruken av denne formelen.

Eksempel.

Regn ut logaritmen.

Løsning.

Svar:

.

Egenskaper til logaritmer som ikke er nevnt ovenfor, brukes også i beregninger, men vi vil snakke om dette i de følgende avsnittene.

Finne logaritmer gjennom andre kjente logaritmer

Informasjonen i dette avsnittet fortsetter temaet om å bruke egenskapene til logaritmer når de beregnes. Men her er hovedforskjellen at egenskapene til logaritmene brukes til å uttrykke den opprinnelige logaritmen i form av en annen logaritme, hvis verdi er kjent. La oss gi et eksempel for avklaring. La oss si at vi vet at log 2 3≈1.584963, så kan vi finne for eksempel log 2 6 ved å gjøre en liten transformasjon ved å bruke egenskapene til logaritmen: log 2 6=log 2 (2 3)=log 2 2+log 2 3≈ 1+1,584963=2,584963 .

I eksemplet ovenfor var det nok for oss å bruke egenskapen til logaritmen til et produkt. Imidlertid er det mye oftere nødvendig å bruke et bredere arsenal av egenskaper til logaritmer for å beregne den opprinnelige logaritmen gjennom de gitte.

Eksempel.

Beregn logaritmen av 27 til grunntallet 60 hvis du vet at log 60 2=a og log 60 5=b.

Løsning.

Så vi må finne logg 60 27 . Det er lett å se at 27 = 3 3, og den opprinnelige logaritmen, på grunn av egenskapen til potensens logaritme, kan skrives om til 3·log 60 3 .

La oss nå se hvordan du uttrykker log 60 3 i form av kjente logaritmer. Egenskapen til logaritmen til et tall lik grunntallet lar oss skrive likhetsloggen 60 60=1. På den annen side, log 60 60=log60(2 2 3 5)= log 60 2 2 +log 60 3+log 60 5= 2·log 60 2+log 60 3+log 60 5 . Dermed, 2 log 60 2+log 60 3+log 60 5=1. Derfor, log 60 3=1−2·log 60 2−log 60 5=1−2·a−b.

Til slutt beregner vi den opprinnelige logaritmen: log 60 27=3 log 60 3= 3·(1−2·a−b)=3−6·a−3·b.

Svar:

log 60 27=3·(1−2·a−b)=3−6·a−3·b.

Separat er det verdt å nevne betydningen av formelen for overgang til en ny base av logaritmen til formen . Den lar deg gå fra logaritmer med hvilken som helst base til logaritmer med en spesifikk base, hvis verdier er kjent eller det er mulig å finne dem. Vanligvis, fra den opprinnelige logaritmen, ved hjelp av overgangsformelen, flytter de til logaritmer i en av basene 2, e eller 10, siden for disse basene er det tabeller med logaritmer som lar verdiene deres beregnes med en viss grad av nøyaktighet. I neste avsnitt skal vi vise hvordan dette gjøres.

Logaritmetabeller og deres bruk

For omtrentlig beregning av logaritmeverdier kan brukes logaritmetabeller. Den mest brukte base 2-logaritmetabellen, naturlig logaritmetabell og desimallogaritmetabell. Når du arbeider i desimaltallsystemet, er det praktisk å bruke en tabell med logaritmer basert på grunntallet ti. Med dens hjelp vil vi lære å finne verdiene til logaritmer.

Den presenterte tabellen lar deg finne verdiene til desimallogaritmene til tall fra 1000 til 9999 (med tre desimaler) med en nøyaktighet på en ti tusendel. Vi vil analysere prinsippet for å finne verdien av en logaritme ved å bruke en tabell med desimallogaritmer ved å bruke et spesifikt eksempel - det er klarere på denne måten. La oss finne log1.256.

I venstre kolonne i tabellen med desimallogaritmer finner vi de to første sifrene i tallet 1,256, det vil si at vi finner 1,2 (dette tallet er sirklet inn i blått for klarhetens skyld). Det tredje sifferet i tallet 1.256 (siffer 5) finnes i den første eller siste linjen til venstre for den doble linjen (dette tallet er ringt inn med rødt). Det fjerde sifferet i det opprinnelige tallet 1.256 (siffer 6) finnes i den første eller siste linjen til høyre for den doble linjen (dette tallet er omringet med en grønn linje). Nå finner vi tallene i cellene i logaritmetabellen i skjæringspunktet mellom den merkede raden og markerte kolonner (disse tallene er uthevet i oransje). Summen av de markerte tallene gir den ønskede verdien av desimallogaritmen nøyaktig til fjerde desimal, det vil si, log1,236≈0,0969+0,0021=0,0990.

Er det mulig, ved å bruke tabellen ovenfor, å finne verdiene til desimallogaritmer for tall som har mer enn tre sifre etter desimaltegnet, så vel som de som går utover området fra 1 til 9,999? Ja det kan du. La oss vise hvordan dette gjøres med et eksempel.

La oss beregne lg102.76332. Først må du skrive ned nummer i standardform: 102,76332=1,0276332·10 2. Etter dette skal mantissen avrundes til tredje desimal, vi har 1,0276332 10 2 ≈1,028 10 2, mens den opprinnelige desimallogaritmen er omtrent lik logaritmen til det resulterende tallet, det vil si at vi tar log102.76332≈lg1.028·10 2. Nå bruker vi egenskapene til logaritmen: lg1.028·10 2 =lg1.028+lg10 2 =lg1.028+2. Til slutt finner vi verdien av logaritmen lg1.028 fra tabellen med desimallogaritmer lg1.028≈0.0086+0.0034=0.012. Som et resultat ser hele prosessen med å beregne logaritmen slik ut: log102.76332=log1.0276332 10 2 ≈lg1.028 10 2 = log1,028+lg10 2 =log1,028+2≈0,012+2=2,012.

Avslutningsvis er det verdt å merke seg at ved å bruke en tabell med desimallogaritmer kan du beregne den omtrentlige verdien av enhver logaritme. For å gjøre dette er det nok å bruke overgangsformelen for å gå til desimallogaritmer, finne verdiene deres i tabellen og utføre de resterende beregningene.

La oss for eksempel beregne log 2 3 . I henhold til formelen for overgang til en ny base av logaritmen har vi . Fra tabellen med desimallogaritmer finner vi log3≈0,4771 og log2≈0,3010. Dermed, .

Bibliografi.

• Kolmogorov A.N., Abramov A.M., Dudnitsyn Yu.P. Algebra og begynnelsen av analyse: Lærebok for 10. - 11. klassetrinn ved allmennutdanningsinstitusjoner.
• Gusev V.A., Mordkovich A.G. Matematikk (en manual for de som går inn på tekniske skoler).